chuyên ĐỀ tích phân - · pdf filecông thức cho hai hàm...
TRANSCRIPT
1
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thƣờng gặp
Nguyên hàm của những hàm số
thƣờng gặp
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
Cxdx
11
1
C
xdxx
0ln xCxx
dx
Cedxe xx
10ln
aCa
adxa
xx
Cxxdx sincos
Cxxdx cossin
Cxdxx
tancos
12
Cxdxx
cotsin
12
Cbaxa
baxd 1
11
11
Cbax
adxbax
0ln1
xCbax
abax
dx
Cea
dxe baxbax
1
Cbaxa
dxbax sin1
cos
Cbaxa
dxbax cos1
sin
Cbax
adx
bax
tan1
cos
12
Cbax
adx
bax
cot1
sin
12
Cudu
11
1
C
uduu
0ln uCuu
du
Cedue uu
10ln
aCa
adxa
uu
Cuudu sincos
Cuudu cossin
Cuduu
tancos
12
Cuduu
cotsin
12
I. ĐỔI BIẾN SỐ
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx ta thực hiện các bước sau:
Bƣớc 1. Đặt t = u(x) và tính /dt u (x)dx .
Bƣớc 2. Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b) .
Bƣớc 3.
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt .
Ví dụ 7. Tính tích phân
2e
e
dxI
x ln x.
Giải
Đặt dx
t ln x dtx
2x e t 1, x e t 2 2
21
1
dtI ln t ln 2
t.
Vậy I ln2 .
2
Ví dụ 8. Tính tích phân
4
3
0
cos xI dx
(sin x cos x).
Hƣớng dẫn:
4 4
3 3 20 0
cos x 1 dxI dx .
(sin x cos x) (tan x 1) cos x. Đặt t tan x 1
ĐS: 3
I8
.
Ví dụ 9. Tính tích phân
3
12
dxI
(1 x) 2x 3.
Hƣớng dẫn:
Đặt t 2x 3
ĐS: 3
I ln2
.
Ví dụ 10. Tính tích phân
1
0
3 xI dx
1 x.
Hƣớng dẫn:
Đặt
3 2
2 21
3 x t dtt 8
1 x (t 1); đặt t tanu
ĐS: I 3 23
.
Chú ý:
Phân tích
1
0
3 xI dx
1 x, rồi đặt t 1 x sẽ tính nhanh hơn.
2. Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( )
b
a
f x dx ta thực hiện các bước sau:
Bƣớc 1. Đặt x = u(t) và tính / ( )dx u t dt .
Bƣớc 2. Đổi cận: , x a t x b t .
Bƣớc 3. /( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt
.
Ví dụ 1. Tính tích phân
12
20
1I dx
1 x.
Giải
Đặt x sin t, t ; dx cos tdt2 2
1x 0 t 0, x t
2 6
3
6 6
20 0
cos t cos tI dt dt
cos t1 sin t
6
60
0
dt t 06 6
.
Vậy I6
.
Ví dụ 2. Tính tích phân
2
2
0
I 4 x dx .
Hƣớng dẫn:
Đặt x 2sin t
ĐS: I .
Ví dụ 3. Tính tích phân
1
2
0
dxI
1 x.
Giải
Đặt 2x tan t, t ; dx (tan x 1)dt2 2
x 0 t 0, x 1 t4
4 42
20 0
tan t 1I dt dt
41 tan t.
Vậy I4
.
Ví dụ 4. Tính tích phân
3 1
2
0
dxI
x 2x 2.
Hƣớng dẫn: 3 1 3 1
2 2
0 0
dx dxI
x 2x 2 1 (x 1).
Đặt x 1 tan t
ĐS: I12
.
Ví dụ 5. Tính tích phân
2
20
dxI
4 x.
ĐS: I2
.
Ví dụ 6. Tính tích phân
3 1
2
0
dxI
x 2x 2.
ĐS: I12
.
3. Các dạng đặc biệt
3.1. Dạng lƣợng giác
Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân
22 3
0
I cos x sin xdx .
Hƣớng dẫn:
4
Đặt t cos x
ĐS: 2
I15
.
Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân
25
0
I cos xdx .
Hƣớng dẫn:
Đặt t sin x
ĐS: 8
I15
.
Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân
24 2
0
I cos x sin xdx .
Giải
2 24 2 2 2
0 0
1I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
2 22
0 0
1 1(1 cos 4x)dx cos 2x sin 2xdx
16 4
2 22
0 0
1 1(1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x)
16 8
3 2
0
x 1 sin 2xsin 4x
16 64 24 32.
Vậy I32
.
Ví dụ 14. Tính tích phân
2
0
dxI
cos x sin x 1.
Hƣớng dẫn:
Đặt x
t tan2
.
ĐS: I ln2 .
Biểu diễn các hàm số LG theo tan2
at :
2
2 2 2
2 1 2sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t ta a a
t t t
3.2. Dạng liên kết
Ví dụ 15. Tính tích phân 0
xdxI
sin x 1.
Giải
Đặt x t dx dt x 0 t , x t 0
0
0
( t)dt tI dt
sin( t) 1 sin t 1 sin t 1
0 0
dt dtI I
sin t 1 2 sin t 1
22
0 0
dt dttt t2 4 cossin cos 2 42 2
2 00
td
2 4 ttan
2 t 2 2 4cos
2 4
.
5
Vậy I .
Tổng quát:
0 0
xf(sin x)dx f(sin x)dx2
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2 2007
2007 2007
0
sin xI dx
sin x cos x.
Giải
Đặt x t dx dt2
x 0 t , x t 02 2
20070
2007 2007
2
sin t2I dx
sin t cos t2 2
2 2007
2007 2007
0
cos tdx J
sin t cos t (1).
Mặt khác
2
0
I J dx2
(2). Từ (1) và (2) suy ra I4
.
Tổng quát:
2 2n n
n n n n
0 0
sin x cos xdx dx , n
sin x cos x sin x cos x 4.
Ví dụ 17. Tính tích phân
6 2
0
sin xI dx
sin x 3 cos x và
6 2
0
cos xJ dx
sin x 3 cos x.
Giải
I 3J 1 3 (1).
6 6
0 0
dx 1 dxI J dx
2sin x 3 cos x sin x3
Đặt t x dt dx3
1
I J ln 34
(2).
Từ (1) và (2)3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 316 4 16 4
.
Ví dụ 18. Tính tích phân
1
2
0
ln(1 x)I dx
1 x.
Giải
Đặt 2x tan t dx (1 tan t)dt
x 0 t 0, x 1 t4
4 42
20 0
ln(1 tan t)I 1 tan t dt ln(1 tan t)dt
1 tan t.
6
Đặt t u dt du4
t 0 u , t u 04 4
04
0
4
I ln(1 tan t)dt ln 1 tan u du4
4 4
0 0
1 tan u 2ln 1 du ln du
1 tan u 1 tan u
4 4
0 0
ln 2du ln 1 tan u du ln 2 I4
.
Vậy I ln 28
.
Ví dụ 19. Tính tích phân
4
x
4
cos xI dx
2007 1.
Hƣớng dẫn:
Đặt x t
ĐS: 2
I2
.
Tổng quát:
Với a > 0 , 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn ; thì
x
0
f(x)dx f(x)dx
a 1.
Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f( x) 2f(x) cos x .
Tính tích phân
2
2
I f(x)dx .
Giải
Đặt
2
2
J f( x)dx , x t dx dt
x t , x t2 2 2 2
2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
2 2
02
cos xdx 2 cos xdx 2 .
7
Vậy 2
I3
.
3.3. Các kết quả cần nhớ
i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a
a
f(x)dx 0 .
ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx .
iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
2 2n n
0 0
(n 1)!!,
n !!cos xdx sin xdx(n 1)!!
. ,n !! 2
neáu n leû
neáu n chaün
.
Trong đó
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;
6!! 2.4.6; 7 !! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10 .
Ví dụ 21.
211
0
10!! 2.4.6.8.10 256cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693.
Ví dụ 22.
210
0
9!! 1.3.5.7.9 63sin xdx . .
10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512.
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Công thức
Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có / / / // /uv u v uv uv dx u vdx uv dx
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udv
b b b b
b ba a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu .
Công thức: b b
ba
a a
udv uv vdu (1).
Công thức (1) còn đƣợc viết dƣới dạng: b b
b/ /a
a a
f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx (2).
2. Phƣơng pháp giải toán
Giả sử cần tính tích phân
b
a
f(x)g(x)dx ta thực hiện
Cách 1.
8
Bƣớc 1. Đặt u f(x), dv g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân
/du u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân
b
a
vdu phải tính được.
Bƣớc 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả.
Đặc biệt:
i/ Nếu gặp
b b b
ax
a a a
P(x)sin axdx, P(x)cos axdx, e .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u P(x).
ii/ Nếu gặp
b
a
P(x) ln xdx thì đặt u ln x .
Cách 2.
Viết lại tích phân
b b
/
a a
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx và sử dụng trực tiếp công thức (2).
Ví dụ 1. Tính tích phân
1
x
0
I xe dx .
Giải
Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e (chọn C 0 )
1 1
11x x x x0 0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1.
Ví dụ 2. Tính tích phân
e
1
I x ln xdx .
Giải
Đặt 2
dxduu ln x x
dv xdx xv
2
e ee2 2
11 1
x 1 e 1x ln xdx ln x xdx
2 2 4.
Ví dụ 3. Tính tích phân
2x
0
I e sin xdx .
Giải
Đặt x x
u sin x du cos xdx
dv e dx v e
2 2x x x2 2
0
0 0
I e sin xdx e sin x e cos xdx e J .
Đặt x x
u cos x du sin xdx
dv e dx v e
9
2 2x x x2
0
0 0
J e cos xdx e cos x e sin xdx 1 I
22
e 1I e ( 1 I) I
2.
Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 7. Tính tích phân
2
4
0
I cos xdx .
Hƣớng dẫn:
Đặt t x2
0
I 2 t cos tdt 2 .
Ví dụ 8. Tính tích phân
e
1
I sin(ln x)dx .
ĐS: (sin1 cos1)e 1
I2
.
III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phƣơng pháp giải toán
1. Dạng 1
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I f(x) dx , ta thực hiện các bước sau
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
x a 1x 2x b
f(x) 0 0
Bƣớc 2. Tính
1 2
1 2
b x x b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx .
Ví dụ 9. Tính tích phân
2
2
3
I x 3x 2 dx .
Giải
Bảng xét dấu
x 3 1 2 2x 3x 2 0 0
1 2
2 2
3 1
59I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2.
Vậy 59
I2
.
10
Ví dụ 10. Tính tích phân
22
0
I 5 4 cos x 4 sin xdx .
ĐS: I 2 3 26
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
b
a
I f(x) g(x) dx , ta thực hiện
Cách 1.
Tách
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Ví dụ 11. Tính tích phân
2
1
I x x 1 dx .
Giải
Cách 1. 2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
0 2 1 22 2 2 2
1 0 1 1
x x x xx x 0
2 2 2 2.
Cách 2.
Bảng xét dấu
x –1 0 1 2
x – 0 + +
x – 1 – – 0 + 0 1 2
1 0 1
I x x 1 dx x x 1 dx x x 1 dx
120 21 10
x x x x 0 .
Vậy I 0 .
3. Dạng 3
Để tính các tích phân
b
a
I max f(x), g(x) dx và
b
a
J min f(x), g(x) dx , ta thực hiện các
bước sau:
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) f(x) g(x) trên đoạn [a; b].
Bƣớc 2.
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) f(x) và min f(x), g(x) g(x) .
+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) g(x) và min f(x), g(x) f(x) .
11
Ví dụ 12. Tính tích phân
4
2
0
I max x 1, 4x 2 dx .
Giải
Đặt 2 2h(x) x 1 4x 2 x 4x 3 .
Bảng xét dấu
x 0 1 3 4
h(x) + 0 – 0 + 1 3 4
2 2
0 1 3
80I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3.
Vậy 80
I3
.
Ví dụ 13. Tính tích phân
2
x
0
I min 3 , 4 x dx .
Giải
Đặt x xh(x) 3 4 x 3 x 4 .
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 + 1 2 21x 2
x
0 10 1
3 x 2 5I 3 dx 4 x dx 4x
ln 3 2 ln 3 2.
Vậy 2 5
Iln 3 2
.
IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Phƣơng pháp giải toán
1. Dạng 1
Để chứng minh
b
a
f(x)dx 0 (hoặc
b
a
f(x)dx 0 ) ta chứng minh f(x) 0 (hoặc f(x) 0 ) với
x a; b .
Ví dụ 14. Chứng minh
1
3 6
0
1 x dx 0 .
Giải
Với
1
3 36 6 6
0
x 0; 1 : x 1 1 x 0 1 x dx 0 .
2. Dạng 2
Để chứng minh
b b
a a
f(x)dx g(x)dx ta chứng minh f(x) g(x) với x a; b .
Ví dụ 15. Chứng minh
2 2
10 11
0 0
dx dx1 sin x 1 sin x
.
Giải
Với 11 10x 0; : 0 sin x 1 0 sin x sin x2
12
10 1110 11
1 11 sin x 1 sin x 0
1 sin x 1 sin x.
Vậy
2 2
10 11
0 0
dx dx1 sin x 1 sin x
.
3. Dạng 3
Để chứng minh
b
a
A f(x)dx B ta thực hiện các bước sau
Bƣớc 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m f(x) M .
Bƣớc 2. Lấy tích phân
b
a
A m(b a) f(x)dx M(b a) B .
Ví dụ 16. Chứng minh
1
2
0
2 4 x dx 5 .
Giải
Với 2 2x 0; 1 : 4 4 x 5 2 4 x 5 .
Vậy
1
2
0
2 4 x dx 5 .
Ví dụ 17. Chứng minh
34
2
4
dx4 23 2 sin x
.
Giải
Với 23 2 1x ; : sin x 1 sin x 1
4 4 2 2
22
1 11 3 2 sin x 2 1
2 3 2 sin x
34
2
4
1 3 dx 31
2 4 4 4 43 2 sin x.
Vậy
34
2
4
dx4 23 2 sin x
.
Ví dụ 18. Chứng minh
3
4
3 cotx 1dx
12 x 3.
Giải
Xét hàm số cotx
f(x) , x ; x 4 3
ta có
2/
2
xcotx
sin xf (x) 0 x ; 4 3x
13
f f(x) f x ; 3 4 4 3
3 cotx 4 x ;
x 4 3
3
4
3 cotx 4dx
3 4 x 3 4.
Vậy
3
4
3 cotx 1dx
12 x 3.
4. Dạng 4 (tham khảo)
Để chứng minh
b
a
A f(x)dx B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện
Bƣớc 1. Tìm hàm số g(x) sao cho
b
b
a
a
f(x) g(x) x a; b
f(x)dx Bg(x)dx B
.
Bƣớc 2. Tìm hàm số h(x) sao cho
b
b
a
a
h(x) f(x) x a; b
A f(x)dxh(x)dx A
.
Ví dụ 19. Chứng minh
22
20070
2 dx2 41 x
.
Giải
Với 2007 22 1x 0; : 0 x x
2 2
2 2007
2007 2
1 1 11 x 1 x 1 1
2 1 x 1 x
2 2 22 2 2
2007 20 0 0
dx dxdx
1 x 1 x.
Đặt x sin t dx cos tdt
2x 0 t 0, x t
2 4
22 4
20 0
dx cos tdtcos t 41 x
.
Vậy
22
20070
2 dx2 41 x
.
14
Ví dụ 20. Chứng minh
1
20
3 1 xdx 2 14 2x 2 1
.
Giải
Với 2x 0; 1 : 2 1 x 2 1 3 1
2
x x x3 1 2 1x 2 1
1 1 1
20 0 0
xdx xdx xdx3 1 2 1x 2 1
.
Vậy
1
20
3 1 xdx 2 14 2x 2 1
.
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
y f(x), x a, x b và trục hoành là
b
a
S f(x) dx .
Phƣơng pháp giải toán
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) dx .
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x e và Ox.
Giải
Do ln x 0 x 1; e nên e e
e1
1 1
S ln x dx ln xdx x ln x 1 1 .
Vậy S 1 (đvdt).
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3, x 0, x 3 và Ox.
Giải
Bảng xét dấu
x 0 1 3
y – 0 + 0
1 3
2 2
0 1
S x 4x 3 dx x 4x 3 dx
1 33 32 2
0 1
x x 82x 3x 2x 3x
3 3 3.
Vậy 8
S3
(đvdt).
2. Diện tích hình phẳng
2.1. Trƣờng hợp 1.
15
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x), x a, x b là
b
a
S f(x) g(x) dx .
Phƣơng pháp giải toán
Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b].
Bƣớc 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân
b
a
f(x) g(x) dx .
2.2. Trƣờng hợp 2.
Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y f(x), y g(x) là S f(x) g(x) dx . Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của
phương trình f(x) g(x) a b .
Phƣơng pháp giải toán
Bƣớc 1. Giải phương trình f(x) g(x) .
Bƣớc 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn ; .
Bƣớc 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx .
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x ,
x 0, x 2 .
Giải
Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6
h(x) 0 x 1 x 2 x 3 (loại).
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 + 0
1 2
3 2 3 2
0 1
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx
1 24 2 4 23 3
0 1
x 11x x 11x 52x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2.
Vậy 5
S2
(đvdt).
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 2y x 11x 6, y 6x .
Giải
Đặt 3 2 3 2h(x) (x 11x 6) 6x x 6x 11x 6
h(x) 0 x 1 x 2 x 3 .
Bảng xét dấu
x 1 2 3
h(x) 0 + 0 – 0 2 3
3 2 3 2
1 2
S x 6x 11x 6 dx x 6x 11x 6 dx
16
2 34 2 4 23 3
1 2
x 11x x 11x 12x 6x 2x 6x
4 2 4 2 2.
Vậy 1
S2
(đvdt).
Chú ý:
Nếu trong đoạn ; phương trình f(x) g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công
thức f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx .
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3y x , y 4x .
Giải
Ta có 3x 4x x 2 x 0 x 2 0 2
3 3
2 0
S x 4x dx x 4x dx
0 24 42 2
2 0
x x2x 2x 8
4 4.
Vậy S 8 (đvdt).
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4 x 3 và trục hoành.
Giải
Ta có 2 2x 4 x 3 0 t 4t 3 0, t x 0
t 1 x 1 x 1
t 3 x 3 x 3
3 3
2 2
3 0
S x 4 x 3 dx 2 x 4x 3 dx
1 3
2 2
0 1
2 x 4x 3 dx x 4x 3 dx
1 33 32 2
0 1
x x 162 2x 3x 2x 3x
3 3 3.
Vậy 16
S3
(đvdt).
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 4x 3 và y x 3 .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm 2x 4x 3 x 3
2
2
x 3 0x 0
x 4x 3 x 3x 5
x 4x 3 x 3
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3 5 2x 4x 3 + 0 – 0 +
17
1 3 5
2 2 2
0 1 3
S x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx
1 3 53 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 1096x
3 2 3 2 3 2 6.
Vậy 109
S6
(đvdt).
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2y x 1 , y x 5 .
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm 2 2x 1 x 5 t 1 t 5, t x 0
2
2
t x 0t x 0
t 1 t 5 x 3t 3
t 1 t 5
3 3
2 2
3 0
S x 1 x 5 dx 2 x 1 x 5 dx
Bảng xét dấu
x 0 1 3 2x 1 – 0 +
1 3
2 2
0 1
S 2 x x 4 dx x x 6 dx
1 33 2 3 2
0 1
x x x x 732 4x 6x
3 2 3 2 3.
Vậy 73
S3
(đvdt).
Chú ý: Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có).
B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY
1. Trƣờng hợp 1.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x) 0 x a;b , y 0 ,
x a và x b (a b) quay quanh trục Ox là
b
2
a
V f (x)dx .
Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn 2 2 2(C) : x y R quay quanh Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là 2 2x R x R .
Phương trình 2 2 2 2 2 2(C) : x y R y R x R R
2 2 2 2
R 0
V R x dx 2 R x dx
R3 32
0
x 4 R2 R x
3 3.
18
Vậy 34 R
V3
(đvtt).
2. Trƣờng hợp 2.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x g(y) 0 y c;d , x 0 ,
y c và y d (c d) quay quanh trục Oy là
d
2
c
V g (y)dy .
Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse 2 2
2 2
x y(E) : 1
a b quay quanh Oy.
Giải
Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2
2
y1 y b
b.
Phương trình 2 2 2 2
2 22 2 2
x y a y(E) : 1 x a
a b b
b b2 2 2 22 2
2 2
b 0
a y a yV a dy 2 a dy
b b
R2 3 22
20
a y 4 a b2 a y
33b.
Vậy 24 a b
V3
(đvtt).
3. Trƣờng hợp 3.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y g(x) , x a và
x b (a b, f(x) 0,g(x) 0 x a; b ) quay quanh trục Ox là b
2 2
a
V f (x) g (x) dx .
Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x , 2y x quay quanh
Ox.
Giải
Hoành độ giao điểm 4
x 0 x 0
x 1x x.
1 1
4 4
0 0
V x x dx x x dx
15 2
0
1 1 3x x
5 2 10.
Vậy 3
V10
(đvtt).
4. Trƣờng hợp 4.
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x f(y), x g(y) , y c và
y d (c d, f(y) 0,g(y) 0 y c; d ) quay quanh trục Oy là d
2 2
c
V f (y) g (y) dy .
Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường 2x y 5 , x 3 y
quay quanh Oy.
19
Giải
Tung độ giao điểm 2y 1
y 5 3 yy 2
.
22 22
1
V y 5 3 y dy
2
4 2
1
y 11y 6y 16 dy
25 32
1
y 11y 1533y 16y
5 3 5.
Vậy 153
V5
(đvtt).
VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP
1. Tính I= 1
10
0
1 x dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 1 2 10
10 10 10
1 1 11 ...
2 3 11 S C C C
2. Tính: 1
19
0
1I x x dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:
0 1 2 18 1919 19 19 19 19
1 1 1 1 1...
2 3 4 20 21S C C C C C .
3. Chứng minh rằng:1
1 21 1 1 2 11 ...
2 3 1 1
nn
n n nC C Cn n
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= sin cos
sin cos
x x
x x
, biết rằng ln2
4F
2. Tính các tích phân sau:
A=2
1
2 5-7e
x xdx
x
B=
2
2
-2
-1x dx C=2
0
2 ln 2x dx
3. Tính các tích phân sau:
A=3
3 cos
0
sinxe xdx
B=4
1
lne
xdx
x C*=
2 3
25 4
dx
x x D
*=
2
1 1 -1
xdx
x
4. Tính các tích phân sau:
I=1
sin(ln )e xdx
x J=4
2
6
sin cot
dx
x x
K=10
1
lg xdx
L=ln 5
ln 3 2 3x x
dx
e e M=
2
2 20
sin 2
cos 4sin
xdx
x x
N=
2
2
1- 9
dx
x
C=2
2 2
0
sin 2
(1 cos )
xdx
x
5. Tính các tích phân sau:
20
A=1
20 4 -
dx
x B=
3
2
33
dx
x C=
4
2
0
16- dxx
D=ln 2
0
1-
1
x
x
edx
e E=3
2
2
2
1dx
x
6. Tính các tích phân sau:
A=2
1
lne
xdx
x B
*=
2
0
sin
1 cos
x xdx
x
C
*=
2
2
1
ln xdx
x
D*=
1
cos(ln )e
x dx
E=2 4
3
1
3 2x xdx
x
1 2*
4
1
1
1
xF dx
x
7. Tính:
A=4
2
0
cos xdx
B=2
3
0
cos xdx
C=1
0
xxe dx D=4
1
xedx
x E=
2
1
lnx xdx
F=1
ln 1e
xdx
x
G=
2
2
0
1 2x x dx H=4
0
1 2x xdx I=2
11
xdx
x J=1
2
01
xdx
x
8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. x=1; x=e; y=0 và y= 1 ln x
x
b. y=2x; y=3x và x=0
c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=3
.
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x
2+4x3 (C) và tiếp tuyến với
đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x
3 và y=0, x=1
khi nó quay quanh:
a) Trục Ox.
b) Trục Oy.
Hết