cinematica del robot

Ingeniería de Sistemas y Automática

Control de Robots y Sistemas Sensoriales

TEMA 4: CINEMÁTICA DEL ROBOT

Robótica IndustrialRobótica IndustrialISA.- Ingeniería de Sistemas y Automática

Robotica Industrial- Cinemática del robot 1

Indice

➊ Introducción➋Morfología del robot➌Herramientas matemáticas para la localización espacial➍Cinemática del robot➎Dinámica del robot➏Control cinemático➐Control dinámico➑Programación de robots➒Criterios de implantación de un robot➓Aplicaciones de los robots


Cinemática del robot

Cinemática directa

Cinemática InversaMatriz Jacobiana


El problema cinemático de un robot

■ Cinemática del robot : Estudio de su movimiento con respecto a unsistema de referencia– Descripción analítica del movimiento espacial en función del tiempo

– Relaciones localización del extremo del robot-valores articulares

■ Problema cinemático directo: Determinar la posición y orientación delextremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia,conocidos los ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos de loselementos del robot

■ Problema cinemático inverso: Determinar la configuración que debe adoptar elrobot para una posición y orientación del extremo conocidas

■ Modelo diferencial (matriz Jacobiana): Relaciones entre las velocidades demovimiento de las articulaciones y las del extremo del robot


Relación entre cinemática directa einversa

Valor de lascoordenadas

articulares(q1,q2,…,qn)

Posición yorientación del

extremo del robot(x,y,z,α,β,γ)

Cinemática Directa

Cinemática Inversa


Resolución del problema cinemático directo conmatrices de transformación homogéneas

■ Objetivo:

Encontrar una matriz de transformación homogénea T que relacioneposición y orientación del extremo del robot con respecto a un sistemade referencia fijo situado en su base

x q q q q q q

y q q q q q q

z q q q q q q

q q q q q q

q q q q q q

q q q q q q

= f

= f

= f

= f

= f

= f

x

y

z

( , , , , , )

( , , , , , )

( , , , , , )

( , , , , , )

( , , , , , )

( , , , , , )

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

αβγ

α

β

γ


Modelo cinemático directo de unrobot planar de 2 gdl

( )( )

x

y

= l l

= l l1

1 1 2 1 2

1 2 1 2

cos cos

sen sen

q q q

q q q

+ +

+ +


Las matrices de transformaciónA y T

■ Matriz i-1Ai : matriz de transformación homogénea querepresenta la posición y orientación relativa entre lossistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot

■ Conexión de matrices A:

■ Matriz T : matriz 0An cuando se consideran todos losgrados de libertad del robot

03

01

12

23A A A A=

T A A A A A A A= =06

01

12

23

34

45

56


Convenio de conexión de elementoscontiguos de Denavit-Hartenberg

■ Transformaciones básicas de paso de eslabón:

❶Rotación alrededor del eje zi-1 un ángulo θi

❷Traslación a lo largo de zi-1 una distancia di ; vector di (0,0,di)

❸Traslación a lo largo de xi una distancia ai ; vector ai (0,0,ai)

❹Rotación alrededor del eje xi un ángulo αii-1

i i i i i ( , ) (0,0,d (a ,0,0 ( ,A T z T T T x= θ α) ) )

i 1i

i i

i i

i

i

i i

i i

C S 0 0

S C 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0

0

1 d

0 1

a

0

0

1

1 0 0

0 C -S 0

0 S C 0

0 0 1

− =

−

=

=

−

A

θ θθ θ α α

α α

θ α θ α

1 0 0

0 1 0

0 0

0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0

0

C C S Si i i i S a C

S C C S C a S

S C d

i i i

i i i i i i i

i i i

θ θθ α θ α θ θ

α α−

0

0 0 0 1


Parámetros deDenavit-Hartenberg (I)

■ Definen el paso de un sistema de referencia asociado a unaarticulación al siguiente

■ Sólo dependen de las características geométricas de cadaeslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior ysiguiente (no dependen de la posición del robot)

■ Definen las matrices A que permiten el paso de un sistemade referencia asociado a una articulación al siguiente y portanto definen las matrices T

■ Son 4:– Dos ángulos (θi, αi)

– Dos distancias (di, ai)


Parámetros deDenavit-Hartenberg (II)

■ θi: Es el ángulo que forman los ejes xi-1 y xi medido en un planoperpendicular al eje zi-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se tratade un parámetro variable en articulaciones giratorias.

■ di: Es la distancia a lo largo del eje zi-1 desde el origen del sistemade coordenadas (i-1)-ésimo hasta la intersección del eje zi-1 con el ejexi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas.

■ ai: Es la distancia a lo largo del eje xi que va desde la interseccióndel eje zi-1 con el eje xi hasta el origen del sistema i-ésimo, en el casode articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, secalcula como la distancia más corta entre los ejes zi-1 y zi.

■ αi: Es el ángulo de separación del eje zi-1 y el eje zi, medido en unplano perpendicular al eje xi, utilizando la regla de la mano derecha.


Parámetros de Denavit-Hartenbergpara un eslabón giratorio


Obtención del modelocinemático directo de un robot

❶Establecer para cada elemento del robot un sistema decoordenadas cartesiano ortonormal (xi,yi,zi) dondei=1,2,…,n (n=número de gdl). Cada sistema decoordenadas corresponderá a la articulación i+1 y estaráfijo en el elemento i

❷Encontrar los parámetros D-H de cada una de lasarticulaciones

❸Calcular las matrices Ai

❹Calcular la matriz Tn = 0A1 1A2 ... n-1An


Algoritmo de Denavit-Hartenberg (I)

■ D-H 1.- Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvilde la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerarácomo eslabón 0 a la base fija del robot.

■ D-H 2.- Numerar cada articulación comenzando por 1 (lacorrespondiente al primer grado de libertad) y acabando en n

■ D-H 3.- Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el ejeserá su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cualse produce el desplazamiento.

■ D-H 4.- Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.

■ D-H 5.- Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier puntodel eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistemadextrógiro con z0


Algoritmo de Denavit-Hartenberg (II)

■ D-H 6.- Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) enla intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambosejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos{Si} se situaría en la articulación i+1

■ D-H 7.- Situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi

■ D-H 8.- Situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi .

■ D-H 9.- Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zncoincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn .

■ D-H 10.- Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 paraque xi-1 y xi queden paralelos.

■ D-H 11.- Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, quehabría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.


Algoritmo de Denavit-Hartenberg (III)

■ DH 12.- Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi (queahora coincidiría con xi-1) que habría que desplazar el nuevo {Si-1}para que su origen coincidiese con {Si}.

■ DH 13.- Obtener αi como el ángulo que habría que girar entorno a xi

(que ahora coincidiría con xi-1), para que el nuevo {Si-1} coincidiesetotalmente con {Si}.

■ DH 14.- Obtener las matrices de transformación i-1A i

■ DH 15.- Obtener la matriz de transformación entre la base y el extremodel robot T = 0A1 1A2 ... n-1An.

■ DH 16.- La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) yposición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base enfunción de las n coordenadas articulares


Modelo cinemático directo de unrobot cilíndrico (I)

Articulación θ d a α1 q1 l1 0 0

2 90º d2 0 90º

3 0 d3 0 0

4 q4 l4 0 0


Modelo cinemático directo de unrobot cilíndrico (II)

0

1 1

1 1

1

1

2

3

3

4 4

4 4

4

0 0

0 0

0 0 1

0 0 0 1

0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1

0 0 0 1

0 0

0 0

0 0 1

0 0 0 1

A A

A A

1 22

3 4

0 0 1 0

1 0 0

0 1 0 d

0 0 0 1

=

−

=

=

=

−

C S

S C

l

d

C S

S C

l

T A A A A= =

− +− +

+

0 1 2 3

1 4 1 4 1 1 3 4

1 4 1 4 1 1 3 4

4 4 2 10

0 0 0 1

1 2 3 4

S C S S C C d l

C C C S S S d l

S C d l

( )

( )


Modelo cinemático directo de unrobot ABB IRB 6400C (I)

Articulación θ d a α1 θ1 0 0 -902 θ2 l1 0 903 θ3-90 0 -l2 904 θ4 l3 0 -905 θ5 0 0 906 θ6 l4 0 0


Modelo cinemático directo de unrobot ABB IRB 6400C (II)

0

1 1

1 1 1

2

3 3 2 3

3 3 2 3 3

4 4

4 4

3

0 0

0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0

0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0

0 0

0 1 0

0 0 0 1

A A

A A

1 2

2 2

2 2

1

3 4

C 0 S 0

S 0 C 0

0 1 0 l

0 0 0 1

=

−

−

=−

=

− −− −

=

−

−

C S

S C

S C l S

C S l C

C S

S C

l

45

5 5

5 5 56

6 6

6 6

4

0 0

0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0

0 0

0 0 1

0 0 0 1

A A=−

=

−

C S

S C

C S

S C

l


Modelo cinemático directo de unrobot ABB IRB 6400C (III)

T A A A A A A= =

0 1 2 3 4 51 2 3 4 5 6

x x x x

y y y y

z z z z

0 0 0 1

n o a p

n o a p

n o a p

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n

n

n

x 1 2

y 1 2

z 2

= C C

= S C

= S

S S C C C C S S C S S C C C S C C C S S S C

S S C C C C S S S S S C C C S S C C C S S C

S C C C S S C S C C C

3 1 3 4 5 6 4 6 1 2 4 5 6 4 6 1 2 3 1 3 5 6

3 1 3 4 5 6 4 6 1 2 4 5 6 4 6 1 2 3 1 3 5 6

3 4 5 6 4 6 2 4 5 6

+ − + + + − +

− + − + + + − −

− − + +( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

4 6 2 3 5 6

3 1 3 4 5 6 4 6 1 2 4 5 6 4 6 1 2 3 1 3 5 6

3 1 3 4 5 6 4 6 1 2 4 5 6 4 6 1 2 3 1 3 5 6

3 4

S S C S C

S S C C C C S S C S S C C C S C C C S S S C

S S C C C C S S S S S C C C S S C C C S S C

S C C

+

+ − − + − + + − + −

− + − − + − + + − − −

− −

x 1 2

y 1 2

z 2

= C C

= S C

= S

o

o

o ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

5 6 4 6 2 4 5 6 4 6 2 3 5 6

3 1 3 4 4 5 1 2 4 4 5 3 1 3 4 5 3

2 1 2 3 2 1 3 1 1

3 1 3 4 4 5 1 2 4 4 5

C S S C S C C C S S C S C

S S C l C S C S l S S C S S l C l

l C C S l S C l S

S C C l C S S S l S S

− + − + + −

+ + + + − + +

− − −

− − + + −

x 1 2 1 2

y 1 2 1

= C C C C

= S C

p

p ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

C C

= -S

2

z 2

C C S l C l

l S C S l C C l C

S l C C C l S S S C l C l l S S

3 1 3 4 5 3

2 1 2 3 2 1 3 1 1

3 4 4 5 2 4 4 5 2 3 4 5 3 2 2 3

− − + +

− − +

+ + − + +p


Cinemática Inversa

■ Objetivo: encontrar los valores que deben adoptar lascoordenadas articulares del robot para que su extremo seposicione y oriente según una determinada localización espacial

■ La resolución no es sistemática

■ Depende de la configuración del robot (soluciones múltiples)

■ No siempre existe solución en forma cerrada.

– Condiciones suficientes para que exista:✜ Tres ejes de articulación adyacentes interseccionan en un punto

(robot PUMA y robot Stanford)

✜ Tres ejes de articulación adyacentes son paralelos entre sí(robot Elbow)


Posibilidades de solución delproblema cinemático inverso

❶ Procedimiento genérico a partir de los parámetros D-H✜ Método iterativo

✜ Problemas de velocidad y convergencia

❷ Búsqueda de solución cerrada: qk = fk (x,y,z,α,β,γ); k = 1,…,n

✜ Posibilidad de resolución en tiempo real

✜ Posibilidad de selección de la solución más adecuada

✜ Posibilidad de simplificaciones

✜ No siempre es posible


Métodos de solución delproblema cinemático inverso

❶ Métodos geométricos

– Se suele utilizar para las primeras variables articulares

– Uso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución detriángulos)

❷ Resolución a partir de las matrices de transformaciónhomogénea– Despejar las n variables qi en función de las componentes de los

vectores n, o, a y p.

❸ Desacoplamiento cinemático

– En robots de 6 GDL

– Separación de orientación y posicionamiento

❹ Otros: álgebra de tornillo,cuaterniones duales,métodos iterativos...


Ejemplo de resolución de la cinemáticainversa por métodos geométricos (I)

qp

p1 =

arctg y

x

r

r l l l l cos

cosl l

l l

x2

y2

z2

22

32

2 3 3

3

x2

y2

z2

22

32

2 3

2

2 2

2

= +

+ = + +

⇒

=+ + − −

p p

p

p p p

q

q

sen cos2q q3 31= ± −

qq

q

qp p p

3

231

2

=± −

=+ + − −

arctgcos

cos

con cos l l

l l

3

3

x2

y2

z2

22

32

2 3


Ejemplo de resolución de la cinemáticainversa por métodos geométricos (II)

q2 = −β α

β

α

=

=

± +

=+

arctg

arctg

pg

p

p p

q

q

z z

x2

y2

3 3

2 3 3

rarct

l sen

l l cos

qp

p p os q2 =± +

−

+

arctg arctgz

x2

y2

3 3

2 3 3

l sen q

l l c


Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partirde las matrices de transformación homogénea (I)

A r t i c . θ d a α1 q 1 l 1 0 9 0 º2 q 2 0 0 - 9 0 º3 0 q 3 0 0

01

1 1

1 1

1

12

2 2

2 2 23

3

02

1 2 1 1 2

1 2 1 1 2

2 2 1

0 0

0 0

0 1 0

0 0 0 1

0 0

0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1

0 0 0 1

0

0

0

0 0 0 1

A A A

A

=−

=

−

−

=

=

− −−

C S

S C

l

C S

S C

q

C C S C S

S C C S S

S C l

= =

− − −− −

+

T A03

1 2 1 1 2 3 1 2

1 2 1 1 2 3 1 2

2 2 3 2 10

0 0 0 1

C C S C S q C S

S C C S S q S S

S C q C l


Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partirde las matrices de transformación homogénea (II)

( )( ) ( )

T A A A

A T A A

A A T A

=

=

=

−

− −

011

22

3

01

1 12

23

12

1 01

1 23

( )01

103

12

23

3

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1

0 0 0 1

A T A A−

= =−

−

=

=

−

−

C S 0 0

0 0 1 l

S C 0 0

0 0 0 1

C 0 S 0

S 0 C 0

0 1 0 0

0 0 0 1

1 1

1

1 1

x x x x

y y y y

z z z z

2 2

2 2

n o a p

n o a p

n o a p

q

=

− −

−

C 0 S S

S 0 C C

0 1 0 0

0 0 0 1

2 2 2 3

2 2 2 3

q

q

S C tanx y 1y

x1 1 0p p q

p

p− = ⇒ =

⇒( )

`q

p

p1 =

arctan

y

x

`

qp p

p

q p p p

2

x2

y2

1 z

3 2 z 1 2 x2

y2

arctanl

C ( l ) S

=+

−

= − − +


Matriz Jacobiana

Velocidadde las

articulaciones(q1,q2,…,qn)

velocidades del extremo

del robot(x,y,z,α,β,γ)

Jacobiana Directa

Jacobiana Inversa

Matriz Jacobiana: permite conocer las velocidades del extremodel robot a partir de las velocidades de cada articulación


Relaciones diferenciales

x q q y q q z q q

q q q q q q

= = =

= = =

f ( , ) f ( , , ) f ( , )

f ( , , ) f ( , , ) f ( , )x 1 n y 1 n z 1 n

1 n 1 n 1 n

� � �

� � �

, ,

,α β γα β γ

� � � � � �

� � � � � �

xq

q yq

q zq

q

qq

qq

qq

= = =

= = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∂∂

∂∂

∂∂

α∂∂

β∂∂

γ∂∂

α β γ

f

f

f

f

f

f

x

i1

n

iy

i1

n

iz

i1

n

i

i1

n

ii1

n

ii1

n

i

�

�

�

�

�

�

�

�

x

y

z

q

q

q q

q q

αβγ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

γ γ

= ⋅

=

J J

1

1

1

�

�

�

� � �

�n

x x

n

n

con

f f

f f


Jacobiana de un robot SCARA

x

y

z q

= += += −

l C l C

l S l S

l

3 12 2 1

3 12 2 1

1 3

( )�

�

�

�

�

�

x

y

z

q

q

q

=− + −

+−

l S l S l S 0

l C l C l C 0

0 0 1

3 12 2 1 3 12

3 12 2 1 3 12

1

2

3


Métodos de cálculo de laJacobiana inversa

■ Inversión simbólica de la matriz jacobiana– Gran complejidad (matriz 6x6)

■ Evaluación numérica de J e inversión numérica– Necesidad de recómputo continuo

– En ocasiones J no es cuadrada matriz pseudoinversa

– En ocasiones | J | = 0

■ A partir del modelo cinemático inverso

q x y z

q x y zn n

1 1=

=

f

f

( , , , , , )

( , , , , , )

α β γ

α β γ�

�

�

�

�

q

q

x

n

1

1

�

�

�

�

�

�

=

−J

γ

J− =

1

∂∂

∂∂γ

∂∂

∂∂γ

f f

f f

1 1

n n

x

x

� � �

� � �

� � �

� � �

� � �


Configuraciones singulares

■ Aquellas en las que | J | = 0 (Jacobiano nulo)

■ Incremento infinitesimal coordenadas cartesianas implicaincremento infinito coordenadas articulares

■ Implica pérdida de algún grado de libertad

■ Tipos– Singularidades en los límites del espacio de trabajo del robot

– Singularidades en el interior del espacio de trabajo del robot

■ Requieren su estudio y eliminación

cinematica del robot

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