circuits and systems – part i prof. dr hab. stanisław osowski electrical engineering (b.sc.)...
TRANSCRIPT
![Page 1: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/1.jpg)
CIRCUITS and SYSTEMS – part I
Prof. dr hab. Stanisław Osowski
Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja dystrybuowana jest bezpłatnie
![Page 2: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/2.jpg)
Lecture 2
Analysis of circuits in steady state at sinusoidal excitation
![Page 3: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/3.jpg)
Sinusoidal signal
u(t) - instantaneous value of signalUm - maximum value (magnitude) of signal
- initial phase (phase corresponding to t=0)
t+ - phase angle at time tf=1/T - frequency in HzT - period of sinusoidal signal
- angular frequency measured in radians per second
)sin()( tUtu m
![Page 4: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/4.jpg)
RMS value of signal
2
)sin()( mm
UUtUtu
Tot
t
dttfT
F0
2 )(1
For sinusoidal signal
• voltage
• current
2
)sin()( mm
IItIti
![Page 5: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/5.jpg)
Steady state of the circuit
Steady state of the circuit is the state in which the character of the circuit response is the same as the excitation. It means that at sinusidal excitation the response is also sinusidal of the same frequency.
For the need of steady state analysis we introduce the so symbolic method of complex numbers. This method converts all differential and integral equations into algebraic equations of complex character.
![Page 6: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/6.jpg)
Symbolic method for RLC circuit
The RLC circuit under analysis
The circuit equation in time domain
dt
diLidt
CRitUm
1)sin(
![Page 7: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/7.jpg)
General solution of circuit
The general solution of the circuit in time domain is composed of two components: x(t)=xs(t)+xt(t)
•Steady state component – part xs(t) of general solution for which the signal has the same character as excitation (at sinusidal excitation the response is also sinusidal of the same frequency). This state is theoretically achieved after intinite time (in practice this time is finite).•Transient component - part xt(t) of general solution for which the signal may take different form from excitation (for example at DC excitation it may be sinusoidal or exponential). The general solution is just the sum of these two parts
x(t)=xs(t)+xt(t)
![Page 8: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/8.jpg)
Solution in steady state
tjjmm eeUtUtUtu )( )sin()(
tjjmm eeItItIti )( )sin()(
Symbolic represenation of voltage excitation
Symbolic represenation of current response
dttICdt
tdILtRItU )(
1)()()(
Symbolic equation of circuit
![Page 9: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/9.jpg)
Solution in steady state (cont.)
After performing the appropriate manipulations we get
iii jmjmjmjm eI
Cje
ILje
IRe
U
2
1
222
2
,2
ijmjm eI
IeU
U
The complex RMS notations of current and voltage
ICj
LIjRIU
1
The complex RMS equation of the circuit
![Page 10: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/10.jpg)
Complex represenation of the RLC elements
Resistor
Inductor
Capacitor
R Z R RIU R
LjLIjU L L Z
Cj
CjI
CjUC
11 Z
1C
![Page 11: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/11.jpg)
Complex impedances• Reactance of inductor
LL jXZ
• Reactance of capacitor
LX L
CXC
1
• Impedance of inductor
• Impedance of capacitor
CC jXZ
![Page 12: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/12.jpg)
Final solution of RLC circuit
• Complex algebraic equation of RLC circuit
ZIIZIZRIU CL
• Complex current
R
CLjj
eCLR
U
CLjR
eU
Z
UI
)/(1arctg
22 ))/(1(/(1
• Magnitude RMS value of current
• Phase of current
22 ))/(1( CLR
U
Z
UI
R
CLi
)/(1arctg
![Page 13: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/13.jpg)
Kirchhoff’s laws for complex representation
• KCL
• KVL
• Ohm’s complex law
Y=1/Z - complex admittance
k
kI 0
k
kU 0
YUIZIU
![Page 14: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/14.jpg)
Symbolic method - summary
• Conversion: time-complex representation of sources
i
u
jmim
jmum
eI
tIti
eU
tUtu
2 )sin()(
2 )sin()(
• Complex represenattion of RLC elements
• Kirchhoff’s laws for complex values
• Solution of complex equations -> complex currents & voltages.
![Page 15: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/15.jpg)
Example
Determine the currents in in steady state of the circuit at the following values of parameters: R=10Ω, C=0,0001F, L=5mH, i(t)=7.07sin(1000t) A.
Circuit structure
![Page 16: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/16.jpg)
Solution
Complex symbolic values of parameters:
ω = 1000
I = 5ej0 = 5
ZL = jωL = j5
ZC = -j/(ωC) = -j10
Admittance and impedance of the circuitoj
CL
eY
ZjZZR
Y 45
2
101 1,01,0
111
![Page 17: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/17.jpg)
Solution (cont.)
Voltage and currents
o
o
o
o
j
CC
j
LL
jR
j
eZ
UI
eZ
UI
eR
UI
eZIU
135
45
45
45
2
5
2
102
52
50
![Page 18: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/18.jpg)
Solution (cont.)
Time representation of the signals
)1351000sin(5)(
)451000sin(10)(
)451000sin(5)(
)451000sin(50)(
oC
oL
oR
o
tti
tti
tti
ttu
![Page 19: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/19.jpg)
Phasor diagram for resistor
Equation
ojRRR eRIRIU 0
![Page 20: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/20.jpg)
Phasor diagram for inductor
Equation
ojLLL eLILIjU 90
![Page 21: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/21.jpg)
Phasor diagram for capacitor
Equation
ojCCC eI
CI
CjU 9011
![Page 22: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/22.jpg)
Phasor diagram for RLC circuit• The construction starts from the farest branch from the source. For
series connected elements of this branch start from current; for parallel connected elements start from voltage. Next we draw alternatingly the currents and voltages for the succeeding branches, approaching in this way the source.
• The relation of the input voltage towards the input current determines the reactive character of the circuit. – If the input voltage leads its current the character is inductive.– If (opposite) the input voltage lags its current the character of the circuit is
capacitive. – When the voltage is in phase with current – the circuit is of resistive character.
![Page 23: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/23.jpg)
ExampleDraw the phasor diagram for the circuit
RLC circuit structure
![Page 24: CIRCUITS and SYSTEMS – part I Prof. dr hab. Stanisław Osowski Electrical Engineering (B.Sc.) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062422/56649f175503460f94c2e496/html5/thumbnails/24.jpg)
Construction of phasor diagram