clase 2 repaso probabilidad y estadística

ICI2212 Modelos Estocsticos

Profesor Claudio C. Araya Sassi

Unidad 2: Repaso Probabilidad y Estadstica

2 Semestre 2013

Facultad de Ingeniera

Escuela de Industrias

Ingeniera Civil Industrial

Introduccin a la Teora de Probabilidad

Experimento aleatorio

Un experimento cuyos resultados no pueden ser determinados por adelantado.

Espacio muestral (S)

El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

Evento (E)

Subconjunto de un espacio muestral, y se dice que ocurre si el resultado del experimento es un elemento de ese subconjunto.

2 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi


Diagramas de Venn


) : ) :

) : )


Leyes algebraicas

1. Conmutativa

2. Asociativa

3. Distributiva


= =

= = ( )

= ( ) ( ) = ( ) ( )

) : ) : ) : = ( ) ( )


Leyes de DeMorgan

Demostracin

Supongamos que es un resultado de .

Entonces no est contenido en

Lo cual significa que no est contenido en ninguno de los eventos , = 1, 2, . . , ,

Implicando que est contenido en para todo = 1, 2, . . ,

y as est contenido en .


1.

=1

=

=1

=1

=1

=1


Leyes de DeMorgan

Demostracin

Supongamos que es un resultado de .

Entonces est contenido en para todo = 1, 2, . . ,

Lo cual significa que no est contenido en ninguno de los eventos , = 1, 2, . . , ,

Implicando que est no contenido en para todo = 1, 2, . . ,

y as est contenido en .


1.

=1

=

=1

=1

=1

=1


Leyes de DeMorgan

Demostracin

Utilizando la primera ley de DeMorgan para obtener

Lo cual, puesto que , es equivalente a

Queda:


2.

=1

=

=1

=1

= ()

=1

()=

=1

=

=1

/( )

=1

=

=1

Axiomas de Probabilidad

Una forma de definicin de probabilidad de un evento es en trminos de su frecuencia relativa.

Se supone que un experimento, cuyo espacio muestral es , es desarrollado repetidamente bajo exactamente las mismas condiciones.

Para cada evento del espacio muestral , se define () como el nmero de veces en las primeras repeticiones del experimento que el evento ocurre.

Entonces, (), la probabilidad del evento , est definida por:

Esto es, () est definida como la proporcin (lmite de) del tiempo que ocurre.



=

()

Axiomas de Probabilidad

Considere un experimento cuyo espacio muestral es .

Para cada evento del espacio muestral , asumimos que el nmero () est definido y satisface las siguientes tres axiomas:

Axioma 1: 0 () 1

Axioma 2: = 1

Axioma 3: Para cualquier secuencia de eventos mutuamente excluyentes 1, 2, . ., esto es, eventos para los cuales = cuando (donde es el conjunto vaco),

Donde:

: Probabilidad del evento .



=1

= ()

=1

Ejemplo 1

En el experimento de lanzar una moneda y si se asume que salga una Cara (C) es igualmente probable que salga un Sello (S), entonces se tendra:

Por otro lado, si la moneda estuviera sesgada y una Cara tuviera el

doble de probabilidades de aparecer que un Sello, entonces se tendra:

Ejemplo 2

En el experimento de lanzar un dado, suponiendo que los seis lados son equiprobables en aparecer, se tendra:



= =1

2

=2

3 =

1

3

1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 =1

6

2, 4, 6 = 2 + 4 + 6 =1

2 ( )

Proposiciones

i. = 1 .

Demostracin

Como y son mutuamente excluyentes y puesto que = , se tiene por los axiomas 2 y 3 que:

Por lo tanto, queda:

Finalmente,



1 = = = + ()

1 = + ()

= 1

Proposiciones

ii. Si , .

Demostracin

Puesto que , se puede expresar como:

Por lo tanto, como y son mutuamente excluyentes, se obtiene desde el Axioma 3 que:

Y como ( ) 0 se tiene que:



= ( )

= + ( )

Proposiciones

iii. ( )1 = .

1

Demostracin

Para cualquier secuencia finita de eventos 1, 2, . , y = > , entonces como los eventos son mutuamente excluyentes y como

Se tiene desde el Axioma 3 que:

Implicando que = 0



1

=

=1

=

=1

=

=1

+

=+1

2

Proposiciones

iv. ( )1 .

1 (Desigualdad de Boole)

Demostracin

Sea 1 = 1, Entonces



1

=

1

=1

, > 1.

2

=1

=

=1

=

=1

=1

Proposiciones

v. = + ( )

Demostracin

Sea

Adems, puesto que se tiene que:

O en forma equivalente,

Reemplazando en (1) queda



= ( )

= + (1) ( 3)

= ( ) ( )

= + ( ) ( 3)

( ) =

= + Q.E.D.

Ejemplo 3

Paulina est llevando dos libros para leer estas vacaciones de Fiestas Patrias. Con probabilidad de 0,5 a ella le gustar el primer libro; con probabilidad de 0,4 a ella le gustar el segundo libro; con probabilidad de 0,3 le gustarn ambos libros. Cul es la probabilidad que a ella no le guste ningn libro?

Solucin

Sea denota el evento que a Paulina le guste el libro , = 1, 2.

Entonces la probabilidad que a ella le guste al menos uno de los libros es:

Debido a que el evento que a Paulina no le guste ningn libro es el complemento del evento que a ella le guste al menos uno de ellos, se obtiene el resultado:



1 2 = 1 + 2 1 2 = 0,5 + 0,4 0,3 = 0,6

1 2

= ( 1 2) = 1 1 2 = 0,4 (1 Ley de DeMorgan)

Proposiciones

La sumatoria es tomada sobre todos los

posibles

subconjuntos de tamao r del conjunto

La probabilidad de la unin de n eventos es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos tomados uno a la vez, menos la suma de las probabilidades de estos eventos tomados dos a la vez, ms la suma de las probabilidades de estos eventos tomados tres a la vez y as sucesivamente.



. 1 2 = (

=1

) (1 1

Introduccin

Es frecuente el caso cuando un experimento es desarrollado que se est interesado principalmente en alguna funcin de los resultados en forma opuesta a los resultados mismos.

Las cantidades de inters o ms formalmente estas funciones de valores reales definidas sobre el espacio muestral son conocidas como variables aleatorias.

Debido a que el valor de una variable aleatoria es determinado por el resultado del experimento, se pueden asignar probabilidades a los valores posibles de variable aleatoria.


Variables Aleatorias

Ejemplo 4

Sea la variable aleatoria que est definida como la suma de dos dados.



Ejemplo 5

Sea la variable aleatoria que est definida como el nmero de Caras que aparecen al lanzar dos monedas.



= 0 = (, ) =1

4

= 1 = , , (, ) =2

4

= 2 = (, ) =1

4

= 0 + = 1 + = 2 = 1

Ejemplo 6

Suponga que se lanza una moneda que tiene una probabilidad p de salir Cara, hasta que la primera Cara aparece. Sea N el nmero de lanzamientos requeridos, entonces asumiendo que los resultados de los sucesivos lanzamientos son independientes, N es una variable aleatoria que toma uno de los valores 1, 2, 3, . . . , con sus respectivas probabilidades.



= 1 = = , = 2 = , = 1 , = 3 = (, , ) = (1 )2, = = (, , , , ) = (1 )1, 1

1

Variables Aleatorias Discretas

Una variable aleatoria que puede tomar a lo ms un nmero contable de posibles valores se dice discreta.

Para una variable aleatoria discreta , se define la funcin de probabilidad de por:

La funcin de probabilidad es positiva para a lo ms un nmero contable de valores de . Esto es, si debe asumir uno de los valores 1, 2, . , entonces



= =

0 = 1, 2,

= 0

= 1

=1


Ejemplo 7

Sea la variable aleatoria que est definida como el nmero de Caras que aparecen al lanzar dos monedas.




Ejemplo 8

Sea la variable aleatoria que est definida como la suma de dos dados.




Funcin de distribucin acumulada

La funcin de distribucin acumulada puede ser expresada en trminos de () por


= ()


Variable Aleatoria Bernoulli

Suponga que se realiza una prueba o experimento, cuyos resultados pueden ser clasificados como un xito o un fracaso.

Si se tiene = 1 cuando el resultado es un xito y = 0 cuando es un fracaso, entonces la funcin de probabilidades de est dada por:

Donde , 0 1, es la probabilidad que la prueba sea un xito.


0 = = 0 = 1

1 = = 1 =

Pruebas independientes que tienen una probabilidad de xito comn fueron primero estudiadas por el matemtico suizo Jacques Bernoulli (1654-1705). En su libro Ars Conjectandi (El arte de la Conjetura), publicado por su sobrino Nicholas ocho aos despus de su muerte en 1713, Bernoulli mostr que si el nmero de tales pruebas fuera grande, entonces la proporcin de ellas que fueran exitosas sera cercana a con una probabilidad cercana a 1.


Variable Aleatoria Binomial

Suponga que se realizan pruebas o experimentos independientes, cuyos resultados pueden ser clasificados como un xito con probabilidad o un fracaso con probabilidad 1 .

Si representa el nmero de xitos que ocurren en la pruebas, entonces se dice que es una variable aleatoria binomial con parmetros , .

De esta forma, una variable aleatoria Bernoulli es slo una variable aleatoria binomial con parmetros (, ).

La funcin de probabilidad de una v.a. binomial con parmetros , est dada por:

Donde:


=

(1 ) = 0, 1, ,

=!

! !


Variable Aleatoria Binomial

Ejemplo 9

Cinco monedas son lanzadas. Si los resultados se asumen independientes, halle la funcin de probabilidad del nmero de caras obtenidas.

Solucin



Variable Aleatoria Poisson

Una variable aleatoria , que toma uno de los valores 0, 1, 2,.., se dice una variable aleatoria Poisson con parmetro si para algn > 0,

La ecuacin anterior define una funcin de probabilidad, puesto que


= = =

! = 0, 1, 2, .

=0

=

!=

=0

= 1

La distribucin de probabilidad de Poisson fue introducida por Simen Denis Poisson en un libro que el escribi considerando la aplicacin de la teora de probabilidad a los procesos, pruebas criminales, y temas relacionados. Este libro, publicado en 1837, fue titulado Recherchs sur la probabilit des jugements en matire criminelle et en matire civile.



La v.a. Poisson posee un tremendo rango de aplicaciones en diversas reas debido a que puede ser usada como una aproximacin de una v.a. binomial con parmetros (, ) cuando es grande y es lo suficientemente pequeo para que tenga un tamao moderado. Para ver esto, suponga que es una v.a. binomial con parmetros (, ) y sea = . Entonces

Ahora, para grande y moderado,

Por lo tanto, para grande y moderado:


= =!

! !(1 )=

!

! !

1

=( 1) ( + 1)(1 /)

! (1 /)

1

( 1) ( + 1)

1 1

1

=

!



Ejemplos de v.a. Poisson

1. El nmero de errores de impresin sobre una pgina (o un grupo de pginas) de un libro

2. El nmero de personas en una comunidad que tiene 100 aos de edad

3. El nmero de nmeros de telfonos equivocados que son marcados en un da

4. El nmero de clientes que entran a una oficina de correos en un da dado

Ejemplo 10

Suponga que el nmero de errores tipogrficos sobre la pgina de un libro tiene una distribucin Poisson con parmetro = 1/2. Calcule la probabilidad que exista al menos un error en esta pgina.

Solucin. Sea el nmero de errores sobre esta pgina, se tiene


1 = 1 = 0 = 1 12 0,393


Esperanza

Ejemplo 11

Ejemplo 12

Ejemplo 13 (Bernoulli)



Esperanza

Ejemplo 14 (Binomial)



Definicin. Variables aleatorias cuyo conjunto de posibles valores es incontable.

Se dice que es una v.a. continua si existe una funcin no negativa , definida para todo real (,), teniendo la propiedad que para cualquier conjunto de los nmeros reales

:


Variables Aleatorias Continuas

=

1 = (, ) =

=



= =

= 0

< = = =

=

Ejemplo 11

Suponga que es una v.a. continua cuya funcin de densidad de probabilidad est dada por

a) Cul es el valor de C?

b) Encuentre > 1

Solucin

a)

b)



= 4 22 0 < < 2

0

4 22 2

0

= 1 22 23

3

=2

= 1 =0

=3

8

> 1 =

1

=3

8 4 22 =

1

2

2

1

Ejemplo 12

La cantidad de tiempo, en horas, que un computador funciona antes de fallar es una v.a. continua con funcin de densidad de probabilidad dada por

Cual es la probabilidad de que

a) Un computador funcione entre 50 y 100 horas antes de fallar

b) Funcionar menos de 100 horas?

Solucin

a)

b)



= /100 0

0 < 0

1 = ()

= /100

0

1= (100) /100

= 100 0 =

1

100

50 < < 150 = 1

100/100

150

50

= /100 150

= 1/2 32 0,384

50

< 100 = 1

100/100

100

0

= /100 100

= 1 1 0,663 0

Relacin entre distribucin acumulada F y densidad de probabilidad f

Diferenciando ambos lados de la ecuacin anterior se tiene:



= (, ] =

= ()

Esperanza



Varianza



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