1Sistemas numricos

MIA Jos Rafael Rojano Cceres

Arquitectura de Computadoras I

Definicin(1)

Un sistema de representacin numrica es un sistema de lenguaje que consiste en: un conjunto ordenado de smbolos (dgitos o cifras). un conjunto de reglas bien definidas para las operaciones aritmticas de

suma, resta, multiplicacin, divisin, etc.

Los nmeros en un sistema de numeracin consisten en una secuencia (vector) de dgitos que pueden tener parte entera y parte fraccionaria, ambas separadas por una coma (o punto).

(N)r = [(parte entera) , (parte fraccionaria)]r

Definicin(2)

La base (r) de un sistema de numeracin especifica el nmero de dgitos o cardinal* de dicho conjunto ordenado. Las bases

ms utilizadas son:

base 2: binaria = {0,1}

base 10: decimal = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

base 16: hexadecimal = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

base 8: octal = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

*El cardinal o cardinalidad indica el nmero o cantidad de elementos de un conjunto

El sistema ms usual de representacin numrica es el sistema posicionaldonde cada dgito del vector numrico tiene un valor distinto dependiendo de su posicin concreta en el vector.As, un nmero N en base r se representa de la siguiente manera:

(N)r = (ap-1 ap-2 ... a1 a0 , a-1 a-2 ... a-q)r N = ap-1 ap-2 ... a1 a0 , a-1 a-2 ... a-q si se sobreentiende que est en base

Donde ai son los dgitos, p es el nmero de dgitos enteros, q es el nmero de dgitos fraccionarios, ap-1 es el dgito ms significativo, a-q es el dgito menos significativo. r es la base en la que se representa al vector

Al ser N un nmero en base r, sus dgitos deben situarse entre 0 y r-1, es decir:0 ai r-1, i con q i p-1

A

Representacin

Cada dgito del nmero es ms significativo que el que se encuentra a su derecha, siendo el valor del nmero la suma acumulada de los productos de cada dgito por su peso:

Ejemplo:

Conversin entre bases

Conversin de base r a base s utilizando la aritmtica de la base s:

Esta conversin se usa normalmente para convertir de cualquier base a base 10.

Dado un nmero N en base r:

la conversin consiste en evaluar directamente dicha expresin usando la aritmtica de la base s tanto para la parte entera como para la fraccionaria.

Ejemplo: convertir el nmero binario 1101,01 a base 10

.

Ejemplo: convertir el nmero 14 en base 16 a base 10.

2Conversin entre bases(1)

Conversin de base r a base s utilizando la aritmtica de la base r: Esta conversin se usa normalmente para pasar de base 10 a cualquier

otra base.

Proceso de conversin: la parte entera se convierte mediante divisiones sucesivas entre (s)r la parte fraccionaria se convierte mediante productos sucesivos por

(s)rDado un nmero N en base r con parte entera y parte fraccionaria:

en base s, dicho N se puede escribir del siguiente modo:

Conversin entre bases(2)

Proceso de conversin de la parte entera (divisiones sucesivas entre (s)r): Aplicando la aritmtica de base r, se divide (NE)r entre (s)r, obtenindose:

El resto (a0) es el primer dgito de NE en base s, representado en base r.

Dependiendo de los valores relativos de s y r pueden ocurrir dos cosas:

si r > s el resto tiene un solo dgito y su representacin es igual en base r que en base s.

si r < s el resto puede tener ms de un dgito, por lo que hay que sustituir cada dgito por su representacin en base s.

Para calcular los dems dgitos de NE se repite el proceso de divisin, dividiendo el cociente entre (s)r de nuevo

Ejemplo

Proceso de conversin de la parte fraccionaria (productos sucesivos por (s)r):Aplicando la aritmtica de base r, se multiplica (NE)r entre (s)r, obtenindose:

El primer dgito de NF en base s, representado en base r, aparece como la parte entera del producto.Para calcular los dems dgitos de NF se repite el proceso de multiplicacinhasta que se obtiene 0 cuando se obtiene el nmero de cifras que garantiza la precisin requerida.Es posible que el cambio de base de una fraccin exacta producta una fraccin peridica.

Ejemplo: convertir el nmero (0,1285)10 a base 4.

4 0,1285

0 ,5140 x 4

2 ,0560 x 4

0 ,2240 x 4

0 ,8960 x 43 ,5840 x 4

2 ,3360 x 4

(0,1285)10 = (0,020032...)4

Ejemplo: convertir el nmero (0,3)10 a binario.

,3 x 20 ,6 x 21 ,2 x 20 ,4 x 20 ,8 x 21 ,6 x 21 ,2 x 20 ,4 x 20 ,8 x 21 ,6 x 2

(0,3)10 = (0,010011001...)2

Los procesos de conversin entre bases se simplifican cuando las bases de partida y de llegada son una potencia de la otra, es decir que s = rk r = sk cuando k>1.

Casos ms frecuentes: Conversin entre binario y octal

Conversin entre binario y hexadecimal

Los sistemas octal y hexadecimal son muy utilizados porque permiten representar grandes cadenas de dgitos binarios de forma abreviada.

3Aritmtica

Aritmtica de base 2

Las operaciones aritmticas en el sistema binario puro se realizan segn tablas ms sencillas que las equivalentes en el sistema decimal.

Producto base 2 Divisin base 2

La divisin binaria se puede realizar igual que la decimal.

En el caso de la binaria es ms sencillo porque se simplifica la eleccin de cada dgito del cociente ya que slo pueden ser 0 1.

Si el dividendo parcial es mayor o igual que el divisor, el siguiente dgito del cociente es 1, si no es 0

Codificacin de nmeros

BCD(1)

Codificaciones decimales: Son las encargadas de representar los nmeros del sistema decimal,

representando cada dgito decimal mediante una cadena de dgitos binarios. Para representar 10 dgitos distintos (0, 1, ..., 9) se necesita un nmero mnimo

de 4 bits. Con 4 bits se pueden representar 16 dgitos distintos, luego se pueden asignar distintas combinaciones de bits a los 10 dgitos decimales

Codificacin en BCD: Es la codificacin decimal ms sencilla y representa a los diez dgitos decimales

asignndoles el cdigo binario de su representacin binaria pura con 4 bits. Con esa representacin un nmero decimal se evala mediante la expresin:

Por esta razn al cdigo BCD se le conoce tambin como cdigo 8-4-2-1.

4BCD(2)

Equivalencia entre dgitos decimales y cdigo BCD 8-4-2-1:

Es importante no confundir la representacin de un dgito decimal en BCD con un nmero binario, ya que son representaciones distintas.Ejemplo: En BCD, el nmero decimal de dos dgitos 56 se escribe (5) y (6), es decir 0101 0110, mientras que en binario puro se escribe como 111000

Exceso a 3

Es una codificacin derivada de la codificacin BCD sin ms que

sumar 3 (0011) a la representacin BCD de cada dgito decimal.

Cdigo Gray

Tambin conocido como cdigo reflejado

Cdigo Johnson

Es un cdigo progresivo, continuo y cclico.

Codificacin Alfanumrica

Son las codificaciones encargadas de representar los caracteres alfabticos, numricos, signos de puntuacin y signos de control mediante cadenas de dgitos binarios.Al menos deben representar 26 letras del alfabeto y 10 dgitos, es decir 36 caracteres, luego necesitan un mnimo de 6 bits. En realidad, se necesitan ms caracteres, de forma que las codificaciones ms utilizadas emplean 7 y 8 bits:

ASCII y EBCDIC (Extended BCD Interchange Code). Slo se comenta el ASCII.

ASCII:El Cdigo estndar americano para el intercambio de informacin (AmericanStandard Code for Information Interchange) es el cdigo alfanumrico ms extendido.El cdigo ASCII original utilizaba 7 bits para representar 128 caracteres (0 hasta 7F en hexadecimal (0111 1111)) donde los primeros 32 caracteres son de control (no grficos o invisibles) y los restantes son grficos (visibles).

5En la actualidad ASCII es un cdigo de 8 bits, tambin conocido como ASCII extendido, que aumenta su capacidad con 128 caracteres adicionales introducidos por IBM para los PC (estndar de facto).Estos caracteres van del 80 (1000 0000) hasta el FF (1111 1111) e incluyen caracteres alfabticos no ingleses, smbolos no ingleses, letras griegas, smbolos matemticos, caracteres para grficos, caracteres grficos de barra y caracteres sombreados.Los cdigos ASCII extendidos presentan variaciones nacionales. El cdigo ms usado en nuestra zona geogrfica es el Latin-1.Existe otro cdigo para caracteres denominado Unicode, que emplea 16 bits por carcter, y tiene bastantes posibilidades de convertirse en el cdigo estndar internacional en algunos aos. Unicode no requiere variaciones nacionales, puesto que con 16 bits permite representar 32768 caracteres distintos.