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Universidade Federal do ABC
Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica
Circuitos Elétricos II
José Azcue, Prof. Dr.
Indutância Mútua
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Introdução
• Indutância Própria
• Indutância Mútua
• Indutâncias acopladas
• Acoplamento perfeito
• Acoplamento imperfeito
• Transformador ideal
• Transformador Perfeito
• Transformador Real
• Modelos de transformadores
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Indutância Própria (Autoindutância)
• O indutor é um componente dos circuitos elétricos que representa o armazenamento de energia magnética.
• Quando uma corrente atravessa o fio, um campo magnético é criado no interior da bobina.
div L
dt
0
1( ) (0)
t
i v d iL
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Indutância Própria
“Quando um condutor é percorrido por uma corrente elétrica, surge em torno dele um campo magnético, cujo fluxo é proporcional à
intensidade da corrente”
André-Marie Ampère
Produção de um campo magnético
i
linhas de
campo
magnético
Lei de Ampère
Limalha de ferro
Fio de cobre Folha de
papel
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Indutância Própria
Os ímãs também produzem campos magnéticos
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Indutância Própria
Constatação:
• Para uma corrente constante (chave fechada), independentemente de quão elevado seja o valor da tensão aplicada, não há deslocamento do ponteiro do medidor.
Michael Faraday
Lei de Faraday
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Indutância Própria
Lei de Faraday
v
fluxo
Constatações:
• Ao aproximar ou afastar o ímã do solenóide (bobina) ocorre um deslocamento do ponteiro do medidor.
• Quando o ímã está parado, independentemente de quão próximo este esteja do solenóide, não há deslocamento do ponteiro do medidor.
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Indutância Própria
Lei de Faraday • “Quando um circuito elétrico é atravessado por um fluxo
magnético variável, surge uma f.e.m. (força eletro-motriz = tensão) induzida atuando sobre o mesmo.”
dv
dt
• “A f.e.m. (tensão) induzida no circuito é numericamente igual à variação do fluxo que o atravessa.”
Formas de se obter uma tensão induzida segundo a lei de Faraday:
• Provocar um movimento relativo entre o campo magnético e o circuito.
• Utilizar uma corrente variável para produzir um campo magnético (e um fluxo magnético) variável.
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Indutância Própria
Lei de Lenz
Heinrich Lenz
“A tensão induzida em um circuito fechado por um fluxo magnético variável
produzirá uma corrente de forma a criar um campo magnético cujo fluxo opõe-se
à variação do fluxo que a criou”
dv
dt
𝜙
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Indutância Própria
Lei de Lenz
𝜙
𝜙
11
Indutância Própria
Lei de Lenz
𝜙
𝜙
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Indutância Própria
Primeiro considere um único indutor, uma bobina com N espiras, a
corrente através do condutor produz um fluxo magnético, .
Se o fluxo varia, a tensão induzida é:
dv N
dt
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Indutância Própria
Ou em termos de variação da corrente:
A indutância L, do indutor é dada, portanto, por:
Essa indutância é comumente denominada autoindutância (ou
indutância própria).
d div N
di dt
dL N
di
𝑣 = 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡
Qualquer variação no
fluxo é provocada por
uma variação na
corrente.
dv N
dt
ou
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Indutância Mútua
Considerando duas bobinas com N1 e N2 espiras,
respectivamente. Com indutâncias próprias L1 e L2.
O fluxo magnético
emanando da bobina 1
tem duas
componentes:
Um componente que atravessa
apenas a bobina 1 (11 ) e, o outro
componente (12 ) se associa com
ambas as bobinas.
1 11 12
Fisicamente
separadas
Magneticamente
acopladas
Não existe corrente no
segundo indutor (L2).
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Indutância Mútua
Já que todo o fluxo 1 atravessa
a bobina 1, a tensão induzida na
bobina 1 é:
Apenas o fluxo 12 atravessa a
bobina 2, de modo que a tensão
induzida na bobina 2 seja
11 1
dv N
dt
122 2
dv N
dt
(Tensão auto-induzida)
(Tensão mutuamente
Induzida)
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Indutância Mútua
Já que os fluxos são produzidos pela
corrente i1 fluindo na bobina 1, então:
11 1
dv N
dt
122 2
dv N
dt
𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙1
𝑑𝑖1
𝑑𝑖1𝑑𝑡
= 𝐿1𝑑𝑖1𝑑𝑡
𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙12
𝑑𝑖1
𝑑𝑖1𝑑𝑡
= 𝑀21
𝑑𝑖1𝑑𝑡
Autoindutância da bobina 1
Indutância mutua da
bobina 2 em relação à
bobina 1
(Tensão auto-induzida)
(Tensão mutuamente
Induzida)
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Indutância Mútua
De forma semelhante:
𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙2
𝑑𝑖2
𝑑𝑖2𝑑𝑡
= 𝐿2𝑑𝑖2𝑑𝑡
𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙21
𝑑𝑖2
𝑑𝑖2𝑑𝑡
= 𝑀12
𝑑𝑖2𝑑𝑡
Autoindutância da bobina 2
Indutância mutua da
bobina 1 em relação à
bobina 2
𝜙2 = 𝜙22 + 𝜙21
𝑣2 = 𝑁2
𝑑𝜙2
𝑑𝑡
𝑣1 = 𝑁1𝑑𝜙21
𝑑𝑡
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Polaridade da Tensão Auto-induzida
A polaridade da tensão auto-induzida
é determinada pelo sentido de
referência da corrente e pela
polaridade de referência da tensão.
div L
dt
Convenção do receptor
L v
i +
-
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Polaridade da Tensão Mútua
A indutância mutua é sempre positiva (M), entretanto, a tensão
mutua pode ser positiva ou negativa (𝑀 𝑑𝑖 𝑑𝑡 ) . Utilizar a
convenção do ponto.
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Indutâncias Acopladas em Série
Bobinas acopladas em serie de duas formas diferentes
a) Conexão serie aditiva
b) Conexão serie subtrativa
1 2 2L L L M
1 2 2L L L M
“sentidos dos enrolamentos
são concordantes”
“sentidos dos enrolamentos
são discordantes”
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Convenção do Ponto
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Exemplo A
Aplicando a convenção do ponto.
LKT na malha de i1:
LKT na malha de i2:
No domínio da frequência
1 1 1 1 2
2 1 2 2 2
V R j L I j MI
V j MI R j L I
2 12 2 2 2
di div i R L M
dt dt
1 21 1 1 1
di div i R L M
dt dt
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Exemplo B
Aplicando a convenção do ponto.
LKT na malha de i1:
LKT na malha de i2:
1 1 1 2V Z j L I j MI
1 2 20 Lj MI Z j L I
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Modelo para análise de circuitos acoplados
Procedimento para resolver circuitos magneticamente acoplados:
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Energia em Circuitos Acoplados
A energia armazenada no indutor é:
Para indutores acoplados, a energia total armazenada depende das
indutâncias próprias e da indutância mútua.
É selecionado o sinal positivo se ambas as correntes entrarem ou
deixarem os terminais marcados com pontos das bobinas.
Caso contrario é selecionado o sinal negativo.
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2w Li
2 2
1 1 2 2 1 2
1 1
2 2w L i L i Mi i 𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 ± 2𝑀
*Indutores acoplados em serie
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Limite Superior para M
A energia armazenada no circuito não pode ser negativa, porque o
sistema é passivo.
Do qual, tem-se:
O grau com que a indutância mútua M se aproxima do limite superior é
especificado pelo coeficiente de acoplamento, dado por:
Onde 0 ≤ 𝑘 ≤ 1, ou de forma equivalente 0 ≤ 𝑀 ≤ 𝐿1𝐿2
1 2M L L
2 2
1 1 2 2 1 2
1 10
2 2L i L i Mi i
1 2
Mk
L L
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Coeficiente de acoplamento
Acoplamento perfeito: todo o fluxo
produzido por uma bobina
atravessa a outra bobina, então
k=1 e temos um acoplamento de
100%.
Para k<0,5, diz-se que as bobinas
estão livremente acopladas.
Para k>0,5, diz-se que as bobinas
estão firmemente acopladas.
Livremente
acopladas
Firmemente
acopladas
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Problema 13.15
Determine o equivalente de Norton para o circuito da figura abaixo
nos terminais a-b.
Rpta: 19.525∠87,06°
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Referências
1. NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; “Circuitos Elétricos”, 8th Ed.,
Pearson, 2008.
2. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de
Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.
3. Slides da prof. Denise,
https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-
denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.
4. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.
1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.
5. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.