37

III. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU

3.1. STRUCTURA ŞI CLASIFICAREA CIRCUITELOR Producerea, transportul şi distribuŃia energiei electromagnetice, precum şi convertirea acesteia în alte forme de energie (mecanică, termică) se realizează cu ajutorul circuitelor electrice. Se numeşte circuit, un ansamblu de generatoare si receptoare cu legătură conductoare între ele. Se numeşte reŃea, un ansamblu de circuite cu legătură electrică între ele. Elementele unui circuit de curent continuu sunt sursele de energie electrică (elemente active) şi rezistoarele electrice (elemente pasive). Mărimile care intervin sunt: tensiunea electromotoare (e), căderea de tensiune sau tensiunea electrică (u), intensitatea curentului electric (i) şi puterea electrică (P). Structura circuitelor se caracterizează prin: laturi (sau ramuri), noduri şi bucle (sau ochiuri). În fig. 3.1. este reprezentat un circuit care conŃine surse (e5 şi e6) şi rezistoare (R1, R2, R3, R4, R5 şi R6). Se numeşte latură (sau ramură) a unui circuit o porŃiune neramificată a sa. De exemplu latura AB, latura BD etc. Numărul de laturi ale unui circuit se notează cu l . În cazul figurii 3.1, 6=l .

Fig. 3.1 Fig. 3.2 Se numeşte nod, punctul de intersecŃie a cel puŃin trei laturi ale circuitului. In figura 3.1. nodurile sunt A, B, C si D. Numărul de noduri ale unui circuit se notează cu n (în fig. 3.1, 4=n ). De la aceste definiŃii face excepŃie circuitul

e5

R1

R4

R5

R6

A

e6

R2

R3

B

C

D

R2 R1

38

neramificat (figura 3.2.) care se consideră că are o singură latură şi un singur nod. Se numeşte ochi al unui circuit, un traseu conductor închis în acel circuit. Numărul de bucle independente ale unui circuit se notează cu litera b . În fig.3.1 pot fi bucle următoarele trasee: ABDA, ABCD etc. Structura oricărei reŃele electrice este complet determinată dacă se cunosc: numărul de laturi ( )l , numărul de noduri

( )n şi numărul buclelor independente ( )b . Se numeşte buclă independentă acea buclă care conŃine cel puŃin o latură necomună cu alte bucle. Există o teoremă (a lui Euler) care dă numărul buclelor independente ale unui circuit. 1+−= nlb (3.1) Circuitele electrice pot fi clasificate după mai multe criterii şi anume: a) După regimul permanent de funcŃionare se deosebesc: circuite de curent continuu (c.c.), caracterizate prin regimul staŃionar şi circuite de curent alternativ (c.a.), caracterizate prin regimul cvasistaŃionar. b) După natura elementelor componente, circuitele electrice pot fi: liniare, neliniare şi parametrice. În cazul circuitelor liniare, parametrii lor (de exemplu, rezistenŃele) nu depind nici de valorile semnalelor u sau i şi nici de timp. În cazul circuitelor neliniare, parametrii lor depind de valorile semnalelor u sau i , iar în cazul circuitelor parametrice depind de timp. c) În funcŃie de localizarea parametrilor, circuitele sunt: cu parametrii concentraŃi, la care parametrii sunt localizaŃi în anumite puncte ale circuitelor; cu parametrii distribuiŃi, la care cel puŃin unul din parametrii circuitului este repartizat după o anumită lege (de exemplu: uniform distribuit, ca în cazul rezistenŃei unei linii lungi de transport a energiei electrice). d) După dimensiunile geometrice ale conductoarelor, circuitele electrice pot fi: filiforme la care dimensiunile secŃiunii transversale ale conductoarelor sunt neglijabile în raport cu lungimea lor (densitatea de curent este aceeaşi în toate punctele secŃiunii lor transversale) şi masive în caz contrar. e) În raport cu sursele se disting: circuite active, care conŃin surse de t.e.m şi circuite pasive în caz contrar. f) După legătura cu exteriorul, circuitele electrice pot fi : izolate electric (complete), la care nu există borne de acces cu exteriorul şi neizolate (incomplete) în caz contrar. Circuitul care are numai două borne de acces cu exteriorul se numeşte dipol electric, iar circuitul care are patru borne de acces cu exteriorul se numeşte cuadripol. g) În raport cu structura lor, circuitele electrice pot fi: neramificate (fig.3.2) şi ramificate (reŃele).

39

3.2. ELEMENTE SPECIFICE CIRCUITELOR ELECTRICE DE CURENT CONTINUU Circuitele de curent continuu (regim electrocinetic staŃionar) sunt caracterizate prin semnale constante de timp, iar transformările de energie care au loc în ele se datoresc numai mişcării ordonate a sarcinilor electrice (disipare de căldură prin efect Joule). Aceste circuite sunt parcurse numai de curenŃi de conducŃie şi pot fi caracterizate printr-un singur parametru de circuit - rezistenŃa electrică R . În consecinŃă, circuitele de curent continuu cuprind un singur tip de element pasiv – rezistorul electric. 3.2.1. Rezistoare Rezistorul ideal este un element pasiv de circuit electric (disipativ de energie electrică) al cărui parametru unic este rezistenŃa electrică R , definită din legea lui Ohm. Rezistoarele, concepute şi construite pentru anumite aplicaŃii tehnice (reglarea tensiunii şi intensităŃii curentului din circuitele electrice, pornirea şi reglarea vitezei la unele motoare electrice, încălzirea electrică etc..) pot fi clasificate după mai multe criterii. După modul de realizare rezistoarele pot fi: a) bobinate, construite prin înfăşurarea unui conductor de mare rezistivitate pe un suport izolant; b) peliculare, realizate prin depunerea unei pelicule rezistive pe un suport izolant; c) de volum, (chimice), executate dintr-un amestec de două sau mai multe faze, dintre care una conductoare (grafit sau negru de fum), având forma cilindrică sau tubulară. În funcŃie de dependenŃa valorii rezistenŃei R , de intensitatea I a curentului care o parcurge, adică după alura caracteristicii lor tensiune - curent

( )IfU = rezistoarele pot fi: a) liniare, la care rezistenŃa R nu variază cu I şi b) neliniare - în caz contrar.

După posibilitatea de modificare a rezistenŃei lor rezistoarele pot fi: a) fixe (cu semnul convenŃional dat în fig. 3.3.a), la care valoarea rezistenŃei R se stabileşte la fabricaŃie şi rămâne practic constantă pe întreaga durată de funcŃionare; b) variabile (fig. 3.3.b şi c), numite şi reostate, a căror rezistenŃă se poate regla. Rezistoarele sunt caracterizate prin rezistenŃa nominală nR , ( )Ω ; puterea nominală nP , (W),

Fig. 3.3 (puterea electrică maximă disipată în rezistor fără ca temperatura acestuia să depăşească valoarea maximă admisă în regim de funcŃionare de lungă durată); tensiunea nominală nU , (V), adică

R

R

R

a.

b.

c.

40

tensiunea maximă care se poate aplica la bornele rezistorului în regim de lungă durată; intervalul temperaturilor de lucru (limitele de temperatură între care se asigură funcŃionarea de lungă durată a rezistorului). 3.2.2. Surse de energie electrică Sursele de curent continuu sunt generatoare de energie electrică caracterizate printr-o t.e.m. constantă în timp şi printr-o rezistenŃă proprie ir numită rezistenŃă internă a sursei. După principiul de funcŃionare, respectiv după natura câmpului electric imprimat caracteristic, sursele de curent continuu pot fi: electrochimice (pile şi acumulatoare electrice), termoelectrice, fotovoltaice, de inducŃie (generatoare rotative de c.c.), etc. 3.2.2.1. Regimuri de funcŃionare ale surselor

Fie o sursă de curent continuu caracterizată prin t.e.m., constantă în timp E şi rezistenŃa internă ir ,

conectată într-un circuit închis pe un rezistor liniar R (fig 3.4.). Sursa E creează în circuit un curent electric de conducŃie, constant în timp, având intensitatea :

irR

EI

+= (3.2)

Fig. 3.4 Curentul I se numeşte curent de sarcină al sursei şi, în raport cu valoarea sa, se disting următoarele regimuri de funcŃionare ale surselor: 1) în gol: 0=I ( )EUR =∞= , ;

2) în sarcină: nII ≤<0 ( )IrERIUR i−==∞≠ ;,0 , unde nI este curentul nominal al sursei şi reprezintă valoarea maximă a intensităŃii curentului electric la care sursa poate funcŃiona în regim de durată (permanent), fără ca să se deterioreze; dacă nII > sursa funcŃionează în suprasarcină şi acest regim de lucru nu este normal; 3) în scurtcircuit, când sci IrEI == ( )0;0 === scRIUR . Regimul de

scurtcircuit este un regim de avarie şi el trebuie evitat întrucât intensitatea scI a

curentului de scurtcircuit poate atinge valori nepermis de mari. În acest scop, circuitele sunt prevăzute cu dispozitive de protecŃie (siguranŃe fuzibile, relee maximale de curent, etc.) care întrerup funcŃionarea surselor în scurtcircuit sau în suprasarcină.

U

ir

E

R

I

I

41

3.2.2.2. Generatoare ideale şi reale de tensiune şi de curent a) Generatorul ideal de tensiune (fig. 3.5.a) este un element activ care are tensiunea la bornele sale EU = riguros constantă, indiferent de valoarea curentului de sarcină debitat. În realitate, generatorul ideal de tensiune nu poate exista deoarece, în regim de scurtcircuit, curentul I de sarcină şi respectiv, puterea debitată IUP ⋅= ar tinde la infinit. Din acest motiv, generatorul real de tensiune (fig. 3.6.a) prezintă o rezistenŃă internă 0≠ir , conectată în serie, iar tensiunea U la bornele sale, având valoarea: IrERIU i−== (3.3) scade cu creşterea curentului de sarcină (fig. 3.6.b).

a. b. a. b. Fig. 3.5 Fig. 3.6 Caracteristica ( )IfU = a unui generator real de tensiune se apropie cu atât

mai mult de cea a generatorului ideal, cu cât rezistenŃa sa internă ir este mai mică. b) Generatorul ideal de curent (fig. 3.7.) este un element activ care debitează un curent cu intensitatea 0II = , riguros constantă, indiferent de valoarea tensiunii U

la bornele sale. Practic, generatorul ideal de curent nu poate exista deoarece, în regim de mers în gol, tensiunea RIU = la bornele sale, respectiv puterea UIP = debitată, ar tinde la infinit. Ca urmare, generatorul real de curent (fig. 3.8.a) are o rezistentă internă iir conectată în paralel cu generatorul ideal, iar curentul debitat, având valoarea:

iir

UII −= 0 (3.4)

scade cu creşterea tensiunii; caracteristica ( )IfU = (fig. 3.8.b) a generatorului real

de curent se apropie de cea a generatorului ideal cu atât mai mult, cu cât rezistenŃa

U

0=ir

E

U

I

E

0

U

ir

E

U

I

E

0

42

sa internă iir este mai mare.

a. b. a. b. Fig. 3.7 Fig. 3.8 Laturile unui circuit pot fi laturi receptoare sau laturi generatoare. Latura este receptoare dacă puterea consumată este pozitivă, adică: 0>=UIP (3.5) Aceasta impune ca sensurile lui U şi I să coincidă. Latura este generatoare dacă puterea consumată este negativă, adică: 0<=UIP (3.6) Aceasta impune ca sensurile lui U şi I să nu coincidă. În funcŃie de relaŃiile (3.5) şi (3.6) se pot găsi patru scheme la care se stabilesc convenŃional sensurile de referinŃă. Ele sunt date în figura 3.9 pentru receptoare şi în figura 3.10 pentru generatoare. Alăturat este figurat simbolic sensul de transmitere a puterii.

Fig. 3.9 Fig. 3.10

În schemele din fig. 3.9, legea lui Ohm se scrie: iReu ⋅=+ (3.7)

I0

U

U

I 0 0I

I0

U iir

U

I 0 0I

i

u

e

R

i

u

e

R

i

u

e

R

i

u

e

R

P P

43

valabilă pentru laturi receptoare. Pentru laturi generatoare (fig. 3.10), legea lui Ohm se scrie: iRue ⋅=− sau iRue ⋅+= (3.8) 3.3. TEOREME ALE CIRCUITELOR DE CURENT CONTINUU 3.3.1. Teoremele lui Kirchhoff a) Prima teoremă a lui Kirchhoff rezultă din legea conservării sarcinii (pe baza căreia s-a demonstrat teorema continuităŃii liniilor de curent, exprimată prin relaŃia (2.15) şi se aplică într-un nod al unui circuit electric. Se consideră o suprafaŃa închisă Σ în interiorul căreia se află nodul q (fig. 3.11)

Aplicăm acestui domeniu Σ forma locală 2. Scindăm integrala în câte elemente avem:

Fig. 3.11

∫∫Σ

==⋅ 0dAJ +⋅∫∫1

11

S

dAJ +⋅∫∫2

22

S

dAJ ∫∫ ⋅3

33

S

dAJ

∫∫Σ

=−+−=⋅ 0321 iiidAJ (3.9)

sau 0=∑

∈qkkI ; ( )1.....,.........2,1 −= nq (3.10)

relaŃie care constituie prima teoremă a lui Kirchhoff şi se enunŃă astfel: într-un nod al unui circuit suma algebrică a intensităŃilor curenŃilor este totdeauna nulă. ConvenŃional, în această sumă, se iau cu semnul plus curenŃii care ies din nod (din suprafaŃa Σ), întrucât sensul lor este acelaşi cu sensul pozitiv al normalei

n la suprafaŃă. Dacă circuitul are n noduri, prima teoremă a lui Kirchhoff se aplică pentru ( )1−n noduri (ecuaŃia de ordinul n , fiind o combinaŃie liniară a primelor

1dA

3J

1J

2J

2dA

3dA

∑

(q)

44

( )1−n ecuaŃii, nu este independentă faŃă de acestea). b) Teorema a doua a lui Kirchhoff rezultă din legea conducŃiei electrice şi se aplică într-un ochi al unui circuit electric.

Se consideră o buclă de circuit (fig. 3.12) care cuprinde nodurile 1, 2, 3, …m şi n. O latură a acestei bucle conŃine elementele kR şi ke , tensiunea la borne

fiind ku , iar curentul din latură ki . Legea conducŃiei electrice pentru această latura este: kkkk iReu =+ (3.11)

Tensiunea ku se mai poate scrie în funcŃie de potenŃialele nodurilor: nmk VVu −= (3.12)

Fig. 3.12 Pentru conturul închis Γ care este chiar bucla considerată a circuitului, rezultă: ( ) ( ) ( ) ( ) 01122 =−+−+−+−=∑ mnnmk VVVVVVVVu (3.13)

Cu această observaŃie relaŃia (3.11), scrisă pentru întreg conturul închis Γ , devine: ∑ ∑

∈ ∈

⋅=pk pk

kkk iRe ; ( )( )1,.........2,1 +−= nlp (3.14)

Aceasta reprezintă teorema a IIa a lui Kirchhoff şi se enunŃă astfel: într-o buclă a unui circuit, suma algebrică a tensiunilor electromotoare ( )ke este egală

cu suma algebrică a căderilor de tensiune ( )kk iR din laturile buclei ( )p

considerate. În relaŃia (3.14) termenii apar cu plus dacă sensul de parcurgere al buclei coincide local cu sensul mărimii respective şi apar cu minus dacă sensurile nu coincid.

Rk

ek

ik

Γ

uk

1

n

2

m

45

3.3.2. Teorema conservării puterilor Prin aplicarea teoremei aI − a lui Kirchhoff într-un nod m oarecare, al unei reŃele de curent continuu, izolată electric (fig. 3.12), rezultă: ∑

∈

=mk

kI 0 , m = 1, 2, …n (3.15)

Multiplicând ecuaŃia (3.15) cu potenŃialul mV al nodului m considerat, se obŃine: ∑

∈

=mk

km IV 0 (3.16)

Scriind ecuaŃiile (3.16) pentru fiecare nod în parte (m=1, 2,…n) şi apoi sumându-le, se obŃine:

∑ ∑= ∈

=n

m mkkm IV

1

0 (3.17)

În suma dublă (3.17) fiecare curent kI apare de doua ori (multiplicat cu

potenŃialele mV şi respectiv nV de la bornele laturii k ) intervenind odată cu

semnul plus ( )km IV+ , atunci când curentul kI iese din nod şi odată cu semnul

minus ( )kn IV− , atunci când curentul kI intră în nod. Deci relaŃia (3.17) poate fi transformată sub forma:

0)(1

=−∑=

n

knmk VVI (3.18)

Sau, Ńinând cont de (3.12), rezultă:

01

=⋅∑=

n

kkk UI (3.19)

în care kk UI ⋅ reprezintă puterea primită pe la borne de latura k . RelaŃia (3.19) reprezintă prima formă de exprimare a teoremei conservării puterilor şi se enunŃă astfel: suma algebrică a puterilor primite pe la borne de toate ramurile unei reŃele de curent continuu izolată electric este egală cu zero.

Dacă în relaŃia (3.19) se înlocuieşte tensiunea kU la bornele laturii k , prin valoarea sa rezultată din relaŃia (3.11) atunci, după efectuarea calculelor, se

46

obŃine:

∑∑==

⋅=⋅n

kkk

n

kkk IRIE

1

2

1

(3.20)

care constituie a doua formă de exprimare a teoremei conservării puterilor şi arată că: suma algebrică a puterilor kk IE ⋅ debitate de sursele unei reŃele electrice este

egală cu suma puterilor 2kk IR ⋅ disipate în rezistenŃele laturilor sale.

Produsul kk IE ⋅ este pozitiv dacă kE şi kI au acelaşi sens de referinŃă, iar

produsul 2kk IR ⋅ este totdeauna pozitiv.

3.3.3. Teorema transferului maxim de putere Fiind dată o sursă de t.e.m. constantă E , cu rezistenŃa internă ir care debitează pe un rezistor cu rezistenŃa R (fig. 3.2.), prezintă interes practic valoarea rezistenŃei R pentru care puterea transmisă rezistorului de sursa E este maximă. Întrucât intensitatea curentului I din circuitul considerat are expresia (3.2), puterea cedată de sursă este:

irR

EIEP

+=⋅=

2

1 (3.21)

iar puterea 2P transmisă rezistorului R are forma:

2

22

2 )( irR

ERIRIUP

+⋅

=⋅=⋅= (3.22)

Puterea transmisă receptorului este maximă dacă:

0)( 2

2222 =

+−

=Rr

RrE

dR

dP

i

i (3.23)

din care rezultă imediat condiŃia de transfer maxim a puterii, respectiv: irR = (3.24) În acest caz, puterea maximă transmisă are valoarea:

47

ir

EP

4

2

max2 = (3.25)

iar, randamentul cu care se face transmisia puterii 2P , în condiŃia (3.24) este:

5,01

2 =+

==irR

R

P

Pη (3.26)

În cazul receptoarelor de putere relativ mare această valoare a randamentului este nesatisfăcătoare. Aşa cum rezultă din (3.26), randamentul transferului de putere tinde către valoarea sa maximă când rezistenŃa internă ir a sursei este neglijabilă în raport cu rezistenŃa de sarcină R . 3.4. TRANSFORMAREA SCHEMELOR CIRCUITELOR LINIARE DE C.C.

În scopul de a simplifica studiul şi rezolvarea circuitelor complexe de curent continuu(c.c.), se recurge la transformarea şi înlocuirea schemelor complicate cu altele mai simple, dar echivalente. Pentru ca două circuite să fie echivalente este necesar ca tensiunile nodurilor şi curenŃii ce intră în noduri să rămână neschimbaŃi.

3.4.1. Transformarea schemelor circuitelor pasive

a) RezistenŃa echivalentă a unor rezistenŃe conectate în serie

a. b. Fig. 3.13

RezistenŃa echivalentă a conexiunii serie (fig. 3.13.b) va fi:

I

URe = (3.27)

U1

I

R1 R2 Rn

U

U2 Un Re

I U

48

RezistenŃele conectate în serie sunt parcurse de acelaşi curent I. În acest caz: nUUUU +++= ...........21 (3.28) în care: IRU 11 = ; IRU 22 = ; ............ IRU nn = Rezultă:

IRIRIRIRUn

kkn ∑

=

=+++=1

21 ............ (3.29)

Prin identificarea relaŃiilor (3.27) şi (3.29) rezultă: rezistenŃa echivalentă a unui grup de rezistenŃe conectate în serie:

∑=

=n

kke RR

1

(3.30)

b) RezistenŃa echivalentă a unor rezistenŃe conectate în derivaŃie (paralel) Două sau mai multe rezistenŃe sunt conectate în derivaŃie (paralel) dacă au la borne aceeaşi tensiune (fig. 3.14.a). Pentru schema din fig. 3.14.a se pot scrie relaŃiile:

a. b. Fig. 3.14

1

1 R

UI = ;

2

2 R

UI = ; ..........

n

n R

UI = (3.31)

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff unui nod, rezultă: nIIII +++= ..........21 (3.32) Înlocuind valorile curenŃilor din relaŃia (3.31) în relaŃia (3.32) se obŃine:

U

I

U R1

I1

R2

I2

Rn

In

Re

I

49

∑=

=

+++=

n

k kn RU

RRRUI

121

11.......

11 (3.33)

Prin identificarea relaŃiilor (3.33) şi (3.27) rezultă expresia rezistenŃei echivalente a unor rezistenŃe conectate în derivaŃie:

∑=

=n

k ke RR 1

11 (3.34)

Evident, conductanŃa echivalentă e

e RG

1= a unor conductanŃe

k

k RG

1= conectate

în derivaŃie are expresia:

∑=

=n

kke GG

1

(3.35)

c) Transfigurarea unei porŃiuni de reŃea electrică constă în înlocuirea acelei porŃiuni cu o altă porŃiune de reŃea, echivalentă cu prima, astfel încât schimbarea să nu producă nici o modificare în repartiŃia curenŃilor din restul reŃelei. Transfigurarea stea-triunghi presupune înlocuirea unui grup de rezistenŃe conectate în stea printr-un grup echivalent de rezistenŃe conectate în triunghi sau invers (fig. 3.15).

Fig. 3.15 Cele două grupări sunt echivalente (curenŃii în noduri şi tensiunile între noduri nu-şi modifică valorile), dacă rezistenŃele echivalente între perechile de noduri omoloage ale celor două conexiuni sunt egale, respectiv:

C

RBC

A

B

RAB

RCA

RC

A

RA

B

RB

C

RBC RAB

RCA

50

( )

( )

( )CABCAB

BCABCAAC

CABCAB

CAABBCCB

CABCAB

CABCABBA

RRR

RRRRR

RRR

RRRRR

RRR

RRRRR

++

+=+

++

+=+

+++

=+

(3.36)

Prin soluŃionarea sistemului (3.36) rezultă:

CABCAB

BCCAC

CABCAB

ABBCB

CABCAB

CAABA

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

++

⋅=

++

⋅=

++⋅

=

(3.37)

Se calculează rezistenŃa conexiunii stea în funcŃie de rezistenŃa conexiunii triunghi. Prin soluŃionarea inversă a sistemului (3.36) se pot obŃine expresiile rezistenŃelor conexiunii triunghi în funcŃie de rezistenŃele conexiunii stea, respectiv:

C

BABAAB R

RRRRR

⋅++=

A

CBCBBC R

RRRRR

⋅++= (3.38)

B

ACACCA R

RRRRR

⋅++=

3.4.2. Transformarea schemelor circuitelor active În acest caz, un grup de laturi active conectate între ele în serie sau în

derivaŃie se înlocuieşte printr-o latură activă echivalentă caracterizată prin t.e.m. echivalentă eE şi rezistenŃa echivalentă eR . a) Pentru o conexiune serie de laturi active (fig. 3.16.a), prin aplicarea legii conducŃiei fiecărei laturi componente, rezultă: IREU 111 =+ ; IREU 222 =+ ; .... IREU nnn =+ (3.39)

51

a. b. Fig. 3.16

łinând cont de egalitatea nUUUU +++= ......21 , prin însumarea relaŃiilor (3.39) se obŃine:

∑∑==

=+n

Kk

n

Kk RIEU

11

(3.40)

Aplicând legea conducŃiei pentru latura activă echivalentă (fig. 3.16.b), rezultă: IREU ee ⋅=+ (3.41) Prin identificarea relaŃiilor (3.40) şi (3.41) se obŃin expresiile:

∑=

=n

kke EE

1

; ∑=

=n

kke RR

1

(3.42)

În relaŃia (3.42) însumarea t.e.m. kE se face algebric, luându-se cu semnul plus tensiunile electromotoare care au acelaşi sens cu curentul, iar cu semnul minus cele care au sens contrar curentului din circuit. b) Dacă laturile active sunt conectate în derivaŃie (fig. 3.17.a), prin aplicarea legii conducŃiei fiecărei laturi, se obŃine:

1

11 R

EUI

+= ;

2

22 R

EUI

+= ; ...........;

n

nn R

EUI

+= (3.43)

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff unui nod, rezultă: nIIII +++= .......21 (3.44) Înlocuind valorile curenŃilor din relaŃia (3.43) în relaŃia (3.44) se obŃine:

R2 Rn

U

U2 Un U1

I

R1 E1 E2 En Re

I

U

Ee

52

∑ ∑= =

+=n

K

n

k k

k

k R

E

RUI

1 1

1 (3.45)

Aplicând legea conducŃiei laturii active echivalente (fig. 3.17.b) rezultă:

e

e

e R

E

R

UI += (3.46)

a. b. Fig. 3.17

Prin identificarea relaŃiilor (3.45) şi (3.46) se obŃin expresiile:

∑=

=n

k ke RR 1

11;

∑

∑

=

==n

k k

n

k k

k

e

R

R

E

E

1

1

1 (3.47)

Prin utilizarea conductanŃelor, expresiile (3.47) devin:

∑=

=n

kke GG

1

;

∑

∑

=

=

⋅=

n

kk

n

kkk

e

G

EGE

1

1 (3.48)

În relaŃiile (3.47) şi (3.48) se consideră pozitive t.e.m. kE care au acelaşi

sens cu t.e.m. echivalente eE . c) EchivalenŃa dintre un generator real de tensiune şi un generator real de curent Pentru ca un generator real de tensiune (caracterizat prin tensiunea electromotoare E şi rezistenŃa interioară /

ir ) să fie echivalent cu un generator real

U

I

E1

R1

I1

E2

R2

I2

En

Rn

In

U

I

Ee

Re

53

de curent (caracterizat prin curentul debitat 0I şi rezistenŃa interioară //ir ), este

necesar ca RI , curentul debitat pe aceeaşi rezistenŃă R să fie acelaşi în ambele cazuri. Generatorul real de tensiune (fig. 3.18.a) debitează pe rezistenŃa R curentul:

/

/

i

R rR

EI

+= (3.49)

a. b. Fig. 3.18 iar generatorul real de curent (fig. 3.18.b) debitează pe aceeaşi rezistenŃă R curentul:

//

//

0//

i

iR rR

rII

+⋅= (3.50)

Din relaŃiile (3.49) şi (3.50) se obŃine condiŃia de echivalenŃă a celor două surse reale: iii rrr == /// şi irIE ⋅= 0 (3.51)

3.5. METODE DE ANALIZĂ A CIRCUITELOR

LINIARE DE CURENT CONTINUU Problema de analiză a circuitelor presupune cunoscute: structura circuitului (laturi şi noduri), parametrii circuitului (toate rezistenŃele kR ), sursele (generatoarele de tensiune sau de curent) şi se cere să se determine: curenŃii prin laturi, tensiunile între noduri, puterile consumate sau furnizate de către laturi. Pentru analiza unui circuit electric liniar sunt necesare următoarele etape: - se fixează, arbitrar, pentru fiecare latură, un sens pozitiv al curentului (care se indică prin săgeŃi pe schema circuitului); - se scrie sistemul de ecuaŃii care descrie funcŃionarea circuitului, rezultat prin aplicarea legilor şi teoremelor circuitelor de c.c. ; - se rezolvă sistemul de ecuaŃii, determinându-se curenŃii necunoscuŃi; dacă în

I0

U R //ir U

/ir

E

R

/RI

//RI

54

urma rezolvării sistemului de ecuaŃii unii curenŃi rezultă cu valori negative, atunci sensul lor real este opus celui ales iniŃial; - se verifică rezultatele obŃinute, folosind de exemplu, teorema conservării puterilor.

3.5.1. Metode de analiză a circuitelor de curent continuu cu obŃinerea răspunsului pe toate laturile

a) Metoda teoremelor lui Kirchhoff Analiza circuitelor prin utilizarea teoremelor lui Kirchhoff constituie

metoda generală de calcul a circuitelor electrice. Ea poate fi aplicată circuitelor liniare şi neliniare, în regim staŃionar sau periodic sinusoidal. Analiza unui circuit prin această metodă necesită parcurgerea următoarelor etape: 1) se stabileşte numărul de noduri ale reŃelei n 2) se stabileşte numărul de laturi l 3) se aleg sensuri de referinŃă arbitrare pentru curenŃii din laturi 4) se scriu l ecuaŃii Kirchhoff astfel: ( )1−n ecuaŃii cu prima teoremă Kirchhoff şi

( )1+− nl ecuaŃii cu a doua teoremă Kirchhoff.

5) se rezolvă sistemul de l ecuaŃii cu l necunoscute. CurenŃii a căror valoare a rezultat pozitivă, din rezolvarea ecuaŃiilor, au efectiv sensul stabilit la punctul 3); curenŃii a căror valoare a rezultat negativă au sensul efectiv opus celui stabilit la punctul 3). 6) pentru a verifica rezultatul, se poate verifica teorema a doua a lui Kirchhoff, pentru ochiuri nefolosite la scrierea ecuaŃiilor de la punctul 4) şi se efectuează bilanŃul energetic, adică se verifică egalitatea dintre suma algebrică a puterilor debitate de surse şi suma (totdeauna pozitivă) a puterilor consumate de rezistenŃe:

∑ ∑= =

=⋅l

k

l

kkkkk IRIE

1 1

2 (3.52)

În prima sumă puterea debitată de o sursă este IE ⋅ , dacă sensul tensiunii electromotoare coincide cu cel ales pentru curent şi este IE ⋅− dacă aceste sensuri nu coincid. În bilanŃ curenŃii se introduc cu valorile algebrice calculate la punctul 5). Datorită numărului mare de ecuaŃii ale sistemului de rezolvat, metoda de analiză a circuitelor electrice prin aplicarea directă a teoremelor lui Kirchhoff se utilizează rar. În continuare se prezintă câteva metode de rezolvare a circuitelor care conduc la simplificarea calculului.

b) Metoda suprapunerii efectelor (a superpoziŃiei) Conform acestei teoreme, curentul electric dintr-o latură a unui circuit în

care există mai multe surse este suma algebrică a curenŃilor produşi în acea latură

55

de fiecare sursă în parte, dacă ar acŃiona singură în circuit, celelalte fiind scurtcircuitate sau înlocuite cu rezistenŃa lor interioară (dacă au rezistenŃă interioară diferită de zero). Această teoremă este valabilă numai în circuite liniare. Pentru demonstraŃie se consideră un circuit cu l laturi şi n noduri în care se scriu teoremele lui Kirchhoff:

∑∈

=qk

kI 0 ; ( )( )1.......,,.........2,1 −= nq (3.53)

∑ ∑∈ ∈

=pk pk

kkk EIR ; ( )bp .....,,.........2,1= (3.54)

unde b este numărul buclelor independente ( )1+−= nlb . Acest sistem de ecuaŃii fiind liniar, rezolvându-l se obŃin curenŃii sub forma:

∑=

⋅=l

kkjkj EGI

1

; ( )lj .....,,.........2,1= (3.55)

CoeficienŃii jkG se numesc în acest caz conductanŃe de transfer între

laturile j şi k şi satisfac condiŃia de reciprocitate: kjjk GG = . RelaŃia (3.55) se scrie

dezvoltat astfel: .........2211 +⋅++⋅+⋅= kjkjjj EGEGEGI

Notând: 111 EGI jj ⋅= , 222 EGI jj ⋅= , ......., kjkjk EGI ⋅= (3.56)

unde 1jI este curentul produs de sursa din latura 1 în latura j , etc..., rezultă:

∑=

=l

kjkj II

1

(3.57)

relaŃie care demonstrează teorema enunŃată mai sus. Exemplu: Circuitul din figura 3.19.a, care conŃine două surse, se poate rezolva prin metoda suprapunerii efectelor, descompunându-l în două circuite în care acŃionează separat cele două surse (fig. 3.19.b şi fig. 3.19.c). Rezolvând separat cele două circuite, se obŃin respectiv curenŃii /

kI şi //kI

( )3,2,1=k . CurenŃii reali din schema 3.19.a sunt daŃi apoi de relaŃiile:

56

//1

/11 III −= ; /

2//22 III −= ; //

3/33 III +=

Dacă se dau următoarele valori numerice: 361 =E V, 182 =E V,

201 =R Ω , 302 =R Ω ; 603 =R Ω curenŃii din schema din fig. 3.19.b vor avea valorile:

( )

ARRRRRR

ERR

RR

RRR

EI 9.0

313221

132

32

321

1/1 =

++

⋅+=

+

⋅+

=

ARRRRRR

ER

RR

RII 6.0

313221

12

32

3/1

/2 =

++⋅

=+

⋅=

ARRRRRR

ER

RR

RII 3.0

313221

12

32

2/1

/3 =

++⋅

=+

⋅=

a. b. c.

Fig. 3.19

iar curenŃii din schema din fig. 3.19.c vor avea valorile:

( )

ARRRRRR

ERR

RR

RRR

EI 4.0

313221

231

31

312

2//2 =

++

⋅+=

+

⋅+

=

ARRRRRR

ER

RR

RII 3.0

313221

23

31

3//2

//1 =

++

⋅=

+⋅=

ARRRRRR

ER

RR

RII 1.0

313221

21

31

1//2

//3 =

++⋅

=+

⋅=

R3

E1

I2 I1 I3

E2

R1 R2

R3

E1

/2I /

1I /3I

R1 R2 R3

//2I

//1I

//3I

E2

R1 R2 = +

57

Prin suprapunerea efectelor se obŃin curenŃii reali în circuitul din fig. 3.19.a: AIII 6.0//

1/

11 =−=

AIII 2.0//1

//22 −=−=

AIII 4.0//3

/33 =+=

Se observă că sensul curentului 2I este negativ. Aceasta înseamnă că în

realitate curentul 2I circulă în sens contrar celui indicat de săgeată în fig. 3.19.a. c) Metoda curenŃilor ciclici

Această metodă, avantajoasă în cazul reŃelelor electrice cu un număr l de laturi mult mai mare decât numărul b al buclelor independente, permite reducerea numărului de ecuaŃii ale sistemului de rezolvat de la l la b prin introducerea de noi variabile numite curenŃi ciclici (independenŃi sau de bucle). Aceşti curenŃi de bucle circulă fictiv pe un drum închis prin buclele independente, în sensul atribuit arbitrar buclei respective şi ei se notează cu //

2/

1 ,.......,, jIII . Curentul real kI care circulă

printr-o latură oarecare k a circuitului se va obŃine ca o sumă algebrică a acestor curenŃi fictivi ce străbat latura considerată:

∑

∈

=kj

jk II / (3.58)

(semnul ∈ indică faptul că curentul fictiv /

jI străbate latura k ); se iau cu semnul

plus curenŃii ciclici care au acelaşi sens cu sensul convenŃional al curentului real din latura k şi invers. CurenŃii ciclici /

jI se obŃin prin soluŃionarea sistemului de b

ecuaŃii obŃinut în urma aplicării teoremei a doua a lui Kirchhoff în cele b ochiuri independente ale reŃelei. ∑ ∑

∈ ∈

=pk pk

kkk EIR ( )bp ,,.........2,1= (3.59)

în care latura k aparŃine ochiului p , iar ∑

∈pkkE reprezintă suma algebrică a t.e.m.

din ochiul p . Se iau cu semnul plus t.e.m. kE care au acelaşi sens cu sensul

curentului ciclic /pI ataşat ochiului p . Din (3.59), Ńinând cont de (3.58), rezultă:

58

∑ ∑ ∑∈ ∈ ∈

=pk kj pk

kjk EIR / (3.60)

Ordonând acum după curenŃi, se obŃine sistemul căutat:

∑ ∑= ∈

=b

k pkkjkj EIR

1

/ ( )bj ,,.........2,1= (3.61)

În acest sistem, coeficienŃii au următoarele semnificaŃii: kkR este suma

tuturor rezistenŃelor din bucla independentă cu indice k ; kjR este suma algebrică a

tuturor rezistenŃelor laturilor comune buclelor independente k şi j . În această sumă apar cu semnul plus acele rezistenŃe care sunt străbătute de către curenŃii fictivi /

kI şi /jI în acelaşi sens şi apar cu minus dacă curenŃii fictivi le străbat în

sensuri contrarii. Evident, 0≠kjR numai dacă buclele independente k şi j au cel

puŃin o latură comună. Exemplu: Să se determine prin metoda curenŃilor ciclici, intensităŃile curenŃilor din laturile circuitului prezentat în figura 3.20, pentru care se cunosc:

VEE 1021 == ; Ω== 121 RR ; Ω=== 2543 RRR , numărul laturilor 5=l ,

numărul nodurilor 3=n .

Fig. 3.20 Rezolvare: Numărul ochiurilor independente 31=+−= nlb . Se aleg arbitrar cele trei ochiuri independente şi li se asociază curenŃii ciclici /

2/

1 , II şi /3I . Prin

particularizarea sistemului (3.61), rezultă:

/2I /

1I

/3I

3

I1 I2

1

2 E2

R1 R2

R3

E1

R5 R4

I4

I3

I5

59

/3

/333

/232

/131

/2

/323

/222

/121

/1

/313

/212

/111

EIRIRIR

EIRIRIR

EIRIRIR

=++

=++

=++

(3.62)

în care: Ω=+= 35111 RRR

02112 == RR

Ω=== 253113 RRR

Ω=+= 34222 RRR

Ω−=−== 243223 RRR

Ω=++= 654333 RRRR

VEE 101/

1 == ; VEE 102/2 −=−= ; 0/

3 =E . Înlocuind coeficienŃii prin valorile lor, sistemul (3.62) devine:

0622

1023

1023

/3

/2

/1

/3

/2

/3

/1

=+−

−=−

=+

III

II

II

(3.63)

Rezolvând sistemul (3.63), se obŃin curenŃii ciclici: AI 6/

1 = ; AI 6/2 −= ; AI 4/

3 −= CurenŃii reali din laturile circuitului reprezentat în fig. 3.20, calculaŃi cu relaŃia (3.58) sunt: AII 6/

11 ==

AII 6/22 =−=

AII 4/33 =−=

AIII 264/2

/34 =+−=−=

AIII 246/3

/15 =−=+=

d) Metoda potenŃialelor în noduri

Această metodă, avantajoasă în cazul în care numărul n de noduri ale unui circuit este mult mai mic decât numărul l de laturi, permite reducerea de la l la ( )1−n a numărului de ecuaŃii ale sistemului de rezolvat. Pentru aplicarea metodei

60

se alege un nod n de referinŃă şi se consideră că potenŃialul său este nul: 0=nV (3.64) Se notează cu ( )1,.......,,.........2,1 −nj cele ( )1−n noduri independente şi se

aplică teorema aI − a lui Kirchhoff în unul din noduri (de exemplu j ):

∑=

=n

kjkI

1

0 ; ( )1,,.........2,1 −= nj ; jk ≠ (3.65)

în care jkI reprezintă intensitatea curentului din latura jk mărginită de nodurile

j şi k . ( 0=jkI , dacă nodurile j şi k nu sunt noduri vecine). Din legea conducŃiei

electrice, scrisă pentru latura jk (fig. 3.21), rezultă:

jkjkjkjk IREU ⋅=+ (3.66)

de unde se obŃine:

Fig. 3.21 jkjkjkjkjk GEGUI ⋅+⋅= (3.67)

Dacă 0=jkU (regimul de scurtcircuit al laturii active):

jkjkjk GEI

sc⋅= (3.68)

şi deci, în relaŃia (3.67), jkjkGE reprezintă curentul de scurtcircuit al laturii jk , iar

jkG conductanŃa laturii. Dacă între nodurile j şi k sunt conectate în paralel mai

multe laturi, jkG este egală cu suma tuturor conductanŃelor acestor laturi, iar

jkjk GE ⋅ este suma algebrică a curenŃilor de scurtcircuit ai laturilor respective. Din

(3.65), Ńinând cont de (3.67) rezultă:

∑∑==

=⋅+⋅n

kjkjk

n

kjkjk EGUG

11

0 ; ( )1.,,.........2,1 −= nj ; jk ≠ (3.69)

Exprimând tensiunea jkU în funcŃie de potenŃialele nodurilor j şi k ,

Rjk Ejk

Ujk

Ijk

61

respectiv: kjjk VVU −= (3.70)

relaŃia (3.69) devine:

∑∑∑===

=⋅+⋅−

⋅

n

kjkjk

n

kkjk

n

kjkj EGVGGV

111

0 (3.71)

( )1.....,,.........2,1 −= nj ; jk ≠ Notând cu:

∑=

+++==n

kjnjjjkjj GGGGG

121 ...... ; kj ≠ (3.72)

suma conductanŃelor laturilor incidente nodului j , sistemul (3.71) devine final:

∑ ∑= =

⋅−=⋅−⋅n

k

n

kjkjkkjkjjj EGVGVG

1 1

(3.73)

( )1.....,,.........2,1 −= nj ; jk ≠

Pentru fiecare nod independent ( )[ ]1..,,.........2,1 −= nj se obŃine câte una

din ecuaŃiile sistemului (3.73). CurenŃii de scurtcircuit jkjk EG ⋅ ai surselor jkE se

iau cu semnul plus dacă ies din nodul j şi cu semnul minus în caz contrar.

Rezolvând sistemul (3.73) se obŃin potenŃialele 1V , 2V , ......, 1−nV ale nodurilor independente. Se calculează apoi cu relaŃiile (3.70), tensiunile ramurilor şi cu (3.67) curenŃii din laturi.

Exemplu: Să se determine, prin metoda potenŃialelor în noduri, curenŃii din laturile circuitului dat în fig. 3.20. Circuitul analizat are 3=l , 3=n , (deci

3121 =+−=<=− nlbn ). Rezolvare: Se notează cu 1, 2 ,3 nodurile circuitului şi se alege nodul 3 ca

nod de referinŃă, având potenŃialul 03 =V . PotenŃialele 1V şi 2V ale nodurilor independente 1 şi 2 rezultă din soluŃia sistemului de ecuaŃii:

( )2211222121

11212111

EGEGVGVG

EGVGVG

⋅−⋅−=⋅+⋅−

⋅=⋅−⋅ (3.74)

obŃinut prin particularizarea sistemului (3.73) pentru 1=j , respectiv 2. Se calculează:

62

153111 2

2

1

2

1

1

1 −Ω=++=++= GGGG

1542122 3

2

1

2

1

1

1

1

1 −Ω=+++=+++= GGGGG

1512112 2

3

2

1

1

1 −Ω=+=+== GGGG (3.75)

AEGI sc 101

10111 ==⋅=

AEGI sc 101

10222 ==⋅=

Înlocuind (3.75) în (3.74) rezultă:

032

3

02

32

21

21

=⋅+⋅−

=⋅−⋅

VV

VV (3.76)

cu soluŃiile: VV 81= ; VV 42 = Utilizând legea conducŃiei (3.67) se calculează intensităŃile curenŃilor ( )03 =V :

( ) ( ) AGEGVVI 61

10

1

184111121 =+⋅−=⋅+⋅−=

( ) AGEGVVI 61

10

1

14222232 =+⋅−=⋅+⋅−=

( ) AGVVI 42

183313 =⋅=⋅−=

( ) AGVVI 22

144324 =⋅=⋅−=

( ) ( ) AGVVI 22

1485215 =⋅−=⋅−=

Aceste valori sunt identice cu cele obŃinute prin metoda curenŃilor ciclici.

63

ri=Re

Ee=U0

I

A

U0 R

B

A

R

B

Ek, rik

k=1,2,…n

3.5.2. Metode de analiză a circuitelor de curent continuu cu obŃinerea răspunsului pe o singură latură

Adesea, în circuitele electrice complexe, interesează aflarea curentului numai pe o singură latură a circuitului. În aceste cazuri se pot utiliza metode de analiză bazate pe teoremele generatoarelor echivalente de tensiune şi de curent.

a) Teorema generatorului echivalent de tensiune (a lui Thévenin) “unui dipol liniar activ i se poate ataşa drept schemă echivalentă un generator real de tensiune având t.e.m. egală cu tensiunea la gol la bornele dipolului şi rezistenŃa internă egală cu rezistenŃa echivalentă a dipolului pasivizat (fără t.e.m.)” Prin urmare, orice reŃea liniară activă având două borne de acces cu exteriorul, A şi B (fig. 3.22.a), se poate substitui printr-un generator real de tensiune, echivalent (fig. 3.22.b) având t.e.m. eE egală cu tensiunea la mers în gol a

reŃelei 0U şi rezistenŃa internă ir egală cu rezistenŃa echivalentă a reŃelei pasivizate

eR (rezistenŃă calculată între bornele A,B după eliminarea surselor de t.e.m. kE , cu

păstrarea rezistenŃelor interne ikr ). De fapt, teorema generatorului echivalent este o consecinŃă imediată a transformării circuitelor liniare care permite înlocuirea, din aproape în aproape, a oricărui circuit ramificat cu un generator echivalent real de tensiune sau de curent. Dacă la bornele A, B ale reŃelei (sau generatorului echivalent) se conectează un rezistor R , intensitatea curentului I prin R are expresia (legea lui Ohm):

eRR

UI

+= 0 (3.77)

a. b. Fig. 3.22

Practic, analiza circuitelor electrice prin metoda generatorului echivalent se bazează pe relaŃia (3.77) şi presupune următoarele etape:

64

- fiind dată o reŃea liniară oarecare, se întrerupe latura al cărei curent trebuie determinat, înlăturându-se rezistenŃa sa R din schemă; - se determină (utilizând teoremele lui Kirchhoff) tensiunea de mers în gol 0U la bornele laturii întrerupte; - se calculează rezistenŃa echivalentă eR a reŃelei pasivizate (“văzută“ de la bornele

laturii întrerupte); - utilizând relaŃia (3.77), se determină intensitatea curentului laturii R . Exemplu: Să se determine, prin metoda generatorului echivalent de tensiune, curentul 1I prin rezistenŃa 1R a circuitului dat în fig. 3.19.a.

Rezolvare: Se întrerupe latura 1R , înlăturând din schemă rezistenŃa sa 1R (fig. 3.23.a) şi se calculează, aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff, tensiunea de mers în gol 0U a dipolului astfel obŃinut.

a. b. Fig. 3.23

VRR

EREIREU 24

6030

186030

32

231310 =

+⋅−=

+⋅−=⋅−=

Se pasivizează circuitul, ca în (fig. 3.23.b), şi se determină rezistenŃa echivalentă

eR a dipolului pasivizat.

Ω=+⋅

=+

⋅= 20

6030

6030

32

32

RR

RRRe

Utilizând relaŃia (3.77) se calculează curentul:

ARR

UI

e

6.02020

24

1

01 =

+=

+=

R3

E1

B

A

I

E2

U0 R2

R3

B

A

Re R2

65

b) Teorema generatorului echivalent de curent (a lui Norton)

Aceasta este o teoremă duală celei lui Thévenin şi ea poate fi dedusă formal din aceasta, dacă se Ńine cont de dualitatea: ABAB UI → ; ABscAB IU →0 ; GR→ RelaŃia duală relaŃiei (3.77) este deci:

0AB

ABscAB GG

IU

+= (3.78)

Aceasta reprezintă teorema lui Norton şi se enunŃă astfel: căderea de tensiune produsă pe o rezistenŃă R , legată în latura AB a unei reŃele active, este egală cu raportul dintre curentul de scurtcircuit al laturii şi suma dintre conductanŃa laturii şi conductanŃa reŃelei pasivizate, între punctele A şi B. Metoda este avantajoasă, dacă GGAB <<0 , iar în acest caz rezultă: ABscAB IRU ⋅≅ (3.79)