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Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

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Capítulo IV:

La Carta de Smith

en el diseño de las

Redes de Acople


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4. LA CARTA DE SMITH

La Carta de Smith fue concebida en los años 1930 por Phillip Smith en los laboratorios

BELL, quien quiso realizar un método más fácil para resolver las ecuaciones tediosas y

repetitivas que frecuentemente aparecen en la teoría de R.F.

4.1 Construcción de la Carta de Smith.

Considerando el circuito de la Fig. 3.1 donde se representa una fuente de RF con una

impedancia ZS que se conecta a una carga ZL . En el punto de conexión se puede establecer una

onda incidente VI hacia la carga y una onda reflejada VR hacia la fuente.

El coeficiente de reflexión de una impedancia

de carga respecto a la impedancia de la fuente

puede ser encontrada por la ecuación 4.1:

(4.1)

En la formula normalizada (dividiendo numerador y denominador por ZL):

(4.2)

Donde

es una impedancia compleja, luego

No obstante, es un complejo de la forma:

Substituyendo en (4.2):

Fig. 4.1 Ondas incidente y reflejada


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(4.3)

Resolviendo las partes reales e imaginaria, se obtiene:

(4.4)

(4.5)

Resolviendo (4.4) para X:

√

(4.6)

Substituyendo (4.6) en (4.5) se obtiene:

(

)

(

)

(4.7)

Esta ecuación corresponde a una familia de circuitos cuyos centros están en:

(4.8)

A estos circuitos se les denomina CÍRCULOS DE RESISTENCIA CONSTANTE. (ver Fig.

4.2).


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Fig. 4.2 Círculos de resistencia constante

Similarmente, podemos eliminar R de los pasos 4 y 5, y se obtiene:

(

)

(

)

(4.9)

El cual representa una familia de circuitos con centro en:

(4.10)

A estos circuitos se les denomina CÍRCULOS DE REACTANCIA CONSTANTE. (Ver fig.

4.3).


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Fig. 4.3 Círculos de reactancia constante

Cuando las dos cartas anteriores se incorporan en una versión simple, nace la carta de Smith.

Añadiendo otras escalas periféricas que ayudan al diseño de circuitos en R.F. tales como, la

relación de onda estacionaria (SWR), el coeficiente de reflexión y las pérdidas de transmisión

a lo largo de la línea de transmisión, y de esta forma se completa la carta de Smith. Ver fig.

4.4.


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Fig. 4.4 Carta de Smith completa


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4.2 Gráfico de valores de Impedancia

Cualquier punto en la carta de Smith representa una combinación serie de resistencia y

reactancia de la forma . Para graficar la impedancia , se debe encontrar

en los círculos de resistencia constante y su intersección en los círculos de reactancia

constante , tal como se indica en la Fig. 4.5.

Fig. 4.5 Gráfico de impedancias:


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En muchos casos los círculos no están representados para todos los valores posibles de R y de

X. Es necesario interpolar las curvas tal como se indica en la Fig. 4.6 donde se representan

diversos valores de impedancias con valores decimales.

Fig.4.6 Gráfico de algunas impedancias sobre la Carta de SMITH.

No obstante, como se aprecia en las figuras mostradas graficar valores altos no es posible. Si

se quiere graficar la impedancia Z = 100 + j 150 no es posible hacerlo con precisión puesto

que los círculos respectivos se encuentran en los extremos. A fin de facilitar el gráfico de

grandes impedancias, se requiere el proceso de la normalización: que consiste en dividir cada

impedancia por un número conveniente el cual permite su ubicación en la región medible de

la carta. En el caso: Z = 100 + j 150 ohmios, se divide por 100 para obtener una impedancia

normalizada: .


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4.3 Manipulación De Impedancias Sobre La Carta

4.3.1 Impedancia En Serie

Si a Z = 0.5 + j 0.7 le añadimos en serie – j 1.0 (reactancia capacitiva).

ZT = 0.5 + j 0.7 - j 1.0

ZT = 0.5 – j 0.3 ohm. (Representa un circuito serie RC)

Ver esta transformación en la Fig. 4.7.

Fig. 4.7 Impedancia inductiva con adición de un condensador en serie


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Si a Z = 0.8 - j 1 le añadimos en serie + j 1.8 (reactancia inductiva).

ZT = 0.8 - j 1.0 + j 0.8

ZT = 0.5 + j 0.8 ohm. (Representa un circuito serie RL)

Ver esta transformación en la Fig. 4.8.

Fig. 4.8 Adición en serie de un inductor a una impedancia capacitiva.

4.3.2 Conversión De Impedancia a Admitancia:

La carta de Smith permite una conversión fácil entre la impedancia (Z) y su admitancia (Y):


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(4.11)

Donde: G es la conductancia en mhos y B es la Suceptancia en mhos. Se representan en la Fig.

4.9

Fig. 4.9 Circuitos representativos de admitancia

Note que la suceptancia capacitiva es positiva y la suceptancia inductiva es negativa.

Para representar de admitancias, basta rotar la carta de Smith 180o para permitir el manejo de

admitancias, en forma similar que las impedancias.

Una versión de la carta de Smith muy útil es aquella que contiene la superposición de las

coordenadas de impedancia con las coordenadas de admitancia, como se indica en la Fig. 4.10.

4.3.3 Manipulación de admitancias sobre la carta

Cuando los elementos se encuentran en paralelo sus admitancias se suman.

Ejemplo: a la admitancia

Y1 = 0.2 – j 0.5 mho

Se le añade en paralelo un capacitor con suceptancia = + j 0.8 mho

Matemáticamente:

Y2 = 0.2 – j 0.5 + j 0.8

Y2 = 0.2 + j 0.3 mho.

En este caso, se trabaja con la carta rotada 180o y se emplea un procedimiento igual al que se

utilizó para manipulación de impedancia. Ver Fig. 4.10.

Con la carta de Smith compuesta se puede manipular impedancias y admitancias: las

impedancias viajan a lo largo de las coordenadas de impedancias, mientras que las admitancias

viajan a lo largo de las coordenadas de admitancias.


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Fig. 4.10 Cartas de Impedancia y Admitancia superpuestas

4.3.4 Acoplamiento De Impedancias Sobre La Carta De Smith

Para hacer más fácil el uso de la carta de Smith, las siguientes ecuaciones pueden ser usadas:

Para un componente Capacitivo serie:

(4.12)

Para un componente Inductivo serie:

(4.13)

Para un componente Capacitivo paralelo:


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(4.14)

Para un componente Inductivo paralelo:

(4.15)

Donde:

X = Reactancia leída de la carta.

B = Suceptancia leída de la carta.

N = Factor de normalización.

Fig.4.11 Adición de un capacitor en paralelo.


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Ejemplo 4.1: Cual es la impedancia vista desde la fuente en el circuito de la Fig. 4.12:

Fig.4.12 Ejemplo 4.1

Solución: Este problema es de fácil solución con la carta de Smith.

Primero se separan las ramas del circuito en forma individual tal como se muestra en la Fig.

4.13.

Fig.4.13 Separación de en ramas individuales del ejemplo 4.1

Ver solución en forma gráfica en la Fig. 4.14. Aquí se puede establecer:

Arco AB = L paralelo =-jB = 0.3 mho

Arco BC = C serie =-jX = 1.4 ohm

Arco CD = C serie = jB = 1.1 mho

Arco DE = L paralelo =-jX = 0.9 ohm

La impedancia en el punto E puede ser leída directamente de la carta como Z= 0.2 + j0.5 ohm.


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Fig. 4.14 La carta de Smith en la solución del Ejemplo 4.1

Ejemplo 4.2: Diseñar un circuito de acoplamiento de dos elementos, sobre una carta de Smith

para acoplar una fuente de 25 – j 15 a una carga de 100 – j25 en 60 MHz. El circuito de

acople debe actuar como un filtro Pasa Bajo.

Solución: La fuente se acopla con su conjugado complejo: = 25 + j 15

- Normalización: Se escoge un numero conveniente que en este caso es: N = 50 y se

dividen las impedancias por este numero:

ZSN = 0.5 +j 0.3 ; = 2 – j 0.5


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Estos 2 valores son fácilmente graficados en la carda de Smith: (normalizado) y

(normalizado), Fig. 4.15.

Fig. 4.15 Ejemplo 4.2

El cruce de los círculos, admitancia e impedancia genera el punto B.

El arco AB es un condensador paralelo con valor jB = 0.73 mho y el arco BC es un inductor

serie (filtro Pasa- Bajos) con valor + jX = 1.2 .

Por tanto:


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=1.2

Desnormalizando: (multiplicando por 50):

XL = 60 ; Xc = 68.5

Calculando valores:

El circuito final es mostrado en la Fig. 4.16.

Fig. 4.16 Circuito final del Ejemplo 4.2

Ejemplo 4.3: Diseñar un circuito “T” que acople una impedancia de fuente de Zs = 15 + j 15

a una carga de ZL = 225 en 30 MHz y Q = 5.

Solución:

Previamente se requiere el gráfico del arco para Q = 5 sobre la carta del Smith.

1er

paso: normalización (escogemos N = 75):

Z*s = 0.2 - j 0.2

ZL = 3

En este caso RL RS. A partir de c se intercepta la curva que para por c con la

curva de Q = 5 y se obtiene el punto se toma la curva de las admitancias hasta


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encontrar la intersección entre esta curva y la curva de impedancias que pasa por

A y así se obtiene el punto B. Ver Fig. 4.17.

Fig. 4.17 Ejemplo 4.3

Luego se deduce:

- Elemento 1 = arco AB : LS = + j 2.5

- Elemento 2 = arco B : CN = j 1.15 mho

- Elemento 3 = arco C : LS = j 0.8

Por tanto:


70

Elemento 1:

Elemento 2:

Elemento 3:

El circuito final se muestra en la Fig. 4.18

4.4 Problemas propuestos:

4.4.1 Se requiere una red de acople tal como se muestra en la Fig. 4.19

Fig. 4.19 Problema 4.1

Si y sin tener encuenta la resistencia interna de la bobina, determine el valor de

empleando la Carta de Smith.

4.4.2 Emplear la carta de Smith para diseñar la red de acoplamiento de la Fig. 4.20 si

a. Hallar L, C

b. Si la corriente de entrada es , hallar la corriente en magnitud.

Fig. 4.20 Problema 4.2

4.4.3 Se desea acoplar una carga de en la frecuencia de 90 MHz a un cable

coaxial de impedancia característica de 50 ohmios. Diseñe la red de acople para máxima

transferencia de potencia, empleando la carta de SMITH y especificando el circuito de acople

con sus valores correspondientes.

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