chån˜ºivmo2016 · 2016-03-03 · b€i 3.cho sŁ nguy¶n n>1 v€ sŁ nguy¶n tŁ psao cho p...

Đề chọn đội VMO 2016

Người tổng hợp: Nguyễn Trung Tuân

Ngày 3 tháng 3 năm 2016

Tóm tắt nội dung

Tài liệu chứa các đề chọn đội VMO 2016 của các tỉnh.

Mục lục

1 Hà Nội 4

2 Thành phố Hồ Chí Minh 52.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Quảng Ninh 63.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Bình Thuận 8

5 Hà Tĩnh 95.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6 Quảng Ngãi 116.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7 Hải Phòng 137.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.2 Vòng 2 - Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.3 Vòng 2 - Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

8 Thanh Hóa 158.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9 Kiên Giang 179.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

10 Đà Nẵng 1810.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1810.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

11 Hải Dương 20

12 Ninh Bình 21

13 Phú Thọ 2213.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

14 Nam Định 2314.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

15 Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh 2515.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2515.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

16 Đại học Vinh 2716.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

17 Chuyên Khoa học tự nhiên 2917.1 Vòng 1 - Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2917.2 Vòng 1 - Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2917.3 Vòng 2 - Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3017.4 Vòng 2 - Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

18 Chuyên Sư phạm 3118.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3118.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2

19 Đoạn cuối 33

3

1 Hà Nội

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) sao chox2y + xy2 + 8x

xy2 + 4ylà

số nguyên.

Bài 2. Cho dãy số (un) xác định bởi

u1 = 0, u2 = 1, un+2 = un + un+1 + 1 ∀n ≥ 1.

Chứng minh u2017(u2017 + 1) chia hết cho 2017.

Bài 3. Với a, b, c ∈ [0; 2] thỏa mãn a + b + c = 2 , tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức √

ab+ a+√bc+ b+

√ca+ c.

Bài 4. Cho (c) là đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm

trên (c) khác A và B sao cho AOC > 90◦. Trên đoạn thẳng OC ta lấy điểmK khác O và C. Gọi (c1) là đường tròn tâm K bán kính KC và AD,AE làcác tiếp tuyến của nó (D,E là các tiếp điểm). Chứng minh rằng ba đườngthẳng AC,BK và DE cùng đi qua một điểm.

Bài 5. Cho k là số nguyên dương. Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất thỏamãn điều kiện: Tồn tại 2k+ 1 số nguyên dương phân biệt có tổng lớn hơn m

và tổng của k số bất kì trong 2k + 1 số đó không vượt quám

2.

4

2 Thành phố Hồ Chí Minh

2.1 Ngày thứ nhất

Bài 1. Chứng minh phương trình 3x3 − 24x2 + 60x − 47 = 0 có ba nghiệmthực và ba nghiệm đó là độ dài các cạnh của một tam giác có góc lớn hơn 120◦.

Bài 2. Xét x, y, z ∈ [0; 1] thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa

1

xy + 1+

1

yz + 1+

1

zx+ 1.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi K là mộtđiểm bất kỳ trên đoạn AH. Trên tia KB lấy điểm M sao cho CA = CM ,trên tia KC lấy điểm N sao cho BA = BN . Giả sử CM và BN cắt nhautại I. Chứng minh rằng IM = IN .

Bài 4. Cho hàm số f : N → N thỏa mãn f(2) = 5, f(2016) = 2015,f(n) = f(f(n − 1)) ∀n ≥ 1. Tính f(0), f(1) và f(2015) biết f(2015) làmột số lẻ.

2.2 Ngày thứ hai

Bài 1. Cho dãy (an) xác định bởi a1 = 1, a2 =1

2và

an+1 =a2n

an−1 + (5an + 1)2∀n ≥ 2.

Chứng minh

√1

a2015+

√3

a2016∈ Z.

Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với 60◦ < A < 90◦. Gọi B1 làđiểm đối xứng với B qua AC, C1 là điểm đối xứng với C qua AB, O1 là điểmđối xứng với O qua BC. Chứng minh tâm của đường tròn ngoại tiếp tamgiác AB1C1 nằm trên O1A.

Bài 3. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho a3 + b và b3 + a làlũy thừa của 2.

Bài 4. Cần loại khỏi {1, 2, · · · , 2015} ít nhất bao nhiêu phần tử để cácphần tử còn lại có tính chất: không phần tử nào bằng tích của hai phần tửkhác?

5

3 Quảng Ninh


Bài 1. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 . Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức

a3

b2 + 1+

b3

c2 + 1+

c3

a2 + 1.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f : R→ R thỏa mãn

f(f(x) + 3y) = 12x+ f(f(y)− x) ∀x, y ∈ R.

Bài 3. Cho số nguyên n > 1 và số nguyên tố p sao cho p − 2 chia hết chon và n3+n+2 chia hết cho p. Chứng minh rằng 4p−7 là một số chính phương.

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp (O), H là chân đường cao củatam giác ABC kẻ từ A.P là điểm thay đổi nằm trong ABC và nằm trênđường phân giác qua A. Đường tròn đường kính AP cắt (O) tại điểm thứhai G.L là hình chiếu vuông góc của P lên AH.a) Chứng minh rằng đường thẳng GL luôn đi qua một điểm cố định khi Pthay đổi.b) Chứng minh rằng nếu GL đi qua trung điểm của HP thì P là tâm nộitiếp của ABC.

3.2 Ngày thứ hai

Bài 1. Cho k là một số nguyên dương và dãy số (un) được xác định bởi

u1 = 3, un+1 = un + 4n+ 2 ∀n ≥ 1.

Tính giới hạn limn→+∞

√un +

√u4n + · · ·+√u4kn√

un +√u2n + · · ·+√u2kn

.

Bài 2. Tìm tất cả các đa thức P với hệ số thực thỏa mãn

(x− 1)P (x+ 1)− (x+ 1)P (x− 1) = 4P (x).

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn và không cân. Gọi AA1, BB1 là các đườngcao của tam giác. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếptam giác A1B1C tại N (khác C). Gọi M là trung điểm của AB, K là giaođiểm của CN và AB. CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CA1B1 tạiđiểm thứ hai P , cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ haiQ.

6

a) Chứng minh KP đi qua trực tâm của ABC;b) Chứng minh MP = MQ.

Bài 4. Có n học sinh tham gia một cuộc thi học sinh giỏi Toán và mỗihọc sinh giải được đúng 3 bài toán. Hai học sinh bất kỳ có đúng một bàitoán mà cả hai cùng giải được, trong khi đó mỗi bài toán được giải bởi đúngk học sinh. Tìm tất cả các số nguyên dương n và k thỏa mãn yêu cầu củabài toán.

7

4 Bình Thuận

Bài 1. Giải hệ phương trình

{x3y3 + 72x3 = 1

x2y2 + 2x2y − 8x = −2.

Bài 2. Cho x, y, z > 0 thoả mãn xy + yz + zx+ xyz = 4. Chứng minh

x

y+y

z+z

x≥ x+ y + z ≥ xy + yz + zx.

Bài 3. Cho tam giác ABC có AB+BC = 3AC, đường tròn (I) nội tiếp tamgiác ABC tiếp xúc với AB,BC,CA lần lượt tại D,E, F . Trên cạnh AC lấyM sao cho AM = CF . Gọi N,P là giao điểm của MB và đường tròn (I) vớiN nằm giữa B và P . Đường thẳng CN cắt đường thẳng DE tại K. Chứngminh rằng đường tròn qua ba điểm I,K,N tiếp xúc với đường tròn (I).

Bài 4. Trong một hội nghị có 155 đại biểu, ban tổ chức nhận thấy có ítnhất 2015 cặp đại biểu quen biết nhau. Chứng minh rằng tồn tại 4 đại biểuA,B,C,D sao cho A và B, B và C, C và D, D và A quen biết nhau.

8

5 Hà Tĩnh


Bài 1. Cho dãy số (xn) xác định bởi x1 = 1 và xn+1 = 3 +5

xn∀n ≥ 1. Tìm

số thực dương a sao cho dãy (yn) xác định bởi yn =an

x1x2 · · ·xn∀n ≥ 1 có

giới hạn hữu hạn khác 0.

Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) cóđường cao AH và tâm đường tròn nội tiếp I. Gọi M là điểm chính giữa củacung nhỏ BC và D là điểm đối xứng với A qua O. Đường thẳng MD cắt cácđường thẳng BC,AH lần lượt tại P,Q.1) Chứng minh rằng tam giác IPQ vuông;2) Đường thẳng DI cắt (O) tại điểm thứ hai E. Hai đường thẳng AE,BCcắt nhau tại F . Chứng minh rằng nếu AB + AC = 2BC thì I là trọng tâmcủa tam giác APF .

Bài 3. Tìm tất cả các đa thức P với hệ số thực thỏa mãn

P 3(x)− 3P 2(x) = P (x3)− 3P (−x).

Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn: tồn tại cách chia hìnhvuông có độ dài cạnh là n thành đúng 5 hình chữ nhật sao cho độ dài cáccạnh của các hình chữ nhật đó là các số 1, 2, · · · , 10.

5.2 Ngày thứ hai

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f : R→ R sao cho

f(x4 + f(y)) = y + f 4(x) ∀x, y ∈ R.

Bài 2. Cho các số hữu tỷ a, b, c thỏa mãn a+ b+ c ∈ Z và

(2a− 1)2 + (2b− 1)2 + (2c− 1)2 = 3.

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên m,n thỏa mãn gcd(m,n) = 1 và

abc =m2

n3.

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đường tròn (J) tiếp xúcngoài với (O) tại D đồng thời tiếp xúc với tia đối của các tia BA,CA lần

9

lượt tại E,F .

a) Chứng minh rằngDB

DC=

1 + cosC

1 + cosB;

b) Giả sử AJ cắt (O) tại điểm thứ hai T . Gọi P,Q lần lượt là các điểm di độngtrên cung nhỏ AB,AC của (O) sao cho PQ||BC. Các đường thẳng AP,BCcắt nhau tạiM. Gọi I,N lần lượt là trung điểm của các đoạn EF, IM . Chứngminh rằng giao điểm của các đường thẳng NT, IQ luôn thuộc một đường cốđịnh.

Bài 4. Cho P là một đa giác lồi có 2016 cạnh. Một cách chia P thànhcác đường chéo không cắt nhau bên trong P được gọi là một cách chia đẹpP .a) Chứng minh rằng số đường chéo cần phải nối để chia đẹp P theo các cáchkhác nhau đều bằng nhau;b) Một tam giác thu được từ phép chia đẹp P nói trên được gọi là tam giáctrong nếu cả 3 cạnh của nó đều là các đường chéo của P . Hỏi có tất cả baonhiêu cách chia đẹp P mà có đúng một tam giác trong biết rằng hai cáchchia là khác nhau nếu có ít nhất một cặp tam giác không trùng nhau.

10

6 Quảng Ngãi


Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

3

2a+ b+√

8bc+

3

2≥ 8√

2b2 + 2 (a+ c)2 + 3+

1

a+ b+ c.

Bài 2. Cho dãy số (un) được xác định bởi

u1 = 3, un+1 =u2n + 2012un + 2

2015∀n ≥ 1.

Thành lập dãy (vn) với vn =n∑

i=1

ui − 1

ui+1 − 2. Tìm limn→+∞ vn.

Bài 3. Người ta viết sẵn trên bảng đen n số nguyên dương 1, 2, ..., n với

n ≥ 2 và cho thực hiện trò chơi như sau: Ở mỗi bước đi, người chơi đượcphép chọn tùy ý hai số đang có trên bảng, xóa chúng đi và viết vào đó mộtsố bằng hai lần tổng của hai số vừa được xóa. Trò chơi kết thúc sau n − 1bước đi. Số duy nhất có mặt trên bảng sẽ là số viên kẹo mà người chơi đượcthưởng. Chứng minh rằng dù chơi thế nào người chơi cũng được thưởng nhiều

hơn4n3

9viên kẹo.

Bài 4. Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) , (O2) có bán kính khôngbằng nhau và tiếp xúc ngoài với nhau tại T. Kẻ O1A tiếp xúc với (O2) tại A,O2B tiếp xúc với (O1) tại B sao cho A,B nằm về cùng một phía với O1O2.Lấy H thuộc O1A, K thuộc O2B sao cho BH và AK cùng vuông góc vớiO1O2, TH cắt (O1) tại E, TK cắt (O2) tại F , O1A cắt O2B tại I, EF cắtAB tại S.a) Chứng minh IT là phân giác góc O1IO2.b) Chứng minh ba đường thẳng O1A,O2B và TS đồng quy.

6.2 Ngày thứ hai

Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên N và thỏa mãn đồng thời cácđiều kiện sau

2f(n)f(k + n)− 2f(k − n) = 3f(n)f(k), k ≥ n, f(1) = 1.

Bài 6.1) Cho 11 số nguyên dương a1, a2, ..., a11. Chứng minh rằng luôn tồn tại các

11

số xi ∈ {−1; 0; 1} (i = 1; 2; ...; 11) không đồng thời bằng 0 sao cho∑11

i=1 xiaichia hết cho 2047.2) Cho đa thức P (x) với các hệ số nguyên, chia hết cho 3 khi x lấy các giátrị nguyên k, k + 1, k + 2. Chứng minh rằng P (m) chia hết cho 3,∀m ∈ Z.

Bài 7. Trên mặt phẳng cho điểm I cố định và ba đường tròn (O1;R1),(O2;R2) ,(O3;R3) cùng qua I; ngoài ra A,B,C theo thứ tự là giao điểm thứ haicủa (O2) và (O3), (O3) và (O1), (O1) và (O2). Biết rằng I nằm trong tamgiác ABC. Đường thẳng d1 tiếp xúc với (O1), (O2) lần lượt tại M,N vàkhông cắt (O3), đường thẳng d2 tiếp xúc với (O2), (O3) lần lượt tại P,Q vàkhông cắt (O1), đường thẳng d3 tiếp xúc với (O3), (O1) lần lượt tại E,Fvà không cắt (O2). Giả sử các đường tròn (O1), (O2) và (O3) thay đổi saocho R2

1 + R22 + R2

3 ≤ 3. Hãy tính bán kính của các đường tròn (O1), (O2)và (O3) và khoảng cách giữa các tâm các đường tròn đó sao cho tổngS = S4IMN + S4IPQ + S4IEF lớn nhất.

12

7 Hải Phòng

7.1 Vòng 1


2z + x3z = 3x2

2x+ y3x = 3y2 (x, y, z ∈ R)

2y + z3y = 3z2.

Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minhrằng

1

a2 + b2 + c2 + a+

1

a2 + b2 + c2 + b+

1

a2 + b2 + c2 + c≤ 9

2.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AB. D là mộtđiểm thay đổi trên tia đối của tia BC; MD cắt AC tại E. Gọi I là hìnhchiếu vuông góc của D trên AC.a) Chứng minh hàng A,C,E, I điều hòa;b) Gọi H là hình chiếu của A trên BC, HE cắt AD tại F , CF cắt DI tại K,N là trung điểm củaDK. Chứng minh N nằm trên một đường thẳng cố định.

Bài 4. Cho các số tự nhiên lẻ a, b thỏa mãn a2 + b2 +48 = 14ab. Chứng minhrằng 7|ab.

Bài 5. Với mỗi số nguyên dương n, gọi an là số hoán vị f : [n] → [n]thỏa mãn f(f(f(k))) = k∀k ∈ [n]. Tìm chữ số cuối cùng của a2015.

7.2 Vòng 2 - Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho dãy số (un) xác định bởi

u1 =1

2, u2 =

3

2, un+1 =

20√un + 15

√un−1

2∀n ≥ 2.

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 2. Cho hàm số f : R→ R thỏa mãn

(y + 1)f(x) + f(xf(y) + f(x+ y)) = y ∀x, y ∈ R.

a) Chứng minh f(0) 6= 1;b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện trên.

13

Bài 3. Tam giác ABC có tâm nội tiếp I. Một đường tròn qua B,C cắtcác đoạn IB, IC tại P,Q sao cho BP.CQ = PI.QI. Chứng minha) Hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác PQI,ABC tiếp xúc với nhautại T ;b) IT đi qua trung điểm của PQ.

Bài 4. Cho đa giác đều A1A2 . . . A15 nội tiếp (O). Có bao nhiêu tứ giáclồi ABCD không phải là hình thang mà A,B,C,D ∈ {A1, A2, · · · , A15} vàO nằm trong ABCD. (Hai tứ giác được gọi là khác nhau nếu tập các đỉnhcủa chúng khác nhau.)

7.3 Vòng 2 - Ngày thứ hai

Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AD cắt BC tại E, AB cắt CD tạiF , AC cắt BD tại M , EM cắt OF tại N . P,Q là trung điểm của AC,BD.Các đường tròn ngoại tiếp AQD,BQC cắt nhau tại R khác Q. Chứng minhrằng M,N,O, P,Q,R cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 2. Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực P sao cho

∀x, y, z ∈ R, xy + yz + zx = 1⇒ P (x) + P (y) + P (z) = P (x+ y + z).

Bài 3. Tìm x, y nguyên dương sao cho 3x5 + 4x+ 5 = 9.4y.

Bài 4. Cho đa giác lồi G có 2016 cạnh. X là tập chứa n > 1 cạnh hayđường chéo của G sao cho 2 đoạn bất kỳ trong X đều có điểm chung. Tìmgiá trị lớn nhất của n.

14

8 Thanh Hóa

8.1 Vòng 1

Bài 1. Cho dãy (un) được xác định bởi

u0 = a ≥ 0, un+1 =2

1 + u2n∀n ≥ 0.

Hãy tìm tất cả các giá trị của a để dãy có giới hạn hữu hạn.

Bài 2. Cho a, b, c là các số không âm và không có hai trong các số đóđồng thời bằng 0. Chứng minh rằng

1

b2 − bc+ c2+

1

c2 − ca+ a2+

1

a2 − ab+ b2≥ 3

ab+ bc+ ca.

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 3. Cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đườngtròn ω tâm O ngoại tiếp tam giác ABC. Các đường thẳng AI,BI, CI cắt lạiđường tròn ω lần lượt tại các điểm thứ hai ở D,E, F . Các đường thẳng điqua I song song với BC,CA,AB lần lượt cắt các đường thẳng EF,DF,DEtại các điểm K,L,M .a) Chứng minh K,L,M thẳng hàng và nằm trên đường thẳng vuông góc vớiOI;b) Gọi X là giao điểm của AI và EF , Y là giao điểm của BI và DF , Z làgiao điểm của CI và DE. Điểm P bất kỳ trên đường thẳng BC (P 6= B,C).Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác PDX,PEY, PFZcùng đi qua điểm Q khác P và Q thuộc một đường tròn cố định khi P thayđổi trên đường thẳng BC.

Bài 4. Cho tập hợp M gồm n (n ∈ N∗) phần tử. Với cặp tập con (A,B) củaX, ta tính số phần tử của A ∩ B. Tính tổng của tất cả các số phần tử củamọi giao có thể gồm hai tập con của tập M .

8.2 Vòng 2

Bài 1. Tìm tất cả các hàm f : R → (0; +∞) sao cho với mọi số thực x cácđiều kiện sau đây đồng thời thỏa mãn:(i) f(2x) = f 2(x);

(ii) f(−x) =1

f(x);

15

(iii) f(x) ≥ x+ 1.

Bài 2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi Ia, Ib và Iclần lượt là tâm của đường tròn bàng tiếp góc A, đường tròn bàng tiếp góc Bvà đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác đó. Gọi (I ′b), (I

′c) lần lượt là các

đường tròn đối xứng với các đường tròn (Ib), (Ic) qua trung điểm các cạnhAC,AB. P,Q là giao điểm của (I ′b), (I

′c).

a) Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các đườngtròn (I ′b), (I

′c);

b) Chứng minh rằng PQ đi qua tiếp điểm của (Ia) với cạnh BC.

(Ở đây ký hiệu (X) là đường tròn tâm X).

Bài 3. Cho đa thức f(x) = x6− 11x4 + 36x2− 36. Chứng minh rằng với mọisố nguyên tố p đều tìm được số nguyên dương n sao cho p|f(n).

16

9 Kiên Giang


Bài 1. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng(a+ b+ c

3

)3

≥(ab+ bc+ ca

3

)√a2 + b2 + c2

3.

Bài 2. Cho dãy số (un) được xác định bởi

u1 ∈ (0; 1), un =1

3

(un−1 +

√3u2n−1 + 1

)∀n ≥ 2.

Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O.Điểm M thuộc cung BC (không chứa A). Gọi D, H lần lượt là hình chiếuvuông góc của M lên các đường thẳng AC, AB. Xác định điểm M để độ dàiDH lớn nhất.

Bài 4. Cho P0(x), P1(x), ..., P9(x) là các đa thức thỏa mãn:

P0(x10) + xP1(x

10) + ...+ x8P8(x10) = (x9 + x8 + ...+ x+ 1)P9(x) ∀x ∈ R.

Chứng minh Pk(1) = 0 với k = 1, 9.

9.2 Ngày thứ hai


f(x− f(y)) = 1− x− y , ∀x, y ∈ R.

Bài 6. Chứng minh rằng phương trình (4x− 1)(4y − 1) = 4z2 + 1 không cónghiệm nguyên dương nhưng có vô số nghiệm nguyên.

Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao AH.Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại điểm D. Đườngtròn đường kính AI cắt đường tròn (O) tại điểm M và cắt đường thẳng AHtại điểm N (M , N khác A).a) Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trung điểm T của cung BC(không chứa A).b) Chứng minh rằng ba điểm M , N , D thẳng hàng.

17

10 Đà Nẵng


Bài 1. Giả sử x1, x2, x3...x2015 là 2015 số thực thuộc đoạn [−1, 1] thỏa mãn

2015∑i=1

x3i = 0.

1) Chứng minh2015∑i=1

xi < 672;

2) Tìm giá trị lớn nhất của2015∑i=1

xi.

Bài 2. Giả sử a1, a2, a3...a2016 là một dãy số nguyên thỏa mãn điều kiệnam + an ≤ am+n ≤ am + an + 1 với mọi cặp số nguyên dương m,n màm+ n ≤ 2016. Chứng minh rằng tồn tại số thực x sao cho an = [nx] với mỗin ∈ {1, 2, .., 2016}

Bài 3. Cho tam giác nhọn, không cân ABC nội tiếp đường tròn (O). Đườngphân giác góc A của tam giác cắt cạnh BC tại D và cắt lại đường tròn (O)tại E. Gọi K là điểm nằm trong mặt phẳng chứa ∆ABC, thỏa mãn các điều

kiện KB = KC và BKC + BAC = 180◦. Giả sử K nằm trong ∆ABC.1) Chứng minh rằng bốn điểm A,O,K,D cùng thuộc một đường tròn, kíhiệu là (P ).

2) Gọi L là giao điểm thứ hai của (P ) và (O). Chứng minh LAB = KAC.3) Gọi G là giao điểm của AL và BC; I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC;M là trung điểm của đoạn GI,N là giao điểm thứ hai của đường thẳng EMvà đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng NI,AK cắt nhau tạimột điểm thuộc (O).

Bài 4. Có một số bi màu xanh, một số bi màu đỏ, một số bi màu trắngđược đặt sẵn trong một cái hộp. Một người chơi được cung cấp đủ lượng bithuộc cả 3 loại màu xanh, đỏ , trắng và tại mỗi lượt người chơi sẽ lấy từ hộpra 2 viên bi rồi thực hiện tiếp trò chơi theo luật như sau:- nếu 2 viên bi được lấy ra có màu khác nhau thì người chơi phải bỏ vào hộp1 viên bi khác màu với 2 viên đó(cụ thể: nếu đã lấy ra 1 bi xanh, 1 bi đỏ thìphải bỏ vào hộp 1 viên bi trắng, nếu đã lấy ra 1 bi đỏ, 1 bi trắng thì phải bỏvào hộp 1 viên bi xanh, nếu đã lấy ra 1 bi trắng, 1 bi xanh thì phải bỏ vàohộp 1 viên bi đỏ)

18

- nếu 2 viên bi được lấy ra cùng màu với nhau thì người chơi ko phải bỏ lạivào hộp viên bi nào cả.Và cứ như thế cuộc chơi chỉ dừng lại khi trong hộp hết bi hoặc chỉ còn 1 viênbi.Chứng minh rằng kết quả cuối cùng của cuộc chơi ko phụ thuộc vào cách lấybi của người chơi( cho dù người chơi được phép nhìn vào hộp).

10.2 Ngày thứ hai

Bài 5. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O,R) và ngoại tiếp đtròn (I; r),O 6= I. Một đường tròn ω đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng OI tại I.Đường thẳng AO cắt đường tròn ω tại G. Đường thẳng đi qua I và vuônggóc với BC cắt lại đường tròn ω tại K. Gọi L là điểm đối xứng với K quaA.1) Chứng minh rằng AG = 2r.2) Giả sử hai điểm B,C cố định. Khi A di chuyển trên đường tròn (O), chứngminh rằng LI luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 6. Cho P (t) là một đa thức với hệ số thực (của một biến số t) thỏamãn P (1) = P (−1). Chứng minh rằng có một đa thức Q(x, y) với hệ số thực(của hai biến số x, y) sao cho P (t) = Q(t2− 1, t(t2− 1)) với mọi giá trị của t.

Bài 7. Cho số tự nhiên n > 2 và tập S gồm n điểm nằm trên một đườngtròn. Tìm số lớn nhất có thể có các tam giác nhọn mà cả ba đỉnh đều thuộcS.

19

11 Hải Dương

Bài 1. Cho dãy số (yn) thỏa mãn y1 > 0 và y3n+1 = y1 + y2 + · · ·+ yn ∀n ≥ 1.Chứng minh rằng dãy (yn)/n có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 2.1) Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Một đường tròn tiếp xúc với tia AB,ACtại E,F đồng thời tiếp xúc trong với (O) tại T . Các tiếp tuyến tại A, T của(O) cắt nhau tại K. Đường thẳng TE cắt (O) tại M khác T , đường thẳngTF cắt (O) tại N khác T . Chứng minh K,M,N thẳng hàng.2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có AC,BD vuông góc với nhau tạiH. Gọi I, J,K, L lần lượt là các hình chiếu của H trên các đường thẳngAB,BC,CD,DA. Biết IK, JL đều không đi qua H. Chứng minh rằng giaođiểm của IK và JL nằm trên OH.

Bài 3. Chom là số nguyên dương và p là số nguyên tố lớn hơnm. Chứng minhrằng số các số nguyên dương n sao cho đa thức f(x) = mx2−(m+n−p)x+ncó nghiệm hữu tỷ bằng số ước dương của m.

Bài 4. Cho một dãy gồm 2016 ô vuông xếp thành một hàng. Có bao nhiêucách điền các số 1, 2, 3, 4, 5 vào các ô vuông đó sao cho mỗi ô vuông chỉ điềnmột số và hiệu hai số trong mỗi hai ô vuông kề nhau bằng 1 hoặc −1?

20

12 Ninh Bình

Câu 1. Cho trước số tự nhiên n(n ≥ 3); a1, a2, ..., an là các số thực dươngbất kì. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a21na21 + a2a3

+a22

na22 + a3a4+ ...+

a2n−1na2n−1 + ana1

+a2n

na2n + a1a2.

Câu 2. Cho trước 2 số thực dương α, β. Hàm số f : (0; +∞) → (0; +∞)thỏa mãn f(f(x)) + αf(x) = β(α + β)x,∀x > 0. Tính f(2015).

Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và D là mộtđiểm thuộc cung BC của đường tròn (O) không chứa A. M là trung điểmcủa đoạn thẳng BC. P là một điểm nằm trên đường thẳng DM . E,F lầnlượt là hai điểm thuộc đoạn thẳng AC,AB sao cho PE||DC,PF ||DB. Cáctiếp tuyến tại E,F của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tại T .Tiếp tuyến tại B,C của đường tròn O cắt nhau tại S. Gọi Q là điểm thuộcđường tròn (O) sao cho DQ||BC. Chứng minh rằng AQ||ST .

Câu 4. Cho n ≥ 3, n ∈ N, X ⊂ {1; 2; ...;n3}, |X| = 3n2. Chứng minhrằng có thể tìm được 9 số a1, a2, ..., a9 đôi một khác nhau thuộc X sao cho

hệ phương trình

a1x+ a2y + a3z = 0

a4x+ a5y + a6z = 0

a7x+ a8y + z9z = 0

có nghiệm nguyên (x0, y0, z0) thỏa

mãn x0, y0, z0 6= 0.

21

13 Phú Thọ


Bài 1. Cho dãy số thực xn xác định bởi x1 = 3 và xn+1 =3 + xn1− 3xn

∀n ≥ 1.

Chứng minh rằng dãy số (xn) không có giới hạn hữu hạn khi n→∞.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f : R→ R thoả mãn

f(xf(x) + f(y)) = y + f 2(x) ∀x, y ∈ R.

Bài 3. Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ điểmA kẻ các tiếp tuyến AB,AC tới (O)( B,C là các tiếp điểm). Gọi E,F lầnlượt là trung điểm của AB,AC. D là một điểm bất kì trên EF . Từ D kẻtiếp tuyến DP,DQ tới (O)(P,Q là các tiếp điểm). Giả sử PQ cắt EF tại

M . Chứng minh rằng DAM = 90◦.

Bài 4. Với các số nguyên a, b, c thuộc đoạn [1; 2015], hỏi có tất cả bao nhiêubộ (a, b, c) sao cho 9|a3 + b3 + c3?


Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

a4 + b4 + c4 + a+ b+ c+2a

b2 + c2+

2b

c2 + a2+

2c

a2 + b2≥ 9.

Bài 2. Cho p là một số nguyên tố lẻ. Xét a1, a2, · · · , an là các số nguyêndương phân biệt không vượt quá p − 1 thỏa mãn p|ak1 + ak2 + · · · + akn ∀k =1, 2, · · · , p − 2. Giả sử σ là một hoán vị của {a1, a2, · · · , an}. Chứng minhrằng tồn tại i, j (i 6= j) sao cho p|aiσ(ai)− ajσ(aj).

Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tập {1, 3, · · · , 2n − 1}có thể phân hoạch thành 12 tập con mà tổng các phần tử của mỗi tập conđều bằng nhau.

22

14 Nam Định



{3x3 − 16 = 2(x2 − x+ y)

3y3 − 16 = 2(y2 − y + x).

Bài 2. Dãy số thực dương (un) thỏa mãn

u2016n+1 = u1 + u2 + · · ·+ un ∀n ≥ 1.

1) Chứng minh u2015n+1 < u2015n + 1 ∀n ≥ 1;2) Chứng minh dãy (un/n) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC, D,E, F là chân các đườngcao kẻ từ A,B,C. Các đường thẳng EF,BC cắt nhau tại G. Gọi H là trựctâm của tam giác ABC, K là hình chiếu của H trên AG, N là trung điểmcủa EF ,M là trung điểm của BC. Các đoạn AH,EF cắt nhau tại L. Đườngtrung trực của LD cắt GH tại P .1) Gọi I là giao điểm của HG,AM . Chứng minh HG⊥AM và L, I,D, Pcùng nằm trên một đường tròn;2) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác KGI,DPL tiếpxúc nhau.

Bài 4. Hàm số f : (0; +∞)→ R thỏa mãn đồng thời các điều kiện1) Tồn tại a > 0 để f(a) = 1;

2) f(x)f(y) + f(ax

)f

(a

y

)= 2f(xy) ∀x, y > 0.

Chứng minh f là hàm hằng.

Bài 5. Cho A = {P1, P2, · · · , P2016} là tập các điểm phân biệt trong khônggian thỏa mãn: Với ba điểm bất kỳ thuộc A luôn tồn tại ít nhất hai điểm màđoạn thẳng nối hai điểm đó có độ dài bé hơn 1. Chứng minh rằng tồn tạihai hình cầu S1, S2 bán kính 1 sao cho mỗi điểm của tập A nằm bên trongS1 hoặc S2.


Bài 1. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn

1

a+

1

b+

1

c+

1

d= 4.

23

Chứng minh rằng

3

√a3 + b3

2+

3

√b3 + c3

2+

3

√c3 + d3

2+

3

√d3 + a3

2≤ 2(a+ b+ c+ d)− 4.

Bài 2. Tìm tất cả P,Q ∈ R[x] sao cho P (Q(x)) = P (x)Q(x).

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp (O). AD,BE,CFlà các đường cao của tam giác. Gọi (ω) là đường tròn tâm A và đi qua D.Hai đường tròn (ω) và (O) cắt nhau tại M,N .1) Chứng minh MN đi qua trung điểm của các đoạn DE,DF ;2) Gọi G là giao điểm của BC và EF ; DP là đường kính của (ω). Đườngthẳng PG cắt (ω) tại điểm thứ hai Q. Chứng minh rằng trung điểm của DQnằm trên (O).

Bài 4. Tìm tất cả các cặp (n, p) các số nguyên dương sao cho p nguyêntố, n ≥ 2p và np−1|(p− 1)n + 1.

Bài 5. Cho tập E = {2017, 2018, · · · , 2016 + n} (n > 1) có n phần tử. Tìmsố nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn: Với mỗi A ⊂ E, tồn tại a, b, c ∈ Ahoặc a, b, c ∈ E \ A sao cho a− b+ c = 2015.

24

15 Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Thành phố

Hồ Chí Minh


Bài 1. Cho A là tập tất cả các số nguyên dương không vượt quá 2016 vànguyên tố cùng nhau với 2016. Hỏi có bao nhiêu số a ∈ A mà tồn tại b ∈ Zsao cho a+ 2016b là số chính phương.

Bài 2. Cho a, b, c và d là các số thực thỏa mãn

a2 ≤ 1, a2 + b2 ≤ 5, a2 + b2 + c2 ≤ 14, a2 + b2 + c2 + d2 ≤ 30.

Chứng minh rằng1) a+ b+ c+ d ≤ 10;2) ad+ bc ≤ 10.


f(x− 2f(y)) = 5f(x)− 4x− 2f(y) ∀x, y ∈ R.

Bài 4. Cho đường tròn k với dây BC không phải đường kính. I là trungđiểm của BC, điểm A di động trên cung lớn BC. Gọi I1 là đường tròn quaI tiếp xúc với AB tại B. I2 là đường tròn qua I tiếp xúc với AC tại C. Cácđường tròn I1, I2 cắt nhau tại D khác I.a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AID đi qua một điểmcố định khác I.b) Gọi K là trung điểm của AD. E là tâm đường tròn qua K tiếp xúc vớiAB tại A, F là tâm đường tròn qua K tiếp xúc với AC tại A. Chứng minh

EAF không đổi.


Bài 1. Dãy số (xn) được xác định bởi xn =1

n cos

(1

n

) ∀n ∈ N∗.

Tìm giới hạn

limx1 + x3 + x5 + · · ·+ x2n−1x2 + x4 + x6 + · · ·+ x2n

.

Bài 2. Tìm b để tồn tại a sao cho hệ

{(x− 1)2 + (y + 1)2 = b

y = x2 + (2a+ 1)x+ a2có nghiệm.

25

Bài 3. Cho số nguyên dương n > 1 và X = {1, 2, ..., n}. A1, A2, ..., Am

và B1, B2, ..., Bm là hai dãy các tập con khác rỗng của X thỏa mãn điềukiện: Với mọi i và j thuộc {1, 2, ...,m}, Ai ∩Bj = ∅ nếu và chỉ nếu i = j.a) Chứng minh rằng với mỗi hoán vị (x1, x2, ..., xn) của X, có không quá mộtcặp (Ai;Bi) với i ∈ {1, 2, ...,m} sao cho nếu xk ∈ Ai và xl ∈ Bi thì k < l.b) Gọi ai, bi lần lượt là số phần tử của các tập Ai;Bi. Chứng minh rằng∑m

i=1

1

Caiai+bi

≤ 1.

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đường tròn (I) qua B vàC lần lượt cắt BA,CA tại E,F.a) Giả sử các tia BF,CE cắt nhau tại D và T là tâm (AEF ). Chứng minhOT ||ID;b) Trên BF,CE lần lượt lấy các điểm G,H sao cho AG ⊥ CE và AH ⊥ BF .Các đường tròn (ABF ), (ACE) cắt BC tại các điểm M,N ( khác B và C )và cắt EF tại P,Q ( khác E và F ). Gọi K là giao điểm MP và NQ. Chứngminh DK ⊥ GH.

26

16 Đại học Vinh


Bài 1. Cho số a > 0 và dãy (xn) xác định bởi

x1 = x2 = a, xn+1 = xn +2√xn−1

n3∀n ≥ 2.

Chứng minh rằng xn < 2(a+ 3) ∀n ≥ 1.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm f : (0; +∞) → (0; +∞) sao cho các bất đẳngthức(i) f(x+ y) ≥ f(x) + 2y;(ii) f(f(x)) ≤ 4x,đúng với mọi số thực dương x, y.

Bài 3. Cho tam giác ABC và điểm X nằm trong tam giác đó. Gọi H,Ktheo thứ tự là hình chiếu của X lên các cạnh BC,BA và A′, C ′ lần lượt làđiểm đối xứng của X qua BC,BA.a) Gọi E = BC ∩ XK, F = AB ∩ XH. Chứng minh rằng các điểmA′, B, C ′, E, F cùng thuộc một đường tròn.b) Gọi Y là giao điểm thứ hai của đường tròn (A′BC ′) với đường tròn đường

kính BX. Chứng minh rằngKX

KY=HX

HY.

Bài 4. Một lớp học có n học sinh cùng tham gia trò chơi tô màu trênmột bảng vuông n× n như sau:- Trong phút đầu tiên, n học sinh tô màu n ô không cùng hàng hoặc cùngcột;- Trong mỗi phút tiếp theo, mỗi học sinh tô một ô có cạnh chung với ô màhọc sinh đó tô ở phút liền trước;- Mỗi ô chỉ được tô đúng một lần.Hỏi sau n phút bảng vuông có thể được tô kín hay không trong các trườnghợp: a) n = 30?b) n = 31?

27


Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c =a

b+b

c+c

a. Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức

P =a+ b+ 1

a2 + b2 + 1+

b+ c+ 1

b2 + c2 + 1+

c+ a+ 1

c2 + a2 + 1.

Bài 2. Cho ABCD là tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đường tròn. GọiI là tâm đường tròn nội tiếp của tứ giác. Đường thẳng qua I, song song vớiAB cắt AD và BC tại H và K. Chứng minh rằng độ dài HK bằng mộtphần tư chu vi tứ giác ABCD.

Bài 3. Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên nsao cho pn có chứa 2015 chữ số bằng nhau liên tiếp.

28

17 Chuyên Khoa học tự nhiên


Câu I. Giải hệ

{(x2 + y2)(x+ y − 3) = 4y − 6x

(x2 + y2)(x− y − 5) = −4x− 6y.

Câu II. Cho dãy (an) xác định bởi a0 = 2; a1 = 4; a2 = 11 và

an = (n+ 6)an−1 − 3(2n+ 1)an−2 + 9(n− 2)an−3(n ≥ 3).

Chứng minh rằng trong dãy trên tồn tại vô hạn các số an sao cho an− 1 chiahết cho 22015.

Câu III. Cho tam giác ABC không cân, nhọn nội tiếp (O) cố định. B,C cốđịnh và A di chuyển trên (O). I là tâm nội tiếp. AI cắt (O) tại điểm thứ haiM . F là hình chiếu của I lên AB. IF cắt BC tại S. SM cắt (O) tại T .(a) Chứng minh TI luôn đi qua một điểm cố định G khi A di chuyển.(b) Gọi H là trực tâm ABC. Q đối xứng với H qua F . L là hình chiếu củaF lên IC. R đối xứng với I qua L. Chứng minh FL,QR,GI đồng quy.

Câu IV. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng∑ xy3z3

(x2 + yz)2(y3 + z3)≤ 3

8.


Câu I. Chứng minh rằng phương trình x2015−y2016 = 2115 không có nghiệmvới x, y ∈ Z.

Câu II. Tìm số nguyên dương n ≥ 2015 nhỏ nhất sao cho tồn tại đa thứcP (x) bậc n với hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất dương và đa thức Q(x) với hệsố nguyên thỏa mãn điều kiện xP 2(x)−2P (x) = (x3−x)Q2(x) với mọi x ∈ Z.

Câu III. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Các điểm E,F nằmtrên CA,AB sao cho EF ‖ BC. M,N tương ứng là chân đường cao kẻ từC,B đến DE,DF . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN cắt đường trònngoại tiếp tam giác AEM tại P khác A. Chứng minh rằng AP chia đôi BC.

Câu IV. Trên mặt phẳng cho n điểm phân biệt sao cho không có ba điểmnào thẳng hàng. Mỗi đường thẳng nối hai điểm trong chúng được tô bởi đúng

29

một trong bốn màu khác nhau. Tìm n nguyên dương lớn nhất sao cho tồn tạicách tô màu mà với 4 điểm bất kỳ trong n điểm đã cho thì các đoạn thẳngnối giữa chúng được tô bởi cả bốn màu khác nhau.


Bài 1. Cho dãy (an) thỏa mãn a0 = 1 và an+1 = −37

(√

(a2n + 1)3+a3n)∀n ≥ 0.

Chứng minh (an) hội tụ và tìm lim(an).

Bài 2. Tìm tất cả n nguyên dương sao cho 3n + 4n + 5n | 60n.

Bài 3. Cho ∆ABC, E,F lần lượt thuộc CA,AB sao cho EF ‖ BC. Tiếptuyến tại E,F của (AEF ) cắt BC tại M,N BE,CF lần lượt cắt FN,EMtại K,L.

(a) Chứng minh KAB = LAC;(b) BE cắt CF tại X, EN cắt FM tại Y . Chứng minh XY đi qua điểm cốđịnh khi E,F di chuyển.

Bài 4. Cho x, y, z là 3 số nguyên dương sao cho x + y + z = 1 Tìm giátrị lớn nhất của

P =

√x2y

4x+ 5y+

√y2z

4y + 5z+

√z2x

4z + 5x.


Bài 1. Tìm tất cả các hàm f : R→ R thỏa mãn

f(x− 1)f(y2) = yf(xy)− yf(y) ∀x, y ∈ R.

Bài 2. Cho dãy số (an) thỏa mãn

{a0 = a1 = 5

an+1 = 7an − an−1 + 44 ∀n ≥ 1.Chứng

minh an là tổng hai số chính phương với mỗi số tự nhiên n.

Bài 3. Cho ∆ABC, đường tròn (K) đi qua B,C cắt đoạn AC,AB tại E,F .M,N đối xứng B,C lần lượt qua E,F . Tiếp tuyến tại A của (AMN) cắtMN,BC tại P,Q. Chứng minh rằng A là trung điểm của PQ.

Bài 4. Cho bảng n × n (n ∈ N∗) và số k 6 n Điền vào các ô trong bảngn× n các số thực thuộc đoạn [−1; 1] sao cho tổng các số trên mỗi bảng conk × k bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trên bảng n× n.

30

18 Chuyên Sư phạm


Bài 1. Cho dãy (un) thỏa mãn u1 = 1, u2 = 2 và

un+2 = 3

√u2n+1 + 6un ∀n ≥ 1.

Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Bài 2. Cho các số thực không âm a, b và c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.Chứng minh rằng

√1− a2 +

√1− b2 +

√1− c2 ≥ 2 + (

√6− 2)(ab+ bc+ ca).

Bài 3. Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp (O). Một đường thẳng d thayđổi vuông góc với AO, các các cạnh AB,AC tại N,P (N 6= P ) và cắt đườngthẳng BC tại S. CN cắt BP tại T và AT cắt BC tại M . Đường thẳng SAcắt (O) tại điểm thứ hai L. Đường thẳng đi qua M song song với d, cắtAB,AC tại X, Y . Chứng minh1) Đường tròn ngoại tiếp tam giác SXY luôn đi qua một điểm cố định;2) Đường thẳng TL luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4. Trong mỗi ô của một bảng 1 × 2015 người ta đặt một đồng xu.Các đồng xu này có hai mặt: đỏ, đen. Giả sử ban đầu số đồng xu có mặt đỏngửa lên là số lẻ. Mỗi lần ta bỏ đi một đồng xu có mặt đỏ ngửa lên, đồngthời lật ngược lại các đồng xu bên cạnh. Chứng minh sau hữu hạn lần thựchiện phép bỏ xu, ta có thể bỏ đi tất cả các đồng xu.


Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f : (0; +∞)→ (0; +∞) sao cho

2f(x+ y) + f(xy) = 2x+ 2y + xy ∀x, y > 0.

Bài 2.Gọi S là tập các số nguyên dương chỉ có ước nguyên tố dạng 4k+1 (k ∈Z).1) Chứng minh mỗi s ∈ S, tồn tại số nguyên a thỏa mãn a2 ≡ −1 (mod s);2) Một số nguyên dương n được gọi là tốt nếu với mỗi s ∈ S, tồn tại các sốnguyên dương x, y thỏa mãn

(x, s) = (y, s) = 1, xn + 65yn + 1 ≡ 0 (mod s).

31

Xác định số nguyên dương bé nhất không phải là tốt.

Bài 3. Tam giác ABC không cân có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúcvới BC,CA,AB tại D,E, F . Đường thẳng qua D vuông góc với AD theothứ tự cắt IB, IC tại M,N . FM,EN cắt nhau tại K. Chứng minh1) ∆AFM = ∆AEN ;

2) KIA = IDA.

Bài 4. Trên bảng ghi 2015 số nguyên dương đầu tiên. Ta thực hiện thaotác xóa và ghi số như sau: Mỗi bước xóa hai số x, y trên bảng mà |x−y| ≥ 2,và ghi hai số x− 1, y + 1. Hỏi ta có thể thực hiện tối đa bao nhiêu bước?

32

19 Đoạn cuối

- Tôi cảm ơn các thầy cô và các bạn đồng nghiệp rất nhiều, không có mọingười tôi không thể hoàn thành tài liệu này;- Các đề ở đây không phải đề chính thức, chúng đều được tôi gõ lại bằngLATEX . Nếu có chỗ nào sai thì do lỗi của tôi;- Tuyển tập này cũng được đăng ở http://nttuan.org/2015/10/26/topic-703/

Nguyễn Trung TuânEmail: [email protected]: http://nttuan.org/Facebook: https://www.facebook.com/nttuan0136

33

chån˜ºivmo2016 · 2016-03-03 · b€i 3.cho sŁ nguy¶n n>1 v€ sŁ nguy¶n tŁ psao cho p...

Documents