clemens simmer einführung in die meteorologie i - teil i: einleitung -
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Clemens Simmer
Einführung in die Meteorologie I
- Teil I: Einleitung -
2
I EinführungI.1 Mathematische GrundlagenI.1.1 Physikalische EinheitenI.1.2 Differential- und IntegralrechnungI.1.3 meteorologische FelderI.1.4 Vektoren-Operationen und AbleitungenI.2 Meteorologische Grundgleichungen I.2.1 Physikalische GrundlagenI.2.2 Skalenbetrachtungsweise
3
I.1.1 Physikalische Einheiten• Dimensionen und Dimensionsanalyse• SI-Einheiten• Abgeleitete SI-Einheiten• Vielfache und Bruchteile von Einheiten• Dimensionsanalyse
4
Einheiten und Einheitenanalyse• Wenn man physikalische Gleichungen auswertet, d.h.
mit ihnen rechnet, z.B. das 2. Newtonsche Axiom Kraft = Masse · Beschleunigung oder
F=maso müssen alle Größen (Variablen, Konstanten, etc.) im gleichen Einheitensystem anngegeben werden.
• Umgekehrt kann eine Gleichung nur dann richtig sein, wenn rechts und links vom Gleichheitszeichen die gleichen Einheiten stehen, oder
x=y ist nur dann physikalisch prinzipiell sinnvoll (Voraussetzung), wenn gilt [x]=[y], wobei [ ] bedeutet„Einheit von“
5
SI-EinheitenIn der Meteorologie benutzt man das sogenannte SI-
System (Système International d’Unités).
Basisgröße Name Symbol
Länge Meter m
Masse Kilogramm kg
Zeit Sekunde s
el. Stromstärke Ampere A
Temperatur Kelvin K
Stoffmenge Mol mol
Lichtstärke Candela cd
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Abgeleitete SI-EinheitenAus den Basisgrößen können weitere SI-Einheiten
abgeleitet werden:abgeleitete SI-Einheit Name Symbol
FlächeVolumen
Quadratmeter
Kubikmeter
m2
m3
Frequenz Hertz Hz = s-1
Kraft (=MassexBeschleunigung)
Newton N = kg ms-2
Druck (=Kraft/Fläche) Pascal Pa = N m-2 = kg m-1s-2
Energie (=Arbeit=KraftxWeg) Joule J = N m = kg m2s-2
Leistung (Energie/Zeit) Watt W = Js-1 = kg m2 s-3
el. Spannung Volt V = WA-1 = kg m2 s-3 A-1
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Vielfache und Bruchteile• Für Vielfache der Basis- und abgeleiteten Einheiten
gelten folgende Bezeichnungen:Vielfaches Name Symbol Bruchteil Name Symbol
1012 Tera T 10-1 Dezi d
109 Giga G 10-2 Zenti c
106 Mega M 10-3 Milli m
103 Kilo* k 10-6 Mikro* μ
102 Hekto h 10-9 Nano n
101 Deka da 10-12 Pico p
*ab ±3 schreitet man bei Potenzen in 3er Schritten voran.
8
Erweiterte Einheitenanalyse• Einheiten können auch zum Auffinden physikalischer
Gesetze genutzt werden• Beispiel:
– Wir vermuten, dass die Reibung R (= „negative“ Kraft) eines Körpers im Luftstrom abhängt von der Geschwindigkeit v, der Luftdichte ρL und vom Querschnitt des Körpers Q also
R=f(v, Q, ρL) mit f(y) „Funktion von y“ woraus für die Einheiten
– Wir versuchen den Ansatz R=C∙vk∙Ql∙ρLn mit C dimensionslose
Konstante. Aus [x]=[y] folgt dann
kg m/s²≡kg1 m1 s-2=(m/s)k∙(m²)l∙(kg/m³)n
– Es muss dann gelten:• 1=n siehe Potenz von kg• 1=k+2l-3n siehe Potenz von m• -2=-k siehe Potenz von s
– Es folgt n=1 und l=2, durch Einsetzen dann k=1, womit das Reibungsgesetz lauten könnte: R=C· ρL·Q·v²
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Meteorologische Variablen• Meteorologische Variablen bezeichnen die
wichtigsten variablen physikalischen Eigenschaften, die ein Luftelement (z.B. 1 m³ Luft) beschreiben (z.B. Temperatur, Druck, Wind, etc.)
• Meteorologische Variable können Skalare (nur ein Wert, z.B. Temperatur) oder Vektoren (drei Werte, z.B. der Wind mit den drei Richtungskomponenten) sein.
• Es gibt auch komplexere Elemente (z.B. Schubspannungstensor) die durch Matrizen (i.a. 3x3 Größen) beschrieben werden müssen.
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Einige wichtige Elemente
Element Symbol SI-Einheitungefährer
Wert in Bodennähe
Bedeutung
Luftdruck (S) pkg/(ms2)
= Pa101325
Antrieb für die Luftbewegung
Luftdichte (S) kg/m3 1,2 Masse, Trägheit
Lufttemperatur (S) T K 288,15 Wärme-energie
Luftfeuchte (S) verschieden verschieden variabelWolken,
Niederschlag, Energie
Windgeschwindigkeit (V)
u, v, w m/s 0 - 20 Impuls der Luft
Schubspannungs-tensor (T)
τ kg/(ms²) sehr variabel Reibung
Strahlungsflussdichte (S)
F W/m2 0 - 1000 Wärmequelle
11
Übungen zu I.1.1• Überprüfe die Konsistenz folgender Gleichungen in
Bezug auf Art der Variablen und ihre physikalischen Einheiten
• Die Zentrifugalkraft FZ eines Teilchens auf einer Kreisbahn hängt ab von seiner Masse m, seiner Geschwindigkeit v und vom Radius R des beschriebenen Kreises. Zeige mit der Einheitenanalyse, dass gilt:
FZ=C m R-1 v² mit C dimensionslose Konstante
Volumen,konstantem bei zität Wärmekapaespezifisch
eflussdichtStrahlungs
, g,chleunigunSchwerebes mit
(c) (b) (a)
J/(kg K)][c
W/m²[F]
[x][dx]g
dt
dT
cdz
dFg
dz
dpvTp
p
p
1
12
I.1.2 Differential und Integralrechnung• Differentialrechnung
– Allgemeines– Produktregel– Kettenregel– allgemeine Regeln
• Integralrechnung– Allgemeines– partielle Integration– Substitution– allgemeine Regeln
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Differentialrechnung• Die Ableitung einer Variablen f (z.B. T, Temperatur)
nach einer anderen Variablen x (z.B. t, Zeit), df/dx≡f‘ gibt die Änderung von f an, wenn x um eine Einheit fortschreitet.
• Mit gilt für die physikalische Einheit der
Ableitung [f‘]=[f]/[x]
• Regeln:
xfdxdff
x
0lim'
-sinxf'cosxf ; cos'sin
'ln
ln' ; '
lKettenrege '/))'((
elProduktreg '''
lSummenrege '''
ln
xfxfxfxf
aafeafCbxfCxf
gdzdfxgf
fggffg
gfgf
xaxxbb
1
1
14
Integralrechnung (1)• Mit f=f(x) ist das bestimmte Integral von f über x
zwischen a=x1 und b=x2 die Fläche die von f(x) und der f=0-Linie zwischen a und b eingeschlossen wird. Dabei zählen Flächenanteile unterhalb f=0 als negativ.
• Die Stammfunktion F(x) von f(x) ist eine Umkehrung der Ableitung, und es gilt
ii
ii
ii
b
ax
Δxxxxx
xxxxfdxxfi
Intervall im von Wertein und und zwischen
in Intervalle alle mit )(lim)(
2
0
1
CF(x)f(x)dx oder ' mit
)()()()(
fF
xFaFbFdxxfb
a
b
a
15
Integralrechnung (2)• Regeln
sincos ; cossin
)(
onsregelSubstituti )()('))((
nIntegratio partielle ''
lSummenrege )()()()(
Konstanten mit
)(
)(
b
a
b
a
b
a
b
a
xx
bb
xgy
xgy
x
x
xdxxxdxx
Cedxe
Cxbdxx
dyyfdxxgxgf
(x)g(x)dxff(x)g(x)-(x)dxf(x)g
dxxgdxxfdxxgxf
C, DDCxdxCCdx
11
22
11
2
1
16
Übungen zu I.1.2• Bestimme die Ableitung von
• Bestimme die Stammfunktion von von
3
52
2x
CxBexAxf x ,sin)(
)sin(cossinln)( xxxxxf 2
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I.1.3 Meteorologische FelderAlle meteorologischen Variablen haben
– an jedem Punkt der Atmosphäre, gegeben durchx Koordinate in Ostrichtung (Richtungseinheitsvektor )y Koordinate in Nordrichtung (Richtungseinheitsvektor )z Koordinate in der Vertikalen (Richtungseinheitsvektor )
– zu jeder Zeit teinen Wert, also z.B.
i
j
k
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(),,,(
),,,(
tzyxw
tzyxv
tzyxu
tzyxvtzyxv
w
v
u
vv
tzyxTT
ii
x
z
y
ij
k
18
Vektoren - kartesische Koordinaten
werden.verschoben beliebig
daher können und Aufpunktkeinen z.B. also haben Sie
nichts. sonst -Drehsinn) (oder Richtung und Länge haben Vektoren
nachsenKoordinate der Richtung in ktorenEinheitsve
nachsenKoordinate entlang schnitte Achsenab,,
k, j, i
a zyx
, ,
mit
1
0
0
0
1
0
0
0
1
kji
kajaiaa
a
a
a
a zyxi
z
y
x
a
x
z
y
ij
k
19
Kontinuität → Diskretisierung• Die meisten meteorologischen Variablen, ob
Skalar, Vektor, oder Tensor, sind als kontinuierliche Felder zu betrachten. Meist muss man zur Berechnung diese Felder in Zeit und Raum diskretisieren– bedingt durch eine endliche Anzahl von Messungen, oder– zur Erzeugung von numerischen (Computer-)Modellen.
uvp,
T
w
ρ
yz
x x
y
z
t =t0= const
20
Zeitabhängiges dreidimensionales Wind- und Temperaturfeld als Linien:Stromlinien= verbundene Tangenten an Geschwin-digkeitsvektoren
Juni, 2003,11–19:30 UTGebiet 69 x 69 x 3 km3
um Lindenberg
in Farbe:Temperatur in 200 m Höhe
21
Übungen zu I.1.3• Es herrsche ein SSW-Wind mit 20 km/h und einer
leicht aufsteigenden Komponente von 1 cm/s. Schreibe den Windvektor (Richtung ist durch die Verlagerungsrichtung gegeben) in kartesischen Koordinaten im SI System.
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I.1.4 Vektor-Operationen und Ableitungen• Skalar-Produkt• Vektor-Produkt• Nabla-Operator • Divergenz• Rotation• Partielle Ableitung• Individuelle Ableitung
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Vektor-Operationen- Multiplikation mit einem Skalar a -
z
y
x
z
y
x
ii
av
av
av
v
v
v
aavavavva
• Der Vektor bleibt ein Vektor.• Jedes Element des Vektors wird einzeln mit dem Skalar
a multipliziert.• Der Vektor verlängert (oder verkürzt) sich um den
Faktor a.• Konvention: Bei der Multiplikation Skalar – Vektor
benutzen wir (wie bei Skalar – Skalar) keinen Punkt.
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Vektor-Operationen- Skalar-Produkt (a) -
iii
iiiizzyyxx
z
y
x
z
y
x
vfvfvffvfvfv
f
f
f
v
v
v
vffv
• Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar.• Es wird komponentenweise multipliziert, dann addiert.• Summenkonvention (Summation über mehrfach auftauchenden
Indices)• Es ist maximal bei parallelen Vektoren und verschwindet, wenn diese
aufeinander senkrecht stehen.• Konvention: Das Skalarprodukt wird durch einen Multiplikationspunkt
(·) gekennzeichnet. f
v
cosfvfv
25
Vektor-Operationen- Betrag (Länge) eines Vektors und das Skalar-Produkt (b) -
iiiiizyx vvvvvvv
vvvvvvv
222
cos
26
Vektor-Operationen- Vektor-Produkt -
bbaabababa
baba
baba
baba
baba
babakbabajbabai
bbb
aaa
kji
axbba
xyyx
zxxz
yzzy
ijkkj
kjijkkjijk
xyyxxzzxyzzy
zyx
zyx
, sin ,
sonst) azyklisch, (zyklisch, kj,i, wenn1,-1,0)( mit
)()()(
,
• Das Vektor-Produkt zweier Vektoren ist wieder ein Vektor.• Es verschwindet bei parallelen Vektoren und ist maximal, wenn die beiden
Vektoren senkrecht aufeinander stehen.• Mit den Multiplikatoren (hier Reihenfolge beachten) bildet das Produkt zusammen
ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel).• Das Vektorprodukt ist der 0-Vektor, wenn die beiden Vektoren parallel sind.• Konvention: Das Vektor-Produkt oder Kreuz-Produkt wird durch ein x
gekennzeichnet.
27
Die räumliche und zeitliche Ableitung meteorogischer Felder• Die Ableitung meteorologischer Felder nach
Raumkoordinaten oder nach der Zeit ist meist wichtiger als die Felder selbst (z.B. Druckgradient).
• Berechnung (Beispiel für Zeitableitung):
t
T
Δt
ΔTt
T
t
T
dt
dTT
t
0lim
28
Partielle Ableitungen• Da meteorologischen Variablen meist von vier
Koordinaten abhängen (x,y,z,t), muss man bei Ableitungen nach einer speziellen Koordinate spezifizieren, was mit den anderen Koordinaten geschieht.
• Hält man alle anderen Koordinaten bei der Ableitung nach einer speziellen Koordinate konstant, so nennt man dies partielle Ableitung, und schreibt ∂ (sprich „del“):
z
T
dz
dT
y
T
dy
dT
x
T
dx
dT
t
T
dt
dT
consttyxconsttzxconsttzy
constzyx
,,,,,,
,,
, ,
Selbstverständlich lässt sich dies auf beliebige Abhängigkeiten verallgemeinern.
29
BezeichnungenÄnderung des Wertes mit der Zeit an einem festen Ort (z. B. Thermometer in einer Wetterstation)
= lokalzeitliche Ableitung= partielle Ableitung nach der Zeit
Änderung des Wertes mit dem Ort entlang einer Raumkoordinatenrichtung (hier x, z.B. annähernd eine Temperaturmessung mit einem sehr schnellen Flugzeug) zu einer festen Zeit
= lokale (räumliche) Ableitung= partielle Ableitung nach einer
Raumrichtung
t
T
x
T
30
Räumlicher Gradient – Nabla Operator= Zusammenfassung der räumlichen Gradienten in Richtung der Raumkoordinatenachsen.
Der räumliche Gradient hat also drei Komponenten, ist also ein Vektor:
Operator-Nabla mit , T
z
y
x
ii
z
y
x
zT
yT
xT
TT
Der räumliche Gradient weist in Richtung der stärksten Zunahme der Größe. Sein Betrag (Länge des Vektors) ist die Größe der Ableitung in Richtung der stärksten Zunahme.Beachte: Es wird beim Gradient kein Punkt hinter dem Nabla geschrieben. Es ist ähnlich der Multiplikation zwischen Skala und Vektor.
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Räumlicher Gradient – Nabla Operator• Beachte: Nabla ist ein (Vektor-)Operator, d.h.
die Reihenfolge darf hier nicht vertauscht werden!
T i
z
y
x
i
z
y
x
zT
yT
xT
T
T
T
T
TTT
Nabla ist ein (Vektor-)Operator der nach rechts wirkt.Er ergibt nur einen Wert, wenn er links von einem Ausdruck steht. Steht er rechts von einem Ausdruck, so behält er seine Operatorfunktion bei (und „wartet“ auf Anwendung).
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Divergenz eines Vektorfeldes- Skalar-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -
ii
z
y
x
vz
w
y
v
x
u
w
v
u
vdivv
x < 0 > 0 < 0
Die Divergenz quantifiziert das Zusammenströmen (Senke, negativ) und Auseinanderströmen (Quelle, positiv) eines Vektorfeldes.
y t=0
t=t1
33
Beachte die Reihenfolge!
ii
z
y
x
ii
z
y
x
vz
wy
vx
u
w
v
u
v
vz
w
y
v
x
u
w
v
u
vdivv
34
Rotation eines Vektorfeldes- Vektor-Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektor -
kjijkzyx
z
y
x
v
y
u
x
vx
w
z
uz
v
y
w
wvu
kji
w
v
u
vrotv
Der Rotationsvektor steht senkrecht auf der Ebene in der sich die Strömung maßgeblich krümmt. Dabei dreht sich die Strömung nach links , wenn man entgegengesetzt zur Richtung des Rotationsvektors schaut.
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Windgeschwindigkeit= Windvektor= Ortsversatz eines Luftvolumens p (parcel) über die Zeit
pro Zeiteinheit= zeitliche Änderung des Ortsvektors eines Luftvolumens
w
v
u
x
z
y
x
dt
dr
dt
rd
t
rvv i
dt
dzdt
dydt
dx
p
p
p
ti
p
p
p
0
lim
)( tr
)(tr
rtrttr )()(
0
36
Änderung von meteorologischen Elementen in bewegten Systemen (a)• Betrachte die Temperaturänderung an einem mit
Geschwindigkeit vF (F=Fahrrad) in Richtung s bewegten Thermometer mit der Zeit, dFT/dt
• dTF/dt hängt intuitiv ab von– der lokalzeitlichen Temperaturänderung ∂T/∂t
– von der Geschwindigkeit des Fahrrades vF und vom räumlichen Gradienten der Temperatur in Fahrtrichtung sF
– beachte die passenden Einheiten!– überprüfe Gültigkeit an einem Beispiel– erweitere auf Geschwindigkeitsvektor für Fahrrad
FF
F
s
Tv
t
T
dt
dT
37
Änderung von meteorologischen Elementen in bewegten Systemen (b)• Das Fahrrad kann sich in alle Richtungen x, y, z bewegen, d.h.
seine Geschwindigkeit ist ein Vektor• Bewegt sich das Fahrrad in x-Richtung, so wird entsprechend
die gemessene Temperatur durch die Änderung der Temperatur in x-Richtung bestimmt, und analog für die anderen RichtungenWir können also anstatt
schreiben:
FF
F
s
Tv
t
T
dt
dT
Tvt
T
T
z
y
x
w
v
u
t
T
z
Ty
Tx
T
w
v
u
t
T
z
Tw
y
Tv
x
Tu
t
T
dt
Td
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
FF
FF
FF
F
38
Individuelle Ableitung DT/Dt
Meteorologische Definition: Ersetze das Fahrrad durch ein Luftvolumen P, das mit dem Wind bewegt wird, also
Tvt
TT
w
v
u
t
T
t
T
Dt
DT
z
y
x
zT
yT
xT
dt
dzdt
dydt
dx
p
p
p
)(
39
Individuelle Ableitung DT/Dt• Alternative Ableitung: Betrachte die Temperatur eines sich
bewegen-den Luftvolumens. Allgemein hängt die Lufttemperatur von der Zeit und vom Ort des Luftpartikels ab, wobei auch der Ort (gegeben durch seine Koordinaten) von der Zeit abhängt. Dann kann man formal nach der Kettenregel ableiten:
dt
rd
r
T
t
T
dt
tzyxdT
dt
trdT
Dt
DT p
p
pppp
),,,(),(
,...
x
T
x
T
dt
dz
z
T
dt
dy
y
T
dt
dx
x
T
t
T
pw
p
pv
p
pu
p
p
Tvt
TT
w
v
u
t
T
t
T
z
y
x
zT
yT
xT
dt
dzdt
dydt
dx
p
p
p
)(
40
Interpretation DT/Dt
Tv
Dt
DT
t
TTv
t
T
Dt
DT)( , )(
term"Advektions"
Änderungichelokalzeitl
Änderungleindividuel
Die Änderung z.B. der Temperatur eines sich mit dem Wind verfrachteten Luftvolumens lässt sich also formal in zwei Anteile aufspalten:
1. die lokalzeitliche Änderung (z.B. Messung eines feststehenden stationären Thermometers)
2. der sogenannte „Advektionsterm“. Der Name wird verständlich, wenn man die rechte Gleichung nimmt (lokalzeitliche Änderung) und annimmt, dass individuelle Luftteilchen ihre Temperatur nicht ändern (DT/Dt=0). Dann beschreibt der Advektionsterm offensichtlich die lokale Änderung, die durch einen Temperaturgradienten, verfrachtet mit dem Wind (Advektion), erzeugt wird.
41
Übungen zu 1.3 bis 1.4 (1)• Ein kartesisches Koordinatensystem sei festgelegt durch die
Konventionen: x-Richtung zeigt nach Osten, y-Richtung zeigt nach Norden, z-Richtung zeigt nach oben. Wie lautet der Windvektor für einen Südostwind mit 10 m/s Geschwindigkeit und einer aufwärtigen Komponente von 1 cm pro Sekunde?
• Ein Luftvolumen sei zur Zeit t0 am Ort (x,y,z)=(1000,500,2) und nach 10 Minuten am Ort (2500,-1000,3). Schätze den Windvektor ab. Wie groß ist der Betrag der Windgeschwindigkeit? Wo wäre das Partikel nach der gleichen Zeit gewesen, wenn der Betrag der Windgeschwindigkeit 1,5 mal so hoch gewesen wäre bei gleicher Windrichtung?
• Berechne allgemein und für (u,v,w)=(10,sinx,0):
vvvv
vvvvvv
vvvv
, , ,
, ,
, ,
222
42
Übungen zu 1.3 bis 1.4 (2)• Skizziere die Felder, bestimme die lokalzeitlichen und die
individuelle Ableitung der Temperatur und die Divergenz und Rotation der Windfelder.
• Der Wind weht konstant aus Westen mit 5 m/s. In der Luft nimmt bei fest gehaltener Zeit von Südwest nach Nordost die Temperatur um 1 K auf 100 km ab. Die Luft selbst wird durch die Sonne und ander Effekte überall um 1 K pro Stunde erwärmt. Welche Änderung der Lufttem-peratur zeigt ein Thermometer an einem festen Ort pro Stunde an?
• Ein Themometer an einem festen Ort misst eine Temperaturerhöhung um 1 K pro Stunde. Der Wind kommt aus Nord mit 10 m/s. Die Sonne erwärmt die Luft mit 2 K pro Stunde. Offensichtlich nimmt also die Lufttemperatur nach Norden ab. Um wieviel Grad pro 100 km nimmt die Temperatur nach Norden ab?
L
yT
L
x
vL
xv
1015288
0
0
210
0
210
10
, und
sin
b) und sin a)
43
I.2 Meteorologische Grundgleichungen• Physikalische Beziehungen zwischen den
wesentlichen meteorologischen Variablen (Druck, Temperatur, Dichte, Feuchte und Wind) in Form von Gleichungen, die an jedem Ort in der Atmosphäre gelten
• Sogenannter „dynamischer Kern“ der numerischen Simulationsmodelle für die Atmosphäre die in der Meteorologie für die Wetter- und Klimavorhersage genutzt werden
• Die Meteorologischen Grundgleichungen setzen sich i.w. aus vier Erhaltungsgesetzen und der Zustandsgleichung für ideale Gase (Gasgleichung) zusammen.
44
I.2.1 Physikalische GrundlagenVier Erhaltungsgesetze
Impulserhaltung (Newtonsche Axiome: Masse x Beschleunigung = Summe der angreifenden Kräfte)
Gesamtmassenerhaltung: Erhöht sich die Dichte an einem Ort, so muss Masse aus der Umgebung dorthin geflossen sein.
Wassermassenerhaltung: Analog zu 2., jedoch eingeschränkt auf Wasserdampf. Außer zum Ausgleich durch Massenfluss kann es auch zu Phasenumwandlungen kommen
Wärmeenergieerhaltung: Eine Temperaturänderung wird hervorgerufen durch Druckabnahme, Strahlungsumwandlungen und/oder Phasenänderungen des Wasserdampf (Kondensationswärme)
45
Meteorologische Grundgleichungen- 5 (7) Primitive Equations -• 1-3 Bewegungsgleichung (Navier-Stokes Gleichung)• -> Wind (Vektor!=3
Gleichungen)• 4 Kontinuitätsgleichung• -> Luftdichte• 5 Erster Hauptsatz der Wärmelehre• -> Lufttemperatur• 6 Haushaltsgleichung des Wasserdampfes• -> Luftfeuchte, Wolken• 7 Zustandsgleichung der Luft• -> Luftdruck
46
Überblick - Grundgleichungen
zFr
yFr
xFr
fugz
pwv
t
w
dt
dw
fuy
pvv
t
v
dt
dv
fwvx
puv
t
u
dt
du
,
,
,
cos21
)( .3
sin21
)( .2
)cossin(21
)( .1
vvtdt
d
)( 4.
Wvvtdt
dww
ww )( 5.
11
)( 6.
Hcdt
dp
cTv
t
T
dt
dT
pp
TRp L 7.
6 prognostische, nicht-lineare,gekoppelte Diff‘gleichungen
1 diagnostische Gleichung
47
Lösung des Gleichungssystems• Die Grundgleichungen bilden einen Satz von meist
nicht-linearen gekoppelten Differentialgleichungen• Notwendig zur Lösung sind:
– zu einem Zeitpunkt (Anfangswerte) die Kenntnis aller 7 meteorologischen Parameter an jedem Ort im Vorhersagegebiet
– zu jedem Zeitpunkt die Werte der meteorologischen Parameter an allen Rändern des Vorhersagegebietes (auch oben und unten)
• Dann ist eine Vorhersage in die Zukunft möglich (→ Wetter- und Klimavorhersage)
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I.2.2 Skalenbetrachtungsweise• Grundüberlegungen• Beispiele • Skalendiagramm
49
Grundüberlegungen• Als Skalen bezeichnet man Längen- (L) und Zeitintervalle (T).• Die meisten meteorologischen Phänomene haben für sie ganz typische
Längen- und Zeitskalen im Sinne von Größenordnung (z.B. Wolken, Hurrikane, Zyklonen).
• Beobachtung in der Atmosphäre: Je größer die Längenskala L eines Phänomens, desto größer i.a. die dazugehörige Zeitskala T; also mit L nimmt T zu.
• Die Analyse der Grundgleichungen nach den Skalen von bestimmten Phänomenen wie z. B. einem Tiefdrucksystem (Skalenanalyse = Vergleich der Größenordnung von Termen) isoliert die jeweils dominanten Terme und führt so zu vereinfachten Gleichungen.
• Beispiele, ableitbar aus Bewegungsgleichungen: Geostrophischer Wind: Der Wind in den mittleren Breiten weht
meist parallel zu den Isobaren mit dem tiefen Druck links liegend (auf NH).
Statische Grundgleichung: Die Druckabnahme nach oben ist proportional zum Produkt aus Luftdichte und Schwerebeschleunigung
50
Beispiele• Turbulenz• Staubteufel• Cumuluswolken• Schwerewellen• Tornados• Cumulus congestus• Gewitter• Meso-Zyklone• Tropische Zyklone (Hurrikan, Taifun)• Zyklone der mittleren Beiten• Rossby-Wellen
51
Turbulenz
Lokale Messung
Flugzeugmessung
52
Schwerewellen
53
Staubteufel u.l., Trombe u.r. und Tornado (Großtrombe) o.r.
54
Cumulus congestus
55
Tropische Zyklone
56
Zyklone und Meso-Zykloneim Mittelmeer
57
Rossby-Wellen (Strömung in ca 5 km Höhe)
58
Skalendiagramm
Logarithmische Achsen:
U=L/T → T=L/Ulog T = log L-log ULinien konstanter charakteristischer Geschwindigkeit U sind Geraden mit Steigung 1.
B=U/T=L/T²→T=(L/B)1/2
Log T =1/2 log L - 1/2 log BLinien konstanter Beschleunigung B sind Geraden mit Steigung ½.
1 m/s
10 m/s