ce219 - controle estatístico de...

CE219 - Controle Estatístico de Qualidade

Cesar Augusto Taconeli

30 de maio, 2017

Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 1 / 96

Aula 2 - Métodos estáticos para a análise daqualidade


Métodos estáticos para a análise da qualidade

O objetivo aqui é fazer uma (breve) revisão de modelos probabilísticose métodos estatísticos, com aplicação na descrição, modelagem eprodução de inferências para processos.Serão abordados:

Métodos de análise descritiva;Probabilidade e principais modelos probabilísticos;Inferência estatística aplicada à qualidade do processo.

As próximas aulas serão intercaladas com ilustrações no R e os scriptsdisponibilizados na página da disciplina.


Métodos descritivos



Há uma grande variedade de métodos descritivos disponíveis, cujaaplicação dependerá dos objetivos da análise, da quantidade devariáveis sob estudo (e de suas respectivas escalas. . . ).As principais ferramentas estatísticas são os gráficos, tabelas e resumosnuméricos.



Alguns gráficos úteis na análise de qualidade de processos:Gráfico de ramos e folhas;Histograma;Gráfico de série;Gráfico de dispersão;Gráfico de Pareto;Gráfico de caixa (box-plot);Gráficos de probabilidade (quantil-quantil).



Principais medidas resumo:Média, mediana e moda;Variância, desvio padrão e coeficiente de variação;Mínimo e máximo;Quartis e demais percentis.


Probabilidade e principais modelosprobabilísticos


Probabilidade e principais modelos probabilísticos

Um objetivo frequente na análise de dados é a inferência estatística,que consiste em produzir conclusões (estimar parâmetros, testarhipóteses, tomar decisões) para populações com base em amostras.

No contexto de controle estatístico de processos, o usual é assumircomo população a distribuição dos valores de todos os itens produzidospor um processo para certa característica da qualidade (variávelaleatória).

A forma mais usual de proceder é assumir um modelo probabilísticoadequado à distribuição do processo.

Um modelo probabilístico é um modelo matemático que associaprobabilidades aos valores de uma variável aleatória (ou de múltiplasvariáveis).



A literatura dispõe de muitas (muitas mesmo!) alternativas de modelosprobabilísticos para variáveis aleatórias discretas, contínuas ou atémesmo mistas (parte contínua, parte discreta).

Uma variável aleatória é denominada discreta caso tenha probabilidadesnão nulas associadas a um conjunto enumerável de valores. Sãoexemplos o número de itens defeituosos num lote de 100 peças, onúmero de clientes atendidos por hora em um banco, o número deitens produzidos até a verificação da primeira unidade defeituosa. . .

Uma variável aleatória é denominada contínua se pode gerar resultadosem algum conjunto contínuo de valores. São exemplos o tempo de vidade equipamentos, a resistência de moldes de aço, as dimensões deplacas de alumínio. . .



Seja X uma variável aleatória discreta, cuja distribuição é definida pelafunção de probabulidades:

P(X = xi ) = pi , i = 1, 2, 3, ...

A média (esperança) e a variância de X ficam definidas,respectivamente, por:

µ = E (X ) =∑

ixipi

σ2 = Var(X ) =∑

i(xi − µ)2pi



Exercício 1 (Variáveis aleatórias discretas)A variável aleatória X assume os valores 1, 2 e 3 com probabilidades(1 + 3k)/3, (1 + 2k)/3 e (0.5 + 5k)/3, respectivamente.

a) Ache o valor apropriado de k;b) Ache a média e a variância de x;c) Apresente a função de distribuição acumulada.



Seja X uma variável aleatória contínua, cuja distribuição é definidapela função densidade de probabilidades f (x), tal que:

P(a < X < b) =∫ b

af (x)dx

A média (esperança) e a variância de X são dadas, respectivamente,por:

µ = E (X ) =∫ ∞−∞

xf (x)dx

σ2 = Var(X ) =∫ ∞−∞

(x − µ)2f (x)dx



Exercício 2 (Variáveis aleatórias contínuas)A distribuição de probabilidade de X é f (x) = k exp{−x}, 0 < x <∞.Qual o valor apropriado de k? Qual a média e a variância de X?


Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriasdiscretas


Distribuição hipergeométrica

A principal aplicação da distribuição hipergeométrica é em situaçõesenvolvendo amostragem aleatória simples sem reposição.

Na área de controle de qualidade, aplica-se em problemas deamostragem de aceitação.

A título de ilustração, poderíamos ter X como o número de ítensdefeituosos em uma amostra aleatória de n ítens selecionada, semreposição, de um lote de tamanho N.

Neste caso, D e N − D seriam os números de itens defeituosos e bonsno lote, respectivamente.



Uma variável aleatória Y tem distribuição hipergeométrica de parâmetros D,N e n se sua função de probabilidades é dada por:

P (X = x) =

(Dx

)(N − Dn − x

)(Nn

) , x = 0, 1, 2, ...,min (n,D)

com média e variância:

µ = nDN ; σ2 = nD

N

(N − DN

)(N − nN − 1

).



0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

N=20, D=4, n=5

x

P(X

=x)

●

●

●

●● ● ● ● ● ● ●

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

N=20, D=4, n=10

x

P(X

=x)

●

●

●

●

●

● ● ● ● ● ●

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

N=20, D=8, n=5

x

P(X

=x)

●

●

●

●

●

● ● ● ● ● ●

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

N=20, D=8, n=10

x

P(X

=x)

● ●

●

●

●

●

●

● ● ● ●

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


Figura 1: Distribuição HipergeométricaCesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 18 / 96


Exercício 3Um lote de tamanho N = 30 contém três unidades não conformes.

a) Qual é a probabilidade de que uma amostra de cinco unidadesselecionadas aleatoriamente contenha exatamente uma unidade nãoconforme?

b) Qual é a probabilidade de que contenha uma ou mais unidades nãoconformes?


Distribuição binomial

Suponha n eventos independentes, cada um com dois resultadospossíveis (sucesso ou fracasso).

Vamos admitir igual probabilidade de sucesso (p) a cada um dos neventos.

A variável aleatória que conta o número de sucessos produzidos nos neventos tem distribuição binomial, sendo n e p os seus parâmetros.

A distribuição binomial serve como aproximação para a distribuiçãohipergeométrica para grandes populações (N >>> n).



A variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetros n e p temsua função de probabilidades dada por:

P(X = x) =(nx

)px (1− p)(n−x) , x = 0, 1, 2, ..., n.

com média e variância:

µ = np ; σ2 = np(1− p).



0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

n=5 ; p=0,10

x

P(X

=x)

●

●

●

● ● ●

0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

n=5 ; p=0,50

xP

(X=

x)

●

●

● ●

●

●

0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

n=5 ; p=0,90

x

P(X

=x)

● ● ●

●

●

●

0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

n=10 ; p=0,10

x

P(X

=x)

●

●

●

●

● ● ● ● ● ● ●

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

n=10 ; p=0,50

x

P(X

=x)

● ●

●

●

●

●

●

●

●

● ●

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

n=10 ; p=0,90

xP

(X=

x)

● ● ● ● ● ● ●

●

●

●

●

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4


Figura 2: Distribuição BinomialCesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 22 / 96


0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

N=20, D = 5, n = 5

x

P(X

=x)

HipergeometricaBinomial

0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

N=40, D = 10, n = 5

x

P(X

=x)


0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

N=80, D = 20, n = 5

x

P(X

=x)


0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

N=160, D = 40, n = 5

x

P(X

=x)


Aproximação da distribuição hipergeométrica pela binomial (n = 5, p = D/N = 0.25)

Figura 3: Aproximação Hipergeométrica - BinomialCesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 23 / 96


Exercício 4Um processo de produção opera a uma taxa de 5% de peças produzidas nãoconformes. A cada hora uma amostra de 25 unidades do produto é retirada,e o número de peças não conformes (defeituosas) registrado.

a) Qual a probabilidade de duas peças defeituosas serem verificadas numarealização da inspeção?

b) A empresa será multada se três ou mais itens defeituosos foremverificados na próxima inspeção. Qual a probabilidade de multa?


Distribuição Poisson

Aplicada na modelagem do número de eventos aleatórios verificadosem unidades de tempo, área, volume,. . .

Em CEP, aplicada frequentemente na análise do número de defeitos(não conformidades) por unidade de produto.

Aplicável caso os eventos ocorram aleatoriamente sob taxa constante(Processo de Poisson);

Forma limite da distribuição binomial para p tendendo a 0 e n ainfinito, mantendo constante λ = np.



A variável aleatória X com distribuição de Poisson de parâmetro (taxa) λtem sua função de probabilidades dada por:

P (X = x) = e−λλx

x ! , x = 0, 1, 2, ...; λ > 0,

com média e variância dadas por:

µ = σ2 = λ



λ = 1

x

P(X

=x)

● ●

●

●

●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

0 5 10 15 20

0.00

0.08

0.16

0.24

0.32

0.40

λ = 5

x

P(X

=x)

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●● ● ● ● ● ● ● ● ●

0 5 10 15 20

0.00

0.08

0.16

0.24

0.32

0.40

λ = 10

xP

(X=

x)

● ● ●●

●

●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●●

● ● ●

0 5 10 15 20

0.00

0.08

0.16

0.24

0.32

0.40


Figura 4: Distribuição PoissonCesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 27 / 96


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

n=5 , p=0,4; λ=2

x

P(X

=x)

PoissonBinomial

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

n=10 , p=0,2; λ=2

x

P(X

=x)

PoissonBinomial

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

n=50 , p=0,04; λ=2

x

P(X

=x)

PoissonBinomial

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

n=200 , p=0,01; λ=2

x

P(X

=x)

PoissonBinomial

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Aproximação da distribuição binomial pela Poisson

Figura 5: Aproximação Binomial - PoissonCesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 28 / 96


Como propriedade da distribuição Poisson, se a unidade de medida emque são contados os eventos for multiplicada por uma constante t,então a variável de contagem resultante terá distribuição Poisson commédia (e variância) λt:

P (X = x) = e−λt(λt)x

x ! , x = 0, 1, 2, ...; λ > 0,

Padrões não aleatórios na ocorrência dos eventos (eventos agrupados,regularmente espaçados. . . ) geram contagens que não sãoadequadamente modeladas pela distribuição Poisson.



Exercício 5O departamento de cobrança de uma grande companhia de cartão decréditos tenta controlar os erros (administrativos, de digitação,...) nascontas dos clientes. Suponha que tais erros ocorram aleatoriamente comuma taxa diária λ = 0, 1.

a) Qual a probabilidade de ocorrerem dois erros num dia qualquer?b) Qual a probabilidade de ocorrerem mais de dois erros num dia qualquer?c) Qual a probabilidade de ocorrerem mais de dois erros nos próximos cinco

dias?


Distribuições binomial negativa e geométrica

Considere uma sequência de eventos independentes do tipo sucesso oufracasso, cada um com probabilidade de sucesso p;

Seja X a variável aleatória que conta o número de eventos até or-ésimo sucesso.

Neste caso, X tem distribuição binomial negativa com parâmetros r ep.



A variável aleatória X com distribuição binomial negativa de parâmetros r ep tem sua função de probabilidades dada por:

P(X = x) =(x − 1r − 1

)pr (1− p)(x−r) , x = r , r + 1, r + 2, ...

em que r ≥ 1 inteiro, com média e variância dadas por:

µ = rp ; σ2 = r(1− p)

p2 .


Distribuição Binomial Negativa

r=2 ; p=0,1

x

P(X

=x)

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

r=2 ; p=0,5

x

P(X

=x)

● ●

●

●

●●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

r=5 ; p=0,5

x

P(X

=x)

●

●

●● ●

●●

●●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

r=5 ; p=0,9

x

P(X

=x)

●

●

●

●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Distribuição Binomial negativa

Figura 6: Distribuição Binomial NegativaCesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 33 / 96


A distribuição binomial negativa tem importante aplicação comoalternativa à distribuição de Poisson na modelagem de contagens deeventos por unidade de tempo, espaço, outra medida qualquer.

Observe a dualidade entre as distribuições binomial e binomial negativa.Na primeira, o número de eventos é fixo e a variável é o número desucessos. Na segunda, o número de sucessos é fixo, contando-se onúmero de eventos.

Um importante caso particular da distribuição binomial negativa é adistribuição geométrica, para a qual r = 1 (X conta o número deeventos até se observar o primeiro sucesso).



A variável aleatória X tem distribuição geométrica de parâmetro p se suafunção de probabilidades é dada por:

P(X = x) = (1− p)(x−1) p, x = 1, 2, ...


µ = 1p ; σ2 = 1− p

p2 .


Distribuição Geométrica

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p=0,1

x

P(X

=x)

●●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p=0,5

x

P(X

=x)

●

●

●

●

●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

p=0,9

x

P(X

=x)

●

●

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Distribuição Geométrica

Figura 7: Distribuição Geométrica



Uma das propriedades da distribuição geométrica é a falta dememória, segundo a qual:

P(X > x + a|X > a) = P(X > x), para qualquer a > 0

.

Assim, sob distribuição geométrica, a probabilidade do próximo ítemdefeituoso ocorrer daqui a cinco avaliações é a mesma se ainda nãotivermos observado nenhum item, ou 10 ítens bons, ou 1000 ítensbons. . .

A distribuição geométrica é o modelo adequado para um importanteindicador de desempenho de gráficos de controle, o comprimentomédio de sequência.



Exercício 6Um operador de telemarketing trabalha. Historicamente, esse operador temsucesso em 20% de suas tentativas.

a) Qual a probabilidade dele realizar sua primeira venda na terceiratentativa?

b) Qual a probabilidade dele realizar sua primeira venda até a terceiratentativa?

c) Sua meta é realizar três vendas. Qual a probabilidade dele atingir suameta até a décima tentativa?

d) Qual o número esperado de tentativas até a primeira venda? E atéatingir a meta?


Modelos probabilísticos para variáveis aleatóriascontínuas


Distribuição Normal

A distribuição Normal é a mais importante distribuição contínua,dentre outros motivos por que:

Modela adequadamente a distribuição de um grande número de variáveisaleatórias contínuas;

Serve de aproximação para diversas outras distribuições contínuas ediscretas;

Tem papel importante na Teoria Estatística, fundamentando a obtençãode inferências em diferentes contextos.



A variável aleatória X tem distribuição Normal com parâmetros µ e σ2 sesua função densidade de probabilidade é dada por:

f (x) = 1√2πσ2

e−12 ( x−µ

σ )2, −∞ < x <∞, −∞ < µ <∞, σ2 > 0,

com média e variância dadas por µ e σ2, respectivamente.



−6 −4 −2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4


Mesma variância, médias diferentesx

f X(x

)

µ=−3, σ2=1µ=0, σ2=1µ=3, σ2=1

−6 −4 −2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Mesma média, variâncias diferentesx

f X(x

)

µ=0, σ2=1µ=0, σ2=4µ=0, σ2=9

Figura 8: Distribuição NormalCesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 42 / 96


Probabilidades associadas à distribuição Normal não podem ser obtidasanaliticamente (mas sim numericamente), pois a integralcorrespondente não tem forma fechada.

Como recursos, temos os softwares estatísticos ou a consulta a tabelasda distribuição Normal padrão (µ = 0;σ2 = 1).

A consulta a tabela da normal padrão se justifica pelo fato que se Xtem distribuição Normal com média µ e variância σ2, então:

Z = X − µσ∼ N(0, 1)

Obs: Apenas lembrando: X ∼ N(µ, σ2) lê-se “a variável aleatória X temdistribuição Normal de média µ e variância σ2”.



Exercício 7A intensidade de luz resultante de uma lâmpada (X) tem distribuiçãoNormal com média 5.000 end foot candles e desvio padrão 100 end footcandles.

a) Qual a probabilidade de X > 4.800?b) Ache um limite de especificação tal que apenas 0, 5% das lâmpadas não

excedam esse valor;c) Qual deveria ser a média tal que P(X < 4.800) = 0.005?



Algumas propriedades da distribuição Normal:

Se X ∼ N(µ, σ2), então:P(µ− σ < X < µ+ σ) ≈ 0.6826;P(µ− 2σ < X < µ+ 2σ) ≈ 0.9546;P(µ− 3σ < X < µ+ 3σ) ≈ 0.9973.

Por sua simetria em relação a µ:P(X < µ− δ) = P(X > µ+ δ), para qualquer δ.



Combinações lineares de variáveis aleatórias com distribuição Normaltambém têm distribuição Normal.Em particular, sejam X1 ∼ N(µ1, σ

21), X2 ∼ N(µ2, σ

22), . . . ,

Xn ∼ N(µn, σ2n) variáveis aleatórias independentes, e a1, a2, ..., an um

conjunto de constantes. Então:

y = a1X1 + a2X2 + ...+ anXn

tem distribuição Normal com média

µy = a1µ1 + a2µ2 + ...+ anµn

e variância

σ2y = a2

1σ21 + a2

2σ22 + ...+ a2

nσ2n.



Exercício 8Suponha que os ganhos mensais (em milhares de reais) de um investidor emtrês aplicações (1, 2 e 3) tenham distribuição X1 ∼ N(10, 2), X2 ∼ N(20, 5)e X3 ∼ N(30, 9), independentes:

a) Qual a probabilidade do rendimento acumulado em um mês qualquer sersuperior a 65 mil reais?

b) Qual a probabilidade do rendimento médio em um mês ser superior a 22mil reais?

c) Qual a distribuição de 2X1 + 3X2 − X3?


Teorema Central do Limite

O Teorema Central do Limite fundamenta a o uso da distribuiçãoNormal como aproximação em diversas situações.

Teorema Central do Limite (TCL)Sejam X1,X2, ...,Xn variáveis aleatórias independentes com média µi evariância σ2

i , e Y =∑n

i=1 Xi . Então, a distribuição de

Y −∑n

i=1 µi√∑ni=1 σ

2i

se aproxima da N(0, 1) quando n→∞, independente das distribuiçõesindividuais das variáveis.

Discutiremos adiante os tamanhos amostrais adequados para aplicaçãodo TCL em problemas de Controle Estatístico de Qualidade.


Aproximação da distribuição binomial pela Normal

Considere Y ∼ Binomial(n, p). Podemos considerarY = X1 + X2 + ... + Xn, em que cada Xi tem distribuição de Bernoullicom parâmetro p.

Assim, o Teorema Central do Limite aplica-se à variável Y , garantindoque, para n suficientemente grande:

Y ∼ Normal(µ = np, σ2 = np(1− p)

), aproximadamente.


Aproximação da distribuição binomial pela Normal

−2 −1 0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

n=5 , p=0,2

x

P(X

=x)

−2 0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

n=10 , p=0,2

x

P(X

=x)

−2 0 2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

n=20 , p=0,2

x

P(X

=x)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

n=100 , p=0,2

x

P(X

=x)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

PoissonBinomial

Figura 9: Aproximação Binomial - Normal(µ = np, σ2 = np(1− p)).Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 50 / 96

Distribuição log-Normal

Seja Y uma variável com distribuição Normal. Então, X = exp(Y )tem distribuição lognormal.

Diferentemente da distribuição Normal, a distribuição log-Normal temseu suporte no conjunto dos reais positivos, assumindo formasassimétricas.

A distribuição log-normal, assim como outras que estudaremos adiante,tem aplicações na modelagem de variáveis na área de confiabilidade,como tempo de vida e resistência de equipamentos, dentre outras.


Distribuição log-normal

Seja Y ∼ N(θ, ω2). Então, X = exp(Y ) tem distribuição log-normal comfunção densidade de probabilidade dada por:

f (x) = 1xω√2π

exp[−(ln(x)− θ)2

2ω2

], 0 < x <∞,


µ = exp{θ + ω2

2

}; σ2 = exp

{2θ + ω2

}(eω2 − 1

).


Distribuição log-normal

0 5 10 15 20

0.0

0.2

0.4

0.6

x

f X(x

)

θ=0, ω2=2θ=0, ω2=1θ=1, ω2=1

Figura 10: Distribuição Log-normalCesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 53 / 96

Distribuição exponencial

A variável aleatória X tem distribuição exponencial de parâmetro λ > 0 sesua função densidade de probabilidade é dada por:

f (x) = λe−λx , , x > 0.

A média e a variância de X são dadas, respectivamente, por:

µ = 1λ

; σ2 = 1λ2 .



A distribuição exponencial é mais uma empregada frequentemente namodelagem do tempo de vida de equipamentos, componentes,sistemas. . .

A distribuição exponencial está relacionada à distribuição de Poisson,de forma que se o número de eventos em um intervalo (de tempo, porexemplo) de tamanho t tem distribuição de Poisson(λt), então otempo até o próximo evento tem distribuição exponencial (λ).

A distribuição exponencial tem como característica a falta de memória,segundo a qual:

P(X > t + δ|X > t) = P(X > δ), para qualquer δ > 0.

Assim, a distribuição exponencial somente é aplicável em problemas deconfiabilidade se não houver efeito (desgaste) do tempo de operação.



0 1 2 3 4 5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

f X(x

)

λ= 0.25λ= 1λ= 4

Figura 11: Distribuição exponencialCesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 56 / 96

Distribuição Gama

A variável aleatória X tem distribuição Gama de parâmetros r > 0 e λ > 0se sua função densidade de probabilidade é dada por:

f (x) = λ

Γ(r) (λx)(r−1) e−λx , x > 0.


µ = rλ

; σ2 = rλ2 .


Distribuição Gama

0.0

0.2

0.4

0.6

Distribuição Gama para diferentes parâmetros de escala

x

f X(x

)

r=2, λ=0.5r=2, λ=1r=2, λ=2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Figura 12: Distribuição Gama (I)Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 58 / 96

Distribuição Gama

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Distribuição Gama para diferentes parâmetros de forma

x

f X(x

)

r=0.5, λ=2r=1, λ=2r=2, λ=2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Figura 13: Distribuição Gama (II)Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 59 / 96

Distribuição Gama

A distribuição Gama tem como caso particular a distribuiçãoexponencial(λ) ao fixarmos r = 1;

Por apresentar um segundo parâmetro, a distribuição Gamaproporciona funções com maior variedades de formas, permitindomodelar adequadamente um maior número de variáveis aleatórias;

Se X1,X2, ...,Xn são variáveis aleatórias independentes, comdistribuição Gama de parâmetro λ, então:

Y = X1 + X2 + ...+ Xn ∼ Gama(n, λ).


Distribuição Weibull

A variável aleatória X tem distribuição Weibull de parâmetros θ > 0 eβ > 0 se sua função densidade de probabilidade é dada por:

f (x) = β

θ

(xθ

)β−1exp

[−(xθ

)β], x > 0.


µ = θΓ(1 + 1

β

); σ2 = θ2

[Γ(1 + 2

β

)−{

Γ(1 + 1

β

)}2].



0 1 2 3 4 5

0.0

0.5

1.0

1.5

Distribuição Weibull para diferentes valores do parâmetro de forma

x

f X(x

)

β=0.5, θ=1β=1, θ=1β=2, θ=1β=4, θ=1

Figura 14: Distribuição Weibull (I)Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 62 / 96


0 2 4 6 8 10

0.0

0.5

1.0

1.5

Distribuição de Weibull para diferentes valores do parâmetro de escala

x

f X(x

)

β=2, θ=0.5β=2, θ=1β=2, θ=2β=2, θ=4

Figura 15: Distribuição Weibull (II)Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 63 / 96

Inferências sobre a qualidade do processo


Introdução

Modelos probabilísticos são aplicáveis na modelagem de variáveis quecaracterizam a qualidade de processos.

Na prática, os parâmetros que especificam tais modelos sãodesconhecidos.

Utilizamos amostras selecionadas do processo como base paraestimação dos parâmetros e teste de hipóteses.

No Controle Estatístico Qualidade, a inferência sobre parâmetros doprocesso é fundamental para efeito de monitoramento, avaliação dodesempenho e identificação de causas atribuíveis de variação emprocessos.


Estatísticas e suas distribuições amostrais

Estatísticas são funções dos dados amostrais que independem deparâmetros desconhecidos.

Assim como as características da qualidade configuram variáveisaleatórias, às quais assumimos modelos probabilísticos apropriados, asestatísticas também configuram variáveis aleatórias, tendo suasrespectivas distribuições de probabilidades.

A distribuição de probabilidades de uma estatística é chamadadistribuição amostral. Usaremos as distribuições amostrais dealgumas estatísticas como base para a inferência de parâmetros doprocesso.


Estatísticas e suas distribuições amostrais

Considere X1,X2, ...,Xn uma amostra aleatória de tamanho n dapopulação sob estudo (ex: observações independentes de algumacaracterística da qualidade de um processo industrial).

Vamos usar o termo amostra aleatória para nos referir a um conjuntode observações (variáveis aleatórias) independentes e identicamentedistribuídas.

Algumas das principais estatísticas usadas no monitoramento deprocessos , acompanhadas de suas distribuições amostrais, sãodiscutidas na sequência.


Distribuição amostral da média amostral

A média amostral, como sabemos, é definida por:

X̄ = 1n

n∑i=1

Xi .

Se assumirmos que X1,X2, ...,Xn é uma amostra aleatória de umadistribuição Normal com parâmetros µ e σ2, então a distribuiçãoamostral da média amostral fica dada por:

X̄ ∼ Normal(µX̄ = µ, σ2

X̄ = σ2

n

).



Ainda que a amostra não tenha sido produzida por uma distribuição(população) Normal, o Teorema Central do Limite (TCL) garante que,assintoticamente (quando n→∞), X̄ ∼ N(µ, σ2/n), uma vez quepodemos escrever:

∑ni=1 Xi − nµσ√n = X̄ − µ

σ√n.

Por mais que o TCL configure um resultado assintótico, a distribuiçãonormal para a média amostral é verificada com boa aproximação paragrandes amostras (n suficientemente grande).



O tamanho amostral necessário para se alcançar uma boa aproximaçãovai depender da distribuição da população sob estudo. É comumencontrar na literatura, como regra geral, que isso ocorre quandon > 30.

No entanto, em boa parte dos casos temos uma aproximaçãosatisfatória para tamanhos de amostra bem menores, até mesmo paran = 10 ou n = 5.


Distribuição amostral da variância amostral

A variância amostral, como sabemos, é definida por:

s2 = 1n − 1

n∑i=1

(Xi − X̄ )2.

Se X1,X2, ...,Xn é uma amostra aleatória de uma distribuição Normalcom parâmetros µ e σ2, então:

(n − 1)s2

σ2 ∼ χ2n−1.


Distribuição amostral da variância amostral

χ2n−1 representa a distribuição qui-quadrado com n − 1 graus de

liberdade. Uma variável aleatória X com distribuição χ2k tem função

densidade de probabilidade:

f (x) = 12k/2Γ(k

2 )y (k/2)−1e−y/2, y > 0.

A média da distribuição amostral de s2 é µs2 = σ2. Baseado nessefato, dizemos, como será discutido na sequência, que s2 é umestimador não viciado de σ2.


Distribuição amostral da proporção amostral

Seja X1,X2, ...,Xn uma amostra aleatória de uma distribuiçãoBernoulli, de parâmetro p.

A distribuição Bernoulli permite modelar um experimento do tiposucesso vs fracasso, por meio de uma variável aleatória que assumevalor 0 para um dos desfechos e 1 para o outro:

P(X = x) ={

p, x = 1(1− p), x = 0


Distribuição amostral da proporção amostral

Nesse caso, a proporção amostral nada mais é que a média da amostra:

p̂ = X̄ = X1 + X2 + ...+ Xnn .

A distribuição amostral exata para a proporção amostral pode serobtida a partir da distribuição binomial. No entanto, usando o TCLtemos que, assintoticamente,

p̂ ∼ N(µ̂p̂ = p, σ̂2p̂ = p(1− p)

n ).


Estimação pontual de parâmetros do processo

Estatísticas utilizadas para estimar parâmetros populacionaisdesconhecidos são denominadas estimadores.

Um estimador pontual é uma estatística que produz um único valornumérico como “aproximação” para o parâmetro que desconhecemos.

Ao valor do estimador avaliado numa particular amostra damos o nomede estimativa.

Assim, para monitorar a média de um processo podemos considerarcomo estimador a média amostral (X̄ ). Ao coletar uma amostra,calculamos, com base nos dados amostrais, X̄ = 10. Esse valor é aestimativa da média do processo naquele momento da produção.



Dentre as propriedades desejadas de um estimador pontual,destacamos:

Ausência de viés: dizemos que um estimador é não viesado se a médiade sua distribuição amostral (seu valor esperado) for igual ao parâmetroque estamos estimando. Assim, θ̂ é um estimador não viesado de θ se:

µθ̂ = E (θ̂) = θ.

Apresentar variância mínima: além de não apresentar viés, deseja-se queum estimador produza estimativas que apresentem baixa variabilidade.Um estimador θ̂ é de mínima variância se:

σ2θ̂

= Var(θ̂) < Var(θ̂∗),

para qualquer outro estimador θ̂∗.



Como vimos anteriormente, a média e a variância amostrais sãoestimadores não viciados dos correspondentes parâmetrospopulacionais:

E (X̄ ) = µ; E (s2) = σ2.

No entanto, o desvio padrão amostral:

s =√s2 =

√√√√∑ni=1

(Xi − X̄

)2

n − 1

não é um estimador não viciado de σ.



Pode-se mostrar que:

E (s) =( 2n − 1

)1/2 Γ(n/2)Γ [(n − 1)/2]σ = c4σ

Assim, um estimador não viciado de σ é dado por:

σ̂s = sc4.

Nota: c4 se aproxima de 1 a medida que n aumenta, refletindo que s éassintoticamente não viesado.



É comum, em problemas de CEP, usar a amplitude amostral paraestimar o desvio padrão da população. A amplitude amostral é definidapor:

R = max(Xi )−min(Xi ) = X(n) − X(1).

Denominamos W = R/σ como amplitude relativa. A distribuiçãoamostral de W é conhecida, sabendo-se que:

E (W ) = d2,

sendo d2 uma constante que depende apenas do tamanho amostral (assimcomo c4).



Valores de d2 e c4 podem ser calculados facilmente ou extraídos detabelas nas referências de CEQ.

Assim, um estimador não viesado para σ baseado na distribuição de Wé dado por:

σ̂R = Rd2.

A eficiência da amplitude amostral na estimação do desvio padrão doprocesso cai rapidamente conforme se aumenta o tamanho da amostra.Na prática, é recomendável usar o desvio padrão, ao invés daamplitude amostral.



Tabela 1: Eficiência relativa dos estimadores do desvio padrão.

n Var(σ̂s)/Var(σ̂R)2 1,0003 0,9924 0,9755 0,9556 0,93010 0,850


Inferência sobre a média de um processo - variânciaconhecida

Considere a variável aleatória X normalmente distribuída, com médiadesconhecida µ e variância conhecida σ2;

Suponha que estejamos interessados em testar o seguinte par dehipóteses:

H0 : µ = µ0 vs H1 : µ 6= µ0,

sendo µ0 algum valor especificado (ex: o alvo do intervalo de especificação).

Dispondo-se de n observações independentes de X , o teste dehipóteses baseia-se na seguinte estatística:

Z0 = X̄ − µ0σ/√n .



Se a hipótese nula (H0) for verdadeira, então a estatística Z temdistribuição normal padrão (N(0,1)).

Essa distribuição serve como referência para testar a hipótese nula, deigualdade.

Em qualquer teste de hipóteses estamos sujeitos a dois tipos de erros:Erro do tipo I: Rejeitar a hipótese nula sendo que ela é verdadeira;Erro do tipo II: Não rejeitar a hipótese nula sendo que ela é falsa.



Uma das forma de proceder o teste de hipóteses é fixar o nível designificância do teste, e tomar a decisão com base na regracorrespondente.

O nível de significância do teste é a probabilidade (α) que admitimospara o erro do tipo I.

Assim, devemos rejeitar a hipótese nula, em favor da alternativa, se|Z0| > |zα/2|, sendo zα/2 o quantil α/2 da distribuição normal padrão.

Usualmente utilizamos α = 5% ou α = 1%.



z

f(z)

− zα 2 zα 20

α 2 α 2

1 − α

Região de rejeição Região de rejeiçãoRegião de não rejeição

Figura 16: Teste de hipóteses - Tomada de decisão (nível. sig. α)



p−value = P(|Z| > |Z0|)

z

f(z)

− z0 z00

Figura 17: Teste de hipóteses - Ilustração do cálculo do p-valor



Exercício 9O tempo de resposta de um sistema computacional é uma importantecaracterística da qualidade. O gerente do sistema deseja saber se o tempomédio de resposta a um tipo específico de comando difere de 75milisegundos. Da experiência passada ele sabe que o desvio padrão dotempo da resposta é 8 milisegundos. Sabendo que em n = 25 execuções doprograma o tempo médio de resposta na amostra foi x̄ = 78 milisegundos:

a) Qual seria sua conclusão aos níveis de significância de 5% e 1%?b) Calcule o p-valor do teste. Interprete-o.



Dependendo do contexto, pode ser mais apropriado formular hipótesesunilaterais, como:

H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0,

rejeitando-se H0, ao nível de significância α, se Z0 > Zα e

H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0,

rejeitando-se H0, ao nível de significância α, se Z0 < −Zα.



Um Intervalo de confiança é um estimador intervalar que, com certaprobabilidade, conterá o valor do parâmetro (média) desconhecido.Um intervalo de confiança 100(1− α)% para a média, considerando avariância populacional conhecida, é definido pelos seguintes limites:

IC(µ; 100(1− α)%) =(x̄ − zα/2

σ√n ; x̄ + zα/2

σ√n

).

Interpretação: Para amostras aleatórias de tamanho n extraídas dessapopulação, em 100(1− α)% dos casos o intervalo calculado irá contero valor desconhecido de µ.


Intervalos de confiança (95%) para a média(X~N(0,1))

●●

●●

●●

●●

●●

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●●

●●

−2 −1 0 1 2

Am

ostr

as

Figura 18: Intervalos de confiança



Exercício 10Considere novamente o exemplo anterior. Calcule intervalos de 95 e 99% deconfiança para a média populacional.


Inferência sobre a média de um processo - variânciadesconhecida

Caso a variância populacional seja desconhecida, deve ser estimadapela variância amostral s2 =

∑ni=1(xi−x̄)2

n−1 .

A estatística teste fica definida por:

t0 = x̄ − µ0s√n

.

A distribuição de referência, nesse caso, é a t-Student com n − 1 grausde liberdade, devendo-se rejeitar H0, ao nível de significância α, set0 > |tn−1,α/2|.


Inferência sobre a média de um processo - variânciadesconhecida

De maneira semelhante, a distribuição tn−1 serve de referência para aconstrução de intervalos de confiança para µ :

IC(µ; 100(1− α)%) =(x̄ − tn−1,α/2

s√n ; x̄ + tn−1,α/2

s√n

).


Inferência para uma proporção populacional

Suponha que se deseja testar o seguinte par de hipóteses:

H0 : p = p0 vs H1 : p 6= p0,

sendo p a proporção populacional desconhecida e p0 algum valorespecificado.

Seja p̂ a proporção amostral avaliada em uma amostra aleatória detamanho n. O teste de hipóteses baseia-se na seguinte estatística teste:

Z0 = p̂ − p0√p0(1−p0)

n

.



De maneira similar ao teste de hipótese para a média com variânciaconhecida, deve-se rejeitar H0, ao nível de significância α, se|Z0| > |zα/2|.

Testes de hipóteses unilaterais também podem ser aplicados àproporção.

Um intervalo de confiança 100(1− α)% para a proporção tem limites:

IC(p; 100(1− α)%) =

p̂ − Zα/2

√p̂(1− p̂)

n ; p̂ + Zα/2

√p̂(1− p̂)

n

.Cesar Augusto Taconeli CE219 - Controle Estatístico de Qualidade 30 de maio, 2017 95 / 96


Exercício 11Uma fundição produz cabos de aço usados na indústria automotiva.Deseja-se testar a hipótese de que a fração de itens não conformes é de10%. Em uma amostra aleatória de 250 cabos, detectou-se que 32 estavamfora das especificações.

a) Qual seria sua conclusão aos níveis de significância de 5% e 1%?b) Calcule o p-valor do teste. Interprete-o.c) Apresente um intervalo de confiança 95% para a fração de itens não

conformes gerados pelo processo.


ce219 - controle estatístico de...

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