cf emprestimos

8/16/2019 CF Emprestimos

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Cálculo Financeiro

5. Amortiza ão de Em réstimos


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Empr stimo ou m tuo: contrato atrav s do qual uma

parte (o mutuante) cede a outro (o mutuário) umadeterminada importância, ficando este obrigado arestituir essa im ortância acrescida de uros à taxa

acordada

Mutuante: Aquele que concede o empréstimo;

.


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Prestação: pagamento destinado liquidação de um

empréstimo, sendo composta por duas parcelas: Quota-capital ou Principal (amortização do capital):

Quota-juro (juro): juro devido sobre o capital emdívida.


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otaçõesotações

D0 – montante do empréstimo no momento 0;

D – ca ital em dívida a ós o a amento da resata ão k;

i – taxa anual efectiva;

pk – prestação k; m – uota-ca ital

jk – quota-juro

n – número de prestações


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Permitem visualizar a evolução do empréstimo,

incluindo:

;

a prestação;

a quota-capital; a quo a- uro


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EXEMPLOS REAIS


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Prestação Capital em dívida Quota Quota Prestação

Nº no ínicio do

período (Dk-1)

juro (jk) capital

(mk)

(pk)

1 D0 j1 = D0 . i m1 p1 = j1+ m1

2 D = D – m = D . I m = + m

3 D2 = D1 – m2 j3 = D2 . i m3 p3 = j3+ m3

... ...

n-1 Dn-2 =

Dn-3

– mn-2

jn-1 =

Dn-2

.i mn-1

pn-1

=jn-1

+mn-1

n Dn-1 = Dn-2 – mn-1 jn = Dn-1 .i mn pn=jn+mn


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Nº no ínicio do

período (Dk-1)

juro (jk) capital

(mk)

(pk)

1 D0 j1 = D0 . i m1 p1 = j1+ m1

2 D = D – m = D . I m = + m

3 D2 = D1 – m2 j3 = D2 . i m3 p3 = j3+ m3

... ...

n-1 Dn-2 =

Dn-3

– mn-2

jn-1 =

Dn-2

.i mn-1

pn-1

=jn-1

+mn-1


Dn-1 tem que ser igual a mn


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Nº no ínicio do

período (Dk-1)

juro (jk) capital

(mk)

(pk)

1 D0 j1 = D0 . i m1 p1 = j1+ m1

2 D = D – m = D . I m = + m

3 D2 = D1 – m2 j3 = D2 . i m3 p3 = j3+ m3

... ...

n-1 Dn-2 =

Dn-3

– mn-2

jn-1 =

Dn-2

.i mn-1

pn-1

=jn-1

+mn-1


=k 0


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Nº no ínicio do

período (Dk-1)

juro (jk) capital

(mk)

(pk)

1 D0 j1 = D0 . i m1 p1 = j1+ m1

2 D = D – m = D . I m = + m

3 D2 = D1 – m2 j3 = D2 . i m3 p3 = j3+ m3

... ...

n-1 Dn-2 =

Dn-3

– mn-2

jn-1 =

Dn-2

.i mn-1

pn-1

=jn-1

+mn-1


SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO ADOPTADO


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Existem muitas formas ou modalidades de amortizaçãode empréstimos. Vamos considerar apenas as três mais

Sistema francês;

Sistema de amortizações constantes; istema americano.

Cada um destes sistemas tem uma forma pura e

variantes.


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É o sistema de amortizações mais usado.

Consiste no pagamento de prestações (de capital e juros)cons an es ao ongo o prazo o empr s mo.

Como cada uma das resta ões contribui ara a

amortização de uma parte da dívida, o capital em dívida.

Logo, se a taxa de juro se mantiver constante a parcelarelativa à amortização do capital vai aumentando e arelativa aos uros vai diminuindo.


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Começamos pelo sistema francês puro:

Neste sistema as prestações são constantes, postecipadas e.

período após o empréstimo ter sido contraído.

Não esquecer que tem que existir concondância entre operíodo de amortização e o período a que está referida ataxa de juro.

,de termos postecipados constantes.


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Sistemas francês SFCálculos no sistema francês puro:

0

:momen onov aaa or

×= a p D n i

0

: prestaçãodaValor

= D

:k prestçãonacontidoJuro an i

1

:k prestaçãonacontidaoAmortizaçã

− ×= k k

: períodocadadeínicionodívidaemCapital

−= k k j pm

121 −−−

−=

k k k

m D D


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Exemplo:

Considere um empréstimo de 120 000 Euros no sistema francêsuro a amoritizar em seis resta ões anuais à taxa anual de 7%.

Construa o quadro de amortização.

O primeiro passo é calcular o valor da prestação:

: prestaçãodaValor

D

120000

=a

pn i

€525175

76654,4

=

= p


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Exemplo:


Prestaçãoº Capital em dívida Quota Quota Prestação

período (Dk-1)

k

(mk)k

0

j1 = 0

. i m1

p1

= j1

m1

2 D1 = D0 – m1 j2 = D1 . I m2 p2 = j2+ m2

3 D2 = D1 – m2 j3 = D2 . i m3 p3 = j3+ m3

... ...5 Dn-2 = Dn-3 – mn-2 jn-1 = Dn-2 .i mn-1 pn-1=jn-1+mn-1

n-1 = n-2 – n-1 n = n-1 . n n n n


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Exemplo:



período (Dk-1)

k

(mk)k

0= ,2

3

4

5


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Exemplo:


Prestaçãoº Capital em Quota juro Quota Prestação

do período (Dk-

1)

k

(mk)k

1 120 000 j1 = D0 . i =120000*0,07

m1 25175,5

=8400


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Exemplo:


Prestação

Nº

Capital em dívida

no ínicio do

Quota juro (jk

) Quota

ca ital m

Prestação

período (Dk-1)

j1 = 0

. i =120000*0,07=8400

m1= ,

– 8400=16775 5

,


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Exemplo:


Prestação

Nº

Capital em dívida

no ínicio do

Quota juro (jk

) Quota

ca ital m

Prestação

período (Dk-1)

j1 = 0

. i =120000*0,07=8400

m1= ,

– 8400=16775 5

,

2 120000 –

16775,5 =

j2 =

103244,5*0,07=

m2=25175,5

– 7225,72=

25175,5

103224,5 7225,72 17949,78


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Exemplo:



período (Dk-1)

k

(mk)k

, ,

2 103224,5 7225,72 17949,78 25175,5

3 85274,72 5969,23 19206,27 25175,5

4 66068,45 4624,79 20550,71 25175,55 4517,74 3186,24 21989,26 25175,5

, , , ,


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Exemplo:



período (Dk-1)

k

(mk)k

, ,

2 103224,5 7225,72 17949,78 25175,5

3 85274,72 5969,23 19206,27 25175,5

4 66068,45 4624,79 20550,71 25175,55 4517,74 3186,24 21989,26 25175,5

, , , ,


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Exemplo:



período (Dk-1)

k

(mk)k

, ,

2 103224,5 7225,72 17949,78 25175,5

, , , ,

4 66068,45 4624,79 20550,71 25175,55 4517,74 3186,24 21989,26 25175,5

6 23528,48 1646,99 23528,48 25175,5

120 000


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No sistema francês as amortizações de capital crescemà medida que o tempo passo de acordo com uma

ro ressão eométrica de razão i ual a 1+i :

=

+

,partir da expressão:

1)1( −+= i pmn


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Exemplo:



período (Dk-1)

k

(mk)k

, ,

2 103224,5 7225,72 17949,78 25175,5

, , , ,

4 66068,45 4624,79 20550,71 25175,55 4517,74 3186,24 21989,26 25175,5

6 23528,48 1646,99 23528,48 25175,5


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Também existem fórmulas que permitem calcular o valor docapital em dívida num determinado momento, recorrendo

ao que aprendemos sobre rendas e equivalência de capitaisa p D k ×=n-k i

si D Dou

k ×−+= 1

De igual forma, podemos calcular o valor da dívida ják i

amort za a num a o momento:

11 −+ k i

1)1(00

−+

=−nk

i


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Finalmente, podemos calcular o valor dos juros suportadonum empréstimo, supondo que não ocorre qualquer

alteração no valor das prestações, por exemplo devido aalterações da taxa de juro:

0D- pn juros ×=Σ


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Variações do sistema fracês puro:

introdução de um prazo de carência (há

m n d r m n h m r iz dcapital);

ntro ução e um prazo e er mento uranteo qual não há qualquer pagamento);

consideração de prestções antecipadas;

ocaç o nance ra – eas ng necess a e e

introduzir o valor residual);


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Começamos pelo sistema puro:

Neste sistema as prestações também são constantes mas-

capital). O juro é calculado sobre o capital em dívida econsequen emen e va m nu n o.

Assim, cada prestação contém duas parcelas: uma constantee outra decrescente.

.


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Sistemas de amortiza ões constantesCálculos no SAC:

0 nm D ×=

)1(

1 mik p p k −−=

)1(

: pres ç onacon ouro

1 mik j j k −−=

: prestaç onacont aomort zaç

0 D

m =

: pagos jurosdosTotal

n

2

0 m

n juros

×+××=Σ


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No sistema de amortizações constantes puro o uro e asprestações decrescem de acordo com uma progressão

aritmética de razão i ual a -mi:


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Exemplo:

Considere um empréstimo de 20 000 Euros amortizávelatravés de 5 anuidades postecipadas, onde as amortizações de capitalsão constantes. A taxa de juro anual é de 10%. Construa o quadro de

amortização.PrestaçãoNº

Capital em dívida

no ínicio do

Quota

juro (jk)

Quota

capital

Prestação

(pk)

k-1 k

1 D0 j1 = D0 . i m1 p1 = j1+ m1 1 = 0 – 1 2 = 1 . 2 2 2 2

3 D2 = D1 – m2 j3 = D2 . i m3 p3 = j3+ m3... ...5 Dn-2 = Dn-3 – mn-2 jn-1 = Dn-2 .i mn-1 pn-1=jn-1+mn-1

n-1 = n-2 – mn-1 n = n-1 . mn pn= n mn


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Exemplo:

Considere um empréstimo de 20 000 Euros amortizável através de 5anuidades postecipadas, onde as amortizações de capital sãoconstantes. A taxa de juro anual é de 10%. Construa o quado de

amortização.

0= D

m

20000

=m

n

€4000=m


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Exemplo:


no n c o o

período (Dk-1)

uro k cap a

(mk)

pk

1 D0= 20 000 4000

2

34

5


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Exemplo:

Prestação

º

Capital em Quota juro Quota Prestação

do período

(Dk-1)

k

(mk)k

1 20 000 j1 = D0 . i =20000*0,1=

4000 4000+2000=6000

2000


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Exemplo:

Prestação

º

Capital em Quota juro Quota Prestação

do período

(Dk-1)

k

(mk)k

1 20000 j1 = D0 . i =20000*0,1= 4000 4000+2000=60002000

2 20000 – 4000 = j2 = D1 . i = 4000 5600, =

1600


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Exemplo:

Prestação

º

Capital em dívida Quota Quota Prestação

período (Dk-1)

k

(mk)k

2 16000 1600 4000 5600

3 12000 1200 4000 5200

4 8000 800 4000 48005 4000 400 4000 4400


38/46

Exemplo:

Prestação

º


período (Dk-1)

k

(mk)k

2 16000 1600 4000 5600

3 12000 1200 4000 5200

4 8000 800 4000 48005 4000 400 4000 4400


39/46

Exemplo:

Prestação

º


período (Dk-1)

k

(mk)k

2 16000 1600 4000 5600

3 12000 1200 4000 5200

4 8000 800 4000 48005 4000 400 4000 4400

20 000


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Exemplo:

Prestação

º


período (Dk-1)

k

(mk)k

2 16000 1600 4000 5600

3 12000 1200 4000 5200

4 8000 800 4000 48005 4000 400 4000 4400


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Variações do sistema:

consideração de juros pagos à cabeça;

consideração de juros pagos no final do prazo;


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Começamos pelo sistema puro que também é conhecidopor Fundo de Amortização ou Sinking Fund.

final do prazo e o mutuário paga, no fim de cada período,apenas o uro o cap a em v a.

Como o capital em dívida é sempre o mesmo até ao final doprazo, os juros pagos em cada período são sempre iguais.

do empréstimo de uma só vez. O mutuário pode “preparar”essa quan a cr an o um un o e mor zaç o.


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De forma a constituir esse fundo são realzados n depósitosconstantes de valor igual a m, nos mesmos momentos em

ue se rocede ao a ameto dos uros. O valor de cada umdos depósitos é calculado da seguinte forma:

s Dm 0=

n

Assim, em cada período o mutuário suporta o valor

0


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Variações do sistema:

consideração de juros pagos à cabeça;

consideração de juros pagos no final do prazo;


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