lce clase8

4. Modulacin Angular

4.1. FM de Banda Angosta y Ancha

Para entender el concepto de variacin de frecuencia definiremos la

frecuencia instantnea. En la siguiente imagen se ilustra una seal

sinusoidal de frecuencia constante para t

Si en lugar de variaciones bruscas tuviramos variaciones

graduales como se ilustra a continuacin, se requerira de una

representacin sinusoidal generalizada.

4. Modulacin Angular

En sentido estricto la seal f(t) no puede expresarse por una seal

sinusoidal ordinaria, por lo que ser conveniente definir una forma

generalizada. Para una funcin sinusoidal ordinaria de frecuencia

fija,

Entonces, si consideramos el caso general

donde

Esta ltima es la frecuencia instantnea que vara con el tiempo. La

frecuencia instantnea establece la relacin que existe entre

frecuencia y fase. De otra forma,

4.1. FM de Banda angosta y ancha

0 tACostf c

dt

d

tt

ttf

c

c

COS

0

dt

d

dt

i

i

Las tcnicas de modulacin en donde se hace variar el ngulo de la

portadora con una seal modulante, se conoce como modulacin

angular.

Los dos mtodos de uso comn son:

Modulacin en frecuencia(FM). Modulacin en fase (MF o PM).

Si el ngulo vara linealmente con f(t), entonces:

Donde K es una constante, y la forma obtenida constituye la

modulacin en fase. La frecuencia instantnea de tal seal est

dada por:

En este tipo de modulacin la frecuencia instantnea vara

linealmente con la derivada de la seal modulante.

tKftt c 0

dt

dfK

dt

dci


Si lo que se tiene es una variacin directa en funcin de la seal

modulante, la modulacin es en frecuencia.

En tal caso:

Y:

De forma general las seales de FM y MF estn dadas por las

expresiones siguientes.

tKfci

dttfKtdttKfdtt cci


Las seales MF y FM son:

De lo anterior podemos concluir que:

En FM en cambio, el ngulo vara linealmente con la integral de la seal modulante.

En MF, el ngulo vara linealmente con la seal modulante.

MF y FM estn relacionadas, pues cualquier variacin de la fase de

una onda produce variacin de su frecuencia.

tKftAt

dttfKtAt

cMF

cFM

cos

cos


FM de Banda Angosta

La forma general de la seal FM est dada por:

tKfdt

dgK

dt

d

dttftg

AedttfKtAt

cci

tKgtj

cFMc

:es ainstantne frecuencia La

donde

cos


El trmino representa la desviacin de la frecuencia de la

portadora de su valor inicial esttico C, por tanto K controla dicha desviacin. Para valores pequeos, la desviacin de la frecuencia

es reducida y el espectro de la funcin FM tendr un ancho de

banda angosto.

Si K es tan pequea que entonces,

Portadora banda lateral

ttAKgtAt

ttAKgttAjKgtAjtAt

tjttjKgAetjKgAt

tjKge

ccFM

ccccFM

cc

tj

FM

tjKg

c

sincosRe

y

sincossincos

sincos11

iaconsecuencen y

1

tKf

1tKg


De la misma manera, para la seal de MF la frecuencia instantnea

es:

Y en su forma exponencial:

Portadora banda lateral

ttAKftAt

ttAKfttAjKftAjtAt

tjttjKfAt

etjKfAAetKftAt

ccMF

ccccMF

ccMF

tjtKftj

cMFcc

sincosRe

y

sincossincos

sincos1

1cos

dt

dfK

dt

dci


Cada seal tiene un trmino de portadora y las bandadas laterales

que estn centradas en torno a la frecuencia central. Si

Fj

G

Fj

dttftg

Gtg

Ftf

1

tantolopor

1

como


Y el espectro de frecuencia de la seal FM de banda angosta es:

Comparando el espectro de FM y AM se observa que en ambos

casos existe un trmino de portadora y una componente de banda

lateral.

Sin embargo, el espectro de la banda lateral en FM tiene una

diferencia de fase de /2 con respecto a la portadora. As una seal

FM de banda angosta ocupa el mismo ancho de banda que una

seal AM aunque son formas de onda diferentes.

cc

ccFM

GGjAK

A

2

cc

ccAM

aa

FFt

21

21F


FM de Banda Ancha

El ancho de banda de una seal FM est dado aproximadamente

por:

En donde m es el ancho de banda de f(t). Si

entonces el trmino representa la desviacin mxima

denotada por de la frecuencia portadora. En este caso el ancho

de banda ser

Para llegar a este resultado nos aproximamos a la seal mediante

una seal en forma escalonada como la de la siguiente figura

rps22max m

tfKW

tKfci

tKf

rps22 mW



Aqu es posible

suponer que la seal

es constante en un

perodo de muestreo

de 1/2fm seg.

Obsrvese l cambio

de frecuencia

repentino en cada

instante de

muestreo. Tal pulso

se representa a la

izquierda

Y su espectro,

donde el pulso

ocupa la banda

Quedando en el

intervalo

mimi 2 hasta 2

2 hasta 2maxmax mkcmkc

tfKtfK


El ancho de banda de la seal FM est dado por:

Para FM de banda ancha

Si la frecuencia de la portadora tiene una desviacin mxima de

, entonces la frecuencia de la seal de FM varia desde

mmk

mkcmkc

tfK

tfKtfKW

2242

22

max

maxmax

2

y

W

m

2

ser banda de ancho el por tanto

hasta cc


Verificaremos para el caso de una seal sinusoidal.

La cantidad se llama ndice de modulacin.

tsentjtKgtjFM

mcci

m

m

mm

m

mmcc AeAet

aK

taKtKf

tsena

tg

dttadttadttftg

ttatf

que modo talDe

esportadora la de desviacinmxima la

cos

como

coscos

0para cos

t

0

t

0

m


Por lo tanto:

El primer trmino exponencial es una funcin peridica (2/m) que

puede desarrollarse en serie de Fourier

cmfmfc jtsenjmtsenmjFM

f

mm

eAeAet

maK

como

dteeC

eCe

m

m

mmf

mmf

tjntsenjmmn

n

tjn

n

tsenjm

2

donde


Esta ltima integral no se puede evaluar de forma cerrada , pero se

encuentra ya tabulada a travs de funciones de Bessel de primera

clase y de orden n. En la siguiente pgina se muestran grficas de

esta funcin:

dxedxeeC

dxdtxt

nxsenxmjjnxsenxjm

n

mm

f

m

m

f

2

1

2

1

haciendo

fnfnfnfn

tjn

n

fn

senxjm

mJmJmJmJ

emJe mf

y

que cumple se

adems donde en haciendo


n

mcfn

n

tjn

fn

tj

FM tntmJAemJAetmc cos

:por tanto

Utilizando las propiedades de las funciones de Bessel:

La seal modulante f(t) de frecuencia m da lugar a bandas laterales

como se ilustra a continuacin


....

3cos3cos

2cos2cos

coscoscos

3

2

10

ttmJ

ttmJ

ttmJtmJ

Atmcmcf

mcmcf

mcmcfcf

FM

,...3,2, mcmcmc

Por lo tanto, la seal de FM contiene un nmero infinito de

componentes y su ancho de banda es infinito. Sin embargo, en la

prctica las amplitudes de las componentes espectrales de

frecuencia superior son despreciables y la mayor parte de la

energa queda contenida en los componentes espectrales situaos

dentro de un ancho finito. Para


ivas.significatson 4y 3,2,

lesdespreciab amplitudes tienen ,...,,

2*

lesdespreciab amplitudes tienen ,...,,

ivas.significat magnitudes tienen y

1*

65

32

10

mcmcmcmcc

f

f

mJmJ

m

mJmJ

mJmJ

m

Por tanto, para FM de banda ancha:


m

mf

mm

f

mfm

f

W

mW

aKm

mW

nm

22

precisa ms forma de

22

como

22

es seal la de totalbanda de ancho ely

*

Esta regla constituye una buena aproximacin en el caso de FM de

banda ancha, para sistemas de banda angosta donde

Por eso, el ancho de banda requerido para la transmisin de una

seal FM es de aproximadamente el doble del requerido para una

AM. En la siguiente figura se ilustra el requerimiento de ancho de

banda en funcin del ndice de modulacin.


m

m

W

2


Para mf>1 el ancho de banda W es de aproximadamente el doble

de la desviacin . La comisin federal de comunicaciones (FCC) ha fijado en 75KHz

el mximo valor de f, por tanto el ancho de banda requerido es de aproximadamente 150KHz.

4.2. Modulacin por Multiplicidad de Frecuencias A continuacin ampliaremos el estudio previo en el que slo se

consideraba una seal modulante de una sola frecuencia al caso de

multiplicidad de frecuencias. Considrese

tsenjmtsenjmtjtsenmtsenmtjtjFM

c

ci

cci

eeAeAeAet

aKm

aKm

tsenmtsenmtt

tsena

tsena

Ktdtt

Kaa

tataKtKf

tatatf

cc 22112211

tantolopor

, donde

que modo talDe

es frecuencia la de desviacin mxima la

coscos

coscos

2

22

1

11

2211

2

2

21

1

1

21

2211

2211

4.2. Modulacin por Multiplicidad de Frecuencias

Utilizando series de Fourier y funciones de Bessel:

Cuando f(t) se compone de dos frecuencia, el espectro de FM

contiene las bandas laterales

tknmJmJAt

emJmJAt

emJemJAeeeAet

c

n k

knFM

tknj

n k

knFM

n

tjnm

n

n

tjnm

n

tjtsenjmtsenjmtj

FM

c

cc

2121

21

21

cos

21

212211

21 , nn cc


Comparando con AM donde cada frecuencia nueva de la seal

modulante produce sus propias bandas laterales, en FM existen

trminos de modulacin cruzada y por eso se dice que AM es una

modulacin lineal en tanto que FM es una modulacin no lineal.

4.3. Modulacin con Onda Rectangular

Consideraremos ahora el caso de FM en el que la seal modulante

f(t) es una onda rectangular.

En tal situacin la frecuencia instantnea de la seal de FM est

dada por:

La desviacin mxima de la frecuencia portadora en este caso es K

pues la amplitud mxima de f(t), es 1.

dttfKt

ttdttfKtdtt

tKf

cci

ci

donde

que modo talDe

-n

scnFM

-n

tnj

n

-n

tjn

n

tjtjtj

FM

s

-n

tjn

n

tj

tjtjttjtj

FM

tnAt

eAeAeeAet

Tee

eAeAeAet

nTtt

Tt

Tt

T

Tt

Tt

t

scscc

s

cc

cos

2 donde

Fourier de serie Usando

que modo talDe

4

3

42

44


Por lo tanto,

s

n

n

T

T

tjntj

n

nSanSa

dteeT

s

donde

21

22

1

Integrando

143

4


En donde:

4.4. Modulacin Lineal y No Lineal

Para un ndice de modulacin pequeo FM presenta un

comportamiento aproximadamente lineal. Por ejemplo para una

seal modulante con dos frecuencias la seal FM es:

Una definicin general de modulacin lineal implica que la seal

modulada es una funcin de la seal modulante de no ser as es

una modulacin no lineal.

En particular FM no lo es.

Para un ndice de modulacin pequeo se puede suponer que FM

es lineal, debido a que los trminos de modulacin cruzada resultan

despreciables.

tjFM cetsenjmtsenjmAt

tatatf

2211

2211

1

coscos

4.5. Generacin de Seales FM

lce clase8

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