clase 24 geometria cpech - probabilidades (oliverclases)

7/28/2019 Clase 24 Geometria Cpech - Probabilidades (OliverClases)

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Geometra

2010

Propiedad Intelectual Cpech

Clase N 24 Probabilidades

PPTCANMTGEA04024V1


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APRENDIZAJES ESPERADOS

Definir el concepto de probabilidad

Resolver problemas que involucren probabilidad clsica , total o condicionada.

Aplicar las propiedades de las probabilidades en laresolucin de problemas.



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Contenidos

1.1 Definicin1. Probabilidades

1.2 Espacio muestral

1.3 Evento o suceso

2. Probabilidad clsica3. Tipos de sucesos

3.1 Sucesos contrarios


3.2 Suceso seguro

3.3 Suceso imposible


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4. Propiedades bsicas

4.1 Suceso A Suceso B

4.2 Suceso A y Suceso B

Caso 1. Si son mutuamente excluyentesCaso 2. Si no son mutuamente excluyentes

Caso 1. Si son independientesCaso 2. Si son dependientes

4.3 Probabilidad con reposicin

4.4 Probabilidad sin reposicin


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1. Probabilidades

El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia enla comunicacin entre las personas. Por ejemplo:

2) Los alumnos de Cpech tienen un 95% de probabilidadesde ingresar a la universidad.

1.1 Definicin

En los ejemplos, se da la medida de la ocurrencia de unevento que es incierto (sobrevivir a la operacin, oingresar a la universidad), y sta se expresa mediante unnmero entre 0 y 1, o en porcentaje.


1) Pilar y lvaro tienen un 50% de probabilidades deviajar juntos al extranjero.


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Intuitivamente podemos observar que cuanto ms probablees que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estar msprximo a 1 o al 100%, y cuando menos probable, ms se

aproximar a 0.

De aqu se deduce que un hecho o evento que NO puedeocurrir tendr probabilidad cero y uno cuya probabilidad essegura tendr probabilidad uno .

0 P(A) 1

Luego, si A representa un evento o suceso, se cumple que:



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Es el conjunto formado por todos los resultados

posibles de un experimento.

1.2 Espacio muestral (E)

Ejemplo:


Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral esE = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ejemplo:Cuntos elementos tiene el Espacio Muestral si se lanza unamoneda y un dado de seis caras?

Usamos el principio multiplicativo:

2 6 = 12 elementos


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3 monedas

n monedas

222 = 8 posibilidades

22222= 2 n posibilidades

Cuando un objeto puede caer de a maneras y se lanzan n deesos objetos, el Espacio Muestral tiene a n elementos.

E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

Ejemplo:Al lanzar tres dados de seis caras, el Espacio Muestral tiene63 = 216 elementos


En el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultadosposibles tambin se determina por el principio multiplicativo:

1 moneda 2 posibilidades

E = {c, s}

2 monedas 22 = 4 posibilidades

E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.


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Corresponde a un subconjunto de un Espacio Muestral,

asociado a un experimento aleatorio.

En el lanzamiento de 2 monedas, el Espacio Muestral esE = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)} y tiene 4 elementos.Un suceso es que salgan dos caras, es decir {(c,c)}, quetiene 1 elemento.

1.3 Evento o Suceso

En el lanzamiento de un dado cuntos elementos tiene elEspacio Muestral y cuntos el suceso que salga un nmeropar?


Ejemplo:

Ejemplo:

Suceso = {2, 4, 6}, 3 elementos

Espacio Muestral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 6 elementos.


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2. Probabilidad clsica

Casos posiblesCasos favorablesP(A) =

Ejemplo1:Cul es la probabilidad de que al lanzar un dado comn salga

un nmero primo?Solucin:El Espacio Muestral E, est dado por:

E={1, 2, 3, 4, 5, 6}, por lo tanto posee 6 elementos, es decir,

6 casos posibles.Sea A, el evento o suceso:A: que salga un nmero primo, entonces se tiene que:

A={2, 3, 5}, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casosfavorables.



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P(A) = 36

Entonces:

Casos favorables (nmeros primos): 3 (2, 3, y 5)

Casos posibles: 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6)

Por lo tanto:

12

Ejemplo2:Al lanzar 2 monedas, cul es la probabilidad de que las dossean caras?

Casos posibles: 4

Casos favorables (2 caras): 1 Entonces:

P(2 caras) = 14

=



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TRINGULO DE PASCAL

El tringulo de Pascal en matemtica es un conjunto infinito denmeros enteros ordenados en forma de tringulo que expresancoeficientes binomiales. El inters del Tringulo de Pascal radica en suaplicacin en lgebra y permite calcular de forma sencilla nmeroscombinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton .

Cada nmero es la suma de los dos nmeros que estn sobre l.



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Si se lanza una moneda una vez, los casos posibles son:1 cara (c) 1 sello (s), que est representado en la primera fila

del Tringulo de Pascal:1 1El total de casos posibles es 2.

Si se lanza una moneda dos veces, los casos posibles son:CC, CS, SC, SS, lo que implica que se tiene 1 caso en queaparecen dos caras, 2 casos distintos en que se obtiene una caray un sello, y 1 caso en que se obtienen dos sellos, que estrepresentado en la segunda fila del Tringulo de Pascal:

1 2 1El total de casos posibles es 4.

Ejemplo:

En probabilidades el Tringulo de Pascal se utiliza como una tcnicade conteo en la resolucin de problemas de iteracin de experimentossencillos, cuando el objeto considerado tiene dos posibilidades, porejemplo una moneda, sexo de un hijo por nacer, etc .



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La probabilidad de que un suceso NO ocurra, o probabilidadde un suceso contrario, se obtiene a travs de:

P(A) = 1 - P(A)

A

E

A

3. Tipos de sucesos

3.1 Probabilidad de un suceso contrario:



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Ejemplo:Si La probabilidad de que llueva es , cul es la probabilidadde que NO llueva?

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Solucin:P(no llueva) = 1 - P(llueva)

P(no llueva) = 1 - 2

535

P(no llueva) =



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Ejemplo:La probabilidad de obtener un nmero mayor que 6 al lanzarun dado comn es 0 (0 de 6).

P(A) = 0

Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6)Casos favorables: 0

06

P(mayor que 6) = = 0

3.3 Probabilidad de un suceso imposible:

Si se tiene certeza absoluta de que un evento A NO ocurrir:



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4. PROPIEDADES BSICAS DEL CLCULO DEPROBABILIDADES

4.1 La probabilidad de que ocurra el suceso A el suceso B.

Caso 1: Cuando A y B son eventos mutuamente excluyentesest dada por:

P(A U B) = P(A) + P(B)

P(5) = P(5)U

Ejemplo:Al lanzar un dado, cul es la probabilidad de que salga unnmero menor que 2 mayor que 5?Solucin: P(5) = 6y

16= +

16

= 26 =13



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Caso 2 : De no ser mutuamente excluyentes :

P(A U B) = P(A) + P(B) P(A B) U

Ejemplo:Al lanzar un dado, cul es la probabilidad de que salga unnmero menor que 5 un nmero par?

Solucin:

46

P (menor que 5) =

Casos posibles 6 {1,2,3,4,5,6}

Casos favorables (menor que 5): 4 {1,2,3,4}

36

P (nmero par) =Casos favorables (nmero par): 3 {2,4,6}



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Como 2 y 4 son menores que 5, y al mismo tiempo sonpares, se estaran considerando como casos favorablesdos veces.

Por lo tanto:La probabilidad de que salga un nmero menor que 5 unnmero par, al lanzar un dado se expresa como:

P (< 5) P(par) = P(


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UA BP( ) = P(A) P(B)

En este caso, ambos sucesos ocurren simultneamente, A y B.

4.2 La probabilidad de que ocurra el suceso A y el suceso B ,siendo stos independientes.

Caso 1: Cuando A y B son eventos independientes, se cumple que:


Ejemplo:Cul es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado seobtengan dos nmeros pares?Solucin:Casos posibles: 6 (1,2,3,4,5,6) Casos favorables: 3 (2,4,6)Entonces:

P(dos pares) = P(par) y P(par) = P(par) P(par)

= 36

36

= 14


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Ejemplo:Se tiene una bolsa con 30 pelotitas entre blancas y rojas, de

las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamao. Si seextraen 2 pelotitas al azar, con reposicin, cul es laprobabilidad de que ambas sean blancas?

Solucin:

Casos posibles: 30 Casos favorables: 12

Entonces:P(dos blancas) = P(blanca) y P(blanca)

= P(blanca) P(blanca)

Casos posibles: 30

Casos favorables: 12

Primera extraccin Segunda extraccin (Con reposicin)


4.3 Probabilidad con reposicin .

30 30= 12 12

900144= 25

4=


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Los contenidos revisados anteriormente los puedesencontrar en tu libro, desde la pgina 159 a la 165 .



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Equipo Editorial: Patricia ValdsOlga OrchardPablo Espinosa

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