VII Linear TransformationSub Chapter• Definition• Matrix of Transformation• Kernel dan Jangkauan

Some Applications • Computer Graphics• Modelling• etc

GENERAL LINEAR TRANSFORMATION

DefinitionIf T :VW is a function from a vector space V into a vector space W,

then T is called a linear transformation from V to W if for all vectors u and v in V and all scalars k

a. T(u+v) = T(u) + T(v)b. T(ku) = kT(u)

Example 1

T : R2 P2 defined by T((a,b)) = a+b+ (a-b)x+bx2. Is T linear transformation ?

Solution

Let a = (a1,a2), b = (b1,b2) are vectors in R2 , and k : scalar

a. T(a+b) = T(a)+T(b) ?b. T(ka) = kT(a) ?

GENERAL LINEAR TRANSFORMATION

Solution (continued)

a. T(a+b) = T(a1+b1, a2+b2)

b. T(ka) = T(ka1+ka2)

= (a1+b1+ a2+b2)+(a1+b1- a2-b2)x +(a2+b2)x2

= (a1+ a2)+(a1- a2)x +a2x2+ b1+b2+(b1-b2)x + b2x2

= T(a) + T(b)

= (ka1+ka2)+ (ka1-ka2)x + ka2x2

= kT(a)

= k((a1+a2)+ (a1-a2)x + a2x2)

T : is linear transformation

Example 2Show that T : R2 R3,

is a linear tranformation.Answer :

Given

(i) we will show that

y

x

yx

y

xT

,2

1

u

uu

2

2

1 Rv

vv

vTuTvuT

Transformation formula

vuT

2

1

2

1

v

v

u

uT

22

11

2211

vu

vu

vuvu

22

11

2211

vu

vu

vuvu

2

1

21

2

1

21

v

v

vv

u

u

uu

vΤuΤvuT

(ii) Given

Hence, T is a linear transformation.

2 danu R R

2

1

u

uu

2

1

21

u

u

uu

2

1

21

u

u

uu

2

1

21

u

u

uu

uΤα

Example 3 :Let T be a transformation from M2x2 to R, define by

T(A) = det (A), for every A M2x2,

Is T a linear Transformation?

Answer :Let

for every R, we have

det (A) =

2243

21

xM

aa

aaA

43

21

det

aa

aa

2 21 4 2 3 det( )a a a a A

because det(A) ≠ det(A)T is not linear transformation.

Example 4 :Let T : R3 R2, where

a. Is T a linear transformation?b. Find

ca

ba

c

b

a

T

321 ,, uuuu 321 ,, vvvv

Answer :a.(i) Given P2,

)1,1,1(T

Such

We get

vu 332211 ,, vuvuvu

332211 ,, vuvuvuTvuT

3311

2211

vuvu

vuvu

3131

2121

vvuu

vvuu

31

21

31

21

vv

vv

uu

uu

321321 ,,,, vvvTuuuT

Given R3,

dan R, sehingga

Hence, T is a linear transformasi

b.

321 ,, uuuu

321 ,, uuuTuT

31

21

uu

uu

31

21

uu

uu

31

21

uu

uu

321 ,, uuuT

)1,1,1(T

0

0

11

11

• Exercise

Is T a linear transformation?T M2x2 R

3 4a b

a b c dc d

A linear transformation T : Rn Rm dapat direpresentasikan dalam bentuk :

Amxn dinamakan matriks transformasi dari T.

Contoh 1:Misalkan, suatu transformasi linear T : R2 R3 didefinisikan oleh :

uAuT uuntuk setiap V.

y

x

yx

y

x

Jawab :Perhatikan bahwa

Jadi matriks transformasi untuk T : R2 R3 adalah

Jika T : Rn Rm merupakan transformasi linearmaka ukuran matriks transformasi adalah m x n

y

x

y

x

yx

y

x

10

01

11

10

01

11

A

dimana

21 ,vv32: RR

ii uv

222

111

uvvT

uvvT

2321222123 xxx uuvv 21 vv

12121 vvuu

Misalkan

basis bagi ruang vektor V dan

merupakan transformasi linear

untuk setiap i = 1,2.

Sehingga

Jadi basis bagi Vmaka ia punya invers

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :Tulis :

1

0

0

,

1

1

0

,

1

1

1

321 vvv

23: RR

iii pvAvT

2,0;0,1;1,1 321 ppp

2

1

1

dan

Contoh 2 :Misalkan

adalah basis bagi R3

Transformasi linear didefinisikan

untuk setiap i = 1,2,3.

Tentukan :Matrix transformasi

Jika

3,2,1, iii pv

201

011

111

011

001

1

111

011

001

201

011

Karena

Maka

atau

100

010

001

111

011

001

101

011

001

110

010

001

~

110

011

001

100

010

001

~

221

010

110

011

001

201

011

221

010

invers matriks dicari dengan OBE :

Sehingga

Jadi matriks transformasi T adalah

2

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

221

010

jadi

Sementara itu,

1,1

2

1

1

1,1,1,1,1,0,0,1,1

2

1

0

0,1,1T

0

2

1

1,1,0T

0

1

2

1,1,1T

1,1,1 T

Contoh 3 :

Jika T : R3 R3 adalah transformasi linear

dimana

Tentukan

.

Diketahui basis dari polinom orde dua adalah

GunakanDefinisi

Membangun

Jawab :Perhatikan bahwa

himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2

maka polinom tersebut ditulis nejadi :

Samakan suku-suku sejenis sehingga diperoleh SPL

dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1. 1

1

1

32

321

31

kk

kkk

kk

1,1,11,1,00,1,11,1,1 321 kkk

Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :

atau

Karena transformasi T bersifat linear maka :

1,1,11,1,020,1,101,1,1 TTTT

0

1

2

0

2

1

2

0

5

4

1,1,111,1,020,1,101,1,1 TT

1,1,111,1,020,1,101,1,1

Kernel dan Jangkauan

Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di Wdinamakan kernel T notasi ker ( T ).atau

Contoh 4 :Trans. Linear T : R3 R2

Perhatikan bahwa

maka

0|)( uTVuTKer

ca

bacbaT ),,(

)1,1,1(T

0

0

11

11

)(1,1,1 TKer

Sementara itu,

karena

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakan unsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai vektor tak nol sebagai unsur kernel T.

Teorema :Jika T : V W adalah transformasi linear maka Ker (T) merupakan subruang dari V

Bukti :Ambil sembarang dan kRiil)(, TKerba

)(1,2,1 TKer

01

1)1,2,1(

T

1. Karena setiap artinya setiap

maka Ker(T) V

2. Perhatikan bahwa artinya setiapoleh karena itu Ker(T) ≠ { }

3. Karena dan Ker(T) VIngat bahwa V mrpkn ruang vektor, sehingga berlaku

akibatnya

Jadi

)(TKera 0sehingga aTVa

)(0 TKer 000 AT

)(, TKerba

Vba

000 bTaTbaT

Tba ker

karena V adalah ruang vektor maka untuk setiap k Riil berlaku :

Jadi,

Dengan demikian, terbukti bahwa Jika T : V W adalah transformasi linear makaKer(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V

Karena Ker(T ) merupakan subruang

T mempunyai Basis Ker(T).

VaTKera maka)(Karena 4.

( )k a Ker T

0 0T k a kT a k

• Basis Ker(T) basis ruang solusi– Null(T) : jumlah basis ker(T) = dim ker(T)

• Basis R(T) (peta(T)) basis bagi ruang kolom A– Rank(T) : jumlah basis R(T) = dim R(T)

null(T) + rank(T) = n

n = dim(V)

dcba

dc

ba

d

c

b

a

T

2

2

Contoh 5 :

Diketahui transformasi linear T : R4

R3

didefinisikan oleh :

Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya

Jawab :

dcba

dc

ba

d

c

b

a

T

2

2

d

c

b

a

 

2111

2100

0011

2111

2100

0011

A

Jadi

4,  0 R

d

c

b

a

vvAvT

0000

2100

0011

~

2111

2100

0011

~A

Basis Ker(T) dan Nulitasnya?

Dengan OBE

Ker(T) adalah ruang solusi dari

0vA

0, , 

211

0

0

  

0

0

1

1

   tsts

d

c

b

a

d

c

b

a

211

0

0

 , 

0

0

1

1

Ker(T) = ruang solusi dari

yaitu

Jadi Basis Ker(T) adalah

Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2

1 0

0 , 1

1 1

Perhatikan hasil OBE maka basis ruang kolom dari matriks A

adalah :

Sekaligus ini merupakan basis jangkauan dari T

sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 2

Perhatikan bahwa

Null(T) + Rank(T) = dim(V)2 + 2 = 4

c

b

a

T

02,2,

cbacaba

c

b

a

T

Contoh 6 :Diketahui Transformasi linear T : R3 → R3

dengan

Jawab :Perhatikan

bahwa :

= ((a + b) , (2a – c), (2a + b + c))

Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T)

0

0

0

2

2

cba

cb

ba

c

b

a

T

cba

cb

ba

2

2

112

120

011

c

b

a

Ini memberikan

sehingga

Jadi, matriks transformasi bagi T adalah

112

120

011

A

~

0

0

0

112

120

011

0

0

0

110

120

011

0

0

0

2/100

2/110

2/101

~

0

0

0

100

010

001

~

Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :

Dengan demikian, Basis ker(T) = { }

dan nulitasnya adalah nol.

1

1

0

,

1

2

1

,

2

0

1

Perhatikan hasil OBE maka basis ruang kolom dari matriks A

adalah :

Sekaligus ini merupakan basis jangkauan dari T

sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3

ca

ba

c

b

a

T2

Latihan

1. Suatu transformasi T : R3

R2

didefinisikan oleh

Periksa apakah T merupakan transformasi linear

1

1

3

2

1T

1

2

1

5

3T

3

1T

(Untuk no. 2 – 4)

Suatu transformasi linear, T : R2 R3 Yang diilustrasikan sebagai berikut :

dan

2. Tentukan matriks transformasi dari T !

3. Tentukan hasil transformasi,

4. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !

1221

1321

1121

A

ca

ba

c

b

a

T2

7. Misalkan T : R3 R2 didefinisikan oleh

Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T) beserta dimensinya !

6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :