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Einführung in die Meteorologie
- Teil II: Meteorologische Elemente -
Clemens Simmer
Meteorologisches InstitutRheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn
Sommersemester 2006Wintersemester 2006/2007
II Meteorologische Elemente
II.1 Luftdruck und Luftdichte
II.2 Windgeschwindigkeit
II.3 Temperatur
II.4 Feuchte
II.5 Strahlung
II.3 Temperatur1. Thermodynamische Systeme
• thermodynamische Systeme
• 0-ter Hauptsatz der Thermodynamik
• Zustandsgrößen, Arbeit
2. 1. und 2. Hauptsatz der Thermodynamik
• Carnot-Kreislauf
3. Potentiale und spezifische Wärme
4. Messskalen
5. Vertikalbewegungen• Potentielle Temperatur
6. Fluss fühlbarer Wärme
7. Temperaturmessung
II.3.1 Thermodynamische Systeme
Thermodynamische Zustandsgrößen beschreiben ein thermodynamisches System z.B. p, T, V, n, innere Energie, …i.a. nicht unabhängig (siehe Gasgleichung)
Gleichgewichtszustand p(t)=const, T(t)=const, …alle Zustandsgrößen sind zeitlich konstant
Teilgleichgewichtszustand z.B. T(t)=const ↔ thermisches Gleichgewicht
Bei einem Luftvolumen interessiert uns meteorologisch nicht das einzelne Molekül und dessen Position und Bewegungszustand. Wir interessieren uns nur für deren relevante statistische Eigenschaften und die gegenseitigen Abhängigkeiten dieser statistischen Eigenschaften.Dies ist der Ansatz der statistischen Physik: Hier betrachten wird das Luftvolumen als ein sogenanntes thermodynamisches System.
Was ist Temperatur?
• Thermodynamik – Makro-Sicht, Masse+Volumen– Temperatur ist eine Zustandsgröße der Luft
• die den Wärmeenergieinhalt (innere Energie) beschreibt,• die wichtig ist für die Richtung des Wärmetransports
• Statistische Physik – Mikro-Sicht, Moleküle– Temperatur ist proportional zur mittleren kinetischen
Energie der Moleküle (~v²)– Zeigt die Grenzen der Thermodynamik auf (Temperatur
verliert ihren Sinn, wenn einzelne Moleküle betrachtet werden
0-ter Hauptsatz der Thermodynamik
Die Temperatur kennzeichnet den Wärmezustand eines thermodynamischen Systems. Sind zwei Systeme miteinander in Kontakt, so ändert sich ihre Temperatur nur dann nicht, wenn diese gleich sind.
Temperatur ist eine Zustandsgröße eines thermodynamischen Systems
Im thermodynamischen Gleichgewicht ändert sich die Temperatur nicht
Zustandsgrößen (a)
Es sei der thermodynamische Zustand durch k Zustandsgrößen eindeutig bestimmt. Eine weitere Größe T ist dann ebenfalls eine Zustandsgröße, wenn gilt:
0
Wegnemgeschlosse
entlang
dTT
d.h. wenn bei einem beliebigen geschlossenen Weg des Systems im durch die k Zustandsgrößen aufgespannten Zustandsraum T wieder den gleichen Wert annimmt, oder wenn T eindeutig über die k Zustandsgrößen definiert ist.
p
V
T(p,V)
Beispiel ideales Gas (k=2): T = T(p,V) = pV/(nR*)
Zustandsgrößen (b)
Alternativ ist die Feststellung, dass T genau dann eine Zustandsgröße ist, wenn sie sich als totales Differenzial von Zustandsgrößen darstellen lässt, die ein thermodynamisches System vollständig beschreiben.
Beispiel: T = f(p,V)
sdT
dV
dp
V
Tp
T
dVV
Tdp
p
TdT
→
d s
p
V
dV
dp
Achtung: Hier bezeichnen wir mit d nicht die Änderung eines mit dem Wind bewegten Volumens – eine Inkonsistenz im Bezeichnungssystem in der Meteorologie, leider. Auch der Nabla-Operator ist hier anders zu verstehen. Die Raumkoordinaten des Partikels sind ausgetauscht durch andere – allgemeinere – Koordinaten, die den Zustand eines Systems beschreiben.
(Ausdehnungs)Arbeit eines Gases
Dehnt sich ein Luftvolumen aus und verschiebt dabei angrenzende Luftvolumina gegen den dort herrschenden Druck,
so leistet die Luft Arbeit an der Umgebung.
V
p ΔV =
→ V + ΔV(Kraft/Fläche) x Volumen = Kraft x Weg = A (Arbeit)
Infinitesimal, d.h. sehr kleine Volumenänderungen (ΔV→0): A→δA=pdV
Achtung: Wir benutzen δA anstatt dA, weil „d“ vollständigen Differentialen, d.h. Zustandsgrößen wie der Temperatur vorbehalten ist
Übung zu II.3.1
?
1
4
4
3
3
2
2
1
A
pdVpdVpdVpdVpdVA
Gases idealen eines
ßeZustandgrö keine
Arbeitdie ist damit , 0
ss"Kreisproze" diesem
inArbeit Gas dasleistet also
0)()( 121122
A
VVpVVpA
2
VV1 V2
p2
p1
p
3
1
4
1. Vollziehe mit unterem Diagramm das geschlossene Linienintegral der Ausdehnungsarbeit eines Gases nach:
2. Schreibe mit Hilfe der Gasgleichung den Druck als vollständiges Differential von T und ρ; also dp=xdT+ydρ (bestimme x und y).
• Ausdehnungsarbeit und Temperatur• 1. Hauptsatz der Thermodynamik• adiabatische Zustandsänderungen• Carnot-Kreisprozess
– Entropie– 2. Hauptsatz der Thermodynamik
II.3.2 Erster und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Quelle der Ausdehnungsarbeit und Auswirkung auf die Temperatur
Bei fester Wand ändern auftreffende Luftmoleküle nur ihre Richtung; ihre kinetische Energie bleibt konstant und damit auch die Temperatur im Volumen.
Bewegt sich die Wand z.B. durch den Druck der Luftmoleküle nach rechts, so haben die reflektierten Luftmoleküle eine geringere kinetische Energie; da die Temperatur proportional zur mittleren kinetischen Energie eines Luftmoleküls ist nimmt die Temperatur im Volumen ab.
Ausdehnung eines Gases gegen einen äußeren Druck führt zur Abnahme der Temperatur des Gases.
Die Temperatur hängt mit der inneren Energie des Gases zusammen. Es gibt also eine Umwandlung zwischen innerer Energie und Ausdehnungsarbeit (→ Erster Hauptsatz der Wärmelehre)
1. Hauptsatz der Thermodynamik
Aa
pdVQTdUpdqTdu
)(oder )(
1. Führt man einem idealen Gas die Wärmemenge ΔQ zu, so kann das Gas diese in (Ausdehnungs-)Arbeit ΔA und innere Energie ΔU umwandeln: ΔQ = ΔA + ΔU
2. Die Ausdehnungsarbeit eines idealen Gases ist gegeben durch ΔA=p ΔV
3. Die innere Energie eines idealen Gases ist nur von der Temperatur abhängig U=U(T)
4. Wir führen spezifische Größen ein, also Q→q=Q/m, A→a=A/m, U→u=U/m mit m Masse
Bezeichnungen
• Eine Zustandsänderung eines thermodynamischen Systems wird als adiabatisch bezeichnet, wenn keine Wärmezu- oder –abfuhr erfolgt, also δQ=0 oder δq=0 .
• Erfolgt die Zustandsänderung ohne diese Einschränkung, so spricht man von diabatischen Zustandsänderungen.
Beispiel Carnot-Kreislauf (a)
pdVQTdU )(
p
V
1
4
3
2
Isothermen (T=const)
Adiabaten (kein Wärmeübergänge)
1
2*12
*
2
1
*2
1
2
1
*12
*
rWärmezufuh0
0
ln)ln(ln
ln
abhängt) nur von (da 0)(
(warm)Expansion isotherme 21
*
V
VTnRVVTnR
VdTnRV
dVTnRQQ
dVV
TnRpdVQ
pdVQ
TUTdU
ww
ww
w
TnRPV
Q
Beispiel Carnot-Kreislauf (b)
pdVQTdU )(
p
V
1
4
3
2
Isothermen (T=const)
Adiabaten (kein Wärmeübergänge)
U
pdV
pdVTdU
Q
V
dU
Energieinneren der Kosten auf
Systems des stungArbeitslei
)(
System) ssenes(abgeschlo 0
) (großesExpansion headiabatisc 32
abnahmeTemperatur0
0
fw
fk
ngGasgleichu
VTVTVdf
TdV
dV
T
dTf
V
dVTnRpdVdTfnR
dTfnRdUTfnRTU
f
n
2
2
2
3
**21
*21*
21
ln2
ln , 2
, )(
Moleküls eine radeFreiheitsg
Gases des Mole
genauer)(später zeilungssatGleichvert :
Einschub
Beispiel Carnot-Kreislauf (c)
pdVQTdU )(
p
V
1
4
3
2
Isothermen (T=const)
Adiabaten (kein Wärmeübergänge)
3
4*
4
3
*4
3
4
3
*34
rWärmeabfuh0
0
ln
ln
abhängt) nur von (da 0)(
(kalt)n Kompressio isotherme 43
V
VTnR
VdTnRV
dVTnRQQ
dVV
nRTpdVQ
pdVQ
TUTdU
k
kk
w
nRTPV
Q
Beispiel Carnot-Kreislauf (d)
pdVQTdU )(
p
V
1
4
3
2
Isothermen (T=const)
Adiabaten (keine Wärmeübergänge)
4
3
1
2
2
2
2
3
2
1
2
4
zunahmeTemperatur0
0
folgt mit zusammen
Energie innereerhöht
System am stungArbeitslei
)(
System) ssenes(abgeschlo 0
) (kleinesn Kompressio headiabatisc 14
V
V
V
V
VTVT
VTVT
U
pdV
pdVTdU
Q
V
fw
fk
fw
fk
dU
Carnot-Kreislauf
pdVQTdU )(
p
V
1
4
3
2
Isothermen (T=const)
Adiabaten (keine Wärmeübergänge)
leistetArbeit eswomit
zugeführt, Wärme
insgesamt wirdSystem dem d.h.
0
ariable Zustandsv da 0)(
Übungalszeigenzu
3412
00
QQQ
AQ
UTdU
:1 Folgerung
Carnot-Kreislauf
pdVQTdU )(
p
V
1
4
3
2
Isothermen (T=const)
Adiabaten (keine Wärmeübergänge) differenzTemperatur diegrößer je
größer umso , 1
1ln
ln1
1
Wärmegestecktehinein
Arbeitgeleistete
neraftmaschider Wärmek adWirkungsgr
4
3
1
2
12
34
12
3412
w
k
w
k
T
T
VVnRT
VVnRT
Q
Q
Q
:2 Folgerung
Carnot-Kreislauf
pdVQTdU )(
p
V
1
4
3
2
Isothermen (T=const)
Adiabaten (keine Wärmeübergänge)
zu.nimmt oder konstant Entropie diebleibt
)0( Systemsenen abgeschlos einemIn
also
0 :gilt Es
cht).Gleichgewi
sthermische:(Annahme ungIdealisier
eineist Kreislauf-Carnotder :Anmerkung
röße Zustandsgeineist
:Entropie Definition
0
aber , 0Q
Entropieder Definition
Übungelirreversibreversibel
Carnot
3412
3412
δQT
QdS
T
Q
ST
QS
T
Q
T
Q
T
Q
irrevreal
kw
:3 Folgerung
Carnot-Kreislauf
pdVQTdU )(
p
V
1
4
3
2
Isothermen (T=const)
Adiabaten (keine Wärmeübergänge) pdTdsTdu )(
:1.HS des ngFormulieru Neue
abgeführt. wieder ng)Ausstrahlu
durch (oben,Druck niedrigemunter
eflüsse),durch WärmBoden (am
zugeführt WärmeDruck wird hohem
Unter:tmaschine Wärmekrafeine
rt wiefunktionie Atmosphäre Die
werden.umgesetzt Arbeit
in ständignicht vollkann Wärme
:ikThemodynamder Hauptsatz 2.
:6 Folgerung
:5 Folgerung
:4 Folgerung
Übungen zu II.3.21. Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf (Folgerung
1) insgesamt Wärme zugefügt wird.
2. Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf das Linienintegral über δQ/T bei irreversiblen Prozessen nicht verschwindet (Folgerung 3)
3. Versuche eine qualitative nur schematische Darstellung einer idealisierten Hadley-Zirkulation im p-V-Diagramm. Dabei fließt Luft am Boden von den Hochdruckgebieten der Subtropen zu der tropischen Tiefdruckrinne und erwärmt sich dabei durch Wärmeaufnahme vom Untergrund leicht. Dort steigt sie adiabatisch auf und fließt dann zurück unter leichter Druckabnahme und Temperaturabnahme (durch Abstrahlung in das Weltall) zu den Subtropen, wo sie wieder adiabatisch zum Boden sinkt.
II.3.3 Thermodynamische Potentiale und spezifische Wärme
Relationen mischethermodyna sogenannte 2.
Ableit.part. Definition bzw. Diff. gesvollständi du da , 1.
: werdenabgeleitet nBeziehunge folgende können also Mit
αs
22
sα
s
p
α
T
sα
u
αs
u
α
u
α
up
s
u
s
uT
α)u(s,updαTdsdu
• Bislang hatten wir den Zustand eines thermodynamischen Systems immer im p-V-Diagramm dargestellt (siehe Carnot-Kreisprozess).
• Im p-V- Diagramm können wir über die ideale Gasgleichung die Temperatur T eines idealen Gases eindeutig darstellen (Isothermen im p-V-Diagramm).
• Der 1. Hauptsatz als totales Differential du=Tds-pdα gibt uns eine andere Möglichkeit der 2-dimensionalen Zustandsdarstellung eines thermodynamischen Systems, nämlich die innere Energie im s-α-Raum.
• Eine energetische Zustandsdarstellung (u hat die Einheit einer spezifischen Energie, J/kg) wird bevorzugt, weil dann der Satz der Energieerhaltung unmittelbar anwendbar ist (z.B. Änderungen müssen durch Zu-/Abfuhr anderer Energien bewirkt werden.
• Energetische Zustandsvariable werden auch als thermodynamische Potentiale bezeichnet.
Weitere thermodynamische Potentiale
),(
)()(
Ts-uf der Definition durch durch Ersetze
TffsdTpd
sdTTdspdTdsTsdduTsuddf
Ts
Energie freien
dpsdTdgpTsupTg
pdsdTdfTsuTf
dpTdsdhpupsh
pdTdsdusu
g(T,p)pTs
p
),( :
),( :
),( :
),( :
:insgesamt also , Enthalpie freie
Enthalpiefür wirerhalten Analog
Enthalpie Freie
Energie Freie
Enthalpie
Energie Innere
und
p)h(s,
Die innere Energie ist offensichtlich eine adäquate Beschreibung eines thermodynamischen Systems, wenn man seinen Zustand in Abhängigkeit von der Entropie s und seinem spezifisches Volumen α betrachtet.Oft sind andere Darstellungen zweckmäßig, z.B. im T-α-Raum; dies erhält man durch Anwendung der sog. Legendre-Transformation.
Damit haben wir drei weiter thermodynamische Potentiale, die zur Behandlung thermodynamischer Probleme verwendet werden können.Wenn wir z.B. den Sättigungsdampfdruck des Wasserdampfes, der nur von der Temperatur abhängt behandeln (e*=e*(T)), werden wir die freie Enthapie verwenden.
Spezifische Wärmen c≡ Wärmeenergiezufuhr pro Massen- und Temperatureinheit, [c]=J/(kg K)
i.a. vom Weg, z.B. bei Gasen von Annahmen über p und α abhängig
)( und da
Volumen konstantem bei Wärmeespezifisch
TuuTds-pdαdudT
du
dT
du
dT
Tds
dT
qc
c
v
v
)( und da
Druck konstantem bei Wärmeespezifisch
ThhαdpTdsdhdT
dh
dT
dh
dT
Tds
dT
qc
c
pppp
p
Tch
Tcu
Th
Tu
p
v
0)0(
0)0(Joule-Kelvin-Prozess
T bleibt konstant
Vakuum
Beziehung zwischen cv und cp
RccdpdTc
αdpTdsdhdpdh
dpdTRc
dpRdTdTc
dppddTc
pdduTds
vpp
v
v
v
H.S. 1. wegen
)(
ngGasgleichu mittels )(
J/(kgK)
J/(kgK)
J/(kgK)
287
717
1004
L
v
p
R
c
c
:Luft
Seite) eübernächst (Nachweis
radeFreiheitsg der Anzahl
,
f
fc
c
v
p 415
21
21
Freiheitsgrade
= unabhängige Bewegungsmöglichkeiten eines Teilchens, mit denen es innere Energie speichern kann
Jedes Molekül besitzt drei Translationsfreiheitsgrade entsprechendden drei Raumrichtungen, in die es sich bewegen kann.
Zweiatomige Moleküle besitzen zusätzlich zwei Rotationsfreiheitsgrademit Achsen senkrecht zur Verbindungsachse
Dreiatomige nichtlineare Moleküle besitzen drei Rotationsfreiheitsgrade
Hinzu kommen Vibrationsfreiheitsgrade; einer beim zweiatomigen Molekül, drei bei einem dreiatomigen Molekül. Diese sind aber bei den Atmosphärentemperaturen wenig „aktiviert“.
Da Luft i. W. aus 2-atomigen Molekülen besteht hat sie 5 Freiheitsgrade.
Beweis von fc
c
v
p 21
Konstante-Boltzmann 1038061mit 21E
Moleküls eines Energie diebeträgt radFreiheitsg Pro23 J/K,kTk -
BB
:zeilungssatGleichvert
2121
, 2
Molmasse mit / , 2
/ , 2
ZahlcheLoschmidts Lmit / , 22
folgtDann
*
**
*
*
*
fc
cfM
R
MRccM
RfdT
duc
MkgJdTMRfdude
MolJdTRfdE
MolekülJTLRfTkfE
v
p
vpv
mol
B
Übungen zu II.3.3
1. Leite die Formulierungen des 1. Hauptsatzes für Enthalpie und freie Enthalpie ab.
2. Bestimme cp und cv für Luft unter der Annahme, dass diese nur aus Wasserdampf besteht.
II.3.4 Definition der Temperatur und ihrer Maßskalen
• 0-ter Hauptsatz• Gasthermometer (über Gasgleichung)• Gaskinetische Deutung• 2. Hauptsatz der Thermodynamik• Empirische Temperaturskalen (Celsius, Kelvin etc.)
0-ter Hauptsatz
Temperatur ist eine Zustandsgröße.+
Im thermischen Gleichgewicht haben alle Körper die gleiche Temperatur.
Damit kann die Temperaturmessung erfolgen, in dem man einen Probekörper, dessen Temperatur man irgendwie messen kann, in den zu messenden Körper, z.B. die Luft, einbringen und so lange wartet, bis sich die Temperatur nicht mehr ändert.
TK
TP
Prinzip des Gasthermometers
p
p
T
T
pTnR
pTnR
V
VTnRpV
T,Vpp,V,T
0
0
0
0*
*
0, und constnmit Zustände2
* :ngGasgleichu
000
00
0 i)
V
VTT
constpp
00
0 ii)
p
pTT
constVV
T=T0T0 → T0+ΔT
→ Rechten Schenkel senken bis beide Flüssigkeitsspiegel auf gleicher Ebene sind. Dann ist Innendruck gleich dem äußerem Luftdruck. Dann kann die Volumenänderung (V) bestimmt werden und damit T.
→ Rechten Schenkel heben bis linker Flüssigkeitsspiegel wieder auf ursprünglicher Höhe ist. Dann ist V=V0. Dann kann die Druckänderung (p) über die Höhe der Säule bestimmt werden und damit T.
Gaskinetische Deutung der Temperatur
00 , Moleküle
der Energie kinetische mittlere 2
3
22
vT
Tkvm
E Bkin
2. Hauptsatz – Carnot-Kreisprozess
e.Wärmeflüss
der Bestimmungdurch Temperaturder Messung eunabhängig-Stoff
ssKreisproze mreversible beim 2
1
2
1
2
2
1
1
T
T
q
q
T
q
T
q
Empirische Temperaturskalen
RCRC
FC
CFC,-F
K,C
80100 , 00 :SkalaReaumur
3295C , 325
9F
Menschen) desperatur (Körpertem 37100 , 78170 :SkalaFahrenheit
152730 :Skala-Celsius
Übungen zu II.3.4
• Um wieviel % seines Volumens dehnt sich ein Luftvolumen aus, wenn es isobar von 0°C auf 27°C erwärmt wird?
• Wie schnell ist im Mittel ein Sauerstoffmolekül, wenn die Lufttemperatur 20°C beträgt?
II.3.5 Temperaturänderung der Luft bei Vertikalbewegungen
• Adiabatische Form des 1. HS der Thermodynamik• Poisson-Gleichung• Potentielle Temperatur• Temperaturprofil in der turbulenten Grenzschicht• Adiabatischer Temperaturgradient• Energiebetrachtung beim Aufsteigen• Potentielle Temperatur und Entropie
ProblemstellungWir betrachten die Temperaturänderung eines Luftvolumens, das wir in
der Atmosphäre (Umgebungu) nach oben oder unten verschieben.Annahmen:1. „trocken“: keine Kondensation von Wasserdampf 2. adiabatisch: keine Wärmeleitung, Strahlungserwärmung oder
Strahlungsabkühlung, oder Diffusion, also δq=03. Instantaner Druckausgleich mit der Umgebung, p=pu
gsarbeit Ausdehnunund
Energie Innerer zwischen ich Ausgle
:Prozesse headiabatisc für HS 1. )( pdTdu
4. Beim Aufsteigen nimmt nach der statischen Grundgleichung dpu=-ρugdz der Druck in der Umgebung (und im Luftvolumen p) ab.
5. Nimmt dabei die Dichte ab (und damit α zu), so leistet das Gas Ausdehnungsarbeit auf Kosten der inneren Energie u: diese (und mit u=cvT auch die Temperatur T) nehmen ab.
Tu(z) aktuellesTemperaturprofil
?dz
dTTT
T
TT
T
z
zunächst: Temperaturänderung mit dem Druck- Poisson-Gleichung -
exp() mit lnln , lnlnlnln
nIntegratio mit lnln ,
trennung Variablenmit
und mit
1
2
1
21212
0
p
p
c
R
T
Tpp
c
RTT
pdRTdcp
dpR
T
dTc
dpp
TRdpdTc
pTRdTcdhdpdhq
p
L
p
L
LpLp
Lp
Lp
hadiabatisc
k
p
L
cR
p
ppTpT
kcR
p
p
T
T p
L
00
1
2
1
2
2860
)()(
,
GleichungPoisson
p
T -pk0
300
1000
TT
-p
1000
500
0 Trocken-Adiabaten
0p
dp
dT
Stüwe-Diagramm
Definition der Potentiellen Temperatur θ
= Temperatur, die ein Luftvolumen annimmt, wenn es adiabatisch auf einen Referenzdruck po (meist 1000 hPa) gebracht wird.
T
-p0
pA
pB
TBTA θA θB
B
A
p0p
Lc
R
p
TpTp
T
pp
0pT
beliebig ,,
uckReferenzdr
bei Temperatur
uckReferenzdr
Gleichung-Poisson in Setze
11
2
02
:Berechnung
Die potentielle Temperatur ist eine Konstante (konservative Größe) bei adiabatischen Bewegungen eines Luftvolumens.
Adiabatischer Temperaturgradientaddz
dT
uuuL
uL
uuuu
p
ppgdzT
Tgdz
TR
p
p
TR
gdzzgpdpgdz
dpdTc
mit wieder
Umgebung mit eichDruckausgl rinstantane
mit
Enthalpie) (mit Bewegung headiabatisc für 1.HS
1
K/100m ,
980
p
puad
c
g
c
g
T
T
dz
dT
T
z
z
Tu
addz
dT
T
zTu
pc
g
T
1uT
T
1uT
T
Temperaturprofil bei Durchmischung
a) Atmosphäre sei in Ruhe. Sie werde vom Boden (bei T0) durch Wärmeleitung etc. angeheizt. Strahlungsprozesse in der Atmosphäre seien vernachlässigbar.
TT0
z
T(z)=T0=constim thermischen Gleichgewicht
TT0
z
Adiabatisches Profil stellt sich ein mit T0 als Temperatur in Bodennähe.
b) Einsetzen von Turbulenz und damit vertikale Durchmischung, die innerhalb der Atmosphäre adiabatisch erfolgen soll.
Energiebetrachtungen beim Aufsteigen
eEnergiepotentiellEnthalpieconst
)(
heReferenzhö als wähle)(
)(
nIntegratio
0
000
00 0
zzgTcc
zzzgTcTc
zzgTTc
gdzdpdTc
pp
pp
p
adp
Beim adiabatischen Aufstieg/Abstieg wird Enthalpie in potentielle Energie umgewandelt und umgekehrt.Aus der 1. Form des 1. HS mit der inneren Energie u folgte, dass bei adiabatischen Bewegungen innere Energie in Ausdehnungsarbeit umgewandelt wird bzw. umgekehrt.cpθ - und damit auch die potentielle Temperatur θ - sind Konstanten (konservative Größen) bei adiabatischen Umlagerungen.
Entropie s und potentielle Temperatur θ
pdRTdcds
dpTT
dTcds
T
q
dpdTcq
Lp
p
p
lnln
1
pdRTdcdc
pRpRTcc
p
pc
RT
p
pT
Lpp
const
LLpp
p
L
cR
p
L
lnlnln
lnlnlnln
lnlnln
0
0
0
lndcds p
dcd
TcTdcTdsq ppp
1~
ln
Wärmezu und –abnahmen sind in etwa proportional zur Änderung der potentiellen Temperatur – und nicht der thermodynamischen Temperatur!!!
Übungen zu II.3.51. Zeige dass bei adiabtischen Zustandsänderungen gilt dT/dp|
p=0 =∞.
2. Ein Teilchen habe bei 500 hPa die Temperatur – 20°C. Welche Temperatur hätte es bei adiabatischer Bewegung auf 1000 hPa?
3. Wie ändert sich in einer isotherm geschichteten Atmosphäre die potentielle Temperatur mit der Höhe?
4. In 800 hPa habe ein Luftvolumen von 1 kg Masse die Temperatur 0°C. Es sinke adiabatisch auf 1000 hPa ab. Dort erhöhe sich danach seine Temperatur isobar um 5 K. Welche Temperatur und welche potentielle Temperatur hat dann das Teilchen? Um wie viel haben sich seine vier massenspezifischen thermodynamischen Potentiale geändert?
II.3.6 Fluss fühlbarer Wärme• Die Atmosphäre wird wesentlich durch ihren Kontakt mit der
Erdoberfläche erwärmt.• Direkt an der Erdoberfläche (wenige mm) geschieht das durch
Wärmediffusion. Diese lässt sich wegen der Inhomogenität des Untergrundes nicht messen.
• Oberhalb dieser sehr dünnen Schicht erfolgt der Wärmetransport i.w. durch Turbulenz; dieser Transport lässt sich, wie im letzten Kapitel diskutiert, durch hochfrequente Messung von Temperatur und Vertikalgeschwindigkeit direkt messen (oder aus dem Temperatur- und Windprofil abschätzen).
• w‘T‘ ist nicht die geeignete Formulierung für den Wärmetransport, da sich T durch adiabatische Druckänderung mit der Höhe verändert, ohne dass Wärme transportiert wird.
• w‘θ‘ ist die geeignete Formulierung, da die potentielle Temperatur eine Konstante bei adiabtischen Abläufen ist.
Wärmehaushaltsgleichung- Vereinfachung durch potentielle Temperatur -
Enthalpie der leichungHaushaltsg
Zeit der mit g Änderun
ement Volumenelim Enthalpie der derung Än
VolumenimSenkenQuellen Volumendas
in Advektion
1.HS
dt
dp
dt
dsTTvc
t
Tc
t
h
dt
dp
dt
dsT
dt
dTc
dt
dh
dpTdsdTcdh
pp
Tvt
T
p
p
Druckterm ohne Senken und Quellen Advektion
mit , ln
)drin! schon dann (Druckterm Temperatur epotentiell durch ungVereinfach
Qu
pp
ppp
dt
dsvc
tc
vtdt
d
dt
ds
dt
dcdsdcdc
Gemittelte Haushaltsgleichung (a)
Wärmefühlbarender leichungHaushaltsg
Quelltermrgemittelte
von Flusses nturbulentedes Divergenz
Strömung mittleredurch Advektion
Temperatur enpotentiell der Änderunglokale
von Mittelung
Quvcvct
c
Quvct
c
pc
ppp
pp
klein! sehr W/m, / x
T : Annahme
)102( eitleitfähigkTemperatur und
))J/(m 0,026( tfähigkeit Wärmelei mit
ungnWärmeleitmolekulare der Divergenz
flüsseStrahlungs der Divergenz
Reibung innere durch Volumensdes Erwärmung )
2
5-
2
02601
2
mol
p
pmol
mol
HmK
smca
sTacTH
H
Qui
Gemittelte Haushaltsgleichung (b)
Quellterm
rgemittelte
von Flusses nturbulentedes Divergenz
Strömung mittleredurch Advektion
Temperatur enpotentiell der Änderunglokale
Quvcvct
c
pc
ppp
c mit Wärmefühlbarer
Transports nkonvektive des Divergenz zur alproportion
s Windfeldedes reiheitDivergenzf bei (ist Wärmefühlbarer on Advekti )
p θvHH
θvcii
konvkonv
p
e Atmosphärfreien der in
koeffizentDiffusions
rturbulente )(i.a. mit :satzGradientan
Flüssen. igengrößerskal zu analog entwickelt ätzeierungsansParametris
werdendaher messen; zu schwierig i.a. Ist .H
Wärmefühlbarer Flusses nturbulente des Divergenz der )
turb
turbturbmol
pturb
p
p
HHHH
aKKcH
θvc
θvcii
Turbulente Wärmeflüsse und vertikales Temperaturprofil
:
(aufwärts) 0H0
(abwärts) 0 H0
efluss)(kein Wärm 0H0
obennach s Wärmefluszu,nimmt ab,nimmt
untennach s Wärmeflusab,nimmt zu,nimmt
flusskein Wärme rung,Profilände keine
z
z
z
TT
TT
BABA
BABA
BA
zA
B
T,θ
z
T,θ
z
T,θ
z
Übungen zu II.3.6
• Erläutere warum bei der Bestimmung des turbulenten Wärmeflusses (Fluss fühlbarer Wärme) H die potentielle Temperatur und nicht die Lufttemperatur verwendet werden muss.
II.3.7 Temperaturmessung
• Prinzipien:– Temperatur eines Probekörpers im thermischen
Gleichgewicht (direkte Messung)– Strahlungsmessung und Interpretation nach
Planckschem Strahlungsgesetz (Fernerkundung, Satelliten)
– Laufzeitmessung des Schalls (Fernerkundung)• Meteorologisch wichtige Temperaturen:
– Lufttemperatur (→Grundgleichungen)– Bodentemperatur (→Wärmeaustausch mit Untergrund)– Temperatur unter besonderen Bedingungen)
• Feuchtes Thermometer→Luftfeuchte• Thermometer unter Sonnenbestrahlung→Sonnenstrahlung)• Thermometer über kochendem Wasser→Luftdruck)• Temperatur eines beheizten Drahtes→Windstärke)
Direkte Messmethodeni) Flüssigkeitsthermometer:Prinzip: Ausdehnung von Flüssigkeiten bei Temperaturänderungen)
Quecksilber (Hg) 96% Alkohol
Schmelzpkt, °C -38,8 -117
Siedepkt., °C +359,7 +78
ii) Bimetallthermometer:Prinzip: Unterschiedliche Ausdehnung zweier längs verlöteter Metallstäbe
iii) Thermoelement:Prinzip: Verlöten zweier Metalle
mit unterschiedlichen Austrittsarbeiten für Elektronen
1 + - 2kleine großeAustrittsarbeit
-
Tk Tw
- + + + - -
-
iv) Widerstandsthermometer:Prinzip: Widerstand R von
Metallen und Halbleitern hängt von der Temperatur ab.
T
b
eRR
RR
0
0 1
:Halbleiter
)(:Metalle R
TR
T
Flüssigkeitsthermometer
• …sind (noch) meist verwendet in der Meteorologie
• … benötigen wir jetzt um tieferen Verständnis der Temperaturmessung die Wärmehaushalts- und Oberflächenernergiebilanzgleichung
• …daraus folgt die Notwendigkeit der Belüftung eines Thermometers.
• …und die Bauart des Thermometers bestimmt die Trägheit (Ansprechzeit).
• Alles gilt auch für die meisten anderen thermometerarten.
Flüssigkeitsthermometer (1)
Aufbau:
Schaft emausgezogen dünn sehr mit
tsbehälterFlüssigkei großer
bei Volumensdesnur
)(
in Temperatur mit
))(()( :Volumen
KT
KHg
C
CVV
w
w
501001
1018
10
15
tFlüssigkei der zität Wärmekapaespezifischc
tFlüssigkei der Masse m
tFlüssigkei der Energie innere U
/, sdichte Wärmeflusdurch
Oberfläche über rteWärmeab/zugefüh
WJ/s , dt
dU
ungaltsgleichWärmehaush
2mWSS
FFSdt
dTcm K
TK
abLuft zu
rThermomete-DifferenzT
von nuri.w. hängt
aturLufttemper an gAngleichun schnelle damit
groß, möglichst
rnThermometehenempfindlic bei
groß klein
alsoklein
möglichst
F
mc
:rsThermomete des Trägheit
Sdt
dT
LT
K
Fm, c
Flüssigkeitsthermometer (2)
TK
eraturSchafttemp T und
izientgangskoeff Wärmeüber mit
Schaft dem aus eleitung Wärm
Wand)(z.B. emperaturUmgebungst T und
ahlübergangszStrahlungs mit
bilanzStrahlungs elangwellig )
eflussdichtStrahlungs ekurzwellig eeinfallendK und
nsvermögen Absorptioeskurzwellig mit
bilanzStrahlungs ekurzwellig
izientgangskoeff Wärmeüber mit
Umgebung die an Wärmefühlbarer Fluss rturbulente
S
W
S
K
L
KS
KWS
K
KLL
ii
K
TTβ
T(Tα
K
TT
SSdt
dT
F
mc
4
1 TL
TK
K
(1-εK)K
TK
TW
TS
TK
01
0
KSKWSKL
LK
K
TTβT(TαKTT
dt
dT
)
d.h tät,Stationari
:AnnahmeD.h. ist Tk konstant, so ist Tk nicht unbedingt die Lufttemperatur Tl , die ich messen will.
Flüssigkeitsthermometer (3)
: werdengetroffen Maßnahmen folgende können
erreichen, zu 0 )
also an), aturLufttemper zeigt er(Thermomet Um
KSKWSKL
LK
LK
TTβT(TαKTT
TT
1
sein. dünn möglichst und n)einbeziehe Belüftung in (mit
werdengehalten aturLufttemper auf möglichst ebenfalls sollte Schaft Der 3)
werdengehalten aturLufttemper auf sollte (Hütte) Umgebung die und
schutzStrahlungs durch werdenreduziert können termeStrahlungs Die 2)
werdengehalten klein möglichst und/oder
werdenbelüftet rThermomete das sollte
rsThermomete des rDurchmesse d
eitschwindigk Anströmgev , Mit
sein groß möglichst muss )
L
L
d
v3
1
Flüssigkeitsthermometer (4)- Zeitverhalten des idealen Thermometers -
eitTrägheitsz mit
ausSchafts Wärmefluskein
Strahlung, keine LKLKLL
K
F
mcTTTT
mc
FS
mc
F
dt
dT
1
1
abgesunken Drittel ein auf differenzTemperatur
cheursprüngli die ist von Zeitdauer einer nach also
/, Bei
exp ln
ln
:const)T (Annahme nIntegratio
Zeit zurDifferenz
,
Zeit zurDifferenz
,
t
t
L
0
313680
1
1
10
0
00
0
0
0
eett
eTTTT
ttTT
TT
dtTTdTT
dT
tt
tt
tT
LK
tT
LK
LK
LK
LKLK
K
t
TK
TL
t0
LK TT 0,368,0
Übung: Bestimme die Reduktion in % von TK,0-TL nach einer Zeitperiode von 2, 4 und 6τ
Übungen zu II.3.7
Bestimme die Reduktion in % der Anfangsdifferenz zwischen Thermometeranzeige und Lufttemperatur Tk,0-TL nach einer Zeitperiode des zwei-, vier- und sechsfachen der Trägkeitszeit des Thermometers. Wie lange dauert es , bis man bei einem Thermometer mit Trägheitszeit 3 s bei einer Anfangsdifferenz von 10 K die Lufttemperatur mit einer Genauigkeit von 0,1 K bestimmen kann?