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CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MAPLE
Circunferencia
Ricardo Villafaña Figueroa
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Contenido
Ricardo Villafaña Figueroa
Material desarrollado con Maple
Ecuación de la circunferencia dados las coordenadas de su centro y su radio ..................... 3
La ecuación de la circunferencia dados tres puntos .............................................................. 6
La ecuación de la circunferencia dado dos puntos extremos de su diámetro ..................... 10
Definición de una circunferencia a partir de su expresión algebraica ................................. 14
Circunferencia inscrita en un triángulo ................................................................................ 15
Circunferencia circunscrita a un triángulo ........................................................................... 18
Intersección de recta y circunferencia: tangentes a la circunferencia ................................ 20
Aplicaciones .......................................................................................................................... 31
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Ecuación de la circunferencia dados las coordenadas de su centro y su radio
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en A (‐1, 5) y radio 7.
Solución 1
En la ecuación general de la circunferencia sustituimos los valores de las coordenadas del centro y el radio dados utilizando la función subs (almacenamos el resultado en la variable temporal eq1 para facilitar su manipulación):
Expandir el resultado obtenido en eq1:
Igualar el resultado a cero:
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Solución 2
Utilizar la biblioteca de Geometría de Maple.
Inicio de variables y carga de biblioteca:
Función para encontrar la ecuación de la circunferencia dadas las coordenadas de su centro d de su radio: (punto A) y la longitu
, ,
Definimos la circunferencia c a partir del punto y radio dados:
Encontramos la ecuación de la circunferencia con la función Equation:
Los detalles de la ecuación encontrada los obtenemos con la función detail:
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Dibujar el punto y la circunferencia:
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La ecuación de la circunferencia dados tres puntos
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (‐1, 4), B (1,‐ 2), C(5,2). Encontrar las coordenadas de su centro, la longitud de su radio y su área.
Solución 1
En la ecuación general de la circunferencia sustituimos los valores de los tres puntos dados:
Resolvemos el sistema de tres ecuaciones:
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Convertimos el valor de r encontrado en forma de radical:
Sustituimos los valores de h, k y r en la fórmula general de la circunferencia:
Expandimos la ecuación encontrada:
Igualamos a cero la ecuación:
Ordenamos la ecuación conforme a X e Y:
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Solución 2
Utilizar la biblioteca de Geometría de Maple.
Inicio de variables y carga de biblioteca:
Función ecuación de la circunferencia dados tres de sus puntos para encontrar la
, , ,
Definimos la circunferencia c a partir de los tres puntos dados con la función:
Encontramos la ecuación:
Encontramos las coordenadas del centro y la longitud del radio con la función detail:
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Las coordenadas del centro también podemos encontrarlas con las funciones center y coordinates:
La longitud del radio la encontramos con la función radius:
El área del círculo se calcula con la función area:
Dibujamos los tres puntos y la circunferencia:
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La ecuación de la circunferencia dado dos puntos extremos de su diámetro
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyos puntos finales de su diámetro son A(0,0), B (5, 0). Encontrar las coordenadas de su centro, la longitud del radio, dibujar la gráfica de
la circunferencia dada y calcular su área.
Solución 1
Definimos los puntos dados en forma de vector:
Encontramos el punto medio entre los puntos A y B (centro de la circunferencia):
Encontramos la longitud del radio por medio de la fórmula de distancia entre dos puntos:
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Sustituimos las coordenadas del centro y el radio en la fórmula general de la circunferencia:
Expandimos el resultado encontrado:
Igualamos a cero la ecuación:
Ordenamos los términos de la ecuación:
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Solución 2
Utilizar la biblioteca de Geometría de Maple.
Iniciamos variables:
Cargamos la biblioteca de geometría:
Fórmula para encontrar la ecuación de la circunferencia dados los puntos extremos de su diámetro
, ,
Definimos la circunferencia C a partir de los dos puntos dados:
Encontramos la ecuación:
Detalles de la ecuación encontrada:
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Encontrado el centro y sus coordenadas:
Encontrando el radio de la circunferencia:
Dibujamos la gráfica de la circunferencia
Calculamos el área del círculo:
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14
Definición de una circunferencia a partir de su expresión algebraica
Ejemplo
Dada la ecuación 9 encontrar las coordenadas de su centro y la longitud de su radio.
Solución
Iniciamos variables:
Cargamos la biblioteca de geometría:
Función unferencia a partir de su representación algebraica para definir una circ
, ó
Definición de la circunferencia:
Detalles de la circunferencia encontrada:
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Circunferencia inscrita en un triángulo
Ejemplo
Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto denominado incentro (centro de la circunferencia inscrita en el triángulo).
Calcula
r la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas:
2
4 143 3
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125
285
Solución
Iniciamos variables:
Cargamos la biblioteca de geometría:
Función erencia inscrita a un triángulo para encontrar la circunf
, á
Función lo a partir de las ecuaciones de cada uno de sus lados para definir un triángu
, 1, 2, 3
Definición del triángulo
Almacenamos las tres ecuaciones dadas en variables temporales:
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Definimos las ecuaciones para utilizarlas con el paquete de geometry:
Definimos el triángulo con la función triangle a partir de las tres líneas dadas:
Detalles del triángulo encontrado:
Encontramos el incentro del triángulo con la función incircle y lo llamamos inc:
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Detalles del incentro:
Dibujamos el incentro y el triángulo:
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Circunferencia circunscrita a un triángulo
Ejemplo
Encontrar la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son A (‐2, 0), B (2, 3) y C(2, 0).
Solución
Cargar la biblioteca de geometría:
Función a un triángulo para definir la circunferencia circunscrita
, á
Definición del triángulo T:
Definición de la circunferencia Cc:
Detalles de la circunferencia:
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Dibujo de la circunferencia:
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Intersección de recta y circunferencia: tangentes a la circunferencia
Ejemplo
Determinar las coordenadas de los puntos donde la recta 2 0 interseca a la circunferencia 4 8 16 0.
Solución
Iniciamos variables:
Cargamos la biblioteca de geometría:
Definimos la ecuación de la recta:
Definimos la ecuación de la circunferencia:
Detalle de la circunferencia definida:
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Encontramos la intersección de la línea recta y la circunferencia con la función intersection y le llamamos Interseccion:
Note que el sistema devuelve dos resultados (la línea corta a la circunferencia en dos puntos.
Detalles del objeto geométrico Interseccion:
Para fines de graficación, encontramos por separado las coordenadas de los dos puntos de intersección y definimos los puntos de corte respectivos:
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Dibujamos los puntos de corte A y B, la circunferencia C1 y la línea l1:
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Ejemplo
Determinar las coordenadas de los puntos donde la recta 2 10 0 interseca a la circunferencia 20. Solución
Iniciamos variables:
Cargamos la biblioteca de geometría:
Definimos la ecuación de la recta:
Definimos la ecuación de la circunferencia:
Detalle de la circunferencia definida:
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Encontramos la intersección de la línea recta y la circunferencia con la función intersection y le llamamos Interseccion:
Note que la función intersection sólo devuelve un valor. La recta toca un solo punto de tangencia de la circunferencia.
Detalles del objeto geométrico Interseccion:
A partir de las coordenadas del punto de intersección, definimos el punto A para su graficación:
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Dibujamos el punto de tangencia A, la circunferencia C1 y la línea l1:
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Ejemplo
Determinar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 3 0 en el punto (2, 5), y el centro está sobre la recta 2 5 0.
Solución
Iniciamos variables:
Cargamos la biblioteca de geometría:
Definición de la línea tangente (l1):
Definición del punto de tangencia (A):
Cálculo y definición de la línea perpendicular a la tangente (lp):
Definición de la línea que pasa por el centro (l2):
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Cálculo de la intersección entre la línea del centro (l2) y la línea perpendicular a tangente (lp), centro de la circunferencia:
Definición de las coordenadas del centro (centro):
Cálculo del radio (radio):
Definición de la circunferencia a partir del centro (C) y del radio (radio):
Reduciendo la ecuación:
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Dibujar el punto, la circunferencia, la línea tangente y la línea que pasa por el centro de la circunferencia:
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Ejemplo
Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 2 1
en el punto .
Solución
Iniciamos variables:
Cargamos la biblioteca de geometría:
Definición del punto (A):
Definición de la circunferencia (C):
Detalle de la circunferencia encontrada:
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Definición de la línea tangente (l) con la función tangentpc:
Ecuación buscada:
Dibujar el punto de tangencia, la circunferencia y la línea tangente:
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Aplicaciones
Ejemplo
Encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 3 4 4 0 y cuyo centro está sobre las rectas 5 7 0 y 4 9 0.
Solución
Inicio de variables y carga de biblioteca:
Definimos las ecuaciones dadas:
Determinamos las coordenadas del centro con la función intersection:
Para calcular el radio de la circunferencia usamos la función distance en su forma de punto y línea:
Definimos la ecuación de la circunferencia con la función circle en su forma centro ‐ radio:
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Determinamos la ecuación de la circunferencia y de las líneas:
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Ejemplo
Deducir una(s) ecuación(es) del o de los círculos de radio 4, cuyo centro está en la recta 4 3 7 0 y es o son tangentes a 3 4 34 0.
Solución
Inicio de variables y carga de biblioteca:
Para encontrar las coordenadas del centro vamos a considerar que la ecuación de la circunferencia debe satisfacer las tres condiciones dada:
(1) El radio dado:
(2) Un punto cualquiera (h, k) que pase por la circunferencia debe también satisfacer a la recta que pasa por el centro:
(3) La tercera condición viene dada por la distancia que existe entre el radio y la recta tangente dada. Definimos primero la recta tangente en función de (h, k):
Y luego definimos la ecuación de la distancia en función de la línea obtenida el radio dado:
Resolvemos el par de ecuaciones encontradas con la función solve:
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El par de ecuaciones nos da dos pares de valores para encontrar las ecuaciones de los círculos:
Primer círculo:
Encontramos la ecuación de la circunferencia con la función Equation:
Segundo círculo:
Encontramos la ecuación de la circunferencia con la función Equation:
Graficamos las circunferencias encontradas, la línea que pasa por el centro y la línea tangente.
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Definimos la línea del centro para graficarla:
Dibujamos las dos circunferencias y las dos líneas: