Circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que

equidistan de un punto fijo llamado centro ( C ).

1) Ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

Para obtener la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el

origen ubicamos un punto cualquiera P(x;y) de la circunferencia con

centro en C(0;0) y calculamos la distancia. Es decir.

Problema 1.

Determinar la ecuación de la circunferencia de C(0;0) que pasa por el

punto P(3;4)

2) Ecuación de la circunferencia con centro en el punto C(h;k).

Para obtener la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en

C(h:k) identificamos un punto cualquiera P(x;y) de la circunferencia y

calculamos su distancia al centro C. Es decir:

Problema 2. Dada la ecuación de la circunferencia

. Hallar las coordenadas del centro, el radio y la

grafica.

3) Ecuación general de la circunferencia .

Para hallar la ecuación general de la circunferencia desarrollaremos los

binomios de su ecuación ordinaria.

Por lo que: D = -2h; E = -2k y F = h2 +k2 – r2, para obtener la expresión

que corresponde a la ecuación general de la circunferencia:

Problema 3. Hallar el centro y el radio de la circunferencia

Problema 4. Hallar el centro y radio de la circunferencia

.

Problema 5. Hallar el centro y el radio de la circunferencia

Problema 6. Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por

los puntos P(4;7), Q(0;9) y R(3;0) e identificamos su centro y radio.

Problema 7. Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por

los puntos A(1;-4) y B(5;2) y que tiene su centro en la recta

L1: x – 2y + 9 = 0

Problemas de circunferencia

1) Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por P(8;0) y su centro

se encuentra en el origen de coordenadas.

2) Encuentra la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en (–3;1) y

radio 4

3) Encuentra la ecuación general de la circunferencia tangente al eje Y y con

centro en (–3;4)

4) Utiliza los términos de la ecuación general de la circunferencia

x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0 para encontrar las coordenadas del centro y el

radio.

5) Utiliza la estrategia de completar cuadrados para obtener las

coordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuación

2x2 + 2y2 – 4x + 6y + 3 = 0.

6) Utiliza los términos de la ecuación general de la circunferencia para

encontrar las coordenadas del centro y el radio de las siguientes

ecuaciones.

a) x2 + y2 – 10x = 0 b) x2 + y2 – x + 3y – 10 = 0

c) x2 + y2 – 6x + 2y – 5 = 0 d) 8x2 + 8y2 – 72x – 32y + 95 = 0

7) Utiliza la estrategia de completar cuadrados para obtener las coordenadas

del centro y el radio de las ecuaciones.

a) x2 + y2 + 10x – 6y + 24 = 0 b) x2 + y2 – 20x – 14y + 119 = 0

c) x2 + y2 + 12x + 10y + 41 = 0 d) 3x2 + 3y2 – 8x – 8y – 31 = 0

8) Halla la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos dados:

a) A(1;2), B(6;5), C(9;0) b) A(-7;2), B(1;-2), C(-2;-3)

c) A(-6;9), B(6;1), C(6;-9) d) A(9;-10), B(3;8), C(-3;6)

Encuentra la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto P.

9) x2 + y2 – 2x – 4 = 0; P(2;2)

10) x2 + y2 + 125x – 7y = 314; P(2;-8)

11) 7x2 + 7y2 + 54x + 108y = 467; PP(-3;4)

12) A(2;7) y B(6;5) son puntos diametralmente opuestos de una

circunferencia. Determina la ecuación general y el punto centro de dicha

circunferencia.

13) Halla la ecuación general de la circunferencia que pasa por

los puntos (-12;-5) y (-7;-6) y cuyo centro está ubicado sobre la recta

L1: x + 2y + 4 = 0.

14) Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por el

punto (6;5) y es tangente a las rectas y = 3 e y = 7.

15) Determina la ecuación general de la circunferencia de centro C(3;5) que

es tangente a la recta; L1: 4x + 3y – 2 = 0.

Matemáticos, de pie sobre los hombros de los demás. Carl Friedrich Gauss