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Cinématique du point matériel
Exercice 1 : Trajectoire hélicoïdale
Le référentiel d’étude (ℛ) est associé au repère d’espace orthonormé 𝑂, 𝑒! , 𝑒! , 𝑒! . Soit l’hélice droite définie en coordonnées cylindriques dans (ℛ) par (ℎ est une constante positive) :
𝑟 = 𝑅! 𝑧 = ℎ𝜃
On s’intéresse à un point matériel 𝑀 qui décrit cette hélice dans le sens des 𝜃 croissants.
1) Calculer les vecteurs vitesse et accélération de M dans (ℛ) en coordonnées cylindriques. 2) Calculer la vitesse 𝑣 de M dans (ℛ). 3) 𝑀 parcourt l’hélice à la vitesse constante 𝑉!. En déduire les vecteurs vitesse et accélération de
M dans (ℛ) en fonction de 𝑉!, 𝑅! et h.
Correction :
1) Le vecteur position de M dans la base des coordonnées cylindriques est :
𝑶𝑴 = 𝑟𝒆𝒓 + 𝑧𝒆𝒛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑟 = 𝑅!𝑧 = ℎ𝜃
𝑶𝑴 = 𝑅!𝒆𝒓 + ℎ𝜃𝒆𝒛
On peut alors calculer les vecteurs vitesse et accélération de M dans (ℛ) :
𝒗(𝑀)/(ℛ) =𝑑𝑶𝑴𝑑𝑡 /(ℛ)
𝒗(𝑀)/(ℛ) = 𝑅!𝜃𝒆𝜽 + ℎ𝜃𝒆𝒛
𝒂(𝑀)/(ℛ) =𝑑𝒗(𝑀)/(ℛ)
𝑑𝑡 /(ℛ)
𝒂(𝑀)/(ℛ) = −𝑅!𝜃²𝒆𝒓 + 𝑅!𝜃𝒆𝜽 + ℎ𝜃𝒆𝒛
2) La vitesse v de M dans (ℛ) est donnée par : 𝑣 = 𝒗(𝑀)/(ℛ)
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La base (𝒆𝒓, 𝒆𝜽, 𝒆𝒛) étant une base orthonormée, on peut écrire :
𝑣 = 𝑅!𝜃! + ℎ𝜃 ! = 𝜃 𝑅!! + ℎ!
Le point matériel M décrit l’hélice dans le sens des 𝜃 croissants donc 𝜃 ↗ au cours du temps, ce qui signifie que 𝜃 > 0. On obtient donc finalement :
𝑣 = 𝜃 𝑅!! + ℎ!
3) M parcourt l’hélice à la vitesse constante 𝑉!. On a donc :
𝑣 = 𝜃 𝑅!! + ℎ! = 𝑉!
𝜃 =𝑉!
𝑅!! + ℎ!= 𝑐!"# 𝑒𝑡 𝜃 = 0
𝒗(𝑀)/(ℛ) = 𝑅!𝜃𝒆𝜽 + ℎ𝜃𝒆𝒛 =𝑅!𝑉!
𝑅!! + ℎ!𝒆𝜽 +
ℎ𝑉!
𝑅!! + ℎ!𝒆𝒛
𝒂(𝑀)/(ℛ) = −𝑅!𝜃²𝒆𝒓 = −𝑅!𝑉!!
𝑅!! + ℎ!𝒆𝒓
Exercice 2 : Risque de collision au freinage
1) Une voiture roule en ligne droite à une vitesse constante 𝑉!. A l’instant 𝑡 = 0, le conducteur aperçoit un obstacle, mais il ne commence à freiner, avec une décélération constante 𝑎, qu’au bout d’un temps 𝜀. Calculer la distance parcourue par le véhicule depuis l’instant initial jusqu’à l’arrêt total de la voiture.
2) Application numérique : 𝑎 = −7,5 m.s-‐2, 𝜀 = 0,6 s, 𝑉! = 54 km /h puis 𝑉! = 108 km /h.
3) Deux voitures se suivent sur une route droite, à une distance 𝑑, et roulent à la même vitesse constante 𝑉!. A l’instant 𝑡 = 0, la première voiture commence à freiner, avec une décélération constante 𝑎. La seconde voiture ne commence à freiner qu’au bout d’un temps 𝜀, avec une décélération constante 𝑏. Quelle condition doit satisfaire la distance 𝑑 pour que la seconde voiture s’arrête en arrière de la première ?
4) Application numérique : 𝑎 = −7,5 m.s-‐2, 𝑏 = −6,0 m.s-‐2, 𝜀 = 0,6 s, 𝑉! = 108 km /h.
Correction :
1) On prend comme origine des abscisses la position de la voiture à l’instant 𝑡 = 0. Avant de freiner, la voiture parcourt une distance :
𝑥! = 𝑉!𝜀
Pour 𝑡 > 𝜀, le mouvement est caractérisé par une vitesse et une position :
𝑥(𝑡) = −𝑎 𝑡 − 𝜀 + 𝑉!
𝑥 𝑡 = −𝑎2𝑡 − 𝜀 ! + 𝑉! 𝑡 − 𝜀 + 𝑥!
L’arrêt de la voiture est obtenu pour un temps T tel que :
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𝑥 𝑇 = 0 ⇔ −𝑎 𝑇 − 𝜀 + 𝑉! = 0
𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑇 = 𝜀 +𝑉!𝑎
En reportant cette valeur dans l’expression de 𝑥, on obtient l’expression de la distance d’arrêt D :
𝐷 = 𝑥 𝑇 = −𝑎2𝑉!𝑎
!+ 𝑉!
𝑉!𝑎+ 𝑥!
𝐷 =𝑉!2𝑎
!+ 𝑉!𝜀
2) Application numérique : 𝑉! (km/h) 54 108 𝐷 (m) 24 78
3) L’équation horaire de la première voiture est donnée par la relation précédente, en prenant 𝜀 = 0 et 𝑥! = 0 :
𝑥 𝑡 = −𝑎2𝑡! + 𝑉!𝑡
Cette voiture s’arrête à l’abscisse :
𝐷! =𝑉!2𝑎
!
A l’instant 𝑡 = 0, la seconde voiture était à l’abscisse – 𝑑 et à l’instant 𝑡 = 𝜀, elle était donc à l’abscisse :
𝑥! = −𝑑 + 𝑉!𝜀 Pour 𝑡 > 𝜀, le mouvement de la seconde voiture est caractérisé par une vitesse et une position :
𝑥(𝑡) = −𝑏 𝑡 − 𝜀 + 𝑉!
𝑥 𝑡 = −𝑏2𝑡 − 𝜀 ! + 𝑉! 𝑡 − 𝜀 − 𝑑 + 𝑉!𝜀
L’arrêt de la seconde voiture est obtenu pour un temps T tel que : 𝑥 𝑇 = 0 ⇔ −𝑏 𝑇 − 𝜀 + 𝑉! = 0
𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑇 = 𝜀 +𝑉!𝑏
En reportant cette valeur dans l’expression de 𝑥, on obtient l’expression de la distance d’arrêt 𝐷! de la seconde voiture :
𝐷! = 𝑥 𝑇 = −𝑏2𝑉!𝑏
!+ 𝑉!
𝑉!𝑏− 𝑑 + 𝑉!𝜀
𝐷! =𝑉!2𝑏
!− 𝑑 + 𝑉!𝜀
Pour que les deux voitures ne créent pas un accident, il faut que (on néglige les dimensions respectives des deux voitures assimilées à des points matériels) :
𝑉!2𝑏
!− 𝑑 + 𝑉!𝜀 <
𝑉!2𝑎
!
⇔ 𝑑 >𝑉!2
! 1𝑏−1𝑎
+ 𝑉!𝜀
4) Application numérique : 𝑑 > 33 m.