choque oblicuo y ondas de expansión
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Flujo compresibleTRANSCRIPT
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UNEXPO
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA
ANTONIO JOS DE SUCRE
VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ
DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA
SECCIN DE TERMOFLUIDOS
DINAMICA DE GASES
DINAMICA DE
GASES (322678)
Profesor: LUIS M. BUSTAMANTE
Puerto Ordaz. 2013.
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Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos. Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
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CAPITULO VII
CHOQUE OBLICUO Y ONDAS DE EXPANSIN
7.1 Origen de la Onda de Choque Oblicua. 7.2 Choque Oblicuo. Ecuaciones. 7.3 Flujo Supersnico sobre Cuas y Conos. 7.4 Choque Polar. 7.5 Reflexin Regular en los Lmites de un
Slido. 7.6 Diagrama de Presin-Deflexin 7.7 Interseccin de Ondas de Choque Oblicuas
de Familias Opuestas 7.8 Interseccin de Ondas Oblicuas de Familias
Similares. 7.9 Ondas de Expansin Prandtl-Meyer. 7.10 Resumen de ecuaciones. 7.11 Aplicaciones. 7.12 Problemas. 7.13 Tablas. 7.14 Bibliografa. 7.15 Anexo.
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Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
U.N.E.X.P.O. Dpto. Ingeniera Mecnica. Seccin de Termofluidos. Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
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CAPTULO VII
CHOQUE OBLICUO Y ONDAS DE EXPANSIN
7.1.- ORIGEN DE LA ONDA DE CHOQUE OBLICUA.
La onda de choque normal, ya considerada, es en cierto modo un caso especial
de una familia ms general de ondas de choque oblicuas que ocurren en un campo de
flujo supersnico. Los choques oblicuos ocurren generalmente cuando el flujo
supersnico es retornado en si mismo, como se muestra en la figura 7.1a. Aqu, el
campo de flujo supersnico, que originalmente era uniforme y paralelo a la superficie,
es obligado a girar. En el punto A, toda la corriente supersnica es desviada hacia
arriba a travs de un ngulo ., (giro cncavo), Este cambio, en la direccin de la
corriente, hace que se genere una onda de choque. La corriente aguas abajo del
choque es tambin uniforme y paralela a la superficie. Al otro lado de la onda de
choque, el nmero de Mach puede continuar siendo supersnico o
disminuye, y la presin, la temperatura y la densidad aumentan.
1 2
11 M12
12
12
1
TT
pp
MM2
bA
1 2
11 M 12
12
12
1
TT
pp
MM2
a
A
OblicuaChoquedeOnda .ExpansindeOnda
. . . 7.1FIGURA ConvexoGirobCncavoGiroaesquinaunasobreoSupersnicFlujo
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En el caso contrario, cundo el campo de flujo supersnico se aleja bruscamente
de s, (giro convexo), ver la figura 7.1b, se esta generando una onda de expansin.
Aqu, toda la corriente es desviada hacia abajo a travs de un de ngulo . Esta onda
de expansin se despliega en forma de abanico, existirn, as, infinitas ondas de
expansin. La corriente es desviada hasta que vuelve a ser paralela a la superficie. Al
otro lado del onda de expansin, el nmero de Mach aumenta y la presin, la
temperatura, y la densidad disminuyen.
Los choques oblicuos y las ondas de expansin son habituales en los flujos
supersnicos bi y tridimensionales. Estas ondas son intrnsecamente bidimensionales
en la naturaleza, en contraste con las ondas de choque ya estudiadas, que son de
carcter unidimensional. Es decir, las propiedades del campo de flujo estn en funcin
de las coordenadas x e y . La idea central de este captulo es presentar los cambios
que se generan en las propiedades de un campo de flujo al existir ondas de choque
bidimensionales.
Las ondas de choque oblicuas y las ondas de expansin, al igual que las ondas
de choque normal, son generadas por perturbaciones que crean colisiones moleculares
a una determinada velocidad del sonido, algunas de las cuales se unen al final
generando choques y otras se separaran en forma de ondas de expansin.
7.2.- CHOQUE OBLICUO. ECUACIONES.
La geometra de un campo de flujo con una onda de choque oblicua es mostrada
en la figura 7.2 La velocidad aguas arriba del campo de flujo es 1V y la corriente es
paralela a la superficie. El nmero de Mach correspondiente es 1M . El choque oblicuo
se genera con un ngulo con respecto a 1V . Detrs de la onda de choque, la
corriente es desviada en un ngulo . La velocidad y el nmero de Mach, luego de la
onda de choque, son 2V y 2M respectivamente. Los componentes de 1V ,
perpendiculares y paralelos a la onda de choque, son 1u y 1w , respectivamente; y en
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forma anloga, los componentes de 2V perpendiculares y paralelos a la onda de
choque, son 2u y 2w , respectivamente, tal y como se muestra la figura 7.2. De esta
forma se pueden considerar que existen, corriente arriba de la onda de choque,
nmeros de Mach normales y tangenciales, denominados 1nM y 1tM ,
Respectivamente. De forma semejante, existe los nmeros de Mach 2nM y 2tM ,
normales y tangenciales a la onda de choque, aguas abajo de la onda de choque
oblicua.
Considrese el volumen de control abcdef , y 21 AA , siendo 1A el rea de la
cara a y 2A el rea de la cara b . Ambas caras son paralelas a la onda de choque.
Aplicando la forma integral de la ecuacin de continuidad a este volumen de control
para un flujo permanente, se tiene
2211 uu (7.1)
La forma integral de la ecuacin del momentum es una ecuacin vectorial y por
facilidades de calculo, debe ser resuelta en sus dos componentes paralelos y
bc
d
ef
a2V
1V
22 ,MV
1 2
11,MV
11, nu M22 , nu M
11, tw M22 , tw M
.OblicuaChoquedeOndaunadeGeometra 9.2 FIGURA
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perpendiculares a la onda de choque oblicua. Considerando el volumen de control
abcdef , flujo permanente y sin fuerzas de masa, se tiene
0222111 wuwu (7.2)
dividiendo la ecuacin (7.2) por (7.3), se deduce que
21 ww (7.3)
ste es un resultado sorprendente, es decir, el componente tangencial de la
velocidad del flujo se conserva a travs de la onda de choque oblicua.
retornando a la figura 7.2 y desarrollando componente normal, se tiene
21222111 ppuuuu
o
22222
111 upup (7.3a)
Aplicando la forma integral de la ecuacin de la energa al volumen de control
abcdef y para un flujo adiabtico, permanente y sin fuerzas de masa.
22
2221
2
1112211
22u
Veu
Veupup
o
22
2
2211
2
11
22u
Vhu
Vh
(7.4)
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dividiendo la ecuacin (7.4) por (7.2),
22
2
22
2
11
Vh
Vh (7.5)
Por la geometra Fig. 7.2, se tiene que 222 wuV y como 21 ww
2221222221212221 uuwuwuVV
por lo tanto, la ecuacin (7.5) se convierte en
22
2
22
2
11
uh
uh (7.6)
Observando las ecuaciones (7.2), (73a), y (7.6) cuidadosamente, se nota que son
idnticas a las ecuaciones de continuidad, momentum y energa del choque normal.
Adems, en ambos grupos de ecuaciones las velocidades son normales a la onda de
choque. Por lo tanto, los cambios que se generan en una onda de choque oblicua son
gobernados por el componente normal de la velocidad. Aplicando el lgebra a la figura
7.2, se tiene
MM Senn 11 (7.7)
para un gas calricamente perfecto,
21
12
2
1
2
1
1
n
n
k
k
M
M
(7.8)
1M1
21 2
1
2
1
n
k
k
p
p (7.9)
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8
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
n
n
n
k
k
k
M
M
M (7.10)
2
1
1
2
!
2
p
p
T
T (7.11)
Ntese que el nmero de Mach luego de la onda de choque oblicua, 2M , puede
ser calculado de 2nM de la forma,
Sen
n22
MM (7.12)
En el captulo que trato el tema de la onda de choque normal, se enfatiz que
las propiedades eran una funcin de una variable solamente y esa variable era el
nmero de Mach antes de la onda de choque normal. Ahora, de la ecuacin (7.7) a la
(7.11), se observa que los cambios a travs de la onda de choque oblicua son una
funcin de dos variables, tanto como 1M , como . Se observa tambin que el choque
normal en realidad slo un caso especial de los choques oblicuos cuando 2/ .
La ecuacin (7.12) muestra que 2M no puede ser calculado hasta que el ngulo
de desviacin del flujo sea obtenido. Sin embargo es tambin una funcin nica de
1M y , por la geometra de la figura 7.2
1
1tanw
u (7.13)
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9
2
2tanw
u - (7.14)
combinando las ecuaciones. (7.13) y (7.14), donde 21 ww
1
2
tan
tan
u
u
(7.15)
y asociando la ecuacin. (7.15) con las ecuaciones (7.2), (7.7), y (7.8), se obtiene
2
M
M
senk
senk2
1
22
1
1
12
tan
tan
(7.16)
con un poco de manipulacin trigonomtrica, la ecuacin (7.16) puede ser expresada
como
22cos
1cot2tan
2
1
22
1
k
sen
M
M (7.17)
la ecuacin (7.17) es denominada la relacin M y establece el ngulo como
una funcin nica de 1M y .
Esta relacin es vital para el anlisis de los choques oblicuos, y los resultados
obtenidos de ella son graficados en el anexo F1 para k = 1,4. Examinando la grfica del
anexo F.1, se concluye lo siguiente:
1. Para un valor dado de 1M existe un ngulo de desviacin mximo ( MAX ). Si
fsicamente es mayor a MAX para este ngulo no existe solucin de choque oblicuo.
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2. Para cualquier ngulo menor al mximo existirn dos valores de provenientes
de la relacin M . Los cambios a travs de la onda de choque oblicua son ms
fuertes en la medida en que aumenta, esto se demuestra analizando las ecuaciones
(7.8) y (7.9), es decir, el nmero de Mach puede continuar siendo supersnico, luego de
la onda de choque oblicua, en la medida en que el ngulo disminuya. Se ha
establecido que para valores altos de la onda de choque es fuerte; y para valores
pequeos de la onda de choque es dbil. Por lo general, en la naturaleza, la solucin
de de choque dbil es la que generalmente ocurre.
3. Si 0 , entonces 2
, correspondiendo a un choque normal, y para ,
corresponde a una onda de Mach.
4. Para un determinado ngulo de desviacin, el ngulo de la onda de choque puede
aumentar o disminuir, si la solucin de la onda de choque es fuerte o dbil
respectivamente. Adems el ngulo de Mach puede aumentar o disminuir a medida de
que el ngulo de la onda aumente o disminuya y a medida de que la solucin de la onda
de choque sea dbil o fuerte.
Estas observaciones son importantes, y deben ser estudiadas cuidadosamente.
Es importante tener una visin preliminar del comportamiento fsico de las ondas de
choque oblicuas. Si se considera la figura del anexo F.1, junto con las relaciones del
choque oblicuo dadas por las ecuaciones (7.7) hasta la (7.12), se puede observar, por
ejemplo, que para un nmero de Mach fijo, cuando es incrementado, , p2, T2 y 2
aumentan mientras 2M disminuye.
7.3.- FLUJO SUPERSNICO SOBRE CUAS Y CONOS.
Las propiedades del choque oblicuo ya estudiadas representan la solucin
exacta para un campo de flujo sobre una cua o una esquina de compresin
bidimensional. Las lneas de corriente aguas arriba de la onda de choque oblicua son
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11
y
x
1
2
2V
2yV
2xV
1V
11 VVx 01 yV
FIGURA 7.3.- Plano Fsico (x,y)
paralelas a la superficie de la cua. La presin sobre la superficie de la cua es
constante e igual a 2p .
Las ondas de choque oblicuas tambin se generan en la punta de un cono. Las
propiedades de este choque oblicuo son dadas por las relaciones ya estudiadas. Sin
embargo, a raz de que el campo de flujo sobre el cono es, intrnsecamente, en tres
dimensiones, el campo de flujo entre la onda de choque y la superficie del cono no es
totalmente uniforme. Las lneas de corriente son curvas y la presin sobre la superficie
del cono tampoco es uniforme. El hecho de existir una tercera dimensin, permite que el
flujo pueda moverse ms cmodamente, aliviando algunos de los obstculos creados
por la presencia del cuerpo cnico. Esto es llamado como el efecto aliviador en tres
dimensiones", que es caracterstico de todos flujos tridimensionales.
7.4.- CHOQUE POLAR.
Otra de las formas de estudiar el flujo supersnico con onda de choque es
grficamente y en el caso del flujo supersnico con choque oblicuo la forma grfica de
estudiarlo es bajo el mtodo del choque polar. El cual se describe a continuacin.
Considrese un choque oblicuo con una velocidad, corriente arriba de la onda,
de 1V y un ngulo de desviacin de , como se indica en la fig. 7.3. Tambin,
considrese un sistema de coordenadas cartesianas x y, en donde el eje x est en la
yV
xV
2yV
2xV
2V
A0
B
1xV
FIGURA 7.4.-Plano Hologrfico.
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direccin de 1V . La figura 7.3 se denominar plano fsico (x,y). Defnase 1xV , 1yV , 2xV , y
2yV como las componentes x y de las velocidades delante y detrs de la onda de choque
oblicua respectivamente.
Seguidamente se trazan estas
velocidades en un grfico en donde los
ejes corresponden a xV y yV , como se
indica en la Fig. 7.4. Este grfico de
componentes de velocidad se
denominar plano hologrfico. La
lnea OA representa la velocidad 1V ,
(velocidad delante de la onda de choque). La lnea OB representa la velocidad 2V ,
(velocidad detrs de la onda de choque). A su vez, el punto A, en el plano hologrfico,
representa el campo de flujo en su totalidad en la regin 1 del plano fsico de la Fig. 7.3.
Similarmente, el punto B, del plano hologrfico, representa el campo de flujo en su
totalidad en la regin 2 del plano fsico. Si ahora el ngulo de la desviacin en Fig. 7.3
se incrementa a C , entonces la velocidad 2V se orientar en un ngulo de C y la
magnitud de la velocidad disminuye porque la onda de choque oblicua se pone ms
fuerte. Esta condicin se muestra como el punto C del diagrama hologrfico que se
muestra en la Fig. 7.5, el cual representa como la velocidad aguas abajo de la onda de
choque polar vara al aumentar el ngulo de desviacin para una velocidad fija aguas
arriba de la onda de choque oblicua. El
lugar geomtrico de la unin todos los
puntos de las puntas de los vectores de
las velocidades 2V , para una velocidad
1V determinada, se denomina choque
polar. Los puntos A , B y C , en las
figuras 7.4 y 7.5, son justamente tres
puntos sobre el choque polar para una
velocidad dada 1V .
B
C
C
B
A
2V
2V
1V
yV
xV
. 7.5FIGURA 1VvelocidadunaparaPolarChoque
max
B
A
aVx
.
7.6FIGURA
polarmtodoelutilizando
geomtricanConstruci
C
H
D
1M
SnicoCirculo
aVy
O
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Por conveniencia, se graficarn las velocidades en forma no dimensional,
dividiendo por a , (definida en captulo anterior), (ver Fig. 7.6). Recordando que el
campo de flujo a travs de la onda de choque, entonces a es la misma delante y
detrs de de la onda de choque. De igual forma, se obtendr un choque polar de la
unin de todos los posibles 2M para un
1M dado, como se muestra en la figura Fig.
7.6. La conveniencia de utilizar M est en que, cuando M , 45,2M . El choque
polar, para una gama amplia de nmeros de Mach, se puede graficar en un mismo
grfico. En la figura 7.6 se indica un circulo cuando 1M , este se denomina circulo
snico. Dentro de este crculo, todas las velocidades son subsnicas; fuera de l, todas
las velocidades son supersnicas.
De la figura 7.6 se pueden enumerar las siguientes propiedades del choque
polar.
1. Para un ngulo de desviacin dado, el choque polar es cortado en dos puntos, B y
D. Estos puntos representan la solucin dbil y fuerte respectivamente del choque
oblicuo. El punto D esta dentro del circulo snico como se esperaba.
2. La lnea OC, dibujada tangente al choque polar, representa el mximo ngulo de
desviacin max para un valor dado de
1M , (tambin para un 1M dado). Para MAX ,
no hay solucin para choque oblicuo.
3. Los puntos E y A representan la condicin de que no existe desviacin del campo de
flujo. El punto E es la solucin del choque normal; el punto A corresponde a la lnea de
Mach.
4. Si se traza una lnea travs de A y B, y la lnea OH es trazada perpendicular a AB,
entonces el ngulo HOA es el ngulo de la onda de choque correspondientemente a
la solucin del choque en el punto B. Esto puede demostrarse por el simple argumento
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geomtrico de que la componente tangencial de la velocidad se conserva a travs de la
onda de choque.
La ecuacin analtica para el choque polar (Vy/a* contra Vx/a*) puede ser
obtenida por del choque oblicuo El resultado es dado por la siguiente ecuacin:
2
1
2
1
1
2
1**
*)(1
2
*/
*
MM
M
a
Vx
y
aV
a
Vy x .
7.5.- REFLEXIN REGULAR EN LOS LMITES DE UN SLIDO
Considrese una onda de choque oblicua sobre las paredes de un slido como
se muestra en la Fig. 7.7.
El campo de flujo, antes de encontrarse con la perturbacin, es paralelo a las
paredes del slido. El
flujo en la regin 1, con
un Mach 1M , se desva
con un ngulo en el
punto A. Si se crea una
onda de choque oblicua,
sta se produce con un
ngulo 1 , chocando
con la pared superior en el punto B. En la regin 2 las lneas de corriente tendrn un
ngulo de inclinacin de . Todas las condiciones en la regin 2 se definen
singularmente por 1M y a travs de las relaciones del choque oblicuo discutidas
anteriormente. En el punto B, para que el campo de flujo permanezca tangente a la
pared superior, las lneas de corriente deben desviarse un ngulo . Esto slo puede
producirse por una segunda onda de choque, originada en B, con suficiente energa
FIGURA 7.7.- Reflexin de una onda de choque oblicua.
B
1
2
A
1
2 31M
2M
3M
reflejadaOnda
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como para girar el flujo un ngulo . Este segundo choque se denomina choque
reflejado; su intensidad esta condicionado por los valores de 2M y , generando las
consecuentes propiedades en la regin 3. Si 12 MM , la onda de choque reflejada es
ms dbil que la onda incidente, y el ngulo , que se genera con la pared superior,
no es igual a 1 .
7.6.- DIAGRAMA DE PRESIN-DEFLEXION
Las ondas de choque discutidas en la seccin anterior son un ejemplo de los
diferentes procesos de interaccin entre las ondas de choque oblicuas y alguna
superficie de un slido. Existen otros tipos de procesos de interaccin que involucran el
choque oblicuo y la onda de expansin con los lmites de un slido. Para entender
algunas de estas interacciones, se introduce la definicin de diagrama de presin-
deflexin, el cual no es otra cosa que el lugar geomtrico de todos los posibles valores
de las presiones estticas pueden tener detrs de una onda de choque oblicua, como
una funcin del ngulo de la desviacin y las condiciones del campo de flujo aguas
arriba de la onda de choque.
Considrese la Fig. 7.8, la cual muestra, en su parte superior, las dos formas en
que se pueden generan las ondas de choque oblicuas. La figura superior izquierda
muestra una onda que es girada hacia la izquierda, es denominada as porque, si se
esta sobre la onda y se observa aguas abajo, se nota que la onda gir a la izquierda. El
flujo realiza una deflexin de 2 hacia arriba, el cual ser considerado como positiva. En
contraste, la figura superior derecha muestra una onda que es girada hacia la derecha.
El flujo realiza una deflexin de 2 hacia abajo, el cual ser considerado como negativo.
La presin esttica aguas arriba de la onda de choque dnde 0 , es 1p ; la presin
esttica aguas abajo de la onda de choque, dnde 2 , es 2p . Estas dos
condiciones se ilustran por los puntos 1 y 2, respectivamente en un grfico presin
versus ngulo de deflexin en la figura 7.8. Para el movimiento hacia la derecha de la
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onda, si 22 en la magnitud absoluta, (pero diferentes en signo), la presin en regin
2' ser 2p . Esta condicin es indicada por el punto 2' de Fig. 7.8. Cundo el rango del
ngulo de desviacin son todos los
posibles tal que MAX para una solucin del choque oblicuo, el lugar geomtrico de
todos los posibles valores de las presiones, para un 1M y 1p dados; estn graficados
en el diagrama presin-deflexin de la figura 7.8. El lbulo derecho de esta figura
corresponde a positivo, el lbulo izquierdo para negativos.
7.7.- INTERSECCIN DE ONDAS DE CHOQUE OBLICUAS DE FAMILIAS
OPUESTAS
Considrese las intersecciones de las diferentes ondas de choques indicadas en
la figura 7.9. El campo de flujo es uniforme y paralelo a la superficie con un valor del
nmero de Mach mayor a la unidad. Debido a los ngulos de desviacin 1 y 2 , se
generan ondas de choque oblicuas con sus respectivos ngulos de onda 1 y 2 . Estas
se refractan en el punto C y se generan otras ondas de choque y no necesariamente
izquierdalahaciaGiro derechalahaciaGiro
1M 1M
2M
2M
1
1 2
22
2 p
22
2222 pp
1p1
. M Pr 7.8FIGURA 1 dadounparaDeflexinesinDiagrama
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ondas de choque oblicuas, las cuales continan reflejndose y retractndose, hasta que
el nivel de energa de las mismas sea tal que no se genere ninguna onda de choque
Este proceso genera las diferentes propiedades del campo de flujo en las
diferentes zonas, tales como la 2, 3, 4 y 4. Al existir zonas conjuntas como la 4 y 4, las
cuales poseen diferentes propiedades, existir una lnea imaginaria denominada lnea
de deslizamiento en la cual existe una discontinuidad en los cambio de la entropa. Sin
embargo, se toman las siguientes condiciones fsicas bsicas, necesarias para los
clculos:
1. La presin debe ser la misma, '44 pp de lo contrario la lnea de deslizamiento sera
curva, inconsistente con la geometra de la superficie
2. Las velocidades en las regiones 4 y 4' deben de tener la misma direccin, aunque no
necesariamente la misma magnitud. Si las velocidades tuvieran direcciones diferentes,
existira la nulidad del campo de flujo en la vecindad de la lnea de deslizamiento, lo
cual es una situacin fsica insostenible.
2
3
4
4
A
B
C
D
F
1 2
3 4 4E
11M
FIGURA 7.9.- Interseccin de ondas de choque de familias opuestas.
-
Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB.
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18
Estas dos condiciones, junto con las propiedades conocidas en regin 1 y los
ngulos 2 y 3 , determinan completamente las propiedades de las diferentes zonas de
choque. Las temperaturas y densidades, as como la entropa y la magnitud de las
velocidades, son diferentes en las regiones 4 y 4'.
Se observa en la figura 7.9, que si 32 , los procesos de reflexin y refraccin
son simtricos y no existir ninguna lnea de deslizamiento.
7.8.- INTERSECCIN DE ONDAS OBLICUAS DE FAMILIAS SIMILARES.
Considrese una esquina de compresin tal y como se indica en la figura 7.10,
en dnde el campo de flujo supersnico, en la regin 1, es desviado un ngulo , con la
consecuencia de generarse una onda de choque oblicua en el punto B. Ahora
considrese una onda de Mach generada en el punto A, aguas arriba de la onda de
choque. La onda de Mach se interceptar con la onda de choque, o por el contrario se
alegar de la misma. La anterior se puede comprobar aplicando la ecuacin (7.7),
escrita en los trminos de velocidad, es decir:
senVu 11
11 M
MachdeOnda
MachdeOnda
A B
C
1
2
ChoquedeOnda
1 2
FIGURA 7.10.- Onda de Mach antes y despus de una onda de choque oblicua.
-
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19
de aqu
1
1
V
usen (7.18)
recordando la ecuacin (7.1)
1
11
V
asen (7.19)
Ya se ha demostrado que, para existir el choque normal, la componente normal
de la velocidad del campo de flujo aguas arriba de la onda de choque debe ser
supersnica. De este modo, 11 au y por consiguiente, de las ecuaciones (7.18) y
(7.19), 1 . Por consiguiente, refirindose a la figura 7.10, la onda de Mach en A
interceptar a la onda de choque.
Considerando ahora una onda de Mach generada en el punto C, aguas abajo de
la onda de choque. De la ecuacin (7.12)
senVu 22
de aqu
2
2
V
usen (7.20)
recordando la ecuacin (7.1)
2
22
V
asen (7.21)
-
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20
Ya se ha demostrado que el componente normal de la velocidad del campo de flujo
aguas abajo de la onda de choque es subsnica. De este modo, 22 au y por
consiguiente, de las ecuaciones (7.20) y (7.21), 2 . Por consiguiente,
refirindose a la figura 7.10, la onda de Mach en C interceptar a la onda de choque.
7.9.- ONDAS DE EXPANSION PRANDTL-MEYER.
Cuando un flujo supersnico gira alrededor de s mismo segn lo discutido
anteriormente, se crea una onda de expansin como lo indicada en la figura 7.1b. Esto
es directamente contrario a la situacin cuando el flujo gira alrededor de s mismo con la
formacin de una onda de choque oblicua como la indicada en la figura 7.1a. Las ondas
de expansin son la anttesis de las ondas de choque oblicuas. Para apreciar esto ms
completamente, algunos aspectos cualitativos que experimenta el campo de flujo que
atraviesa una onda de expansin se detallan como sigue:
1. 12 MM . Una esquina de expansin es el medio para aumentar el nmero de Mach.
2. .1 ,1 ,11
2
1
2
1
2 T
Tp
p
La presin, densidad, y la temperatura disminuyen a
travs de una onda de expansin.
3. El abanico creado por las infinitas ondas de expansin es una regin de expansin
continua, integrada por un nmero infinito de las ondas del Mach, limitado, aguas
arriba de la corriente. por 1 y aguas abajo por 2 (vase la figura 7.11, donde
1
11
Marcsen y
2
21
Marcsen ).
-
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21
4. Las lneas de corriente a travs de una onda de expansin son lneas curvadas
lisas.
5. Puesto que la onda de
expansin ocurre con una sucesin
continua de las ondas del mach, y
0ds para cada onda del mach, la
onda de expansin es isentrpica.
Las ondas de expansin que se
crean en una esquina convexa
aguda, tal y como se ensea en las
figuras 7.1b y 7.11, son denominadas ondas de expansin centradas y gracias a los
trabajos realizados por Prandtl en 1907, seguido por Meyer en 1908, se crea lo que se
conoce como la teora de las ondas de expansin de Prandtl-Meyer.
La teora de las ondas de expansin de Prandtl-Meyer puede ser explicada
basndose en la figura 7.11. En base a unos valores de 1M , 1p , 1T y 2 dados, se
pueden calcular los valores de 2M , 2p y 2T . El anlisis se puede comenzar
considerando los cambios infinitesimales a travs de una onda muy dbil,
(esencialmente una onda de Mach), producida por una desviacin infinitesimal del flujo,
d , segn lo ilustrado en la figura. 7.12. De la ley de senos
1
1
1 1
T
p
M
2
2
2
T
p
M
PosteriorMachdeLnea
AnteriorMachdeLnea
1 2
2
FIGURA 7.-11.- Lneas de Expansin Prandtl-Mayer
V
MachdeOnda
V
2
2
d2
d
dVV
FIGURA 7.12.- Construccin geomtrica de los cambios infinitesimales a travs de una onda de choque oblicua
-
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22
dsen
sen
V
dVV
2
2 (7.22)
De las identidades trigonomtricas,
cos22
sensen (7.23)
sendsendddsen
coscoscos
2 (7.24)
y sustituyendo la ecuacin (7.23) y (7.24) dentro de (7.22), se obtiene
sendsendV
dV
coscos
cos1 (7.25)
Para un pequeo d , se puede hacer la suposicin de que, para ngulos
pequeos, dsend y 1cos d . Entonces la ecuacin (7.25) se convierte en
tan1
1
cos
cos1
dsendV
dV
(7.26)
recordando la serie de expansin para x < 1
...11
1 32
xxxx
-
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23
la ecuacin (7.26) puede ser expandida, ignorando de trminos de segundo orden y de
una orden mayor, como
...tan11 dV
dV (7.26 a)
As, de la ecuacin (7.26a)
tan
VdV
d (7.27)
sin embargo, a partir de la ecuacin (7.1)
M
1sin 1
y escrita como
1
1tan
2
M (7.28)
y sustituyndola en la (7.27), se obtiene
V
dVMd 12 (7.29)
La ecuacin (7.29) es la ecuacin diferencial que gobierna el flujo de Prandtl-Meyer.
Obsrvese, de ella, los siguientes aspectos:
1. Es una ecuacin aproximada para un valor finito de d , pero se convierte en una
igualdad verdadera cuando 0d .
-
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24
2. Fue derivada estrictamente en base de una geometra, donde solamente la
condicin fsica est asociada a la definicin de una onda del Mach. Por lo tanto, es
una relacin general para los gases perfectos, los gases que reaccionan
qumicamente y los gases reales.
3. Es tratada para ngulos infinitesimalmente pequeos de ondas de expansin d ,
Para analizar totalmente la onda de expansin de Prandtl-Meyer la ecuacin
(7.29) debe ser integrada sobre el ngulo completo 2 y en las regiones 1 a 2,
V
dVMd
M
M
2
1
2
2
1
1
(7.30)
La integral en el lado derecho se puede evaluar despus de que V
dV se obtenga
en trminos de M. De la definicin del nmero de Mach,
MaV
aMV lnlnln (7.31)
diferenciando la ecuacin (7.31)
a
da
M
dM
V
dV (7.32)
relacionndola a un gas calrico perfecto, la ecuacin adiabtica de la energa puede
ser de nuevo escrita como
2
2
2
11 M
k
T
T
a
a oo
-
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25
o, solucionando para a
21
2
2
11
M
kaa o (7.33)
diferenciando la ecuacin (7.33)
dMMk
Mk
a
da1
2
2
11
2
1
(7.34)
y substituyendo la ecuacin (7.34) en la (7.32), se obtiene
M
dM
MkV
dV
2
2
11
1
(7.35)
La ecuacin (7.35) es la relacin deseada para V
dV en trminos de M,.
Substituyndola en la ecuacin (7.29):
2
1 2
2
2
2
1
2
11
10
M
MM
dM
Mk
Md
(7.36)
En la ecuacin (7.36), el trmino
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26
M
dM
Mk
MM
2
2
2
11
1 (7.37)
se denomina la funcin de Prandtl-Meyer, y se representa por el smbolo . Realizando
la integracin, la ecuacin (7.37) se convierte en
1tan11
1tan
1
1 2121
MM
k
k
k
kM (7.38)
La constante de integracin que debiera aparecer en la ecuacin (7.38) no es
importante, porque cae hacia fuera cuando la ecuacin (7.38) es sustituida dentro de la
ecuacin (7.36). Por conveniencia, se elige como cero 0M cuando 1M ,
Finalmente se puede ahora escribir la ecuacin (7.36), combinndola con la (7.37),
como
122 MM (7.39)
donde M es dado por la ecuacin (7.38) para un gas calrico perfecto. La funcin de
Prandtl-Meyer es tabulada, en funcin de M, en el anexo F.2 para k = 1.4, junto con los
valores del ngulo de Mach, para la conveniencia de los futuros clculos.
Retornando a la figura. 7.12 y en base a las ecuaciones (7.39) y (7.38), la forma
de clculo de una onda de expansin Prandtl-Meyer, es como sigue:
1. Obtener 1M del anexo F.2 para el valor de 1M dado.
2. Calcular 2M de la ecuacin (7.39) con el valor de 2 dado y 1M obtenido en el
paso 1.
3. Obtener el 2M del anexo F.2 que corresponde al valor de 2M del paso 2.
-
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27
4. Reconociendo de que la expansin es isentrpica, los valores de oT y op
permanecen constantes a travs de la onda, por lo tanto las ecuaciones. (3.28) y
(3.30) deben utilizarse para estimar las propiedades del campo de flujo despus de
la onda de expansin
2
1
2
2
2
1
2
11
2
11
Mk
Mk
T
T
y
1
2
1
2
2
2
1
2
11
2
11
kk
Mk
Mk
p
p
7.10.- RESUMEN DE FORMULAS.
2211 uu
(7.1)
0222111 wuwu
(7.2)
21 ww
(7.3)
2
222
2
111 upup
(7.3a)
22
2
2211
2
11
22u
Vhu
Vh
(7.4)
22
2
22
2
11
Vh
Vh
(7.5)
22
2
22
2
11
uh
uh
(7.6)
SenMMn 11
(7.7)
21
12
2
1
2
1
1
n
n
Mk
Mk
(7.8)
11
21 2
1
2
1
nM
k
k
p
p
-
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Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
28
(7.9)
1
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
n
n
n
Mk
k
kM
M
(7.10)
2
1
1
2
!
2
p
p
T
T
(7.11)
Sen
MM
n22
(7.12)
1
1tanw
u
(7.13)
2
2tanw
u -
(7.14)
1
2
tan
tan
u
u
(7.15)
2
senMk
senMk2
1
22
1
1
12
tan
tan
(7.16)
22cos
1cot2tan
2
1
22
1
kM
senM
(7.17)
1
1
V
usen
(7.18)
1
11
V
asen
(7.19)
2
2
V
usen
(7.20)
2
22
V
asen
(7.21)
dsen
sen
V
dVV
2
2
(7.22)
cos22
sensen
(7,23)
-
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29
sendsend
ddsen
coscos
cos2
(7.24)
sendsendV
dV
coscos
cos1
(7.25)
tan1
1
cos
cos1
dsendV
dV
(7.26)
...tan11 dV
dV
(7.26 a)
tan
VdV
d
(7.27)
1
1tan
2
M
(7.28)
V
dVMd 12
(7.29)
V
dVMd
M
M
2
1
2
2
1
1
(7.30)
aMV lnlnln
(7.31)
a
da
M
dM
V
dV
(7.32)
21
2
2
11
M
kaa o
(7.33)
dMMk
Mk
a
da1
2
2
11
2
1
(7.34)
M
dM
MkV
dV
2
2
11
1
(7.35)
2
1 2
2
2
2
1
2
11
10
M
MM
dM
Mk
Md
(7.36)
-
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Choque Oblicuo y Ondas de Expansin. Dinmica de Gases.
30
M
dM
Mk
MM
2
2
2
11
1
(7.37)
1tan11
1tan
1
1 2121
MM
k
k
k
kM
(7.38)
122 MM
(7.39)
-
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7.11.- APLICACIONES
N 1.- Circula aire sobre una cua tipo diamante cuyo ngulo cncavo y convexo es de 2 y tiene
una inclinacin convexa, con relacin a las lneas de corriente horizontales, de 8. En la cara
frontal de la cua y en la zona superior de la misma se generan ondas de expansin. En el
vrtice convexo superior de la cua igualmente se generan ondas de expansin. Al final de la
cua se genera una onda de choque oblicua a causa de una perturbacin cncava cuyo ngulo
es de 4. Aguas abajo de sta ltima onda de choque, resultan las siguientes propiedades y
relaciones: presin esttica y de estancamiento 51,77 kPa y 1341,89 kPa respectivamente y
p4/p3 = p(luego de la onda de choque)/p(antes de la onda de choque) = 1,34953. Determine las
siguientes propiedades aguas arriba de la cua: a) el nmero de Mach; b) la presin esttica; c)
la presin de estancamiento; y d) las lneas de Mach anterior y posterior de todas las ondas de
expansin. ( R = 287 J/kg K; k = 1,4)
Solucin. 1.- Leer.
2.- Datos: p4 = 51,77 kPa; po4 = 1341,89
kPa; p4/p3 = 1,34953; 4 = 4; 1 = 8; 2 =
2; k = 1,4; R = 287 J/kg K.
3.- Pregunta: Determinar las siguientes
propiedades aguas arriba de la cua: a) el
nmero de Mach; b) la presin esttica; c) la
presin de estancamiento; y d) las lneas de
Mach anterior y posterior de cada onda de
expansin.
4.- Esquema:
5.- Hiptesis: Flujo isentrpico. Gas
Calricamente perfecto
6.- Leyes y Ecuaciones. Conservacin de la
masa. Segunda Ley. Energa. Tablas de
Prandtl-Meyer. Tablas Isentrpicas. Tablas
de choque normal.
11
21 21
1
2
nM
k
k
p
p
8
2
p
po
4
3
2
1
-
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sen
MM n22
senMMn 11
122 MM
1
2
2
2
3
3
2
2
11
2
11
k
k
Mk
Mk
p
p
7.- Desarrollo.
1
1
21 23
3
4nM
k
k
p
p
1
1
2
13
4
3
k
k
p
p
M n
1
14,1
4,12
134953,13 x
M n
14000,129960,13 nM
se puede estimar tambin Mn3 por medio de
p4/p3 y las tablas de choque normal, dando
as el mismo resultado.
Por las tablas de choque normal y Mn3 se
determina:
Mn4 = 0,88204
03858,085,1341
77,51
4
4 op
p
por las tablas de flujo isentrpico se tiene:
M4 = 2,77
4
88204,077,2 44
sensen
MM n
31843,077,2
88204,04sen
31843,04 sen
568,1831843,01sens
568,224568,18
senMMn 33
97045,2
568,22
14,133
sensen
MM n
-
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34953,13
4
p
p
kPap
p 362,3834953,1
77,51
34953,1
43
3 1932,49M
por el dibujo 3 = 4, entonces:
3 = (M3) (M2) => (M2) = (M3) - 3
(M2) = 49,1932 4 = 45,193
por la tabla de Prandtl-Meyer
M2 = 2,7735
1
2
2
2
3
3
2
2
11
2
11
k
k
Mk
Mk
p
p
14,1
4,1
2
2
7735,22
14,11
97045,22
14,11
kPaxxpp
p
p
723,5134828,1362,3834828,1
34828,108913,153846,2
76471,2
32
5,3
5,3
3
2
por el dibujo 2 = 6, entonces:
2 = (M2) (M1) => (M1) = (M2) 2
(M1) = 45,193 6 = 39,193
a) por la tabla de Prandtl-Meyer
M1 = 2,503
b)
1
2
1
2
2
2
1
2
11
2
11
k
k
Mk
Mk
p
p
14,1
4,1
2
2
503,22
14,11
7735,22
14,11
51821,112670,125300,2
53846,2 5,35,3
2
1
p
p
kPaxxpp 53,7851821,1723,5151821,121
c) por las tablas de flujo isentrpico y con M1
= 2,503
p/po = p1/po1 = 0,05853 =>
-
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Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
po1 = p1/0,05853 = 78,53/0,05853 = 1341,71
kPa
d)
1) Angulo de la lnea anterior de la primera
onda de expansin = sen-1(1/M1) = sen-
1(1/2,503) = 23,55
2.- Angulo de la lnea posterior de la primera
onda de expansin = sen-1(1/M2) 6 = sen-
1(1/2,773) - 6 = 15,14
3.- Angulo de la lnea anterior de la segunda
onda de expansin = sen-1(1/M2) = sen-
1(1/2,7725) = 21,14
4.- Angulo de la lnea posterior de la
segunda onda de expansin = sen-1(1/M3)
4 = sen-1(1/2,970) - 4 = 15,67
RESULTADOS:
a) M1 = 2,503
b) p1 = 78,53 kPa
c) po1 = 1341,71 kPa
d) 1.- Angulo de la lnea anterior de la
primera onda de expansin = 23,55
2.- Angulo de la lnea posterior de la
primera onda de expansin = 15,13
3.- Angulo de la lnea anterior de la
segunda onda de expansin = 21,13
4.- Angulo de la lnea posterior de la
segunda onda de expansin = 15,67
-
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N 2.- En un tnel supersnico para aire, (fig. n 1a), en la entrada del difusor se
forma un sistema de dos pares de ondas de choque inclinadas respecto al eje del
tnel (fig. n 1b). con esto, las ondas AB, AB son oblicuas, con relacin al flujo de la
zona de trabajo, en tanto que las ondas CB, CB, son normales en lo que atae al
flujo tras las ondas de choque AB, AB. Determine la presin de estancamiento, con
el fin de obtener un flujo con nmero M1 = 3 en la zona de trabajo y vencer en la
salida del difusor la contrapresin atmosfrica pB = 1,275x105 Pa a una velocidad del
flujo correspondiente a MB = 0,3. El ngulo de la perturbacin es de 30.
Solucin 1.- Leer. 2.- Datos: M1 = 3. = 30. pB = 1,275x105 Pa (atm). MB = 0.3. k = 1.4 3.- Pregunta: Determinar la presin de
estancamiento, con el fin de obtener un
flujo con nmero M1 = 3 en la zona de
trabajo y vencer en la salida del difusor
la contrapresin atmosfrica pB =
1,275x105 Pa a una velocidad del flujo
correspondiente a MB = 0,3.
4,. Esquema o dibujo.
M1 =
3
A
C
C
B(B)
A
3
0
P0
1
P0
2
P0
3
PB =
1,275x1
05 Pa
MB = 0.3
Fig. n 1a
M1 MB
pB
po
Fig. n
1b
M1
A
C
C
B(B)
A
30
-
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5.- Hiptesis. Flujo isentrpico en todo el ducto. 6.- Leyes y ecuaciones. Tablas de Flujo isentrpico. Tablas de choque normal. Grafico M.
22cos
12
12
21
2
kM
senMctgtg ;
1232
11
k
k
B
B
o Mk
p
P;
1
1
2
1/2
12
12
22
n
nn
Mk
k
kMM ;
sen
MM n22 ; senMMn 11
7.- Desarrollo. a) por el grafico M = 51 Ajustando se tiene que = 52 para = 29,99.
b) senMMn 11 = 2.36
c) por la tabla de choque normal y para M = 2.36; se tiene: po2 /po1 = 0,5615
d) utilizando
1
1
2
1/2
12
12
22
n
nn
Mk
k
kMM =
0,28. entonces: Mn2 = 0,5275 = 0,53 utilizando la tabla de choque normal se comprueba que Mn2 = 0,5286 = 0,53
e)
sen
MM n22 = 1,41
f) por la tabla de choque normal y para M2 = 1,41; se tiene: po3 /po2 = 0,95566
g) utilizando 123
2
11
k
k
B
B
o Mk
p
P =
1,06; se tiene po3 = 1,36x10
5 Pa h) po2 = 1,36x10
5 Pa/0,95566 = 1,42x105 Pa i) po1 = 1,42x10
5 Pa/0,5615 = 1,42x105 Pa RESULTADO:
po1 = 1,42x105 Pa
-
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N 3.- Circula aire a travs de un ducto con un nmero de Mach de 4,5 y a una
temperatura de estancamiento de 60 C. Aguas abajo del ducto se encuentran dos
perturbaciones cncavas, con relacin al flujo, una en la cara superior y la otra en la
cara inferior del ducto, las cuales generan un par de ondas de choque oblicuas.
Estas ondas se refractan en otro par de ondas de choque de carcter normal,
continuando el flujo con la misma direccin original. Determine: a) las condiciones de
velocidad y temperatura estticas para el estado posterior a las ondas de choque
normal; y b) el cambio de entropa para las ondas de choque normal. El ngulo de la
perturbacin cncava inferior es de 30 y el de la perturbacin cncava superior es
de 20. (R 0 287 j/kg K; k = 1,4)
Solucin 1.- Leer. 2.- Datos: T0 = 60 C = 333 K; p0
=3,35x105 kPa; M1 = 4,5; 1 = 30; 2 =
20; k = 1,4; R = 287 J/kg K.
3.- Pregunta: Determine a) las
condiciones de velocidad y temperatura
estticas para el estado posterior a las
ondas de choque normales; b) el cambio
de entropa para las ondas de choque
normal.
4.- Esquema:
5.- Hiptesis: Flujo sin friccin e isentrpico. Gas Calricamente perfecto 6.- Leyes y Ecuaciones. Conservacin
de la masa. Segunda Ley. Energa.
Tablas de Flujo Isentrpico; de choque
normal y de Funcin Prandtl-Mayer.
Grafico de relacinM.
senMMn 11 ; ,)(
22
sen
MM n ;
kRTa ; a
uM ;
,
22cos
12
21
22
1
kM
senMctgtg
7.- Desarrollo.
a) Con M1 = 4,5 y 1 = 30 entonces 3 =
43,539
Con M1 = 4,5 y 2 = 20 entonces 2 =
30,938
30
M1
po To
20
1
2
3
4 5
-
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Mn1-3 = M1xsen3 = 4,5xsen(43,539) =
3,10
Mn1-2 = M1xsen2 = 4,5xsen(30,938) =
2,31
De las tablas de choque normal:
Mn2-3 = 0,47038
Mn2-2 = 0,53322
Entonces:
00925,2
30539,43
47038,0
13
323
sensen
MM n
81017,2
20938,30
53322,0
22
222
sensen
MM n
De las tablas de choque normal se
tiene:
M4 = 0,57565
M5 = 0,48746
Con los valores de los nmeros de
Mach calculados se estiman los
siguientes valores por las tablas de flujo
isentrpico y de choque normal.
a) M = 4,5 y con las tablas de flujo
isentrpico:
T/To = T1/To1 = 0,19802
b) M = 3,10 y con las tablas de choque
normal:
Ty/Tx = T3/T1 = 2,8062
c) M = 2,31 y con las tablas de choque
normal:
Ty/Tx = T2/T1 = 1,9560
d) M = 2,009 y con las tablas de choque
normal:
poy/pox = po5/po3 = 0,71619
Ty/Tx = T5/T3 = 1,6956
e) M = 2,8107 y con las tablas de
choque normal:
poy/pox = po4/po2 = 0,38618
-
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Ty/Tx = T4/T2 = 2,4622
De tal forma que:
T1 = To1x0,19802 = 333x0,19802 =
65,94 K
T3 = T1x2,8062 = 65,94x2,8062 = 185,04
K
T2 = T1x1,9560 = 65,94x1,9560 = 128,98
K
T5 = T3x1,6956 = 185,04x1,6956 =
313,75 K
T4 = T2x2,4622 = 128,98x2,4622 =
317,57 K
Por lo tanto
smxxkxRxTa /06,35575,3132874,155
smxxkxRxTa /21,35757,3172874,144
smxxaMu /63,20521,35757565,0444
smxxaMu /08,17406,35548746,0555
b)
71619,0ln287ln3
535 x
p
pRs
o
o
kgKJxs /80,95334,028735
38618,0ln287ln2
424 x
p
pRs
o
o
kgKJxs /94,272951,028724
RESULTADOS:
T4 = 317,57 K
T5 = 313,75 K
u4 = 205,63 m/s
u5 = 152,94 m/s
s5-3 = 95,80 J/kg K
s4-2 = 272,94 J/kg K
7.12.- PROBLEMAS PROPUESTOS
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7.1.- Aire a un M = 2.0 y p = 68,95 kPa (abs) es forzado a circular por una
perturbacin superficial con un ngulo de deflexin de 10 y se genera una onda
de choque oblicua. Determine: a) el ngulo de la onda ; b) M2;; y c) p2
7.2.- Fluye aire sobre una cua con M = 3. El ngulo de deflexin es de 10. Una
onda de choque oblicua dbil se refleja un una superficie que conserva la horizontal
con el eje de simetra longitudinal de la cua. Determine: a) el nmero de Mach
luego del reflejo de la onda en la pared; y b) el ngulo de reflejo de la onda en la
pared.
7.3.- Fluye aire sobre una cuya con M = 2,829; po = 101325 Pa y To = 20 C. El
ngulo de inclinacin de la onda de choque oblicua es de 45. Determine: a) el
nmero de Mach despus de la onda de choque; b) la direccin de las lneas de
corriente directamente despus de la onda de choque, y c) al ngulo de Mach.
7.4.- Un flujo supersnico con M = 3 forma una onda de choque oblicua como
resultado de encontrarse con una esquina cuyo ngulo de deflexin es de 30.
Determine: a) los posibles ngulos de reflejo ; y b) los posibles nmeros de Mach.
7.5.- Dos ondas de choque oblicua se interceptan formando entre si un ngulo de
120. Determine: a) el ngulo de las ondas de choque reflejadas si el flujo de aire
debe salir paralelo a su original; y b) el nmero de Mach despus de reflejadas las
ondas de choque. Considere un M = 2 antes de la intercepcin de las ondas.
7.6.- En un tnel supersnico para aire, (fig. n 1a), en la entrada del difusor se
forma un sistema de dos pares de ondas de choque inclinadas respecto al eje del
tnel (fig. n 1b). con esto, las ondas AB, AB son oblicuas, con relacin al flujo de la
zona de trabajo, en tanto que las ondas CB, CB, son igualmente oblicuas en lo que
atae al flujo tras las ondas de choque AB, AB. Determine la presin de
estancamiento, con el fin de obtener un flujo con nmero M1 = 3 en la zona de
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trabajo y vencer en la salida del difusor la contrapresin atmosfrica pB = 1,275x105
Pa a una velocidad del flujo correspondiente a MB = 0,3. El ngulo de la perturbacin
es de 30.
7.7.- En la zona de trabajo de un tnel aerodinmico se encuentra un cuerpo
cuneiforme. La circulacin alrededor de ste va acompaada por la formacin de
una onda de choque oblicua que incide en la pared opuesta a la cua. Tras la onda
de choque la velocidad no es paralela a la pared, por lo que ella interacciona con el
flujo provocando la aparicin de una onda reflejada, detrs de la cual el flujo se hace
paralelo a la pared. Determine el ngulo de reflexin de la onda de choque, a
condicin de que delante de la onda el nmero de M1 = 5 y el ngulo cua = 15.
7.8.- Fluye aire sobre una superficie convexa de 20 con un M1 = 3 y p1 = 200 kPa.
Determine la presin y el nmero de Mach para luego de la onda de expansin.
7.9.- Un flujo de aire supersnico con M1 = 2; T1 = 0 C y p1 = 20 kPa (abs), da vuelta
a una esquina convexa. Si M2 = 4, Qu ngulo deber tener la esquina? Calcule
tambin T2 y u2.
Fig. n 1a
M1 MB
pB
po
Fig. n1b
1b
M1
A
C
C
B(B)
A
30
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7.10.- Un campo de flujo con M1 = 3,2 y p1 = 50 kPa se dirige hacia dos esquinas de
30 cada una. Calcule el nmero de Mach y la presin en la ultima zona del campo
de flujo si: a) primero se genera una onda de choque oblicua y luego ana onda de
expansin; b) primero se genera una onda de expansin y luego ana onda de
choque oblicua.
7.11.- Fluye aire a travs de una cua tipo diamante cuyo ngulo cncavo y convexo
es de 15 en condicin supersnica. Se genera una onda de choque oblicua en la
cara frontal de la cua y en el vrtice convexo se generan ondas de expansin.
Aguas debajo de las ondas de expansin la presin esttica y la de estancamiento
valen 0,1 atm 2,596 atm respectivamente. Determine el nmero de Mach antes de la
onda de choque oblicua.
7.12.- Un campo de flujo circula sobre una placa plana la cual tiene una inclinacin
convexa; con relacin a las lneas de corriente horizontales, de 8. El nmero de
Mach es de 2,5; p1 = 100 kPa; po1 = 1709 kPa; y la funcin de Prandatl-Meyer para
M1 [(M1)] vale 39,124. En la zona superior de la placa se generan ondas de
expansin y en la zona inferior de la placa se generan ondas de choque oblicuo.
Determine: 1) para la zona superior: a) nmero de Mach; b) presin esttica; y
funcin Prandatl-Meyer. 2) para la zona inferior: a) ngulo de inclinacin de la onda
de choque; b) nmero de Mach; y c) presin esttica.
7.13.- Un campo de flujo circula sobre una cua tipo diamante cuyo ngulo cncavo
y convexo es de 2 y tiene una inclinacin convexa, con relacin a las lneas de
corriente horizontales, de 8. El nmero de Mach es de 2,5; p1 = 100 kPa; po1 = 1709
kPa; y la funcin de Prandatl-Meyer para M1 [(M1)] vale 39,124. En la cara frontal
de la cua y en la zona superior de la cua se generan ondas de expansin y en la
zona inferior de la misma se generan ondas de choque oblicuo. En los vrtices
convexos de la cua igualmente se generan ondas de expansin. Determine: 1) para
las zonas donde se generan ondas de expansin: a) nmero de Mach; b) presin
esttica; y funcin Prandatl-Meyer. 2) para la zona donde se genera onda de choque
-
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Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
oblicuo: a) ngulo de inclinacin de la onda de choque; b) nmero de Mach; y c)
presin esttica.
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7.13.- TABLAS.
TABLA F2.- Funcin Prandtl-Meyer y Angulo de Mach para un gas calricamente perfecto con calor especifico y peso molecular constante
k = 1,4
M M M
1.0000 0.000E+00 9.000E+01 1.5000 1.191E+01 4.181E+01 2.0000 2.638E+01 3.000E+01
1.0125 6.240E-02 8.099E+01 1.5125 1.227E+01 4.139E+01 2.0125 2.672E+01 2.979E+01
1.0250 1.751E-01 7.732E+01 1.5250 1.264E+01 4.098E+01 2.0250 2.707E+01 2.959E+01
1.0375 3.191E-01 7.455E+01 1.5375 1.301E+01 4.057E+01 2.0375 2.741E+01 2.939E+01
1.0500 4.874E-01 7.225E+01 1.5500 1.338E+01 4.018E+01 2.0500 2.775E+01 2.920E+01
1.0625 6.758E-01 7.025E+01 1.5625 1.375E+01 3.979E+01 2.0625 2.809E+01 2.900E+01
1.0750 8.815E-01 6.847E+01 1.5750 1.412E+01 3.941E+01 2.0750 2.843E+01 2.881E+01
1.0875 1.102E+00 6.686E+01 1.5875 1.449E+01 3.904E+01 2.0875 2.876E+01 2.862E+01
1.1000 1.336E+00 6.538E+01 1.6000 1.486E+01 3.868E+01 2.1000 2.910E+01 2.844E+01
1.1125 1.582E+00 6.401E+01 1.6125 1.523E+01 3.833E+01 2.1125 2.943E+01 2.825E+01
1.1250 1.839E+00 6.273E+01 1.6250 1.560E+01 3.798E+01 2.1250 2.976E+01 2.807E+01
1.1375 2.106E+00 6.154E+01 1.6375 1.597E+01 3.764E+01 2.1375 3.010E+01 2.789E+01
1.1500 2.381E+00 6.041E+01 1.6500 1.634E+01 3.731E+01 2.1500 3.043E+01 2.772E+01
1.1625 2.665E+00 5.934E+01 1.6625 1.671E+01 3.698E+01 2.1625 3.075E+01 2.754E+01
1.1750 2.956E+00 5.833E+01 1.6750 1.707E+01 3.666E+01 2.1750 3.108E+01 2.737E+01
1.1875 3.254E+00 5.736E+01 1.6875 1.744E+01 3.634E+01 2.1875 3.141E+01 2.720E+01
1.2000 3.558E+00 5.644E+01 1.7000 1.781E+01 3.603E+01 2.2000 3.173E+01 2.704E+01
1.2125 3.868E+00 5.556E+01 1.7125 1.818E+01 3.573E+01 2.2125 3.206E+01 2.687E+01
1.2250 4.184E+00 5.472E+01 1.7250 1.854E+01 3.543E+01 2.2250 3.238E+01 2.671E+01
1.2375 4.505E+00 5.391E+01 1.7375 1.891E+01 3.514E+01 2.2375 3.270E+01 2.655E+01
1.2500 4.830E+00 5.313E+01 1.7500 1.927E+01 3.485E+01 2.2500 3.302E+01 2.639E+01
1.2625 5.159E+00 5.238E+01 1.7625 1.964E+01 3.457E+01 2.2625 3.334E+01 2.623E+01
1.2750 5.493E+00 5.166E+01 1.7750 2.000E+01 3.429E+01 2.2750 3.365E+01 2.608E+01
1.2875 5.830E+00 5.096E+01 1.7875 2.036E+01 3.402E+01 2.2875 3.397E+01 2.592E+01
1.3000 6.170E+00 5.028E+01 1.8000 2.073E+01 3.375E+01 2.3000 3.428E+01 2.577E+01
1.3125 6.514E+00 4.963E+01 1.8125 2.109E+01 3.349E+01 2.3125 3.460E+01 2.562E+01
1.3250 6.860E+00 4.900E+01 1.8250 2.145E+01 3.323E+01 2.3250 3.491E+01 2.547E+01
1.3375 7.209E+00 4.839E+01 1.8375 2.181E+01 3.297E+01 2.3375 3.522E+01 2.533E+01
1.3500 7.561E+00 4.779E+01 1.8500 2.216E+01 3.272E+01 2.3500 3.553E+01 2.518E+01
1.3625 7.914E+00 4.722E+01 1.8625 2.252E+01 3.247E+01 2.3625 3.583E+01 2.504E+01
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Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
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Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
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5.6250 84.95498 10.24032 6.1250 85.92556 9.39646 6.6250 86.61636 8.68158
5.6375 84.98361 10.21737 6.1375 85.94580 9.37715 6.6375 86.63086 8.66511
5.6500 85.01197 10.19453 6.1500 85.96587 9.35791 6.6500 86.64525 8.64869
5.6625 85.04009 10.17178 6.1625 85.98577 9.33876 6.6625 86.65952 8.63234
5.6750 85.06797 10.14914 6.1750 86.00550 9.31969 6.6750 86.67367 8.61605
5.6875 85.09559 10.12660 6.1875 86.02507 9.30069 6.6875 86.68771 8.59983
5.7000 85.12298 10.10416 6.2000 86.04447 9.28178 6.7000 86.70163 8.58366
5.7125 85.15012 10.08182 6.2125 86.06371 9.26294 6.7125 86.71544 8.56756
5.7250 85.17703 10.05958 6.2250 86.08279 9.24417 6.7250 86.72914 8.55151
5.7375 85.20370 10.03743 6.2375 86.10171 9.22549 6.7375 86.74273 8.53553
5.7500 85.23014 10.01539 6.2500 86.12047 9.20687 6.7500 86.75620 8.51960
5.7625 85.25635 9.99344 6.2625 86.13908 9.18834 6.7625 86.76957 8.50374
5.7750 85.28233 9.97159 6.2750 86.15752 9.16988 6.7750 86.78283 8.48793
5.7875 85.30808 9.94983 6.2875 86.17582 9.15149 6.7875 86.79598 8.47219
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Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
5.8000 85.33362 9.92817 6.3000 86.19396 9.13318 6.8000 86.80902 8.45650
5.8125 85.35892 9.90660 6.3125 86.21195 9.11494 6.8125 86.82196 8.44087
5.8250 85.38401 9.88513 6.3250 86.22979 9.09677 6.8250 86.83479 8.42530
5.8375 85.40889 9.86375 6.3375 86.24748 9.07868 6.8375 86.84752 8.40978
5.8500 85.43354 9.84246 6.3500 86.26502 9.06065 6.8500 86.86015 8.39433
5.8625 85.45799 9.82127 6.3625 86.28242 9.04270 6.8625 86.87268 8.37893
5.8750 85.48222 9.80017 6.3750 86.29968 9.02482 6.8750 86.88510 8.36358
5.8875 85.50624 9.77916 6.3875 86.31679 9.00702 6.8875 86.89743 8.34829
5.9000 85.53006 9.75823 6.4000 86.33376 8.98928 6.9000 86.90965 8.33306
5.9125 85.55367 9.73740 6.4125 86.35059 8.97161 6.9125 86.92178 8.31789
5.9250 85.57708 9.71666 6.4250 86.36727 8.95401 6.9250 86.93381 8.30277
5.9375 85.60029 9.69601 6.4375 86.38383 8.93648 6.9375 86.94574 8.28770
5.9500 85.62330 9.67544 6.4500 86.40024 8.91902 6.9500 86.95757 8.27269
5.9625 85.64611 9.65496 6.4625 86.41652 8.90163 6.9625 86.96931 8.25774
5.9750 85.66873 9.63457 6.4750 86.43266 8.88431 6.9750 86.98096 8.24283
5.9875 85.69115 9.61427 6.4875 86.44868 8.86705 6.9875 86.99251 8.22799
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Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.
7.14.- BIBLIOGRAFA.
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7.15.- ANEXO.
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Prof. Luis M. Bustamante. Ingeniero Mecnico. U.C.V. Esp. UNEXPO, UCAB.
Diplomado U.L.A. Sociedad Bolivariana.