chapter two year/mathe… · chapter two(ordinary differential equations) page 1 definition: any...
TRANSCRIPT
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 1
Definition: Any equation involving one derivative or more in the unknown
function (the dependent variable) is called a differential equation.
���: −
1 − �� = � + 5 , �� � ������������ ��������, � �� ������� ��������
��� ������ !����"��#��� � �� $��� ������ !����"��. 2 − �'' + 2��''#( + �' = cos � , �� ,. �, � �� �� ������ !����"�� ��� � �� $��� ������ !����"��. 3 − ./
. + ./. = 20. �� ,. �, 0 �� �� ������ !����"��, � ��� � ���
$��� ������ !����"��. 1ℎ��� ��� ��� �� � �� ,. ��: −
1 − 3������� ,����������� �������� �3. ,. �#: −�������� �ℎ��ℎ ��!��!� ���� ��� ���� ������ !����"�� �� ������ �������� ������������ ��������
�� �� �� �1#��� �2#. 2 − 4������ ,����������� �������� �4. ,. �#: −�������� �ℎ��ℎ ��!��!� 5���
�ℎ�� ��� $��� ������ !����"�� ������ 4������ ������������ ��������
�� �� �� �3#. ,���������: −1ℎ� ����� �� � ,. � �� �ℎ� ℎ�6ℎ��� ����� ����!���!� ������� �� �ℎ� ,. �.
Chapter Two
ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 2
1ℎ� ��6��� �� � ,. � �� �ℎ� ℎ�6ℎ��� ���� �� �ℎ� ℎ�6ℎ��� ����� ����!���!� ������� �� �ℎ� ,. �. ,��: −7�� �������� ��������6 �ℎ� ,. �, �� ������ � �������� �� ,. �. ��: −$� � = sin 2� , � �������� �� �ℎ� ,. � , �'' + 4� = 0?
=��: −� = sin 2� , �' = 2 cos 2� , �'' = −4 sin 2�, ��"������� 6�!��: − − 4 sin 2� + 4 sin 2� = 0. ∴ � = sin 2� , �� � ��������. ,��: −1ℎ� ��� �� ��� �������� �� � ,. � �� ������ �ℎ� 6������ �������� �� �ℎ� ,. �.
��: −� = �? cos 3� + �( sin 3� , �?, �( ��� ��"����� ���������, �� 6������ �������� �� �ℎ� ,. �, �'' + 9� = 0. ,��: −7�� � ����� �������� �� �ℎ� ,. � 5����� obtained at certain condition,
�� ������ �ℎ� ��������� �������� �� �ℎ� ,. �. ��: −� = sin 3� , � = cos 3� , � = − sin 3� + cos 3� , ��� ���
��������� �������� �� �ℎ� ,. � �'' + 9� = 0. ,��: −1ℎ� ,. � ���ℎ ��′� ��"������ ���������� �� ������ ������� !���� ��"��5
�� ��� �ℎ� ���������� 6�!�� �� ��5� !���� �� �ℎ� ���� ������ !����"��. ��: −1ℎ� ,. � �'' + 3� = � , ���ℎ ��������� ��2# = 3, ��2# = 0 , �� ������� !���� ��"��5 �B. C. D#. ,��: −1ℎ� ,. � ���ℎ ��′� ��"������ ���������� �� ������ "������� !���� ��"��5 �� �ℎ� ���������� ��� 6�!�� �� ��������� !���� �� �ℎ� ���� ������ !����"��. ��: −1ℎ� ,. � �E + 9�' = 0 ���ℎ ��������� ��0# = 3, ��1# = 0 ��
"������� !���� ��"��5 �F. C. D#.
,���������: −
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 3
G����� ������������ ��������: −7� ��ℎ ����� ������ ,. � �� �� �������� �� �ℎ�
���5 ∶ − �I��# �J���J + �?��# �JK?�
��JK? ± − − +�J��#� = "��#
�ℎ��� �I, �?, − − − − �J, ��� "��# ��� ��������� �� �. $� 5��� "� ������
�. �. � �ℎ� ������� �������� � ��� ��� ��'�����!���!�. ���5 ��: −
1# �E + 3�M� = sin �, ������ ,. �
2# �E� + �' = 0 , ��� − ������ ,. �
3# �E + 2�� = sin � , ��� − ������ ,. �
N�� �ℎ� ��������6 ,. �� �����5���: −�# �ℎ� �����, "#�ℎ� ��6��� , �#���������
�# ������� �������� ��� ������ !����"��#, �# $��� ������ !����"��, �# 1� �?
1# ��E#( − 3��' + �� = 0. 2# �O�O + ��E' = � . 3# �(�E − �� = 1 − sin �. 4#
�P�P = �( + 1.
5# ��QR�Q#( + �QR
�Q + � �R� = 0.
6# �P�P = �( + 1.
7# ��Q�Q#U
Q + � = �. 8#
.Q/
.Q + ./. ∙ ./
. + .Q/.Q = 0.
H.W 1
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 4
7 ������������ �������� �ℎ��ℎ 5�� "� ������� �� �ℎ� ���5
�� = ���, �# − − − − − �1#
�� �ℎ� ���5
X��, �#�� + Y��, �#�� = 0 − − − − − −�2#
Zℎ��� ���, �#, X��, �#, ��� Y��, �#��� ��������� �� ��� !����"�� �, ��� �. 1� ���!� �ℎ� �����[R�\R ������\]R\\ ,. �, �� ℎ�!� �ℎ� ��������6 �����: −
$� �ℎ�� ���� �ℎ� ,. � ��� "� ������� �� �ℎ� ���5 ���#�� + 6��#�� = 0
$���6������ �� "��ℎ ����� 6�!�� �ℎ� 6������ ��������
^ ���#�� + ^ 6��#�� = � , �ℎ��� � �� �� ��"������ ��������. �� 1: −=��!� �ℎ� ,. �, �� + 1# �
� = �?
=��: − �� =
_? ==≫ ^ � = ^ �
_?
ln � = ln|� + 1| + � ==≫ � cd = �cd|_?|_e
� = 7�� + 1# , 7 = �e .
First_ Order First_ Degree Differential
Equation
f − Cghigjklm nlolhgjkl �i. l mloghgpiqr qs tghigjklm#
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 5
�� 2: − =��!� �ℎ� ,. � ��2� − 3#�� + ��( + 1#�� = 0?
��( + 1#�� = −��2� − 3#��, ^ �(KM = − ^ �
Q_? ==≫
?( ln |2� − 3| + ?
( ln |�( + 1| = 2� = �?.
�� 3: −=��!� �ℎ� ,. � �� �� + Q_? �� = 0
=��: − �� �� = − (Q_?) �� ==≫ ^ �� �� = − ^ (Q_?)
��
�� − � = − ^ u� + ?v �� ==≫ �� − � = −(Q
( + ln � ) + � y �
1 �
0 �
N��� �ℎ� 6������ �������� ��� ���ℎ �� �ℎ� ��������6 ,. ��: −
1) �� = O
(KM) , 2) �((� + 1) �� + �((� − 1)�� = 0
3) sin � �� + cosh � = 0, 4) ln � �
� = .
5) �((�( + 1)�� + � √�( + 1 ��, 6) �(� �� = (1 + �) csc �.
7 �������� �� �(�, �)�� ���� �� "� ℎ�5�6����� �� ��6��� � �� �(y�, y�) =yJ�(�, �)
Y�� , �(�, �) = �( + 3�� + �(, �(y�, y�) = y(�( + 3y�. y� + y(�(
= y((�( + 3�� + �() = y( �(�, �). ∴ �(�, �)�� � ℎ�5�6����� �������� �� ��6��� ���.
H.W 2
z − {q|q}lrq~m �isslhlrpigk ��~gpiqrm
Definition:
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 6
1ℎ� ���� − ����� − ����� − ��6��� ,. � ��� "� �� �� ∶ �� = ���,#
�Q�,# − − − − − −�1#
$� "��ℎ �?��, �#, �(��, �#��� ℎ�5�6����� ��������� �� �ℎ� ��5� ��6��� �ℎ�� �ℎ� ,. � �� ���� �� "� ℎ�5�6�����. $� ��� "� ������� �� �ℎ� ���5: −
�� = N u
v − − − − − �2#
1� ���!� �� �� ! = ==≫ � = ! � ==≫ �
� = ! + � ���,
��"������� �� �� �2# 6�!��: −
! + � ��� = N�!# ==≫ N�!# − ! = � ��
�
�����#K� = �
��� ���"�� ,. �#
$���6������ �� "��ℎ ����� 6�!�� �ℎ� ����� �������� ^ �����#K� = ln |�| + �.
���: −N��� �ℎ� 6������ �������� ��� ���ℎ �� �ℎ� ��������6 ,. ��: −
1) (�M + �M)�� − 3��( �� = 0?
=��: �� = U_U
MQ ==≫ �� = �U (U_U)
�U(MQ) , ∴ ,. � �� ℎ�5�6.
,�!����� "� �M 6�!�� ==≫ �� = ?_u�
�vU
Mu��vQ , ==≫ ! + � ��
� = ?_�UM�Q
� ��� = ?_�U
M�Q − ! ==≫ � ��� = ?_�UKM�U
M�Q , ==≫ � ��� = ?K(�U
M�Q (�� ,. �)
^ M�Q?K(�U �! = ^ �
==≫ − ?( ln |1 − 2!M| = ln |�| + �
ln �1 − 2 uvM� + 2 ln|�| = �? , �ℎ��� �? = −2�
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 7
2# u���� + �v �� − � �� = 0?
=��: − �� = \�
�_ ==≫ �
� = �\����_�� �ℎ�5�6. ,. �#
,�!����� "� � 6�!��:- �� = �/ +
, ==≫ ��� ! = , ==≫ � = !. �, ==≫ �
� = ! + ��!/��
! + � ��� = �� + ! ==≫ � ��
� = �� + ! − ! ==≫≫ � ��� = ��
^ �K� �! = ^ � ==≫ −�K� = ln |�| + � ==≫ ln |�| + �K� = �? ,
ln |�| + �K�� = �? (�ℎ� ��������) .
3) u2� sinh + 3� cosh
v �� − 3� cosh �� = 0?
=��: − �� = ( ��d��
�_M ������
M ������
, ℎ�5�6. ,. � ,�!���� "� � ��� ��"���. ��� ! =
, ��� ! + � ��� = �
� ==≫
! + � ��� = ( ��d� �_M� ���� �
M ���� � , ==≫ � ��� = ( ��d� �
M ���� �
^ ���� ���d� � �! = (
M ^ � ==≫ ln �sinh
� − (M ln � = �.
�?� + "?� + �?)�� + (�(� + "(� + �()�� = 0, "� ��������5�����
� = � + ℎ, � = � + �, �� �ℎ��ℎ � = ℎ, � = �, ��� �ℎ� ��������
�� �ℎ� �������� (�?� + "?� + �?) = 0 , ��� (�(� + "(� + �() = 0
���: −=��!� �ℎ� ,. ��: −
1) (� − � − 1)�� + (4� + � − 1)�� = 0
=��: − � − � − 1 = 04� + � − 1 = 0} ��5����������� ���!�� ==≫ −5� = 0,
==≫ � = 0, ��� � = 1, �� � = ℎ = 1, ��� � = � = 0.
� − ��l l�~gpiqr (gf� + jf� + �f)�� + (gz� + jz� + �z)�� = �
im hlkgpl� pq p�l �q|q}lrq~m sqh|
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 8
1ℎ� ��������5����� ∶ � = � + ℎ ==≫ � = � + 1 , �� = ��
� = � + � ==≫ � = � , �� = ��
Y�� ,�� = − KK?
O_K? , �� 6�� ���� = − �_?K�K?
O�_�_?K? =− �_�
O�_� , ℎ�5�6. ��. ��� ! = �� , � = !. �, ��
�� = ! + � ���� , ��"��.
! + � ���� = − ?K�
O�_? ==≫ � ���� = − ?K�
O�_? − ! = − ?_O�QO�_?
^ O�_??_O�Q �! = − ^ ��
� ==≫ ?( ln |1 + 4!(| + ?
( tanK?(2!) = − ln |�| + �
?( ln |1 + 4 u�
�v( | + ?( tanK? u2 �
�v + ln |�| = �. 2) (2� + 2� + 1)�� + (2� + � − 2)�� = 0?
=��: − 2� + 2� + 1 = 02� + � − 2 = 0 } ���!� ��5���. ==≫ � + 3 = 0 ==≫ � = −3
� = ¡M , �ℎ�� � = ℎ = ¡
M , � = � = −3
1ℎ� 1�������5����� ∶ � = � + ℎ = � + ¡M , �� = ��,
� = � + � = � − 3, �� = ��, ��� ���� = − ((�_(�)
(�_� = − (_Q¢£
(_¢£
1ℎ� ��5� ��� � �� "����� � ���� = −(2 + !), ^ ��
(_� = − ^ ��/�
ln |2 + !| = − ln |�| + �, ln |2 + �� | + ln |�| = �.
N��� �ℎ� 6������ �������� ��� ���ℎ �� �ℎ� ��������6 ,. ��: −
1) �( �� + (�( − ��)�� = 0. 2) (� + �)�� + (� − �)�� = 0. 3) �' =
+ cos(K ) .
4) � �� − � = ¤�( − �(.
5) (�� + �()�� = (�( + � � + �()��. 6)
�� = K_¡
_K? . 7) (2� − 5� + 3) �� − ( 2� + 4� − 6)�� = 0. 8) (�( + �()�� + �� �� = 0.
H.W 3
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 9
1ℎ� �������� �� + 4��#� = ¥��# − − − −�1#
�� �� + 4��#� = ¥��# − − − −�2#
�ℎ��� ���� 5��"�� �� ������ �� "��ℎ �ℎ� �� ������ !����"��� ��� ��� ����!���!�
�� ������ � ������ �������� �� �ℎ� ����� �����. Zℎ��� 4 ��� ¥ ��� ���� ������� ���������.
X���� �� "��ℎ ����� �� �1#"� � �������� $��#�� "� ����� ����� ���ℎ �ℎ��
�� �$. �# = $. �
� + 4��#. $. �
$. �� + �. �¦
� = $. �� + 4. $. � ==≫
�¦� = 4. $ ==≫ ^ �¦
¦ = ^ 4. �� ==≫
ln $ = § 4 �� ==≫ $ = �^ ¨ � , $��#�� ������ $���6�����6 ������ �� ,. �
Y�� , �� �$. �# = $. ¥��#, ����6������ 6�!��
$. � = ^ $� �# ¥��#��
�ℎ��ℎ �� �ℎ� 6������ �������� �� ������ ,. �. ���: −=��!� ���ℎ �� �ℎ� ��������6 ,. ��: −
1# �� + 2�� = 4�, ������ ,. � , 4��# = 2�, ¥��# = 4�
$��# = �^ ¨�#� ==≫ $��# = �^ ( � = �( �� �� ����6�����6 ������
Y�� , $. � = ^ $. ¥��# �� ==≫ �(. � = ^ �( . 4� ��
1ℎ�� , �(. � = 2 �( + � ==≫ � = 2 + � �K( ��ℎ� ��������#.
© − ªirlgh �isslhlrpigk ��~gpiqr
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 10
2# � ���� = � + �M + 3�( − 2�, � ��
�� − � = �M + 3 �( − 2� ]��!���� "� �
���� − �
� = �( + 3� − 2 , ������ ,. �, ��� 4��# = 1� , ��� ¥��# = �( + 3� − 2
$ = �^ ¨�#� = �K ^��� = �K cd = ?
, �� �� $���6�����6 ������. 1ℎ�� , $. � = ^ $. ¥��#�� ==≫ ?
. � = ^ ? . ��( + 3� − 2#��
= ^ u� + 3 − (
v �� = Q( + 3� − 2 ln � + �
� = U( + 3�( − 2� ln � + � �.
3# �� + � cot � = 5 ���� , ���� �ℎ� ��������� �������� 6�!�� � u¬
(v = −4. =��: − 4��# = cot � , ¥��# = 5 ����
$ = �^ ¨�#� = �^ �� � = �cd ��d = sin � , ��� $. � = ^ $ . ¥��#��
sin � . � = 5 ^ sin � . ���� �� = −5 ���� +c
����� � u¬(v = −4 , �ℎ�� − 4 sin ¬
( = −5 ����®Q + �
−4 = −5 + �, ==≫ � = 1, �ℎ� ��������� �������� ��
� ∙ sin � = −5 ���� + 1 , �� � sin � + 5 ���� = 1
$� ℎ�� �ℎ� ���5 , �� + 4��# � = ¥��# �J − − − − − �1# � ≠ 1
�� ���� + 4��# � = ¥��# �J − − − −�2# � ≠ 1
Y���: − ��� � = 1 , �ℎ� ,. �. "���5�� �� ���"�� ,�!����� �� "��ℎ ����� �� �� �1#"� �J 6�!��: �KJ �
� + 4��# �?KJ = ¥��#, ��� 0 = �?KJ ==≫ �/� = �1 − �# �KJ �
�
��� "� ��"��������� , ??KJ
�/� + 4��# 0 = ¥��#
° − Flhrqkki'm �isslhlrpigk ��~gpiqrm
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 11
�/� + �1 − �#4��# . 0 = �1 − �# ¥��# , �ℎ��ℎ �� ������ �. �. � 0 ��� 0′ ���: −=��!� 1# �
� − � = � �¡ , �±�������'� ,. �. #
,�!����� "� �¡ ==≫ �K¡ ���� − �KO = � , ��� 0 = �KO ==≫ �0
�� = −4 �K¡ ����
������� �ℎ� �������� �� − ?O
�/� − 0 = � ==≫ �/
� + 40 = −4�
������ �� 0 ��� 0'
4��# = 4 , ¥��# = −4� , $ = �^ ¨�#� = �^ O � = �O, $. 0 = ^ $ . ¥��# �� , �O. 0 = − ^ �O . 4� �� ==≫
�O . 0 = − ²� �O − ?O �O³ + � ==≫ ?
´ = −� + ?O + � �KO.
2# ��6�( − � − 1#�� + 2� �� = 0
2� �� − ��� + 1# = −6 �M �±�������'� ,. �#
�KM �� − �_?#
( �K( = − M , ��� 0 = �K( =≫ �/
� = −2�KM. ��
��"������ ��� ���!� �� 6�� � � �K( = 6 � + �.
=��!� �ℎ� ��������6 ,. ��: −
1# � �� + 2� �� = �� − 2#��� ?
2# �( �� + 2�� �( − �#�� = 0?
3# � �� + ��� + � − 3�#�� = 0?
4# � �� + 3� = ��d
Q ?
5# cosh � �� + �� sinh � + � # �� = 0?
6# �� + �tan � # � = sin 2� ? , ��0# = −2
7# � �� + � = �M �µ? 8# � �
� − � �( + � = 0? 9# 2 �
� − + �M cos � = 0 ? , 10# � �
� = 2� + �M �? , ��1# = 0
H.W 4
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 12
1ℎ� ,. � X �� + Y �� = 0 �� ���� �� "� ����� �� �ℎ��� �� � ��������
N��, �#������ ���ℎ �ℎ�� , �N = X�� + Y �� − − − −�1#
¶���� �N = 0 ==≫ N��, �# = �������� �ℎ��ℎ �� �ℎ� 6������ ��������
Y�� , �N = .�. �� + .�
. �� − − − −�2#
·�5 ������ "������ �� �1#& �� �2# 6�!���
.�
. = X ==≫ .Q�. . = .¹
. .�. = Y ==≫ .Q�
. . = .º. , so
.¹
. = .º. − − − −�3#
�� �3#�� � ��������� ��� �ℎ� ,. �. X �� + Y �� = 0 �� "� ����� Y�� .�. = X ==≫ N = ^ X �� + � − − − − − �4#
��"��������� �� �� �4#�� .�. = Y ��� �ℎ�� ����6���� 6�!�� �
ℎ���� N��, �# = · �� �ℎ� 6������ �������� 7� ���5 �� ��� �ℎ�� �� �����6 ∶ − �� �� �������� �ℎ� �������� ���, �# = 3�( �( + 2�M� + �( + · = 0, �ℎ�� �� �� ������������� �ℎ�� ��, 6��
�N = 6�(� �� + 6�(� �� + 2 �M �� + 6�(� �� + 2� �� = 0
"� �� ������6 �ℎ� ������������ �� �� ��� �� , �ℎ��
�6�(� + 2�M#�� + �6�(� + 6�(� + 2�#�� = 0
X = .�. Y = .�
.
.¹
. = 12 � � + 6 �( , .º. = 12 � � + 6 �(
» − ��g�p �isslhlrpigk ��~gpiqr
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 13
Y�� �� ���!� �ℎ�� ����� ,. �. X = .�
. ==≫ ¼N = X¼� , ��� "� ����6�����6 N = ^ X �� + �
�� ���� � ������������� �ℎ�� N �. �. � �
.�
. = .. �^ X ��# + .e�
. , ����� .�. = Y
.. �^ X ��# + .e�
. = 6�(� + 6�(� + 2�
.. �^�6 �(� + 2 �M# �� + .e�
. = 6�(� + 6�(� + 2�
.. �3�(�( + 2 �M�# + .e�
. = 6�(� + 6�(� + 2�
6�(� + 6�(� + .e�. = 6�(� + 6�(� + 2�, ∴ .e�
. = 2�
^ ¼ � = ^ 2 � ��, ==≫ � = �( + ·
N��, �# = 3�(�( + 2 �M� + �( + ·,�ℎ��ℎ �� �ℎ� ��5� �������� �� ����� ���ℎ ��
��� ��� ��������� ��� ����� ,. � ��
�� .¹. = .º
. , �ℎ�� ��7·1 ,. �., �ℎ�� �ℎ���� ��� ��� �� ���!� 7# ���, �# = ^ X��, �# �� + �
.��,#. = Y , �� 6�� .e�
. , �ℎ�� ���� ����6���� �� 6�� �
±# ���, �# = ^ Y��, �# �� + � , .��,#. = X , �� 6�� .e�
. ,�ℎ�� ���� ����6���� �� 6�� � ���: −=��!� ���ℎ �� �ℎ� ��������6 ,. ��
1# �� + �#�� + �� + �(#�� = 0?
���: − X��, �# = � + � =≫ .¹. = 1, Y��, �# = � + �( =≫ .º
. = 1
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 14
.¹
. = .º. , ∴ ����� ,. �
1ℎ� �������� �� N��, �# = � �ℎ��� .�. = X , .�
. = Y
Y�� ^ ¼N = ^�� + �# �� =≫ N = Q( + �� + �
.�
. = 0 + � + .e�. = Y = � + �(, �� .e�
. = �(, "� ����6���
^ ¼� = ^ �( ¼� =≫ � = UM + �
�ℎ� �������� �� N��, �# = Q( + �� + U
M + �
2# �3 �M . � − 2�#�� + ��M + 1#�� = 0
=��: − X = 3 �M� − 2� =≫ .¹. = 3 �M
Y = �M + 1 =≫ .º. = 3 �M , .¹
. = .º. , ∴ ����� ,. �
1ℎ� �������� N��, �# = � �ℎ��� .�. = X , .�
. = Y Y�� ^ ¼N = ^�3 �M . � − 2�# �� =≫ N = �M . � − �( + �
.�
. = Y = �M + .e�. = �M + 1, �� .e�
. = 1, ^ ¼� = ^ 1 ¼�
∴ � = � + � , �ℎ� �������� �� N��, �# = �M . � − �( + � + � 3# �cos � + � cos �#�� + �sin � − � sin �#�� = 0?
4# ue¾ + ln y + À¾v dx + u¾
À + ln x + sin yv dy = 0?
$� �� �1#�� ��� ����� , �� ����6�����6 ������ �� ����
7# $� ¼X ¼�⁄ − ¼Y ¼�⁄Y = ���#, � �������� �� � �����, �ℎ��
$ = �^ ��#� , �� �� ����6�����6 ������ �� �1#
Brpl}hgpir} Äg�pqhm
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 15
��: −=��!� 3. ,. � ��( + �( + �#�� + � � �� = 0? X = �( + �( + �, ==≫≫ .¹
. = 2� , Y = �� , ==≫ .º. = �
�ℎ�� .¹. ≠ .º
. , �� �� �� ��� �����
1ℎ�� .¹ .⁄ K.º .⁄º = (K
= ? = ���#, $ = �^�
� � = �
$���������6 �ℎ� ����6�����6 ������
��M + � �( + �(#�� + �( � �� = 0 , .¦¹. = 2�� , .¦º
. = 2�� , ∴ .¦¹. = .¦º
.
∴ ����� , �ℎ�� �������� �ℎ� ��5� �������� �� ���J
±# $� .¹ .⁄ K.º .⁄¹ = −6��#, � �������� �� � �����,
1ℎ�� = �^ ]�#� , �� �� ����6�����6 ������ �� �1# ��: − =��!� �2� �O � + 2��M + �#�� + ��(�O� − �(�( − 3�#�� = 0
.¹
. = 8��M� + 2��O� + 6��( + 1, .º. = 2��O� − 2��( − 3
�� .¹. ≠ .º
. , �ℎ��ℎ �� ��� ����� , .¹ .⁄ K.º .⁄¹ = ÅU\�_ÅQ_O
( ´ \�_(U_
= O�(U\�_(Q_?#�(U\�_(Q_?# = O
= −6��#
∴ $��# = �^ ]�#� = �K ^´�� = �KO cd = �cd Æ´ = ?
´
X���� �� �ℎ� ,. � "� $��#, �� 6��
u2��O� ?´ + 2� U
´ + ´v �� + uQ´\�
´ − QQ´ − 3
´v �� = 0
u2�� + 2 + ?
Uv �� + u�(� − QQ − 3
´v �� = 0
.¦¹. = 2�� − (
Q − M´ , .¦º
. = 2�� − (Q − M
´ , ∴ .¦¹. = .¦¹
. =
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 16
1ℎ�� ���!�� ���ℎ �ℎ� ��5� �������� �� ����� ,. �. ��������
N��� �ℎ� 6������ �������� ��� ���ℎ �� �ℎ� ��������6 3. ,. �: −
1# �2�� + �(#�� + ��( + 2��#�� = 0?
2# Ç� + ¤�( + 1È�� − É� − ¤Q_?Ê �� = 0?
3# �� + � + 1#�� − �� − � + 3#�� = 0?
1# = ����� 1� �� �� 2�� ����� ,. �
2# ¶�5�6����� 2�� ����� ,. �
3# Y�� ¶�5�6����� 2�� ����� ,. �
Ë# ��l l�~gpiqr �gm p�l sqh| qs: Ä u�, ���� , �z�
��zv = �
$� ��� "� ������� �� 1ÌÍ ����� ,. � "� ��"������ , �� "� 4,
��� = ���� , �ℎ�� �
�� = �(���( , �ℎ�� ��"�. ��� ��
�� , �(���( �� �ℎ� 5���� ��.
"� & � �� �� 6�� 1�� ����� ,. � ��� ���!�� "� �ℎ� 5��ℎ��� ���� "�����
�� 6�� ��� �ℎ�� ������ �� ���� �� ���!� "� �� ������� �� !����"�� .
H.W 5
Second Order Differential
Equations
1- Special types of 2nd
Order
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 17
��1: −=��!� �ℎ� ��������6 ,. � �'' + ��' = 0
�Q�Q + � �
� = 0, →→ N u�, �� , �Q
�Qv
��� = �� , �ℎ�� �Ï
� = �Q�Q , →→ �Ï
� + � = 0 ] ∗ �Ï
�ÏÏ + � �� = 0, →→ ^ �Ï
Ï = ^ � �� = ^ 0 , →→ ln + Q( = �
�� = �? . �K�Q
Q , →→ ^ �� = ^ �? . �K�QQ �� , →→ � = �? ^ �K�Q
Q �� + �(
F# ��l l�~gpiqr �gm p�l sqh| qs ∶ Ä u�, ���� , �z�
��zv = �
1ℎ�� ��� = �� , �Ï
� = �Q�Q = �Ï
��� = �Ï
� , �ℎ�� ��"�. �� 5��� ��. ��� �ℎ�� � = ^ �� + �
�� 2: − �Q�Q + �
� = 0, ���!�� "� �7#&�±#
���J: − 1# ����� "� ±
��� = �� , �Ï
� = �Q�Q = �Ï
��� = �Ï
� , �ℎ�� ��"��. �� 5��� ��.
u �Ï� + = 0v ∗ �
Ï , →→ � + �� = 0, →→ ^ � + ^ �� = ^ 0 , →→ + � = �
∴ = � − �, →→ �� = � − �, →→ ^ �
eK = ^ �� , →→ − ln�� − �# = � + �?
ln�� − �# = −� − �? , ���� � , � − � = �K . �Ke� , ��� �( = �Ke�
∴ � = � − �( �K
2J� "� 7# ��� = �� , �Q
�Q = �Ï� , �� �ℎ� �� . "� �Ï
� + = 0 �ÏÏ = −�� , →→ ^ �Ï
Ï = − ^ �� , →→ ln = −� − � , = �KKe
= �? �K , →→ �� = �? �K , ^ �� = ^ �? �K �� ,
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 18
� = −�?�K + � , � = � − �? �K
Ñ# ��l l�~gpiqr �gm p�l sqh| qs: Ä u�� . ��
��v = �
1ℎ� ����� ����� ������������ �������� ��� �� ������ �� �ℎ� ���5
�� = � u
v , 1ℎ� ������ �����6 ��. ��� 2J� ����� �� � �Q�Q = �? u
, ��v
1ℎ� �������� �� "� ����5��6 = ! →→ � = !� , �
� = � + ! ���
�Q�Q = ��
� + � , �Q��Q + ��
� = � �Q��Q + 2 ��
� , ∴ � �Q�Q = �( �Q�
�Q + 2� ���
∴ �( �Q��Q + 2� ��
� = �( u!, ! + � ���v 3Ò � �Q
�Q = �M u!, � ���v
1ℎ�� ��� ������ ��"��. � = �Í , � = ln � , �Í� = ?
, �QÍ�Q = − ?
Q
��� = ��
�Í . �Í� = ?
. ���Í , ∴ � ��
� = ���Í , �Q�
�Q = − ?Q
���Í + ?
�
� u���Ív
�Q��Q = − ?
Q���Í + ?
��Í u��
�Ív �Í� = ?
Q�Q��ÍQ − ?
Q���Í
�( �Q��Q = �Q�
�ÍQ − ���Í , �� � �Q
�Q = � u���Í , !v 3Ò �Q�
�ÍQ = � u!. ���Ív.
Zℎ��ℎ ����� "� ���!� ����6 ���� ± ��������
�� 3: −=��!� 2J� 3. ,. �. 2 �(� �Q�Q + �( = �( u�
�v(
=��J: − ��!��� �� "� 2��, �� 6�� � �Q�Q +
( = ( u�
�v( − − − 1
∴ � �Q�Q = � u
, ��v , �� ��� ! =
, ��� � = ! . � − − − − − 2
�� = ! + � ��
� − − − − − 3
�Q�Q = ��
� + � , �Q��Q + ��
� = � �Q��Q + 2 ��
� , ∴ � �Q�Q = �( �Q�
�Q + 2� ��� − − − −4
Y�� ��"��. ��� �2#, �3# , & �4# �� �� �1#
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 19
�( �Q��Q + 2� ��
� + �( = ?
(� u! + � ���v(
�( �Q��Q + 2� ��
� + �( = ?
(� Ó!( + 2!� ��� + u� ��
�v(Ô
�( �Q��Q + � ��
� = ?(� u� ��
�v( − − − − − 5
Y�� ��� 2J� ��"������� "� ���� � = �Í , ��� � = ln � , �Í� = ?
, �QÍ�Q − ?
Q
��� ��� = ��
�Í . �Í� = ?
���Í , �ℎ�� � ��
� = ���Í − − − − − 6
�Q��Q = − ?
Q���Í + ?
�
� u���Ív = − ?
Q���Í + ?
�
�Í u���Ív . �Í
�
�Q��Q = ?
Q�Q��ÍQ − ?
Q���Í , ∴ Q�Q�
�Q = �Q��ÍQ − ��
�Í − − − − − 7
Y�� ��"������� �� �6#, �7# �� �� �5#, �� 6��, �Q��ÍQ − ��
�Í + ���Í = ?
(� u���Ív( , ∴ �Q�
�ÍQ = ?(� u��
�Ív(
Y�� ��� = ���Í , �Q�
�ÍQ = �Ï�Í = �Ï
�����Í , ∴ �Q�
�ÍQ = �Ï��
��� = ?
(� (, ��� �� ≠ 0 → �Ï�� = ?
(� → ^ �ÏÏ = ^ ?
(� �!
ln = ?( ln ! + ln �? , → = �? !?/( , ��
�Í = �? !?/( , ^ !K�Q �! = ^ �? ��
!?/( = e�Í( + eQ
( , ∴ ! = ue�Í( + eQ
( v( , = ue�Í
( + eQ( v(
∴ � = �� ·? ln � + ·(#(, �ℎ��� ·? = e�( , ��� ·( = eQ
(
Y�� �� = 0 , �ℎ�� �!�� = 0, § �! = § 0 , ! = 7 , ��� �
� = 7 � = 7� .
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 20
�� 4: −���!� �(�'' + 3��' − 3� = 0
���J: − �(�'' + 3��' − 3� = 0] ? , �ℎ�� ��'' + 3�' − 3
= 0
�ℎ��ℎ �� � u , �
� , �Q�Qv , �� � = !� , ��� �
� = ! + � �!/��
��� �Q�Q = ��
� + � , �Q��Q + ��
� = � �Q��Q + 2 ��
� , ∴ � �Q�Q = �( �Q�
�Q + 2� ���
Y�� ��"��. �� 5��� ��. �( �Q��Q + 2� ��
� + 3! + 3� ��� − 3! = 0
�( �Q��Q + 5 � ��
� = 0
Y�� ��� � = ln � , �� = ?
, �QÍ�Q − ?
Q ��� ��� = ��
�Í . �Í� = ?
���Í , �ℎ�� � ��
� = ���Í
��� �Q��Q = − ?
Q���Í + ?
�
� u���Ív = − ?
Q���Í + ?
u ��Í u��
�Ív . �Í�v
�Q��Q = ?
Q �Q��ÍQ − ?
Q���Í , ∴ Q�Q�
�Q = �Q��ÍQ − ��
�Í
�Q��ÍQ − ��
�Í + 5 ���Í = 0 , �� �Q�
�ÍQ + 4 ���Í = 0
��� = ���Í , & �Q�
�ÍQ = �Ï�Í , �� �Ï
�Í + 4 = 0, ��� ^ �ÏÏ = ^ −4 ��
∴ ln = −4� + ln � , → ln − ln � = −4� , → ln Ïe = −4�
∴ = � �KOÍ , ���Í = � �KOÍ , → ^ �! = � ^ �KOÍ �� , ! = − ?
O � �KOÍ + �?
= − e
O �KO cd + �? , ∴ = 7 �KO + ± , ��� � = 7 �KM + ±
=0�!� �ℎ� ��������6 2J� 3. ,. �. 1# �'' = 1 + �'(, 2# ��'' + �' = 0 , 3# �(�'' + ��' = 1
4# �(�'' + � �' − � = 0 , 5# �(�'' − 2��' + 2� = �M cos �
H.W 6
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 21
1ℎ� 6������ �������� ��� "� �� ������ �� �ℎ� ���5: 4 �Q
�Q + ¥ �� + Ò � = Õ��# − − − − − �1#
Zℎ��� 4, ¥, Ò, ��� �������� ������������ �� ��������� �� �
G����� �������� ���ℎ �������� ������������. 1ℎ� ��5� �������� �1#"�� 4, ¥, Ò, ��� ���������, ��� �ℎ� �������� ��: G�� ���# = ���# + !��# − − − − − �2#
�� = �Ö
� + ��� − − − − − −�3#
�Q�Q = �QÖ
�Q + �Q��Q − − − − − −�4#
4 �Q�Q + ¥ �
� + Ò � = u4 �QÖ�Q + ¥ �Ö
� + Ò �v + u4 �Q��Q + ¥ ��
� + Ò !v = Õ��#
4 �QÖ�Q + ¥ �Ö
� + Ò � = 0 = �e �ℎ��ℎ �� ��5 ��5����� �������� − − − �5#
7�� 4 �Q��Q + ¥ ��
� + Ò ! = Õ��# = �Ï �ℎ��ℎ �� ������� �������� − − − �6#
1ℎ�� �ℎ� 6������ �������� �� ∶ � = �e + �Ï − − − − − −�7#
1ℎ� ��5 ��5������ �������� �� �ℎ� ��5 ��5������ ��������
4 �Q×�Q + ¥ �×
� + Ò �e = 0 − − − − − �5Ø#
1��� �� = , �ℎ��ℎ �� ������ �ℎ� , − � ������
∴ ,� = �� , ,,� = ,(� = �Q
�Q , ,M� = �U�U , … ….
Ú�4 ,( + ¥ , + Ò#�e = 0] ?Ï , →→ u,( + Û
¨ , + ܨv �e = 0
2- 2nd
O.H.D.E with Constant
Coefficients
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 22
�,( + �?, + �(#�e = 0 − − − −�8#
�� �8#����� "� ������� �� �ℎ� ���5 �� !���"�� 5 ∶ 5( + �?5 + �( = 0 3� �5 − �?#�5 − �(# = 0
1ℎ�� �, − �?#�, − �(#�e = 0 − − − − − − − �9#
,� − �?� = 0 , �Ö� − �?� = 0 − − − − − −�10Ý#
Y�� �ℎ� �������� ��!���� ���� �ℎ��� �����: �# ·��� 1; $� �? ��� �( ��� ��� ����� ��� ���� Y[ , �? ≠ �(
�� ℎ�!� �Ö� − �?� = 0 , �Ö
� = �?� →→ �ÖÖ = �? �� →→ ^ �Ö
Ö = ^ �? ��
ln � = �?� + ln 7 , →→ � = 7 �R� − − − −�11#
�, − �(#�e = � , →→ ��e�� − �(�e = 7 �R�, �ℎ��ℎ �� ������ ���!�� "� $ ������
$� = �^ ¨� = �^ KRQ� = �KRQ
�e = ?¦� ^ ¥��# $� �� = ?
\ÆßQ� ^ 7 �R� . �KRQ �� = ?\ÆßQ� ^ 7 ��R�KRQ# ��
�e = ?\ÆßQ� ² ?
R�KRQ 7 ��R�KRQ# + ±³ , ��� ?
R�KRQ7 = 7′
�e = ?\ÆßQ� Ú7'�R� . �KRQ + ±]
∴ �e = 7'�R� + ± �RQ − − − − − �12#
∴ �e = 7 �R� + ± �RQ , �� �ℎ� ��5 ��5������ �������� ��� �ℎ� ���� 1
"# $� �? = �( ��� ���� ��5� �� ���J �11# , � = 7 �R� − − − − − �11#
�, − �(#�e = 7 �R� , �×� − �( �e = 7 �R� , �ℎ� ��5� �������� "� $������
�e �KRQ = ^ 7 ��R�KRQ# �� & �? = �(, ∴ �? − �( = 0
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 23
�e �KRQ = ^ 7 �I �� = 7 � + ± , →→ �e = �7 � + ±#�RQ − − − −�13#
�e = �7 � + ±#�RQ , �� �ℎ� ��5 ��5������ �������� ��� ���� 2. �? = �(. �# $� �ℎ� ����� �ℎ��� $5�6�����: − �? = à + � á , �( = à − � á , �ℎ� �������� �� �ℎ� ��5� �� ���J�12#
�e = 7 �R� + ± �RQ = 7 ��â_ãä# + ± ��âKãä# = �â�7 �ãä + ± �Kãä#
7�� "� �ãå = cos æ + � sin æ , �� �ãä = cos á� + � sin á� , ��� �Kãä = cos á� − � sin á�
�� �e = �âÚ7�cos á� + � sin á�# + ±�cos á� − � sin á�#] �e = �âÚ�7 + ±# cos á� + �7 − ±# sin á� ]
�e = �â�7' cos á� + ±' sin á�# − − − − − �14#
Zℎ��ℎ �� �ℎ� ��5 ��5������ �������� ��� 3R� ���� �ℎ��� �ℎ� ����� �5�6�����
Y���: �e �� �ℎ� 6������ �������� �� Õ��# = 0, �ℎ��ℎ �� ������ ������ ¶. ,. �. �� 1: −=��!� �ℎ� ,. � �Q
�Q − 6 �� + 9 � = 0
=0�J: − �Q�Q − 6 �
� + 9 � = 0, �ℎ��ℎ �� 2J� 3���� ������ ℎ�5�6. ,. �
�,( − 6 , + 9#� = 0 , �5( − 6 5 + 9# = 0, �5 − 3#�5 − 3# = 0
∴ �? = �( = 3 , �ℎ��ℎ �� ���� 2, �� � = �7� + ±#�M
�� 2: −���!� �Q�Q + 5 �
� + 4� = 0
�,( + 5, + 4#� = 0 , �5( + 55 + 4# = 0, �5 + 4#�5 + 1# = 0
∴ �? = −4 & �( = −1 , �� �? ≠ �( �ℎ��ℎ �� ���� 1.
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 24
�� 3: −���!� �ℎ� ,. � �Q�Q + 2 �
� + 2 � = 0
���J: − �,( + 2, + 2#� = 0 , �5( + 25 + 2# = 0 , 5 = K(± √OKÅ( = −1 ± �
�? = à + �á & �( = à − �á , ��� ����� �5�6����� ∴ ���� 3
à = −1 , á = 1 , � = �K�7 cos � + ± sin �#
1ℎ� ��������� �������� Õ��# ≠ 0��� ��Ï#
4 �Q�Q + Õ �
� + Ò� = Õ��# − − − −�1#
u4 �QÖ�Q + Õ �Ö
� + Ò �v + u4 �Q��Q + Õ ��
� + Ò!v = Õ��# − − − −�1Ø#
4 �QÖ�Q + ¥ �Ö
� + Ò� = 0 = �e , �ℎ��ℎ �� ��5 ��5������ �������� − −�5#
��� �ℎ� 6������ �������� �� � = �e + �Ï − − − − − �6#
�ℎ��� �e �� ����� �� "����� �ℎ�� Õ��# = 0. 1ℎ� ��������� �������� Ç�ÏÈ �� �"������ "� ����6 5��ℎ�� �� �������5���� ����������� �ℎ��ℎ �� � ����� ��� ����� �������� ��� �� �� ���� �� � ��. Case (a) : If ç��# = �qrmp. = �f
4 �Qè�Q + ¥ �è
� + Ò �Ï = �����. = �?
7���5� �Ï = �( = �����., �ℎ�� �è� = 0 , �Qè
�Q = 0 , ��"�. �� ��!���� ��J
0 + 0 + Ò �Ï = �? , Ò�( = � , ∴ �( = e�Ü
3- 2nd
Order non homog. Linear equn
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 25
�� 1: −���!� �Q�Q + 2 �
� − 3� = 6
���J: − � = �e + �Ï
����� ���!� ��� �e �ℎ��ℎ �� ��5 ��5������ ���J
�Q×�Q + 2 �×
� − 3�e = 0 , �,( + 2, − 3#�e = 0 , �5( + 25 − 3# = 0
�5 + 3#�5 − 1# = 0 , �� �? = −3 , & �( = 1 �ℎ��ℎ �� ���� 1: �? ≠ �(
�� �e = 7 �KM + ± �
Y�� ���!� ��� ��������� �������� G�� �Ï = � , �è
� = 0 , �Qè�Q = 0 , ��"�. �� 1ÌÍ��J: 0 + 0 − 3� = 6 →
� = −2 , ∴ �Ï = −2
∴ �ℎ� 6������ �������� ���� "� � = �e + �Ï, �� � = 7 �KM + ±� − 2
Case (b): If ç��# = okq�rq|igk = gq + gf� + gz�z + − − − + gr�r
7���5� �Ï = à[ + à?� + à(�( + − − − − − + àJ�J
�ℎ�� ���� �è� , �Qè
�Q , ��� ��"�. �� 5��� ��J �� ���� à[ , à?, à(, … . . àJ
�� 2: −���!� �'' − 4 �' + 4 � = 4� + 8�M
1ÌÍ ���!� ��� ��5 ��5������ ���J ∶ �e
�Q×�Q − 4 �×
� + 4 �e = 0 �,( − 4, + 4#�e = 0 , �5( − 45 + 4# = 0 , �5 − 2#�5 − 2# = 0 ∴ �? = �( = 2 , ���� �"# , ∴ �e = �7� + ±#�(
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 26
2J� ���!� ��� ��������� ���J , �Ï
7���5� �Ï = à[ + à?� + à(�( + àM�M
�è� = à? + 2à(� + 3àM�(
�Qè�Q = 2à( + 6àM� , ��"�. �� 5��� ��J 2à( + 6àM� − 4�à? + 2à(� + 3àM�(# + 4�à[ + à?� + à(�( + àM�M# = 4� +8�M
2à( + 6àM� − 4à? − 8à(� − 12àM�( + 4à[ + 4à?� + 4à(�( + 4àM�M = 4� +8�M
����������� �� �: �6àM − 8à( + 4à?# = 4
����������� �� �(: �4à( − 12àM# = 0
����������� �� �M: 4àM = 8 , →→ àM = ÅO = 2
��� 4à( = 24 , →→ à( = (OO = 6, ��� 12 − 48 + 4à? = 4 →→ à? = OI
O 10
��� à[ , �� ℎ�!�: 2à( − 4à? + 4à[ = 0, �� à[ = (ÅO = 7
∴ à[ = 7 , à? = 10 , à( = 6 , ��� àM = 2 �Ï = 7 + 10 � + 6 �( + 2 �M , ��� .. . � = �Ï + �e , .. . � = �7 � + ±#�( + 7 + 10 � + 6 �( + 2 �M. Case (c) If ç��# = � lh� , �&�: �����
7���5� �Ï = à �R , �� �è� = à � �R , �Qè
Q = à �( �R
�ℎ�� ��"������� �� �ℎ� 5��� ��J �� 6�� à.
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 27
�� 3: − ���!� �'' − 6�' + 9� = 8 �
���J: 1ÌÍ ���!� ��� ��5 ��5������ �������� �e
�,( − 6, + 9#�e = 0 , �5( − 65 + 9# = 0 , �5 − 3#�5 − 3# = 0
∴ �? = �( = 3 ���� �"# , �e = �7� + ±#�M
2J� ���!� ��� ��������� �������� �Ï
7���5� �Ï = à � , �è� = à � , ��� �Qè
�Q = à � �� �ℎ� 5��� �������� ∶ à� − 6 à � + 9 à � = 8�
�à − 6à + 9 à#� = 8 �
4à = 8 →→ à = 2 , ∴ �Ï = 2 � , ∴ � = �7 � + ±#�M + 2 �
Y���: $� �ℎ� ����� �� �ℎ� ��5 ; �5������ �������� ��5� �� �ℎ� ���� �� �Ï �ℎ��
�ℎ��6� �ℎ� ����5���� �� �Ï �� à � �R ��� �� �� ���� ���� �ℎ�� �ℎ��6� �� à �(�R ��� ���!� . �� 4: − ���!� �'' − 6 �' + 9 � = 8 �M ���J: − �,( − 6, + 9#�e = 0 , �5( − 65 + 9# = 0 , �5 − 3#�5 − 3# = 0
∴ �? = �( = 3 →→ ���� �1#, ��� �e = �7 � + ±#�M
Y�� �Ï = à �M, "�� �� �� ����� �ℎ�� ����5� �Ï = à � �M ,"�� ���� ����� , �� �� ����5� �Ï = à �(�M, ��� ���!� �è� = 3à �(�M + 2 à � �M , �Qè
�Q = 6à��M + 9 à �(�M + 2à �M + 6à� �M
Y�� ��"��. �� 5��� ��J ��� ������ �ℎ� ������������
12 à � �M − 9 à�(�M + 2à �M − 12 à � �M + 9 à �(�M = 8 �M
2 à �M = 8 �M →→ 2à = 8 , ∴ à = 4
∴ �Ï = 4�(�M , ∴ � = �7� + ±#�M + 4 �( �M
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 28
Case (d) : If ç��# = é �qm ê� qh é mir ê� 7���5� �Ï = à cos �� + á sin �� , �ℎ�� ���� �è
� & �Qè�Q , ��� ��"��. ��
�ℎ� 5��� �������� �� 6�� à, ��� á. �� 5: − �'' + 2�' + 10� = 100 cos 4� ���J: − 1ÌÍ ���!� ��� ��5 ��5������ �������� �'' + 2�' + 10� = 0 , �,( + 2, + 10#�e = 0 , �5( + 25 + 10# = 0
5 = K( ∓√OKOI( = −1 ∓ 3� , �? = −1 + 3� , �( = −1 − 3�
�� à = −1 , & á = 3 , ��� �e = �K�7 cos 3� + ± sin 3�#
Y�� ���!� ��� ��������� �������� , 7���5� �Ï = à cos 4� + á sin 4�
�Ï' = −4à sin 4� + 4á cos 4� , �Ï'' = −16 à cos 4� − 16 á sin 4�
−16 à cos 4� − 16 á sin 4� − 8à sin 4� + 8á cos 4� + 10 à cos 4� +10 á sin 4� = 100 cos 4� −6 à + 8á = 100, −6á − 8à = 0, →→ á = − Å
µ à
−6 à − µOµ à = 100 , →→ − ?II
µ à = 100 , ∴ à = −6 , á = 8
∴ �Ï = −6 cos 4� + 8 sin 4�
��� � = �K�7 cos 3� + ± sin 3�# − 6 cos 4� + 8 sin 4�
Y���: $� Õ��# = à �J�R cos �� , �� Õ��# = à �J�R sin ��
7���5� ∶ �Ï = �7[�J + − − − + 7JK?� + 7J#�R cos �� + ��7[�J + − −− + 7JK?� + 7J#�R sin ��
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 29
=��!� �ℎ� ��������6 ������������ ��J�: −
1# �'' + 2�' + � = 2 �K, 2# 5�'' + 12�' + 20� = 120 sin 2�
3# 5�'' + 6�' + 2� = �( + 6�
4# �'' − 4�' − 5� = � + 4
5# �'' − � = � + �(
6# �'' − �' − 6� = �K − 7 cos �
7# �'' − 2�' + � = �M� .
$� �� �������� �� �ℎ� ���5: − �J�J + �JK?�JK? + − − − − +�(�''' + �?�'' + �[�' = 0
$� �� ℎ�6ℎ�� ����� ℎ�5�6����� �������� ��� ��'������ ��� �?, �(, �M, . . . �J
�ì = �?�R� + �( �RQ + �M �RU + − − − − +�J �RP
$� �? = �( = �M = − − − − −= �J
�ì = �RPÚ�? + �(� + �M�( + − − − −]
$� �� �������� ∶ �J�J + �JK?�JK? + − − − − +�(�''' + �?�'' = ���#
$� �� ℎ�6ℎ�� ����� ���ℎ�5�6����� �������� ���!�� �� �ℎ� ��5� �� �� ������
"����� ��� 2J� ����� ���ℎ�5�6����� ��������
�� 1: − ���!� �ℎ� ¶. ,. � �''' − 3�'' + 2�' = 0
���J : �U�U − 3 �Q
�Q + 2 �� = 0 , �,M − 3 ,( + 2,#� = 0
��M − 3 �( + 2�# = 0 , ���( − 3 � + 2# = 0 , ��� − 2#�� − 1# = 0
.. . �? = 0 , �( = 2 , �M = 1, .. . �ì = �?�I + �(�( + �M�
{i}�lh íh�lh �isslhlrpigk ��~gpiqr
H.W 7
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 30
�ì = �? + �(�( + �M�
�� 2: − ���!� �ℎ� ¶. ,. � ∶ �'''' + 2 �''' − 3 �'' = �( + 3�( + 4 sin �
���J: 1� ���� �e ��� �'''' + 2�''' − 3�'' = 0
�O + 2�M − 3�( = 0 , �(��( + 2� − 3# = 0 , �(�� + 3#�� − 1# = 0
.. . �? = �( = 0 , �M = −3 , �O = 1
�e = �IÚ�?� + �(] + �M�KM + �O� , �e = �?� + �( + �M�KM + �O�
1� ���� �Ï , ��� �Ï = �Ï? + �Ï( + �ÏM
�Ï? = 7�O + ±�M + ��(, "������ �? = �( = 0 & �� ℎ�!� �(, ��� �?�
�Ï( = , �( , �ÏM = � cos � + N sin �
�Ï = 7�O + ±�M + ��( + , �( + � cos � + N sin �
�Ï' = 47�M + 3±�( + 2·� + 2,�( − � sin � + N cos �
�Ï'' = 127�( + 6±� + 2· + 4,�( − � cos � − N sin �
�Ï''' = 247� + 6± + 8,�( + � sin � − N cos �
�Ï'''' = 247 + 16,�( + � cos � + N sin �
247 + 16,�( + � cos � + N sin � + 487� + 12± + 16,�( + 2� sin � −2N cos � − 36 7 �( − 18 ± � − 6· − 12 , �( + 3 � cos � + 3 N sin � = �( +3 �( + 4 sin �
20 , �( = 3 �( →→ , = M(I , −36 7 �( = �( →→ 7 = − ?
Mµ
�48 7 − 18 ±#� = 0 →→ ± = − (î(
24 7 − 6 · = 0 →→ · = −9
�4N + 2�# sin � = 4 sin � , �4� − 2N# cos � = 0
Chapter two(Ordinary Differential Equations) Page 31
4� = 2N , →→ N = 2 � , 4N + 2� = 4 →→ 8� + 2� = 4 →→ � = 25 ,
N = 45
�Ï = − ?Mµ �O − (î
( �M − 9�( + M(I �( + (
¡ cos � + O¡ sin �
.. . � = �?� + �( + �M�KM + �O� − ?Mµ �O − (î
( �M − 9�( + M(I �( + (
¡ cos � +O¡ sin �
=��!� �ℎ� ��������6 ,. �: −
1# �(�'' − � �' − 3� = �( ln �. 2# �'' − 2�' + � = �M� . 3# �'' − �' − 6� = �K − 7 cos �
4# 5�'' + 12�' + 20� = 120 sin 2�. 5# �'' − 4�' + 8� = �( sin 2�. 6# �'' + 4� = 4 sin 2�. 7# �'' − 2�' + 2� = � cos �. 8# 2�(� �Q
�Q + �( = �( u��v(.
9# �'' = 1 + �'(. 10# � �'' + �� + 1#�'( = 0
11# � �'' + �' = 0. 12# �(�'' + � �' = 1. 13# �(�'' + 3��' − 3� = 0. 14# �(�'' + 3��' − 3� = 1. 15# �(�'' + ��' − � = 0. 16# �(�'' − 2��' + 2� = �M cos �. 17# �''' − 4�'' = � + �O.
H.W 8