cfd aula 2
DESCRIPTION
Aula 2 sobre CFD do professor Annibal Hetem da UFABCTRANSCRIPT
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Universidade Federal do ABC
Aula 2 Formulações via diferenças finitas
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
![Page 2: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/2.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Pergunta do dia:
Como escrever um programa de computador que resolva
?
vvvvv
vvv
v
gpqTkEt
E
gpt
t
:
0
![Page 3: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/3.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Introdução
• Os computadores somente podem executar operações aritméticas padrão e operações lógicas.
• As diferenciais de variáveis dependentes que aparecem em EDPs precisam ser traduzidas para expressões de diferenças finitas que as aproximam.
x
xyxxy
dx
dy
x
)()(lim
0
![Page 4: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/4.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Métodos de aproximação de diferenciais
1. Expansão em séries de Taylor
2. Expansão em polinômios de grau n
3. Equações de diferenças finitas
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
DIFERENÇAS FINITAS VIA EXPANSÕES DE SÉRIES DE TAYLOR
![Page 6: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/6.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Expansão em séries de Taylor
Dada um função analítica f(x), a expansão em série de Taylor de f(x+x) é dada por
3
33
2
22
!3
)(
!2
)()()()(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
1 !
)()()(
nn
nn
x
f
n
xxfxxf
![Page 7: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/7.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A primeira diferencial
Isolando a primeira diferencial, obtemos
3
33
2
22
!3
)(
!2
)()()()(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
3
32
2
2
!3
)(
!2
)()(
x
fx
x
fx
x
xfxxf
x
f
)()()(
xOx
xfxxf
x
f
Soma de todos os termos com
potências positivas de x
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A primeira diferencial
f
x x x+x
f(x) f(x+x)
)()()(
xOx
xfxxf
x
f
para frente...
![Page 9: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/9.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A primeira diferencial
f
x x-x x
f(x-x)
f(x)
)()()(
xOx
xxfxf
x
f
para trás...
![Page 10: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/10.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Intervalos discretos iguais
f
x xi xi+1
fi
fi+1
)(1 xOx
ff
x
f ii
i
Introdução da indexação: O índice i (discreto) indica intervalos de valor x.
x
)(1 xOx
ff
x
f ii
i
![Page 11: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/11.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
O que isso quer dizer...
)(1 xOx
ff
x
f ii
i
for ( i=imin; i<imax; i++ ) {
dfdx[i] = ( fx[i+1] – fx[i] ) / (x[i+1] – x[i]);
}
O erro O(x) faz parte do “risco” assumido por quem está fazendo a modelagem.
![Page 12: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/12.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A “diferença das diferenças”
(negativa apenas nas potências ímpares de x)
3
33
2
22
!3
)(
!2
)()()(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
3
33
2
22
!3
)(
!2
)()()(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
3
33
!3
)(22)()(
x
fx
x
fxxxfxxf
![Page 13: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/13.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Aproximação da diferença central
Isolando a primeira diferencial:
2)(2
)()(xO
x
xxfxxf
x
f
211 )(2
xOx
ff
x
f ii
i
ou Aproximação de
diferença central da primeira derivada
![Page 14: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/14.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A segunda derivada
Partindo da expansão em série de Taylor
Calculamos a expansão para f(x+2x):
3
33
2
22
!3
)(
!2
)()()(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
3
33
2
22
!3
)2(
!2
)2()2()()2(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
![Page 15: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/15.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A segunda derivada
Queremos calcular -2f(x+x) + f(x+2x):
3
33
2
22
!3
)(2
!2
)(2)2()(2)(2
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
3
33
2
22
!3
)2(
!2
)2()2()()2(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
Resultado:
3
33
2
22 )()()()2()(2
x
fx
x
fxxfxxfxxf
![Page 16: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/16.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A segunda derivada
)()(
)()(2)2(22
2
xOx
xfxxfxxf
x
f
)()(
22
12
2
2
xOx
fff
x
f iii
i
para frente
)()(
22
21
2
2
xOx
fff
x
f iii
i
para trás
ou
![Page 17: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/17.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Aproximação via diferença central da segunda derivada
Somando
e
Resultado:
3
33
2
22
!3
)(
!2
)()()(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
3
33
2
22
!3
)(
!2
)()()(
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
2
22
2
)()(
)()(2)(xO
x
xxfxfxxf
x
f
![Page 18: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/18.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Aproximação via diferença central da segunda derivada
2
22
2
)()(
)()(2)(xO
x
xxfxfxxf
x
f
2
2
11
2
2
)()(
2xO
x
fff
x
f iii
i
Aproximação de
diferença central da segunda derivada
![Page 19: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/19.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Derivadas de ordem superior
Introduzindo a notação:
(diferença para frente)
(diferença para trás)
As diferenças de várias ordens podem ser expressas por expressões recursivas:
1
1
iiix
iiix
fff
fff
ix
n
xi
n
x
ix
n
xi
n
x
ff
ff
1
1
![Page 20: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/20.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Derivadas de ordem superior
Fórmulas de recorrências derivadas das séries de Taylor:
(para frente)
(para trás)
(diferença central, n par)
(diferença central, n ímpar)
22
)1(2
)1(
222
2
2
xOx
ff
x
f
xOx
ff
x
f
xOx
f
x
f
xOx
f
x
f
n
ni
n
xni
n
x
i
n
n
n
ni
n
xni
n
x
i
n
n
n
i
n
x
i
n
n
n
i
n
x
i
n
n
![Page 21: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/21.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Mais precisão?
Até aqui, foram considerados apenas os termos até a primeira ordem da série de Taylor.
Pode-se aumentar a precisão (diminuir o erro) considerando-se mais termos da expansão em série de Taylor.
Como resultado, obtém-se expressões mais trabalhosas, mas mais precisas. Exemplo:
2)(2
)(3)(4)2(xO
x
xfxxfxxf
x
f
Aproximação de segunda ordem para frente da primeira derivada
![Page 22: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/22.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
DIFERENÇAS FINITAS VIA EXPANSÕES DE POLINÔMIOS
![Page 23: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/23.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Expansão em polinômios
Dada um função analítica f(x), pode-se considerar que em um dado intervalo a função possa ser aproximada por um polinômio de grau n.
Por exemplo
CBxAxxf 2)(
![Page 24: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/24.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo
Aproximação via polinômio de segunda ordem.
xx
xx
x
i
i
i
2
0
2
1
CBxAxxf 2)(
CxBxAxf
CxBxAxf
Cxf
i
i
i
22)(
)(
)(
2
2
2
1
![Page 25: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/25.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A primeira derivada
CxBxAf
CxBxAf
Cf
i
i
i
222
2
2
1
212
12
2
2
2
34
x
fffA
x
fffB
fC
iii
iii
i
BAxx
f
2 xi=0
x
fff
x
f iii
2
34 12
Aproximação via polinômio de segunda ordem:
![Page 26: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/26.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A segunda derivada
Aproximação via polinômio de segunda ordem:
CxBxAf
CxBxAf
Cf
i
i
i
222
2
2
1
212
12
2
2
2
34
x
fffA
x
fffB
fC
iii
iii
i
Ax
f2
2
2
2
12
2
2
)(
2
x
fff
x
f iii
![Page 27: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/27.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Espaçamento não uniforme
xx
xx
x
i
i
i
)1(
0
2
1
CBxAxxf 2)(
CxBxAxf
CxBxAxf
Cxf
i
i
i
11)(
)(
)(
22
2
2
1
![Page 28: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/28.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
CxBxAf
CxBxAf
Cf
i
i
i
1122
2
2
1
A primeira derivada
2
12
2
1
2
2
1
1
1
21
x
fffA
x
fffB
fC
iii
iii
i
BAxx
f
2
x
fff
x
f iii
i
)1(
)2()1( 1
2
2
Aproximação via polinômio de segunda ordem:
![Page 29: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/29.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Ax
f2
2
2
CxBxAf
CxBxAf
Cf
i
i
i
1122
2
2
1
A segunda derivada
2
12
2
1
2
2
1
1
1
21
x
fffA
x
fffB
fC
iii
iii
i
Aproximação via polinômio de segunda ordem:
2
12
2
2
))(1(
)1(2
x
fff
x
f iii
![Page 30: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/30.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS
![Page 31: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/31.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Equações de diferenças finitas
Usaremos as expressões apresentadas para reescrever as EDPs da Mecânica dos Fluidos.
Nosso interesse é obter expressões que possam ser incluídas em algoritmos e programas escritos em linguagens de programação.
![Page 32: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/32.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Duas dependências
no espaço
Um estudo de caso
Consideremos a EDP:
2
2
2
2
y
f
x
f
t
f
Dependência no tempo
é uma constante
![Page 33: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/33.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Convenções / notação
x
y
i,j
i,j-1
i,j+1
i-1,j
i+1,j
x
y
x
y i,j
i,j-1
i,j+1
i-1,j
i+1,j
t
tempo “n”
tempo “n+1”
n
jif ,1
,
n
jif
![Page 34: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/34.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Primeira derivada no tempo
2
2
2
2
y
f
x
f
t
f
)(,
1
,tO
t
ff
t
fn
ji
n
ji
Diferença para frente de primeira
ordem
![Page 35: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/35.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Segundas derivadas no espaço
2
2
,1,,1
2
2
)()(
2xO
x
fff
x
fn
ji
n
ji
n
ji
Diferenças centrais de segunda ordem
2
2
2
2
y
f
x
f
t
f
2
2
1,,1,
2
2
)()(
2yO
y
fff
y
fn
ji
n
ji
n
ji
![Page 36: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/36.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
A expressão final
2
2
2
2
y
f
x
f
t
f
22
2
1,,1,
2
,1,,1,
1
,
)(,)(,
)(
2
)(
2
yxtO
y
fff
x
fff
t
ff n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
EDP
Equação a diferenças
finitas
![Page 37: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/37.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Para frente e para trás no tempo
Formulação explícita (avança no tempo):
Formulação implícita (volta no tempo):
22
2
1,,1,
2
,1,,1,
1
,
)(,)(,
)(
2
)(
2
yxtO
y
fff
x
ff
t
ff n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
22
2
1
1,
1
,
1
1,
2
1
,1
1
,
1
,1,
1
,
)(,)(,
)(
2
)(
2
yxtO
y
fff
x
ff
t
ff n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
![Page 38: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/38.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Explícita x implícita
Explícita
• Tem apenas uma incógnita
• Simples e rápida
• Instável
Implícita
• Tem cinco incógnitas
• A solução exige que toda a matriz seja resolvida simultaneamente
• Estável
1
,
n
jif 1
1,
1
,1
1
,
1
1,
1
,1
,
,,,
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
ff
fff
![Page 39: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/39.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 1
Ache uma estimativa para frente para 4
4
x
f
Solução:
Partindo de
Com n=4 obtemos
xO
x
f
x
fn
i
n
x
i
n
n
xOf
xx
fix
i
4
44
4 1
![Page 40: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/40.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 1: resolução
Aplicando ix
n
xi
n
x ff 1
iiiii
iiiiiiii
ixixixixiiiix
iiiiiixixixixx
iiixiiiix
ixixxiixixxix
fffff
ffffffff
ffffffff
fffffffff
fffffff
ffffff
1234
1122334
123123
1122312
12
2
112
2
1
2
1
334
464
)(3)(3)(
3333
22
2
xOfffff
xx
fiiiii
i
123444
4
4641
![Page 41: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/41.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Compare as expressões obtidas para a representação de diferenças finitas para frente de quando calculadas via:
Exemplo 2
a) Séries de Taylor
b) Fórmulas de recorrência
c) Polinômio do terceiro grau
3
3
x
f
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2: resolução
a) Expansão em série de Taylor
Precisaremos de três pontos:
3
3
x
f
4
3
33
2
22
)(!3
)(
!2
)()()( xO
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
4
3
33
2
22
)2(!3
)2(
!2
)2(2)()2( xO
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
4
3
33
2
22
)3(!3
)3(
!2
)3(3)()3( xO
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
2
3
1
![Page 43: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/43.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2: resolução
Podemos agora isolar
3
3
x
f
4
3
33
2
22
31 )()(4)(323 xOx
fx
x
fxfff iii
)()(
333
223
3
3
xOx
ffff
x
f iiii
3
3
x
f
Somando a 1ª e a 3ª expressão:
4
3
33
2
22
12 )()()(2 xOx
fx
x
fxfff iii
Somando a 1ª e a 2ª expressão:
Somando estas duas:
![Page 44: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/44.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2: resolução
b) Usando fórmulas de recorrência:
3
3
x
f
xO
x
f
x
fn
i
n
x
i
n
n
xO
x
f
x
f ix
3
3
3
3
iiii
iiiiiiixixix
iiixiiiix
ixixxiixixxix
ffff
fffffffff
fffffff
ffffff
123
1122312
12112
11
223
33
22
2
xO
x
ffff
x
f iiii
3
123
3
3 33
![Page 45: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/45.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2: resolução
c) Usando polinômio de terceiro grau
3
3
x
f
DCxBxAxxf 23)(
Precisaremos de quatro pontos:
xx
xx
xx
x
i
i
i
i
3
2
0
3
2
1
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2: resolução 3
3
x
f
Df
DxCxBxAf
DxCxBxAf
DxCxBxAf
i
i
i
i
23
1
23
2
23
3
222
333
3123
2
123
123
6
33
6
615123
6
111892
x
ffffA
x
ffffB
x
ffffC
fD
iiii
iiii
iiii
i
![Page 47: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/47.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 2: resolução
As derivadas de f(x) são dadas por
3
3
x
f
Ax
fBAx
x
fCBxAx
x
f62623
3
3
2
22
xO
x
ffff
x
f iiii
3
123
3
3 33
Com os três métodos obtivemos o mesmo resultado.
![Page 48: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/48.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 3
Obtenha uma expressão de para trás com ordem (x)3 x
f
Solução:
A série de Taylor de f(x-x) é
4
3
33
2
22
)(!3
)(
!2
)()()( xO
x
fx
x
fx
x
fxxfxxf
![Page 49: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/49.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 3: resolução
Isolamos :
Usaremos
4
3
33
2
22
)(!3
)(
!2
)()()( xO
x
fx
x
fxxxfxf
x
fx
x
fx
2
2
123
2
2 254xO
x
ffff
x
f iiii
xO
x
ffff
x
f iiii
3
123
3
3 33
Diferença para trás de segunda ordem da segunda derivada
Diferença para trás de primeira ordem da terceira derivada
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exemplo 3: resolução
Substituindo:
4
3
123
3
2
2
123
2
1
)(33
6
)(
254
2
)(
xOxOx
ffffx
xOx
ffffxff
x
fx
iiii
iiiiii
4
123 )(1118926 xOfffx
fx iii
3123 )(6
111892xO
x
fff
x
f iii
![Page 51: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/51.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
APROXIMAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS DE DERIVADAS PARCIAIS MISTAS
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EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Derivadas parciais mistas: séries de Taylor
Considere a derivada parcial mista
A expansão em série de Taylor para as duas variáveis x e y de f(x+x,y+y) é dada pela expressão
yx
f
2
332
2
22
2
22
,!2
2
!2!2
),(),(
yxOyx
fyx
y
fy
x
fx
y
fy
x
fxyxfyyxxf
![Page 53: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/53.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Derivadas parciais mistas: séries de Taylor
Usando os índices i e j para representar o ponto (x,y) na grade, a mesma expressão pode ser reescrita como
33
2
22
2
22
2
,1,1
,22
yxOy
fy
x
fx
yx
fyx
y
fy
x
fxff jiji
![Page 54: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/54.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Derivadas parciais mistas: séries de Taylor
Pode-se aplicar o mesmo método e obter as diferenciais em outras direções:
33
2
22
2
222
,1,1 ,22
yxOy
fy
x
fx
yx
fyx
y
fy
x
fxff jiji
33
2
22
2
222
,1,1 ,22
yxOy
fy
x
fx
yx
fyx
y
fy
x
fxff jiji
33
2
22
2
222
,1,1 ,22
yxOy
fy
x
fx
yx
fyx
y
fy
x
fxff jiji
![Page 55: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/55.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Derivadas parciais mistas: séries de Taylor
Isolando nestas expressões, obtém-se
Diferenciais mistas de ordem superior podem ser obtidas usando-se o mesmo método.
221,11,11,11,12
,))((4
yxOyx
ffff
yx
f jijijiji
yx
f
2
![Page 56: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/56.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Diferenciais mistas com respeito a uma variável independente
Considere a derivada parcial
Usando a diferença central de ordem (y)2 para chega-se a
Derivando em x:
x
f
xyx
f2
y
f
21,1,
2yO
y
ff
y
f jiji
21,1,2
2yO
y
ff
xyx
f jiji
![Page 57: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/57.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Diferenciais mistas com respeito a uma variável independente
Aplicando-se diferença central de ordem (x)2 para chega-se a
E finalmente:
2
1,1,
21,1,2
2
1
2yO
x
f
x
f
yyO
y
ff
xyx
f
jiji
jiji
x
f
221,11,11,11,12
,222
1yxO
x
ff
x
ff
yyx
f jijijiji
221,11,11,11,1
2
,4
yxOyx
ffff
yx
f jijijiji
![Page 58: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/58.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Diferenciais mistas com respeito a uma variável independente
Usando diferenças para frente, chega-se a
yxOx
ff
x
ff
y
yOx
f
x
f
y
yOy
ff
xy
f
xyx
f
jijijiji
jiji
jiji
,1
1
,,11,1,1
,1,
,1,2
yx
ffff
yx
f jijijiji
,,11,1,12
![Page 59: CFD Aula 2](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052315/55706785d8b42a51688b4629/html5/thumbnails/59.jpg)
EN3224 Dinâmica de Fluidos Computacional
Exercícios
• Problemas 2.8 do Hoffmann “Computational Fluid Dynamics Vol.I”