Chapter 3강체: 등가역계

Rigid Bodies: Equivalent Systems of Forces

수업 목적 및 내용

수업목적 강체에 작용하는 힘의 효과와 주어진 역계를 간단한 등가역계로 대체 이해

및 적용

등가역계 대체에 필요한 수학적 연산 습득

수업내용 기본 벡터 대수학

힘에 의한 모멘트 계산

힘-짝힘 분해

역계 단순화 - 등가역계

수업의 필요성

일반적으로 힘은 받는 물체는 무수한 입자의 조합

기초역학에서는 대부분의 물체는 강체로 가정. 즉, 실제 힘에 의한변형이 너무 작아서 평형 또는 물체의 운동에 영향을 미치지 않음.

강체의 여러 다른 지점에서 힘을 받는 경우 단순 등가역계로 바꾸는방법을 배워야 함 임의의 점에 대한 모멘트 – 두벡터의 벡터곱 이용해서 계산

짝힘에 의한 모멘트

강체에 작용하는 임의의 힘계는 한 점에 작용하는 힘과 짝힘으로이루어진 등가역계로 치환 가능!

외력과 내력

강체에 가해지는 힘의 분류 외력

내력

외력은 자유물체도로 표시됨

외력에 대한 자유물체도

전달성 원리 힘의 작용선을 따른 힘에 이동에 평형이 영향을 받지 않음. 즉, 𝐅𝐅 = 𝐅𝐅′. 전달성 원리는 물체의 내력과 변형을 결정하기 위해 사용할 수 없음.

전달성 원리: 등가력

두 벡터의 벡터곱

한 점에 대한 힘의 모멘트은 벡터곱(또는 외적)으로 쉽게 표현

두 벡터 𝐏𝐏와 𝐐𝐐의 벡터곱인 다음과 같은성질을 갖는 𝐕𝐕로 정의됨: 𝐕𝐕의 작용선은 𝐏𝐏와 𝐐𝐐를 포함하는 평면과 수직.

𝐕𝐕의 크기는 𝑉𝑉 = 𝑃𝑃𝑃𝑃 sin𝜃𝜃. 𝐕𝐕의 방향은 오른손 법칙에 의해 구함.

벡터곱의 성질 교환법칙 성립 안함: 𝐐𝐐 × 𝐏𝐏 = − 𝐏𝐏 × 𝐐𝐐 .

분배법칙 성립: 𝐏𝐏 × 𝐐𝐐1 + 𝐐𝐐2 = 𝐏𝐏 × 𝐐𝐐1+𝐏𝐏 × 𝐐𝐐2. 결합법칙 성립 안함: (𝐏𝐏 × 𝐐𝐐) × 𝐒𝐒 ≠ 𝐏𝐏 × (𝐐𝐐 × 𝐒𝐒).

기본 벡터 대수학

벡터곱(외적)의 개념

직각성분에 의한 벡터곱

직교 단위 벡터들의 벡터곱

벡터 𝑷𝑷와 𝑸𝑸의 직각성분을 이용한 벡터곱 𝑽𝑽

기본 벡터 대수학

00

0

=×=×−=×−=×=×=×

=×−=×=×

kkikjjkiijkjjkji

jikkijii

( ) ( )kQjQiQkPjPiPV zyxzyx

++×++=

( ) ( )( )kQPQP

jQPQPiQPQP

xyyx

zxxzyzzy

−+

−+−=

zyx

zyxQQQPPPkji

=

힘에 의해 임의의 점에 발생하는 모멘트

힘 𝑭𝑭에 의해 임의의 점 O에 발생하는모멘트의 정의

모멘트 𝐌𝐌𝐎𝐎는 점 O와 힘 𝐅𝐅를 포함하는평면에 수직.

𝐌𝐌𝐎𝐎의 크기는 힘 𝐅𝐅가 𝐌𝐌𝐎𝐎방향의 고정축에 대해 강체를 회전시키는 정도를 나타냄.

𝐌𝐌𝐎𝐎의 방향은 오른손 법칙에 의해 결정.

𝐌𝐌𝐎𝐎의 단위는 N⋅m 또는 lb⋅ft (lb⋅in).

두 힘 𝐅𝐅와 𝐅𝐅′는 같은 크기와 방향을 가지며 주어진 점 O 에 대해 같은모멘트를 가질 때 𝐅𝐅와 𝐅𝐅′는 서로 등가임.

힘에 의한 모멘트 계산

FrMO ×=

FdrFMO == θsin

힘에 의해 임의의 점에 발생하는 모멘트 (2차원) 2차원 평면에서 모멘트

토목분야에서 많은 문제들이 2차원 구조물로 간주할 수 있음.

점 O 에서 중심으로 힘 𝑭𝑭까지의 거리가 d:

𝑀𝑀𝑂𝑂 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 (반시계 방향이면 +) 𝑀𝑀𝑂𝑂 = −𝐹𝐹𝐹𝐹 (시계 방향이면 -)

힘에 의한 모멘트 계산

Varigon 정리

Varigon 정리 주어진 점 O에 대해 몇 개의 절점력들의 합력이 갖는 모멘트 = 동일한 점 O

에 대해 개개의 힘이 갖는 모멘트의 합

벡터곱의 분배법칙을 이용해서 다수의 절점력 합력에 의한 모멘트결정 가능

힘에 의한 모멘트 계산

( )

+×+×=++× 2121 FrFrFFr

힘에 의한 모멘트의 직각성분

힘 𝑭𝑭에 의해 임의의 점 O에 발생하는 모멘트를 직각성분으로 표시

힘에 의한 모멘트 계산

kFjFiFFkzjyixr,FrM

zyx

O

++=++=×=

( ) ( ) ( )kyFxFjxFzFizFyF

FFFzyxkji

kMjMiMM

xyzxyz

zyx

zyxO

−+−+−=

=

++=

힘에 의한 모멘트의 직각성분 (2차원) 2차원에서 힘에 의한 모멘트 직각성분

3차원에서 유도가능

힘에 의한 모멘트 계산

( )

zy

ZO

zyO

yFxFMM

kyFxFM

−==

−=

반시계방향

문제 3.1 (p.88)

힘에 의한 모멘트 계산

문제 3.1(a) (p.88)수직방향 힘 100lb에 의한 O점의 모멘트 계산

풀이

답:

힘에 의한 모멘트 계산

)(in lb 1200 시계방향⋅=OM

문제 3.1(b) (p.88) (a)와 등가 모멘트를 만드는 수평방향 힘 𝑭𝑭계산

풀이

답:

힘에 의한 모멘트 계산

lb 7.57=F

문제 3.1(c) (p.88) (a)와 등가 모멘트를 만드는 A점에서 최소힘 𝑭𝑭계산

풀이

답:

힘에 의한 모멘트 계산

lb 50=F

문제 3.1(d) (p.88) (a)와 등가 모멘트를 수직방향 힘 240lb의 레버 위의 작용위치 계산

풀이

답:

힘에 의한 모멘트 계산

in. 10=OB

문제 3.1(e) (p.88) (a)와 같은 등가모멘트를 만드는 (b), (c) 그리고 (d)의 힘은 서로

등가인가?

답 : (a)와 등가 모멘트를 만드는 (b), (c), (d) 그리고 (e)의 힘이 존재하지만각각은 크기, 방향, 작용선이 다르므로 등가력이 아님.

힘에 의한 모멘트 계산

(a) (b) (c) (d)

문제 3.2 (p.89)

힘에 의한 모멘트 계산

문제 3.2 (p.89) 2차원 문제에서 모멘트 계산

힘의 직각분력 계산

공식활용:𝐫𝐫𝐴𝐴/𝐵𝐵 = − 0.2m 𝐢𝐢 + 0.16m 𝐣𝐣

𝐅𝐅 = 800N cos 60° 𝐢𝐢 + 800N sin 60° 𝐣𝐣 = 400N 𝐢𝐢 + 693N 𝐣𝐣

힘에 의한 모멘트 계산

문제 3.2 (p.89) 2차원 문제에서 모멘트 계산

힘의 직각분력 계산

모멘트 중첩

힘에 의한 모멘트 계산

𝐹𝐹𝑥𝑥

𝑀𝑀𝐵𝐵𝑥𝑥

𝐹𝐹𝑦𝑦

𝑀𝑀𝐵𝐵𝑦𝑦

= +𝑦𝑦

𝑥𝑥

짝힘에 의한 모멘트

크기가 같고 작용선이 평행하며 방향이 반대인 두 힘 𝑭𝑭와 −𝑭𝑭는짝힘을 생성시킴

짝힘에 의한 모멘트

짝힘에 의한 모멘트는 어떠한 점이라도 작용점으로 선택할 수 있는자유벡터 원점 O를 어느 점으로 잡아도 동일한 값을 줌

힘-짝힘 계산

( )( )

FdrFMFr

FrrFrFrM

BA

BA

==×=

×−=

−×+×=

θsin

짝힘에 의한 등가 모멘트

서로 다른 두짝힘이 같은 등가 모멘트를 만드는 조건

𝐹𝐹1𝐹𝐹1 = 𝐹𝐹2𝐹𝐹2

두 짝힘이 서로 평행한 평면 위에 존재

힘-짝힘 계산

짝힘의 합

교차하는 두 평면 𝑃𝑃1과 𝑃𝑃2에 작용하는 짝힘 가정 짝힘 𝐅𝐅1, −𝐅𝐅1과 짝힘 𝐅𝐅2, −𝐅𝐅2

두 짝힘에 의한 모멘트 𝐌𝐌1 = 𝐫𝐫 × 𝐅𝐅1 (평면 𝑃𝑃1) 𝐌𝐌2 = 𝐫𝐫 × 𝐅𝐅2 (평면 𝑃𝑃1)

두 짝힘의 합력도 짝힘을 구성 𝐌𝐌 = 𝐫𝐫 × 𝐑𝐑 = 𝐫𝐫 × 𝐅𝐅1 + 𝐅𝐅2

Varigon의 정리 𝐌𝐌 = 𝐫𝐫 × 𝐅𝐅1 + 𝐫𝐫 × 𝐅𝐅2 = 𝐌𝐌1 + 𝐌𝐌2

두 짝힘의 합도 짝힘을 이루고 각 짝힘에 의한모멘트 합과 같은 모멘트를 만듦.

힘-짝힘 계산

짝힘의 벡터표시

등가의 모멘트 벡터로 표시된 짝힘 짝힘은 짝힘에 의한 모멘트와 같은 크기와 방향을 같는 벡터로 표현 가능

짝힘 벡터는 자유벡터이므로 모멘트 기준점의 영향을 받지 않음

짝힘 벡터는 각 좌표축 방향을 중심으로 한 모멘트 벡터들로 분해가 가능

힘-짝힘 계산

힘을 힘-짝힘으로 분해 (1) 어떤 점(A)에 작용하는 힘 𝑭𝑭를 다른 점(O)에서 표시하기

A 에 작용하는 힘 𝑭𝑭를 단순하게 O로 옮길 수 없음.

O에 크기가 같고 방향이 서로 반대인 힘을 가하는 것은 물체의 운동에영향을 미치지 않음 (그림 b).

그림 b의 3개의 힘은 O점에 작용하는 등가의 힘과 짝힘 벡터로 치환 가능(그림 c)

역계 단순화-등가역계

힘을 힘-짝힘으로 분해 (2) 어떤 점(A)에 작용하는 힘 𝑭𝑭를 다른 점(O’)에서 표시하기

A 에 작용하는 힘 𝐅𝐅를 다른 점 O’로 이동할 때 짝힘 벡터 𝐌𝐌O′

𝐌𝐌O′ = 𝐫𝐫′ × 𝐅𝐅

O를 기준으로 한 모멘트𝐌𝐌O와 O’를 기준으로 한 모멘트 𝐌𝐌O′관계𝐌𝐌O′ = 𝐫𝐫′ × 𝐅𝐅 = 𝐫𝐫 + 𝐬𝐬 × 𝐅𝐅 = 𝐫𝐫 × 𝐅𝐅 + 𝐬𝐬 × 𝐅𝐅 = 𝐌𝐌O + 𝐬𝐬 × 𝐅𝐅

힘-짝힘계를 O에서 O’로 이동시킬 때 O에서 힘 𝐅𝐅가 O’를 기준으로발생시키는 모멘트(𝐬𝐬 × 𝐅𝐅)를 더해야 함

역계 단순화-등가역계

문제 3.6 (p.111)그림과 같은 두 짝힘과 등가인 단일 짝힘 성분을 구하시오

A에 크기가 같고 방향이 반대인 20lb 힘 두개를 추가

역계 단순화-등가역계

문제 3.7 (p.112) 그림에 주어진 짝힘과 힘을 레버에 작용하는 등가인 하나의 힘으로

대체하고 작용점을 구하시오.

역계 단순화-등가역계

역계의 힘－짝힘계로의 대체 (1) 어떤 임의의 복잡한 역계라도 주어진 점 O에 작용하는 등가의 힘-

짝힘계로 대체 가능

1단계: 임의의 힘들을 주어진 점 O에 작용하는 힘-짝힘계로 치환

2단계: 점 O에 작용하는 힘-짝힘계에 대한 합력과 합력모멘트 계산

역계 단순화-등가역계

( )∑∑ ×== FrMFR RO

역계의 힘－짝힘계로의 대체 (2) 다른 점 O’에 작용하는 등가의 힘-짝힘계 대체

역계 단순화-등가역계

RsMM RO

RO

×+='

등가역계

등가역계란?

점 O에서의 동일한 힘－짝힘계로 대체할 수 있는 역계

등가역계를 위한 필요충분조건 주어진 두개의 역계 𝐅𝐅1, 𝐅𝐅2, ⋯, 𝐅𝐅𝑛𝑛과 𝐅𝐅1′, 𝐅𝐅2′,⋯, 𝐅𝐅𝑚𝑚′ 에 대해 다음의

조건을 만족하면 두 역계는 등가역계

역계 단순화-등가역계

역계의 단순화(1)평면의 힘계는 서로 직교하는 단일 힘-짝힘 𝐑𝐑과 𝐌𝐌𝑶𝑶

𝑹𝑹 으로 단순화시킬 수 있음

𝐑𝐑의 작용선을 이동시켜 O에 대한 𝐑𝐑에 의한 모멘트가 𝐌𝐌𝑶𝑶𝑹𝑹가 되도록

하여 𝐑𝐑과 𝐌𝐌𝑶𝑶𝑹𝑹를 이동시킨 작용선에 작용하는 𝐑𝐑로만 표현 가능

O 에서 작용선까지의 거리

𝐹𝐹 = 𝑀𝑀𝑂𝑂𝑅𝑅/R

역계 단순화-등가역계

역계의 단순화(2) 2차원 직교 좌표를 이용한 힘-짝힘 단순화

역계 단순화-등가역계

문제 3.8(p.124)

역계 단순화-등가역계

문제 3.8(p.124)점 A에 작용하는 등가의 힘-짝힘계

풀이

답:

역계 단순화-등가역계

문제 3.8(p.124)점 B에 작용하는 등가의 힘-짝힘계

풀이

답:

역계 단순화-등가역계

문제 3.8(p.124)하나의 힘 또는 합력

풀이

답:

역계 단순화-등가역계

문제 풀이 과정

문제 3.1 (p.88)

힘에 의한 모멘트 계산

문제 3.1(a) (p.88)수직방향 힘 100lb에 의한 O점의 모멘트 계산

풀이

답:

힘에 의한 모멘트 계산

( )( )( )in. 12lb 100

in. 1260cosin.24=

=°==

O

O

Md

FdM

)(in lb 1200 시계방향⋅=OM

문제 3.1(b) (p.88) (a)와 등가 모멘트를 만드는 수평방향 힘 𝑭𝑭계산

풀이

답:

힘에 의한 모멘트 계산

( )

( )

in. 8.20in. lb 1200

in. 8.20in. lb 1200

in. 8.2060sinin. 24

⋅=

=⋅=

=°=

F

FFdM

d

O

lb 7.57=F

문제 3.1(c) (p.88) (a)와 등가 모멘트를 만드는 A점에서 최소힘 𝑭𝑭계산

풀이

답:

힘에 의한 모멘트 계산

( )

in. 42in. lb 1200

in. 42in. lb 1200⋅

=

=⋅=

F

FFdMO

lb 50=F

문제 3.1(d) (p.88) (a)와 등가 모멘트를 수직방향 힘 240lb의 레버 위의 작용위치 계산

풀이

답:

힘에 의한 모멘트 계산

( )

in. 5cos60

in. 5lb 402

in. lb 1200lb 240in. lb 1200

=°

=⋅

=

=⋅=

OB

d

dFdMO

in. 10=OB

문제 3.1(e) (p.88) (a)와 같은 등가모멘트를 만드는 (b), (c) 그리고 (d)의 힘은 서로

등가인가?

답 : (a)와 등가 모멘트를 만드는 (b), (c), (d) 그리고 (e)의 힘이 존재하지만각각은 크기, 방향, 작용선이 다르므로 등가력이 아님.

힘에 의한 모멘트 계산

(a) (b) (c) (d)

문제 3.2 (p.89)

힘에 의한 모멘트 계산

문제 3.2 (p.89) 2차원 문제에서 모멘트 계산

힘의 직각분력 계산

공식활용:𝐫𝐫𝐴𝐴/𝐵𝐵 = − 0.2m 𝐢𝐢 + 0.16m 𝐣𝐣

𝐅𝐅 = 800N cos 60° 𝐢𝐢 + 800N sin 60° 𝐣𝐣 = 400N 𝐢𝐢 + 693N 𝐣𝐣

𝐌𝐌𝐵𝐵 = 𝐫𝐫𝐴𝐴/𝐵𝐵 × 𝐅𝐅 = − 0.2m 𝐢𝐢 + 0.16m 𝐣𝐣 × 400N 𝐢𝐢 + 693N 𝐣𝐣= − 138.6N � m 𝐤𝐤 − 64.0N � m 𝐤𝐤 = − 202.6N � m 𝐤𝐤

힘에 의한 모멘트 계산

문제 3.2 (p.89) 2차원 문제에서 모멘트 계산

힘의 직각분력 계산

모멘트 중첩𝑀𝑀𝐵𝐵𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝑥𝑥 � 𝑦𝑦 = 400 � 0.16 = 64N � m𝑀𝑀𝐵𝐵𝑦𝑦 = 𝐹𝐹𝑦𝑦 � 𝑥𝑥 = 693 � 0.2 = 138.6N � m

𝑀𝑀𝐵𝐵 = 𝑀𝑀𝐵𝐵𝑥𝑥 + 𝑀𝑀𝐵𝐵𝑦𝑦 = 64 + 138.6 = 202.6N � m

힘에 의한 모멘트 계산

𝐹𝐹𝑥𝑥

𝑀𝑀𝐵𝐵𝑥𝑥

𝐹𝐹𝑦𝑦

𝑀𝑀𝐵𝐵𝑦𝑦

= +𝑦𝑦

𝑥𝑥

문제 3.6 (p.111)그림과 같은 두 짝힘과 등가인 단일 짝힘 성분을 구하시오

A에 크기가 같고 방향이 반대인 20lb 힘 두개를 추가

𝑀𝑀𝑥𝑥 = −30 � 18 = −540 lb � in (오른손 법칙)𝑀𝑀𝑦𝑦 = 20 � 12 = 240 lb � in𝑀𝑀𝑧𝑧 = 20 � 9 = 180 lb � in𝐌𝐌 = −540 lb � in 𝐢𝐢 + 240 lb � in 𝐣𝐣 + 180 lb � in 𝐤𝐤

역계 단순화-등가역계

문제 3.8(p.124)

역계 단순화-등가역계

문제 3.8(p.124)점 A에 작용하는 등가의 힘-짝힘계

풀이

답:

역계 단순화-등가역계

문제 3.8(p.124)점 B에 작용하는 등가의 힘-짝힘계

풀이

답:

역계 단순화-등가역계

문제 3.8(p.124)하나의 힘 또는 합력

풀이

답:

역계 단순화-등가역계