clasificacion de las ecuaciones difrenciales

8/3/2019 Clasificacion de Las Ecuaciones Difrenciales

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CAPITULO 1

Clasificacion de las ecuaciones diferenciales

Una ecuacion diferencial ordinaria es una relacion en la cual inter-vienen una funcion de una variable y una o varias de sus derivadas. Engeneral, esta funcion es desconocida y se llama incognita. Por ejemplo,

y = x2 (1.0.1)

y + y = 0 (1.0.2)d3y

dt3+

dy

dt= ey

2

+ sen t (1.0.3)

son ecuaciones diferenciales ordinarias.Tenemos, por otro lado, el concepto de ecuacion diferencial parcial

en el cual se relacionan las derivadas parciales de una funcion descono-cida de dos o mas variables independientes. Por ejemplo,

2u

x2+

2u

y2= 0 (1.0.4)

es una ecuacion diferencial parcial.El orden de una ecuacion diferencial es el orden de la derivada mas

alta de la incognita. As, la ecuacion (1.0.1) es de primer orden, (1.0.2)y (1.0.4) son de segundo orden y (1.0.3) es de tercer orden.

Una ecuacion de la forma

a0(x)dny

dxn+ a1(x)

dn1ydxn1

+ + an1(x) dydx

+ an(x)y = b(x)

es una ecuacion diferencial lineal de orden n. Observe que la variabley y sus derivadas no aparecen afectadas mas que por el producto delas funciones ai(x). Por ejemplo, la ecuacion

x d2y

dx2+ y2 = 0

no es lineal porque la variable y aparce elevada al cuadrado.Considere la ecuacion diferencial de orden n dada por la igualdad

F

x,y,dy

dx, . . . ,

dny

dxn

= 0, (1.0.5)

1


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2 1. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

donde n es una funcion de valores reales en n + 2 argumentos. Unafuncion y = f(x) definida en un intervalo I es una solucion de una

ecuacion diferencial (1.0.5) en I si f junto con sus derivadas satisfaceF

x, f(x), f(x), . . . , f (n)(n)

= 0.

Por ejemplo, la funcion y = sen t es un solucion de la ecuacion (1.0.2)porque

d2

dt2(sen t) + sen t = sen t + sen t = 0

En algunas ocasiones, una solucion de una ecuacion diferencial se pre-sentara de manera implcita, es decir, en la forma

g(x, y) = 0. (1.0.6)

La relacion (1.0.6) se llama solucion implcita si de ella se puede obte-ner, despejando y, al menos una solucion explcita y = f(x) de laecuacion diferencial (1.0.5). En otras palabras, si podemos hallar unafuncion y = f(x) tal que g(x, f(x)) = 0 y

F

x, f(x), f(x), . . . , f (n)(n)

= 0 para toda x I.Por ejemplo,

x2 + y2 1 = 0, y = 0, (1.0.7)es una solucion implcita de la ecuacion diferencial

dy

dx

=

x

y

(1.0.8)

porque de ella podemos obtener dos funciones reales f1 y f2 dadas por

f1 =

1 x2 y f2 =

1 x2,donde x (1, 1), y estas funciones son soluciones explcitas de laecuacion (1.0.8). En efecto, mediante una sustitucion se puede verificarque f1 y f2 son soluciones de la ecuacion (1.0.8). Tambien podemosderivar implcitamente (1.0.7) y obtenemos

2x + 2ydy

dx= 0 o bien

dy

dx= x

y.

Por otro lado, observe que derivando implcitamente vemos que larelacion x2 + y2 + 1 = 0 satisface formalmente la ecuacion diferen-cial (1.0.8). Sin embargo, en este caso no se define ninguna solucionexplcita de ella.

Regresemos al ejemplo (1.0.1). Sabemos del calculo que todas lassoluciones de esta ecuacion diferencial estan dadas por

y = 13

x3 + C (1.0.9)


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1. CLASIFICACION DE L AS ECUACIONES DIFE RENCIAL ES 3

donde C es una constante real cualquiera. En este caso decimos que laexpresion (1.0.9) representa la solucion completade la ecuacion (1.0.1).

Esto significa que cualquier solucion a la ecuacion (1.0.1) esta dada por(1.0.9) tomando una buena eleccion de la constante C. A la constanteC se le da el nombre de constante arbitraria o parametro. Por ello, a(1.0.9) se le llama familia parametrica de funciones.

Sera deseable que toda ecuacion diferencial de primer orden tengacomo como conjunto de soluciones a una familia parametrica de fun-ciones, sin embargo, la situacion no es tan sencilla. En efecto, enmuchos casos el conjunto de todas las soluciones sera una familia para-metrica de funciones mas algunas soluciones adicionales y, en algunosotros casos la ecuacion diferencial no tendra solucion alguna.

En este captulo estudiaremos algunos tipos de ecuaciones diferen-

ciales de primer orden para las cuales se puede obtener una soluci onexacta y el objetivo sera desarrollar la habilidad necesaria para recono-cerlas y aplicar el metodo de resolucion correspondiente. Sin embargo,debemos tener presente que as como no siempre existe un metodopara evaluar una integral dada, tambien ocurre que no siempre ex-iste un metodo que se aplique a una ecuacion diferencial dada. Noobstante, siempre que sea posible, nos gustara hallar la solucion com-pleta a una ecuacion dada. Supondremos que nuestra ecuacion es, o sepuede poner, en la forma

dy

dx= f(x, y), (1.0.10)

o bien, en terminos de diferenciales, en la forma

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0.

Un principio general de las matematicas es reducir un problema nuevoa un problema ya resuelto. Esto se logra, casi siempre, simplificando elproblema hasta que toma la forma de uno que ya este resuelto. Por lotanto, es conveniente tener presente el tipo de ecuaciones diferencialesque podemos resolver. Hasta ahora, las unicas ecuaciones diferencialesque podemos resolver tienen la forma

dy

dx= g(x), (1.0.11)

donde g es una funcion integrable. Sabemos del calculo integral que siG es una primitiva o antiderivada de la funcion g, entonces todas lassoluciones de la cuacion diferencial (1.0.11) estan dadas por la familia

y = G(x) + C

donde C es una constante arbitraria.


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En la aplicaciones, en general, no estaremos interesado en todaslas soluciones de una ecuacion diferencial. Mas bien, estaremos bus-

cando una solucion especfica y que en algun punto x0 tenga un valorespecial y0. Entonces queremos determinar una funcion y tal que

dy

dx= f(x, y), y(x0) = y0. (1.0.12)

Nos referiremos a la ecuacion 1.0.12 como un problema con valor inicial.

Ejemplo 1.0.1. Encuentre la solucion del problema con valor ini-cial

dy

dx= x2, y(1) = 4.

Sabemos del calculo que todas las solucines de esta ecuacion diferencial

se encuentran en la familia y =

1

3x3

+ C, donde C es una constantearbitraria. Por lo tanto, sustituyendo x y y por 1 y 4 respectivamente,obtenemos

y(1) = 1313 + C = 4.

De esta ecuacion vemos que C tiene que valer 11/3. Por lo tanto, lasolucion del problema con valor inicial es

y(x) = 13x3 + 113 .

1.1. Separacion de variables


dydx

= g(x)f(y)

donde f y g son funciones continuas de y y x se llama ecuacion de vari-ables separables o bien ecuacion separable. Para resolver esta ecuacionmultiplicamos ambos lados por f(y) y obetnemos

f(y)dy

dx= g(x). (1.1.1)

Por el teorema de sustitucion del calculo, habremos resuelto la ecuacionsi encontramos una antiderivada de f, es decir, una funcion F tal queF = f. En efecto, en este caso la ecuacion (1.1.1) se transforma en

ddx

F(y(x)) = g(x).

En consecuencia

F(y(x)) =

g(x) dx + C, (1.1.2)

donde C es una constante arbitraria. La ecuacion nos da la soluciongeneral de (1.1.1) en forma implcita.


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1.1. SEPARACION DE VARIABLES 5

Ejemplo 1.1.1. Resuelva la ecuacion

x

3

(y

2

1)dy

dx = (x 2)y4

.Esta ecuacion es separable. En efecto, si dividimos entre x3y4, laecuacion nos queda en la forma (1.1.1) (decimos que hemos separadolas variables), es decir, tenemos

y2 1y4

dy

dx=

x 2x3

,

o bien,

(y2 y4) dydx

= x2 2x3.Integrando, obtenemos la familia parametrica de soluciones

y1 + 13y3 = x1 + x2 + C,donde C es una constante arbitraria. Al dividir entre x3y4 hemossupuesto que x = 0 y y = 0. Considere la funcion y 0. Estafuncion no forma parte de la familia parametrica que hemos obtenido,sin embargo, es solucion de la ecuacion diferencial. Vemos que estasolucion se perdio en el proceso de separacion de variables.

Ejemplo 1.1.2. Resuelva el problema de valor inicial dado por

(x2 + 1) cos ydy

dx= x, y(0) = 0.

Primero obtenemos la familia de soluciones de la ecuacion diferencialseparando las variables luego de dividir entre x2 + 1, de donde obten-emos

cos ydy

dx=

x

x2 + 1.

As, cos y

dy

dx=

x

x2 + 1dx + C.

donde C es una constante arbitraria. Entonces, integradno, obtenemos

sen y = 1

2ln(x2 + 1) + C.

Ahora podemos considerar la condicion inicial y(0) = 0

sen 0 = 12

ln(02 + 1) + C.

En consecuencia, C = 0. Por lo tanto la solucion del problema convalor inicial es

sen y = 12 ln(x2 + 1).


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1.1.1. Ecuaciones homogeneas. Algunas ecuaciones diferencia-les se pueden reducir a ecuaciones de variables separables mediante un

cambio de variables. Por ejemplo, una ecuacion de la formady

dx= f(ax + by),

donde a y b son constantes, se pueden reducir a ecuaciones separablesmediante la sustitucion z = ax + by. En efecto,

dz

dx= a + b

dy

dx.

De donde, realizando la sustitucion obtenemos

dz

dx= a + bf(z).

En la ecuacion anterior podemos separar variables dividiendo entrea + bf(z),

dz

a + bf(z)= dx.

Integrando obtenemos

x =

dz

a + bf(z)+ C.


dydx

= x + y.

Haciendo z = x + y tenderemos

dy

dx=

dz

dx 1, y dz

dx 1 = z.

Separando variables e integrando

dz

z + 1= dx

ln(z + 1) = x + C

z = eCex 1.Como eC es una constante, podemos expresar esta ultima ecaucion enla forma z = Cex 1. Ahora, si regresamos a las variables originales,tenemos que la familia de soluciones de nuestra ecuacion diferencial es

y = Cex x 1.


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1.1. SEPARACION DE VARIABLES 7

Decimos que una ecuacion diferencial es homogenea si se pude poneren la forma

dy

dx = gy

x

. (1.1.3)

Este tipo de ecuaciones diferenciales se puden transformar en ecua-ciones de variables separables mediante el cambio de variables y = xv.En efecto,

dy

dx= x

dv

dx+ v.

De donde,

xdv

dx+ v = g(v).

Observe que la ecuacion que hemos obtenido es de variables separables.En efecto, separando las variables e integrando, obtenemos

dv

g(v) v =dx

xy

dv

g(v) v = ln |x| + ln c.De donde, la solucion completa de la ecuacion diferencial es

x = ce

dvg(v)v .

Ejemplo 1.1.4. Resuelva la ecuaciondy

dx=

y

x+ csc x.

De y = xv, obtenemos dydx

= xdvdx

+ v y luego de la sustitucion en laecuacion inicial,

x dvdx

+ v = v + csc v.

Ahora separamos las variables

dv

csc v=

dx

x.

Integrando obtenemos

cos v = ln x + C.Por ultimo, regresamos a las variables originales

cos yx

= ln x + C.

Decimos que una funcion de dos variables F es homogenea de gradon si F(tx,ty) = tnF(x, y). Esto significa que si x y y se sustituyen portx y ty respectivamente en F(x, y), entonces tn se puede factorizar dela expresion F(tx,ty). Por ejemplo, la funcion F(x, y) = x2 + y2 eshomogenea de grado 2 porque

F(tx,ty) = (tx)2 + (ty)2 = t2(x + y) = t2F(x, y).


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Ahora suponga que las funciones M y N de la ecuacion diferencialM(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 son homogeneas de de grado n. Observe

que en este caso tenemos una ecuacion diferencial homogenea. Enefecto,

dy

dx= M(x, y)

N(x, y).

Como M y N son homogeneas de grado n, tenemos

dy

dx= x

nM(1,y/x)

xnN(1,y/x)= M(1,y/x)

N(1,y/x).

Esta ultima ecuacion tiene la forma de la ecuacion 1.1.3.

Ejemplo 1.1.5. Resuelva la ecuacion(x2 2y2) dx + xy dy = 0.

Esta ecuacion es homogenea porque x2 2y2 y xy son homogeneas degrado 2. Luego la escribimos en la forma

dy

dx= x

y+

2y

x.

y si aplicamos el cambio de variables y = vx, tenemos

v + x

dv

dx = 1

v + 2v o bien x

dv

dx = 1

v + v.

Ahora, separamos las variables,

v dv

v2 1 =dx

x,

e integramos

12 ln |v2 1| = ln |x| + C o ln |v2 1| = ln x2 + 2C1.

donde C1 es una constante arbitraria. La constante C se pude sustituirpor ln C, con C > 0, si hacemos 2C1 = ln C. Entonces de esta ultima

ecuacion obtenemos

v2 = Cx2 + 1.

Por ultimo, sustituimos v con y/x y obtenemos la solucion en la forma

y

x

2= Cx2 + 1 o bien y2 = Cx4 + x2.


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PROBLEMAS 9

Problemas

En los problemas 1 al 14, resuelva cada una de las ecuaciones.

1. 4xydx + (x2 + 1) dy = 0 2.dy

dx= 2xy

3. 2x(y2 + 1) dx + (x4 + 1) dy = 0 4. x(y2 + 1) dx + (x2 + 1) dy = 0

5. tan y dx + 2x dy = 0 6.dy

dx=

y + 1

x3

7.dy

dx= (x + 4)(y

2 + 1)

y(x2 + 3x + 2)8. x2y2

dy

dx= 1

9.dy

dx=

2xy + 3y2

2xy + x210. r

dv

dr= v2 + 1

11.dy

dx= ex+y 12.

dy

dx= (cos x)(cos y)

13.du

dv=

sen v

cos u14. y

dy

dt= ey

22t

En los problemas 15 al 20, resuelva cada problema con valor inicial.

15. (1 + cos x)dy

dx= sen x(ey + 1), y(0) = 0

16. csc2 xdy

dx= 8cos y, y(/3) = 0

17. tan y dx cot x dy = 0, y(0) = 018. 4x(y2 + 1)1/2dx y dy = 0, y(0) = 1

19. (2x + 5y) dx + (4x y) dy = 0, y(1) = 420. y

dy

dx=

y2 1x1

, y(2) = 2

En los problemas 21 al 23, resuelva cada una de las ecuaciones.

21. (x y + 2) dx (x + y 1) dy = 022. (1 + x 2y) dx + (4x 3y 6) dy = 023. (2x + 3y + 1) dx (x 2y 1) dy = 024. (x + 2y + 3) dx + (2x + 4y 1) dy = 025. (x + y + 1) dx (2x + 2y 1) dy = 0

26. Pruebe que el metodo con el cual se resuelven los problemas 21 a25 se puede utilizar para reducir una ecuacion de la forma

y = f

a1x + b1y + c1a2x + b2y + c2

en una ecuacion homogenea.


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27. Resuelva la ecuacion

y =1

2a1x + b1y + c1

a2x + b2y + c22

1.2. Ecuaciones diferenciales exactas

Sea F una funcion de dos variables que tiene primeras derivadasparciales continuas en un dominio D. La diferencial total dF de lafuncion F se define como

dF(x, y) =F(x, y)

xdx +

F(x, y)

ydy

para toda (x, y)

D.

La expresionM(x, y) dx + N(x, y) dy (1.2.1)

se llama diferencial exacta en un dominio D si existe una funcion Fde dos variables tal que esta expresion es igual a la diferencial totaldF(x, y) para todo (x, y) D, es decir, si existe F tal que

F(x, y)

x= M(x, y) y

F(x, y)

y= N(x, y)

para todo (x, y) D. Si la expresion M(x, y) dx + N(x, y) dy es unadiferencial exacta, entonces decimos que

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (1.2.2)

es una ecuacion diferencial exacta. Ahora suponga que y es una solucionde la ecuacion (1.2.2), entonces

dF(x, y(x)) = 0.

Por lo tanto,

F(x, y(x)) = C, (1.2.3)

donde C es una constante. Recprocamente, si y(x) es una funcion quesatisface la ecuacion (1.2.3), derivando tendremos dF(x, y(x)) = 0. Por

lo tanto, F(x, y) = C, donde C es una constante arbitraria es la familiade soluciones de la ecuacion (1.2.2).

Como sabemos del calculo diferencial de varias variables, una condi-cion necesaria y suficiente para que (1.2.1) sea una diferencial exactaes

M(x, y)

y=

N(x, y)

x


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1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 11

Si esta condicion se cumple, la ecuacion (1.2.2) se integra facilmente.En efecto,

dF(x, y) = M(x, y) + N(x, y) = F(x, y)x

+ F(x, y)y

.

Por lo tanto,

F(x, y)

x= M(x, y) y

F(x, y)

y= N(x, y).

De donde,

F(x, y) =

M(x, y) dx + (y),

donde (y) es una funcion diferenciable que solo depende de y. Pode-mos determinar (y) derivando con respecto a y la ecuacion anterior eigualando con N(x, y). En efecto,

y

M(x, y) dx

+ (y) = N(x, y).

De esta expresion se determina (y), e integrando hallamos (y).


(2x + y + 1) dx + (x 3y2 + 2) dy = 0. (1.2.4)Primero debemos determinar si esta ecuacion es exacta. En este casoM(x, y) = 2x + y + 1 y N(x, y) = x

3y2 + 2. De donde

M(x, y)

y= 1 y

N(x, y)

x= 1.

Por lo tanto, la ecuacion (1.2.4) es exacta. Ahora debemos hallar F talque

F(x, y)

x= 2x + y + 1 y

F(x, y)

y= x 3y2 + 2.

De la primera igualdad, tenemos

F(x, y) =

M(x, y) dx + (y) =

(2x + y + 1) dx + (y)

= x

2

+ xy + x + (y).Luego entonces

F(x, y)

y= x + (y) = x 3y2 + 2.

Por lo tanto,

(y) = 3y2 + 2.


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As, (y) = y3+2y+C0, donde C0 es una constante. En consecuencia,F(x, y) = x2 + xy + x

y3 + 2y + C0.

De esta ultima ecuacion deducimos que la solucion completa de laecuacion diferencial es

x2 + xy + x y3 + 2y = C.Ejemplo 1.2.2. Encuentre la solucion del problema con valor ini-

cial

(3x2y + 7xy2 + 1) dx + (x3 + 7x2y + 2y2) dy = 0 y(2) = 1.

Primero observe que esta ecuacion es exacta porque

M(x, y)y = 3x2 + 14xy = N(x, y)x .

Ahora debemos hallar F tal que

F(x, y)

x= 3x2y + 7xy2 + 1 y

F(x, y)

y= x3 + 7x2y + 2y2.

De la primera igualdad obtenemos

F(x, y) =

M(x, y) dx + (y) =

(3x2y + 7xy2 + 1) dx + (y)

= x3y + 72

x2y2 + x + (y).

Luego entonces

F(x, y)

y= x3 + 7x2y + (y) = x3 + 7x2y + 2y2.

Por lo tanto,

(y) = 2y2.

As, (y) = 23y3 + C0, donde C0 es una constante. En consecuencia,

F(x, y) = x3y + 72x2y2 + x + 23y

3 + C0.

De esta ultima ecuacion deducimos que la solucion completa de la

ecuacion diferencial es

x3y + 72x2y2 + x + 23y

3 = C.

Por ultimo, aplicamos la condicion inicial y obtenemos que C = 743 .As, la solucion del problema con valor inicial es

x3y + 72x2y2 + x + 23y

3 = 743 .


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1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 13

1.2.1. Factores integrantes. En algunos casos si el primer miem-bro de una ecuacion

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

no es una diferencial total, resulta facil elegir una funcion (x, y) detal manera que el producto

(x, y)M(x, y) dx + (x, y)N(x, y) dy = 0

se convierta en una ecuacion exacta. Esta funcion se llama factorintegrante. Por ejemplo, la ecuacion

y dx + x dy = 0no es exacta. En efecto,

My =1 = Nx = 1.

Sin embargo, cuando se multiplican ambos miembros de la ecuacionpor 1/x2, obtenemos la ecuacion

yx2

dx +1

xdy = 0.

Ahora, esta nueva ecuacion si es exacta:

M

y= 1

x2=

N

x= 1

x2.

Se puede resolver la nueva ecuacion mediante el metodo ya estudiado,y el resultado sera tambien la solucion de original.

Este caso particular es muy especial porque el factor integrante solodenpende de x. Supongamos que tenemos una situacion mas general,es decir, digamos que la ecuacion

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (1.2.5)

no es exacta y que (x, y) es uno de sus factores integrantes. Por lotanto,

y[(x, y)M(x, y)] =

x[(x, y)N(x, y)].

Esta condicion se reduce a

N(x, y)

xM(x, y)

y=

M(x, y)

y N(x, y)

x

. (1.2.6)

Por lo tanto, la funcion es factor integrante de la ecuacion (1.2.5)si y solo si satisface la ecuacion (1.2.6). La ecuacion (1.2.6) es unaecuacion en derivadas parciales y, en general es mas difcil de resolverque la ecuacion original.


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En algunos casos, el factor integrante puede ser una funcion quesolo depende de x, o solo de y. Por ejemplo, si solo denpende de x,

entonces la ecuacion (1.2.6) toma la forma

N(x, y)d

dx=

M(x, y)

y N(x, y)

x

.

Por lo tanto, la ecuacion (1.2.5) tiene un factor integrante que slo den-pende de x si y solo si la expresion

1

N(x, y)

M(x, y)

y N(x, y)

x

solo denpende de la variable x. El factor integrante debe satisfacer laecuacion

1

ddx

= 1N(x, y)

M(x, y)

y N(x, y)

x


(y2e2x + 1) dx + (2ye2x ex) dy = 0.Primero verificamos si la ecuacion es exacta

M

y= 2ye2x

N

x= 4ye2x ex.

Por lo tanto, la ecuacion no es exacta. Por otro lado, la expresion

1N(x, y)

M(x, y)

y N(x, y)

x

=2ye2x + ex2ye2x ex = 1

solo depende de x. De este modo,

1

d

dx= 1,

y el factor de integracion es

ln || = x o bien (x) = ex.La ecuacion exacta que se obtiene es

(y2ex + ex)dx + (2yex 1)dy = 0y la solucion es

y2ex ex y = C.De la misma manera, podemos buscar un factor integrante que solo

denpenda de y. Si razonamos de manera similar al caso de x, vemos


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PROBLEMAS 15

que la ecuacion (1.2.6) tiene un factor integrante que solo depende dey si y solo si la expresion

1M(x, y)

N(x, y)

x M(x, y)

y

solo denpende de la variable y. El factor integrante debe satisfacer laecuacion

1

d

dy=

1

M(x, y)

N(x, y)

x M(x, y)

y

Problemas

En los problemas 1 al 15, determine si la ecuaci on es exacta. Si la ecuaciones exacta, resuelvala.

1. (2x y) dx + (4y x) dy = 0 2. y3

dx + x3

dy = 03. 2xydx + (x2 3y2) dy = 0 4. (x2 + xy) dx + xy dy = 05. 2xydx + (x2 y) dy = 0 6. y(x2 + y2) dy + x(y2 x2) dx = 07. exdx + (ey(y + 1)) dy = 0 8. cos x cos2 dx sen x sen2y dy = 09. (cos x + sen y) dx + (sen x + cos y) dy = 0

10. (exy + x) dx = (exy + y) dy

11. u2t du + (1 + ut2) dt = 0

12. u2t dt + (1 + ut2) du = 0

13.

1 +

ln y

x

dx +

1 +

ln x

y

dy = 0

14. (t + 2x2t3) dt + (xt4 x3) dx = 015. (2ye2x + 2x cos y) dx + (e2x x2 sen y) dy = 0Para cada ecuacion que aparece en los problemas 16 al 25, encuentre unfactor integrante que dependa, siempre que sea posible, de una sola variabley resuelva la ecuacion.

16. (x + 2y2) dx + xydy = 0

17. 2y dx + (x + y) dy = 0

18. 2y dy + (x + y) dx = 0

19. (5y x2) dx + x dy = 020. (x + y xy) dx + x dy = 021. (u + 5t) du + 3u dt = 0

22. (u + 5t) du + 3t dt = 0

23. xy2dx + (1 + x2y + x2y2) dy = 0


16/59


24. (x2 + y2) dx + 2xy ln x dy = 0

25. 2xydx + (yex2

1) dy = 0

Factores integrantes de la forma xmyn. En algunas ocasiones, es posi-ble buscar un factor de la forma xmyn para una ecuacion

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0.

Observe que

y(M xmyn) =

M

yxmyn + M xmnyn1

x(N xmyn) =

N

xxmyn + Nmxm1yn.

Estableciendo la igualdad de las derivadas parciales y simplificando, se ob-tiene la condicionM

y N

x= m

N

x n M

y. (1.2.7)

El problema consiste en determinar cuando es posible hallar valores de m yn, que se satisfagan (1.2.7). Por ejemplo, para la ecuacion

(y2 + 2xy + 3y) dx + (x2 + xy + 2x) dy = 0,

la igualdad (1.2.7) toma la forma

y + 1 = m(x + y + 2) n(y + 2x + 3) = (m 2n)x + (m n)y + (2m 3n).Esto conduce al sistema

m 2n = 0m n = 1

2m 3n = 1.De este sistema, vemos que los valores de m y n deben ser 2 y 1, respectiva-mente. El factor integrante es, como el lector puede verificar, x2y. Observeque los sistemas para m y n obtenidos de este metodo no siempre (de he-cho, casi nunca) tienen solucion. En cuyo caso, la ecuacion no tiene factoresintegrantes de la forma xmyn.

En los problemas 26 al 28, emplee la formula (1.2.7) para encontrar un factor

integrante de la forma xmyn para cada ecuacion. En cada caso, resuelva laecuacion exacta que resulta.

26. (4xy2 + 3y) dx + (3x2y + 2x) dy = 0

27. (xy + y ln y) dx + (xy + x ln x) dy = 0

28. (x2y5 + y3) dx + (x3y4 + x) dy = 0


17/59

1.3. ECUACIONES LINEALES 17

1.3. Ecuaciones lineales

En parrafos anteriores dimos la definicon ecuacion diferencial ordi-naria lineal de orden n. Ahora estudiaremos el caso de n = 1, en elcual la ecuacion se puede escribir en la forma

dy

dx+ P(x)y = Q(x), (1.3.1)

en donde P y Q se consideran funciones continuas en un intervalo Idonde se desea integrar la ecuacion (1.3.1). Si Q(x) 0, la ecuacion(1.3.1) se llama lineal homogenea.

Escribamos la ecuacion (1.3.1) en la forma

[P(x)y Q(x)] dx + dy = 0. (1.3.2)

Es decir, ponemos la ecuacion en terminos de diferenciales dondeM(x, y) = P(x)y Q(x) y N(x, y) = 1.

ComoM(x, y)

y= P(x) y

N(x, y)

x= 0,

La ecuacion (1.3.2) no es exacta a menos que P(x) = 0. Sin embargo,las ecuaciones lineales poseen un factor integrante que solo depende x.En efecto, considere la funcion

(x) = eP(t) dt.

Si multiplicamos la ecuacion (1.3.1) esta funcion, obtenemos

eP(t) dt dy

dx+ P(x)e

P(t) dty = e

P(t)dtQ(x).

Observe que el primer miembro de esta ecuacion es la derivada de

eP(t) dty. Por lo tanto, nuestra ecuacion se reduce a

eP(t) dty

= e

P(t) dtQ(x).

Integrando ambos lados de la igualdad, obtenemos

e

P(t) dty =

e

P(t)dtQ(x) + C.

Por lo tanto, la solucion completa de la ecuacion (1.3.2) es

y = eP(t) dt

eP(t)dtQ(x) + C

.


dy

dx y

x= x2 (1.3.3)


18/59


En este caso P(x) = 1/x y Q(x) = x2. El factor integrante ese1/tdt = e ln |x| = eln |x|1 = x1

Si multiplicanos la ecuacion por este, obtenemos

1

x

dy

dx 1

x

y

x= x.

Esta ecuacion se puede escribir en la forma1

xy

= x.

Integrando, obtenemos la solucion

1

xy =

1

2x2 + C,

o bien

y =1

2x3 + Cx.

1.3.1. Ecuacion de Bernoulli. Ahora consideraremos un tipoespecial de ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones lineales me-diante un cambio de variable. Una ecuacion de la forma

dy

dx+ P(x)y = Q(x)yn (1.3.4)

se llama ecuacion de Bernoulli.Observe que si n = 0 o n = 1, entonces es, en realidad, una ecuacion

lineal y debe resolverse como tal. Sin embargo, en los demas casos, elcambio de variables v = y1n la reduce a una ecuacion lineal. Enefecto, primero multiplicamos la ecuacion (1.3.4) por yn y obtenemosla ecuacion equivalente

yndy

dx+ P(x)y1n = Q(x)

Si hacemos v = y1n, entonces

dv

dx= (1 n)yn dy

dx,

y sustituyendo, obtenemos

1

1 ndv

dx+ P(x)v = Q(x)

o biendv

dx+ (1 n)P(x)v = (1 n)Q(x),

que es una ecuacion lineal en v.


19/59



x

dy

dx + y = xy.Esta es una ecuacion de Bernoulli donde n = 1

2. Primero multiplicamos

la ecuacion por y1/2, de donde obtenemos

xy1/2dy

dx+

y = x.

Si hacemos v = y1n = y1/2, entonces dv/dx = 12y1/2(dy/dx) y la

ecuacion diferencial anterior se transforma en la ecuacion lineal

2x

dv

dx + v = x.

Ahora escribimos la ecuacion en la forma normal

dv

dx+

v

2x=

1

2. (1.3.5)

Observe que un factor integrante para esta ecuacion es

eP(x) dx = e

12x

dx = elnx =

x.

Si multiplicamos la ecuacion (1.3.5) por

x, obtenemos

x

dvdx

+1

2

xv =

12

x.

o bien

d

dx(

xv) =1

2

x.

Despues de integrar, obtenemos

xv =

2

6x3/2 + C.

v =2

6x + Cx1/2

,

donde C es una constante arbitraria. Pero v = y1/2. De esta maneraobtenemos la solucion completa de la ecuacion (1.3.5) en la forma

y1/2 =2

6x + Cx1/2,


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1.3.2. Ecuacion de Riccati. La ecuacion de Riccati es un tipode ecuacion que algunas veces se puede reducir a una ecuaci on de

Bernoulli. Una ecuacion de Riccati tiene la formady

dx= A(x)y2 + B(x)y + C(x). (1.3.6)

Observe que si A(x) 0, entonces la ecuacion (1.3.6) es lineal, mientrasque si B 0, entonces es una ecuacion de Bernoulli. En general unaecuacion de Riccati no se integra en cuadraturas, pero mediante uncambio de variables se puede transformar en una ecuacion de Bernoulli,si se conoce primero una solucion particular. En efecto, Suponga quey = f(x) es una solucion de la ecuacion (1.3.6). Entonces la sustitucion

y = v + f

convierte a (1.3.6) en una ecuacion de Bernoulli con n = 2. En efecto,sustituyendo

y = v + f, ydy

dx=

dv

dx+ f

en (1.3.6), se obtiene

dv

dx+ f(x) = A(x)(v2 + 2vf(x) + f2(x)) + B(x)(v + f(x)) + C(x).

Sin embargo, sabemos que

f(x) = A(x)f2(x) + B(x)f(x) + C(x)

porque se supone que f(x) es una solucion de (1.3.6). De esta maneraobtenemos la reduccion

dv

dx= A(x)(v2 + 2vf(x)) + B(x)v.

o biendv

dx= A(x)v2 + (B(x) + 2f(x))v.

que es una ecuacion de Bernoulli con n = 2.

Ejemplo 1.3.3. Una solucion de la ecuacion

dydx

= y2 2x2

, (1.3.7)

es la funcion y = 1/x. Resuelva la ecuacion.Si sustituimos y = v + (1/x) y

dy

dx=

dv

dx 1

x2,


21/59


la ecuacion 1.3.7 se transforma endv

dx 1

x2= v + 1

x2

2

x2dv

dx= v2 + 2

v

xdv

dx 2 v

x= v2.

Esta es una ecuacion de Bernoulli con n = 2. Primero multiplicamospor v2, de donde obtenemos

v2dv

dx 2x1v1 = 1.

Si hacemos w = v1n = v1, entonces dw/dx =

v2(dv/dx) y la

ecuacion diferencial anterior se transforma en la ecuacion linealdw

dx 2w

x= 1.

Observe que un factor integrante para esta ecuacion es

eP(x) dx = e

2xdx = eln |x|

2

= x2.

Si multiplicamos la ecuacion por x2, obtenemos

x2dw

dx 2x3w = x2

o biend

dx(x2

w) = x2

.Despues de integrar, obtenemos

x2w =x2dx + C. o bien w = x + x2C,

donde C es una constante arbitraria. Pero w = v1. De esta maneraobtenemos la solucion completa en la forma

v1 = x + x2C. o bien v =1

x + Cx2

Por ultimo, v = y + (1/x)

v +

1

x =

1

x + Cx2 .

Ejemplo 1.3.4. Una solucion de la ecuaciondy

dx= y2 x2y + 2x,

es la funcion y = x2. Transforme esta ecuacion en una ecuacion deBernoulli.


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Si sustituimos y = v + x2 y

dy

dx =

dv

dx + 2x,

la ecuacion se transforma en

dv

dx+ 2x = (v + x2)2 x2(v + x2) + 2x

dv

dx= v2 + x2v

dv

dx x2v = v2.

Esta es una ecuacion de Bernoulli con n = 2.

Ejemplo 1.3.5. Convierta la ecuacion

dy

dx+ y = y2 cos2 x + sen2 x

en una ecuacion de Bernoulli si se tiene que una solucion es la funcionconstante y = 1. Esta vez se sustituye

y = w + 1,

y toma la forma

dw

dx + w + 1 = (w + 1)

2

cos

2

x + sen

2

xdw

dx+ w = (w2 + 2w)cos2 x

y finalmente se tiene la ecuacion de Bernoulli

dw

dx+ (1 2cos2 x)w = w2 cos2 x.

Considere la ecuacion

dy

dx= x2 + y2.

Esta ecuacion no se puede resolver por metodo alguno de los que sehan presentado en este captulo. Es una ecuacion de Riccati, pero nose tiene solucion y = f(x) disponible para convertirla en una ecuacionde Bernoulli.


y = px + f(p), (1.3.8)


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PROBLEMAS 23

donde p dy/dx y f es una funcion diferenciable dada, se llamaecuacion de Clairaut en honor del matematico frances Alexis Clairaut

(17131765). Si la derivamos y simplificamos, obtenemos

[x + f(p)]dp

dx= 0.

Observe que esta ultima es una ecuacion diferencial de primer orden enx y p. Suponga que x + f(p) = 0. Luego, dividimos entre este factor eintegramos para obtener p = C, donde C es una constante arbitraria.Sustituimos este ultimo resultado en (1.3.8) y obtenemos

y = cx + f(c),

Observe que esta ultima familia de rectas es la solucion completa de(1.3.8). Si suponemos que x + f(x) = 0 y luego eliminamos p de(1.3.8), podemos obtener una solucion adicional que no es miembro dela familia de rectas. A esta solucion se le suele llamar solucion singular.


y = xdy

dx+

dy

dx

2. (1.3.9)

Esta ecuacion tiene como soluciones lneas rectas y = cx + c2 dondec es una constante. Ademas, si suponemos que 0 = x + f(p) = x + 2p,entonces

2p =

x o biendy

dx=

x

2.

Por lo tanto, y = 14x2 + C, donde C es alguna constante. Si sustitu-imos (1.3.9), vemos que C = 0. De donde la funcion y = 14x2 es unasolucion sigular de (1.3.9).

Problemas

Resuelva cada una de las ecuaciones que aparecen en los problemas 1al 10.

1.ds

dt+

3

ts = 6t2 2.

dy

dx+ 3y = 3x2e3x

3.dy

dx+ x2y = x2 4. t

ds

dt+

2t + 1

t + 1s = t 1

5.dy

dx x1y = x1y2 6. dy

dx+ y tan x = cos x

7.dy

dx+ xy3 = 2x3y 8.

dy

dx+ (1 + x1)y = x1


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9.dy

dx= x1 + ey 10. ex+y

dy

dx= exy x3ey

En los problemas 11 al 18, resuelva el problema con valor inicial.

11.dy

dx+ 2x1y =

x

y3, 12.

dy

dx+

ex

ex + 1y = 3(ex + 1),

y(1) = 2 y(0) = 4

13. xdy

dx y = x2 + x 14. x dy

dx+ (x + 1)y = ex

y(1) = 2 y(1) = 0

15. xy 2y = 2x4 16. xy y = x2y(2) = 8 y(1) = 0

17. dydx

= x + y3 18. dydx

= x + y + y2

y(0) = 1 y(1) = 0

En los problemas 19 al 22, convierta cada ecuacion dada en una ecua-cion de Bernoulli. En casa caso se da una solucion.

19.dy

dx= y2 + xy + 2x 4, dada y = 2

20.dy

dx= y2 4x2 + 2, dada y = 2x

21.

dy

dx = xy

2

+ y +

1

x2 , dada y = 1

x

22. x3dy

dx= x4y2 2x2y 1, dada y = 1

x2.

23. Emplee la sustitucion y = w + x1 para convertir la ecuacion

xdy

dx+ y =

xy 1

en una ecuacion de Bernoulli.

24. Resuelva la ecuacion del problema 23.25. Pruebe que la sustitucion

y = 2 arctan u

convierte una ecuacion de la formady

dx= Q(x)sen y + R(x)cos y

en una ecuacion de Riccatidu

dx= Q(x)u +

1

2R(x)(1 u2).


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1.4. TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 25

(Sugerencia: en primer lugar establezca que

sen y =2u

1 + u2

y tambien

cos y =1 u21 + u2

.

26. Emplee el problema 25 para convertir la ecuacion

dy

dx= x sen y 2cos y

en una ecuacion de Riccati.

27. La ecuacion de Riccati que se encontro en el problema 26, tiene unasolucion de la forma u = kx para alguna constante k. Encuentrelay reduzca a una ecuacion de Bernoulli.

28. Pruebe que la sustitucion u = sen y convierte a cualquier ecuacionde la forma

dy

dx= Q(x)sec y + R(x)tan y

en una lineal.

En los dos problemas siguientes, emplee el problema 28 para re-solver cada ecuacion.

29. dydx

= tan y x sec y

30.dy

dx= sec x sec y + tan x tan y.

1.4. Teoremas de existencia y unicidad

Teorema 1.4.1 (Teorema de existencia). Suponga que

dy

dx= f(x, y), y(x0) = y0 (1.4.1)

es un problema con condicion inicial en donde f es una funcion queesta definida en un conjunto abirto R2, es continua en , suderivada parcial, f/y, tambien es continua en y (x0, y0) . En-tonces (1.4.1) tiene solucion unica. Es decir, existe una unica funcion definida en una vecindad I de x0 tal que

(x) = f(x, (x)), para todo x I y (x0) = y0


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Una funcion de dos variables f definida en un conjunto S. Decimosque f satisface la condicion de Lipschitz para y en S si existe una

constante K tal que|f(x, y1) f(x, y2)| K|y1 y2|

para toda (x, y1) y (x, y2) en S. La constante K se llama constante deLipschitz.

Teorema 1.4.2. Suponga que S = I J, donde I = [a, b] y J =[c, d] o bien J = R. Si f/y existe y es continua en S ydfdy (x, y)

K, (x, y) S,para alguna K > 0. Entonces f satisface la condicion de Lipschitz en

S con constante de Lipschitz K.

Problemas

Utilice un campo de direcciones o isoclinas para bosquejar una solucion acada ecuacion partiendo del punto dado.

1.dy

dx= x (0, 0) 2.

dy

dx= y

x(1, 1)

3.dy

dx= y (0, 1) 4.

dy

dx= 1 + y2 (0, 0)

5.dy

dx= x + y (0, 0) 6.

dy

dx= x2 y (0, 2)

7.dy

dx=

x

y(0, 1) 8.

dy

dx= x y2 (0, 0)

9.dy

dx= x

y(0, 1)

10. Compare sus resultados que obtiene en los problemas 1 al 7 con lassoluciones reales que pasan por los puntos dados.

En los problemas 11 al 14, para cada familia de curvas: a) encuentre unaecuacion diferencial que tenga como solucion la familia dada. b) Encuentreuna ecuacion diferencial que tenga como solucion a las trayectorias ortogo-

nales.11. 2xy + 3y2 = C 12. x2 + y3 = Cy2

13. x4 + 2xy + y5 = C 14. x2 + y2 = Cxy + 1

En los problemas 16 al 30, encuentre la trayectorias ortogonales para cadafamilia de curvas dada.

15. 2y = 5x + C 16. x3 = Cy2


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PROBLEMAS 27

17. y = x4 + C 18. ex + ey = C

19. x2 + 4y2 = C 20. x2/3 + y2/3 = C

21. y = Cex 22. sen x cos y = C23. sen x + cos y = C 24. y3 = Ccos x

25. x2y2 = xy + C 26. y + x ln y = x ln x + Cx

27. ln y = Cx2 28. y = (C+ 1)x + C29. x y = tan(C y)


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30 2. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN n

donde an no es identicamente cero. Supondremos que an, an1, . . . , a0y son funciones continuas en algun intervalo I y que an(x) = 0 paratoda x I. Si 0, entonces decimos que la ecuacion (2.1.1) eshomogenea.

Ejemplo 2.1.2. La ecuacion

d2y

dx2+ 2x

dy

dx+ exy = x3

es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden.

Si el coeficiente an(x) es diferente de cero en todos los puntos deun intervalo I, entonces podemos dividir entre an(x) y reducimos laecuacion lineal homogenea a la forma

dny

dxn + pn1(x)dn1ydxn1 + + p1(x)

dy

dx + p0(x)y = 0,

o bien,dny

dxn=

ni=1

pi(x)diy

dxi.

Si los coeficientes pi(x) son continuos en el segmento I, entonces enuna vecindad cualquiera de las condiciones iniciales

y(x0) = c0, y(x0) = c1, . . . , y(n1)(x0) = cn1,

donde x0 es cualquier punto del intervalo I, se satisfacen las condicionesdel teorema de existencia y unicidad.

Escribamos la ecuacion lineal homogeneaan(x)

dny

dxn+ an1(x)

dn1ydxn1

+ + a1(x) dydx

+ a0(x)y = 0

en la forma L(y) = 0, donde

L(y) = an(x)dny

dxn+ an1(x)

dn1ydxn1

+ + a1(x) dydx

+ a0(x)y.

Llamaremos a L operador diferencial.Un operador diferencial L posee las siguientes propiedades:

1. Una constante que multiplica al argumento se puede sacar fuera delsmbolo de operador:

L(cy) = cL(y).

En efecto,

L(cf) = an(x)dncf

dxn+ + a1(x) dcf

dx+ a0(x)cf

= c(an(x)dnf

dxn+ + a1(x) df

dx+ a0(x)f) = cL(f).


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2.1. TEORIA GENERAL DE L AS ECUACIONE S LINEALE S 31

2. El operador aplicado a la suma de dos funciones es igual a la sumade los resultados de aplicar el operador a cada una de ellas:

L(f + g) = L(f) + L(g).

En efecto,

L(f + g) = an(x)dn(f + g)

dxn+ + a1(x)d(f + g)

dx+ a0(x)(f + g)

= (an(x)dnf

dxn+ + a1(x) df

dx+ a0(x)f)

+ (an(x)dng

dxn+ + a1(x) dg

dx+ a0(x)g) = L(f) + L(g).

A partir de las propiedades 1. y 2. podemos probar que

L mi=1

ciyi

=mi=1

ciL(yi)

Definicion 2.1.3. Si f1, f2, . . . , f m son m funciones dadas, y c1,c2, . . . , cm son m constantes, entonces la expresion

c1f1 + c2f2 + + cmfmse llama combinacion lineal de f1, f2, . . . , f m.

Teorema 2.1.4. Si y1, y3, . . . , yn son soluciones de la ecuaciondiferencial L(y) = 0, entonces cualquier combinacion lineal de estas

funciones tambien es una solucion de la misma ecuacion diferencial.

Ejemplo 2.1.5. Considere la ecuacion lineal homogenea de segundoorden

y + y = 0. (2.1.2)

Dos soluciones son y1 = sen x y y2 = cos x. Se obtienen mas solucionesde (2.1.2) tomando combinaciones lineales de ellas, En particular, lacombinacion lineal

sen x + 2 cos x

es una solucion.

Definicion 2.1.6. Se dice que las funciones f1, f2, . . . , f m son

linealmente dependientes en un intervalo I si existen constantes c1,c2, . . . , cm, no todas iguales a cero, tales que

c1f1(x) + c2f2(x) + + cmfm(x) = 0 (2.1.3)para toda x I. Por el contrario, si la identidad (2.1.3) se verifica solopara c1 = c2 = = cm = 0, entonces decimos que las funciones f1,f2, . . . , f m son linealmente independientes.


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Ejemplo 2.1.7. Las funciones x y 5x son linealmente independi-entes sobre R. Pues existen constantes c1 y c2, no ambas iguales a cero,

tales que c1x + c2(5x). Por ejemplo, c1 = 5 y c2 = 1.Teorema 2.1.8. La ecuacion diferencila lineal homogenea

a0(x)dny

dxn+ a1(x)

dn1ydxn1

+ + an1(x) dydx

+ an(x)y = 0 (2.1.4)

siempre posee n soluciones que son linealmente independientes. Masaun, si f1, f2, . . . , f n son n soluciones linealmente independientes de2.1.4, entonces toda solucion f se pude expresar como combinacionlineal de ellas. Es decir, toda solucion f es de la forma

f = c1f1 + c2f2 + + cnfn,

donde c1, c2, . . . , cn son constantes adecuadadmente elegidas.Definicion 2.1.9. Si f1, f2, . . . , f n son n soluciones linealmente in-

dependientes de la ecuacion diferencial homogenea de orden n (2.1.4)sobre un intervalo I, entonces el conjunto f1, f2, . . . , f n se llama con-

junto fundamental de soluciones de 2.1.4 y la funcion definida por

f(x) = c1f1(x) + c2f2(x) + + cnfn(x)donde c1, c2, . . . , cn son constantes arbitrarias, se llama una soluciongeneral para 2.1.4 sobre I.

Ejemplo 2.1.10. Ya vimos que las funciones sen x y cos x son solu-ciones de la ecuacion defirencial (2.1.2) para toda x

R. Ademas,

se puede probar que estas funciones son linealmente independientes.Por lo tanto, constituyen un conjunto fundamental de solucione de laecuacion mencionada y, en consecuencia, su solucion general se puedeexpresar en la forma

c1 sen x + c2 cos x

donde c1 y c2 son constantes arbitrarias. Expresamos esto como y =c1 sen x + c2 cos x.

Ejemplo 2.1.11. Se puede probar que las soluciones y = ex, y =ex, y = sen x, y = cos x de la ecuacion diferencial

y y = 0son linealmente independientes. Por lo tanto, dichas funciones consti-tuyen un conjunto fundamental de la ecuacion diferencial dada, y susolucion general se pede expresar como

y(x) = c1ex + c2e

x + c3 sen x + c4 cos x

donde c1, c2, c3 y c4 son constantes arbitrarias.


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Definicion 2.1.12. Sean f1, f2, . . . , f n n funciones de valores realesque tienen n 1 derivadas en un intervalo I. El determinante

W(f1, f2, . . . , f n) =

f1 f2 . . . f nf1 f

2 . . . f

n

......

...

f(n1)1 f

(n1)2 . . . f

n1n

se llama wronskiano de estas n funciones.

Teorema 2.1.13. Si las funciones f1, f2, . . . , f n son linealmenteindependientes en el intervalo I, entoces el determinante wronskianoW(f1, . . . , f n) es identicamente nulo en I.

Demostracion. Si las funciones f1, f2, . . . , f n son linealmente in-dependientes en el intervalo I, entoces existen constantes c1, c2, . . . , cnno todas cero tales que

c1f1(x) + c2f2(x) + + cnfn(x) = 0 (2.1.5)para toda x I. Si derivamos n1 veces la ecuacion (2.1.5), obtenemos

c1f1(x) + c2f2(x) + + cnfn(x) = 0c1f

1(x) + c2f

2(x) + + cnfn(x) = 0

...

c1f(n1)1 (x) + c2f

(n1)2 (x) + + cnf(n1)n (x) = 0

Este sistema de n ecuaciones lineales homogeneo, donde las incogni-tas son las ci, tiene solucion no trivial para cualquier valor de x I. Po lo tanto, el determinante del sistema, que es el wronskianoW(f1, . . . , f n), es igual a cero en cada punto del segmento I.

Teorema 2.1.14. Si las funciones linealmente independientes f1,f2, . . . , f n son soluciones de la ecuacion lineal homogenea

dny

dxn+ a1(x)

dn1y

dxn1+

+ an

1(x)

dy

dx

+ an(x)y = 0 (2.1.6)

con coeficientes continuos ai(x) en el segmento I, entonces el wron-skiano W(f1, . . . , f n) es diferente de cero en todos los puntos del seg-mento I.

Demostracion. Supongamos que en cierto punto x0 I el wron-skiano W(f1(x0), . . . , f n(x0)) = 0. Elijamos constantes c1, . . . , cn que


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satisfagan el conjunto de ecuaciones

c1f1(x) + c2f2(x) +

+ cnfn(x) = 0

c1f1(x) + c2f

2(x) + + cnfn(x) = 0

...

c1f(n1)1 (x) + c2f

(n1)2 (x) + + cnf(n1)n (x) = 0

(2.1.7)

de tal manera que no todas sean cero. Esta constantes existen ya queel determinante sistema lineal homogeneo (2.1.7) de n ecuanoes con lasn incognitas ci es cero. Por lo tanto, existen soluciones no triviales delsistema. Para estas ci, la combinacion lineal

y = c1f1 + c2f2 +

+ cnfn

es una solucion del la ecuacion lineal homogenea (2.1.6) que satisfacelas condiciones iniciales

y(x0) = 0, y(x0) = 0, . . . , y(n1)(x0) = 0.

Es claro que estas condiciones iniciales tambien las satisface la soluciontrivial y 0. Esto contradice el teorema del existencia y unicidad.

Observe que de los dos teoremas anteriores se deduce que si lassoluciones f1, f2, . . . , f n de la ecuacion (2.1.6) son linealmente inde-pendientes en un segmanto I, entonces tambien son linealmente inde-

pendiantes en cualquier intervalo contenido en I.No es posible eliminar del torema (2.1.14) la hipotesis de que las

funciones f1, f2, . . . , f n sean soluciones de la ecuacion lineal homogenea(2.1.6). En efecto, es facil citar ejemplos de funciones linealmente inde-pendientes que no son soluciones del alguna ecuacion lineal homogeneacon coeficientes continuos para las cuales el wronskiano es igual a ceroen algunos puntos. Considere las funciones

f1(x) 1 y f2(x) =

x2 si x < 0

0 si x 0, .

Es facil ver que f1 y f2 son linealmente independientes. Sin embargo,W(f1(x), f2(x)) = 0 para x < 0.

Teorema 2.1.15. Si f1, f2, . . . , f n son n soluciones linealmenteindependientes en el segmento I de la ecuacion lineal homogenea

dny

dxn+ a1(x)

dn1ydxn1

+ + an1(x) dydx

+ an(x)y = 0 (2.1.8)


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con coeficientes continuos ai(x) en el segmento I, entonces la soluciongeneral de esta ecuacion esta dada por las combinaciones lineales

f(x) = c1f1(x) + c2f2(x) + + fn(x).Demostracion. Sean f una solucion de la ecuacion (2.1.8) y x0

I. Defina f(x0) = y0, . . . , f (n1)(x0) = yn1. Ahora considere el sis-

tema de ecuaciones lineales dado por

c1f1(x0) + c2f2(x0) + + cnfn(x0) = y0c1f

1(x0) + c2f

2(x0) + + cnfn(x0) = y1

...

c1f(n1)1 (x0) + c2f

(n1)2 (x0) +

+ cnf

(n1)n (x0) = yn1

Como es linealmente independiente, este sistema tiene una solucionunica c1, . . . , cn. Es claro que las funciones definidas por g = c1f1 + + cnfn y f satisfacen las condiciones iniciales. Por lo tanto f g.De lo anterior deducimos que f es combinacion lineal de f1, f2, . . . , f n.Y esto termina la demostracion.

Corolario 2.1.16. El numero maximo de soluciones linealmenteindependientes de una ecuacion lineal homogenea de orden n con coe-

ficientes continuos es n.

Si f1, f2, . . . , f n son soluciones linealmente independientes de una

ecuacion lineal homogenea de orden n, entonces decimos que estas fun-ciones forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacion.

Ejemplo 2.1.17. La ecuacion y y = 0 tiene como solucionesparticulares las funciones f1(x) = e

x y f2(x) = ex. Es claro que f1 y

f2 son linealmente independientes. Por lo tanto, la solucion general dela ecuacion tiene la forma f(x) = c1e

x + c2ex.

Ejemplo 2.1.18. La ecuacion y + y = 0 tiene como solucionesparticulares las funciones f1(x) = sen x y f2(x) = cos x. Ya vimosque f1 y f2 son linealmente independientes. Por lo tanto, la soluciongeneral de la ecuacion tiene la forma f(x) = c1 sen x + c2 cos x.

Teorema 2.1.19. Supongamos que f es una solucion no trivial dela ecuacion lineal homogenea de orden n

dny

dxn+ a1(x)

dn1ydxn1

+ + an1(x) dydx

+ an(x)y = 0.

Entonces la transformacion y = uf reduce a la ecuacion anterior enuna ecuacion lineal homogenea de orden n 1.


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Con el proposito de hacer una exposicion mas clara, veremos soloel caso de la ecuacion de orden 2. Suponga que f es una solucion no

trivial de la ecuacion de segundo orden

a2(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0. (2.1.9)

Apliquemos el cambio de veariable y = f(x)u, donde f es una solucionno trivial conocida de 2.1.9. Si derviamos y = f u, obtenemos

dy

dx= f(x)

du

dx+ f(x)u,

d2y

dx2= f(x)

d2u

dx2+ 2f(x)

du

dx+ f(x)u,

Luego, sustituimos en 2.1.9 para obtener

a2

f

d2u

dx2+ 2f

du

dx+ fu

+ a1

f

du

dx+ fu

+ a0f u = 0.

o bien

a2fd2u

dx2+ [2a2f

+ a1f]du

dx+ [a2f

u + a1f + a0f]u = 0.

Como f es solucion de 2.1.9, la ecuacion anterior se reduce a

a2fd2u

dx2+ [2a2f

+ a1f]du

dx= 0.

Con el cambio de variable v = du/dx se transforma en

a2fdv

dx+ [2a2f

+ a1f]v = 0.

La anterior, es una ecuacion lineal homogenea de orden uno que sepuede resolver por separacion de variables. En efecto, luego de separarlas variables, tenemos

dv

v=

2

f

f+

a1a2

dx.

De esta manera, integrando obtenemos

ln |v| = ln f2(x)

a1a2

+ ln |c|,

o bien,

v = ce

a1/a2dx

f2.


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PROBLEMAS 37

Al regresar a las variables originales,

u = c

ea1/a2dx

f2 dx,

y = cf(x)

ea1/a2dx

f2dx.

El caso del valor especfico de c = 1, tenemos dos soluciones de laecuacion 2.1.9, f y

g(x) = f(x)

ea1/a2dx

f2dx.

Si podemos demostrar que f y g son linealmente independientes, ten-emos una solucion completa de 2.1.9. Tal proposito se puede alcanzarsi calculamos el wronskiano de f y g:

W(f, g)(x) =

f(x) g(x)f(x) g(x) =

f(x) f(x)uf(x) f(x)u + f(x)u

= f2(x)u = ea1/a2dx = 0.

Por lo tanto, la combinacion lineal c1f + c2g es la solucion general dela ecuacion 2.1.9.

Problemas

1. Utilice wronskiano para probar que si a, b y c son tres numeros realesdiferentes, entonces las funciones eax, ebx y ecx son linealmente inde-pendientes.

2. Pruebe que y = senh x y y = cosh x son soluciones la ecuacion y y =0. Exprese cada una de etas funciones como combinacion lineal de lasfunciones ex ex.

3. Exprese cada una de las dos funciones ex y ex como combinacion linealde las funciones senh x y cosh x.

4. Toda solucion de la ecuacion y y = 0 se puede representar en laforma

y = c1ex + c2 senh x.

Exprese cada una de las soluciones y = ex y y = cosh x en esta forma.

5. Sean f(x) y g(x) dos funciones linealmente independientes y con primeray segunda derivadas. Forme la ecuacion

a2(x)y + a1(x)y + a0(x)y = 0, (2.1.10)


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donde

a2(x) = f(x)g(x)

f(x)g(x)

a1(x) = f(x)g(x) f(x)g(x)a0(x) = f

(x)g(x) f(x)g(x).Una forma mnemotecnica de para expresar 2.1.10 es

y f(x) g(x)y f(x) g(x)y f(x) g(x)

= 0.Pruebe que y = f(x) y y = g(x) son soluciones de 2.1.10.

6. Construir una ecuacion lineal homogenea de segundo orden que tenga ay = x y y = ex como soluciones. De ser posible, simplifique la ecuacion.

7. Construir una ecuacion lineal homogenea de segundo orden que tengaa y = x2 + 1 y y = ex como soluciones. De ser posible, simplifique laecuacion.

8. Pruebe que cuando g(x) = 1/f(x), la ecuacion 2.1.10 se simplifica en

(f(x))2f(x)y + f(x)

(f(x))2 f(x)f(x)y (f(x))3y = 0,o en otra forma,

h(x)y 12

h(x)y + (h(x))2y = 0

donde h(x) = f(x)g(x).9. Construir una ecuacion lineal homogenea de segundo orden que tenga

a y = cos x y y = sec x como soluciones. De ser posible, simplifique laecuacion.

10. Sean f(x), g(x) y h(x) dos funciones linealmente independientes y conprimera, segunda y tercera derivadas. Obtenga una version de tercerorden la ecuacion 2.1.10. Sugerencia: Utilice un determinante de 4 4.

11. Encuentre una ecuacion de tercer orden que tenga soluciones y = 1,y = x y y = ex.

12. Pruebe que si f1 es una solucion particular de

an(x)dny

dxn+ an1(x)

dn1ydxn1

+ + a1(x) dydx

+ a0(x)y = F1(x)

y f1 es una solucion particular de

an(x)dny

dxn+ an1(x)

dn1ydxn1

+ + a1(x) dydx

+ a0(x)y = F2(x),

entonces k1f1 + k2f2 es una solucion particular de

an(x)dny

dxn+ an1(x)

dn1ydxn1

+ + a1(x) dydx

+ a0(x)y = k1F1(x) + k2F2(x),

en donde k1 y k2 son constantes arbitrarias.


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2 .2 . ECU ACIO NES CON COEFI CI EN TES CON STA NTES 3 9

2.2. Ecuaciones con coeficientes constantes

Ahora estudiaremos metodos para resolver ecuaciones lineales homoge-

neas con coeficientes constantes, es decir, ecuaciones de la forma

andny

dxn+ an1

dn1ydxn1

+ + a1 dydx

+ a0(x)y = 0 (2.2.1)

en donde los coeficientes an, an1, . . . , a1, a0 son constantes.Como veremos, este problema se puede reducir al de resolver un poli-

nomio de grado n. En la seccion 1.3 vimos que una ecuacion lineal de primerorden con coeficientes constantes

y + P y = 0,

donde P es una constante, tiene solucion general y = cePx. A partirde esta experiencia, podemos intentar soluciones del mimos tipo para la

ecuacion 2.2.1. En efecto, si f(x) = e

r

, entonces la expresion general parasus derivadas esdk

dxkerx = rkerx.

Ahora, sustituyendo en la ecuacion 2.2.1, tenemos

anrnerx + an1rn1erx + + a1rerx + a0erx = 0.

La expresion erx se puede sacar como factor comun para obtener

(anrn + an1rn1 + + a1r + a0)erx = 0.

Como erx = 0, la expresion anterior es cero si y solo si r es raz del polinomioant

n + an1tn1 + + a1t + a0 = 0. (2.2.2)

La ecuacion 2.2.2 se conoce como polinomio auxiliar asociada con 2.2.1. Delas ecuaciones anteriores, deduciomos que erx que satisface 2.2.1 si y solo sir es una raz del polinomio auxiliar.

Desde luego, surgen tres casos para analizar segun las races de 2.2.2tenga todas sus races distintas, de multiplicidad mayor que 1 y complejas.

Caso 1: Todas las races del polinomio 2.2.2 son numeros reales distintosr1, r2, . . . , rn. En este caso e

r1x, er2x, . . . , ernx son soluciones diferentes y conayuda del wronskiano podemos verificar que son linealmente independientes.Por lo tanto, la solucion general de 2.2.1 es

y = c1er1x + c2e

r2x + + cnernx.Ejemplo 2.2.1. Considere la ecuacion diferencial

y y 2y = 0. (2.2.3)El polinomio auxiliar es

r2 r 2 = 0,que se resuelve con facilidad

(r 2)(r + 1) = 0r = 1, 2.


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De donde, hemos determinado las soluciones y = ex y y = e2x. Por lotanto, la solucion general de 2.2.3 es

y = c1ex + c2e2x

donde c1 y c2 son constantes arbitrarias.

Ejemplo 2.2.2. Considere la ecuacion diferencial

y 4y + y 6y = 0. (2.2.4)El polinomio auxiliar es

r3 4r2 + r 6 = 0.Observe que r = 1 es una raz de este polinomio. Mediante divisionsintetica, podemos factorizarla

(r + 1)(r2

5r + 6) = 0r = 1, 2, 3.

De donde, hemos determinado las soluciones y = ex y y = e2x, y = e3x.Por lo tanto, la solucion general de 2.2.4 es

y = c1ex + c2e2x + c3e3x

donde c1, c2 y c3 son constantes arbitrarias.

Caso 2: Tenemos races multiples del polinomio 2.2.2. En esta ocasion,comenzaremos el estudio considerando un ejemplo sencillo.


y 4y + 4y = 0. (2.2.5)El polinomio auxiliar es

r2 4r + 4 = 0.Este polinomio se factoriza en la forma

(r 2)2 = 0.De donde, la unica raz es r = 2. La unica solucion de 2.2.5 de la forma erx

es y = e2x. Como se sabe, esta solucion no es suficiente para proporcionarla solucion completa. Debemos hallar otra solucion de 2.2.5 linealmenteindependiente con e2x.

Por fortuna, tenemos el procedimiento de reduccion de orden (Teorema2.1.19) que podemos aplicar a la ecuacion 2.2.5 con la solucion y = e2x. Elcambio de variable es y = ue2x. Observe que

dy

dx= e2x

du

dx+ 2e2xu,

d2y

dx2= e2x

d2u

dx2+ 4e2x

du

dx+ 4e2xu.


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2 .2 . ECU ACIO NES CON COEFI CI EN TES CON STA NTES 4 1

Sustituyendo en la ecuacion 2.2.5, tenemos

e

2x d2u

dx2 + 4e

2xdu

dx + 4e

2x

u 4e2x

du

dx + 2e

2x

u

+ 4e

2x

u = 0,

e2xd2u

dx2= 0.

Con v = du/dx, tenemos la ecuacion de primer orden e2x(dv/dx) = 0, obien,

dv

dx= 0.

Una solucion de esta extremadamente sencilla ecaucion es v = 1. De dondetenemos u = x y y = xe2x. Es facil verificar, utilizando el wronskiano, quelas soluciones y = e2x y y = xe2x son limealmente independientes. Por lotanto, la solucion general de 2.2.5 es

y = c1e2x + c2xe2x = e2x(c1 + c2x).

Con este ejemplo como gua, podemos enunciar el resultado general: Sir es una raz de multiplicidad k del polinomio auxiliar 2.2.2, entonces lasfunciones erx, xerx, x2erx, . . . , xk1erx son k soluciones linealmente inde-pendientes de la ecuacion 2.2.1. Esto significa que la solucion general de laecuacion 2.2.1 contiene sumandos de la forma

c0erx + c1xe

rx + + ck1xk1erx = (c0 + c1x + + ck1xk1)erx.Caso 3: Caso de races complejas Si el polinomio auxiliar tiene una raz

de la forma a + bi, sabemos que otra de sus races es a bi, la conjugada dea + bi. En este caso podemos pensar en soluciones de la forma

e(a+bi)x y e(abi)x. (2.2.6)Estas soluciones son totalmente legtimas si pensamos en funciones comple-jas de variable real. Sin embargo, hasta este momento no hemos consideradotal tipo de funciones. Por este y otros motivos, conviene transformar lassoluciones anteriores a su forma real utilizando la igualdad de Euler

ea+bi = ea(cos b + sen b).

De esta ultima igualdad, vemos que podemos sustitur 2.2.6 por

eax cos bx y eax sen bx.


y + y = 0. (2.2.7)El polinomio auxiliar es r2 + 1 = 0, cuyas races son r = i y r = i. Por lotanto, dos soluciones linealmente independientes son

y1 = cos x y y2 = sen x

En consecuencia, la solucion general de 2.2.7 es

y = c1 cos x + c2 sen x.


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Ejemplo 2.2.5. Considere la ecuacion

y

6y + 25y = 0.

El polinomio auxiliar es r2 6r + 25 = 0, cuyas races, obtenidas mediantela formula cuadratica, son 3 4i. Por lo tanto, la solucion general es

y = e3x(c1 cos4x + c2 sen4x).


d4y

dx4 y = 0.

El polinomio auxiliar es r4 1 = 0, y sus races son 1, 1, i y i. Por lotanto, la solucion general es

y = c1ex + c2e

x + c3 cos x + c4 sen x.

Por ultimo, races complejas r = a bi de multiplicidad k producen 2msoluciones de 2.2.1, a saber,y = eax sen(bx),

y = xeax sen(bx),

...

y = xm1eax sen(bx),

y = eax cos(bx)

y = xeax cos(bx)

...

y = xm1eax cos(bx).

problemas

En los problemas 1 al 30, resuelva cada ecuacion dada.

1. y = 5y 2. y + 2y = 03. y = 5y 4. y + 4y + 13y = 05. y y 6y = 0 6. y y + 3y = 07. y + 5y + 6y = 0 8. y + 6y + 9y = 09. y + 4y 5y = 0 10. 4y 4y + y = 0

11. 2y + y y = 0 12. y = 2y 6y13. 3y + 5y 2y = 0 14. 2y = y + 2y15. y + 2y 5y = 0 16. y = 3y17. y 8y + 5y = 0 18. y + y + y + y = 019. y = 16y20. y

2y

2y + 4y = 0

21. y + 8y = 022. y + y 2y = 023. y + y + 2y = 024. y 7y + 8y + 10y = 025. 2y = 3y + 4y + y26. 2y 5y + 6y 2y = 0


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2.3. ECUACIONES DE CAUCHY-EULER 43

27. y + y 2y 3y y = 028. y + 4y + 6y + 4y + y = 0

29. y + 2y 13y + 4y 30y = 030. y + 4y + 4y = 0

En los problemas 3132, establezca la solucion completa de una ecuacionlineal homogenea con coeficientes constantes bajo las condiciones dadas.

31. Si el polinomio auxiliar tiene races 1, 1, 1, 1, 3i, 3i, 2 3i.32. Si la ecuacion auxiliar se factoriza en la forma

(r + 4)(r2 1)(r2 + r + 1)3 = 0.

33. Pruebe que si x = 1/t, entonces

dy

dx= t2 dy

dt

y tambiend

dx

dy

dx= t4

d

dt

dy

dt+ 2t3

dy

dt.

34. Utilice el problema 33 para resolver x4y + 2x3y + 4y = 0.

35. Utilice el problema 33 para resolver x4y + 2x2(x + 1)y + y = 0.

2.3. Ecuaciones de Cauchy-Euler

Ahora analizaremos una clase de ecuaciones lineales homogeneas que seresuelven con ideas parecidas a las de coeficientes constantes. Considere laecuacion

xy + P y = 0,donde P es una constante. Esta es una ecuacion lineal de primer orden ylas de este tipo las estudiamos en la seccion 1.3. En dicha seccion, vimosque una solucion de esta ecuacion es y = xP. Esto nos da un indicio paraprobar soluciones del tipo xr para ecuaciones de la forma

anxn d

ny

dxn+ an1xn1

dn1ydxn1

+ + a1x dydx

+ a0y = 0, (2.3.1)

donde an, an1, . . . , a0 son constantes.Ejemplo 2.3.1. La ecuacion

x2y 2y = 0 (2.3.2)se puede resolver de la manera siguiente: suponga que y = xr. Entoncestenemos

y = rxr1, y = r(r 1)xr2


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y sustitumos estas expresiones en la ecuacion 2.3.2 para obtener

x2r(r

1)xr2

2xr = 0

(r(r 1) 2)xr = 0r(r 1) 2 = 0

r2 r 2 = 0(r 2)(r + 1) = 0

r = 2,1que proporciona dos soluciones de 2.3.2

y = x2, y = x1.

Por lo tanto, la solucion general de 2.3.2 es

y = c1

x2 + c2

x1.

Las ecuaciones del tipo 2.3.1 se llaman ecuaciones de Cauchy-Euler.

Ejemplo 2.3.2. Considere la ecuacion

x2y + xy 2y = 0.Una vez mas, supongamos que y = xr y derivemos:

x2r(r 1)xr2 + xrxr1 2xr = 0(r(r 1) + r 2)xr = 0

r(r 1) + r 2 = 0r2

2 = 0

r = 2dando por resultado las dos soluciones de la ecuacion

y = x2, y = x

2.

Utilizando el wronskiano, podemos verificar que estas funciones son limeal-mente independientes. Por lo tanto, la solucion general de la ecuacion es

y = c1x2 + c2x

2.


x2y + xy + y = 0. (2.3.3)

Luego de sustituir la solucion y = xr, se obtiene el polinomio auxiliar

r(r 1) + r + 1 = 0r2 + 1 = 0

cuyas races, r = i, son complejas. Estas races conducen directamente asoluciones

y = xi, y = xi.


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De la identidad de Euler, podemos obtener

xi = ei ln x = cos(ln x) + i sen(ln x)

xi = ei lnx = cos(ln x) i sen(ln x).Por lo tanto, dos soluciones que tambien generan todo el espacio de solu-ciones son cos(ln x) y sen(ln x). Es decir, la solucion general de la ecuacion2.3.3 es

y = c1 cos(ln x) + c2 sen(ln x).

En resumen, la ecuacion

a2x2y + a1xy + a0y = 0, (2.3.4)

donde a0, a1 y a2 son constantes cualesquiera, tiene soluciones de la formaxr, donde r es raz del polinomio auxiliar

a2

r(r

1) + a1

r + a0

= 0.

Por lo tanto, si este polinomio auxiliar tiene dos races reales diferentes,r = r1 y r = r2, entonces la solucion general de 2.3.4 es

y = c1xr1 + c2x

r2.

Si la ecuacion auxiliar tiene races complejas r = abi, donde b = 0, entoncesla solucion general de 2.3.4 tambien se puede expresar en la forma

y = c1xa sen(b ln x) + c2x

a cos(b ln x).

En ambos casos, c1 y c2 son constantes arbitrarias.

Ejemplo 2.3.4. La ecuacion

x2y

3xy + 13y = 0

conduce a la ecuacion auxiliar

r(r 1) 3r + 13 = 0r2 4r + 13 = 0

cuyas races sonr = 2 3i.

Por lo tanto, la solucion de nuestra ecuacion diferencial es

y = c1x2 sen(3 ln x) + c2x

2 cos(3 ln x).

Por ultimo, estudiemos un caso con races multiples.


x2y + 3xy + y = 0. (2.3.5)

El polinomio auxiliar es

r(r 1) + 3r + 1 = 0r2 + 2r + 1 = 0

(r + 1)2 = 0.


46/59


La unica raz es r = 1 con multiplicidad 2. Una solucion de 2.3.5 esy = x1, pero requerimos otra mas. El lector puede aplicar reduccion de

orden para obtener la segunda solucion linealemente independiente con x1

,a saber, y = x1 ln x. Por lo tanto, la solucion general de 2.3.5 es

y = c1x1 + c2x1 ln x.

En general, el polinomio auxiliar de una ecuacion de Cauchy-Euler deorden n es

a0r(r 1) (r n + 1) + a1r(r 1) (r n + 2) + + an1r + an = 0.Por ejemplo, el polinomio auxiliar de la ecuacion

x3y 5x2y + 9xy 8y = 0.es

r(r 1)(r 2) 5r(r 1) + 9r 8 = r3 8r2 + 16r 8 = 0.Las races de este polinomio son

r = 2, 3 +

5 y 3

5.

Por lo tanto, la solucion general e

y = c1x2 + c2x

3+5 + c3x

35.

En general, cuando aparece una raz real r = a en la ecuacion auxiliar,con multiplicidad m, entonces la ecuacion de Cauchy-Euler tiene entre sussoluciones

y = xa

y = xa ln x

...

y = xa(ln x)m1.

Las races complejas multiples se tratan en la misma forma que las racesreales multiples, empleando potencias de ln x.


x4y + 8x3y + 16x2y + 8xy + y = 0.

El polinomio auxiliar es

r(r 1)(r 2)(r 3) + 8r(r 1)(r 2) + 16r(r 1) + 8r + 1 = 0.Este polinomio se simplifica como

r4 + 2r3 + 3r2 + 2r + 1 = 0,

que se factoriza en la forma

(r2 + r + 1)2 = 0.


47/59


Por lo tanto, las races complejas

r = 1

2

3

2 i

aparecen con multiplicidad 2. De donde, las cuatro soluciones linealmenteindependientes de la ecuacion diferencial

y = x1/2 sen

3

2ln x

,

y = x1/2 sen

3

2ln x

ln x,

y = x1/2 cos

3

2ln x

,

y = x1/2 cos

3

2ln x

ln x.

Por lo tanto, la solucion general es

y =(c1 + c2 ln x)sen

3

2 ln x

+ (c3 + c4 ln x)cos

3

2 ln x

x

.

Existe una manera diferente de abordar el problema de la resolucion deuna ecuacion del tipo de Cauchy-Euler. La idea es aplicar el cambio devariable x = et con el proposito de convertirla en una ecuacion homogeneacon coeficientes constantes. En efecto, una forma equivalente del cambio devariable es t = ln x. Por lo tanto,

dy

dx=

dy

dt

dt

dx=

1

x

dy

dt,

d2y

dx2

=d

dx

dy

dx

=d

dx

1

x

dy

dt=

1

x

d

dx

dy

dt 1

x2dy

dx=

1

x

d2y

dt2dt

dx 1

x2dy

dx

=1

x2

d2y

dt2 dy

dt

.

Sustituyendo en

a2x2 d

2y

dx2+ a1x

dy

dx+ a0y = 0,

tenemos

a2x2 1

x2

d2y

dt2 dy

dt

+ a1x

1

x

dy

dt+ a0y = 0

o bien

a2

d2y

dt2 dy

dt

+ a1

dy

dt+ a0y = 0.

Ahora, reunimos terminos semejantes

a2d2y

dt2+ (a1 a2) dy

dt+ a0y = 0.


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Por ultimo, el polinomio auxiliar de esta ecuacion es

a2

r2 + (a1

a2

)r + a0

= a2

r(r

1) + a1

r + a0

= 0

que es el polinomio auxiliar ya deducida por otro metodo.

Problemas

Resuelva cada ecuacion que aparece en los problemas 1 al 12.

1. x2y + xy = y 2. x2y + 4xy + 2y = 0

3. 3x2y + 5xy y = 0 4. x2y + xy 7y = 05. x2y 3xy + y = 0 6. 6x2y + xy 6y = 07. x2y + xy + 4y = 0 8. x2y 3xy + 4y = 09. x2y 5xy + 10y = 0 10. x2y + xy = 0

11. x2y + y = 0 12. 9x2y + 3xy + y = 0

En los problemas 13 y 14 escriba el polinomio auxiliar de Cauchy-Euler,asociada con cada ecuacion que se plantea.

13. x3y = 5xy + y 14. x5y + 4x4y = 3y

En los problemas 15 y 16, resuelva la ecuacion

x2y + 4xy 4y = 0

en dos formas diferentes:

15. Multiplicando por x. 16. Sustituyendo u = y.

17. Resuelva x3y + 6x2y + 7xy + y = 0.

18. Resuelva x4y + 6x3y + 9x2y + 3xy + y = 0.

En los problemas 21 al 24, encuentre una ecuacion de Cauchy-Euler quetenga las soluciones que se proporcionan.

19. y = c1x3 + c2x

3

20. y = c1x2 + c2x

4

21. y =

x(c1 + c2 ln x)

22. y = c1x sen(ln x) + c2x cos(ln x)


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PROBLEMAS 49

2.4. Variacion de parametros

problemas

Resuelva cada ecuacion que aparece en los problemas 1 al 12 por metodo devariacion de parametros

1. y y = ex2. y y 2y = 3ex3. x2y 2xy + 2y = x24. y + y = sec x tan x5. x2y + xy y = 4x ln x6. y 4y + 4y = x2e2x7. y + 2y + y = x1/2ex

8. x

2

y 3xy + 4y = x2

ln x9. y + 4y = 4 cos(2x)

10. y 3y + 2y = xe2x11. x2y + xy + y = sec(ln x)12. 4x2y + 4xy y = 4x3/2ex

Resuelva cada ecuacion que aparece en los problemas 13 al 18 mediantevariacion de parametros, dejando los resultados en terminos de integrales.

13. y y = 2ln x14. x2y 2y = 3ex15. xy + xy = 116. y 2y + y = ex 2+x17. x3y + x2y 4xy = 4 sen x18. y + 2y + 2y = sec x

Resuelva cada ecuacion que aparece en los problemas 19 al 22 mediantevariacion de parametros. En cada caso, se dan dos soluciones linealmenteindependientes de la ecuacion homogenea relacionada.

19. xy + (x 1)y y = 4x2ex; y = x 1, y = ex20. x2y + (x 2x2)y + (x2 x 1)y = 2xex;

y = xex, y = x1ex

21. xy + 2y xy = 2e2x; y = x1ex, y = x1ex22. x2y 2xy + (x2 + 2)y = x3; y = x sen x,

y = x cos x

Resuelva cada ecuacion que aparece en los problemas 23 al 26 mediantevariacion de parametros.

23. y 2y y + 2y = 6e2x


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24. y y y + y = 4ex25. x3y x2y + 2xy 2y = x26. y 3y + 3y y = x2ex

2.5. Anuladores y operadores

Tabla basica de anuladores con coeficientes constantes

FuncionAnulador de menor

orden

xn Dn+1

eax D axneax (D a)n+1sen(bx), cos(bx) D2 + b2

xn sen(bx), xn cos(bx) (D2 + b2)n+1

eax sen(bx), eax cos(bx) (D a)2 + b2xneax sen(bx), xneax cos(bx) ((D a)2 + b2)n+1

Problemas

Calcule cada funcion que aparece en los problemas 1 al 4.

1. (D 3)[sen x]2. (D2 + D + 4)[x2 + e2x]

3. D2(D + 2)[cos(2x) + ex + 3x 1]4. (D 1)3[x4 3x2 + 5ex]En los problemas 5 al 7, escriba cada ecuacion diferencial en la notacion deoperadores.

5. y 4y + 2y = 06. 2y 5y = xex7. y + 6y 7y = cos(4x)Para cada funcion que aparece en los problemas 8 al 19, encuentre el anuladorde menor orden.

8. x4 x2 + 1 14. x sen x + 5 cos(3x)9. e2x 7 15. x3(1 + e2x)

10. 2ex + xex 16. (x2 + cos x)ex

11. 3x3 + 5e4x + 7e4x 17. (x e3x)(sen(2x) + 4)12. ex + 3e5x 18. (1 + x)(1 + ex)(1 + cos x)13. 4 sen(2x) + cos(2x) 19. sen(4x) + sen2(4x)


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PROBLEMAS 51

En los problemas 20 al 27 calcule cada funcion.

20. D[x2ex] 24. D[ex sen(2x)]

21. D[(x + 1)e2x] 25. D2[ex ln x]22. D[(x2 5x + 1)e4x] 26. D[xe2x cos(3x)]23. D2[(x2 1)e3x] 27. D3[x3ex]En los problemas 28 al 31 calcule cada funcion.

28. (D 1)2[x2ex] 30. (D + 1)2[(x2 + x 4)ex]29. (D + 2)3[x3e2x] 31. (D 3)2[e3x sen(4x)]Resuelva cada ecuacion que aparece en los problemas 32 al 38.

32. y + y = x

33. y 3y = e3x

cos(2x)34. y 4y = e2x35. y 2y + y = x3ex36. y + 4y + 4y = x2e2x

37. y + 3y + 3y + y = x1/2ex

38. y 4y + 6y 4y + y = ex sen(2x)2.6. El metodo de coeficientes indeterminados

Problemas

Resuelva cada ecuacion que aparece en los problemas 1 al 20 mediante

el metodo de coeficientes indeterminados.

1. y + y = e2x

2. y + y 2y = 4x23. y 3y + 2y = (x + 1)24. y + 6y + 9y = e3x + 25. y + 7y = cos(2x) + 8e5x

6. y + 2y + y = sen x7. y 2y = 3 sen(5x) 2cos(3x)8. y + 5y + 4y = 4x2 + 2x 19. y

y = x4 + 5e2x

10. y + 6y = 12x3 10cos x + 311. y 2y y + 2y = 2x2 + 3e2x12. y 4y = e2x13. y + y 2y = 3xex14. y + 2y + y = ex cos(2x)15. y + y = sen x + cos x


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16. y + 3y + 2y = ex ex17. y y + y y = x2 + ex + 118. y + 8y = e2x19. y y = 4xex20. y 5y + 4y = 8 cos(2x) 12ex

En los problemas 21 al 26, considere que en ciertos casos se puede emplear elmetodo de coeficientes indeterminados como una alternativa para integrarpor partes. La idea consiste en que evaluar

f(x)dx, equivale a resolver la

ecuacion diferencial y = f(x). Emplee esta idea para encontrar cada una delas siguientes integrales:

21. ex cos x dx 24. x sen x dx

22.

(x + 1)2exdx 25.

x4e3xdx

23.

x3exdx 26.

xex sen x dx

Para cada ecuacion que aparece en los problemas 27 al 32, aplique metodo decoeficientes indeterminados. Detengase despues de decidir cuales coeficientesson arbitrarios y cuales son los coeficientes indeterminados.27. y y 2y = x2ex + 2xex28. y + 9y = (x + ex)cos(3x)29. y

4y + 4y = xe2x + x3e2x

30. y 2y + 2y = x2 + 4 + (3x + ex)sen x31. y 4y = e2x + e

2x + sen(2x) + cos(

2x)

32. y + 3y + 2y = x4 + 6x3 x + ex cos x + x2e2x

Para cada ecuacion que aparece en los problemas 33 al 41, indique losmetodos que corresponden: reduccion de orden, variacion de parametros,coeficientes indeterminados. Siempre que sea posible aplicar mas de unmetodo, intente decidir cual es el mas facil para resolver la ecuacion partic-ular.

33. y + y = sen(2x) 37. y y = x1

34. y + y = tan x 38. y 2y + y = ex + 135. y + y = x sen x 39. y 2y + y = ex sen x36. y y = x5 40. x2y xy + y = x41. y xy + y = ex, dado que una solucion de la ecuacion homogenea

relacionada es y = x.


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REPASO 53

Repaso

Cada ecuacion que aparece en los problemas 1 al 10 tiene una solucion de

la forma que se indica. Encuentre dicha solucion y usela para obtener lasolucion completa

1. y + y 2y = 6ex; y = ex2. y y = 3x3; y = x33. x2y + xy 6y = 7; y = 14. x2y + 3xy 3y = x2; y = x25. y + 5y 6y = 12x 4; y = x + 16. y + 7y = x2 x; y = x2 + x + 17. x3y + x2y + 2xy = 1; y = x1

8. y

5y = cos(2x); y = sen(2x) + cos(2x)

9. y 4y + 4y = 5 sen x; y = sen x + cos x10. y 9y = 2e3x; y = xe3x

Para cada ecuacion que aparece en los problemas 11 al 17, indique losmetodos que se aplican: reduccion de orden, variacion de parametros, coe-ficientes indeterminados. Siempre que pueda aplicarse mas de un metodo,intente decidir cual es el mas facil para resolver la ecuacion en particular.

11. y + y 2y = x2 14. y + 4y + 4y = x2e2x12. x2y + xy 2y = xex 15. y + 8y = ex sen x13. y + 4y + 4y = x2e2x 16. y + 8y = ex sec x

17. y+(ln x + 1)y+(ln x)y = x ln x, dado que una solucion de la ecuacionhomogenea relacionada es y = ex.

Resuelva cada ecuacion que aparece en los problemas 18 al 21 empleandola reduccion de orden. En cada caso se da una solucion no trivial. Deje larespuesta en forma de integral cuando sea necesario.

18. x2y (x2 + 2x)y + (x + 2)y = 0; y = x19. xy 2(x + 1)y + (x + 2)y = 0; y = ex20. y + (ln x + 1)y + (ln x)y = 0; y = ex

21. x2y + (x2 5x)y + (8 2x)y = 0; y = x2

Resuelva cada ecuacion que aparece en los problemas 22 al 25 por reducci on

de orden.

22. y y 2y = 3ex 24. x2y 2xy + 2y = x223. y + 4y + 4y = e2x 25. x2y xy + y = 2xResuelva cada ecuacion que aparece en los problemas 26 al 33 mediantevariacion de parametros.26. y + y 2y = 6ex


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27. x2y + xy y = x228. y + 4y + 4y = e2x (compare su respuesta con la del problema 23.)

29. y + 4y = 4 sec x30. x2y 3xy + 4y = x331. (x + 1)y + xy y = (x + 1)2, dado que dos soluciones de la ecuacion

homogenea relacionada son y = x y y = ex.

32 y y 4y + 4y = 12ex33 y + y + y + y = 2e2x

Calcule cada funcion en los problemas 34 y 35.

34. (D + 2)2[cos x] 35. (D2 D 5)[x3 ex + 4]En los problemas 36 al 41, encuentre un anulador de menor orden para cada

funcion.

36. 3x3 + e2x 1 39. x2ex + xe2x37. e3x ex 40. ex sen(5x)38. 3 sen(2x) + 2 cos(3x) 41. (x + ex + cos x)2

Calcule cada funcion en los problemas 42 al 45.

42. D[x3e4x] 44. D[ex sen x]43. D[(x2 + 2)e5x] 45. D2[(x2 + x + 1)e2x]

Resuelva cada ecuacion que aparece en los problemas 46 al 49.

46.y y = xe

x

47. y + 2y + y = ex cos x48. y 4y + 4y = x3e2x49. y + 6y + 12y + 8y = x2e2x

Resuelva cada ecuacion que aparece en los problemas 50 al 57 mediante elmetodo de coeficientes indeterminados.

50. y + 2y = ex + 151. y y 2y = 3e2x52. y + 8y = x3 + x2 + x + 153. y + 4y + 4y = e2x + e2x

54. y 2y + 4y = 8 sen(2x)55. y + 2y 3y = 6xex56. y + y + y + y = cos x57. y + 3y 4y = 3ex + 4 sen xPara cada ecuacion que aparece en los problemas 58 al 61, resuelva pormediante el metodo de coeficientes indeterminados. Detengase despues de


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REPASO 55

decidir cuales coeficientes son arbitrarios, y cuales son los coeficientes inde-terminados.

58. y + y 6y = x2(e3x + e3x)59. y 6y 7y = (x + ex)(x2 e8x)60. y + 4y + 5y = (x2 + e2x)cos x61. y 2y + y + 2y 2y = (x + sen x)(ex + 2 cos x)


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CAPITULO 3

Transformadas de Laplace

En este captulo estudiaremos un concepto, conocido con el nombre detransformada de Laplace, que es muy util en la resolucion de problemas convalores iniciales. Este concepto sirve para convertir una ecuacion diferen-cial, o un sistema de ecuaciones diferenciales, con condiciones iniciales enuna ecuacion algebraica o en un sistema de ecuaciones algebraicas. En la

seccion 3.1 definiremos la transformada de Laplace y desarrollaremos algu-nas de sus propiedades basicas.

3.1. Definicion y propiedades basicas de la transformadas de

Laplace

La transformada de Laplace de una funcion dada, se define medianteuna integral impropia de una funcion de dos variables con respecto a una deestas variables, manteniendo constante la otra variable:

Definicion 3.1.1. La transformada de Laplace de una funcion F(t)definida para t > 0 es

f(s) = 0

estF(t)dt (3.1.1)

para todo valor de s en el cual converge esta integral. La funcion f definidapor esta integral se llama transformada de Laplace de f. Denotaremos latransformada de Laplace f(s) por L[F(t)].

Es necesario imponer algunas restricciones a F con objeto de tener laseguridad de que la integral 3.1.1 exista para toda s en algun intervalo. Peroantes de especificar estas restriccions veremos ejemplos de como determinarla transformada de Laplace de algunas funciones.

Ejemplo 3.1.2. Sea F la constante F(t) = 1, para toda t. Entonces

L[1] =

0 e

st

dt = limAA0 e

st

dt limA

est

sA0

= limA

1

s e

sA

s

=

1

s.

para toda s > 0. En resumen, tenemos

L[1] =1

s, s > 0.

57


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58 3. TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Ejemplo 3.1.3. Considere la funcion F definida por F(t) = eat, dondea es cualquier constante

L[eat] =

0

esteatdt = limA

A

0e(as)tdt = lim

A

e(as)ta s

A

0

= limA

e(as)A

a s 1

a s

= 1a s =

1

s a para todo s > a.

Este este caso el lmite es finito tan solo para ciertos valores de s. Enparticular, si s a es positivo (o bien s > a), entonces el lmite es cero y laintegral impropia converge. Si suponemos esta condicion sobre s, tenemosel resultado

L[eat] =1

s a .

Se estandarizara la notacion de este captulo de la manera siguiente:comenzando con una funcion de t, que se representara usualmente comof(t), obtendremos la transformada de Laplace f(t)

Lf(t)

que sera una funcion de otra variable s. He aqu varios ejemplos es-

pecficos de transformadas de Laplace que, entre otras, se deduciran en estaseccion:

L[1] =1

s

L[t] =1

s2

L[t2] =2s3

L[et] =1

s 1L[sen t] =

1

s2 + 1

L[cos t] =s

s2 + 1.

En la practica, no es necesario mantener el recuerdo de cu ales valores des dan por resultado una integral convergente para cada transformada deLaplace. Mientras conozcamos que existe alguno de dichos s en un caso

dado, procedemos a trabajar con la transformada de Laplace.De la formula (2), resulta facil deducir la transformada de Laplace de

cualquier funcion constante, empleando el principio basico de que, si unafuncion f(t) se multiplica por alguna constante, entonces tambien su trans-formada de Laplace es:

Una propiedad general de las transformadas de Laplace

L[af(t)] = aL[f(t)].


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3.1. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADAS DE LAPLACE 59

Este resultado se puede deducir con facilidad de la definicion 6.1, ya que

Laf(t) =

0

estaf(t) dt = a

0

estf(t) dt.

Luego, en particular, cuando f(t) = 1 se tiene

L[a] = aL[1] = a

1

s

=

a

s.

Transformadas de Laplace de las funciones exponenciales

Se pueden deducir otros resultados mas a partir de . Por ejemplo, unproblema del tipo

L[5e3t 2et + 7]se puede descomponer termino por termino, a la forma

L[5e3t]

L[2et] + L[7],

que con facilidad se encuentra que es

5

s 3 2

s + 1+

7

s

clasificacion de las ecuaciones difrenciales

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