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• CIRCUITO SÉRIE/PARALELO Prof. Antonio Sergio-D.E.E-CEAR-UFPB. Os circuito reativos são classificados, assim como os resistivos, em

a) Circuitos série. b) Circuitos paralelo c) Circuito série-paralelo.

Em qualquer caso acima, vale tanto as Leis de Kirchhoff nos circuitos resistivos quanto nos reativos, só que no domínio dos números complexos.

Seja um circuito série composto de duas ou mais impedâncias complexas como mostrado na figura abaixo.

Fig. 1 - Circuito reativo série Como se sabe, num circuito série a corrente que circula por um elemento é a

mesma que circula pelos demais. A corrente ao circular por uma impedância provoca nele uma queda de voltagem representada por V1, V2 e VN, aonde tem-se:

V1 = I.Z 1 V2 I.Z 2 e VN = I.Z N (1)

Fasorialmente falando, tem-se para a lei das malhas: Vent = V1 +V2 + ...VN (2) Em outras palavras, a soma do fasores de tensão do circuito é igual ao fasor de

tensão de entrada. Por outro lado, a impedância equivalente do circuito é a soma das impedâncias

presentes no mesmo. Assim ZT=Z1 + Z2 + ...+ZN (3)

2

Exemplo 1: Circuito RLC série.

Fig. 2 – Circuito RLC série Num circuito RLC série a impedância é dada por

Z=

ω−ω+=

ω−ω+

C

1L.jR

C

1jLjR (4)

A equação acima nos leva a pensar que um circuito RLC tem três comportamentos aparentes:

a) Indutivo: Quando a reatância indutiva prevalece sobre a capacitiva, isto é,

C

1L

ω>ω (5.1)

Desta forma, a parte imaginária da impedância é positiva e o circuito fica

aparentemente indutivo. A corrente que circula pelo circuito fica atrasada em relação à tensão de entrada.

b) Capacitivo: Quando a reatância capacitiva prevalece sobre a indutiva , isto é,

C

1L

ω<ω (5.2)

Desta forma, a parte imaginária da impedância é negativa e o circuito fica

aparentemente capacitivo. A corrente que circula pelo circuito fica adiantada em relação à tensão de entrada.

c) Resistivo. Quando a reatância indutiva se iguala à capacitiva, isto é,

C

1L

ω=ω (5.3)

Desta forma, a parte imaginária da impedância se anula e o circuito fica aparentemente resistivo. A corrente que circula pelo circuito fica em fase em com a tensão de entrada.

3

Fasorialmente, tem-se:

Fig. 3 – Diagrama fasorial da tensão de entrada e da corrente no circuito RLC série De acordo com a Eq. (2.3), tem-se:

LC

1

LC

12 =ω⇒=ω

Considerando que ω = 2.π.f, tem-se finalmente:

fo=LC..2

1

π (6)

Exemplo 2: Considere o circuito abaixo:

Onde V = 100∠00. Determinar a impedância equivalente, a corrente que circula pelo circuito e as quedas de voltagem em casa um do seus elementos. Solução: Zeq = 4 + j.3 – j.6 = 4 – j.3 = 5∠-36,90

I = o

o

9,365

0100

−∠∠

= 20∠+36,90

Seja V1 a queda de voltagem no resistor; seja V2 a queda de voltagem no indutor e V3 a queda de voltagem no capacitor.

4

V1 = 20∠+36,90 x 4 = 80∠+36,90 = 63,97 + j.48,03 V2 = 20∠+36,90 x 3∠900 = 60∠+126,90 = -36,03 + j.47,98 V3 = 20∠+36,90 x 6∠-900 = 120∠-53,10 = 72,05 - j.95,96 V1 + V2 + V3 = 99,99 + j.0,05 ≈ 100∠0o Observa-se neste exemplo que a lei das malhas num circuito série é válida no domínio dos números complexos. Somando-se apenas os módulos das voltagens, tem-se: 80 + 60 + 120 = 260V, bem diferente de 100. No circuito abaixo, no entanto, temos um comportamento aparentemente resis-tivo.

Toda a voltagem de entrada está no resistor. Mostre.

Exemplo 3 No circuito da Fig. 2 considere R = 100Ω , L = 0,01H e C = 3µF a) Determinar a frequência de ressonância fo. b) Determinar a impedância vista pela fonte de entrada com f = fo, f = 0,1fo e f

= 10fo c) Repetir (b) para corrente que circula pelo circuito. Solução. a) Usando os dados dos componentes na Eq. (6), tem-se para a frequência de

res- sonância::

88,91801,0x10x3.2832,6

1f

6o ==

− Hz

b) A impedância indutiva é:

XL = 2.π.f.L

5

E a capacitiva é:

C.f.2

1X C π

=

Na frequência de ressonância, tem-se:

XL = 6,2832x918,88x0,01 = 57,735 Ω

XC = 735,5710x3x88,918x2832,6

16

=−

Ω

Substituindo na Eq (1), tem-se: Z = 100 + j0

Isto é, a impedância geral do circuito é um numero real. Nesta freqüência a impe-dância capacitiva de iguala em módulo à impedância indutiva. Só em módulo, por que em termos de impedância complexa, elas estão no eixo imaginário do plano complexo com sinais contrários. Nesta freqüência o circuito entra em ressonância. Para f = 0,1.fo = 91,888 Hz tem-se:

XL = 0,1x57,735 = 5,7735 ≅ 5,8 Ω XC = 10x57,735 ≅ 577,74 Ω

Assim sendo, há uma forte predominância da impedância capacitiva. Desta forma, de podemos expressar Z como:

Z = 100 - j (5,8 – 577,74) ≅ 100 – j572 = 580,7∠-800 Para f = 10.fo = 9.188,8 tem-se: XL = 10x57,735 = 5,7735 ≅ 577,35 Ω

XC = 0,1x57,735 ≅ 5,778 Ω

Assim sendo, há uma forte predominância da impedância indutiva. Desta forma, podemos expressar Z como: Z = 100 - j (577,35– 5,778) ≅ 100 + j572 = 580,7∠+800

É interessante calcular a tensão em cada elemento do circuito na ressonância. Antes disso é preciso determinar a corrente que circula pelo circuito. Esta corrente é dada por:

ZV

I = = β∠

α∠Z

V 0 (7)

Supondo-se que a tensão de entrada seja 10 VRMS e com ângulo supostamente zero, tem-se:

6

mA100A1,0100

10V ===

Como o ângulo da impedância na ressonância também é zero, tem-se I = 0,1∠0o. Assim, seja VR a tensão desenvolvida no resistor; VL a tensão desenvolvida no indutor e VC a tensão no capacitor. VR = IxR = 0,1∠0o.x 100 = 10∠0o. VL = IxZL = 0,1∠0ox 57,735∠90o = 5,8∠90o = +j5,8 VC = IxZC = 0,1∠0ox 57,735∠-90o = 5,8∠-90o = - j5,8 VL + VL + VC = 10 + j5,8 – j5,8 = 10. Em diagrama fasorial tem-se: VL

VR

VC

O que valida a lei das malhas. Regra fundamental: A lei das malhas num circuito série reativo só é válida no domínio dos números com-plexos, isto é, a soma dos fasores de tensãosoma dos fasores de tensãosoma dos fasores de tensãosoma dos fasores de tensão num circuito série é igual ao fasor da tensão de entrada. Convém observar neste ponto que os voltímetros alternados medem os valores efica-zes, que são os módulos dos fasores. A figura 5 mostra o efeito ressonante do circuito RLC série em que a corrente atinge um valor máximo na freqüência de ressonância que no caso do exemplo acima é cerca de 918,88 Hz. Quando a freqüência é menor que a da ressonância, o comportamento capacitivo do circuito é predominante, isto é, o circuito é aparentemente capacitivo, pois XC é maior que XL (Eq. 5.2); quando a freqüência é maior que a da ressonância, o comportamento indutivo do circuito é predominante, isto é, o circuito é aparentemente indutivo, pois XL é maior XC (Eq. 5.1). Por fim, quando a frequência é iguala da ressonância, o circuito tem um comportamento aparentemente resistivo. Nesta frequência o módulo da impedância geral do circuito tem um valor mínimo.

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Exercício 4: Calcular o módulo da corrente que circula pelo circuito no exemplo acima para as freqüências f = 91,888Hz e f = 9188,8Hz

Fig. 4 – Reposta temporal das tensões num circuito RLC em ressonância.

Fig. 5 – Valor da corrente que circula pelo circuito em função freqüência da tensão de entrada. A freqüência varia de 10Hz a 100KHz.

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Divisor de Tensão Um conceito muito interessante em circuitos elétricos. Na figura 6 temos dois circuitos: um divisor resistivo e outro divisor de impedância.

Fig 6 – Divisor de tensão resistivo e divisor de por impedância. A corrente que circula pelo circuito da esquerda é dada por:

21 RR

VI

+=

A tensão de saída Vo = I.R2. Combinando com a equação acima tem-se:

21

2o RR

R.VV

+= (8.1)

Os dois resistores formam o que se conhece em circuitos elétricos por divisor resistivo, isto é, as duas resistências dividem a tensão de entrada, V, em dois valores que somados dão a tensão de entrada e Vo é um destes valores. De maneira equivalente podemos chegar a uma conclusão equivalente em relação ao circuito da direita que a extensão da equação da esquerda no domínio complexo.:

21

2.

ZZZV

Vo += (8.2)

Exemplo 5: Duas impedâncias estão em série, Z1 = 4∠30o e Z2 = 5∠60o sob uma tensão de V = 20∠60o. Determinar a corrente do conjunto, as voltagens em cada carga e somá-las para comparar com a voltagem de entrada. Solução: Como as cargas estão em série, tem-se:

21

.

ZZV

I+

=

Z1 = 3,46 + j.2 ; Z2 = 2,5 + j.4,33 Z1 + Z2 = 5,96 + j.6,33 = 8,69∠46,72o

9

o

o

I72,4669,8

.6020

∠∠= = 2,3∠13,28o

Quanto às tensões em cada carga, tem-se: V1 = Z1xI = 4∠30ox2,3∠13,28o = 9,2∠43,28o = 6,70 + j.6.31 V2 = Z2xI = 5∠60ox2,3∠13,28o = 11,5∠73o = 3,36 + j.11 V1 + V2 = 10,06 + j.17,31 ≈ 20 ∠60o

c) CIRCUITO PARALELO No entendimento de instalações elétricas, tanto prediais como industriais, os circuitos paralelos são os mais importantes. Todas as cargas numa instalação monofásicas (ou – que dá no mesmo – estiverem numa mesma fase) estão ligadas em paralelo. Assim, ao se ligar, por exemplo, numa mesma tomada um ventilador e uma lâmpada, estas cargas estão em paralelo. Se uma casa é ligada apenas numa fase, todas cargas desta casa estão ligadas em paralelo, como lâmpadas, geladeira, tv, ventilador, etc. como estão mostradas na Fig 6.

Fig. 6 – Diagrama esquemático de uma instalação elétrica predial monofásica Num circuito paralelo, todas as cargas estão sujeitas à mesma voltagem, mas por elas circulam correntes diferentes. O diagrama esquemático geral de um circuito paralelo genérico está mostrado na figura abaixo.

Fig. 7 - Circuito reativo paralelo

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Pela Lei dos Nós, tem-se IT = I 1 + I 2 + I3 + ....+ IN (9) Isto é, a soma dos fasores de corrente de cada elemento do circuito é igual ao fasor da corrente total (IT) fornecida pela tensão de entrada. Ainda tem-se:

I 1 = 1Z

Vent I 2 =2Z

Vent I 3 = 3Z

Vent IN = N

entZ

V (10)

Considerando que I T = T

entZ

V e combinando (9) com (10), tem-se:

TT ZZZZZ

1..

1111

321

++++= (11)

Onde ZT é a impedância equivalente geral do circuito. Também podemos escrever:

Z =T

entI

V (12)

Por outro lado, se o circuito tem apenas duas impedâncias Z1 e Z2 tem-se de manei-ra mais simplificada:

21

21

ZZxZZ

Z T += (13)

Exemplo 6: No circuito abaixo determinar as correntes em cada ramo do circuito, sua corrente total e sua impedância equivalente, sabendo-se que V = 220∠0o

Solução: O circuito tem duas impedâncias: Z1 = 290 + j.368,8 = 469,16 ∠51,82o e Z2 = -j.596,31 = 596,31∠-900

11

As correntes em cada ramo serão:

I 1 = 369,0.290,082,51469,082,5116,469

0220

1j

ZV o

o

o−=−∠=

∠∠= =

I 2 = 369,0.90369,09031,596

0220

2

jZV o

o

o

=∠=−∠

∠=

IT = I 1 + I 2 = 0,290 + j.0 Em diagrama fasorial tem-se:

A impedância equivalente é dada por:

Zeq = 00

0062,758

0290,0

0220 ∠=∠

∠=TIV

O circuito como um todo tem comportamento aparentemente resistivo. Por outro lado, usando-se a equação (13), tem-se:

Zeq = )21,5968,368.(j290

18,3888,279717

9021,59682,5116,469

9021,596x82,5116,469 0

0

0

−+−∠=

−∠+∠−∠∠

Zeq = 000

098,75720,38026,369

18,3888,279717

21,228.j290

18,3888,279717 ∠=−∠−∠=

−−∠

12

Exemplo 7 Determinar as correntes de cada ramo do circuito abaixo e somá-las para obter a corrente total . V = 100∠30o. Determinar, também, a impedância equivalente.

Solução: Z1 = 3+ j.4 = 5∠+ 53,1o Z2 = 4- j.6 = 7,2∠-56,3o

I 1 = =−∠=∠

∠= oo

o

ZV

1,23201,535

30100

1

18,70 - j.7,1

I 2 = =∠=−∠∠= o

o

o

ZV

3,8689,133,562,7

30100

2

0,90 + j.13,86

IT = I 1 + I 2 = 19,60 + j.6,76 = 20,73∠21,14o A impedância equivalente é:

Zeq = 00

0

86,882,414,2173,20

30100 ∠=∠∠=

TIV

Exemplo 8: Trocando a reatância capacitiva acima de –j6 por uma indutiva de +j6 Solução: Z1 = 3+ j.4 = 5∠+ 53,1o Z2 = 4+ j.6 = 7,2∠+56,3o

I 1 = =−∠=∠

∠= oo

o

ZV

1,23201,535

30100

1

18,70 - j.7,1

13

I 2 = =−∠=+∠∠= o

o

o

ZV

3,2689,133,562,7

30100

2

12,72 - j.5,58

IT = I 1 + I 2 = 31,42 - j.12,68 = 33,88∠-24,42o A impedância equivalente é:

Zeq = 00

0

42,5495,242,2488,33

30100 +∠=−∠∠=

TIV

IMPEDÂNCIAS EM PARALELO. METODO DAS ADMI TÂNCIAS Se várias impedâncias Z1, Z2 , e Z3 estão ligadas em paralelo a uma voltagem V, tem-se:

321

1111

ZZZZ T

++=

Chama-se admitância o inverso da impedância cujo símbolo é Y. Assim,

Y = Z1

= X.jR

1

+ =

)X.jR(x)X.jR(

X.jR

−++

=2222 XR

X.j

XR

R

+−

+ (14)

YT = Y1 + Y2 + .... YN Exemplo 9 Um circuito em paralelo tem três ramos: Ramo A : ZA = 3 + j10 Ramo B : ZB = 10 Ramo C : ZC = 7 + j4 O circuito é alimentado por uma tensão de 110V. Calcular pelo método das admitâncias a admitância total, a corrente de cada ramo e a corrente total. Solução:

YA = 092,0.j028,010j3

1 −=+

= 0,096∠-73,07o

YB = 1/10 = 0,1 = 0,1∠0o

YC = 4j7

1

+ = 0,11 –j.0,062 = 0,126∠-29,41o

A corrente em cada ramo é: IA = V x YA = 100 ∠0o x 0,096∠-73,07o = 9,6∠-73,07o = 2,80 - j9,18 IB = V x YB = 100 ∠0o x 0,1∠0o = 10 + j.0 IC = V x YC = 100 ∠0o x 0,126∠-29,41o = 12,6∠-29,41o = 10,98 - j.6,18

14

IA + IB + IC = 23,78 - j.15,36 = 28.31∠-32,86o A admitância total do circuito é: YA + YB + YC = 0,238 - j.0,154 = 0,283∠-32,91o A impedância equivalente total do circuito é:

ZT = TY

1 = =

−∠ o91,32283,0

1