Cenni alle reti logiche

Luigi  Palopoli  

Cosa sono le reti logiche?

•  Fino  ad  ora  abbiamo  visto  §  Rappresentazione  dell’informazione  §  Assembler  

•  L’obbie:vo  di  questo  corso  è  mostrare  come  si  proge>o  una  computer  

•  Quindi  abbiamo  adesso  bisogno  di  fare  una  piccola  digressione  su  come  si  proge>ano  I  circuiA  logici  

•  Avremo  un  corso  specifico  su  questo…..  

Valori logici

•  I  computer  moderni  sono  realizzaA  tramite  circuiA  ele>ronici  

•  Tra>andosi  di  elemenA  digitali  avremo  due  livelli  fondamentali  §  Alto,  Asserito  (1):  associato  alla  tensione  di  alimentazione  Vdd  

§  Basso,  negato  (0):  associato  alla  massa  (tensione  =  0)  

•  Altri  livelli  di  tensione  sono  non  significaAvi  e  assunA  solo  in  fase  transitoria  

Reti logiche

•  Le  porte  logiche  sono  dei  circuiA  che  trasformano  alcuni  valori  logici  in  ingresso  in  altri  valori  logici  in  uscita  

•  Le  porte  logiche  sono  di  due  Api  §  Combinatorie  

ü Relazione  funzionale  tra  ingresso  e  uscita  ü Non  hanno  memoria  ü L’uscita  dipende  solo  dal  valore  dell’ingresso  

§  Sequenziali  ü L’uscita  dipende  dalla  storia  degli  ingressi  passaA  e  non  solo  dal  valore  a>uale  

ü Hanno  memoria  (de>a  anche  stato  della  rete)  

Tabella di verità

•  Una  possibile  maniera  di  specificare  una  rete  logica  combinatoria  è  tramite  una  tabella  di  verità  che  elenca  I  valori  delle  uscite  in  corrispondenza  dei  vari  ingressi  

INPUT   OUTPUT  

A   B   C   D     E   F  

0   0   0   0   0   0  

0   0   1   1   0   0  

0   1   0   1   0   0  

0   1   1   1   1   0  

1   0   0   1   0   0  

1   0   1   1   1   0  

1   1   0   1   1   0  

1   1   1   1   0   1  

Algebra di boole

•  Una  maniera  più  compa>a  è  di  specificare  le  funzioni  logiche  combinatorie  tramite  espressioni  algebriche  definite  con  l’algebra  di  boole  

•  Esistono  tre  operatori  di  base  §  AND  

ü viene  rappresentato  tramite  il  simbolo  di  prodo>o.  Esempio  A•B.    ü Produce  1  se  entrambi  gli  operandi  sono  uno  e  zero  negli  altri  casi  

§  OR  ü rappresentato  tramite  il  simbolo  della  somma  (+).  Esempio  A+B  ü Produce  zero  se  e  solo  se  entrambi  gli  operandi  sono  0  

§  Not  ü Rappresentato  da  una  barra.  Esempio:  Ā  ü Ha  l’effe>o  di  inverAre  il  valore  logico  

Algebra di Boole

•  Ci  sono  una  serie  di  regole  che  ci  perme>ono  di  manipolare  facilmente  le  espressioni  logiche  §  IdenAtà:  A+0=A,  A•1=A  §  Regola  zero  e  uno:  A  +  1  =  1,  A•0=0  §  Regola  dell’inversa  A  +  Ā=1,  A•Ā=0  §  Regola  commutaAva:  A+B=B+A,  A•B=B•A  §  Regola  AssociaAva:  A+(B+C)=(A+B)+C,  A•(B•C)=(A•B)•C  

§  Regola  distribuAva:  A•(B+C)=(A•B)+(A•C),  A+B•C=(A+B)(A+C)  

Algebra di Boole

•  In  più  esistono  dure  regole  molto  importanA,  de>e  di  De  Morgan        

•  Queste  leggi  ci  dicono  che  se  abbiamo  una  nand,  o  una  nor  tu:  gli  altri  operatori  logici  si  possono  ricavare  

A ·B = A+B

A+B = A ·B

Algebra di Boole Esempio

•  Torniamo  alla  nostra  tabella        

INPUT   OUTPUT  

A   B   C   D     E   F  

0   0   0   0   0   0  

0   0   1   1   0   0  

0   1   0   1   0   0  

0   1   1   1   1   0  

1   0   0   1   0   0  

1   0   1   1   1   0  

1   1   0   1   1   0  

1   1   1   1   0   1  

•  Possiamo  vedere  facilmente  D = A+B + C

F = A ·B · C

Algebra di Boole - Esempio

•  Torniamo  alla  nostra  tabella        

INPUT   OUTPUT  

A   B   C   D     E   F  

0   0   0   0   0   0  

0   0   1   1   0   0  

0   1   0   1   0   0  

0   1   1   1   1   0  

1   0   0   1   0   0  

1   0   1   1   1   0  

1   1   0   1   1   0  

1   1   1   1   0   1  

     E  vale  1:  §  Se  A=1,  B=1,  C=0    oppure  

§  Se  A=1,  C=1  B  =  0  oppure    

§  Se  B=1,  C=1,  A=  0  

E = (A ·B · C) + (A · C ·B) + (B · C ·A)

E = (A+B + C) · (A+ C +B) · (B + C +A)

•  O  usando  De  Morgan  

Porte logiche

•  In  realtà  esistono  dei  circuiA  ele>ronici  (porte  logiche)  che  mi  implementano  gli  operatori  booleani  fondamentali  

AND   OR   NOT  

Porte logiche

•  Le  porte  si  possono  combinare  tra  di  loro  (con  il  not  che  può  essere  semplificato  tramite  un  cerchio)  

A+B

Alcuni circuiti

•  Decoder  

Alcuni circuiti

•  MulAplexor  

•  Deviatore  che  sulla  base  di  un  input  di  controllo,  determina  quale  degli  input  passa.  

Alcuni circuiti

•  MulAplexor  a  N  vie  

Decoder  

••••  

••••  

Forme canonica SP

•  Abbiamo  visto  che  Arare  fuori  un’espressione  logica  da  una  tabella  di  verità  è  semplice  

•  Basta  prendere  ciascuna  riga  uguale  a  1  e  scrivere  un  termine  di  prodo>o  logico  de>ato  dalla  configurazione  degli  ingressi  

•  A  quel  punto  si  può  fare  la  somma  di  tu:  I  prodo:  individuaA  

Altro esempio

•  Consideriamo  come  ulteriore  esempio:  

INPUT   OUTPUT  A   B   C   D  0   0   0   0  0   0   1   1  0   1   0   1  0   1   1   0  1   0   0   1  1   0   1   0  1   1   0   0  1   1   1   1  

D = (A ·B · C) + (A ·B · C) + (A ·B · C) + (A ·B · C)

PLA

•  La  stru>ura  che  abbiamo  visto  si  compone  di  due  stadi:  la  prima    è  una  barriera  di  AND  (cde:  anche  mintermini)  e  una  barriera  di  OR  

•  La  dimensione  totale  del  PLA  è  data  dalla  somma  di  Piano  AND  (numero  di  mintermini  e  loro  complessità)  e  del  piano  OR  (Numero  di  uscite)  

•  Cara>erisAche  importanA:  §  Ci  sono  porte  logiche  solo  per  le  configurazione  che  prudcono  1  

§  Se  un  mintermine  è  condiviso  tra  varei  uscita,  basta  una  sola  entry  

Esempio •  Ritorniamo  all’esempio                  

INPUT   OUTPUT  

A   B   C   D     E   F  

0   0   0   0   0   0  

0   0   1   1   0   0  

0   1   0   1   0   0  

0   1   1   1   1   0  

1   0   0   1   0   0  

1   0   1   1   1   0  

1   1   0   1   1   0  

1   1   1   1   0   1  

Esempio •  Implementazione  tramite  porte  logiche            

D = A+B + C

F = A ·B · CE = (A ·B · C) + (A · C ·B) + (B · C ·A)

Esempio •  Una  diversa  rappresentazione  (usando  i  punA  nei  piani  and  e  or)  

         

D = A+B + C

F = A ·B · CE = (A ·B · C) + (A · C ·B) + (B · C ·A)

Costo

•  Le  funzioni  logiche  possono  essere  implementate  in  maniera  diversa  (più  o  meno  efficiente)  

•  Per  COSTO  di  una  rete  logica  si  intende  normalmente  la  somma  del  numero  di  porte  e  del  numero  di  ingressi  della  rete  (indipendentemente  dal  fa>o  che  siano  posiAvi  o  negaA)  

•  E’  possibile  trovare  delle  implementazioni  di  una  rete  che  hanno  cosA  diversi  

 

Minimizzazione di funzioni logiche

•  La minimizzazione di alcune espressioni logiche è banale, in altri casi è necessario applicare le regole algebriche in modo “furbo”

•  Es. f(x1, x2, x3) = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

= x1x2(x3 + x3) + x1x2(x3 + x3)

= x1x2 + x1x2

= (x1 + x1)x2

= x2

Minimizzazione

•  Esistono  metodi  di  minimizzazione  sistemaAci  basaA  sull’applicazione  iteraAva  di  queste  regole  

•  Altri  metodi  sono  basaA  su  rappresentazioni  grafiche  (mappe  di  Karnaugh),  ma  si  applicano  solo  a  casi  più  semplici  

•  Questo  argomento  si  chiama  “sintesi  logica”  e  per  gli  interessaA  è  coperto  nel  corso  di  reA  logiche  

Array di elementi logici

•  Molto  spesso  si  costruiscono  array  di  elemenA  che  operano  su  daA  complessi  

•  Ad  esempio  come  realizzare  un  mulAplexer  che  opera  su  un  bus  a  32  bit  uAlizzando  elemenA  a  un  bit  

•  BUS:  insieme  di  file  (ad  esempio  32)  che  viene  visto  come  un  singolo  segnale  logico  

Multiplexor a 32 bit