慶應義塾湘南藤沢高等部数理科学講演会2問題2の解説：巡回セールスマン問題...

SFC 高数理科学講演会２理工学部数理科学科小田芳彰（2012.3.9） – 1 / 27

慶應義塾湘南藤沢高等部数理科学講演会２

— 経路問題と未解決問題 —

理工学部数理科学科小田芳彰

2012.3.9

経路問題：問題の説明


✓ ✏経路問題：いくつかの都市と道路網が与えられているときに，移動する際

の距離あるいは時間，コストが最小になるさまざまなルート（経路）を

見つける問題

✒ ✑問題１．都市 sから都市 tへの最短

ルートは？

v2

11

21

1 3

8

7s=v1 t=v5

4v

v3 3

問題２．都市 sを出発し，すべての

都市を１回ずつ通って，sに戻ってく

る最短ルートは？

v

v

2

3

s=v1

1

9

v4

2

12

12

解答


問題１（最短路問題）

sから tへの最短ルート

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

→カーナビゲーションシステム

への応用

問題２（巡回セールスマン問題）

sを出発し，すべての都市を１回ず

つ通り，sに戻ってくる最短ルート

8

v

v v

v2

3

s=v1 v6

5

4

4

1

27

3 4

35

2

4 6

55

→セールスマンが顧客先をすべて

まわりたい

問題１の解説：最短路問題（ダイクストラ法）


計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

sから他のすべての都市への最短ルートを近い方から順に調べていく．



計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0


まず，sから sまでは当然 0．



計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0

11

7

5


sから直接たどれる都市は v2, v3, v4．



計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0

11

7

5


どの道路の距離（値）も正なので，

この時点で，sから v3への最短ルートが確定．



計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0

11

7

59

この時点で，sから v3への最短ルートが確定．



計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0

11

7

59

この時点で，sから v3,v4への最短ルートが確定．



計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0

11

7

59

9<




計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0 7

59

9




計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0 7

58

9 10

15




計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0 7

58

9 10

15

この時点で，sから v3,v4,v6への最短ルートが確定．



計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0 7

58

9 10

14

この時点で，sから v3,v4,v6への最短ルートが確定．



計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0 7

58

9 10

14

この時点で，sから v3,v4,v6,v2への最短ルートが確定．



計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0 7

58

9 10

14

この時点で，sから v3,v4,v6,v2,v5への最短ルートが確定．



計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0 7

58

9 10

11

この時点で，sから v3,v4,v6,v2,v5への最短ルートが確定．



計算手順

211

75

3

4

861

53

v

v v

v

v2

3 6

4

5

1s=v1

t=v7

0 7

58

9 10

11

この時点で，sから v3,v4,v6,v2,v5,v7への最短ルートが確定．このダイクストラ法により，都市数 nに対し n2

に比例する計算時間で最短

路問題の解が得られる．

問題２の解説：巡回セールスマン問題


順列に対応させて全通り考える．

以下，n都市を 1, 2, · · · , nとする．都市 nを出発し，残りの n− 1都市のたどり方は n− 1個の順列に対応．例 n = 6のとき

6, 1, 2, 3, 4, 5(, 6) 6, 1, 2, 3, 5, 4(, 6) 6, 1, 2, 4, 3, 5(, 6)6, 1, 2, 4, 5, 3(, 6) 6, 1, 2, 5, 3, 4(, 6) 6, 1, 2, 5, 4, 3(, 6)6, 1, 3, 2, 4, 5(, 6) · · · 6, 5, 4, 3, 2, 1(, 6)

※ 対称性を考慮すると，6, 5, 4, 3, 2, 1(, 6)は 6, 1, 2, 3, 4, 5(, 6)の逆回りなので，実質同じルートとみなせる．

→全部で

(n− 1)!

2通り

さまざまな工夫により，場合の数を減らせるが，nが大きくなると一般には

依然膨大な組み合わせのまま．

巡回セールスマン問題の厳密解法（時間をかけても最適解を）


動的計画法

F (S, i): 1から iへのパスのうち，S のすべての頂点を通

るものの中で，重みの和の最小値

F ({i}, i) = w(1, i)(2 ≤ i ≤ n) (1)

F (S, i) = minj∈S\{i}

{F (S \ {i}, j) + w(j, i)} (2)

(1)式の後，(2)式を |S| = 2, 3, · · · , n− 1の順で計算．最後に次を計算すると，重みの和の最小値が得られる．

minj∈V (G)\{1}

{F (V (G) \ {1}, j) + w(j, 1)}

n22n に比例する計算時間で巡回セールスマン問題の解が得られる．

他の厳密解法として，分枝限定法などがある．

1i

S

1j

i

S \ {i}

F (S \ {i}, j)

w(j, i)

100MIPS(毎秒 108回の演算が可能)の計算機による計算時間


多項式時間

入力サイズ n n n log2n n

2n3

n5

10 1× 10−7秒 3.32× 10−7

秒 1× 10−6秒 1× 10−5

秒 0.0015秒

20 2× 10−7秒 8.64× 10−7

秒 4× 10−6秒 8× 10−5

秒 0.032秒

30 3× 10−7秒 1.47× 10−6

秒 9× 10−6秒 2.7× 10−4

秒 0.243秒

40 4× 10−7秒 2.13× 10−6

秒 1.6× 10−5秒 6.4× 10−4

秒 1.02秒

50 5× 10−7秒 2.82× 10−6

秒 2.5× 10−5秒 1.25× 10−3

秒 3.13秒

100 1× 10−6秒 6.64× 10−6

秒 1× 10−4秒 0.01秒 1.67分

1000 1× 10−5秒 9.97× 10−5

秒 1× 10−2秒 10秒 115日

1万 1× 10−4秒 1.33× 10−3

秒 1秒 2.78時間 31世紀

10万 1× 10−3秒 0.017秒 100秒 115日 0.21宙齢

指数時間

入力サイズ n 2n n22n 3n n!

10 2.1× 10−5秒 0.001秒 5.9× 10−4

秒 0.036秒

20 1.05× 10−2秒 4.19秒 34.9秒 771年

30 10秒 2.68時間 23.8日 5.61× 106 宙齢

40 3.05時間 204日 3.68世紀 1.72× 1022 宙齢

50 130日 893年 0.015宙齢 6.42× 1038 宙齢

100 26798宙齢 2.68× 108 宙齢 1.09× 1022 宙齢 1.77× 10132 宙齢

1宙齢 =150億年（ビッグバンから現在までの時間）久保，山本 [2]から

P≠NP予想


現時点では，巡回セールスマン問題を多項式時間で解く計算方法は見つかっ

ていない．

さらに，次のような理論体系（計算量理論）がある．

定理巡回セールスマン問題はNP困難である．

もし巡回セールスマン問題を多項式時間で解く計算方法が見つかれば，それ

を使って同じように難問とされているたくさんの問題が多項式時間で解けて

しまう．

→それはないだろう．

これは， ≠ 予想とよばれ，アメリカのクレイ数学研究所によって

年に発表された万ドルの懸賞金がかけられている７つの数学上の

未解決問題の１つ

『「難しそうな問題」が本当に難しい．』

これを示すのも難しい．

P≠NP予想



ていない．





しまう． →それはないだろう．

これは，P≠NP予想とよばれ，アメリカのクレイ数学研究所によって2000年に発表された 100万ドルの懸賞金がかけられている７つの数学上の未解決問題の１つ

『「難しそうな問題」が本当に難しい．』

これを示すのも難しい．

P≠NP予想



ていない．





しまう． →それはないだろう．

これは，P≠NP予想とよばれ，アメリカのクレイ数学研究所によって2000年に発表された 100万ドルの懸賞金がかけられている７つの数学上の未解決問題の１つ

✓ ✏『「難しそうな問題」が本当に難しい．』

これを示すのも難しい...．✒ ✑

近似解法


実用的な時間でなるべく短いルートを求める．

平面上の n都市に対する巡回セールスマン問題もNP困難

日本の 9847都市の問題エジプトの 7146都市の問題

TSPBIB[4]から

巡回セールスマン問題の応用例（近似解法を考える意義）


プリント基板の穴をどの順番であけていくか？

実社会では，数百万，数千万都市の問題を解きたいという要求がある．

付録 — 近似解法 (1)


局所探索法

2-OPT：ある解からはじめ，2辺を交換して値（辺の重みの和）が小さくなるなら，それを新たな解とする．この操作ができなくなるまで繰り返し，解

を求める方法．✓ ✏2辺の交換操作

⇒

✒ ✑

例

付録 — 近似解法 (2)


メタヒューリスティックス

最適解ではない穴（局所最適解）で終わってしまわないように努力する．

� シミュレーテッドアニーリ

ング

� タブー探索

� 遺伝的アルゴリズム

...

辺の重みの和（大）

最後に


参考文献

[1 ] R. ブランデンベルク, P. グリッツマン著, 石田基広訳, 「最短経路の本」, シュプリンガー (2007).

[2 ] 久保幹雄, 山本芳嗣, 「巡回セールスマン問題への招待」, 朝倉書店(1997).

[3 ] D. L. Applegate, R. E. Bixby, V. Chvatal and W. J. Cook, TheTraveling Salesman Problem - A Computational Study, PrincetonUniversity Press (2006).

[4 ] P. Moscato, TSPBIB,http://www.densis.fee.unicamp.br/~moscato/

TSPBIB home.html

[5 ] G. Reinelt, TSPLIB,http://comopt.ifi.uni-heidelberg.de/software/TSPLIB95/

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