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Libro de Circuitos III De Maulio LUZTRANSCRIPT
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CAPTULO 1
LA TRANSFORMACIN DE LAPLACE
1.1 Introduccin 1
1.2 Definicin de la Transformada de Laplace 2
1.3 Condiciones para la Existencia de la Transformada de Laplace 4
1.3.1 Funciones Seccionalmente Continuas 4
1.4 Teoremas de la Derivada y de la Integral 8 1.4.1 La Transformada de Laplace Bilateral 9
1.4.2 La Funcin Impulso 9
1.4.3 El Teorema de la Derivada 13
1.4.4 El Teorema de la Integral 16
1.4.5 Traslacin Compleja 17
1.5 El Problema de Inversin 18 1.5.1 Inversin de Transformadas Racionales (Fracciones Parciales) 19
1.5.2 Inversin de Funciones Impropias 24
1.6 Los Valores Inicial y Final de f(t) a Partir de F(s) 25 1.6.1 El Teorema del Valor Inicial 25
1.6.2 El Teorema del Valor Final 27
1.7 Teoremas Adicionales 27 1.7.1 El Teorema de Traslacin Real o de Desplazamiento 27
1.7.2 El Teorema de Escala 29
1.7.3 Derivadas de Transformadas 30
1.7.4 Transformada de una Funcin Peridica 32
1.8 Aplicacin de la Transformada de Laplace a Ecuaciones Diferenciales 33
1.9 La Convolucin 36
1.10 Propiedades de la Integral de Convolucin 40
1.11 Ecuaciones Diferenciales e Integrales 42
PROBLEMAS 44
CAPTULO DOS
SOLUCIN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO
2.1 Introduccin 47
-
ii
2.2 Definiciones 47
2.3 Solucin General de la Ecuacin de Estado 49
2.4 Integracin de la Ecuacin de Estado 52
2.5 Solucin de la Ecuacin de Estado Usando la Transformada de Laplace 53
2.6 El Mtodo de los Valores y Vectores Caractersticos 57
2.7 Solucin Mediante Diagonalizacin de Matrices 64
2.8 Solucin por Reduccin a la Forma Cannica de Jordan 67
2.9 Grficos de Flujo de Seales (GFS) 74 2.9.1 Reglas Bsicas del Grfico del Flujo de Seales 76
2.9.2 lgebra de los Grficos de Flujos de Seales 76
2.9.3 Frmula de Mason para la Ganancia 79
2.9.4 Grficos de Transicin de Estados 82
2.9.5 Las Ecuaciones de Estado a Partir de las Ecuaciones Diferenciales de Entrada Salida 88
2.10 Relacin Entre las Ecuaciones de Estado y las Funciones de Transferencia 92 2.10.1 Races del Denominador D(s) Distintas 93
2.10.2 Races Repetidas en el Denominador D(s) 97
PROBLEMAS 101
CAPTULO 3
INTRODUCCIN AL ANLISIS DE REDES
3.1 Introduccin 105
3.2 Modelos de Redes 105 3.2.1. Resistores 106
3.2.2. El Capacitor 107
3.2.3 El Inductor 108
3.3 Circuitos Acoplados Magnticamente 110
3.4 Modelos de Circuitos Acoplados Magnticamente y con Condiciones Iniciales 115
3.5 Fuentes 119 3.5.1 Fuentes Ideales Independientes 120
3.5.2 Fuentes Reales Independientes 121
3.5.3 Fuentes Dependientes 122
3.6 Determinacin de las Condiciones Iniciales 123
3.7 Condiciones Iniciales en Redes Degeneradas 126 3.7.1 Evaluacin de Condiciones Iniciales en Inductores que Forman un Nodo Degenerado 126
3.7.1.1 Principio de Continuidad de los Enlaces de Flujo 127
-
iii
3.8 Procedimiento para Determinar las Condiciones Iniciales en Redes con Nodos Degenerados 128 3.8.1 Evaluacin de Condiciones Iniciales en Capacitores que Forman una Malla Degenerada 130
3.8.1.1 Principio de Conservacin de la Carga 131
3.8.1.2 Procedimiento para Determinar las Condiciones Iniciales en Redes con Mallas Degeneradas 132
PROBLEMAS 135
CAPTULO 4
TOPOLOGA DE REDES
4.1 Introduccin 137
4.2 Algunas Definiciones Bsicas 138 4.2.1 Redes Planas 138
4.2.2 Vrtices 138
4.2.3 Subgrafos 138
4.2.4 Pasos, Caminos o Trayectorias 139
4.2.5 Circuitos 139
4.2.6 Grafo Conexo 139
4.2.7 Grado del Vrtice 140
4.2.8 Rango y Nulidad 140
4.2.9 rbol 140
4.2.10 Relaciones entre Bordes, Vrtices y Ramas 141
4.2.11 Conjuntos Cortados 141
4.2.12 Circuitos en el Grafo 142
4.2.13 Conjuntos Cortados Fundamentales 143
4.2.14 Circuitos Fundamentales 144
4.3 Relacin entre los Circuitos Fundamentales y los Conjuntos Cortados Fundamentales 145
4.4 El Grafo Orientado 145
4.5 La Matriz de Circuitos Fundamentales 146
4.6 La Matriz de Conjuntos Cortados Fundamentales 148
4.7 La Matriz de Incidencia 150
4.8 Relaciones entre las Matrices de las Redes 153
4.9 Teorema de Tellegen 163
PROBLEMAS 165
-
iv
CAPTULO 5
ECUACIONES DE REDES 5.1 Introduccin 167
5.2 Anlisis de Mallas 167 5.2.1 Anlisis de Mallas en Frecuencia Compleja 167
5.2.2 Anlisis de Mallas con Excitacin Sinusoidal 171
5.3 Anlisis de Nodos 174 5.3.1 Anlisis Nodal en Frecuencia Compleja 174
5.3.2 Anlisis Nodal con Excitacin Sinusoidal 179
5.4 Formulacin Matricial de Redes por el Mtodo de Mallas 180 5.4.1 Formulacin Matricial de Redes en Frecuencia Compleja 181
5.4.2 Formulacin Matricial del Anlisis de Mallas con Excitacin Sinusoidal 189
5.5 Formulacin Matricial del Anlisis de Redes por el Mtodo Nodal 191 5.5.1 Formulacin Matricial en Frecuencia Compleja 191
5.5.2 Formulacin Matricial del Anlisis Nodal con Excitacin Sinusoidal 198
5.6 Anlisis Con Variables de Estado 199 5.6.1 Anlisis de Redes Degeneradas Usando Ecuaciones de Estado 211
5.7 Algoritmo para Formular las Ecuaciones de Estado 212
5.8 Solucin de Redes Mediante el Grfico de Transicin de Estados 222
PROBLEMAS 225
CAPTULO 6
FUNCIONES Y RESPUESTAS DE REDES
6.1 Introduccin 231
6.2 Funciones de Punto Impulsor 231
6.3 Funciones de Transferencia 231
6.4 Polos y Ceros 235
6.5 Determinacin de la Respuesta Transitoria de una Funcin de Red 239
6.6 Solucin Permanente de las Respuestas de una Funcin de Red 243
6.7 Solucin de la Respuesta Forzada a Partir de la Grfica de Polos y Ceros 245
6.8 Curvas de la Respuesta de Frecuencia con Excitacin Sinusoidal 247
6.9 Grficas Polares 252
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v
6.10 Diagramas de Bode 255
6.10.1 Octavas, Dcadas y Decibelios 268
6.10.2 Factores que Intervienen en los Diagramas de Bode 256
PROBLEMAS 267
CAPTULO 7
REDES DE DOS PUERTOS
7.1 Introduccin 271
7.2 Parmetros z 272
7.3 Parmetros y 272
7.4 Parmetros Hbridos h 272
7.5 Parmetros Hbridos g 273
7.6 Parmetros de Transmisin a 274
7.7 Parmetros de Transmisin b 275
7.8 Relaciones entre Parmetros 280
7.9 Interconexin de Redes de Dos Puertos 284 7.9.1 Conexin Serie Serie 284
7.9.2 Conexin Paralelo Paralelo 285
7.9.3 Conexin Serie Paralelo y Paralelo Serie 286
7.9.4 La Conexin en Cascada 287
7.10 Permisividad de Interconexin de Redes de Dos Puertos 295
7.11 La Matriz de Admitancia Indefinida 300
7.12 Osciladores Realimentados 309
7.13 Redes de Tipo T y de Tipo y Reduccin de Redes 314 7.13.1 Redes de Tipo T y de Tipo 324 7.13.2 Reduccin de Redes Mediante el Mtodo de Particin de Matrices 316
PROBLEMAS 322
CAPTULO 8
ANLISIS DE REDES MEDIANTE SERIES DE FOURIER
8.1 Introduccin 327
8.2 Respuesta de Sistemas LIT a Exponenciales Complejas 327
-
vi
8.3 Representacin de Seales Usando Series de Fourier 328 8.3.1 Seales Peridicas y Combinaciones Lineales de Exponenciales Complejas 328
8.3.2 Series de Fourier 330
8.4 Condiciones para la Convergencia de las Series de Fourier 337
8.5 Propiedades de las Series de Fourier 339 8.5.1 Efectos de la Simetra 339
8.6 Simplificacin en los Clculos de los Coeficientes de Fourier 341
8.7 Efectos del Nivel de CD Sobre los Coeficientes de Fourier 343
8.8 Valor Efectivo de las Funciones Peridicas 343
8.9 Potencia Media en Funciones Peridicas 345
8.10 Espectro de Potencia de f(t) 346
8.11 Espectro de Frecuencias de Funciones Peridicas 348
8.12 Significado Fsico de Armnicos con Frecuencias Negativas 351
8.13 Aplicaciones en el Anlisis de Redes Elctricas 351
PROBLEMAS 358
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CAPTULO 1
LA TRANSFORMACIN DE LAPLACE
1.1 Introduccin
El concepto de transformar una funcin puede emplearse desde el punto de vista de hacer un cambio de variable para simplificar la solucin de un problema; es decir, si se tiene un problema en la variable x, se sustituye x por alguna otra expresin en trminos de una nueva variable, por ejemplo, senx y= , anticipando que el problema tendr una formulacin y una solucin ms sencillas en trminos de la nueva variable y; luego de obtener la solucin en trminos de la nueva variable, se usa el procedimiento opuesto al cambio previo y se obtiene entonces la solucin del problema original. El logaritmo es un ejemplo sencillo de una transformacin a la que ya nos hemos enfrentado; su virtud es que transforma un producto en una suma, que es una operacin ms sencilla. Efectuando la operacin inversa, el antilogaritmo, se obtiene el resultado del producto.
Una transformacin que es de gran importancia en el clculo es la de integracin,
{ }0
( ) ( ) ( )x
I f t f t dt F x= =
El resultado de esta operacin es una funcin F(x), la imagen de f(t) bajo la transformacin. Obsrvese que la operacin inversa a la integracin es la derivacin; si se designa por D la operacin de derivar, d/dt, entonces
{ }( ) ( )D F x f x= Con frecuencia es necesario usar una transformacin ms complicada. Si se tiene una funcin f(t) de la variable t, se define una transformada integral de f(t) como
{ }Transformada integral de ( ) ( ) ( ) ( , )b
a
f t T f t f t K s t dt= = (1.1)
La funcin K(s, t), la cual es una funcin de dos variables, se denomina el ncleo de la transformacin. Obsrvese que la transformada integral ya no depende de t; es una funcin F(s) de la variable s, de la cual depende el ncleo. El tipo de transformada que se obtiene y los tipos de problemas para los cuales es de utilidad dependen de dos cosas: el ncleo y los lmites de integracin. Para ciertos ncleos K(s, t), la transformacin (1.1) al aplicarse a formas lineales en f(t) dadas, cambia esas formas a expresiones algebraicas en F(s) que involucran ciertos valores de frontera de la funcin f(t). Como consecuencia, ciertos tipos de problemas en ecuaciones diferenciales ordinarias se transforman en problemas algebraicos cuya incgnita es la imagen F(s) de f(t). Como ya se mencion, si se conoce una transformacin inversa, entonces es posible determinar la solucin y(t) del problema original.
-
2
En general, una transformacin T{f(t)} es lineal si para todo par de funciones f1(t) y f2(t) y para todo par de constantes c1 y c2 ella satisface la relacin
{ } { } { }1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )T c f t c f t c T f t c T f t+ = + (1.2) Es decir, la transformada de una combinacin lineal de dos funciones es la combinacin lineal de las transformadas de esas funciones.
Para la seleccin particular del ncleo ( , ) stK s t e= y los lmites de integracin desde cero hasta infinito en la Ec. (1.1), la transformacin definida por (1.1) se denomina una transformacin de Laplace y la imagen resultante una transformada de Laplace. La transformada de Laplace de f(t) es entonces una funcin de la variable s y se denota por F(s) o L{f(t)}. 1.2 Definicin de la Transformada de Laplace Dada una funcin f(t) definida para todos los valores positivos de la variable t, se forma la integral
0
( ) ( )stf t e dt F s
= (1.3)
la cual define una nueva funcin F(s) del parmetro s, para toda s para la cual converge la integral. La funcin F(s) as formada se denomina la transformada de Laplace unilateral de f(t). Normalmente se omitir el trmino unilateral y la transformada se denotar por F(s) o L{f(t)}. El lmite inferior de (1.3) se escogi como 0 en vez de 0 o 0+ para incluir casos donde la funcin f(t) pueda tener una discontinuidad de salto en 0=t . Esto no debe considerarse una restriccin, ya que en los estudios usuales de transitorios, el origen del tiempo siempre puede tomarse en el instante t = 0 o en algn tiempo finito 0t > . La funcin en el lado derecho de (1.3) no depende de t porque la integral tiene lmites fijos. Como veremos, la transformacin de Laplace es una transformacin que reduce un sistema de ecuaciones integro-diferenciales simultneas lineales a un sistema de ecuaciones algebraicas simultneas lineales. La transformada de Laplace asocia una funcin en el dominio del tiempo con otra funcin, la cual se define el plano de frecuencia compleja.
Puesto que est definida como una integral, es fcil demostrar que la transformada de Laplace es una transformacin lineal. Es decir, si f1(t) y f2(t) poseen transformadas F1(s) y F2(s) y c1 y c2 son constantes,
{ }1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )c f t c f t c F s c F s+ = +L (1.4) La notacin
( ) ( )f t F s
significar que las funciones f(t) y F(t) forman un par de transformadas de Laplace, es decir, que F(s) es la transformada de Laplace de f(t).
En general, la variable s es compleja pero, por los momentos, se tomar como real y ms adelante se discutirn las limitaciones sobre el carcter de la funcin f(t) y sobre el recorrido de la variable s.
-
3
Ahora se obtendrn las transformadas de algunas funciones elementales. La mayora de los ejemplos estn basados en la integral
0
1, 0pte dt p
p
= > (1.5)
cuya demostracin procede de la identidad
0
1T pTpt ee dtp
=
En efecto, si p > 0, entonces 0pTe conforme T y se obtiene la Ec. (1.5).
Ejemplo 1
(a) Se determinar la transformada de Laplace de la funcin f(t) = 1, t > 0. Introduciendo esta funcin en la Ec. (1.3), se obtiene
{ }0 0
11 (1) st ste dt e dt
s
= = = L
para s > 0. En la notacin indicada,
1
1 , 0ss
> (1.6)
(b) Considrese ahora la funcin ( ) ctf t e= , t > 0, donde c es una constante. En este caso,
{ } ( )0 0
s c tct ct ste e e dt e dt
= = L
La ltima integral es la misma que la de la Ec. (1.5) con p = s c; por tanto, es igual a 1/(s c), con tal que 0.s c > Se concluye entonces que
1
, cte s cs c
>
(1.7)
Con la ayuda de mtodos elementales de integracin es posible obtener las transformadas de otras funciones. Por ejemplo,
22 3
2 2 2 2
1 2 ,
1sen , cos
t ts s
sat at
s a s a
+ +
(1.8)
para s > 0; ms adelante se darn procedimientos ms sencillos para obtener estas transformadas.
-
4
Ejemplo 2. Utilice la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace, para obtener la transformada de la funcin ( ) senhf t at= .
Solucin. Usando la identidad 1 1
senh2 2
at atat e e=
entonces
{ } 1 1 1 1 1 1senh2 2 2 2
at atat e es a s a
= =
+ L L
cuando s > a y s > a; es decir,
( )2 2senh , >aat s as a + Puesto que la ecuacin de definicin de la transformada de Laplace contiene una integral en la cual uno de sus lmites es infinito, una de las primeras preguntas a responder se refiere a la existencia de la transformada. Un ejemplo sencillo de una funcin que no tiene una transformada de Laplace es exp[exp( )]t . Por ello, a continuacin se darn algunos teoremas concernientes a la convergencia de la integral de Laplace. 1.3 Condiciones para la Existencia de la Transformada de Laplace
1.3.1 Funciones Seccionalmente Continuas Se dice que una funcin f(t) es seccionalmente continua en un intervalo acotado a < t < b, si es continua excepto en un nmero finito de puntos 1 2 Nt t t< < c. Si | f(t)| g(t) para t c y si la integral
( )c
g t dt
-
5
converge, entonces la integral
( )c
f t dt
tambin converge.
Figura 1.1 Figura 1.2
Ms adelante se usar el Teorema 1 para establecer un conjunto de condiciones de suficiencia para la existencia de la transformada de Laplace de una funcin. Sin embargo, primero se introducir la notacin
[ ]( ) ( )f t O g t= la cual debe leerse f(t) es del orden de g(t). Esta notacin significa que existen constantes M y N tales que
( ) ( )f t M g t
cuando t N. En particular, si ( ) tf t O e = para alguna constante , se dice que f(t) es de orden exponencial. Teorema 2. Sea f(t) una funcin seccionalmente continua en todo intervalo de la forma [0,T], donde T > 0 y sea ( ) tf t O e = para alguna constante . Entonces la transformada de Laplace { }( ) ( )f t F s=L existe, al menos para s > . Demostracin. De acuerdo con las hiptesis del teorema, existen constantes M y t0 tales que
( ) tf t Me cuando t > t0. Entonces ( )( ) s tstf t e M e cuando s t0. Puesto que la integral
( )
0
s t
t
M e dt
converge cuando s > , la integral
0
st
t
e dt
tambin converge (Teorema 1). Como
a b b a t1 t1 t t
A
B f(t) f(t)
-
6
0
00 0
( ) ( ) ( ) , t
st st st
t
e f t dt e f t dt e f t dt s
= + >
la transformada de Laplace L{f(t)} existe para s > .
Como una aplicacin importante del Teorema 2, se demostrar que si f(t)es de la forma
cos , senat atn nt e bt t e bt (1.9)
donde n es un entero no negativo, entonces L{f(t)} existe para s > a. Primero obsrvese que
n tt O e =
para todo nmero positivo . Como cos 1 y sen 1bt bt para todo t, tenemos que
( )( ) a tf t O e + =
Por el teorema 1, L {f(t)} existe para s a> + para todo nmero positivo . Por consiguiente, L {f(t)} existe para s a> .
El resultado anterior es importante en el estudio de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Considere la ecuacin homognea
( ) 0P D x =
donde D = d/dt y P(D) es un operador polinmico. Toda solucin de esta ecuacin es una combinacin lineal de funciones de la forma (1.9). Cualquier derivada de una solucin es tambin una combinacin lineal de funciones de este tipo. Por tanto, se puede decir que toda solucin de la ecuacin, y toda derivada de una solucin, es de orden exponencial y posee una transformada de Laplace. Teorema 3. Sea f(t) una funcin seccionalmente continua en todo intervalo de la forma [0, T] y sea ( ) tf t O e = para alguna constante . Entonces la funcin h(t), donde
0
( ) ( )t
h t f u du=
es de orden exponencial. Si > 0, ( ) th t O e = y si < 0, h(t) = O[1]. Demostracin. Existen constantes positivas t0 y M1 tales que | f(t)| M1e t para t t0. Tambin existe una constante positiva M2 tal que | f(t)| M2 para 0 t t0. Puesto que
0
00
( ) ( ) ( )t t
t
h t f u du f u du= +
para t > t0, se tiene que 0
0
2 1
0
( ) ( )t t
t
h t M du M f u du +
o
-
7
( )012 0( ) ttMh t M t e e +
Si > 0, entonces
12 0 0( ) ,
tMh t M t e t t +
y [ ]( ) th t O e= .
Ejemplo 3
La funcin escaln unitario
00
0
0 cuando 0( )
1 cuando
t tu t t
t t
<
es un ejemplo de una funcin seccionalmente continua en el intervalo 0 < t < T para todo nmero positivo T (Fig. 1.3). Observe la discontinuidad en t = t0:
0 00 0lm ( ) 0 lm ( ) 1
t t t tu t t u t t
+ =
Figura 1.3
La transformada de Laplace de esta funcin es
00
0
0
1( ) st st st
tt
u t t e dt e dt es
= =
As que siempre que s > 0,
{ } 00( )t se
u t ts
=L
Aqu se debe sealar un punto importante. La transformada de Laplace est definida solamente entre 0 y +. La conducta de la funcin f(t) para t < 0 nunca entra en la integral y por lo tanto no tiene efecto sobre su transformada. Por ejemplo, las funciones ( ) 1f t = y u(t) ( 0 1t = en el Ejemplo 3) tienen la misma transformada 1/s.
Las condiciones mencionadas en los teoremas para la existencia de la transformada de una funcin son adecuadas para la mayora de nuestras necesidades; pero ellas son condiciones suficientes y no necesarias. Por ejemplo, la funcin f(t) puede tener una discontinuidad
t 0t
)( 0ttu
1
-
8
infinita en, por ejemplo, t = 0, es decir ( )f t conforme t 0, siempre que existan
nmeros positivos m, N y T, donde m < 1, tales que | f(t)| < N/tm cuando 0 < t < T. Entonces, si en cualquier otra forma, f(t) cumple con las condiciones mencionadas, su transformada todava existe porque la integral
0
( )T
sTe f t dt
existe. 1.4 Teoremas de la Derivada y de la Integral Se desea expresar la transformada de Laplace
0
( ) stf t e dt
de la derivada f(t) de una funcin f(t) en trminos de la transformada de Laplace F(s) de f(t). Integrando por partes se obtiene
{ }0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )st st stf t f t e dt f t e s f t e dt
= = + L
Sea f(t) del orden de est conforme t tiende a infinito. Entonces, siempre que s > a, el primer trmino en el lado derecho se convierte en f(0) y por tanto
{ }( ) ( ) (0)f t sF s f = L (1.10) As que la diferenciacin de la funcin objeto corresponde a la multiplicacin de la funcin resultado por su variable s y la adicin de la constante f(0). La frmula (1.10) da entonces la propiedad operacional fundamental de la transformacin de Laplace; la propiedad que hace posible reemplazar la operacin de diferenciacin por una simple operacin algebraica sobre la transformacin.
Ejemplo 4. Resolver la ecuacin
( ) 3 ( ) 0 , 0y t y t t + = > (1.11)
con la condicin inicial y(0) = 2. Solucin. Multiplicando ambos lados de (1.11) por est e integrando de cero a infinito, se obtiene
[ ]0
( ) 3 ( ) 0sty t y t e dt
+ = (1.12)
Del teorema de la derivada, Ec. (1.10), se obtiene que
-
9
0
( ) ( ) (0) ( ) 2sty t e dt sY s y sY s
= =
donde Y(s) = L{y(t)}. Sustituyendo en la relacin (1.11) da
( ) 2 ( ) 0sY s Y s + = (1.13)
De manera que la transformada de Laplace Y(s) de la funcin incgnita y(t) satisface la Ec. (1.13). Despejndola, se obtiene
2
( )3
Y ss
=
+ (1.14)
Como se observa en la Ec. (1.7), la fraccin anterior es la transformada de la funcin 32 te . Por tanto, la solucin de la Ec. (1.11) es
3( ) 2 , 0ty t e t= >
1.4.1 La Transformada de Laplace Bilateral La transformada de Laplace F(s) de una funcin f(t), como se defini en (1.3), involucra los valores de la funcin f(t) para todo t en el intervalo (0, ). Es decir, intervalo adecuado en la solucin de ecuaciones diferenciales que son vlidas para t 0. En la teora de circuitos elctricos y otras aplicaciones, algunas veces es deseable considerar los valores de f(t) en todo el eje real y definir a F(s) en consecuencia. Esto conduce a la funcin
( ) ( ) stF s f t e dt
= (1.15)
conocida como la transformada de Laplace bilateral de f(t). Si la funcin f(t) es causal, es decir, si f(t) = 0 para t < 0, entonces la integral en (1.15) es igual a la integral en (1.3). En este texto no se usar (1.15). La notacin F(s) se reservar slo para las transformadas unilaterales. 1.4.2 La Funcin Impulso Un concepto importante de la teora de sistemas lineales es el de la funcin impulso unitario. Esta funcin, tambin conocida como la funcin delta de Dirac, se denota por ( )t y se representa grficamente mediante una flecha vertical, como en la Fig. 1.4. En un sentido matemtico estricto, la funcin impulso es un concepto bastante sofisticado. Sin embargo, para las aplicaciones de inters basta con comprender sus propiedades formales y aplicarlas correctamente. En lo que sigue se presentarn estas propiedades, enfatizando no el rigor sino la facilidad operacional.
Figura 1.4
(t)
0 t
-
10
Propiedades de la Funcin Impulso:
1. La funcin impulso ( )t es una seal de rea unitaria con valor cero en todas partes excepto en el origen:
( ) 1, ( ) 0 para 0t dt t t
= = (1.16)
2. La funcin impulso )(t es la derivada de la funcin escaln:
( )
( )d u t
td t
= (1.17)
3. El rea del producto (t)(t) es igual a (0) para cualquier (t) continua en el origen:
( ) ( ) (0)t t dt
= (1.18)
Esta propiedad se conoce como la propiedad de seleccin de la funcin impulso unitario.
4. La funcin ( )t puede escribirse como un lmite:
0
( ) lmt z
= (1.19)
donde z es una familia de funciones de rea unitaria que se anula fuera del intervalo (0, ) :
0
( ) 1, 0 para 0 y z t dt z t t
= = < >
(Fig. 1.5). Un caso especial es el pulso rectangular mostrado en la Fig. 1.5. De all se deduce que ( )t puede ser aproximada por el pulso p(t) si es lo suficientemente pequeo. Posteriormente se explicar el significado de esta aproximacin.
A continuacin se discuten algunas consecuencias de las propiedades anteriores. De la definicin se demuestra fcilmente que la funcin ( )t es par:
( ) ( )t t = (1.20)
La funcin (tt0) es un impulso centrado en t0 y de rea unitaria. De la Ec. (1.20) se obtiene que
0 0( ) ( )t t t t = (1.21)
Introduciendo un desplazamiento en el origen del tiempo en la Ec. (1.17), se concluye que
0( )t t es la derivada de la funcin escaln desplazada u(t t0):
00( )
( )du t t
t tdt
= (1.22)
-
11
Figura 1.5 Este resultado puede usarse para diferenciar funciones que son discontinuas. Por ejemplo, supngase que f(t) es una funcin escalonada como la que se muestra en la Fig. 1.6. Esta funcin es una suma de tres funciones en escaln:
1 2 3( ) 4 ( ) 2 ( ) 6 ( )f t u t t u t t u t t= +
De sta y la Ec. (1.22) se concluye que la derivada de f(t) es la suma de tres impulsos:
1 2 3( ) 4 ( ) 2 ( ) 6 ( )f t t t t t t t= +
como se muestra en la Fig. 1.6. El rea de cada impulso es igual al salto en la discontinuidad de f(t). As, por ejemplo, 4(t t1) es un impulso centrado en el primer punto de discontinuidad de f(t) y su rea es igual a 4.
Figura 1.6 La integral del producto (t)(t) en un intervalo (a, b) es igual a (0) si el intervalo contiene el origen; no est definida si a = 0 o b = 0, y es igual a cero para cualquier otro valor:
(0), 0
( ) ( ) 0 , 0
no definida, 0
b
a
ab
t t dt ab
ab
= (1.23)
Por ejemplo,
t1 t2 t3 t 0
f(t)
4
6
t1 t2
t3
t 0
f'(t)
4
6
6
(t) u(t)
Z(t) z(t)
u(t) p(t)
t
t
0
0
0
1 1
t
t
1 1
1
t t
( ) ( )du ttdt
=
-
12
( )cos 1, ( )sen 0a a
a a
t t dt t t dt
= =
Aplicando la Ec. (1.18) a la funcin (t) = y(t + t0) se obtiene
0 0( ) ( ) ( )y t t t dt y t
+ =
Ahora se introduce el cambio de variable t + t0 = . Puesto que dt = d y los lmites de integracin permanecen iguales, la representacin anterior cambia a
0 0( ) ( ) ( )y t d y t
=
Pero ( t0) = (t0 ) ; por tanto,
0 0( ) ( ) ( )y t d y t
= (1.24)
Esta identidad es bsica. De hecho, como se demostrar posteriormente, se puede usar para definir a ( )t . Ambos lados de (1.24) son funciones de t0. Diferenciando con respecto a t0, se obtiene
( )0 0( ) ( )y t d y t
= (1.25)
y se observa que la derivada (t) de (t) es una funcin tal que el rea del producto 0( ) ( )y t considerado como una funcin de es igual a y(t0). Con t0 = 0, la Ec. (1.25) da
( ) ( ) (0)y d y
= (1.26)
Puesto que (t) es una funcin par, su derivada (t) es impar: ( ) ( )t t = (1.27)
Insertando sta en la Ec. (1.26) y cambiando la variable de integracin de a t, se obtiene
( ) ( ) (0)y t t dt y
= (1.28)
Las derivadas de (t) de orden superior se pueden definir en una forma similar. Antes de continuar se deben hacer algunas consideraciones sobre la funcin impulso:
Como lo muestran las propiedades mencionadas, la funcin impulso no puede verse como una funcin ordinaria porque las funciones ordinarias no poseen esas propiedades.
Una funcin que se anula en todas partes excepto en un solo punto no puede tener un rea unitaria.
La Ec. (1.17) viola la nocin de que una funcin discontinua no es diferenciable.
-
13
La familia de pulsos p(t) no posee un lmite ordinario conforme 0.
Por todo lo anterior, la funcin impulso, algunas veces llamada funcin de singularidad o funcin generalizada, debe interpretarse como un concepto nuevo y a sus propiedades se les debe dar una interpretacin especial basada en la razn para su introduccin. Esta razn es la simplificacin de los efectos de seales ordinarias cuya duracin es pequea en algn sentido. El significado preciso de esta afirmacin se apreciar posteriormente. Aqu slo se dar una explicacin breve, usando como ilustracin el significado de las Ecs. (1.19) y (1.17). Supngase que (t) es una funcin continua y z(t) es una funcin de rea unitaria que se anula fuera del intervalo (0, ), como en la Fig. 1.5. Si es lo suficientemente pequeo, entonces (t) es casi constante en el intervalo (0, ). Por tanto,
0 0
( )z ( ) (0) ( ) (0)t t dt z t dt
=
De esta relacin se deduce que
00 0
( ) ( ) ( ) ( ) (0)t z t dt t z t dt
=
As, aunque z(t) no tiene un lmite ordinario, la integral del producto z(t)(t) tiene un lmite conforme 0 y el lmite es igual a (0). Sin embargo, su integral, u(t), tiende a la funcin escaln u(t). La afirmacin que
( ) ( ) conforme 0du
p t tdt
=
significa entonces que la integral de p(t) tiende a u(t). La misma conclusin se mantiene si p(t) se reemplaza por z(t) y u(t) por la integral Z(t) de z(t). 1.4.3 El Teorema de la Derivada Al comienzo de esta seccin se demostr que si F(s) = L{f(t)}, entonces
{ }( ) ( ) (0)f t sF s f = L (1.29) Ahora se revisar el significado de f(0). Si f(t) es continua en el origen, entonces f(t) tiene un significado claro: es el valor de f(t) para t = 0. Supngase, sin embargo, que f(t) es discontinua y que
0 0
(0 ) lm ( ), (0 ) lm ( ), 0f f f f+
= + = > (1.30)
son sus valores en t = 0+ y t = 0, respectivamente (Fig. 1.7a). En este caso, el nmero f(0) en la
Ec. (1.29) depende de la interpretacin de f(t). Si f(t) incluye el impulso ( ) ( )0 0 ( )f f t+ debido a la discontinuidad de f(t) en t = 0 (Fig. 1.7b), entonces ( )(0) 0f f = . Si f(t) es la derivada de f(t) para t > 0 solamente y sin el impulso en el origen (Fig. 1.7c), entonces f(0) = f(0+). La primera interpretacin requiere aclarar el significado de la integral en la Ec. (1.3) cuando f(t) contiene un impulso en el origen.
-
14
Figura 1.7 Como se sabe, la integral de (t) en el intervalo (0, ) no est definida porque (t) es un impulso en 0=t . Para evitar esta dificultad, se interpretar a F(s) como un lmite de la integral f(t)e s t en el intervalo (, ):
0
0
( ) lm ( ) ( )st stF s f t e dt f t e dt
= = (1.31)
donde > 0. Con esta interpretacin de F(s) se deduce que la transformada de (t) es igual a 1: ( ) 1t (1.32) porque
( ) 1stt e dt
=
Adems, el trmino f(0) en la Ec. (1.29) es el lmite f(0) de f() conforme 0. Si F(s) se interpreta como un lmite en el intervalo ( , ), entonces f(0) = f(0+). En resumen,
0
( ) ( ) (0 )stf t e dt sF s f
= (1.33) y
0
( ) ( ) (0 )stf t e dt sF s f+
+ = (1.34)
La diferencia f(0+) f(0) entre estas dos integrales es igual a la transformada de Laplace del impulso [ (0 ) (0 )] ( )f f t+ en el origen y causada por la discontinuidad de f(t) en ese punto.
Si la funcin f(t) es continua en el origen, entonces debe quedar claro que f(0) = f(0+) = f(0) y las frmulas dadas por las Ecs. (1.29), (1.33) y (1.34) son equivalentes. Si f(t) es continua para t 0 excepto por un salto finito en t0, es fcil demostrar que la frmula (1.29) debe reemplazarse por la frmula
{ } [ ] 00 0( ) ( ) (0) ( 0) ( 0) stf t sF s f f t f t e = + L donde la cantidad entre corchetes es la magnitud del salto en t0.
f(t) f'(t) f'(t), t > 0 f(0
+)
f(0)
f(0+) f(0
)
t 0 0 0 t t
(a) (b) (c)
-
15
Derivadas de Orden Superior. Sean f(t) y f(t) continuas para t 0 y de orden exponencial y tambin sea f(t) seccionalmente continua en todo intervalo acotado. Entonces, como ( )f t es la derivada de f(t), la transformada de ( )f t es el producto de s por la transformada de f(t) menos el valor inicial f(0) de f(t), es decir,
{ } { }[ ]2
( ) ( ) (0)
( ) (0) (0)
( ) (0) (0)
f t s f t f
s sF s f f
s F s sf f
=
=
=
L L
(1.35)
La aplicacin repetida del argumento anterior produce la relacin
{ }( ) ( 1 )1 2( ) ( ) (0) (0) (0 )n nn n nf t s F s s f s f f = L (1.36) donde se supone que f(t) y sus derivadas de orden hasta n 1 son continuas para t 0 y de orden exponencial.
Aplicando la Ec. (1.36) al impulso (t), se obtiene que
{ }( ) ( )n nt s =L porque la transformada de (t) es igual a 1 y los valores de sus derivadas en t = 0 son todas iguales a cero.
Ejemplo 5
Obtener la transformada de f(t) = sen(at) a partir de la transformada de cos(at).
Solucin. Si f(t) = cos(at), entonces ( )( ) senf t a at = y aplicando la Ec. (1.29), se obtiene { } { }
2 2
2 2 2 2
sen cos 1
s = 1
a at sL at
a
s a s a
=
=
+ +
L
y por tanto
{ } 2 2sena
ats a
=
+L
Ejemplo 6
Determnese la transformada de f(t) = tu(t).
Solucin. La funcin f(t) = t y f(t) son continuas y f(t) es de ( )tO e para cualquier positiva. Por tanto,
( ){ } { } ( )( ) (0) 0f t s f t f s = >L L o
-
16
L{1} = sL{t}
Como L{1} = 1/s, se tiene entonces que
{ } ( )21 0t ss= >L Ejemplo 7
Determnese la transformada de Laplace de f(t) = tn , donde n es cualquier entero positivo. Solucin. La funcin f(t) = tn cumple con todas las condiciones del Teorema 2 para cualquier positiva. En este caso,
( )
( )
( )
1
1
(0) (0) (0) 0
( ) !
( ) 0
n
n
n
f f f
f t n
f t
+
= = =
=
=
Aplicando la frmula dada por la Ec. (1.36), se obtiene
( ){ } { }1 1( ) 0 !n n nf t s t n+ += = L L y por tanto,
{ } ( )1! 0n nnt ss += >L
1.4.4 El Teorema de la Integral Usando el teorema de la derivada en la Ec. (1.29), se obtendr la transformada F(s) de la integral definida por la relacin
0
( ) ( )t
f t y d
= (1.37)
de una funcin y(t) en funcin de la transformada Y(s) de y(t). Aqu se supone que f(t) es seccionalmente continua y de orden exponencial.
La funcin f(t) en la Ec. (1.37) es continua y f(0) = 0. Tambin se tiene que y(t) = f(t). Por tanto, la transformada Y(s) de y(t) es igual la transformada sY(s) f(0) y, puesto que f(0) = 0, se concluye que Y(s) = sF(s). Entonces,
0
1( ) ( ) ( )
t
F s y d Y ss
= =
L (1.38)
Ahora bien, la formulacin de las leyes de Kirchhoff para una red, con frecuencia incluye una integral con lmites de a t. Estas integrales pueden dividirse en dos partes,
-
17
0
0
( ) ( ) ( )t t
y d y t dt y d
= +
en donde el primer trmino del lado derecho es una constante. Cuando y(t) es una corriente, esta integral es el valor inicial de la carga (almacenada), (0 )q , y cuando y(t) es un voltaje, la
integral es el enlace de flujo (0 ) (0 )L i = , donde L es la inductancia. En cualquier caso, este trmino debe incluirse en la formulacin de la ecuacin; la transformada de una constante (0 )q es
{ } (0 )(0 ) qqs
=L
Y se puede escribir una ecuacin similar para (0 ) . 1.4.5 Traslacin Compleja Ahora se expresar la transformada
( ) ( )0 0
( ) ( ) 0s a tat ste f t e dt f t e dt a
+ = > (1.39)
del producto eatf(t) en trminos de la transformada F(s) de f(t). La integral en el lado derecho de la ecuacin anterior es la misma integral de la Ec. (1.3) siempre que s se sustituya por s a. Por tanto, se corresponde con F(s a) y as se obtiene el par de transformadas
( ) ( )ate f t F s a +
Ejemplo 8
Ahora se usarn las Ecs. (1.38) y (1.39) para evaluar la integral
0
( )t
ag t e d =
Solucin. ste es un caso especial de la Ec. (1.38) con Y(t) = ea t . Usando ahora la Ec. (1.39) con f(t) = 1, se tiene que F(s) = 1/s y entonces
{ } 11ates a
=+
L
Usando (1.38) con Y(s) = 1/(s+a), se obtiene
1 1 1( )
( )
a aG s
s s a s s a= =
+ +
y por tanto,
-
18
( ) ( )
1 1( )
1 1 0
at
at
g t ea a
e ta
=
= >
Aplicando la Ec. (1.39) a las transformadas de sen(bt) y cos(bt) se demuestra fcilmente que
( )
( )
2 2
2 2
cos
sen
at
at
s ae bt
s a b
be bt
s a b
+
+ +
+ +
1.5 El Problema de Inversin Si F(s) es la transformada de Laplace de una funcin f(t) , entonces f(t) se denomina la transformada de Laplace inversa de F(s). El problema de inversin consiste en la determinacin de la transformada inversa f(t) de una funcin F(s) dada. Este problema es bsico en las aplicaciones de la transformada de Laplace. Considere, por ejemplo, la ecuacin diferencial
( ) 3 ( ) 6 , (0) 0y t y t y + = = (1.40)
Transformando esta ecuacin, se obtiene
6( ) 3 ( )sY s Y s
s+ =
porque y(0) = 0 y la transformada de f(t) = 6 es igual a 6/s. Por tanto,
6
( )( 3)
Y ss s
=
+ (1.41)
As que para determinar y(t) se debe hallar la transformada inversa de esta fraccin.
En general, hay dos mtodos de inversin fundamentales diferentes:
1. El Mtodo de la Frmula de Inversin. En este mtodo, la funcin f(t) se expresa directamente como una integral que involucra la funcin F(s). Este resultado importante, conocido como el de la frmula de inversin, se discute usualmente en el contexto de lo que se conoce como transformadas de Fourier (tpico fuera del alcance de este texto).
2. Tablas. En este mtodo se intenta expresar la funcin F(s) como una suma de transformadas
1 2( ) ( ) ( ) ( )nF s F s F s F s= + + + (1.42)
donde 1 ( ), , ( )nF s F s son funciones con transformadas inversas 1 ( ), , ( )nf t f t conocidas y tabuladas. De la propiedad de linealidad de la transformada se determina que si F(s) puede ser expandida como en la Ec. (1.42), entonces su transformada inversa f(t) est dada por
-
19
1 2( ) ( ) ( ) ( )nf t f t f t f t= + + + (1.43)
Como una ilustracin se expande la fraccin en la Ec. (1.41) como una suma de dos fracciones con transformadas conocidas:
6 2 2
( )( 3) 3
Y ss s s s
= =
+ + (1.44)
Esta relacin muestra que la transformada inversa y(t) de Y(s) es la suma 3( ) 2 , 0ty t e t= >
(Esta tcnica tambin se us en el Ejemplo 8).
La identidad en la Ec. (1.44) proviene de la conocida tcnica de expansin de funciones racionales en fracciones parciales, la cual se estudiar ms adelante.
En el problema de inversin se deben considerar las siguientes preguntas:
1. Existencia. Posee toda funcin F(s) una transformada inversa? Hay funciones que no poseen transformadas inversas. Sin embargo, esas funciones tienen un inters principalmente matemtico. Todas las funciones consideradas en este texto poseen transformadas inversas.
2. Unicidad. Pueden dos funciones f1(t) y f2(t) tener la misma transformada F(s)? Si dos funciones tienen la misma transformada, entonces ellas deben ser iguales para esencialmente todos los valores de t. Sin embargo, pueden diferir en un conjunto discreto de puntos. Si las funciones son continuas, entonces ellas deben ser idnticas.
1.5.1 Inversin de Transformadas Racionales (Fracciones Parciales) Ahora se determinar la transformada inversa f(t) de la clase de funciones racionales, es decir, de funciones de la forma
( )
( )( )
N sF s
D s= (1.45)
donde N(s) y D(s) son polinomios en s y no poseen factores comunes. Aqu se supone que F(s) es una fraccin propia, es decir, que el grado de N(s) es menor que el de D(s). Las fracciones impropias involucran funciones de singularidad y se considerarn posteriormente.
Primero, supngase que todas las races si, i = 1, 2, , n, del denominador D(s) son distintas. Segn la teora de fracciones parciales, F(s) puede entonces expandirse como una suma, es decir,
1 2
1 2
( ) n
n
c c cF s
s s s s s s= + + +
(1.46)
Para determinar el valor de ci, se multiplican ambos miembros de la Ec. (1.46) por s si para obtener la ecuacin
-
20
( ) 11
( ) ( )( ) i n ii i
n
c s s c s ss s F s c
s s s s
= + + + +
es decir, se remueve del denominador el factor s si; y ahora se evala el resultado en is s= , y se obtiene
( ) ( )i
i i s sc s s F s
=
= (1.47)
Puesto que la transformada inversa de la fraccin 1/(ss i) es igual a is te , de la Ec. (1.46) se concluye que la transformada inversa f(t) de la funcin racional F(s) es una suma de exponenciales:
1 21 2( ) ns ts t s t
nf t c e c e c e= + + + (1.48)
Ejemplo 9
Determine la transformada inversa de la funcin 2
3 2
29 30( )
7 10
s sF s
s s s
+ +=
+ +
Solucin. El denominador de F(s) es de mayor grado que el numerador y posee factores reales y distintos; stos son: 1 2 30, 2 y 5.s s s= = = Por tanto, se pueden determinar factores c1, c2, y c3 tales que
2 21 2 3
3 2
29 30 29 30
( 2 )( 3) 2 57 10
s s s s c c c
s s s s s ss s s
+ + + += = + +
+ + + ++ +
y usando la Ec. (1.47) se obtiene
( ) ( )1 2 30 2 5( ) 3 , 2 ( ) 4 , 5 ( ) 6s s sc sF s c s F s c s F s= = == = = + = = + = Por lo tanto,
2 5( ) 3 4 6 , 0t tf t e e t = + >
Ahora se considerarn fracciones parciales para el caso en el cual el polinomio D(s) contiene
factores lineales repetidos de la forma ( ) mis s . En este caso, la expansin de F(s) en fracciones parciales consiste de trminos de la forma
( ) ( )1 2
2 +i i im
mi i i
c c c
s s s s s s+ +
(1.49)
donde los nmeros c i j , j = 1, 2, , m, son independientes de s y vienen dados por
( ), 1 ( ) , 0 , 1, , 1! ir
m
i m r ir s s
dc s s F s r m
r ds
=
= = (1.50)
-
21
De modo que para evaluar el coeficiente ci,m
r se remueve el factor (ss i)m del denominador de F(s) y se evala la derivada r-sima del resultado en s = si. La componente de f(t) debida a la raz mltiple si es la transformada inversa de la suma en (1.49) y viene dada por
11 2 ( 1)!i i iims t s t s tm
i i
cc e c t e t e
m+ + +
(1.51)
De lo anterior se concluye que la transformada inversa de una funcin racional F(s) es una suma de exponenciales cuyos coeficientes son polinomios en t. Los exponentes si se denominan los polos de F(s), es decir, los polos son las races del denominador D(s).
Ejemplo 10
La funcin
2
1 21 222 2
2 5( )
3 5( 3)( 5) ( 5)
s s c c cF s
s ss s s
+ += = + +
+ ++ + + (1.52)
tiene un polo sencillo en s1 = 3 y un polo mltiple en s2 = 5 con multiplicidad m = 2. En este caso,
( )
( )
2 2
1 222
53
2 2
21 2
5 5
2 5 2 52 , 10
35
2 5 6 11
3 3
ss
s s
s s s sc c
ss
d s s s sc
ds s s
==
= =
+ + + += = = =
++
+ + += = =
+ +
Por tanto, 3 5( ) 2 (1 10 ) , 0t tf t e t e t = + >
Observe que el coeficiente c21 puede determinarse sin diferenciacin. Puesto que la Ec. (1.52) es vlida para toda s, tambin es vlida para s = 0 (o cualquier otro nmero). Haciendo s = 0, se obtiene
1 21 221
15 3 5 25
c c c= + +
Puesto que c1 = 2 y c22 = 10, la igualdad anterior produce c21 = 1.
Races Complejas. En los ejemplos anteriores, las races del denominador de la funcin F(s) eran reales. Se pueden obtener resultados similares si D(s) tiene races complejas. Sin embargo, en este caso los coeficientes correspondientes son complejos y f(t) contiene trminos exponenciales complejos. En el anlisis de sistemas fsicos, la funcin F(s) tiene coeficientes reales. Por ello, las races complejas siempre ocurren en pares conjugados y, como se demuestra a continuacin, las componentes correspondientes de f(t) son ondas sinusoidales amortiguadas con coeficientes reales. Se comenzar con un ejemplo:
-
22
( )25 13
( )4 13
sF s
s s s
+=
+ +
En este caso, D(s) tiene dos polos complejos, s1 = 2 + j3, s2 = 2 j3, y un polo real, 3 0s = . La expansin directa de la Ec. (1.46) da
( ) ( ) ( )1 2 3
2
5 13
2 3 2 34 13
s c c c
ss j s js s s
+= + +
+ +
donde c1 = (1+j)/2, c2 = (1j)/2 y c3 = 1 (determinados en la forma ya explicada). Por consiguiente,
( ) ( )2 3 2 31 1
( ) 1, 02 2
j t j tj jf t e e t
+ + = + > (1.53)
Esta expresin incluye cantidades complejas. Sin embargo, es una funcin real.
Efectivamente, insertando la identidad ( ) ( )2 3 2 cos 3 sen 3j t te e t j t = en la Ec. (1.53), se obtiene
( )2( ) 1 cos 3 sen 3 , 0tf t e t t t= > (1.54) Ahora se demostrar que la Ec. (1.54) puede determinarse directamente. El resultado est en el hecho de que si F(s) es una funcin real con coeficientes reales y s1 y s2 son dos nmeros complejos conjugados, entonces ( ) *2 1 1( ) * ( )F s F s F s= = (donde el asterisco indica el conjugado complejo).
Considere una funcin racional F(s) con coeficientes reales. Como se sabe, si 1s j= + es un polo complejo de F(s), entonces su conjugado, 1s j
= , tambin es un polo de la
funcin. Por tanto, la expansin (1.46) para F(s) contiene trminos de la forma
1 2 1 21 2
, , c c
s j s js s s s
+ = + =
(1.55)
Los coeficientes c1 y c2 se expresarn en trminos de la funcin
( )( )1 2( )( ) F sG s s s s sj
= (1.56) De la Ec. (1.47) se obtiene que
( )1
11 1 1
2
( ) 1( ) ( )
2s sj G s
c F s s s G ss s=
= = =
puesto que s1 s2 = j2. En forma similar,
2 2
1( )
2c G s=
La funcin G(s1) es, en general, compleja con parte real Gr y parte imaginaria Gi; es decir,
1( ) r iG s G jG= + (1.57)
-
23
Como F(s2) = F*(s1), de (1.56) se obtiene que G(s2) = G*(s1) = Gr jGi, y por lo tanto,
( ) ( )1 21 1, 2 2r i r ic G jG c G jG= + = La transformada inversa de la suma en la Ec. (1.55) es entonces igual a
( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 12 2j t j ts t s t
r i r ic e c e G jG e G jG e+ + = + + (1.58)
Insertando la identidad ( ) ( )cos senj t te e t j t = en (1.58), se obtiene finalmente la transformada inversa f(t) de F(s) debida a los polos complejos conjugados s1 y s2, la cual es igual a
( )cos sent r ie G t G t (1.59) En resumen: Para hallar el trmino en f(t) resultante de los polos complejos de F(s), se forma la funcin G(s), como en la Ec. (1.56), y se calcula su valor G(s1) para s = s1. El trmino correspondiente de f(t) lo da la Ec. (1.59), donde Gr y Gi son las partes real e imaginaria de G(s).
El resultado anterior se aplicar a la funcin
( )25 13
( )4 13
sF s
s s s
+=
+ +
ya considerada anteriormente. En este caso,
( )( ) 21 2 14 13, 2 3, 2 , 3s s s s s s s j = + + = + = =
( ) ( )( ) + ++
= + + = = +2
1
5 2 3 13( ) 5 13( ) 4 13 , ( )
3 3 2 3
jF s sG s s s G s
j j s j j
Por lo tanto, Gr = 1, Gi = 1 y la Ec. (1.59) da
( )2 cos 3 sen 3te t t + Este es el trmino de f(t) proveniente de los polos complejos de F(s) y concuerda con el resultado dado en la Ec. (1.54).
Ejemplo 11
Obtener la transformada inversa de la funcin
( )( )1 2 3
2( )
3 3 29 2
s c c cF s
s j s j ss s= = + +
+ ++ +
Solucin. El coeficiente c3 correspondiente al polo real s3 = 2 se determina directamente a partir de la Ec. (1.47):
( )3 22
2 ( )13s
c s F s=
= + =
-
24
Los otros dos polos s1 = j3 y s2 = j3 de F(s) son imaginarios puros con = 0 y = 3. Puesto que
( )( ) 21 2 9s s s s s = + la funcin G(s) correspondiente en la Ec. (1.56) est dada por
( )2( )( ) ( 9)
3 3 2
F s sG s s
j j s= + =
+
Por tanto,
( ) ( )13 2 3
13 133 3 2
jG s j
j j= =
+
Agregando el trmino c3e2t debido al polo real s3 = 2, se obtiene
22 3 2( ) cos 3 sen 313 13 13
tf t t t e= +
1.5.2. Inversin de Funciones Impropias En la Seccin 1.5.1 se determin la transformada inversa de funciones racionales propias. Ahora se considerarn funciones impropias, limitando la discusin a dos casos especiales.
Se comenzar con un ejemplo. Sea 2
2
3 15 14( )
3 2
s sF s
s s
+ +=
+ +
Dividiendo se obtiene 2
2 2
3 15 14 6 8 2 43 3
1 23 2 3 2
s s s
s ss s s s
+ + += + = + +
+ ++ + + +
y por tanto, 2( ) 3 ( ) 2 4t tf t t e e = + +
Considere otro ejemplo. Sea la funcin 3 2
2
3 8( )
4
s s sF s
s s
+ + +=
+
Entonces, procediendo en la misma forma que en el ejemplo previo, se obtiene 3 2
2
3 8 2 31
44
s s ss
s ss s
+ + += + +
++
y entonces 4( ) ( ) ( ) 2 3 tf t t t e= + +
En general, para una funcin racional
-
25
( )( )
( )
N sF s
D s=
donde el grado de N(s) es mayor o igual que el de D(s), se procede a la divisin para obtener
= + + + + = + 1 0( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
m nm n
Q s Q sF s c s c s c P s
D s D s
donde P(s)es es el cociente y Q(s) es el residuo; m es el grado del numerador y n el del denominador (m > n). Ahora el grado de Q(s) es menor que el de D(s). La nueva funcin racional ( ) ( )Q s D s es propia y est en forma adecuada para su expansin. Se contina entonces con la expansin en fracciones parciales de Q(s)/D(s) y luego se obtiene la transformada inversa de F(s). Obsrvese que el polinomio P(s) producir funciones singulares. stas no aparecen con frecuencia, pero son de mucha utilidad en la solucin de algunos problemas prcticos que estn fuera del alcance de este texto. 1.6 Los Valores Inicial y Final de f(t) a Partir de F(s) A continuacin se demuestra que los valores de una funcin f(t) y sus derivadas en t = 0 pueden expresarse en trminos de los valores de su transformada para valores grandes de s. Este resultado permite determinar en una forma sencilla la conducta de f(t) cerca del origen. Tambin se determinar el comportamiento de f(t) conforme t tiende a infinito usando su transformada y bajo ciertas condiciones. 1.6.1 El Teorema del Valor Inicial La funcin est tiende a cero conforme s tiende a infinito para t > 0 (la parte real de s mayor que cero). A partir de esto se deduce que bajo ciertas condiciones generales,
slm ( ) 0stf t e dt
= (1.60)
para todo > 0. Si f(t) es continua para t 0 excepto posiblemente por un nmero finito de discontinuidades finitas, y tambin de orden exponencial, entonces la integral en (1.60) tiende a F(s) cuando 0 . Esto da como resultado que
lm ( ) 0s
F s
= (1.61)
Lo anterior podra no ser cierto si f(t) contiene impulsos u otras singularidades en el origen. Por ejemplo, si f(t) = e a t , entonces F(s) = 1/(s a) tiende a cero cuando s . Sin embargo, si ( ) ( )f t t= , entonces su transformada F(s) = 1 no tiende a cero.
Aplicando la Ec. (1.61) a la funcin f ( t) y usando la Ec. (1.29), se obtiene
slm
0
( ) ( ) (0 ) 0stf t e dt sF s f
= =
Aqu se toma a f(t) como seccionalmente continua y de orden exponencial.
-
26
Entonces se obtiene que
(0 ) lm ( )s
f sF s
= (1.62)
Este resultado se conoce como el teorema del valor inicial. Se verificar con una ilustracin sencilla. Si f(t) = 3e2t, entonces
3 3( ) , lm ( ) lm 3
2 2s ss
F s sF ss s
= = =
+ +
lo cual concuerda con la Ec. (1.62) porque, en este caso, f(0+) = f(0) = 3.
Ejemplo 12
Si
2
2 3( )
7 10
sF s
s s
+=
+ +
entonces, 2
2
2 3lm ( ) lm 2
7 10s ss s
sF ss s
+= =
+ +
Por lo tanto, (0) 2f = .
El teorema del valor inicial tambin puede usarse para determinar los valores iniciales de las derivadas de f(t). En efecto, como se obtiene de la Ec. (1.36), la funcin 2 ( ) (0) (0)s F s sf f es la transformada de Laplace de ( )f t . Por tanto [ver (1.60)], debe tender a cero cuando [por supuesto, ( )f t debe cumplir con las condiciones necesarias]. Esto conduce a la conclusin de que
2"(0) lm ( ) (0)s
f s F s sf
= (1.63)
En una forma similar se pueden determinar los valores iniciales de derivadas de orden superior. En todos estos casos hemos supuesto que f(t) es continua en el origen.
Ejemplo 13
Si
2
2 3( )
7 10
sF s
s s
+=
+ +
entonces 2 3( ) 0 , ( ) 0 y ( ) 1 cuando .sF s s F s s F s s Por tanto,
(0) 0 , (0) 0 , (0) 1f f f = = =
-
27
1.6.2 El Teorema del Valor Final Ahora se demostrar que si f(t) y su primera derivada son transformables en el sentido de Laplace, entonces
0
lm ( ) lm ( )t s
f t sF s
= (1.64)
Ya se ha demostrado que
0
( ) ( ) (0 )stf t e dt sF s f
= (1.65)
Cuando s tiende a cero, se obtiene
0 0
( ) lm ( )
lm ( ) (0 )
t
t
t
f t dt f t dt
f t f
=
=
Igualando este resultado con el de la Ec. (1.65), escrita para el lmite s 0, se llega a la conclusin que
0lm ( ) lm ( )t s
f t sF s
= (1.66)
como se requera. La aplicacin de este resultado requiere que todas las races del denominador de F(s) tengan partes reales negativas, ya que de otra manera no existe el lmite de f(t) cuando t tiende a infinito.
Ejemplo 14
Para la funcin 2( ) 5 3 tf t e=
es evidente que su valor final es 5. La transformada de f(t) es
5 3 2 10( )
2 ( 2 )
sF s
s s s s
+= =
+ +
y, de acuerdo con la Ec. (1.66), el valor final de f(t) es
0 0
2 10lm ( ) lm ( ) lm 5
2t s ss
f t sF ss
+= = =
+
1.7. Teoremas Adicionales
1.7.1. El Teorema de Traslacin Real o de Desplazamiento Una funcin f(t) trasladada en el tiempo se representa como f(t t0)u(t t0), donde
0 00 00
( ), ( ) ( )
0 ,
f t t t tf t t u t t
t t
> =
-
28
(Fig. 1.8). Observe que la funcin f(t t0)u(t t0) es idntica a f(t)u(t) excepto que est retardada o trasladada por t0 seg. Para encontrar la transformada de esta funcin se aplica la Ec. (1.3) a la Ec. (1.67):
( )0
0
0 0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) s t tst st
t
f t t u t t e dt f t t e dt f t e dt
+
= =
de donde se concluye que
00 0{ ( ) ( )} { ( )}stf t t u t t e f t =L L (1.68)
Aplicando (1.68) al par (t) 1, se obtiene 0
0( ) stt t e
Figura 1.8
Ejemplo 15
De los pares 1 1/s y t 1/s2, se obtienen los pares
0 00 0 0 2
1 1( ) , ( ) ( ) st stu t t e t t u t t e
s s
Aplicando lo anterior al pulso pT = u(t) u(t T), se obtiene
( )1( ) ( ) 1 sTTp u t u t T es
= (1.69)
Este ltimo resultado puede verificarse aplicando la definicin (1.3) de la transformada. Puesto que ( ) 1Tp t = para 0 t T< < y 0 para otros valores de t, su transformada es igual a
( )0 0
1( ) 1
T
st st sTTp t e dt e dt e
s
= =
acorde con la Ec. (1.69).
Ejemplo 16
Si ( )032
0( ) 6 ( ) 4 ( )t ttf t e u t e u t t = +
entonces, aplicando la relacin en (1.68), se obtiene que
0 0 0
t
t t t
f(t) f(t)u(t) f(t t0)u(t t0)
t0
-
29
06 4
( )2 3
stF s es s
= ++ +
Supngase que F1(s), F2(s), , Fm(s) son funciones con transformadas inversas conocidas
1 2( ), ( ), , ( )mf t f t f t . De la Ec. (1.68) y la propiedad de linealidad de la transformada se obtiene que la transformada inversa de la suma
1 21 2( ) ( ) ( ) ( ) mstst st
mF s F s e F s e F s e
= + + + (1.70)
es dada por
1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m mf t f t t u t t f t t u t t f t t u t t= + + + (1.71)
El procedimiento se ilustrar mediante un ejemplo.
Ejemplo 17
Determinar la transformada inversa de la funcin 2
2
3 3 6( )
7 10
sT sTse eF s
s s
+ +=
+ +
Solucin. Esta funcin se puede escribir como una suma igual que en la Ec. (1.70), donde
1 2 32 2 2
3 3 6( ) , ( ) , ( )
7 10 3 10 7 10
sF s F s F s
s s s s s s= = =
+ + + + + +
y t1 = 0, t2 = T y t3 = 2T. Usando expansin en fracciones parciales, se obtiene 2 5 5 2 2 5
1 2 3( ) , ( ) 5 2 , ( ) 2 2t t t t t tf t e e f t e e f t e e = = =
y aplicando la Ec. (1.71), el resultado es
1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )f t f t u t f t T u t T f t T u t T= + +
1.7.2. El Teorema de Escala Este teorema relaciona los cambios de escala en el dominio de s con los cambios correspondientes en el dominio de t. El trmino cambio de escala significa que s o t se multiplican por una constante positiva. Dada una funcin f(t) , se cambia de escala al formar una nueva funcin f ( t/t0). Su transformada se encuentra como sigue: a partir de la ecuacin de definicin se tiene que
( ){ } ( )
( ) ( ) ( )0 00 0
0
0 0 0
0
st
t s t t
f t t f t t e dt
t f t t e d t t
=
=
L
si ahora se hace t/t0 = x , entonces esta ltima ecuacin se convierte en
-
30
( ){ } ( ) 00 00
t sxf t t t f x e dx
= L
Obsrvese que la integral define a ( )0F t s , de tal manera que se puede escribir ( ){ } ( )0 0 0f t t t F t s=L (1.72) La transformada inversa correspondiente es
( ) ( ){ }10 0 0f t t t F t s= L (1.73) Ejemplo 18
Para la transformada
( ) 1( 1)
F ss s
=
+
la expresin correspondiente de f ( t) es
( ) 1 tf t e= (1.74)
El teorema de escala indica que la nueva funcin
( ) ( ){ } 211 2 2 1 tf t F s e= = L (1.75) est relacionada con f(t) en la Ec. (1.74) por un simple cambio en la escala del tiempo.
1.7.3 Derivadas de Transformadas Cuando la integral de Laplace
( )0
( ) stF s f t e dt
= (1.76)
es diferenciada formalmente con respecto al parmetro s, se obtiene la frmula
[ ]0
( )( ) st
dF st f t e dt
dt
=
lo que implica que tenemos el par de transformadas
( ) ( ) dF st f tds
(1.77)
es decir, la multiplicacin de una funcin f(t) por t en el dominio del tiempo equivale a diferenciar la transformada F(s) de f(t) con respecto a s y luego cambiar de signo en el dominio de la frecuencia compleja..
-
31
Se debe sealar que tanto f(t)e-st como su derivada parcial de cualquier orden con respecto a s cumplen con las condiciones necesarias para que la diferenciacin con respecto a s se pueda ejecutar dentro del signo de integracin; se obtiene as el siguiente teorema: Teorema 4. La diferenciacin de la transformada de una funcin corresponde a la multiplicacin por t:
( ) ( ) ( ){ } ( )( ) , 1, 2, n nF s t f t n= = L (1.78) Adicionalmente F(n)(s) 0 conforme s . Estas propiedades se cumplen siempre que f(t) sea seccionalmente continua y del orden de te , si s > en la frmula (1.78).
Ejemplo 19
Ya se sabe que
{ } ( )2 2sen 0a
at ss a
= >+
L
y, por la Ec. (1.78),
{ } ( )2 2 22 22
send a as
t atds s a s a
= = + +
L
de donde se obtiene la frmula
{ } 2 2 22sen ( )a s
t ats a
=
+L (1.79)
Ejemplo 20
Determinar la transformada de Laplace de ( ) cos 5atf t te t= .
Solucin. Si se hace ( )1 cos 5f t t= y ( )2 cos 5 ,f t t t= se obtiene
1 2( )
25
sF s
s=
+
Usando el teorema de la multiplicacin por t, se obtiene
( )2
2 2 2 2
25
25 ( 25)
d s sF s
ds s s
= = + +
y finalmente, usando la propiedad de la traslacin compleja,
( ) ( )( ) ( )
2 2
2 222
2 25 4 21
4 292 25
s s sF s
s ss
+ + = =
+ ++ +
-
32
1.7.4 Transformada de una Funcin Peridica
Considere la funcin peridica f(t) con un perodo T que satisface f(t + nT) = f(t), donde n es un entero. La transformada de esta funcin es
( ) ( )0
2
0
( ) ( ) +
st
T T
st st
T
F s f t e dt
f t e dt f t e dt
=
= +
(1.80)
Trasladando sucesivamente cada trmino de la transformada por e-sT, en donde n es el nmero de traslados necesarios para hacer que los lmites de las expresiones integrales sean todos de 0 a T, se tiene que
( ) ( )20
1 ( )T
sT sT stF s e e f t e dt
= + + +
y utilizando el teorema del binomio para la identificacin de la serie, se obtiene
( )0
1( )
1
T
st
TsF s f t e dt
e
=
(1.81)
La integral en esta ecuacin representa la transformada de la funcin f(t) como si ella estuviese definida slo de 0 a T. Denotando esta transformada por F1(s), se obtiene
11
( ) ( )1 Ts
F s F se
=
(1.82)
Esta ecuacin relaciona la transformada de una funcin peridica con la transformada de esa funcin sobre el primer ciclo (o cualquier otro ciclo).
Ejemplo 21
Determinar la transformada de un tren de pulsos con un perodo T, donde cada pulso tiene una amplitud unitaria y una duracin a < T.
Solucin. Aplicando la Ec. (1.82), se tiene
( )
( )1
0
0
( )
1 = 1
T
st
a
st as
F s f t e dt
e dt es
=
=
y por tanto,
( ) 1 11
as
T s
eF s
s e
=
-
33
1.8 Aplicacin de la Transformada de Laplace a Ecuaciones Diferenciales En esta seccin se usan transformadas de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Se supone siempre que todas las ecuaciones son vlidas para t 0 y las soluciones se determinan para diferentes formas de excitacin.
Una ecuacin diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es una ecuacin de la forma
( ) ( )11 1 0( ) ( ) + ( ) ( ) ( )n n
n na y t a y t a y t a y t x t
+ + + = (1.83)
donde x(t), la excitacin, es una funcin conocida y a0, a1, , an son constantes dadas.
Una solucin de la Ec. (1.83) es cualquier funcin y(t) que satisfaga la ecuacin. Como se ver, la Ec. (1.83) tiene muchas soluciones. Sin embargo, su solucin es nica si se especifican los valores iniciales de y(t) y sus primeras n 1 derivadas:
( )10 1 1(0) , (0) , , (0)n
ny y y y y y
= = = (1.84)
Estos valores auxiliares se conocen como condiciones iniciales.
Una solucin particular es una solucin y(t) que satisface unas condiciones iniciales especficas. Si no se especifican los valores iniciales, entonces y(t) es una solucin general. As que una solucin general es una familia de soluciones que depende de los n parmetros
0 1 1, , , ny y y .
A una ecuacin diferencial se le puede dar una interpretacin de sistema. En esta interpretacin, la Ec. (1.83) especifica un sistema con entrada (excitacin) x(t) y salida (respuesta) y(t). La salida as especificada, y(t), es la solucin nica de la Ec. (1.83) bajo las condiciones iniciales especificadas.
El estado inicial del sistema es el conjunto (1.84) de condiciones iniciales. La respuesta de estado cero del sistema es la solucin, y(t) = y(t), de (1.83) con cero condiciones iniciales:
( ) ( ) ( ) ( )10 0 0 0ny y y = = = (1.85) La respuesta de entrada cero, y(t) = y(t). sta es la solucin de (1.83) cuando x(t) = 0. Es decir, la respuesta de entrada cero y(t) es la solucin de la ecuacin homognea
( ) ( )( 1 )1 1 0( ) ( ) ( ) 0n nn na y t a y t a y t a y t + + + + = (1.86) La aplicacin de la transformada de Laplace para resolver la Ec. (1.83) comprende los siguientes pasos:
1. Se multiplican ambos lados de la ecuacin por est y se integra de cero a infinito. Puesto que la
ecuacin es vlida para t 0, resulta la ecuacin
( ) 00 0
( ) + ( ) ( )n st stna y t a y t e dt x t e dt
+ = (1.87)
Se supone que todas las funciones son transformables en el sentido de Laplace. Ello implica que el lado derecho es igual a la transformada X(s) de la funcin conocida x(t), y el
-
34
lado izquierdo puede expresarse en trminos de la transformada Y(s) de y(t) y de las condiciones iniciales (1.84).
2. Se resuelve la ecuacin en Y(s) resultante.
3. Se determina la transformada inversa y(t) de Y(s) usando fracciones parciales u otros mtodos de inversin.
A continuacin se ilustra el mtodo con varios ejemplos.
Ejemplo 21
Resolver la ecuacin diferencial
1 0( ) ( ) ( )a y t a y t x t + =
sujeta a la condicin inicial y(0) = y0.
Solucin. Tomando transformadas en ambos lados de la ecacin, se obtiene
[ ]1 0 0( ) ( ) ( )a sY s y a Y s X s + = y por tanto,
1 0
1 0 1 0
( )( )
X s a yY s
a s a a s a= +
+ +
As que Y(s) = Y+Y, donde
1 0
1( ) ( )Y s X s
a s a = +
es la respuesta de estado cero y
00 1
1Y y
s a a = +
es la respuesta de entrada cero. Su inversa es la exponencial
10
s ty y e =
donde s1 = a0/a1 .
Si, por ejemplo, a0 = 1, a1 = 2, x(t) =8t y y(0) = 5, entonces la ecuacin es
( ) 2 ( ) 8 , (0) 5,y t y t t y + = =
y su ecuacin transformada es 2
2
8 5 4 2 7( )
2 2 2
sY s
s s s ss= + = +
+ + +
La solucin es
( ) ( )24 2 7 , 0ty t t e t= +
-
35
Ejemplo 23
Resolver la ecuacin diferencial 2
24 5 5 ( )
d y dyy u t
dtdt+ + =
sujeta a las condiciones
( )=
= =
0
0 1, 2t
dyy
dt
Solucin. La transformacin de Laplace de esta ecuacin diferencial da
[ ]2 5( ) (0) (0) 4 ( ) (0) 5 ( )s Y s s y y sY s y Y ss
+ + =
y al incluir las condiciones iniciales se obtiene
( )2 5( ) 4 5 6Y s s s ss
+ + = + +
o
( ) ( )2
2
6 5
4 5
s sY s
s s s
+ +=
+ +
Desarrollando ahora en fracciones parciales, se obtiene
1( )
2 1 2 1
j jY s
s s j s j
= + ++ + +
y tomando la transformada inversa da la solucin 2( ) 1 2 sen , 0ty t e t t= +
Ejemplo 24
Determine la solucin de la ecuacin diferencial
( ) ( ) 6 ( ) 2y t y t y t = sujeta a las condiciones
( ) ( )0 1, 0 0y y = = Solucin. Aplicando la transformacin a ambos lados de la ecuacin diferencial, se obtiene la ecuacin algebraica
2( ) ( ) 1 6 ( )sY s s sY s Y s
s + =
Por tanto,
( ) 22 26 ( ) s ss s Y ss
+ =
o
-
36
2 2( )
( 3)( 2) 3 2
s s A B CY s
s s s s s s
+= = + +
+ +
Evaluando los coeficientes en la expansin, se encuentra que
1 1 8 1 4 1( )
3 15 3 5 2Y s
s s s= + +
+
y la solucin y(t) es
3 21 8 4( ) , 03 15 5
t ty t e e t= + +
Ejemplo 25
Determine la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales
11 2
22 1
20 10 100 ( )
20 10 0
dyy y u t
dtdy
y ydt
+ =
+ =
sujeto a las condiciones iniciales y1(0) = 0 y y2(0) = 0. Solucin. Las ecuaciones transformadas son
1 2
1 2
100 ( 20) ( ) 10 ( )
100 ( ) ( 20) ( ) 0
s Y s Y ss
Y s s Y s
+ =
+ + =
Resolviendo este sistema, se obtiene
( )( )( )
1 2
2 2
100 20 20 1 5 5 1( )
3 10 3 3040 300
1000 10 1 5 5 1( )
3 10 3 3040 300
sY s
s s ss s s
Y ss s ss s s
+= =
+ ++ +
= = ++ ++ +
y la solucin es 10 30
1
30102
20 5( ) 5 , 0
3 310 5
( ) 5 , 03 3
t t
tt
y t e e t
y t e e t
=
= +
1.9 La Convolucin La operacin de convolucin encuentra aplicaciones en muchos campos, incluyendo la teora de redes elctricas y controles automticos. Una aplicacin sobresaliente es la que permite
-
37
evaluar la respuesta de un sistema lineal a una excitacin arbitraria cuando se conoce la respuesta al impulso [respuesta cuando la excitacin es un impulso unitario (t )]. Sean las dos funciones f1(t) y f2(t) transformables en el sentido de Laplace y sean F1(s) y F2(s) sus transformadas respectivas. El producto de F1(s) y F2(s) es la transformada de Laplace de la convolucin de f1(t) y f2(t); es decir,
{ } 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t F s F s F s= =L (1.88) donde
1 2 1 2 1 20 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t
f t f t f t f f t d f t f d= = = (1.89)
Las integrales en las Ecs. (1.89) se conocen como integrales de convolucin y el asterisco (*) indica la operacin de convolucin de las dos funciones. De acuerdo con la relacin
1 2( ) ( ) ( ),f t f t f t= se observa que
{ } { }1 2 2 11 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
F s f t f t f t f t
F s F s
= =
=
L L (1.90)
As que la transformada inversa del producto de las transformadas F1(s) y F2(s) se determina mediante la convolucin de las funciones f1(t) y f2(t) usando cualquiera de las frmulas en la Ec. (1.89) (obsrvese que la convolucin es conmutativa).
Para deducir estas ecuaciones, observe que F(s) = F1(s)F2(s) se puede expresar como un producto de las integrales que definen sus transformadas de Laplace en la forma
( ) 1 200 0
( ) ( ) ( )t
st stF s f t e dt f t f d e dt
= =
la cual puede expresarse como
1 2
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) stF s f t u t f d e dt
=
puesto que u(t ) = 0 para > t. Intercambiando ahora el orden de integracin, se obtiene
2 1
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) stF s f f t u t e dt d
=
Definiendo ahora el cambio de variable
x = t se tiene que
( )2 1
0
( ) ( ) ( ) ( ) s xF s f f x u x e dx d
+
=
Pero el escaln u(x) hace cero el valor de la integral entre corchetes para x < 0, y por tanto
-
38
( )2 1
0 0
( ) ( ) ( ) s xF s f f x e dx d
+ =
la cual puede ser expresada como el producto de dos integrales:
2 1 2 10 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )s sxF s f e d f x e dx F s F s
= = (1.91)
o tambin
2 1 1 20
( ) (s) ( ) ( )t
F s F f t f d (1.92)
que demuestra la validez de una de las ecuaciones en (1.89). Si se intercambian f1(t) y f2(t), se puede efectuar la misma derivacin para la otra ecuacin en (1.89).
A continuacin se mostrar mediante un ejemplo, que la convolucin se puede interpretar de acuerdo con cuatro pasos: (1) reflexin, (2) traslacin, (3) multiplicacin y (4) integracin.
Ejemplo 26
En este ejemplo, sean F1(s) = 1/s y F2(s) = 1/(s+1), de manera que f1(t) = u(t) y ( ) ( )2 tf t e u t= . Se desea determinar la convolucin de f1(t) y f2(t); es decir, se desea hallar
( )1 20
( ) ( ) ( )t
f t f t f t u t e d = =
Los pasos para aplicar la convolucin a estas dos funciones se ilustran en la Fig. 1.9, en la cual f1(t) y f2(t) se muestran en la (a) y f1() y f2() en (b). En (c) se han reflejado las funciones respecto de la lnea t = 0 y en (d) se ha trasladado algn valor tpico de t. En (e) se ha efectuado la multiplicacin indicada dentro de la integral de las Ecs. (1.89). La integracin del rea sombreada da un punto de la curva f(t) para el valor seleccionado de t. Al efectuar todos los pasos anteriores para diferentes valores de t, se obtiene la respuesta f(t), tal como se seala en (f) de la misma figura.
Para este ejemplo, la integracin de la Ec. (1.92) es sencilla y produce
0
( ) 1t
tf t e d e = =
que es, por supuesto, la transformada inversa del producto F1(s)F2(s),
( )1 11 1 1( )
1 1
1 t
f ts s s s
e
= =
+ +
=
L L
-
39
Figura 1.9
Ejemplo 27
Como otro ejemplo, considere la transformada
( ) ( )2 2 21
F ss a
=
+
En este caso se puede tomar
f1(t) f2(t)
f1() f2()
f1() f2() f1()
f1(t ) f2(t )
f1(t )f2() f1()f2(t )
f(t) = f1(t)* f2(t)
t t
t 0
0 0
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
t t 0 0
0 0
0 0
0 0
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
-
40
1 2 2 2
1( ) ( )
aF s F s
a s a= =
+
de manera que
1 2
1( ) ( ) senf t f t at
a= =
y por tanto,
( ) ( )
( )
12 2 22 2
0
2
1 1 1sen sen = sen sen
1 = sen cos
2
t
at at a a t da as a
at at ata
= +
L
1.10 Propiedades de la Integral de Convolucin A continuacin se derivan algunas propiedades de la integral de convolucin. Propiedad 1 La operacin de convolucin es conmutativa, distributiva y asociativa:
1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t = (1.93)
[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k kf t f t f t f t f t f t f t f t f t f t + + + = + + + (1.94) [ ] [ ]1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t f t f t = (1.95) Solamente se verificar la relacin (1.95), dejando las otras dos como ejercicios. Sean 1 ( )G s y
2 ( )G s las transformadas de Laplace de las funciones 1 2 3( ) ( ) ( )g t f t f t= y
2 1 2( ) ( ) ( )g t f t f t= , respectivamente. Por el teorema de convolucin tenemos que
1 2 3 2 1 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )G s F s F s G s F s F s= =
donde ( )iF s (i = 1, 2, 3) denota la transformada de Laplace de ( )if t . Esto da
[ ]{ } { }{ }
[ ]{ }
1 2 3 1 1 1 1
1 2 3 2 3 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f t f t f t f t g t F s G s
F s F s F s G s F s g t f t
f t f t f t
= =
= = =
=
L L
L
L (1.96)
Tomando la transformada de Laplace inversa de ambos lados de (1.96) produce la identidad deseada 14c. Propiedad 2 Si las funciones 1 ( )f t y 2 ( )f t son diferenciables para t > 0 y continuas para 0t = , entonces su convolucin es diferenciable para t > 0:
-
41
21 1 2
0
12 1 2
0
( ) ( )( ) ( ) (0)
( ) ( ) (0) ( ) 0
t
t
df t df tf d f t f
dt dt
df tf d f f t t
dt
= +
= + >
(1.97)
Para demostrar esto, aplicamos la regla de Leibnitz para diferenciar dentro de una integral, la cual dice que si
( )
( )
( ) ( , )b t
a t
h t g t d= (1.98)
donde a(t) y b(t) son funciones diferenciables de t y ( , )g t y ( , )g t t son continuas en t y , entonces
( )
( )
( ) ( , ) ( ) ( )( , ) ( , )
b x
a x
dh t g t db t da td g t b g t a
dt t dt dt
= +
(1.99)
Aplicando la propiedad dada por (1.99) a la ecuacin de definicin de la integral de convolucin con ( ) ( )h t f t= , 1 2( , ) ( ) ( )g t f f t = o 1 2( ) ( )f t f , a = 0
y b = t+, se obtiene la relacin (1.97).
Observe que la Ec. (1.98) no necesita realmente la hiptesis de que ambas 1 ( )f t y 2 ( )f t sean diferenciables. De hecho, si cualquiera de las funciones es diferenciable y la otra continua, entonces su convolucin es diferenciable. Desde el punto de vista de la operacin de convolucin, la Ec. (1.97) puede escribirse tambin como
2 11 1 2 2 1 2( ) ( ) ( )
( ) ( ) (0) ( ) (0) ( )df t df t df t
f t f t f f t f f tdt dt dt
= + = + (1.100)
Propiedad 3 Sea 1 2( ) ( ) ( )f t f t f t= y escriba
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ), 0g t f t T u t T T= (1.101)
2 2 2 2 2( ) ( ) ( ), 0g t f t T u t T T= (1.102)
1 2 1 2( ) ( ) ( )g t f t T T u t T T= (1.103)
donde u(t) denota la funcin escaln unitario. Entonces
1 2( ) ( ) ( )g t g t g t= (1.104)
Esta propiedad expresa que si las funciones 1 ( )f t y 2 ( )f t son retrasadas por T1 y T2 segundos, respectivamente, entonces la convolucin de las dos funciones retrasadas es igual a la convolucin de las funciones originales, retrasada por 1 2T T+ segundos. La demostracin de esta propiedad se deja para el lector.
-
42
1.11 Ecuaciones Diferenciales e Integrales Con la ayuda de la propiedad de convolucin se pueden resolver algunos tipos de ecuaciones integro-diferenciales no homogneas, lineales y con coeficientes constantes. Se darn algunos ejemplos.
Ejemplo 28
Determine la solucin general de la ecuacin diferencial
2( ) ( ) ( )y t k y t f t + = (1.105)
en trminos de la constante k y la funcin f(t).
Solucin. Suponiendo que todas las funciones en la Ec. (1.105) son transformables, la ecuacin transformada es
( )2 2( ) (0) (0) ( )s Y s s y y k Y s F s + = donde y(0) y y(0) son, por supuesto, las condiciones iniciales. De aqu se obtiene
2 2 2 2 2 2
1 (0)( ) ( ) (0)
k s y kY s F s y
k ks k s k s k
= + ++ + +
y por tanto,
( )1 (0)( ) sen ( ) (0)cos senyy t kt f t y kt ktk k
= + +
Esta solucin general de la Ec. (1.104) puede entonces escribirse en la forma
( ) ( ) 1 20
1sen ( ) cos sen
t
y t f k t d C kt C ktk
= + +
donde C1 y C2 son constantes arbitrarias.
Ejemplo 27
Resuelva la ecuacin integral
0
( ) ( )sen ( )t
y t at y t d= +
Esta ecuacin se puede escribir en la forma
( ) ( ) seny t at y t t= +
y, transformando ambos miembros, se obtiene la ecuacin algebraica
2 2
1( ) ( )
1
aY s Y s
s s= +
+
-
43
cuya solucin es
2 4
1 1( )Y s a
s s
= +
y por tanto,
31( )6
y t a t t
= +
La ecuacin integral general del tipo de convolucin tiene la forma
( ) ( ) ( ) ( )0
t
y t f t g t y d= + (1.106)
donde las funciones f(t) y g(t) son dadas y y(t) debe determinarse. Puesto que la ecuacin transformada tiene la forma
( ) ( ) ( ) ( )Y s F s G s Y s= + la transformada de la funcin buscada es
( ) ( )1 ( )
F sY s
G s=
(1.107)
Si la Ec. (1.106) es modificada reemplazando y(t) por combinaciones lineales de y(t) y sus derivadas, la transformada de la ecuacin modificada sigue siendo una ecuacin algebraica en s.
-
44
PROBLEMAS
1. Determinar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
21
2
2 3 2
(a) ( ) 2 sen (b) ( ) 3 sen 3
(c) ( ) 4 sen 5 cos 5 (d) ( ) sen
t
t t
f t t f t e t
f t e t t t f t t e t
= =
= + =
2. Determine la transformada de Laplace de las funciones en las grficas siguientes.
3. Encontrar la transformada de Laplace inversa de las siguientes funciones usando
desarrollo en fracciones parciales.
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2 2
3 2 2
2 2
3 2 22
2
3 2
2 3 4 6s 10 4a (b) =
5 4 3s 24 484s 6 10 2 6 8
(c) = (d) ( )s 5 8 4 s 2 5
2s 5 4(e) =
s 7 16 12
s s sF s F s
s s s s
s s sF s F s
s s s
sF s
s s
+ + + +=
+ + + +
+ + + +=
+ + + + +
+ +
+ + +( ) ( )( )
( ) ( )
2
2
4 3 2 4 3 2
8 s+10 (f) =
10 20
14s+42 12s+48(g) = (h) =
s 8 14 12 s 6 16 56 80
F ss s s
F s F ss s s s s s
+ +
+ + + + + + +
4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales mediante la aplicacin directa de la transformacin de Laplace.
2 2
2 2(a) 4 5 2 6 (b) 2 12 10 6cos 4 ,
(0) 2, (0) 1 (0) 2, (0) 8
+ + = + + + =
= = = =
d x dx d x dxx t x t
dt dtdt dt
x x x x
5
5
0 1 2 3 4 t t
3
3
2 4
6
t t 0 2 3
4 1
1 5
1
1
0
3 4
2 1
6
2
2
(a) (b)
(c) (d)
-
45
3 2 3 2
3 2 3 2(c) 3 3 4 (d) 7 12 2
(0) 1, (0) 2, (0) 5 (0) 3, (0) 1, (0) 2
+ + + = + + =
= = = = = =
d x d x dx d x d x dxx
dt dtdt dt dt dt
x x x x x x
5. Halle las transformadas de Laplace inversa de las siguientes funciones:
(a) 1
( 3)
se
s s
+
+ (b)
2
2 6 5
s se s e
s s
+ +
6. Halle las transformadas de Laplace de las formas de ondas en la figura.
7. Determine la transformada inversa de las siguientes funciones usando la integral de
convolucin.
( ) ( )225 1
(a) ( ) (b) ( )4 4
F s F ss s s s
= =
+ +
3 2 3 2
10 2(c) ( ) (d) ( )=
2 4 8 6 13
sF s F s
s s s s s s=
+ + + + +
8. Demuestre que la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales
( ) 2 ( ) ( ), ( ) ( )+ ( )=0 x t y t f t x t y t y t =
bajo las condiciones ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 ,x x y y = = = = tal que f(0) = 0, es
( )
( )0 0
0
( ) ( ) 2 ( )cos ,
( ) ( )cos
t t
t
x t f d f t d
y t f t d
=
=
9. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y verifique su resultado:
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 1, (0) 1, (0) 0.x t y t f t y t x t x y + = + = = =
10. Determine y(t) y verifique su solucin:
0
( ) ( ) , (0) 2t
y d y t t y = =
11. Halle la solucin de la ecuacin integral
0 2 3 0 1 2 3
3
2
t t
f(t) f(t)
(a) (b)
1
2
-
46
( )0
( ) sen ( )sent
y t a bt c y b t d= +
(a) cuando b2 > bc; (b) cuando b = c.
12. Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t). Demuestre que
( )( )
s
f tF s ds
t
=
L
13. Demuestre que para real y positiva
21
( )
! ( )
n n nt t
n n
d t se e
ndt s
+
=
+ L
14. Usando la propiedad demostrada en el Problema 12, determine las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:
a) 1 0cost t (b) 1 (1 )tt e (c) 1 (senh cosh )t t t +
-
CAPTULO DOS
SOLUCIN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO
2.1 Introduccin
En este captulo se analizar la caracterizacin de sistemas en el dominio del tiempo usando la descripcin de la ecuacin de estado y las variables de estado. El mtodo permite estudiar el sistema como un todo, tomando en cuenta tanto sus variables internas como las variables de entrada salida (excitacin respuesta). El mtodo ha sido utilizado durante muchos aos en la descripcin y estudio de sistemas dinmicos y es de mucha utilidad en la resolucin de redes elctricas.
La descripcin con variables de estado utiliza un sistema de ecuaciones diferenciales (en forma matricial) de primer orden y es aplicable a sistemas lineales o no, variables o invariables en el tiempo. Esta descripcin con matrices que se emplea en la representacin mediante variables de estado es independiente de la complejidad del sistema y, en consecuencia, puede facilitar grandemente el estudio de sistemas complejos. Adems, la formulacin con variables de estado proporciona un mtodo apropiado para el proceso de solucin de las ecuaciones por computadora. 2.2 Definiciones Desde el punto de vista del anlisis y sntesis de sistemas, es conveniente clasificar las variables que caracterizan o estn asociadas con un sistema en (1) variables de entrada o de excitacin, ui, las cuales representan los estmulos generados por sistemas diferentes del sistema bajo estudio y que influyen en su conducta; (2) variables de salida o de respuesta, yj, las cuale