Chapter 6 線性規劃

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6.1 　緒言• 如何在有限的經濟資源下進行最有效的調配與選用，以求發揮資源的最高效能。此問題愈來愈受到重視，也就是以最低的代價，獲取最大的效益。

• 茲列舉如下：– 決定緊急設備與人員的地點，使反應時間最短化。– 決定飛機、飛行員、地勤人員的飛航最佳日程安排。– 發展財務計畫。– 決定動物飼料的最佳組合。– 決定最佳食譜計畫。– 決定最佳生產日程安排。– 指出最佳工作指派。– 決定成本最低化的船運計畫。– 指出工廠的最佳產品組合。

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• 上述許多問題為在一些限制式 (constraint) 之下，以一組聯立線性不等式或等式的方式表示，求線性目標函數 (objective function) 為極大或極小的問題。

• 線性規劃 (linear programming, LP) 就是數學家們針對這類問題研究所得的解法。

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6.2 　線性規劃初步• 6.2.1 　線性規劃是什麼• 所謂「線性規劃」簡單的說，就是將決策上所面臨的問題，以線性的數學式來加以描述，在線性等式及不等式組的條件下，使用特定的方法 ─ 線性規劃 ─ 求得最優解。

• 線性規劃模型是由四種成分組合而成：(1) 目標； (2) 決策變數； (3) 限制式以及 (4) 參數。

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6.4 　線性規劃的圖解法• 線性規劃圖解法的一般程序如下：

– 以數學式建立目標函數與限制式。– 繪出限制式條件。– 求出可行解區域。– 繪出目標函數。– 求最優解。

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6.4.1 　求極大值

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6.4.2 　求極小值

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6.5 　代數法

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6.6 　線性規劃的單體法• 6.6.1 　單體法簡述• 前述圖解法固然是線性規劃一個有力的解題方法，可惜卻僅適用於二變數。事實上線性規劃所牽涉變數和限制條件式都相當多，因此必須使用圖解法之外的解法，最常見的是單體法 (simplex method) 。

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• 方法本身是一反覆的程序 (iterative procedure) ，直到得出最優解才停止。單體法的步驟對應於查驗線性規劃可行解凸集合的角點，當變數和限制條件多時，其角點必然也為數可觀，若要列出所有角點座標，而後代入目標函數，取其使目標函數值為極大 ( 或極小 ) 的角點為最優解，這種方式似不十分可行。單體法的基本原理為首先選出一組可行解和一判斷準則，判斷目前的解是否為最優解，若不是，則設法取另一端點取代現有可行解中一點，使目標函數值增大 ( 或減小 ) ，如此不斷進行，直至得出最優解為止。

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6.6.2 　標準形式• 線性規劃問題的可行解可於可行凸集合的端點找到，這類端點對應於基本可行解 (basic feasible solution) 。

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6.6.3 　單體法的解題程序

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1. 起始步驟：構建一組初始可行解，通常為利用惰變數，假若沒有惰變數或其個數不足，則可引進人工變數 (artificial variable) ，然後利用大 M 法 (big M method) 或二階段法 (two-phase method) 解題。

2. 反覆步驟：在本步驟應考量如下三大問題：(1) 進入基底的變數的選取準則為何？(2) 如何辨認現行基底中那一個變數應退出？(3) 如何能便利地辨認新基本可行解？

3. 最優性檢定：– 單體法的整個求解程序如圖 6.13流程圖所示：

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6.7 　初始基本解的產生 ( 大 M法 )

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6.8 　極小問題的求解

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6.9 　初始基本解的產生 ( 二階段法 )

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