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Funzioni reali di una variabile re
ale
Limiti e continuità di funzioni rea
li
di una variabile reale
Derivate di funzioni reali
di una variabile reale
Studio di funzioni
Integrali di funzioni reali
di una variabile reale
Fondamenti di calcolo combinat
orio
e di calcolo delle probabilità
...in tasca
EDIZIONIEIMONSGruppo Editoriale Esselibri - Simone
Esercizi svolti diAnalisi matematic
a...Esercizi svolti di
Analisi matematica...
Estratto della pubblicazione
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Copyright © 2006 Esselibri S.p.A.Via F. Russo 33/D80123 Napoli
Azienda certificata dal 2003 con sistema qualità ISO 14001 : 2004
Tutti i diritti riservatiÈ vietata la riproduzione anche parzialee con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazionescritta dell’editore.
Per citazioni e illustrazioni di competenza altrui, riprodotte in questo libro,l’editore è a disposizione degli aventi diritto. L’editore provvederà, altresì, alleopportune correzioni nel caso di errori e/o omissioni a seguito della segnalazio-ne degli interessati.
Prima edizione: Novembre 2006PK21/1ISBN 88-244-7565-5
Ristampe8 7 6 5 4 3 2 1 2006 2007 2008 2009
Questo volume è stato stampato pressoOfficina Grafica IrideVia Prov. Arzano-Casandrino, VII trav. 24 - Arzano (NA)
Per informazioni, suggerimenti, proposte: [email protected]
A cura di: Carla Iodice
Grafica e copertina: Gianfranco De Angelis
Impaginazione Pasquale Antignano
Estratto della pubblicazione
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○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Presentazione
Il volume presenta più di 200 esercizi svolti e commentati invista della prova di maturità o dell’esame di Analisi matematica,ed è articolato in 6 capitoli, ciascuno costituito da:
— una prima pagina in cui è indicato il percorso di lettura edè tracciata una mappa concettuale strutturata in modo damettere in evidenza le interrelazioni tra gli argomenti trattatinel capitolo;
— una parte teorica esplicativa dell’argomento in cui sonorichiamati i concetti, le regole e i teoremi fondamentali;
— esercizi in cui, anche a rischio di sembrare ripetitivi, non siè quasi mai evitata la citazione di argomenti propedeutici dimatematica;
— un test di verifica finale che, spesso, è rappresentato daesercizi guidati.
In tal modo lo studente può apprendere, non solo la tecnicarisolutiva dei vari tipi di esercizi, ma anche e soprattutto l’impo-stazione metodologica da seguire.Particolare attenzione è posta alle derivate e agli integrali difunzioni reali di una variabile reale. Tali capitoli, oltre a conte-nere i tradizionali esercizi, dedicano alcune pagine alle applica-zioni dei concetti del calcolo differenziale e dell’integrazionealla geometria.Si è preferito evitare, inoltre, di inserire le classiche prove asse-gnate (all’esame di maturità o nelle diverse facoltà), in quantole stesse si possono trovare risolte su molti siti internet.
Estratto della pubblicazione
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ALFABETO GRECO
Α α alfaΒ β betaΓ γ gammaΔ δ deltaΕ ε epsilonΖ ζ zetaΗ η etaΘ θ ϑ theta
Ι ι iotaΚ κ kappaΛ λ lambdaΜ μ miΝ ν niΞ ξ xiΟ ο òmicronΠ π pi
Ρ ρ rhoΣ σ sigmaΤ τ tauΥ υ ipsilonΦ ϕ φ phiΧ χ chiΨ ψ psiΩ ω òmega
INDICE DEI SIMBOLI
> maggiore< minore≥ maggiore o uguale≤ minore o uguale≠ diverso da≅ circa uguale a± più o meno∞ infinito→ tende a∀ per ogni∈ appartiene∉ non appartiene∅ insieme vuoto∪ unione tra insiemi∩ intersezione tra insiemi⊂ sottoinsieme proprio⊆ sottoinsieme⊄ non è sottoinsieme⇒ implicazione⇔ doppia implicazionen ! n fattoriale
log( ) logaritmo decimale
ln( ) logaritmo neperianoe numero di Neperolim limite
′ ( )f x derivata∫ integrale
∑ sommatoriaΠ produttoria
an{ } successione
an
termine generico della successionesenα seno dell’angolo αcosα coseno dell’angolo αtanα tangente dell’angolo αcotanα cotangente dell’angolo αInoltre:
✔ indica un richiamo teorico ad ar-gomenti propedeutici di analisimatematica
✌ indica il passaggio o i passaggirisolutivi dell’esercizio.
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1. Funzioni reali di una variabile reale
Di cosa parleremo
In questo capitolo introduttivo ci occuperemo di funzioni reali di una varia-bile reale; precisamente, daremo dei criteri per la determinazione del campodi esistenza delle varie tipologie di funzioni e ci occuperemo di concettiquali simmetria e periodicità.
Funzioni
Algebriche Trascendenti▼▼
Razionali Irrazionali▼ ▼
Logaritmiche Goniometriche
Intere Fratte Intere Fratte▼ ▼ ▼ ▼
Esponenziali▼ ▼▼
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1) Classificazione delle funzioni
Siano X e Y due sottoinsiemi dell’insieme R dei numeri reali, per fun-zione reale di una variabile reale si intende una legge in base allaquale a ogni elemento x X∈ si associano uno o più elementi y di Y.Se a ogni valore della variabile x (detta variabile indipendente) si facorrispondere un solo valore della variabile y (detta variabile dipen-dente), la funzione si dice univoca (o monodroma); in caso contra-rio, cioè, se ad almeno un valore della x si fanno corrispondere piùvalori della y, la funzione si dice polivoca (o polidroma). Nel segui-to, si farà sempre riferimento alle funzioni univoche.
A indicare la legge di corrispondenza da X verso Y descritta da unafunzione, si adopera la notazione:
y = f(x)
dove x e y sono, rispettivamente, le variabili indipendente e dipenden-te, e f rappresenta la legge di corrispondenza descritta dalla funzione.L’insieme X è detto dominio di definizione (o campo di esistenza)della funzione; l’insieme Y prende il nome di codominio.
Nell’ambito delle funzioni univoche, si è soliti dare la seguente classi-ficazione:
— funzioni algebriche;— funzioni trascendenti.
Una funzione si dice algebrica se in essa figurano soltanto operazionialgebriche, cioè, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione,potenza e radice di monomi e polinomi. Le funzioni non algebricheprendono il nome di trascendenti; a tale insieme appartengono lefunzioni logaritmiche, esponenziali e goniometriche.
Le funzioni algebriche possono essere:
— razionali (intere o fratte);— irrazionali (intere o fratte).
Si dicono razionali quelle funzioni algebriche nelle quali non figura-no radici di monomi o polinomi; se, viceversa, in una funzione alge-
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brica figura almeno un’operazione di estrazione di radice di un mono-mio o polinomio, la funzione si dice irrazionale.L’aggettivo fratta o intera sta a indicare la presenza, o meno, di mo-nomi o polinomi al denominatore di una frazione.
Esempi
È algebrica razionale intera (o polinomiale) la funzione:
y x x x= − + +2 4 3 43 2 ;
mentre è algebrica razionale fratta la funzione:
y
xx
= −+
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3
2;
è algebrica irrazionale intera la funzione:
y x x x= − − +4 3 2 44 23 2
mentre è algebrica irrazionale fratta la funzione:
y
x
x= +
+
2
22;
infine, è trascendente la funzione:
y x= −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
ln sen212
2
2) Simmetrie e periodicità
Una funzione reale di una variabile reale y f x= ( ) è:
— dispari se è simmetrica rispetto all’origine, cioè se:
f x f x−( ) = − ( )
— pari se è simmetrica rispetto all’asse y, cioè se:
f x f x−( ) = ( )
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Una funzione reale di una variabile reale è periodica se esiste T > 0tale che:
f x T f x+( ) = ( ) per ogni x
Le funzioni trascendenti sono periodiche.Il periodo delle funzioni seno, coseno, secante e cosecante è l’interacirconferenza, ossia 2π radianti; il periodo della tangente e della co-tangente è metà circonferenza, ossia π radianti.
3) Campo di esistenza
Sia data una funzione reale di una variabile reale y = f(x), il campo diesistenza, o dominio, della funzione è l’intervallo dei valori di x peri quali la funzione assume significato.
Per determinare il campo di esistenza di una funzione è utile tenerconto delle seguenti regole o indicazioni:
a) nelle funzioni fratte tutti i denominatori delle frazioni devono es-sere diversi da 0;
b) nelle funzioni irrazionali i radicandi delle radici con indice paridevono essere ≥ 0;
c) nelle funzioni trascendenti logaritmiche gli argomenti dei logarit-mi devono essere > 0;
d) nelle funzioni trascendenti goniometriche si distingue:
— gli argomenti delle funzioni circolari inverse arcoseno e arco-coseno devono appartenere all’intervallo [-1, 1];
— gli argomenti della funzione tangente devono essere diversi da
2 1
2k +( )π , con k N∈ ;
— gli argomenti della funzione cotangente devono essere diversida 2kπ con k N∈ .
Nell’ambito della determinazione del campo di esistenza di una stessafunzione, è possibile che alcune delle condizioni sopra descritte vada-no imposte contemporaneamente; ciò, tradotto in termini algebrici,
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equivale a risolvere un sistema di disequazioni, ciascuna delle qualicorrisponde a una delle condizioni imposte.
4) Funzioni limitate
Una funzione y = f(x) definita in un dato intervallo [a, b] si dice ivilimitata, se, per ogni valore di x appartenente al suddetto intervallo,esiste un numero P positivo tale che:
f x P( ) ≤
La funzione è:
— limitata superiormente se, nell’intervallo [a, b] esiste un puntoin cui la funzione assume valore M che è non minore dei valoriassunti negli altri punti;
— limitata inferiormente se, nell’intervallo [a, b] esiste un punto incui la funzione assume valore m che è non maggiore dei valoriassunti negli altri punti.
5) Funzioni crescenti e decrescenti
Sia data una funzione y = f(x), considerati due punti qualsiasi x1 e x
2 di
un dato intervallo [a, b], essa si dice:
— crescente se x1 < x
2 ⇒ f(x
1) ≤ f(x
2);
— costante se x1 < x
2 ⇒ f(x
1) = f(x
2);
— decrescente se x1 < x
2 ⇒ f(x
1) ≥ f(x
2);
— strettamente crescente se x1 < x
2 ⇒ f(x
1) < f(x
2);
— strettamente decrescente se x1 < x
2 ⇒ f(x
1) > f(x
2).
Si dicono monotòne le funzioni crescenti, decrescenti, non decrescenti onon crescenti, ossia le funzioni che variano sempre in uno stesso verso.
6) Funzioni composte
Sia data la funzione:
y = f (z)
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dove z non è variabile indipendente, ma a sua volta funzione z = g(x)della variabile indipendente x, si ha che la funzione:
y f g x= ( )( )
si dice funzione composta di f e di g.
Esercizio n. 1
Determinare l’espressione analitica della funzione composta f g x( )( ) delle due funzioni:
f x x g x x( )= ( )=2 e sen
Entrambe le funzioni hanno dominio e codominio coincidente con l’insieme dei numeri reali.La funzione composta è la funzione:
✌ f g x x x
( )( )=( ) =sen sen2 2
Esercizio n. 2
Determinare le espressioni analitiche delle funzioni composte f g x g f x( )( ) ( )( )e delle due fun-
zioni:
f x x g x ex( )= + ( )= −2 1e
Le due funzioni hanno entrambe dominio coincidente con l’insieme dei numeri reali.La funzione composta di f su g è:
f g x e ex x( )( )=( ) + = +− −2 21 1
La funzione composta di g su f è:
✌ g f x e e
x x( )( )= =− +( ) − −2 21 1
7) Funzioni invertibili
Sia data una funzione:
y = f(x)
essa si dice invertibile in un intervallo chiuso [a, b] se a ogni valoredella x in [a, b] corrisponde uno e un solo valore di y in [a', b'], dove a'e b' sono il minimo e il massimo della funzione nell’intervallo [a, b], e
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viceversa a ogni valore di y in [a', b'] corrisponde uno e un solo valoredi x in [a, b].
La funzione è, pertanto, invertibile nell’intervallo [a, b], se è continuain [a, b] ed è sempre crescente o sempre decrescente in detto interval-lo. La funzione inversa si indica in questo modo:
x = f –1(y)
Negli esercizi che seguono si chiederà di determinare il campo diesistenza della funzione data e/o le coordinate degli eventuali puntidi intersezione con gli assi.
Queste ultime si determinano risolvendo i due sistemi:
x
y f x
== ( )
⎧⎨⎪
⎩⎪
0 e
y
y f x
== ( )
⎧⎨⎪
⎩⎪
0
Un cenno a parte meritano le funzioni iperboliche che, più volte, sa-ranno trattate nel volume.
Funzioni iperboliche
Le funzioni iperboliche sono così definite:
senh
–; cosh ; tanh
–– – –x
e ex
e ex
e ee
x x x x x x
x= =+ =
+2 2 ee x–
La funzione senh è strettamente crescente e quindi invertibile. La funzione inversa èchiamata settsenh (settore-seno iperbolico), ovvero senh–1 o anche arcsenh. Essa può
ricavarsi esplicitando rispetto a y l’equazione: x
e ey y= ––
2; ricavando ey dalla prece-
dente espressione si ha:
2
1 12 1 2 1 0
22 2x e
ee
exe e e xey y
y
yy y y y= = → = → =– – – – –
ponendo ey = z si ottiene l’equazione di secondo grado:
z xz z x x2 12
22 1 0 1– – ,= → = ± +
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scartando la radice negativa (z è non negativo):
e x x y x x xy = + + → = = + +( )2 1 21 1senh ln–L’insieme di definizione della precedente funzione è tutto l’insieme dei numeri reali R.Allo stesso modo si ricava l’inversa della funzione cosh. Essendo questa strettamentedecrescente per valori negativi della variabile, strettamente crescente per valori positi-vi, non è invertibile. È però invertibile la sua restrizione ai valori positivi della variabile.Ripetendo il procedimento precedente si ricava:
cosh ln ––1 2 1x x x= +( )La funzione cosh–1 o arcosh è definita per x ≥ 1.La funzione tanh è strettamente crescente in tutto R, quindi invertibile. Sempre conprocedimento analogo a quello usato per ricavare l’inversa del senh, si ottiene:
tanh ln–1
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xxx
= +−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
La funzione è definita per –1 < x < 1.
Esercizio n. 1
Determinare il campo di esistenza della funzione:
f x x x x( )= − − − −2 2 32
Si tratta di una funzione irrazionale in cui per il polinomio sotto radice deve essere:
x x2 2 3 0− − ≥
Risolvendo si ha che la disuguaglianza è verificata per:
x x≤ − ≥1 3eper cui, il campo di esistenza è:
✌ C E. . , ,= −∞ −⎤⎦ ⎤⎦∪ +∞⎡⎣ ⎡⎣1 3
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Esercizio n. 2
Sia data la funzione:
f x
x
x( )=
−2 1determinarne:
— il campo di esistenza;— le coordinate degli eventuali punti di intersezione con gli assi.
La funzione è irrazionale fratta.
1. Per quanto concerne il campo di esistenza, deve aversi:
x x x2 1 0 1 1− > ⇒ < − ∪ >
quindi:
✌ C. E. = ]– ∞, –1] ∪ [1, + ∞[
2. Per le intersezioni con gli assi si ha che l’origine è esclusa dal campo di esistenza, quindi lacurva non interseca l’asse y; inoltre, il numeratore della funzione si annulla solo per x = 0,punto escluso dal campo di esistenza.
✌ Ne consegue che non vi sono intersezioni con gli assi cartesiani.
Esercizio n. 3
Sia data la funzione:
f xx x( ) -= −3 32 1
determinarne:
— il campo di esistenza;— le coordinate degli eventuali punti di intersezione con gli assi.
Si tratta di una funzione trascendente.
1. Per quanto concerne il campo di esistenza, deve aversi:
3 3 0 3 3 2 1 12 1 2 1x x x x x x x− −− ≥ ⇒ ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥
quindi:✌ C. E. = [1, + ∞[
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2. Per le intersezioni con gli assi si ha che l’origine è esclusa dal campo di esistenza, quindi lacurva non interseca l’asse y; per y = 0, si ha:
3 3 0 12 1x x x− − = ⇒ =
✌ ne consegue che la curva interseca l’asse x nel punto di coordinate (1; 0).
Esercizio n. 4
Sia data la funzione:
f x
e x( )=
−1
2determinarne:
— il campo di esistenza;— le coordinate degli eventuali punti di intersezione con gli assi.
Si tratta di una funzione trascendente.
1. Per quanto concerne il campo di esistenza, essendo f x( ) funzione fratta affinché non siannulli il denominatore deve essere:
e e xx x− ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠2 0 2 2ln
In definitiva, si ha:
✌ C E R. . ln= −{ }22. Per le intersezioni con gli assi si distingue:
— Per x = 0 si ha:
y =
−= −1
1 21
✌ La funzione interseca l’asse delle y nel punto di coordinate (0,-1).
— Per y = 0 si ha:
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0e x −
=
impossibile.
✌ Non c’è intersezione con l’asse delle x.
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Test di verifica
1. Stabilire qual è il campo di esistenza della funzione:
f x
ee
x
x( ) =−+
1
1considerando che la funzione e
x ≠ −1 per ogni x R∈ .
❏ a)
−∞ −] ]∪ +∞[ [, ,1 1❏ b) R
❏ c)
−∞ −] ], 1❏ d)
1,+∞[ [
2. Stabilire qual è il campo di esistenza della funzione:
f x x
x( ) = −2 8
❏ a)
−∞] ]∪ +∞[ [, ,0 2❏ b)
−∞ −] ]∪ +∞[ [, ,2 2
❏ c) R
❏ d)
−∞ −] ], 2
3. Stabilire qual è il punto di intersezione della funzione di cui al quesitoprecedente con uno degli assi.
❏ a) 0 2;( )
❏ b) 0 0;( )
❏ c) 2 0;( )
❏ d) la funzione non presenta intersezioni con gli assi.
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4. Stabilire qual è il campo di esistenza della funzione:
f xx x
( ) =−( ) −( )
1
1 1 42 2
❏ a)
−∞ −] ]∪ −⎤⎦⎥
⎡⎣⎢
∪ +∞] [, , ,1 12
1
21
❏ b)
−∞ −] ]∪ +∞] [, ,1 1
❏ c)
−∞ −⎤⎦⎥
⎤⎦⎥
∪ +∞⎤⎦⎥
⎡⎣⎢
, ,1
2
1
2
❏ d)
−∞ −] ]∪ −⎤⎦⎥
⎤⎦⎥
, ,11
2
1
2
5. Stabilire eventuali punti di intersezione della funzione di cui al quesi-to precedente con uno degli assi.
❏ a) 1 0;( )
❏ b) 0 0;( )
❏ c) 0 1;( )
❏ d) la funzione non presenta intersezioni con gli assi.
Risposte esatte
1) b); 2) a); 3) c); 4) a); 5) c).
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2. Limiti e continuità di funzioni reali
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
di una variabile reale
Di cosa parleremo
Gli argomenti trattati in questo capitolo sono di fondamentale importanzadal punto di vista teorico. I concetti di limite e di continuità di funzioni realidi variabile reale sono propedeutici a numerosi altri nell’analisi matematica.Lo studente deve riuscire a comprenderli, innanzi tutto, sul piano intuitivoper poter, nel seguito, valersene.Nel trattare i limiti, inevitabile è l’estensione degli stessi alle successioni dinumeri reali, per cui alcuni esercizi saranno dedicati ai limiti di successioni.
Limiti
Definizioni▼
lim
x xf x l
→( )=
0
Limiti di successioni
▼
lim
x xf x
→( )= ∞
0
▼
lim
xf x l
→∞( )=▼
lim
xf x
→∞( )= ∞▼
▼
Unicità del limite▼
Permanenzadel segno▼
Confronto▼
Funzione opposta▼
Valore assoluto▼Teoremi
Operazionisui limiti
Formeindeterminate
Limitifondamentali
▼
▼▼
Teoremi
Operazioni sui limiti
Discontinuità
Di prima specieEliminabile Di seconda specie
Continuità
▼▼
▼▼ ▼
▼
▼
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1) Definizione di limite
Per definire il concetto di limite dobbiamo dare la seguente definizione.
Il punto limite o di accumulazione x0 del campo di esistenza di
una funzione è quel punto tale che, in ogni suo intorno, per quantopiccolo, cadono sempre infiniti punti del campo di esistenza; tale pun-to può anche non appartenere al campo di esistenza considerato.
Sia data la funzione f(x) definita nell’insieme X e sia x0 un punto di accumu-
lazione per X; si dice che il limite di f(x) per x che tende a x0 è l e si scrive:
lim ( )
x xf x l
→=
0
se, fissato ad arbitrio un numero ε > 0 esiste un numero δε > 0 tale chese
0 0< − ∃ > ∀ > −
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TEOREMA II (PERMANENZA DEL SEGNO)
Se, al tendere di x a x0 ∈R, la funzione y = f(x) tende al limite l ≠ 0,
esiste un intorno di x0 in cui (escluso al più x
0) la funzione assume lo
stesso segno del suo limite.Viceversa, se al tendere di x a x
0, la funzione y = f(x) tende al limite l e
se esiste un intorno di x0 (escluso x
0) in cui la funzione assume segno
costante, il limite sarà o dello stesso segno della funzione o nullo.
TEOREMA III (CONFRONTO O «DEI DUE CARABINIERI»)
Date le tre funzioni y = f1(x), y = f
2(x), y = f
3(x) definite, rispettivamen-
te, negli insiemi F1, F
2, F
3, se è:
F = F1 ∩ F
2 ∩ F
3 ≠ ∅
(dove ∅ indica l’insieme vuoto) se, inoltre, risulta, per x ∈F:f1(x) < f
2(x) < f
3(x)
e se, infine, indicato con x0 un punto di accumulazione di F, risulta:
lim ( ) lim ( )
x x x xf x f x l
→ →= =
0 01 3
sarà anche:
lim ( )
x xf x l
→=
02
TEOREMA IV (FUNZIONE OPPOSTA)
Se, al tendere di x a x0 ∈R, la funzione y = f(x) tende al limite l, avremo
anche:
lim ( )
x xf x l
→−[ ] = −
0
TEOREMA V (VALORE ASSOLUTO)
Se, al tendere di x a x0 ∈R, la funzione y = f(x) tende al limite l, il valore
assoluto della funzione tenderà al valore assoluto del limite, cioè:
lim ( )
x xf x l
→=
0
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3) Operazioni sui limiti e forme indeterminate
1) LIMITE DELLA SOMMA
Date le due funzioni y = f(x) e y = g(x) definite rispettivamente negliinsiemi A e B, con A ∩ B ≠ ∅, se, indicato con x
0 un punto di accumu-
lazione per A ∩ B, risulta:
lim ( ) lim ( )
x x x xf x l g x l
→ →= =
0 01 2e
allora è anche:
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x xf x g x f x g x
→ → →+[ ] = + =
0 0 0
ll l1 2+
In altri termini: il limite della somma di due funzioni è uguale allasomma dei limiti di ciascuna funzione.
2) LIMITE DELLA DIFFERENZA
Date le due funzioni y = f(x) e y = g(x) definite rispettivamente negliinsiemi A e B, con A ∩ B ≠ ∅, se, indicato con x
0 un punto di accumu-
lazione per A ∩ B, risulta:
lim ( ) lim ( )
x x x xf x l g x l
→ →= =
0 01 2e
allora è anche:
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x xf x g x f x g x
→ → →−[ ] = − =
0 0 0
ll l1 2−
In altri termini: il limite della differenza di due funzioni è uguale alladifferenza dei limiti di ciascuna funzione.
3) LIMITE DEL PRODOTTO
Date le due funzioni y = f(x) e y = g(x) definite rispettivamente negliinsiemi A e B, con A ∩ B ≠ ∅, se, indicato con x
0 un punto di accumu-
lazione per A ∩ B, risulta:
lim ( ) lim ( )
x x x xf x l g x l
→ →= =
0 01 2e
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allora è anche:
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x xf x g x f x g x
→ → →⋅[ ] = ⋅ =
0 0 0
ll l1 2⋅
In altri termini: il limite del prodotto di due funzioni è uguale al pro-dotto dei limiti di ciascuna funzione.
4) LIMITE DELLA FUNZIONE RECIPROCA
Data la funzione y = f(x) definita nell’insieme A, se, indicato con x0 un
punto di accumulazione per A, risulta:
lim ( )
x xf x l
→= ≠
0
0
allora è anche:
lim
( )x x f x l→=
0
1 1
In altri termini: il limite del reciproco di una funzione è uguale alreciproco del limite della funzione.
5) LIMITE DEL QUOZIENTE
Date le due funzioni y = f(x) e y = g(x) definite rispettivamente negliinsiemi A e B, con A ∩ B ≠ ∅, se, indicato con x
0 un punto di accumu-
lazione per A ∩ B, risulta:
lim ( ) lim ( )
x x x xf x l g x l
→ →= =
0 01 2e
con l1 e l
2 numeri finiti e l
2 ≠ 0, allora è anche:
lim( )
( )
lim ( )
lim ( )x xx x
x x
f x
g x
f x
g x
l
l→→
→
= =0
0
0
1
2
In altri termini: il limite del quoziente di due funzioni è uguale alquoziente dei limiti di ciascuna funzione.
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6) LIMITE DELLA POTENZA
Data la funzione y = f(x) definita nell’insieme A, se, indicato con x0 un
punto di accumulazione per A, risulta:
lim ( )
x xf x l
→=
0
allora è anche ∀n ∈N:
lim ( )
x x
n nf x l→
[ ] =0
In altri termini: il limite della potenza di una funzione è uguale allapotenza del limite della funzione.
7) LIMITE DELLA RADICE
Data la funzione y = f(x) definita nell’insieme A, se, indicato con x0 un
punto di accumulazione per A, risulta:
lim ( )
x xf x l
→=
0
se x0 è di accumulazione anche per l’insieme di definizione della fun-
zione f xn ( ) , con n ∈N, n > 0 allora è anche:
lim ( ) lim ( )
x x
n
x xn
nf x f x l→ →
= =0 0
In altri termini: il limite della radice di una funzione è uguale allaradice del limite della funzione.
8) LIMITE DELLE FUNZIONI COMPOSTE
Date le due funzioni y = f(x) e z = g(y) definite rispettivamente negli
insiemi X e Y, con f(X) ∩ Y ≠ ∅; sia, inoltre, z g f x= ( )( ) la funzione
composta dalle funzioni f e g definita nell’insieme A = f(X) ∩ Y; se,indicato con x
0 un punto di accumulazione per A, risulta:
a) lim ( )
x xf x y
→=
00
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b) lim ( )y y
g y l→
=0
c) f(x) ≠ y0 intorno a x
0 (f non assume il valore y
0 costantemente
intorno a x0)
allora è anche:
lim ( ( )) lim ( )
x x y yg f x g y l
→ →= =
0 0
In particolare, l’ipotesi c) è senz’altro verificata se la funzione f è mo-notòna in senso stretto a sinistra e a destra di x
0, ipotesi sempre verifi-
cata se f è elementare.Tale teorema costituisce una generalizzazione dei precedenti.Nelle ipotesi del teorema, dunque, l’operatore lim può entrare all’internodelle funzioni composte, rendendone più agevole il calcolo del limite.
Indicate con f(x) e g(x) due funzioni che soddisfino le ipotesi delteorema 8), vediamo i seguenti notevoli esempi:
Esempi
I) se a ≠ 1,
lim log ( ) log lim ( )x x a a x x
f x f x→ →
=0 0
II)
lim sen ( ) sen lim ( )x x x x
f x f x→ →
⎡⎣ ⎤⎦ =⎡⎣⎢
⎤⎦⎥0 0
III)
lim ( ) lim ( )( )lim ( )
x x
g x
x x
g xf x f x x x
→ →
⎡= ⎡⎣
⎤⎦
→
0 0
0⎣⎣⎢⎤⎦⎥ se f(x) e g(x) convergono entrambe in x0, non sono ivi
entrambe infinitesime e
lim ( )x x
f x→
>0
0 .
I teoremi 1) e 2) si possono estendere, in generale, anche ai casi in cuil1 e l
2 non siano entrambi finiti; l’unica eccezione è costituita dal caso
in cui il limite risultante si presenti come differenza di due infiniti, cioènella forma ∞ – ∞, la quale può assumere qualsiasi valore (o, anche,non tendere ad alcun valore) e che, per questo, possiamo definirecome prima forma indeterminata.Allo stesso modo, il teorema 3) sul prodotto dei limiti è valido in gene-rale anche nei casi in cui i due limiti l
1 e l
2 siano infiniti o nulli; l’unica
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eccezione è costituita dal caso in cui il limite risultante si presenti nellaforma 0 ⋅ ∞, sulla quale, come per la precedente, nulla si può dire;definiamo tale espressione come seconda forma indeterminata.Se dal teorema 5) si rimuovono le ipotesi di l
1 e l
2 finiti e l
2 ≠ 0, la tesi,
con le ovvie estensioni, continua in generale a sussistere, fatta eccezio-
ne per il caso in cui il limite risultante si presenti nella forma
0
0, detta
terza forma indeterminata, oppure ∞∞
, detta quarta forma inde-
terminata, sulle quali nulla si può dire.Anche l’esempio III) si può generalizzare ai casi di limiti infiniti, fattaeccezione per i casi in cui il limite risultante si presenti in una delleseguenti forme, sulle quali nulla si può dire: 00, detta quinta formaindeterminata, ∞0, detta sesta forma indeterminata, 1∞, detta setti-ma forma indeterminata.Anche se abbiamo individuato sette forme indeterminate, con oppor-tune semplici manipolazioni algebriche, tali forme possono tutte ri-
condursi alle due forme indeterminate fondamentali
0
0 e
∞∞
, utili per
l’applicazione del teorema di L’Hospital, che verrà presentato nellostudio delle derivate nel capitolo terzo.
Ad esempio, se le funzioni f(x) e g(x) sono entrambe infinite in x0, si
effettua la trasformazione:
f x g xg x f x
f x g x
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
− =−
⋅
1 1
1
e, se f(x) è infinita e g(x) infinitesima:
f x g xg x
f x
( ) ( )( )
( )
⋅ =1
sicché anche la terza forma indeterminata si riconduce alla seconda.
Estratto della pubblicazione
Presentazione1. Funzioni reali di una variabile realeTest di verificaRisposte esatte2. Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile reale