circitos rc

8/20/2019 Circitos RC

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Circuitos RC

Luis Alejandro Dueñas Bulla, Código: 25161417

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1. Introducción

Los circuitos RC están formados por resistores y condensadores, los cuales están alimentados por unafuente eléctrica. El circuito RC mas simple es uno formado por un resistor y un condensador, donde estostienen la propiedad que si el condensador esta cargado inicialmente su carga este empezara a decrecerde forma exponencial a través del resistor. Una aplicación interesante de estos circuitos es que puedenltrar señales eléctricas bloqueando ciertas frecuencias y dejando pasar otras de acuerdo a la frecuencia

del circuito. El propósito de este informe fue medir la diferencia de potencial en dos condensadores cuandoestos están cargándose y descargándose en diferentes conguraciones del circuito, comparando sus capa-citancias teóricas y experimentales.

A continuación se muestra la teoría necesaria para comprender mejor los resultados experimentales.

Voltaje en función del tiempo en el circuito RC cuando el condensador se esta cargan-do

Figura 1: Circuito RC

Usando las leyes de kircho y la ley de Ohm para el circuito de la gura 1, podemos llegar a la siguienteecuación diferencial que modela la carga en el condensador cuando este se carga:

dqdt

+ qRC

= voR

(1)

Cuya solución es:

q (t) = voC (1 − e−

t

RC ) (2)

1


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Como V (t) = q(t)C

entonces:

V (t) = vo(1 − e−

t

RC ) (3)

Donde V (t) es el voltaje en el condensador, vo es el voltaje de la batería, R el resistor y C la capaci-tancia del condensador.

Voltaje en función del tiempo en el circuito RC cuando el condensador se esta descar-gando

Figura 2: Circuito RC

Usando las leyes de kircho y la ley de Ohm para el circuito de la gura 1, podemos llegar a la si-guiente ecuación diferencial que modela la carga en el condensador cuando este se descarga:

dqdt

+ qRC

= 0 (4)

Cuya solución es:

q (t) = q oe−

t

RC (5)

Como V (t) = q(t)C

entonces:

V (t) = v0e−

t

RC (6)

Donde V (t) es el voltaje en el condensador, vo es el voltaje inicial del condensador, R el resistor y C la capacitancia del condensador.

Condensadores en serie y paralelo

Los condensadores en serie están conectados uno seguido de otro, con la propiedad que cada placa delcondensador tienen la misma carga inducida y la capacitancia equivalente es:

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C eq = 1

1

C 1+ 1C 2

+...+ 1C N

(7)

Para condensadores en paralelo sus terminales están conectadas a un mismo punto y tienen la propiedadque su diferencia de potencial es igual al voltaje de la batería donde su capacitancia equivalente es:

C eq = C 1 + C 2 + ... + C N (8)

Regresión logarítmica de las ecuaciones (3) y (6)

La ecuación (3) se puede escribir de la siguiente forma:

1 − vvo

= e− t

RC (9)

Sacando logaritmo natural a ambos lados se tiene:

ln(1 − vvo

) = − tRC

(10)

De forma similar la ecuación (6) se escribe así:

ln( vvo

) = − tRC

(11)

Las ecuaciones (10) y (11) dicen que si gracamos ln(1 − vvo

) o ln( vvo

) en función del tiempo obten-

dremos una linea recta de pendiente − tRC

.

Objetivos

Los objetivos de este informe son los siguientes:

Comprobar las relaciones (7) y (8).Comprobar que la regresión logarítmica del voltaje en función del tiempo es una linea recta dondesu pendiente es −1

RC .

Encontrar el valor numérico de las capacitancias usando el método de mínimos cuadrados, y com-pararlos con el valor de las capacitancias teóricas.

2. Materiales y Métodos

Para la realización del siguiente informe se utilizaron los siguientes instrumentos:

Multímetro

Dos condensadores

Una resistencia

Cables caimán

Fuente de voltaje

Cronómetro

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A continuación se presentan los pasos seguidos para obtener las mediciones experimentales:

1. Se midió el valor de la resistencia con el multímetro.

2. Se forma el circuito resistencia-fuente de voltaje-condensador 1-multímetro, cuando el condensador 1se esta cargando, donde el multímetro esta en paralelo con el condensador 1, y el condensador 1 estaen serie con la resistencia y la fuente de voltaje, luego se enciende la fuente de voltaje, estableciendoun valor constante de 5 voltios, para luego medir el voltaje con el multímetro, anotando voltaje enfunción del tiempo, para varios valores. El procedimiento anterior es similar cuando el condensador2 se esta cargando.

3. Después que se carga el condensador 1, se retira la fuente de voltaje y se completa el circuito,midiendo voltaje con el multímetro en función del tiempo para varios valores. Este procedimientoes similar para el condensador 2.

4. Se forma el circuito resistencia-fuente de voltaje-condensador 1-condensador 2-multímetro, cuandolos condensadores se están cargando, donde el multímetro esta en paralelo con el condensador 1 y2 y estos condensadores están en serie con la resistencia y la fuente de voltaje, los condensadores seencuentran en paralelo, luego se enciende la fuente de voltaje, estableciendo un valor constante de 5voltios, para luego medir el voltaje con el multímetro, anotando voltaje en función del tiempo, paravarios valores. Este procedimiento es similar cuando los condensadores se encuentran en serie.

5. Después que se cargan los condensadores se retira la fuente de voltaje y se completa el circuito paraluego medir voltaje con el multímetro en función del tiempo para varios valores. Este procedimientoes similar cuando los condensadores están en paralelo.

3. Medidas

Tabla 1. Voltajes medidos V, en función del tiempo ,cuando el condensador 1 se esta cargando.

Tiempo (± 0.1 s) Voltaje (± 0.01 v) Tiempo (± 0.1 s) Voltaje (± 0.01 v)

0.0 0.00 126.0 2.856.0 0.19 132.0 2.93

12.0 0.40 138.0 3.01

18.0 0.60 144.0 3.09

24.0 0.70 150.0 3.17

30.0 0.93 160.0 3.30

36.0 1.10 170.0 3.40

42.0 1.24 180.0 3.50

48.0 1.38 190.0 3.60

54.0 1.54 200.0 3.69

60.0 1.66 210.0 3.78

66.0 1.80 220.0 3.8572.0 1.92 230.0 3.93

78.0 2.04 240.0 3.99

84.0 2.15 250.0 4.06

90.0 2.27 280.0 4.24

96.0 2.38 310.0 4.34

102.0 2.47 340.0 4.42

108.0 2.58 370.0 4.54

114.0 2.67 420.0 4.70

120.0 2.76 480.0 4.80

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Tabla 2. Voltajes medidos V, en función del tiempo, cuando el condensador 1 se esta descargando.


0.0 4.99 126.0 2.16

6.0 4.76 132.0 2.07

12.0 4.56 138.0 1.99

18.0 4.39 144.0 1.90

24.0 4.22 150.0 1.83

30.0 4.06 160.0 1.72

36.0 3.90 170.0 1.61

42.0 3.73 180.0 1.51

48.0 3.60 190.0 1.41

54.0 3.47 200.0 1.33

60.0 3.32 210.0 1.24

66.0 3.20 220.0 1.16

72.0 3.07 230.0 1.09

78.0 2.95 240.0 1.02

84.0 2.83 250.0 0.96

90.0 2.73 280.0 0.79

96.0 2.61 310.0 0.65

102.0 2.51 340.0 0.54

108.0 2.41 370.0 0.44

114.0 2.32 400.0 0.36

120.0 2.23 460.0 0.25

Tabla 3. Voltajes medidos V, en función del tiempo, cuando el condensador 2 se esta cargando.


0.0 0.00 66.0 3.26

3.0 0.25 69.0 3.326.0 0.52 72.0 3.41

9.0 0.68 75.0 3.48

12.0 0.87 80.0 3.60

15.0 1.10 85.0 3.70

18.0 1.29 90.0 3.79

21.0 1.42 95.0 3.89

24.0 1.60 100.0 3.97

27.0 1.76 105.0 4.05

30.0 1.90 110.0 4.12

33.0 2.07 115.0 4.19

36.0 2.18 120.0 4.2539.0 2.31 135.0 4.40

42.0 2.46 150.0 4.53

45.0 2.55 165.0 4.63

48.0 2.67 180.0 4.71

51.0 2.81 195.0 4.77

54.0 2.97 225.0 4.86

60.0 3.05 255.0 4.92

63.0 3.16 285.0 4.96

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Tabla 4. Voltajes medidos V, en función del tiempo, cuando el condensador 2 se esta descargando.


0.0 5.01 66.0 1.87

3.0 4.73 69.0 1.78

6.0 4.46 72.0 1.70

9.0 4.30 75.0 1.62

12.0 4.12 80.0 1.5415.0 3.92 85.0 1.44

18.0 3.73 90.0 1.35

21.0 3.58 95.0 1.25

24.0 3.43 100.0 1.16

27.0 3.26 105.0 1.07

30.0 3.12 110.0 1.00

33.0 2.97 115.0 0.93

36.0 2.83 120.0 0.85

39.0 2.69 135.0 0.74

42.0 2.56 150.0 0.69

45.0 2.47 165.0 0.56

48.0 2.36 180.0 0.45

51.0 2.24 195.0 0.36

54.0 2.15 220.0 0.29

60.0 2.05 235.0 0.23

63.0 1.95 265.0 0.15

Tabla 5. Voltajes medidos V, en función del tiempo cuando el condensador 1 y 2 están es serie ycargándose.


0.0 0.00 42.0 3.092.0 0.22 44.0 3.14

4.0 0.47 46.0 3.22

6.0 0.61 48.0 3.31

8.0 0.83 50.0 3.39

10.0 1.00 54.0 3.44

12.0 1.20 58.0 3.51

14.0 1.39 62.0 3.69

16.0 1.54 66.0 3.70

18.0 1.71 70.0 3.80

20.0 1.84 74.0 3.92

22.0 1.97 78.0 4.0424.0 2.09 82.0 4.09

26.0 2.21 86.0 4.17

28.0 2.35 90.0 4.24

30.0 2.48 94.0 4.31

32.0 2.58 98.0 4.37

34.0 2.70 102.0 4.42

36.0 2.79 106.0 4.50

38.0 2.88 114.0 4.59

40.0 2.99 122.0 4.66

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Tabla 6. Voltajes medidos V, en función del tiempo cuando el condensador 1 y 2 están es serie ydescargándose.


0.0 5.02 42.0 1.92

2.0 4.86 44.0 1.83

4.0 4.72 46.0 1.76

6.0 4.33 48.0 1.69

8.0 4.12 52.0 1.50

10.0 3.91 56.0 1.37

12.0 3.75 60.0 1.25

14.0 3.57 64.0 1.12

16.0 3.42 68.0 1.05

18.0 3.29 72.0 0.95

20.0 3.16 76.0 0.89

22.0 3.03 80.0 0.80

24.0 2.88 84.0 0.74

26.0 2.77 88.0 0.67

28.0 2.60 96.0 0.57

30.0 2.50 104.0 0.48

32.0 2.40 112.0 0.40

34.0 2.31 120.0 0.34

36.0 2.19 128.0 0.29

38.0 2.11 138.0 0.19

40.0 2.02 148.0 0.13

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Tabla 7. Voltajes medidos V, en función del tiempo cuando el condensador 1 y 2 están en paralelo ycargándose.


0.0 0.00 42.0 2.45

2.0 0.15 44.0 2.52

4.0 0.33 46.0 2.60

6.0 0.47 48.0 2.68

8.0 0.61 52.0 2.74

10.0 0.74 56.0 2.93

12.0 0.87 60.0 3.10

14.0 1.00 64.0 3.25

16.0 1.13 68.0 3.40

18.0 1.26 72.0 3.53

20.0 1.38 76.0 3.64

22.0 1.50 80.0 3.74

24.0 1.60 84.0 3.83

26.0 1.71 88.0 3.90

28.0 1.81 96.0 3.97

30.0 1.92 104.0 4.08

32.0 2.01 112.0 4.16

34.0 2.10 120.0 4.22

36.0 2.20 128.0 4.27

38.0 2.29 138.0 4.30

40.0 2.37 148.0 4.34

Tabla 8. Voltajes medidos V, en función del tiempo cuando el condensador 1 y 2 están en paralelo ydescargándose.

Tiempo (± 0.1 s) Voltaje (± 0.01 v) Tiempo (± 0.1 s) Voltaje (± 0.01 v)0.0 4.02 190.0 1.52

10.0 3.79 200.0 1.45

20.0 3.60 210.0 1.38

30.0 3.41 220.0 1.32

40.0 3.23 230.0 1.26

50.0 3.06 240.0 1.19

60.0 2.91 250.0 1.14

70.0 2.78 270.0 1.03

80.0 2.65 290.0 0.93

90.0 2.52 310.0 0.84

100.0 2.40 330.0 0.76110.0 2.28 350.0 0.71

120.0 2.18 370.0 0.69

130.0 2.06 390.0 0.62

140.0 1.97 410.0 0.56

150.0 1.87 430.0 0.50

160.0 1.77 450.0 0.46

170.0 1.68 470.0 0.42

180.0 1.60 550.0 0.32

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Los valores de las capacitancias según el empaque de fabrica para los condensadores es:

Condensador 1.Fabrica = 2200 µF

Condensador 2.Fabrica = 1000 µF

El valor de la resistencia medida con multímetro es 61.9 ± 0.1 kΩ.

4. Análisis

Las siguientes grácas fueron obtenidas usando el software ”Gnuplot”.

De las grácas 1 a la 8 se puede apreciar que los coecientes de correlación indican una relación in-versa fuerte entre de los ejes es decir que una linea recta es una excelente aproximación de los datosexperimentales, lo cual era de esperarse según la teoría.Gráca 1.

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Gráca 2.

Gráca 3.

10


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Gráca 4.

Gráca 5.

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Gráca 6.

Gráca 7.

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Gráca 8.

Nota: Para las grácas anteriores las barras de error son pequeñas, por lo tanto no son muy visibles.

Tabla 9. Comparación de las capacitancias equivalentes y teóricas para algunas grácas, con C T es lacapacitancia teórica equivalente.

C T (µF ) C eq (µF ) Gráca Error relativo ( %)2200 2449±4 2 10.2

1000 997±2 3 0.3

688 697±1 6 1.3

3200 3415±6 8 6.3

Como se puede observar en la tabla 9 los errores relativos son pequeños excepto para la gráca 2 y 8,una causa posible de esto es que asumimos el voltaje inicial de descarga en el condensador como 5 voltioslo cual es una idealización porque según la teoría habría que esperar un tiempo innito para que esopase, porque antes se estaba cargando, aunque en la practica se espera alrededor de un tiempo 5RC

aproximadamente para que el circuito este casi cargado, aunque podemos decir que las relaciones 7 y 8son validas, según la gráca 6 y 8.

5. Resultados y Conclusiones

• La gráca de ln(1− vvo

) o ln( vvo

) en función del tiempo es una linea recta donde su pendiente es −1RC

.

• Condensadores en serie tienen capacitancia equivalente igual al inverso de la suma de los inversos delas capacitancias de cada condensador y condensadores en paralelo tienen capacitancia equivalentea la suma de las capacitancias de cada condensador.

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6. Bibliografía

• Purcell, E. M., Berkeley Physics Course 2/e, V olume2 − Electricity and Magnetism, EditorialREVERTE, 1988.

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