cinematica teoria
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CINEMÁTICACINEMÁTICA • Movimiento Mecánico. Bases para su Movimiento Mecánico. Bases para su estudio. estudio. • Métodos vectorial, de coordenadas y Métodos vectorial, de coordenadas y natural. natural. • Magnitudes cinemáticas.Magnitudes cinemáticas.• Movimiento unidimensional. Movimiento unidimensional.
• Movimiento rectilíneo uniformemente Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Movimiento rectilíneo uniforme.variado. Movimiento rectilíneo uniforme.• Caída libreCaída libre• EjemplosEjemplos
Bibliog. Sears, Física UniversitariaBibliog. Sears, Física Universitaria
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Mecánica de Mecánica de los cuerpos los cuerpos
macroscópicosmacroscópicos
Movimiento Movimiento mecánicomecánico
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Cinemática: Cinemática: Rama de laRama de la Mecánica Mecánica que se dedica a la descripción del que se dedica a la descripción del movimiento mecánico movimiento mecánico sin interesarse sin interesarse por las causaspor las causas que lo provocan. que lo provocan.
Dinámica: Dinámica: Rama de laRama de la Mecánica Mecánica que se dedica a que se dedica a investigar las causasinvestigar las causas que provocan el movimiento que provocan el movimiento mecánico. mecánico.
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Movimiento Mecánico: Movimiento Mecánico: Cambio de Cambio de posición de posición de un cuerpoun cuerpo respecto respecto a otrosa otros, , tomados como referencia.tomados como referencia.
Carácter: Carácter: RelativoRelativo
Definir sistema Definir sistema bajo estudiobajo estudio
Definir Definir Sistema de Sistema de Referencia Referencia
(SR)(SR)
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Bases para el estudio del Bases para el estudio del movimiento mecánicomovimiento mecánico
• Definición del Sistema de Referencia (Definición del Sistema de Referencia (SRSR))
• Utilización de Utilización de magnitudes físicasmagnitudes físicas apropiadas y apropiadas y relaciones entre ellas.relaciones entre ellas.
• Empleo de modelos para el sistema físico: Empleo de modelos para el sistema físico: Modelo de cuerpo rígidoModelo de cuerpo rígido y y Modelo de partículaModelo de partícula..
• Utilización del Utilización del principio de independenciaprincipio de independencia de de los movimientos de Galileo así como del los movimientos de Galileo así como del principio de superposiciónprincipio de superposición..
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SRSR:: Cuerpos que se toman como referencia para Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.describir el movimiento del sistema bajo estudio.
Bases para el estudio del Bases para el estudio del movimiento mecánicomovimiento mecánico
x(t)x(t)
y(t)y(t)
z(t)z(t)
Se le asocia Se le asocia
• ObservadorObservador
• Sistema de Sistema de CoordenadasCoordenadas
y
x
z
• RelojReloj
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Bases para el estudio del Bases para el estudio del movimiento mecánicomovimiento mecánico
SRISRI:: Es aquel para el cual el Es aquel para el cual el sistema bajo estudio en sistema bajo estudio en
ausencia de la acción de otros ausencia de la acción de otros cuerpos, se mueve con MRU.cuerpos, se mueve con MRU.
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Bases para el estudio del Bases para el estudio del movimiento mecánicomovimiento mecánico
Magnitudes Físicas Magnitudes Físicas
CinemáticasCinemáticas
Posición, Posición, Velocidad, Velocidad,
Aceleración Aceleración
Dinámicas Dinámicas
Fuerza, Torque Fuerza, Torque
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Bases para el estudio del Bases para el estudio del movimiento mecánicomovimiento mecánico
ModelosModelos
de Partícula: de Partícula: el cuerpo puede ser el cuerpo puede ser considerado como un objeto puntual.considerado como un objeto puntual.
de Cuerpo Rígido: de Cuerpo Rígido: Las distancias Las distancias entre los diferentes puntos del entre los diferentes puntos del cuerpo no varían.cuerpo no varían.
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Traslación puraTraslación pura
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Rotación pura de cuerpo Rotación pura de cuerpo sólidosólido
Es aplicable el modelo del cuerpo Es aplicable el modelo del cuerpo rígido pero no el de partícularígido pero no el de partícula
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ObjetivoObjetivo
Determinación de las Determinación de las Leyes del Leyes del MovimientoMovimiento
Posición (t), Velocidad (t), Aceleración (t)
Describir el Describir el Movimiento Movimiento
mecánicomecánico
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MétodosMétodos•Vectorial Vectorial ((conciso, elegante)conciso, elegante)
•de Coordenadasde Coordenadas Mayor número de Mayor número de ecuacionesecuaciones
•NaturalNatural Coordenadas Coordenadas curvilíneascurvilíneas
Problemas de Problemas de la cinemáticala cinemática
Posición (t)Posición (t)
VelocidadVelocidad (t)(t)
AceleraciónAceleración (t)(t)
P. D
irect oP
. Direct o P
. In
vers
oP
. In
vers
o
Con
d. I
nic
iale
sC
ond.
In
icia
les
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( )ttr ∆+
( )tr
)(: trposición
( )ttV ∆+
( )tV
dtdr
tr
tVvelocidadt
=∆∆=
→∆lim
0
)(:dtdV
tanaceleració =)(:
mV r∆
tr
Vmediavelocidad m ∆∆=:
r∆
)()(: trttrrentodesplazami −∆+=∆
( ) ( )t
tVttVanaceleració m ∆
−∆+=:media
VectorialVectorialdr
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)(tx
)(ty
)(tz)(),(),(: tztytxposición
,)(:dtdx
tVvelocidad x =
dtdy
tVy =)(
dtdz
tVz =)(
dtdV
tanaceleració xx =)(:
dt
dVta y
y =)(
dtdV
ta zz =)(
De Coord.De Coord.
y∆
x∆
z∆zyxentodesplazami ∆∆∆ ,,:
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,)(: ττ Vdtds
tVvelocidad ==
τdtdV
taT =)(
Ta
a
22
TNaaa +=
τn
0=s0<s
nV
dtd
Vtanaceleració N ρτ 2
)(: ==
Na
NaturalNatural
)()(: τVdtd
dtdV
tanaceleració ==
ρ
n
)(: tsposición
0>sτ
τ τ
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MetodologíaMetodología• Identificar sistema físicoIdentificar sistema físico
• Selección del SRI (Ubicación del Observador)Selección del SRI (Ubicación del Observador)
• Selección del método o métodos (vectorial, de Selección del método o métodos (vectorial, de coordenadas o natural)coordenadas o natural)
• Resolver el problema directo (Resolver el problema directo (derivandoderivando) o el ) o el indirecto (indirecto (integrandointegrando) o ambos: ) o ambos: Hallar Hallar analíticamente la dependencia temporal de la analíticamente la dependencia temporal de la posición, la velocidad y la aceleración; y posición, la velocidad y la aceleración; y Dibujar las gráficasDibujar las gráficas
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y
x
t1
t2
A
B
r∆
r(t1)
r(t2)
r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2
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Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo [t1 , t2] esta dado por:
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para hallar el vector desplazamiento?
)t()t( 12rrr −=∆
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B
t1
t2No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo
A
r∆
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Vector velocidad media
Se define el vector velocidad media en el intervalo de tiempo [t1 , t2] como:
( ) ( )
−−
=∆∆=
sm
tt
rr
tr
V12
ttm
12
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y
x
t1
t2
A
B
r∆mV
r//Vm ∆
)(t1r
)(t2rLa velocidad media apunta en la
misma dirección del vector desplazamiento
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Y(m)
x(m)
t1
t2Δl
:Δl Distancia total recorrida en el intervalo de tiempo [t1 , t2]
r∆
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Rapidez mediaLa rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado
tl
empleadotiemporecorridadistancia
v~m ∆∆==
• La rapidez media no es un vector
• la rapidez media no es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo)
mm Vv ≠
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t2
t'2
t"2
t1
B
A
Y(m)
x(m)
v
r1
∆ r
r2
mV
r2'
∆ r'
mV
r2"
∆ r"
mV
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t3A
Y(m)
x(m)
El vector velocidad instantánea es tangente a la
trayectoria que describe la partícula
t2
t1
)v(t1 )v(t2)v(t3
τ= vv
τ
τ τ
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La velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto del tiempo
Velocidad instantánea
dtdr
tr
limv(t) 0t =∆∆= →∆
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Esta expresión podemos expresarla en función de sus componente rectangulares
dtdx(t)
vx =dt
dy(t)vy =
dtdz(t)
vz =
dtdr
tr
limv(t) 0t =∆∆= →∆
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Rapidez instantánea
tl
v(t) ∆∆= →∆ 0
~tlim
Si 0Δt→r∆t1
t2
Δl
rl ∆=∆ dr
vtd
dr==
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Rapidez instantánea
La rapidez instantánea es igual al modulo de la velocidad instantánea
dtdr
tr
limv~ 0t(t) =∆∆= →∆
)t((t) vv~ =Al modulo de la velocidad instantánea se le conoce como rapidez instantánea
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![Page 34: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/34.jpg)
A
Y(m)
x(m)
t2t1
12
12m tt
)V(t)V(ta
−−=
)v(t1)v(t2
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Aceleración media
Se define la aceleración media como la rapidez de cambio de la velocidad instantánea en un determinado intervalo de tiempo
−−=
212
12m
s
mtt
)V(t)V(ta
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![Page 37: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/37.jpg)
Y(m)
x(m)
La aceleración en este pequeño intervalo de tiempo apunta hacia la concavidad
de la trayectoria
t)v(t
t1 )v(t1
v∆
v∆ atV
lima ot(t) ∆∆= →∆
a
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dtˆd
vdtdv
ˆaτ+τ=
La aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo t
=(t)a( )dt
ˆvddtdV τ=
nv
vρ
+τ= ˆdtdv
anaˆaa n+τ= τ
dtdv
a =τ ρ=
2
nv
a
2n
2 aaa += τ
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Na
Ta
Es la aceleración normal , responsable del cambio de dirección de la velocidad
Es la aceleración tangencial responsable del cambio del modulo de la velocidad
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dt(t)dv
a xx =
dt
(t)dva y
y =dt
(t)dva z
z =
Expresado en componentes rectangulares
dtdV
a =
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Resumen:
Si se conoce la posición de la partícula con el
tiempo r(t) podemos determinar su velocidad y aceleración instantánea por simple derivación
dt
drv (t)
(t) =
2(t)
2(t)
(t)dt
rd
dt
dva == naa += τ
Problema directo
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Así mismo si se conoce la aceleración con el tiempo es posible encontrar la posición y la velocidad usando el camino inverso, es decir integrando:
dtadvdt
dva (t)
(t)(t) =→=
∫=−
t
t
(t))(t(t)
O
Odtavv ∫+=
t
t
(t))(t(t)
O
Odtavv
dtvdrdt
drv (t)
(t)(t) =→= ∫+=
t
t
(t))(t(t)
O
Odtvrr
Son los vectores posición y velocidad en el instante to
Problema inverso
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Movimiento en una dimensión
![Page 44: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/44.jpg)
Podemos aplicar lo discutido anteriormente al caso de una partícula moviendose en una sola dimensión, por ejemplo a lo largo del eje x
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ivvix(t)r (t)(t)(t) ==
iaa )t()t( =
x)(to
v
(t)v
)(tor
(t)r
Para el movimiento en el eje X las ecuaciones se reducen a:
( )0ta
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Movimiento rectilíneo variado
va Movimiento rectilíneo aceleradov y a igual signo
va
( ) )t(a)t(vtx
Movimiento rectilíneo retardadov y a signos opuestos
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![Page 48: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/48.jpg)
X(t)
t
p
Q
R 0v <
0v =
0v >
dt
dxv (t)=
Velocidad instantánea
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υ
tti tf
∆t
a > 0a = 0
a < 0
Aceleración instantánea
dt
dva (t)=
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υ
tti tf
∆t
En toda gráfica v versus t el área bajo la curva es igual al desplazamiento del móvil
curvalabajoarea== ∫2
1
t
t
vdtΔxv
dtdx =
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![Page 52: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/52.jpg)
Diremos que un movimiento rectilíneo es uniforme variado si la aceleración del móvil permanece constante en todo momento.
Supongamos que una partícula parte de la posición xo en el instante t0=0 , con una velocidad vo
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x
∫∫ =t
0
v
v
adtdvo
aov (t)vox
(t)xt=0
Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de integrar
tvv o(t) a+= Velocidad instantánea
Problema inverso
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Podemos ahora determinar la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo t
∫∫ =t
0(t)dtvdx
x
xo
∫∫ +=t
0o t)dtvdx a
x
xo
(
tvv o(t) a+=
2oo(t) t
21
tvxx a++=
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x
aov (t)vox
(t)xt=0
Hallaremos ahora una expresión para determinar la velocidad media en el intervalo de tiempo [0, t]:
ΔtΔx
Vm =t
x-xV o(t)
m =
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x
aov (t)vox
(t)xt=0
t
x-xV o(t)
m =
2oo(t) t
21
tvxx a+=−t
v-va o(t)=
Y usando las ecuaciones anteriormente deducidas
![Page 57: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/57.jpg)
x
aov (t)vox
(t)xt=0
2
vv
t
x-xV o(t)o(t)
m
+==
Finalmente obtenemos
![Page 58: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/58.jpg)
x
aov (t)vox
(t)xt=0
Δx2vv 2
0
2
(t)a+=
También se puede demostrar:
Donde : 0(t) xxΔx −=Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo [0 , t]
![Page 59: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/59.jpg)
Δx2vv 2
0
2
(t)a+=
Resumen
0(t) xxΔx −=
[0 , t]
tvv o(t) a+=2
oo(t) t21
tvxx a+=−
2
vv
t
x-xV o(t)o(t)
m
+==
2
vv
tt
x-xV )(t)(t
12
)(t)(t
m1212
+=
−= [t1 , t2 ]
ctea = MRUADespejando t en la 1ra y sustituyendo
en la 2da, se obtiene la 3ra
![Page 60: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/60.jpg)
Movimiento Uniformemente AceleradoMovimiento Uniformemente Acelerado
tvv o(t) a+=
υ
υ0 υ0
at
υ
Ο tt
Pendiente = a
xo
x(t)
t
Pendiente = v0
pendiente = v(t)
2
oo(t) t21
tvxx a+=−
O t
a
aPendiente = 0
a
![Page 61: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/61.jpg)
Movimiento Rectilíneo Uniforme MRUMovimiento Rectilíneo Uniforme MRU
datoa :0
atVV += 0
0
2
2
00
attVxx ++=
0
aa
VV
xx
tt
tt
tt
xx00
VV00
Movimiento ParabólicoMovimiento Parabólico0=xa
xx VV 0=tVxx x00 +=
MRU MRU
Eje xEje x
gay −=gtVV yy −= 0
2
2
00
gttVyy y −+=
MRUV MRUV
Eje yEje y
![Page 62: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/62.jpg)
![Page 63: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/63.jpg)
v0 -v0
V =0
Haga click en la bolita verde
![Page 64: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/64.jpg)
jga −=jvv
00=
y
0
gtvv0
−=2gt
21
tvyy00
−+=
yg2vv 20
2 ∆−=
![Page 65: Cinematica teoria](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062514/55a21d831a28abc41e8b4584/html5/thumbnails/65.jpg)
av
x
t t
t
v0
-v0-g
tvtv/2
tv
H
jga −=
gtvv0
−=
2gt21
tvyy00
−+=