clases de matrices (2015)

Matrices

Tema 1

MATRICES

Pg. 1

Matrices1.- Matrices. Definicin y primeros ejemplos

Una matriz es una tabla rectangular de nmeros reales dispuestos en filas y columnas del modo:

Abreviadamente se puede expresar A = (aij ).

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

Filas de la matriz A

Columnas de la matriz A

Cada elemento de la matriz lleva dos subndices:- El primero de ellos i, indica la fila en la que se encuentra el elemento,- y el segundo, j, la columna.

As el elemento a23 est en la fila 2 y columna 3.Las matrices siempre se representarn con letras maysculas (A, B, C, ).

Pg. 2

MatricesObservacin:

Los ijason llamados componentes o elementos de la Matriz. Pg. 3

Matrices

El conjunto de todas las matrices de orden mxn y con elementos en K se suele denotar por:

( ){ }( ) /m nm n i j i jmxnM K K A a a K = = =

Pg. 4

Matrices

Son ejemplos de matrices los siguientes:

A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su dimensin 2 x 2. Qu elemento es a21?

= 43

12A

= 121

046B

=

001251042013

C

B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamao es 2 x 3. Qu elemento es b23?

C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su dimensin 4 x 3. Qu elemento es c32?

EJEMPLOS

1.- Matrices. Definicin y primeros ejemplosPg. 5

Matrices

En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamao o dimensin es m x n (se lee m por n), siempre en primer lugar el n de filas y en segundo lugar el de columnas.

Igualdad

Dos matrices A y B son iguales cuando contienen los mismos elementos, dispuestos en los mismos lugares:

A = B aij = bij i, j

Lgicamente, para que dos matrices sean iguales es necesario que tengan la misma dimensin.

1.- Matrices. Definicin y primeros ejemplosPg. 6

Matrices2.- Tipos de matrices

Se llama matriz fila a la que slo tiene una fila, es decir su dimensin es 1 x n.

es una matriz fila de dimensin 1 x 4.

Se llama matriz columna a la que slo consta de una columna, es decir su dimensin ser m x 1.

es una matriz columna de dimensin 3 x 1.

( )9401 =B

=

801

C

Por ejemplo,

Segn su dimensin:

Por ejemplo,

Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo nmero de filas que de columnas, es decir su dimensin es n x n.

matriz cuadrada de orden 3.

=

043456321

D

4312 es una matriz cuadrada

de dimensin 2 x 2 o simplemente de orden 2.

Pg. 7

Matrices Matriz cuadrada de orden n:

forman la diagonal principal

Mismo nmero de filas que de columnas

8

Matrices

Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:

En la matriz D, la diagonal principal est formada por 1, 5, 0.

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

Diagonal principal

La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n1, a3,n2, . . ., an1.En la matriz D est formada por 3, 5, -3.

=

043456321

D

2.- Tipos de matricesPg. 9

Matrices

Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.

Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, slo tiene elementos en la diagonal principal.Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.Un ejemplo de matriz diagonal es:

=

00000300004500001

G

=

781631054300400001

E

Triangular inferiorTriangular superior

=300590

341F

Segn sus elementos:


Matrices

Matriz triangular superior

Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas:

Matriz triangular inferior

Ceros debajo de la diagonal principal Ceros encima de la diagonal principal

11

Matrices Matriz diagonal

Matriz unidad

Ceros fuera de la diagonal principal

Ceros fuera de la diagonal principal,unos en la diagonal principal Matriz escalar

Delta de Kronecker

12

Matrices

Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal slo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tamao de la matriz. Algunas matrices identidad son:

=

1000010000100001

4I

=

100010001

3I

= 10

012I

Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

es una matriz nula de tamao 2x5.

= 00000

00000APor ejemplo,


Matrices

Matrices escalonadas

Fjate en las siguientes matrices:

De ellas se dice que son matrices escalonadas.

En ellas se cumple que:

Si hay filas nulas, estn situadas en la parte inferior de la matriz. En las filas no nulas, el primer elemento diferente de cero es uno. En las filas no nulas, el primer elemento diferente de cero de una fila est situado ms a la derecha que el primer elemento diferente de cero de la fila inmediatamente superior.

1 1 10 1 6

A

=

1 5 00 1 20 0 1

B =

1 60 00 00 0

C

=

1 5 00 1 20 0 0

D =


Matrices3.-Transformaciones elementales

Existen una serie de operaciones que se pueden hacer con las filas de una matriz y que permiten convertirla en una matriz escalonada: las transformaciones elementales.

En general, si llamamos Fi a la fila i-sima y Fj a la fila j-sima, las transformaciones elementales son:

Intercambiar dos filas. Fi Fj.

Sumar a una fila los elementos correspondientes de otra fila multiplicada por un n real k.

Fi Fi + kFj

Multiplicar todos los elementos de una fila por un nmero real no nulo.

Fi kFi

351124

202

124351202F2 F3

351124

202

351124

8100F1 F1 + 2F3

351124

202 F2 2F2

351248202

Ejemplo

Pg. 15

Matrices

Estas transformaciones permiten definir una equivalencia entre las matrices de igual dimensin.

Dos matrices son equivalentes si una de ellas se obtiene a partir de la otra mediante transformaciones elementales.

EJEMPLO

=

134122111312

A

134122111312

134113122211

15503110

2211

140003110

2211

F1 F2

F2 F2 2F1F3 F3 + F1

F3 F3 + 5F2

Reducir a forma escalonada la matriz

Para facilitar los clculos posteriores, hacemos que el elemento a11 sea 1:

Hacemos que el elemento a32 sea 0:

Hacemos que los dems elementos de la primera fila sean 0:

Que est en forma escalonada

3.-Transformaciones elementalesPg. 16

Matrices

EJERCICIO

3.-Transformaciones elementales

Reduce a forma escalonada las matrices:

=

021310149432

B

=

131110315432181512

D

=

288046215131

C

=

1063752321

A

Pg. 17

Matrices4.- Operaciones con matrices

Dadas dos matrices A y B de la misma dimensin m n, la matriz suma, A + B, es la que se obtiene sumando los elementos que en cada una de ellas ocupan la misma posicin.

Si las matrices tienen diferente tamao, no se pueden sumar o restar entre s.

323232641714

523402

124312

=

+

EJEMPLO

De forma abreviada: (aij) + (bij) = (aij + bij)

++

++=

+

=+

mnmnmm

nn

mnm

n

mnm

n

baba

baba

bb

bb

aa

aaBA

............

...

............

...

............

...

11

111111

1

111

1

111

4. 1. Suma y diferencia

Pg. 18

Matrices

Propiedades de la suma de matrices:

323232407110

523402

124312

=

EJEMPLO

La existencia de elemento opuesto permite definir la matriz diferencia(resta), A B. Es la que se obtiene al sumar A con B:

A B = A + ( B)

a) Conmutativa: A + B = B + A

b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

c) Elemento neutro: La matriz nula del tamao correspondiente.

d) Elemento opuesto de A: La matriz A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.

A + 0 = 0 + A

A + ( A) = ( A) + A = 0

4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferenciaPg. 19

Matrices

( ) ( ) ( ) , , ( ) m nMA a B b C KC = = = ij ij ij

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

A B C a b c a b c

a b c a b c A B C

+ + = + + = + +

= + + = + + = + +

ij ij ij ij ij ij

ij ij ij ij ij ij

( ) ( ) A B a b b a B A+ = + = + = +ij ij ij ij

( ) ( ) ( ) 0 0A A a a + = + = =ij ij

Demostracin: Pongamos

.

.

.Entonces:

( ) ( ) ( )0 0 0A a a A+ = + = + =ij ij

Pg. 20

Matrices

Si

porque:

232323000000

932410

932410

=

+

EJEMPLO

4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia

=932410

A

3 2

=

932410

A

3 2

Opuesta de una matriz

Pg. 21

Matrices

2. Calcula x, y, z en la suma:

3. Calcula a, b, cpara que se cumpla la igualdad:

=

++

+

60221

02142

61423 a

cba

cba

=

+

142440311

3232

0

201

21

xz

zy

zxy

yx

1. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 pases A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los aos 2000 y 2001 vienen dadas por las matrices:

Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos aos.Cuntos millones ha exportado el pas B al Z en total?Calcula el incremento de las exportaciones del ao 2000 al 2001.

EJERCICIOS

4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia

=

3,42,0212,31,117,15

173,132001A

X Y ZABC

=

3,22,39,202,1105,145,07,611

2000AABC

X Y Z

Pg. 22

Matrices

Dada una matriz cualquiera A de dimensin m n y un nmero real k, el producto kA se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual dimensin. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un nmero real).

Propiedades:a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k(A + B) = kA + kBb) Distributiva respecto de la suma de nmeros: (k + d)A= kA + dAc) Asociativa: k(dA)=(kd)Ad) Elemento neutro, el nmero 1: 1A=A

323251020

155101243125

=

EJEMPLO

=

=

mnm

n

mnm

n

akak

akak

aa

aakAk

............

...

............

...

1

111

1

111

4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un n realPg. 23

Matrices

1.[ ] [ ]( ) ([ ] ) ([ ] [ ])( ) ( ) .

2. ( ) ( ) ( [ ]) ([ ] [ ])( ) ( ) .

3.( ) ([ ] ) ( [ ]) ( ) ( ).4.1 (1 ) ( ) .

ij ij ij ij

ij ij

ij ij ij ij ij ij

ij ij

ij ij ij

ij ij

A a a a aa a A A

A B a b a b a ba b A B

A a a a AA a a A

+ = + = + = +

= + = +

+ = + = + = +

= + = +

= = = =

= = =

, ,( ) , ( ) . :ij i j ij i jA a B b Entonces= =DEMOSTRACION.

Pongamos

Pg. 24

Matrices

1. Si

halla una matriz X que verifique la ecuacin: 2X 4A = B

2. Determina las matrices X e Y sabiendo que:

=

= 20

01y 1011 BA

= 18

2153 YX

=+ 03

423YX

EJERCICIOS

4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un n realPg. 25

Matrices

Producto de una matriz fila por una matriz columna.

Sea A una matriz fila y B una matriz columna:

( )132 =A

=

521

B

Definimos el producto de la matriz A por la matriz B (en este orden):

( ) =

=

521

132BA 21 + (3)2 + 15 = 2 6 + 5 = 1

1 x 3 3 x 1

Observa que el resultado es un nmero

1 x 3 3 x 1

Hemos emparejado cada elemento de A con un elemento de B, luego el nmero de estos elementos (n de columnas de A y n de filas de B) debe coincidir para poder realizar este producto.

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matricesPg. 26

Matrices

Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condicin:

Una vez comprobado que el producto AB se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p (observa que el n de columnas de A = n= n de filas de B), entonces el producto AB da como resultado una matriz C de tamao n x p del siguiente modo:

El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C = AB, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados

Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, AB , es condicin indispensable que el nmero de columnas de A sea igual al nmero de filas de BSi no se cumple esta condicin, el producto AB no puede realizarse, de modo que esta es una condicin que debemos comprobar previamente a la propia multiplicacin.


Matrices

A B = ABm n n p m p

Es posible el producto

Columnas

Filas

La matriz producto, AB, si existe, es la que se obtiene de la forma siguiente:

El elemento de esta matriz que ocupa la fila i-sima y la columna j-sima es el que se obtiene de multiplicar la fila Fi por la columna Cj.

=

=

nmm

n

knk

n

mkm

k

CFCF

CFCF

bb

bb

aa

aaBA

............

...

............

...

............

...

1

111

1

111

1

111F1

C1


Matrices

1.- Comprobamos que se puede realizar el producto AB, pues el n de columnas de A es 4 y el n de filas de B tambin es 4.

3.- Slo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior:

= 2352

4123A

=

123202121140

B

EJEMPLO Para multiplicar las matrices:

2.- El resultado, segn lo dicho ser una matriz de dimensin 2 x 3, tiene 2 filas y 3 columnas:

2 44 3

123202121140

2 4 4 3 2 3

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices

23524123

=

Pg. 29

Matrices4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices

=

123202121140

2 4 4 3 2 3

El elemento de la fila 1 y columna 1 de AB proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:

F1 C1 = (3 2 1 4)

0123

= (3)0 + 21 + 12 + 43 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16

16F1

C1

23524123

Pg. 30

Matrices4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices

=

123202121140

2 4 4 3 2 3

F1C2 = (3 2 1 4)

4202

16F1

C2

El elemento de la fila 1 y columna 2 de AB proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar:

16

= (3)(4) + 2(2) + 10 + 42 = 12 4 + 0 + 8 = 16

23524123

Pg. 31

Matrices

123202121140

2 4 4 3 2 3

F1C3 = (3 2 1 4)

1121

16F1

C3

16

= (3)1 + 21 + 12 + 41 = 3 + 2 + 2 + 4 = 5

El elemento de la fila 1 y columna 3 de AB proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar:

5


23524123

=

Pg. 32

Matrices

As sucesivamente se obtienen los dems elementos de la matriz producto:

123202121140

2 4 2 3

16 16 5F2

C1

5

4 3


23524123

=

Pg. 33

Matrices


123202121140

2 4 2 3

16 16 5F2

C2

5 22

4 3


23524123

=

Pg. 34

Matrices

= 11225

51616BA


123202121140

2 4 2 3

16 16

11F2

C3

5

5 22

As la matriz producto es:

B A4 3 2 4

Observa que el producto BA no se puede hacer:

4 3


23524123

=

Pg. 35

Matrices

1. Si calcula, si es posible, AB y BA.Coinciden?

2. Lo mismo si

Adems, calcula A2 y A3.

= 511

203B,142011

=A

= 543

012C

=

121

B

=

120111321

A

EJERCICIOS


= 6231A

= 12

53B

3. Calcula todos los productos posibles entre las matrices:

Pg. 36

Matrices

Propiedades del producto de matrices

c) Elemento neutro: la matriz identidad correspondiente. Si A es m x n:

d) En general el producto de matrices no es conmutativoPueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Ten cuidado con esta propiedad.

e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:

Se dice que el conjunto de las matrices con la operacin producto tiene divisores de cero, es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo.

CABACBA +=+ )(ACABACB +=+ )(

AIA n =AAIm =

ABBA

1213

3200

425

120312

=

a) Asociativa: A(BC) = (AB)Cb) Distributiva respecto de la suma:


Matrices

( ), ,

( )( ) ( [ ]) ( )( [ ]) ( ) ( )

ik l kl lj k ik l kl lj kl ik kl lj

l k ik kl i j k ik kl i l

a b c a b c a b ca b a

Ab

CC

BAB

= = =

= = =

( ) ( )( ) ( [ ])( [ ])

ik kj kj k ik kj kj

k ik kj ik kj

A B C a b c a b ca b a c

+ = + = +

= +

([ ] [ ]) ( ) ( )k ik kj k ik kj k ik kj k ik kja b a c a b a cAB AC

= + = +

= +

Pg. 38

Matrices

1. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, son ciertas las propiedades siguientes, que son ciertas para las operaciones con nmeros reales?:

a) (A + B)2 = A2 + B2 + 2 A Bb) (A B)2 = A2 + B2 2 A Bc) (A + B) (A B) = A2 B2

2. Determina los valores de a y b de la matriz

para que A2 = A.

3. Qu matrices conmutan con la matriz ?

= baA

12

1021

EJERCICIOS


MatricesPropiedades del producto de matrices (II)

I. La multiplicacin de matrices no cumple la propiedad conmutativa: si una delas dos matrices no es cuadrada ni siquiera tiene sentido plantear el producto enun orden distinto al dado.

II. Si A . B = 0 entonces no siempre ocurre que A = 0 B = 0.

III. Si A . C = B . C y C 0, entonces no necesariamente A = B.

IV. (A + B)2 A2 + 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

V. (A B)2 A2 2A . B + B2 salvo que A y B conmuten.

VI. A2 B2 (A B) . (A + B) salvo que A y B conmuten.

Ejemplo: Aunque

0 2

0 0.

0 3

0 0 =

0 0

0 0 ninguno de los factores que forman el producto es la matriz nula.

Matrices

POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS

Una de las herramientas principales en el estudio de las ecuaciones diferencialeslineales es el lgebra matricial. En concreto, el clculo de potencias naturales dematrices cuadradas resulta de gran inters en el estudio de las ecuacionesdiferenciales.Adems, las potencias de matrices desempean un papel importante en diversasaplicaciones, como por ejemplo en el modelo de Leontief de entrada-salida.

Si y : -PROPIEDADES.-

1.-

2.-

41

Matrices

Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.

Si

entonces la matriz traspuesta de A es:

Si A es una matriz de dimensin m x n, su traspuesta At tendr dimensin n x m, pues el nmero de columnas pasa a ser el de filas y viceversa.

Propiedades:a) (At)t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.b) (A + B)t = At + Btc) (k A)t = k Atd) (A B)t = Bt At

= 12437012A

=

17204132

tA

EJEMPLO2 4

4 2

Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendr la misma dimensin.

4.- Operaciones con matrices 4. 4. Trasposicin de matricesPg. 42

Matrices

La traspuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At. Si A = (aij ). entonces At = (aji ). Si A es mxn, entonces At es nxm.

Pg. 43

Matrices

En base a esta nueva operacin, podemos definir otras dos clases de matrices:

Matriz simtrica: matriz cuadrada que coincide con su traspuesta; es decir, una matriz cuadrada es simtrica si se cumple que At = A.

En una matriz simtrica, los elementos son simtricos respecto a la diagonal principal.

Matriz antisimtrica: matriz cuadrada cuya opuesta coincide con su traspuesta; es decir, si cumple que At = A.Por ejemplo:

En una matriz antisimtrica, los elementos de la diagonal principal son siempre nulos (por qu?), y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal.

=723201

312A

=023201

310B

es simtrica

es antisimtrica (comprueba).


Matrices

Slo para matrices cuadradas

A simtrica si y slo si , es decir:

A antisimtrica si y slo si , es decir:

Cmo son los elementos de la diagonal principalde una matriz antisimtrica?

Las matrices (cuadradas) simtricas y antisimtricas se pueden caracterizarutilizando la relacin que tienen con sus traspuestas.

45

Matrices

Slo para matrices cuadradas

A peridica si . Si p es el menornmero natural que satisface , entoncesdecimos que A es una matriz peridica de perodo p.

A idempotente si .

A nilpotente si . Si p es elmenor nmero natural que satisface ,decimos que A es una matriz nilpotente de ndice p.

A involutiva si .

A continuacin estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad alcomportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por ejemplo,desempean un papel importante en algunas reas de la Estadstica y la Econometra.

46

Matrices

1. Dadas las matrices

calcula 3At Bt .

2. Obtener las matrices X e Y que verifiquen los sistemas:

=

431341331

A

=

016102211

B

= 24

5132 YX

= 63

01YX

a)

=+ 03

12YX

= 10

26YX

b)

=+ 20

132 YX

=+ 42012YX

c)

EJERCICIOS


Matrices Pg. 48

Matrices Pg. 49

Matrices5.- La matriz inversa

En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos AB y BA, que darn como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes sern, en general, distintas.

El inverso del nmero 2 para el producto es un nmero real x tal que

2x = 1,el producto de 2 por x es igual al elemento neutro, el 1.

Sabemos tambin que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In.

Recordemos que ocurra con los nmeros reales:

En el caso de los nmeros reales es bien fcil despejar x:

Todo nmero real, salvo el 0, tiene inverso.

x = 12

El inverso de un nmero real es otro nmero que multiplicado por l da el elemento neutro, el 1.

Esto nos permite resolver ecuaciones del tipo:

ax = b

2x = 6

2x = 612

12

x = 31

Pg. 50

Matrices

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que

es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In.

Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los nmeros reales:

nIXA =

5.- La matriz inversa

1) No podemos despejar la matriz X del modo X = In/A, porque no hemos definido la divisin de matrices.2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz inversa (sea lo que sea, por analoga con los nmeros).

Pg. 51

Matrices

Si una matriz cuadrada de orden n , A, tiene inversa se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular).

y

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

nIAA =1

nIAA =1

Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A siAB = BA = I,

siendo I la matriz unidad o identidad.La matriz inversa de A se representa por A1.

Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es nica (slo hay una). Para calcular dicha matriz inversa, podemos utilizar varios mtodos. A continuacin veremos dos mtodos. En el tema 3 veremos otro.

Por tanto, si una matriz cuadrada de orden n , A, tiene inversa, A1 , se cumple que:

5.- La matriz inversaPg. 52

Matrices

lo que buscamos es otra matriz de igual tamao (orden 2)

= tz

yxA 1

= 21 IAA

=

10

011121

tzyx

=

++++

100122

tyzxtyzx

Consiste en determinar A1 planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por ejemplo queremos determinar la inversa de la matriz

= 1121A

que debe cumplir A A1 = I2 y A1 A = I2,

x + 2z = 1y + 2t = 0x + z = 0y + t = 0

Es decir, hemos de resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitas, aunque en realidad son 2 sistemas de dos incgnitas cada uno (uno con x y z y otro con y y t).

5.- La matriz inversa 5. 1. Mtodo directoPg. 53

Matrices

Se puede comprobar que tambin se cumple que A1 A = I2, luego A es invertible, tiene inversa.

Resolviendo el sistema se obtiene que

por lo que la matriz inversa es:

= 11

2131

x + 2z = 1y + 2t = 0x + z = 0y + t = 0

5.- La matriz inversa 5. 1. Mtodo directo

x = 13

y = 23

z = 13

t = 13

1 3 2 3

1 3 1 3

A1 =

Pg. 54

Matrices

Por ejemplo, si

Y por ejemplo de 2x + 2z = 0 se obtiene x = z, si se sustituye en la primera ecuacin es z + z = 1, es decir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene solucin.

= 22

11A

= 21 IAA

=

1001

2211

tzyx

=

++++

1001

2222 tyzxtyzx

Si el sistema no tiene solucin, la matriz no tiene inversa.

x + z = 1y + t = 02x + 2z = 02y + 2t = 0

Por tanto A no es invertible, es singular.

Este mtodo directo slo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamao 2, puesto que para las de tamao 3 obtenemos un sistemas de !9 ecuaciones con 9 incgnitas! que realmente es difcil de resolver.

5.- La matriz inversa 5. 1. Mtodo directoNo todas las matrices tienen inversa.

Pg. 55

Matrices

Sea A = (aij) la matriz dada e I3 la matriz unidad. Se parte del siguiente esquema:

Si en el proceso aparece en el lugar de la matriz A (en la parte izquierda) alguna fila nula, la matriz no tiene inversa.

Aplicar transformaciones elementales hasta llegar a

la forma:

Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz A1.

5.- La matriz inversa 5. 2. Mtodo de Gauss-Jordan

(A | I3)

(I3 | A1)

100010001

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

100010001

bbbbbbbbb

Pg. 56

Matrices

Calcula por el mtodo de Gauss-Jordan la inversa de la matriz

i) Consideramos la matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente:

ii) Se hace la matriz A triangular superior (es decir, hacemos ceros por debajo de la diagonal principal) usando transformaciones elementales en filas.

= 1121A

EJEMPLO


1 2 1 01 1 0 1 (A | I2) =

En nuestro caso, basta sumar la fila 2 con la fila 1, y se obtiene:

1 2 1 01 1 0 1 (A | I2) =

1 2 1 00 3 1 1

F2 F2 + F1

Pg. 57

Matrices

iii) Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular inferior, haciendo ceros a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecido al anterior:


iv) Ya tenemos una matriz diagonal. Lo nico que falta es dividir a cada fila entre el nmero adecuado para obtener unos en la diagonal principal, es decir, para obtener la matriz identidad en la parte izquierda:

v) Una vez se tiene la matriz identidad en la parte de la izquierda, la parte derecha es la matriz inversa, es decir, llegamos a:

matriz que habamos obtenido antes por el mtodo directo.

= 11

2131

1 2 1 00 3 1 1

3 0 1 20 3 1 1

F1 3F1 2F2

3 0 1 20 3 1 1

(F1)/3 , (F2)/3 1 0 1/3 2/3

0 1 1/3 1/3

(I2 | A1) =1 0 1/3 2/30 1 1/3 1/3

A1 =1/3 2/31/3 1/3

Pg. 58

Matrices

Si al realizar el mtodo de Gauss-Jordan en algn momento alguna fila es de ceros, la matriz no tiene inversa.


Si calculamos por este mtodo la inversa de resulta:

Como aparece una fila de ceros, la matriz A no tiene inversa.

= 22

11A

1 1 1 02 2 0 1 (A | I2) =

1 1 1 00 0 2 1

F2 F2 2F1

Cuanto mayor sea el orden de la matriz, mejor es este mtodo frente al directo.

Condicin para que una matriz tenga inversa(segn el mtodo de Gauss)

EJEMPLO

Pg. 59

Matrices

Calcula, por el mtodo de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz

Siguiendo los pasos anteriores:

=

101211011

B

EJEMPLO


(B | I3) =F2 F2 + F1F3 F3 F1

F3 2F3 + F2 F2 2F2 F3

F1 4F1 F2

1 1 0 1 0 01 1 2 0 1 01 0 1 0 0 1

1 1 0 1 0 00 2 2 1 1 00 0 4 1 1 2

1 1 0 1 0 00 2 2 1 1 00 1 1 1 0 1

1 1 0 1 0 00 4 0 3 1 20 0 4 1 1 2

4 0 0 1 1 20 4 0 3 1 20 0 4 1 1 2

Pg. 60

Matrices

Tambin se puede expresar, sacando factor comn:


= (I3 | B1)1 0 0 1/4 1/4 2/40 1 0 3/4 1/4 2/40 0 1 1/4 1/4 2/4 1/4 1/4 1/2

B1 = 3/4 1/4 1/21/4 1/4 1/2

1 1 2B1 = 3 1 2

1 1 2

14

F14

F24

F34

4 0 0 1 1 20 4 0 3 1 20 0 4 1 1 2

Pg. 61

Matrices

1. Calcular por el mtodo de Gauss-Jordan la inversa de las matrices:

2. Dada la matriz diagonal

calcula su inversa. Cmo calcularas de forma rpida la inversa de una matriz diagonal cualquiera?

=012423321

B

=

101210412

C

=

500020003

D

EJERCICIOS

5.- La matriz inversa

= 13

12A

Pg. 62

Matrices6.- Rango de una matriz

El concepto de rango se encuentra ligado al de independencia lineal de filas o columnas de una matriz, pero no se introducir de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos.

Baste saber que se define el rango de una matriz como el nmero mximo de filas o columnas linealmente independientes.

Sin embargo, el clculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizando el mtodo de Gauss.

Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que aplicamos el mtodo de Gauss con el fin de simplificarla lo ms posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor nmero de ceros posible, que est en forma escalonada), realizando operaciones elementales en filas.

Llamaremos rango de la matriz A y lo representaremos por Rang(A) al nmero de filas no nulas de la matriz tras aplicarle el mtodo de Gauss.

A continuacin veremos cmo asignar a una matriz un parmetro llamado rango.

Pg. 63

Matrices

Rango de una matriz escalonada

El rango de una matriz escalonada A es el nmero de filas no nulasde A. Lo denotamos por rang(A)

= 620

113A

=

200230051

B

=

00000064

C

=

000230051

D

EJEMPLOS

rang(A) = 2

rang(B) = 3

rang(C) = 1

rang(D) = 2

6.- Rango de una matrizPg. 64

Matrices

Rango de una matriz cualquiera

Nos preguntamos ahora cmo podemos definir el rango de una matriz cualquiera.

Vimos que mediante transformaciones elementales podemos transformar cualquier matriz en otra equivalente que sea escalonada.

El rango de una matriz A es el rango de una matriz escalonada equivalente a A.

As que para obtener el rango de una matriz la transformamos en una matriz escalonada mediante transformaciones elementales (Las transformaciones elementales no modifican el rango).El rango de la matriz ser el nmero de filas no nulas de la matriz escalonada.


Matrices

Calcular el rango de las siguientes matrices:

Rg(A)=1 ,slo una fila distinta de cero.

Rg(B)=2 hay 2 filas no nulas.

Rg(C)=2 hay 2 filasno nulas.

Rg(D)=1, slo una filano nula.

= 22

11A

= 11

30B

=

211112011

C

= 321

642D

a)

b)

c)

d)

220110011

000110011

EJEMPLOS

6.- Rango de una matriz

000642F2 2F2 + F1

F2 F2 2F1F3 F3 + F1 F3 F3 + 2F2

F2 F2 2F1

0011

F2 F1

3011

Pg. 66

Matrices

Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que el nmero de filas de la matriz.

Propiedad: Si A es una matriz de tamao m x n no nula se cumple que:

1 rang(A) min{m, n}


De hecho se verifica que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que su nmero de filas y de columnas, pues el proceso para hacer el mtodo de Gauss se puede hacer indistintamente mediante operaciones elementales en filas o en columnas.Esto permite, antes de calcular el rango de una matriz, saber entre qu valores va a estar ese rango.

Por ejemplo, en el caso c) del ejemplo, como la matriz es 3x3 , el rango slo puede ser 0, 1, 2 o 3, no hay otras posibilidades.En el caso del apartado d), como la matriz es 2 x 3, el rango slo puede ser 0,1 o 2. (De hecho, podemos reducir esto algo ms , pues una matriz slo tiene rango cero si es la matriz nula).Resumiendo:

Pg. 67

Matrices

Calcular en funcin de k el rango de la matriz:

Aplicando Gauss,

Ahora es evidente que si k 6 = 0, la ltima fila es nula. Por tanto, si k = 6, la ltima fila es nula y el rango de A es 1, Rg(A)=1, mientras que si k - 6 es distinto de cero, es decir si k es distinto de 6, hay 2 filas no nulas y el rango de A es 2, Rg(A)=2. Resumiendo:

La siguiente propiedad permite relacionar el concepto de rango con el de matriz inversa visto anteriormente:

Propiedad:Una matriz cuadrada A tiene inversa Rg(A) es mximo.

= kA 33

211

= kA 33

211

Si k 6, entonces Rg(A) = 2Si k = 6, entonces Rg(A) = 1

EJEMPLO


F2 F2 3F1

600211

k

Pg. 68

Matrices

1. Calcula el rango de A segn los valores de k:

Para qu valores de k tiene A inversa?

2. Calcula el rango de las matrices:

=

kA

15311121

= 012

101A

=240101

120B

=

1000111201001112

C

=

131110315432181512

D

EJERCICIOS


Matrices7.- Aplicaciones de las matrices

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numricos atendiendo a dos criterios o variables.

Sabiendo que en un ao se venden el siguiente nmero de paquetes:

Resumir la informacin anterior en 2 matrices A y B, de tamao respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un ao (A) y los precios (B).

2 unid. 5 unid. 10 unid.Color N 0,04 0,08 0,12Color F 0,03 0,05 0,08

Color N Color F2 unid. 700000 500005 unid. 600000 4000010 unid. 500000 500000

EJEMPLO Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Pg. 70

Matrices

Nos piden que organicemos la informacin anterior en dos matrices de tamao concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de informacin, y simplemente recogen los datos numricos del problema en cuestin.

Otras matrices son las llamadas matrices de relacin, que indican si ciertos elementos estn o no relacionados entre s. En general, la existencia de relacin se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relacin se expresa con un 0.Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la informacin dada por un grafo y expresarla numricamente.

7.- Aplicaciones de las matrices

2 unid 5 unid 10 unid

NF

= 5000004000050000

500000600000700000A2 unid5 unid10 unid

N F

=

08,012,005,008,003,004,0

B

Pg. 71

Matrices

En Matemticas, un grafo es una coleccin cualquiera de puntos conectados por lneas.

Grafo Grafo simple Grafo dirigido.


Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:

* Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, lneas que unan un punto consigo mismo, ni lneas paralelas, es decir, lneas que conectan el mismo par de puntos.* Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada lnea, mediante una flecha.

Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:

Pg. 72

Matrices

Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que:


0000000101001010

A B C D

ABCD

* un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila ihasta el punto de la columna j mediante una lnea que los una directamente.

* un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una lnea que los una directamente.

La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior ser:

Pg. 73

Matrices

1. Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:

2. Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia:

EJERCICIOS


0110000110001110

A B C D

ABCD

000101010

A B C

ABC

Pg. 74

Matrices

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++

=+++

2211

22222121

11212111

mmnmm

n

n

baaa

baaabaaa

21

222221

111211

Matriz aumentada asociada, para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales:75

Matrices2x1 + 6x2 + x3 = 7x1 + 2x2 x3 = 1 5x1 + 7x2 4x3 = 9

947571621121

947511217162

12R

++

1413010

1121

1413093201121

29

23

52

221

3121

RRRRR

+

510010

1121

0010

1121

29

23

255

211

29

23

3 311232 RRR

529

23

12

3

32

321

=

=+

=+

x

xx

xxx

x3 = 5, x2 = 3, x1 = 10

76

MatricesResolver mediante el mtodo de Gauss-Jordanx1 + 3x2 2x3 = 74x1 + x2 + 3x3 = 52x1 5x2 + 7x3 = 19

++

++

000031102101

311031107231

331111033111107231

1975253147231

3212

3111

2111

3121

3

24

RRRR

RR

RRRR

Entonces: x2 x3 = 3 x1 + x3 = 2

Haciendo x3 = t, tenemos x2 = 3 + t, x1 = 2 t.

77

Matrices

Resolver:x1 + x2 = 14x1 x2 = 62x1 3x2 = 8

1600210101

832614111

0 + 0 = 16 !! No tiene soluciones.

78

Matrices

Vectores fila:

u1 = (a11 a12 a1n), u2 = (a21 a22, a2n),, um = (am1 am2 amn)

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

A

=

=

=

mn

n

n

n

mm a

aa

a

aa

a

aa

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1 ,,, vvv

Vectores columna: El rango de una matriz A m n, es el mximo nmero de vectores fila linealmente independientes.

=

+

++

0000210

3111

142028403111

875386223111

21

32

241

3221

3121

RRR

RRRR

A

rang A = 2.

79

Matrices

AX = 0

Siempre hay soluciones(consistente)

Solucin nica X = 0(solucin trivial)

rang(A) = n

Infinitas solucionesRang(A) < n

n r parmetros

80

Matrices

AX = B, B0

Inconsistenterang(A) < rang(AB)

Consistenterang(A) = rang(AB)

Solucin nicarang(A) = n

Infinitas solucionesrang(A) < n

n r parmetros

81

Matrices

211222112221

1211det aaaaaaaa

==A

.

det

332112322311

312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

++=

=A

Determinantes

3231

222113

3331

232112

3332

232211det aa

aaa

aaaa

aaaaa

a +

+=A

Expansin por cofactores a lo largo de la primera fila.

82

Matrices

3231

222113

3331

232112

3332

232211 aa

aaC

aaaa

Caaaa

C ===

333231

232221

131211

detaaaaaaaaa

=A

det A = a11C11 + a12C12 + a13C13

El cofactor de aij es Cij = (1)i+ j Mijdonde Mij se llama menor.

... O por la tercera fila: det A = a31C31 + a32C32 + a33C33

Podemos expandir por filas o columnas.

83

Matrices

=

351306742

A 131211 742351306742

det CCC ++==A

3530

)1(351306742

)1( 111111++ ==C

3136

)1(351306742

)1( 212112++ ==C

5106

)1(351306742

)1( 313113++ ==C

84

Matrices

120)6(3)23(65142

)1(33574

)1(6

306det

3221

232221

==

+=

++=

++

CCCA

120)]1(0)5(6[7)]1(3)3(6[4)]5(3)3(0[25106

)1(73136

)1(43530

)1(2det 312111

=+=

++= +++A

131211 742351306742

det CCC ++==A

Ms corto desarrollando por la segunda fila...

85

Matrices

238)]2(5)4(6[7

4256

)1)(7(042781056

)1)(7(

0)7(0042781056

det

3232

332313

==

=

=

++=

=

++

CCCA

=042781

056A

86

Matrices

det AT = det A

414375

det =

=A 414735

det =

=TA

Si dos filas (columnas) de una matriz A de n nson idnticas, entonces det A = 0.

=

229224226

A 0229224226

det ==A

87

Matrices

Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A de n n son cero, entonces det A = 0.

Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz A n n,entonces:

det B = det A

AB det312706914

914706312

det =

=

=

88

Matrices

Si B se obtiene de una matriz A n n multiplicando una fila (columna) por un nmero real k, entonces:

det B = k det A

AB

A

det)(det

fila sima- la de largo lo a cofactorespor det deexpansin

2211

2211

kCaCaCakCkaCkaCka

i

ininiiii

ininiiii

=+++=

+++=

80)21(801211

285

2411

85164

815

162085

===

==

89

MatricesSi A y B son matrices n n, entonces

det AB = det A det B.

=

=5343

,1162

BA

=

962212

AB

det AB = 24, det A = 8, det B = 3, det AB = det A det B.

90

Matrices

det A = 45 = det B = 45.

BA =

=

+

2411703215

414703215

313 RR

Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz A n n, entonces:

det B = det A

91

Matrices

=

333231

2221

11

000

aaaaa

aA

33221132332211

3332

2211

)0(

0det

aaaaaaaaa

aa

=

==A

=

2427049500620003

A

144)2()4(632427049500620003

det

=

=

=A

=

400060003

A 7246)3(400060003

det ==

= A

matriz diagonal

matriz triangular inferior

92

MatricesSupongamos que A es una matriz n n. Si ai1, ai2, , ain son los elementos de la i-sima fila y Ck1, Ck2, , Ckn son los cofactores de la k-simafila, entonces:

ai1 Ck1 + ai2 Ck2 + + ain Ckn = 0, para i k

Igualmente, si a1j, a2j, , anj son los elementos de la j-sima columna y C1k, C2k, , Cnk son los cofactores de la k-sima columna, entonces:

a1j C1k + a2j C2k + + anj Cnk = 0, para j k

93

MatricesDemostracinSea B la matriz que obtenemos de A al cambiarle los elementos de la i-sima fila por los de su k-sima fila:

bi1 = ak1, bi2 = ak2, , bin = akn

B tendr entonces dos filas idnticas de modo que det B = 0, y:

kninkiki

knknkkkk

CaCaCaCaCaCa

+++=

+++==

2211

2211det0 B

94

Matrices

=

842234726

A

0)10(7)40(2)25(63426

72476

22372

6

331332123111

=++=

+

+

=

++ CaCaCa

95

MatricesInversa de un matriz

Sea A una matriz n n. Si existe una matriz n n B tal que

AB = BA = Idonde I es la matriz identidad n n, entonces se dice que A es una matriz no singular o invertible. Y B es la matriz inversa de A.Si A carece de inversa, se dice que es una matriz singular.

Sean A, B matrices no singulares. (i) (A-1)-1 = A(ii) (AB)-1 = B-1A-1(iii) (AT)-1 = (A-1)T

96

Matrices

Sea A una matriz n n. La matriz formada por la transpuesta de la matriz de cofactores correspondientes a los elementos de A:

se llama adjunta de A y se denota por adj A.

=

nnnn

n

nT

nnnn

n

n

CCC

CCCCCC

CCC

CCCCCC

21

22212

12111

21

22221

11211

Matriz adjunta97

Matrices

AA

A adjdet

11

=

=

=

AA

A

AA

det000det000det

)adj(

332313

322212

312111

333231

232221

131211

CCCCCCCCC

aaaaaaaaa

Encontrar la matriz inversa:Sea A una matriz n n. Si det A 0, entonces:

Para n =3:

98

Matrices

=

10241

A

=

=

21

1

125

12410

21A

=

++

=

=

1001

5410102245

125

10241

21

1AA

=

++

=

=

1001

5411202045

10241

125

21

1AA

99

Matrices

=

103112022

A

61222

21202

21102

60322

21302

21002

30312

51312

11011

333231

232221

131211

=

==

===

======

=

==

===

CCC

CCC

CCC

=

=

21

21

41

61

61

125

61

61

121

1

663225221

121A

100

Matrices

=

655432102

A

++

10500115300001

1006550104320001

100655010432001102

25

217

21

21

52

21

21

3121

121

RRRR

R

=

100

010001

)|(

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

IA

101

Matrices

+

61051000100001

000100001

0100100001

31

31

35

21

21

30

51

31

61

301

31

31

35

21

21

51

21

1017

31

31

35

21

21

3

32

351

231

R

RR

RR

+

+

6105100

101780103520012335

1321

RRRR

=

610510178

3521A

102

Matrices

=

306542211

A

+

100306012960001211

100306010542001211

212 RR

+

+

114000012960001211106960012960001211

32

316

RR

RR

Singular

103

Matrices

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++

=+++

2211

22222121

11212111

,

21

22221

11211

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A ,21

=

nx

xx

X

=

mb

bb

2

1

B

AX = B

Si m = n, y A es no singular, entonces: X = A-1B

104

Matrices

16631592

21

21

=+

=

xxxx

=

1615

6392

2

1

xx

0396392

=

=

2396

391

6392 1

=

=

=

316

13234

391

1615

2396

391

2

1

xx

3/1,6 21 == xx

105

Matrices

44321655

22

321

321

31

=++

=++

=+

xxxxxxxx

=

655432102

A

=

=

=

366219

142

610510178

352142

655432102 1

3

2

1

xxx

36,62,19 321 === xxx

106

Matrices

+++

++++++

=

==

nnnnn

nn

nn

nnnnn

n

n

cbCbCb

cbCbCbcbCbCb

b

bb

CCC

CCCCCC

2211

2222121

1212111

2

1

21

22212

12111

det1

det1

A

ABAX 1-

AA

A

detdet

det2211

k

nknkkk

CbCbCbx

=

+++=

Regla de

Cramer

107

Matrices

0

00

2211

2222121

1212111

=+++

=+++

=+++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

Un sistema homogneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene solo la solucin trivial (ceros) si y solo si A es no singular.

Un sistema homogneo de n ecuaciones lineales, AX = 0 tiene una solucin no trivial si y solo si A es singular.

108

Matrices Pg. 109

Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3El conjunto de todas las matrices de orden mxn y con elementos en K se suele denotar por:Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Nmero de diapositiva 31Nmero de diapositiva 32Nmero de diapositiva 33Nmero de diapositiva 34Nmero de diapositiva 35Nmero de diapositiva 36Nmero de diapositiva 37Nmero de diapositiva 38Nmero de diapositiva 39Propiedades del producto de matrices (II)POTENCIAS DE MATRICES CUADRADASNmero de diapositiva 42Nmero de diapositiva 43Nmero de diapositiva 44Nmero de diapositiva 45Nmero de diapositiva 46Nmero de diapositiva 47Nmero de diapositiva 48Nmero de diapositiva 49Nmero de diapositiva 50Nmero de diapositiva 51Nmero de diapositiva 52Nmero de diapositiva 53Nmero de diapositiva 54Nmero de diapositiva 55Nmero de diapositiva 56Nmero de diapositiva 57Nmero de diapositiva 58Nmero de diapositiva 59Nmero de diapositiva 60Nmero de diapositiva 61Nmero de diapositiva 62Nmero de diapositiva 63Nmero de diapositiva 64Nmero de diapositiva 65Nmero de diapositiva 66Nmero de diapositiva 67Nmero de diapositiva 68Nmero de diapositiva 69Nmero de diapositiva 70Nmero de diapositiva 71Nmero de diapositiva 72Nmero de diapositiva 73Nmero de diapositiva 74Nmero de diapositiva 75Nmero de diapositiva 76Nmero de diapositiva 77Nmero de diapositiva 78Nmero de diapositiva 79Nmero de diapositiva 80Nmero de diapositiva 81Nmero de diapositiva 82Nmero de diapositiva 83Nmero de diapositiva 84Nmero de diapositiva 85Nmero de diapositiva 86Nmero de diapositiva 87Nmero de diapositiva 88Nmero de diapositiva 89Nmero de diapositiva 90Nmero de diapositiva 91Nmero de diapositiva 92Nmero de diapositiva 93Nmero de diapositiva 94Nmero de diapositiva 95Inversa de un matrizNmero de diapositiva 97Nmero de diapositiva 98Nmero de diapositiva 99Nmero de diapositiva 100Nmero de diapositiva 101Nmero de diapositiva 102Nmero de diapositiva 103Nmero de diapositiva 104Nmero de diapositiva 105Nmero de diapositiva 106Nmero de diapositiva 107Nmero de diapositiva 108Nmero de diapositiva 109

clases de matrices (2015)

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