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Cálculo científico y técnico conHP49g/49g+/48gII/50g

Módulo 1: Funcionamiento básicoTema 1.4 Listas

Francisco PalaciosEscuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa

Universidad Politécnica de CatalunyaDep. Matemática Aplicada III

Febrero 2008, versión 1.4.

Contenido

1. Listas: construcción directa

2. Funciones sobre listas

3. Visualizar los elementos de una lista

4. Construcción de listas desde la pila

5. Destrucción de listas

6. Operaciones aritméticas con listas

7. Algunos comandos para listas: ΣLIST, SIZE

8. Funciones sobre listas

9. Comando MAP

10. Ejemplos finales

1

Índice General

1 Listas: construcción directa 1

2 Funciones sobre listas 2

3 Visualizar los elementos de una lista 23.1 Visualización en la línea de edición . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Visualización con VIEW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Construcción de listas desde la pila 4

5 Destrucción de listas 6

6 Aritmética de listas 76.1 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.2 Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.3 Resta y cambio de signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.4 Suma: operador ADD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.5 Concatenación: operador + en listas . . . . . . . . . . . . . . 11

7 Algunos comandos para listas: ΣLIST, SIZE 117.1 Comando SIZE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.2 Comando ΣLIST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8 Funciones sobre listas 128.1 Comandos sobre listas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128.2 Funciones de usuario sobre listas. Problemática del operador

+ en listas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

9 Comando MAP 14

10 Ejemplos finales 1510.1 Cálculo de media aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510.2 Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710.3 Estadísticas con datos agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . 1810.4 Aproximación de integrales por trapecio compuesto . . . . . . 2110.5 Aproximación de integrales por Simpson compuesto . . . . . 24

Francisco Palacios Listas. 1

1 Listas: construcción directa

Una lista es un conjunto de objetos entre llaves { } y separados por espacios1

o comas2.

{1, 2, 3}, {12, 345, 212.4, π}, {’X’ 12 DUP 123 ’12/123’}.

Como primer ejemplo, vamos a construir la lista de números

{1 2 34 14}.

• Escribe un par de llaves { } (tecla Á(9,5)), y escribe en su interior losnúmeros separados por espacios.

• Observa que estás en el editor de línea (el cursor de línea está visible),para cargar la lista en la pila, pulsa ENTER.

Actividad 1.1 Construye las listas {1 3 5 7}; {1.23 3.45 5.67}.

Actividad 1.2 Construye las listas {1, 3, 5, 7} y {1.23, 3.45, 5.67} usandocomas como separadores.

• Para incluir expresiones algebraicas dentro de una lista, debes usarcomillas simples.

Actividad 1.3 Construye las listas

{1 ’1/2’ ’X^2’}, {2.34 ’(X− 1)/(X+ 1)’ ’Y+ 1’}.1 [SPC], tecla (10,4).2Tecla Â(10,4).


NOTA La mejor forma de construir listas es usar espacios como separado-res, de hecho, cuando la lista se carga en la pila, los elementos se separanmediante espacios. Nosotros emplearemos comas o espacios, según creamosconveniente.

2 Funciones sobre listas

Las funciones incorporadas de la calculadora operan sobre las listas, calcu-lando las imágenes de cada uno de los elementos. Por ejemplo, si cargamosla lista {1, 2, 3, 4} en la pila y pulsamos [x2], se obtiene {1, 4, 9, 16}.

Actividad 2.1 Calcula el cubo de los 10 primeros números naturales.

Actividad 2.2 Fija la calculadora en modo real exacto (R=). Construye lalista {1, 2, 3, 4}. Pulsa la tecla [SIN]. ¿Qué resultado obtienes?¿Qué pasasi intentas obtener una aproximación decimal con →NUM?

Actividad 2.3 Fija la calculadora en modo real aproximado (R ∼). Cons-truye la lista {1 2 3 4}. Pulsa la tecla [SIN]. ¿Qué resultado obtienes?

3 Visualizar los elementos de una lista

3.1 Visualización en la línea de edición

Para ver bien los elementos de una lista situada en el nivel 1 de la pila, pulsala tecla [H], que activa el editor de línea. Por ejemplo, si tomas la lista {.1,.2, .3, .4, .5, .6, .7} y pulsas la tecla [COS], resulta.

Observa el símbolo de continuación, que indica que la lista no puede mos-trarse completa en pantalla. Si ahora pulsas la tecla [H], se activa el editorde línea


que te permite ver adecuadamente los elementos de la lista, pulsando [H],puedes hacer descender el cursor de línea y ver los elementos no mostrados.Observa que cuando estamos en el editor de línea

• Puedes modificar los elementos de la lista.

• Los valores numéricos se muestran en formato estándar, esto es debidoa que los formatos con un número fijo de decimales, por ejemplo FIX4, sólo afectan a la visualización.

3.2 Visualización con VIEW

También puedes ver los elementos de la lista pulsando3 [TOOL][VIEW].

En este caso se activa un pantalla gráfica.

La marca de continuación indica que el objeto no se puede mostrar completoen la pantalla, entonces puedes usar las teclas de desplazamiento [J][I] paraver la parte oculta del objeto.

Cuando empleas VIEW para ver un objeto3Para acceder al men, pulsa la tecla (2,3).


• No puedes editarlo.

• Los valores decimales se muestran con el número de decimales especi-ficado en el formato numérico, esto es, si el formato numérico es FIX4, los números aproximados aparecerán con 4 decimales.

Actividad 3.1 Fija la calculadora en modo real aproximado (R ∼), y elformato numérico en FIX 3. Construye la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y completala siguiente tabla. Usa VIEW para ver los elementos de la lista.

x 1 2 3 4 5 6 7√x

Actividad 3.2 Fija la calculadora en modo real aproximado (R ∼), el modoangular en radianes y el formato numérico en FIX 5. Construye la lista

{.1, .2, .3, .4, .5, .6, .7, .8, .9, 1.0}

y completa la siguiente tabla

x sinx sin2 x

.1

.2

.3

.4

.5

.6

.7

.8

.9

1.0

4 Construcción de listas desde la pila

Puedes construir la lista {23, 12, 16, 21} como sigue:

• Carga los elementos en la pila.


• Pulsa la tecla [HIST]4 para acceder al editor de pila, observa que apa-rece el cursor de nivel de pila.

• Desplaza el cursor de nivel de pila hasta el nivel 4 pulsando [N].

• Pulsa [NEXT]5 para ver la segunda página del soft-menú de herra-mientas del editor de pila.

• Finalmente, pulsa [F1] para ejecutar el comando →LIST, entonces sedescargan los elementos de la pila y se obtiene la lista.

• Observa que aún estás en el editor de pila (el cursor de nivel de pilaestá visible), debes pulsar ENTER para cargar la lista en la pila.

Actividad 4.1 Completa la tabla siguiente

x 0.15 0.17 0.23 0.42 0.82

1

cos(x2)

4Tecla (4,1)5Tecla (3,3)


Para ello, construye la lista {0.15, 0.17, 0.23, 0.42, 0.82} cargando los núme-ros en la pila y usando el comando →LIST. Fija el formato numérico enFIX 4 y el modo angular en radianes.

5 Destrucción de listas

Si tienes una lista en el Nivel 1 de la pila y ejecutas el comando EVAL

• Se destruye la lista.

• Los elementos de la lista se cargan, ordenadamente, en la pila.

El primer elemento de la lista es el primero en cargarse, por ello, es el quequeda en la posición más alta de la pila; el último elemento de la lista quedaen el NIVEL 1 de la pila. Si colocas la lista {12, 1, 23, ’A’} en el NIVEL 1de la pila,

y pulsas EVAL, se destruye la lista y se obtiene

Actividad 5.1 Completa la siguiente tabla

xj (rad) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Pyj

yj =1

sinxj

en la última casilla coloca el valor

5Xj=1

1

sinxj=

1

sin 0.1+

1

sin 0.2+ · · ·+ 1

sin 0.5.


Para ello, construye la lista {0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5}, usa la tecla [SIN] y[1/x], para calcular los valores yj . Después, rompe la lista con EVAL y sumalos valores yj que están cargados en la pila.Sol.

Pyj = 23.0878.

6 Aritmética de listas

6.1 Producto

La tecla [×] permite calcular dos tipos de productos: producto de númeropor lista y producto de listas.

• Producto de número y lista

α {x1, x2, x3, . . . , xn} = {αx1, αx2, αx3, . . . ,αxn}.

Si realizas el producto de 3 por la lista {1, 2, 4, 5}

se obtiene

• Producto de listas

{x1, x2, · · · , xn} {y1, y2, · · · , yn} = {x1 y1, x2 y2, · · · , xn yn}.

Si multiplicas las listas


se obtiene

En el producto de listas, las listas deben tener el mismo número de elemen-tos. Cuando intentas multiplicar listas con un número distinto de elementosresulta un mensaje error.

Actividad 6.1 Realiza las siguientes operaciones

(a) {1, 2, 3} × {2, 1, 1}, (b) 3× {1, 1, 4}, (c) {1, 2, 1} × 4,

(d) {2, 1, 1} × {1, 2,3}, (e) {1, 2} × {1, 2, 3}.

6.2 Cociente

La tecla [÷] permite realizar 3 tipos de operaciones

• División de número por lista

α÷ {x1, x2, · · · , xn} = {α/x1, α/x2, · · · ,α/xn}.


• División de lista por número

{x1, x2, · · · , xn} ÷ α = {x1/α, x2/α, · · · , xn/α}.

• División de listas

{x1, x2, · · · , xn} ÷ {y1, y2, · · · , yn} = {x1/y1, x2/y2, · · · , xn/yn}.

Así, por ejemplo, si divides el número 3 por la lista {3, 6, 9} obtendrás lalista {1, 1/2, 1/3}, el esquema de pila es el siguiente:

Cociente [÷]Nivel 2 Nivel 1 ⇒ Nivel 13 {3, 6, 9} {1, 1/2, 1/3}

Cuando divides la lista {3, 6, 9} por el número 3, el resultado es {1, 2, 3}.Si divides la lista {3, 6, 9} por la lista {1, 2, 4}, obtendrás {3, 3, 94}. Elesquema de pila es el siguiente:

Cociente [÷]Nivel 2 Nivel 1 ⇒ Nivel 1

{3, 6, 9} {1, 2, 4} {3, 3, 94}

En la división de listas, es preciso que ambas listas tengan el mismo númerode elementos. En caso contrario se produce un error.


(a) {1, 2, 3} ÷ {2, 1, 1}, (b) 3÷ {1, 1, 4}, (c) {1, 2, 1} ÷ 4,

(d) {2, 1, 1} ÷ {1, 2, 3}, (e) {1, 2} ÷ {1, 2, 3}.

6.3 Resta y cambio de signo

La tecla6 [+/−], cambia el signo de todos los elementos de la lista.La tecla [−], permite realizar 3 operaciones.

• Sustracción de número y lista:

α− {x1, x2, · · · , xn} = {α− x1, α− x2, · · · ,α− xn}.

• Sustracción de lista y número

{x1, x2, · · · , xn}− α = {x1 − α, x2 − α, · · · , xn − α}.6Tecla (6,2)


• Sustracción de listas

{x1, · · · , xn}− {y1, · · · , yn} = {x1 − y1, · · · , xn − yn}.

Actividad 6.3 Realiza las siguientes operaciones:

(a) {1, 2, 3}− {2, 1, 1}, (b) 3− {1, 1, 4}, (c) {1, 2, 1}− 4,

(d) {2, 1, 1}− {1, 2, 3}, (e) {1, 2}− {1, 2, 3}.

6.4 Suma: operador ADD

Las sumas de listas se realizan mediante el operador ADD. Para usar el ope-rador ADD, podemos teclearlo directamente mediante el teclado alfabético,o bien, acceder al menú7 [MTH][LIST].El operador ADD permite realizar tres operaciones.

• Sumas de número y lista

α ADD {x1, x2, · · · , xn} = {α+ x1, α+ x2, · · · ,α+ xn}.{x1, x2, · · · , xn} ADD α = {x1 + α, x2 + α, · · · , xn + α}.

• Suma de listas

{x1, · · · , xn} ADD {y1, · · · , yn} = {x1 + y1, · · · , xn + yn}.

Actividad 6.4 Localiza el comando ADD en el menú [MTH][LIST]. Sumalas listas {1, 2, 3} y {0, 1, −1}.

Actividad 6.5 Calcula la suma del número 3 y la lista {3, 2, 7}. Paraello, teclea el comando ADD directamente.


(a) {1, 2, 3} ADD {2, 1, 1}, (b) 3 ADD {1, 1, 4},

(c) {2, 1, 1} ADD {1, 2, 3}, (d) {1, 2} ADD {1, 2, 3}.7Tecla Á(4,4). También puedes obtener el comando ADD en el catálogo de funciones

[CAT] (tecla Â(4,4)).


6.5 Concatenación: operador + en listas

Cuando actúa sobre listas, el operador + agrega ordenadamente los elemen-tos a la lista. Por ejemplo, el resultado de 12+{0.34, 1.23} es {12, 0.34, 1.23};como resultado de la operación, el número 12 se añade como primer elemen-to de la lista. Los siguiente ejemplos aclaran el funcionamiento del operador+ en listas.

• {1, 2, 1}+ {0, ’B’} = {1, 2, 1, 0, ’B’}.

• {1, 2, 1}+ 34 = {1, 2, 1, 34}.

• { }+ 1 = {1}.

Observa que { } es la lista vacía.

Actividad 6.7 Realiza las siguientes operaciones.

(a) {1, 2, 3}+ {2, 1, 1}, (b) 3 + {1, 1, 4},

(c) {2, 1, 1}+ {1, 2, 3}, (d) {1, 2}+ {1, 2, 3},

(e) {1, 4}+ 3, (f) 5 + { }.

7 Algunos comandos para listas: ΣLIST, SIZE

7.1 Comando SIZE

Proporciona el número de elementos de una lista. Podemos teclearlo direc-tamente, o bien, obtenerlo en el menú8 [PRG][LIST][ELEM]. El diagramade pila de SIZE es el siguiente

Comando SIZENivel 1 ⇒ Nivel 1

{x1 x2 · · · xn} n

Actividad 7.1 Localiza el comando SIZE en [PRG][LIST][ELEM]. Aplícaloa la lista {1, 2, 3, 1, 0}.

Actividad 7.2 Aplica el comando SIZE a la lista {2, 1, 2, 1}. Teclea elcomando directamente.

Actividad 7.3 Busca el comando SIZE en el catalogo de comandos [CAT].Aplícalo a la lista {3.21, 2.13, 6.71, 4.21}.

8Tecla Á(4,2). Tambíén está accesible en el catálogo de funciones [CAT].


7.2 Comando ΣLIST

El comando ΣLIST calcula la suma de los elementos de una lista. Puedesobtener el comando ΣLIST en [MTH][LIST]. Por ejemplo, si tomamos lalista {1, 2, 3, 4} y aplicamos el comando ΣLIST, resulta el valor 10.El diagrama de pila de ΣLIST es

Comando ΣLISTNivel 1 ⇒ Nivel 1

{x1, x2, · · · , xn}Xn

j=1xj

Actividad 7.4 Localiza el comando ΣLIST en [MTH][LIST]. Aplícalo a lalista {1, 2, 3, 1, 0}.

Actividad 7.5 Podemos aproximar el valor de la integralZ 1.5

1

1

xdx

mediante la suma de Riemann

S5 =1

10

µ1

1.05+

1

1.15+

1

1.25+

1

1.35+

1

1.45

¶Calcula el valor de S5 siguiendo los siguientes pasos:(1) Construye la lista {1.05, 1.15, 1.25, 1.35, 1.45}. Usa el comando→LIST.(2) Aplica la función f(x) = 1/x sobre la lista usando la tecla [1/x].(3) Calcula la suma con ΣLIST.(4) Divide por 10. (Sol. 0.4052)

Actividad 7.6 Calcula el valor de la integral y compáralo con el obtenidoen el ejercicio anterior. (Sol. Exacta ln 1.5 = 0.405465)

8 Funciones sobre listas

8.1 Comandos sobre listas

Buena parte de los comandos y funciones de la calculadora operan sobrelistas, aplicándose sobre cada uno de sus elementos. Así, para borrar con-juntamente un grupo de variables, puedes construir un lista con los nombresde las variables a borrar y ejecutar el comando PURGE.Las funciones incorporadas de la calculadora: SENO, COSENO, EXP, LN,etc., actúan sobre una lista aplicándose sobre sus elementos. Por ejemplo,si colocas la lista {1, 2, 3, 4} en la pila y pulsas la tecla [

√x], obtendrás {1,√

2,√3, 2}. Para obtener aproximaciones decimales del resultado, debemos

fijar la calculadora en modo aproximado antes de entrar la lista {1, 2, 3, 4}.


8.2 Funciones de usuario sobre listas. Problemática del ope-rador + en listas

Las funciones definidas por el usuario mediante el comando DEFINE (omediante programación directa) también actúan sobre listas, evaluándosesobre cada uno de los elementos.Una función de usuario es un programa del tipo

<< → X ’expresión algebraica’ >>.

Por ejemplo, la función

f(x) =x− 1x2 + 1

se define mediante el programa

<<→ X ’(X—1)/(X^2+1) >>.

Este programa no funcionará correctamente sobre listas pues, cuando ac-tuamos sobre listas, el operador + añade elementos a la lista, en lugar derealizar la suma. Para que la función se aplique correctamente sobre listas,debemos editar el programa y sustituir el operador + por ADD

<<→ X ’(X—1)/(X^2 ADD 1) >>.

Actividad 8.1 Usa el comando DEFINE para definir la función

f(x) =x− 1x2 + 1

.

Calcula f(2.0), f(2.5), f(2.7), f(3.0). Aplica la función a la lista {2, 2.5,2.7, 3.0}. ¿Son correctos los resultados? ¿Qué ha sucedido?

Actividad 8.2 Modifica la función f que has definido en el ejercicio ante-rior para que opere correctamente sobre listas. Aplica la función a la lista{2, 2.5, 2.7, 3.0}. ¿Son correctos los resultados?

Actividad 8.3 Define la función

f(x) =x− 1x2 − 1 .

¿Es necesario modificarla para que opere correctamente sobre listas? Com-pruébalo aplicando la función sobre la lista {1.3, 1.5, 1.7, 1.9}

Actividad 8.4 Define la función

f(x) =2 + sinx

3 + cosx.

Modifícala, si es preciso, para que opere correctamente sobre listas. Aplícalasobre la lista {1.3, 1.5, 1.7, 1.9}.


9 Comando MAP

El comando MAP permite aplicar un programa a los elementos de una lista.Puedes obtener el comando MAP en el catalogo de comandos y funciones[CAT], o bien, puedes teclearlo directamente.Un buen ejemplo de la utilidad del comando MAP es la aplicación del co-mando →NUM sobre los elementos de una lista.

• Fija la calculadora en modo real exacto (R=),

• construye la lista {1, 2, 3, 4, 5} y pulsa la tecla [√x]; como resultadoobtendrás la lista {1,

√2,√3, 2,√5}.

• Para obtener una aproximación decimal de los elementos de la lista,puedes intentar ejecutar el comando→NUM (tecla Â(10,5)), pero verásque esto no funciona.

Para aplicar el comando →NUM (o cualquier otro) a los elementos de unalista, puedes proceder como sigue:

• Carga la lista en el nivel 1 de la pila.

• Construye un programa que ejecute el comando, en nuestro caso elprograma es << →NUM >>.

Teclea MAP, la pantalla presentará el siguiente aspecto

Para ejecutar MAP, pulsa ENTER.Como resultado obtendrás


Para ver los elementos de la lista, pulsa la tecla de desplazamiento haciaabajo [H], eso llevará la lista a la línea de edición y podrás ver adecuadamentesus elementos. También puedes usar [TOOL][VIEW].

Actividad 9.1 Fija la calculadora en modo real exacto. Carga la lista{1, 2, 3, 4} en la pila y pulsa la tecla [1/x]. Intenta obtener una evaluacióndecimal de los resultados. Aplica el método expuesto en esta sección, usandoMAP y →NUM para obtener una aproximación decimal del resultado.

Actividad 9.2 Fija el modo angular en radianes. Construye la lista

{sin 1, sin 12, sin

1

3, sin

1

4, sin

1

5}

Calcula una aproximación decimal mediante MAP y →NUM.

10 Ejemplos finales

10.1 Cálculo de media aritmética

La media aritmética de los números {X1, · · · ,XN} es

x̄ =1

N

nXj=1

Xj .

Para calcular la mediar aritmética de la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6}:

1. Carga la lista en el nivel 1 de la pila.

2. Pulsa ENTER para duplicarla.

3. Ejecuta SIZE.


4. Pulsa la tecla de desplazamiento derecho [I] para ejecutar SWAP eintercambiar el contenido del nivel 1 y 2 de la pila.

5. Ejecuta ΣLIST.

6. Pulsa [I] para intercambiar la posición de la suma y el número deelementos.

7. Calcula la división; el resultado es 3.5.

Actividad 10.1 Calcula la media aritmética de la lista

{2, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 7}

(Sol. x̄ = 3. 5625)

Actividad 10.2 Repite la actividad anterior, pero esta vez calcula primerola suma de la lista y después el número de elementos. ¿Es más eficiente esteprocedimiento?

Actividad 10.3 Fija el modo angular en radianes y calcula

v =1

10

10Xk=1

sin2µ1

k

¶(Sol. 0. 12312 5)


10.2 Varianza

La varianza de los números {X1, . . . ,XN}, se define como

s2 =1

N

nXj=1

(Xj − x̄)2 ,

donde x̄ es la media aritmética. La raíz cuadrada de la varianza se denominadesviación típica, se representa por s

s =

vuut 1

N

nXj=1

(Xj − x̄)2.

Para calcular la desviación típica de {1, 2, 3, 4, 5, 6}

1. Carga la lista en la pila y pulsa ENTER 2 veces, para obtener 2 copiasde la lista.

2. Calcula la media aritmética, como en la subsección anterior; el resul-tado es x̄ = 3.5, y la pantalla presentará el siguiente aspecto

3. Pulsa [−], para calcular la lista de los elementos Xj − x̄.

4. Pulsa [x2], para calcular la lista de los elementos (Xj − x̄)2.

5. Ejecuta ΣLIST para calcular la sumaPnj=1(Xj − x̄)2.

6. Entra manualmente el número de elementos y calcula la divisiónPnj=1(Xj − x̄)2

N.

En este punto, hemos calculado la varianza s2 = 2.916667

7. Si calculas la raíz cuadrada de la varianza, se obtiene la desviacióntípica s = 1.707825.


Actividad 10.4 Calcula la varianza y la desviación típica de la lista

{2, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 7}

entrando manualmente el número de elementos N = 16

Actividad 10.5 Calcula la varianza y la desviación típica de la lista

{2, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 7}

sin entrar manualmente el número de elementos. (s2 = 4. 24609)

Actividad 10.6 Guarda la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} en la variable Xy usa esta variable para calcular la varianza y la desviación típica de la lista.

Actividad 10.7 Puede demostrarse que la varianza también puede calcu-larse mediante la fórmula

s2 =1

N

nXj=1

X2j − (x̄)2 .

Esto es, calculamos la media aritmética de los cuadrados de los datos y,luego, le restamos el cuadrado de x̄. Para la lista

{2, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 7},

calcula el promedio de cuadrados

1

N

nXj=1

X2j ,

y después la varianza. Compara el resultado con el obtenido en la Activi-dad 10.4.

10.3 Estadísticas con datos agrupados

Amenudo se trabaja con variables que sólo pueden tomar un reducido núme-ro de valores. Por ejemplo, el número de averías que sufre una máquina enel período de una semana. Supongamos que hemos controlado una deter-minada máquina a lo largo de 20 semanas y hemos obtenido los siguientesnúmeros de averías.

{1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 4, 0, 1, 5, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1}


En este caso es apropiado resumir los datos en una tabla que contenga losdistintos resultados que toma la variable (xj), y el número de veces que cadaresultado aparece en la muestra (frecuencia absoluta) .

xj Nj fj

0 4 0. 20

1 6 0.30

2 6 0.30

3 1 0.05

4 2 0.10

5 1 0.05P20 1.00

Para cada uno de los valores distintos xj , representamos porNj su frecuenciaabsoluta; la frecuencia relativa es fj = Nj/N.

Nota. Es importante no confundir los valores originales (Xj) o “datosbrutos” con los valores distintos (xj). En nuestro ejemplo tenemos 20 valoresoriginales, mientras que sólo hay 6 valores distintos. N representa el númerototal de valores; n es el número de valores distintos.

Usando datos agrupados tenemos las siguientes fórmulas:

• Media aritméticax̄ =

nXj=1

xjfj .

• Varianzas2 =

nXj=1

(xj − x̄)2 fj .

La varianza también se puede calcular con la fórmula abreviada

s2 =nXj=1

x2j fj − (x̄)2.

Para calcular la media aritmética y la varianza de la tabla

xj Nj fj

0 4 0. 20

1 6 0.30

2 6 0.30

3 1 0.05

4 2 0.10

5 1 0.05P20 1.00

puedes proceder como sigue:


1. Crea una la lista con los valores distintos

{0, 1, 2, 3, 4, 5}

y la guardas con el nombre X.

2. Crea una lista con las frecuencias absolutas

{4, 6, 6, 1, 2, 1}.

Duplica la lista y aplica ΣLIST, se obtiene el número total de datosbrutos N = 20.

3. Divide la lista de frecuencias absolutas {4, 6, 6, 1, 2, 1} por 20, resultala lista de frecuencias relativas

{0.2, 0.3, 0.3, 0.05, 0.1, 0.05}

guárdala con el nombre F.

4. Para obtener x̄, multiplica las listas X y F y suma los elementos de lalista resultante. La secuencia de comandos es:

X F * ΣLIST

El resultado es x̄ = 1.7, guarda el valor de x̄ en la variable M .

5. Para obtener s2

• resta x̄ a la lista X,• eleva al cuadrado,• multiplica por la lista de frecuencias relativas F• suma los elementos de la lista resultante. La secuencia de coman-dos es:

X M — SQ F * ΣLIST

El resultado es s2 = 1.91; la desviación típica es s = 1.38203.

Actividad 10.8 Calcula la media aritmética, varianza y desviación típicade la lista {1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 4, 0, 1, 5, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1} tal como se ha hechoen la sección anterior, esto es, sin agrupar los datos. Compara los resultadoscon los que se obtienen en el ejemplo.

Actividad 10.9 Calcula la media aritmética, varianza y desviación típicade la lista {1, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 4, 0, 1, 5, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 1} usando datos agru-pados y la fórmula de cálculo abreviado de la varianza

s2 =nXj=1

x2j fj − (x̄)2.


10.4 Aproximación de integrales por trapecio compuesto

El método del trapecio compuesto permite aproximar el valor de la integraldefinida

I =

Z b

af(x) dx

empleando los valores que toma la función en n + 1 puntos igualmente es-paciados en el intervalo [a, b].

x0 = a,

x1 = a+ h,

x2 = a+ 2h,...

xj = a+ j h,

...

xn = a+ nh = b.

Los puntos xj (puntos de la red o nodos) se obtienen dividiendo el intervalode integración [a, b] en n subintervalos de longitud

h =b− an.

El valor de la aproximación es

ITC =h

2(f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · ·+ 2f(xn−1) + f(xn)) .

Veamos como ejemplo la aproximación del valor de la integralZ 2

1x2 sin(x) dx

por el método de trapecio compuesto con n = 5 subintervalos.

• Calculamos la longitud de subintervalo (step)

h =b− an

=2− 15

= 0.2.

• Determinamos los n+ 1 = 6 puntos de la red

x0 = a = 1,

x1 = a+ h = 1.2,

x2 = a+ 2h = 1.4,

x3 = a+ 3h = 1.6,

x4 = a+ 4h = 1.8,

x5 = a+ 5h = 2.0.


• El valor de la aproximación es

ITC =h

2(f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + 2f(x4) + f(x5))

=0.2

2(f(1.0) + 2f(1.2) + 2f(1.4) + 2f(1.6) + 2f(1.8) + f(2.0))

= 2. 2454.

El valor exacto de la integral redondeado a 5 decimales esZ 2

1x2 sin(x) dx = 2.2462.

Nota Observa que los valores f(xj) se multiplican por 2 en los puntosinteriores de la red, esto es, para x1, x2, . . . , xn−1.

Para calcular la aproximación del ejemplo anterior mediante listas puedesproceder como sigue:

1. Define la función f(x) = x2 sin(x) usando DEFINE.

2. Calcula el valor del step h = (2− 1)/5 = 0.2 y crea la lista de puntosde la red {1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0}.

3. Aplica la función F sobre la lista de puntos de la red; obtendrás lalista de imágenes

4. Crea la lista de coeficientes {1, 2, 2, 2, 2, 1} y la multiplícala por la listade imágenes.

5. Usa ΣLIST para obtener la suma

f(1.0) + 2f(1.2) + 2f(1.4) + 2f(1.6) + 2f(1.8) + f(2.0),

el resultado obtenido es 22.454246.

6. Finalmente multiplica por h y divide por 2, el resultado es 2.245425.


Actividad 10.10 Calcula de forma manual el valor exacto de la integralZ 2

1x2 sin(x) dx

aplicando el método de integración por partes dos veces.

Actividad 10.11 Para calcula el valor exacto de la integral con la calcula-dora

1. Fija el modo real exacto.

2. Escribe la integral en el editor de ecuaciones9 [EQW]

3. Selecciona la expresión

y pulsa EVAL. Pulsa ENTER para cargar el resultado en la pila. Elresultado es

9Encontrarás el símbolo integral en la tecla Â(5,5).


Para ver el resultado completo pulsa [TOOL][VIEW]; las teclas dedesplazamiento [J][I] te permitirán ver toda la expresión. Calcu-la una aproximación decimal del resultado con 8 decimales. (Sol.2.24623910).

Actividad 10.12 Aproxima el valor de la integralZ 2

1x2 sin(x) dx

usando el método del trapecio compuesto con 4, 6 y 10 intervalos. Compara elresultado con el valor obtenido en la actividad anterior. (Aprox. 4 intervalos2.244984. Aprox. 6 intervalos 2.245669. Aprox. 10 intervalos 2.246031.)


1

x2

x4 + 1dx

usando el método del trapecio compuesto con 10 intervalos. Recuerda quepara que la función actúe correctamente sobre listas, debes modificar la de-finición de la función sustituyendo las sumas por ADD. (Valor de la apro-ximación 0.37284; valor exacto con 5 decimales 0.37301.)

10.5 Aproximación de integrales por Simpson compuesto

El método de Simpson compuesto también nos permite aproximar el valorde la integral definida

I =

Z b

af(x) dx.

En este caso el intervalo de integración [a, b] se divide en 2n subintervalosde igual longitud h = (b− a)/2n. Esto origina una red de 2n+ 1 puntos

x0 = a,

x1 = a+ h,

x2 = a+ 2h,...

xj = a+ j h,

...

x2n = a+ (2n+ 1)h = b.

El valor de la aproximación es

ISC =h

3(f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + · · ·+

+2f(x2n−2) + 4f(x2n−1) + f(x2n)),

h =b− a2n

.


Observamos que

• Las imágenes de los puntos de índice impar, f(x1), f(x3), . . . , f(x2n−1)están multiplicadas por el coeficiente 4.

• Las imágenes de los puntos interiores de índice par , f(x2), f(x4), . . . ,f(x2n−2) están multiplicadas por el coeficiente 2.

• Las imágenes de los puntos extremos f(x0) y f(x2n) no tienen coefi-ciente.

Por ejemplo, para aproximar el valor de la integralZ 2

1x2 sin(x) dx

por el método de Simpson compuesto con 2n = 8 subintervalos

• Calculamos la longitud de subintervalo

h =b− a8

=2− 18

= 0.125.

• Determinamos los 2n+ 1 = 9 puntos de la red

x0 = a = 1.000,

x1 = a+ h = 1.125,

x2 = a+ 2h = 1.250,

x3 = a+ 3h = 1.375,

x4 = a+ 4h = 1.500,

x5 = a+ 5h = 1.625,

x6 = a+ 6h = 1.750,

x7 = a+ 7h = 1.875,

x8 = a+ 8h = 2.000.

• El valor de la aproximación es

ITC =h

3(f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) +

+4f(x5) + 2f(x6) + 4f(x7) + f(x8))

=0.125

3(f(1.0) + 4f(1.125) + 2f(1.250) + 4f(1.375) +

+2f(1.500) + 4f(1.625) + 2f(1.750) + 4f(875) + f(2.000))

= 2.246226


El valor exacto de la integral, redondeado a 6 decimales, es 2.246239.Para calcular la aproximación de la integral usando listas, puedes procedercomo sigue.

1. Define la función f(x) = x2 sin(x) usando DEFINE.

2. Calcula el valor de h = (2− 1)/8 = 0.125 y crea la lista de puntos dela red

{1.000, 1.125, 1.250, 1.375, 1.500, 1.625, 1.750, 1.875, 2.000}.

3. Aplica la función F sobre la lista de puntos de la red; obtendrás lalista de imágenes.

4. Crea la lista de coeficientes {1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 1} y la multiplícala porla lista de imágenes, usa ΣLIST para obtener la suma

f(1.000) + 4f(1.125) + 2f(1.250) + 4f(1.375) + 2f(1.500) +

+4f(1.625) + 2f(1.750) + 4f(1.875) + f(2.000),

el resultado obtenido es 53.90943102.

5. Finalmente multiplica por h = 0.125 y divide por 3, el resultado es2.24622629.


1x2 sin(x) dx

usando el método de Simpson compuesto con 4, 6 y 10 intervalos. Comparael resultado obtenido con el valor exacto ¿Qué sucede cuando aumenta elnúmero de intervalos? (Aprox. 4 intervalos 2.246030. Aprox. 6 intervalos2.246198. Aprox. 10 intervalos 2.246234)


1

x2

x4 + 1dx

usando el método del trapecio compuesto con 10 intervalos. (Valor de laaproximación 0.37301126; valor exacto con 8 decimales 0.37301494.)

Actividad 10.16 Calcula el valor exacto de la integralZ 2

1lnxdx


aplicando el método de integración por partes. Calcula el valor aproximadode la integral usando la calculadora. Aproxima el valor de la integral por elmétodo del trapecio compuesto con 10 intervalos. Aproxima el valor de laintegral por el método de Simpson compuesto con 10 intervalos. (Sol. exacta2 ln 2−1 = 0.38629463. Valor aproximación trapecio compuesto 0.38587793.Valor aproximación Simpson compuesto 0.38629340)

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