第六章信号与系统的复频域分析 - zhejiang university · 2017-04-14 · 2017/4/14 3...

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浙江大学控制科学与工程学系

信号与系统 Signals and Systems

第六章信号与系统的复频域分析

Chapter 6 The Complex Frequency Domain Analysis of

Signal and System

控制系网络课程平台：http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/signal_system/

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复习与概述将输入信号表示成基本信号的线性组合

时域：

dtxtx )()()(

系统的输出

dthxthtxty )()()(*)()(时域

频域： k

ts

kkeatx )( 频域

k

ts

kkkesHaty )()(

LTI系统，h(t)x(t) y(t)

est stesH )(

(t) h(t)

LTIS基本关系

t

s dehsH )()(

LTIS

迭加原理

连续系统Fourier变换：考虑特征函数复指数信号est中令s=jω，

est=ejωt形式的复指数信号表示方法－－第三章的内容

复频 (Laplace变换) ：考虑特征函数复指数信号est中令s=+jω形式的

复指数信号表示－－广义Fourier变换，求系统响应并进行S域的分析

X(s) Y(s)=H(s)X(s)H(s)特征函数

特征值

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主要内容

拉普拉斯变换

常用信号的拉普拉斯变换

阶跃、指数、冲激、正弦。。。。

双边拉普拉斯变换的性质

周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换

拉普拉斯反变换

单边拉普拉斯变换

LTI系统的复频域分析

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双边拉普拉斯变换的性质（总结）（1）线性

2122112211 RR);()()()( 至少包含ROCsXasXatxatxa LT

RROCsXettxstLT

),()( 0

0（2）时域平移性质

RROCsXtxL );()}({

}Re{);(})({ aRROCasXetxL at （3）S域平移性质

（4）尺度变换特性 aRRROCa

sX

aatxL 1);(

1)}({

（5）时域微分RRROCssX

dt

dxL 包含1);(}{

（6）s域微分RROC

ds

sdXttx

LT

;)(

)(

（7）时域卷积性质 212121 R);()()}()({ RROCsXsXtxtxL 包含

（8）时域积分性质 0}Re{s}R );(1

)( ｛包含ROCsX

sdx LT

t

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双边拉普拉斯变换性质（9）

异函数不包含冲激或者高阶奇

　　　　　　　　　　　　定理限制条件：

)(,0

00,

txt

x(t)t

（9）初值和终值定理

x(0＋)－即x(t)当t从正值方向趋于0时的值

即x(t)当t时的值

切的初值注意条件，要保证有确初值定理： );(lim)0( ssXxs

0( ) lim ( ) lim ( ); lim ( )

( ) 1

t s tx x t sX s x t

X s s

终值定理：条件是存在

的极点均在平面的左半平面(或原点处有阶极点)

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双边拉普拉斯变换性质（9-2）

解：由例6-3：

1}Re{;)2)(102(

1252 )()(

2

2

s

sss

sssXtx

LT

例6-7 由(例6-3) )()3(cos)()( 2 tutetuetx tt 验证初值与终

值定理2)0( x

由初值定理与终值定理

2)2)(102(

1252lim)(lim)0(

2

2

sss

sssssXx

ss

0)2)(102(

1252lim)(lim)(lim)(

2

2

00

sss

sssssXtxx

sst

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双边拉普拉斯变换性质（9-2）

解：

-1 21 1 1 1( ) ( ) L [ ( - )]= [ 1] ( )

2 2 2

LTtX s x t e u t

s s

例6-81

( )( 2)

X ss s

验证终值定理

双边Laplace变换的性质列表如P224所示

发散，终值定理不成立

𝑥 ∞ = lim𝑡→∞𝑥(𝑡) = lim

𝑠→0𝑠𝑋(𝑠) = lim

𝑠→0𝑠1

𝑠(𝑠 − 2)= −1

2

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主要内容

拉普拉斯变换




周期信号的Laplace变换

抽样信号的Laplace变换




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周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换－－周期信号的拉普拉斯变换(1)

前提：仅考虑在 t0 时存在的单边周期信号x(t)，即当t<0时，

x(t)=0，这样的周期信号：x(t)=x(t-T), t>0

令第一个周期的函数为x1(t)，且

求周期函数的X(s)

R: );()( 11 ROCsXtx LT 有限信号

0}Re{;1

)()(

)()()()(

)()()()(

1

0

1

1

2

111

2

00

se

esXesX

esXesXesXsX

dtetxdtetxdtetxsX

sT

sT

n

nsT

nsTsTsT

T

T

stT

stst

x(t)可以看成是x1(t)的移位加和，X(t)=x1(t)+ x1(t-T)+ x1(t-2T)+，

可利用L变换的时移与线性性质，直接由X1(s)得到X(s),或由定义求

0}Re{;1

)()()( 1

0

1

se

esXnTtxtx

sT

sTLT

n

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周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换－－周期信号的拉普拉斯变换(2)

t

1

T 2TT/2

x(t)例6-9 求如图示单边周期脉冲的

Laplace变换.

解： X(t)可以看成是单个脉冲

)2

()()(1

Ttututx 以T为周期进行周期性延拓的结果。

s

ee

ss

TtutuLsX

sT

sT 22

1

111)]

2()([)(

0}Re{;1

)()()( 1

0

1

se

esXnTtxtx

sT

sTLT

n

0}Re{;

)1(

1

1

1)(

2

2

s

ese

e

s

esX

sTsT

sTs

T

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周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换－－抽样信号的拉普拉斯变换(1)

前提：仅考虑在 t0 时存在的单边抽样信号xs(t)(当t<0时，xs(t)=0)，

载波器

脉冲调制器xs*(t)x(t)

)(tp

xs*(t)

2T 4Tt

xs*(t) x(t)

T )()(

*txtptx s

x(t)

t

LT ??

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周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换－－抽样信号的拉普拉斯变换(2)

考虑抽样信号xs(t)的Laplace变换

0

)()()()()()(n

Ts nTtnTxtuttxtx

例6-10 求指数抽样序列的Laplace变换.

)()()( tutetx T

at

s 解：

0 0

00

)()(

)()()}({)(

n n

nez

nsT

st

n

ss

znTxenTx

dtenTtnTxtxLsX

sT令

＝

1)(0 0

)(

1

1

1

1)}({)(

zeeeeetxLsX

aTTsan n

nTsansTaTn

ss

Z的幂级数形式

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主要内容

拉普拉斯变换







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拉普拉斯反变换: X(s)x(t)

定义法:

j

j

stdsesXj

sXLtx

)(

2

1)}({)( 1

拉普拉斯反变换(1)

有复数积分，求解复杂，一般不采用

部分分式法

00

0

0

( )

0 0

0 0

1( ) ( )

2

1( ) ,

2

jj t

j

t j t

X j e d jj

e X j e d ROC

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)(,)(

)()(

10

10 mnsasaa

sbsbb

sD

sNsX

n

n

m

m

思路：许多信号x(t)的Laplace变换式可表示成s的有理函数

所以要熟练掌握基本性质以及基本信号的L变换。下面分几种情况讨论。

)(

)(

)(

)()(

1

1

j

n

j

i

m

i

ps

zsA

sD

sNsX

常数n

m

a

bA

因为L变换是线性变换，可将X(s)分解为低阶项(部分分式）的线性组

合，其每一低阶项的Laplace变换由L变换性质或直接查表求反变换

后再迭加得到x(t). 如以前提到的零极点形式即为一阶项的组合。

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n

i i

i

n

n

m

m

ps

k

sasaa

sbsbb

sD

sNsX

110

10

)(

)()(

情况1）X(s)的分母多项式D(s)有 n 个互异实根，即

ipsii pssXk

))((其中：

i

i

ps

k

的收敛域应包括X(s)的ROC (X(s)无零极点相消）且

两种可能：Re{s}>pi (右边信号)

Re{s}<pi (左边信号)

由ROC性质，X(s)的每一项ROC都应包括X(s)的ROC，可以向左或向

右或向两边延伸，直到被一个极点界定或至无穷远

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1}Re{;)2)(1(

1)(

s

sssX例6-11 求的Laplace反变换.

ROC示意图

X(s)的 ROC

-2－1

1/(s+2)的

ROC

1/(s+1)的

ROC

－1

)()()(1}Re{;)2)(1(

1)( 2

1

tueetxsss

sX ttL

解：

1}Re{;2

1

1

1

)2)(1(

1)(

s

sssssX

由X(s)的ROC知原信号为右边信号

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2}Re{;)2)(1(

1)(

s

sssX例6-12 求的Laplace反变换.

ROC示意图

X(s)的 ROC

-2-2

1/(s+2)的

ROC1/(s+1)的

ROC

-1

)()()(2}Re{;)2)(1(

1)( 2

1

tueetxsss

sX ttTL

解：

2}Re{;2

1

1

1

)2)(1(

1)(

s

sssssX

由X(s)的ROC知原信号为左边信号

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)(

)(

)()(

)()(

)(

)(

)()(

11

1

1

1

12

1

11

1

11

sD

sB

ps

k

ps

k

ps

k

kpssDps

sN

sD

sNsX

k

kk

k

　　＝

重根处有；在

情况2）X(s)的分母多项式D(s)包含有重根，即

与重根无关，按前

无重根方法分解如何求重根项的系数？

)(

)()()(...)()()()()(

1

1

1

11

2

1131121111sD

sBpspskpskpskksXpssX KK

K

K

令：

再对X1(s)求导

1

)(112 psds

sdXk

ki

ds

sXd

ik

ds

sXdk

psi

i

ips

,,2,1

)(

)!1(

1,,

)(

2

1

111

1

)1(

12

1

2

13

1

)()( 111 ps

k sXpsk

asas

tuen

tL

n

atn

}Re{;)(

1)}(

)!1({

)1(

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))()((

)(

)()(

)(

)(

)()(

11

2 jsjssD

sN

sDbass

sN

sD

sNsX

情况3）X(s)的分母多项式D(s)包含有共轭复根，即

与复根无关方法一：按部分分式的方法分解并求每项的系数，

但因有复数，不甚方便

方法二：将产生共轭复数的二次项配成相应的余弦或正弦的拉氏变换式，

再求反变换，这种方法更为方便。

asas

astuteL at

}Re{ ;

)()}(cos{

2

0

20

asas

tuteL at

}Re{ ;)(

)}(sin{2

0

2

00

4)

2(

222 a

ba

sbass

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总结：由X(S)x(t)

（1）用部分分式法将X(S)展开成低阶项（实根、重根、

复根）的迭加

（2）确定各低阶项变换式的收敛域

－－由此可知时域信号的特性

（3）确定各低阶项变换式的反变换


定义

性质

单边拉普拉斯变换－－定义(1)

实际问题中常遇到的是因果信号：t<0时: x(t)=0, 定义：

dtetxsXdtetxsX stst

00

)()(~

)()(

记：)(

~)( sXtx

uL

双边Laplace变换与单边Laplace变换的异同：

1）积分下限不同；

2）对于t<0不同而t0相同的信号 x(t)，双边L变换不同，单边相同；

3）对于t<0为0的信号，双边和单边的L变换相同；

4）单边L变换的ROC一定在右半平面。

考虑在原点有冲激函数及其各阶导数


由时移性质可得：

例6-13 求的双边与单边Laplace变换.)1()( )1( tuetx ta

解：双边变换： asas

tuetxLT

at

}Re{ ;1

)()(

asas

etueL

sLTta

}Re{ ;)1({ )1(

单边变换：

asas

edteedteedtetuetueuL

atasasttasttata

}Re{ ;)1()}1({0

)(

0

)1(

0

)1()1(

可见，双边变换与单边变换不同。原因是当t<0时信号不为0

!不同！


解：由题知，该信号在原点包含奇异函数。因为t<0时信号为0，

故双边Laplace变换与单边Laplace变换是一样的。

例6-14 求的双边与单边Laplace变换.)()(2)()( tuetttx t

0);()(

)(2)( 2 ttuedt

tdttx t

记： 1)Re(;1

)12(

1

121)(

~)(

s

s

ss

sssXtx

uL

例6-15 求的Laplace反变换.2

3)(

~2

s

ssX

单边L变换的ROC为最右边极点的右侧：Re{s}>-2解：

2

12

22

3)(

~2

ss

s

CBsA

s

ssX

单边拉普拉斯变换－－性质(1)

单边Laplace性质大部分与双边变换相同，主要区别在时域微分与时域

积分性质－－对分析非零初始条件的系统十分重要。

)0()(~

})(

{ xsXsdt

tdxuL

证明：由定义求L变换，用到分部积分法

（1）时域微分

)()}({ sXtxL )(}{ ssXdt

dxL 双边

)(~

)}({ sXtxuL 单边

注意：不同点！

X(t)在0的取值

推广到n 阶导数

推广 )0()0()0()(~

})(

{ )1(21 nnnn

n

n

xxsxssXsdt

txduL

)0()0()(~

})(

{ 2

2

2

xsxsXsdt

txduL

注：这里的

0均指为0-

00 0

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) (0)st st stdx t dx t

uL e dt x t e s x t e dt sX s xdt dt

类似地，二阶微分：

（2）时域积分

)()}({ sXtxL 双边 )(1

})({ sXs

dxLt

)(~

)}({ sXtxuL 单边

s

dxsX

sdxuL

t

0

)()(

~1})({


注：X(t)积分式

在t=0的取值

证明：

])([)0(1

})()0({})()({})({

0

1

0 0

10

t

t tt

dxuLxs

dxxuLdxdxuLdxuL

常量

)(~1

)0(1

})({ 1 sXs

xs

dxuLt

分部积分时域微分与时域积分引入了信号

的起始值，这给分析初始状态不

为0的系统带来极大的方便－－

单边Laplace变换的最大优点！

（3）时域平移性质

)()}({ sXtxL 双边

)(~

)}({ sXtxuL 单边

证明：

0

0

0

0 0

0

00

0 00

0

0

00

{ }

= +

= + ( )

t ts tst

t

s t s t

t

tstst

uL x t t x t t e dt x e d

x e d x e d

x t t e dt e X s

令

28

0

0( ) ( )

st

L x t t e X s

0

0

0 00

( ) ( ) ( )t

st stuL x t t e X s x t t e dt

当x(t)是因果信号且t0>0时，单边拉氏变换的时延特性与双边拉氏变换一致



)(~

)(~

)}()({ 2121 sXsXtxtxuL )(

~)}({ 11 sXtxuL

)(~

)}({ 22 sXtxuL

（4）时域卷积性质－分析LTI系统非常有用的性质

若信号 x1(t) 和 x2(t) 都是单边信号，有当 t<0 时，

x1(t)=x2(t)=0，则有

注意前提条件，若有一个不满足，即上式不一定成立。

单边Laplace变换的其他性质与双边变换相同，不再一一列出。

主要内容

拉普拉斯变换






LTI系统的复频域分析（用L变换法对系统进行分析）

系统函数

全响应的求解

系统的复频域分析－－系统函数H(s): 定义(1)

与Fourier变换相似，Laplace变换也可以用于分析连续时间系统，

特别适合于分析非零起始的系统（单边Laplace变换可引入信号的初

值），获得系统的零状态、零输入和全响应。

本节讨论：复频域 s=+j t 时域间的关系

第三章中已经定义：

特征函数——指系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是

复数）乘以该信号。

特征值——系统对特征函数（输入信号）的输出响应中的常数

（幅度因子）称为系统的特征值（系统函数）


LTI系统，h(t)x(t) y(t)

est

stetx )( 卷积定理

)()(

)()(*)( )(

sHedehe

dehthety

stsst

tsst

特征值－－系统函数

)(sHee stLTIst

dehsH s)()(特征函数

dehsHth sLT

)()()(

因为 s=+j，对于稳定系统：当＝0时，H(s)=H(j)

频率响应


另一种定义：

N阶连续时间LTI系统可

用起始状态为零的线性

常系数微分方程表示：

M

rr

r

r

N

kk

k

kdt

txdb

dt

tyda

00

)()(

对微分方程进行双边Laplace变换 )()(00

sXsbsYsaM

r

r

r

N

k

k

k

)(

)(

)(

)()(

0

0

sD

sN

sa

sb

sX

sYsH

N

k

k

k

M

r

r

r

zs

由Laplace变换的卷积性质 )()()( sHsXsY

1）收敛域问题(由系统性质推出)

2）H(s)其他名称(传递函数、网络函数）

3）LTI系统许多性质(因果性、稳定性、

频响等)与H(s)的零极点分布有关

系统的复频域分析－－系统函数H(s): 零极点与系统的稳定性和因果性(1)

H(s)可写成因子相乘的形式：

N

j

j

M

i

i

N

k

k

k

M

r

r

r

ps

zs

H

sa

sb

sH

0

0

0

0

)(

)(

)(

1)因果性

对于一个因果系统，t<0时，h(t)=0 h(t) 是右边信号

H(s)的ROC应在最右边极点的右半平面

如果系统是反因果的 h(t) 是左边信号： t＞0时，h(t)=0

H(s)的ROC应在最左边极点的左半平面

zi－零点

pj－极点稳定性与因果性

N

M

ab

H

注：相反结论不一定成立。 ROC在最右边极点的右边－－保证是右边

信号，但不能保证一定t<0时，h(t)=0。


解：对于该系统，其ROC是在最右边极点的右侧，因此单位冲激响应必

是右边信号。为确定它的单位冲激响应，利用

1}Re{,1

1)(

s

stue

Lt

考虑时移性质1}Re{,

1)1()1(

s

s

etue

sLt

单位冲激响应 )1()( )1( tueth t

因为-1＜t<0时不等于0，所以系统不是因果的。

该例说明：因果系统 ROC在最右边极点的右边；但相反结论不一

定成立。等价性只针对有理系统函数。

例6-16 考虑一系统的系统函数为 1}Re{,1

)(

ss

esH

s

对一个有理系统函数的系统，因果性等

效于ROC在最右边极点的右半平面。


例6-17 有一系统，其单位冲激响应为 )()( tueth t

显然，系统函数是有理的，并且ROC是在最右边极点的右侧。这与有理

系统函数的因果性等效于ROC位于最右边极点的右侧的结论一致。

解：因为t<0时，h(t)=0，所以该系统是因果的。同时它的系统函数由例6-5

可知为1}Re{,

1

1)(

s

ssH

解：因为t<0时，h(t)0，所以该系统是非因果的。由例6-2可知系统函

数为1Re{s}1- ,

1

2)(

2

ssH

系统函数是有理的，ROC不在最右边极点的右侧，所以该系统是非因果的。

例6-18 有一系统，其单位冲激响应为t

eth

)(

系统稳定的含义：在时域上，系统稳定单位冲激响应 h(t) 绝对可积

变换收敛的 ourierthdtth F)()(

即H(j)存在，而一个信号的fourier变换就等于Laplace变换沿 j 轴

求值，即

jssHjH

)()(

2) 稳定性（与H(s)的极点和ROC之间的关系）

所以，当且仅当系统函数 H(s) 的 ROC 包括 j (即Re{s}=0)

时，LTI系统是稳定的。


由于没有给出ROC，ROC存在3种可能性 3种不同的h(t)

例6-19(P233) 某一LTI系统,其系统函数为2

31

1

32

)2)(1(

1)(

ssss

ssH

(1)在最右边极点的右半平面, 如图(1)示：

因果系统，但不稳定 -1

ROC示意图(1)

2

)()3

1

3

2()( 2 tueeth tt

(3)在最左边极点的左半平面, 如图(3)示：

非因果系统，也不稳定 -1

ROC示意图(3)

2)()3

1

3

2()( 2 tueeth tt

(2)在两个极点的中间部分, 如图(2)示：

非因果系统，稳定

-1

ROC示意图(2)

（包含 j 轴）

2

)(3

1)(

3

2)( 2 tuetueth tt

若已知系统因果性与稳定性，就能确定ROC与单位冲激响应


3) 因果稳定性（同时满足因果性与稳定性）

一个具有有理函数 H(s) 的因果系统是稳定的，当且仅当系统函数 H(s) 的

全部极点分布在 s 的左半平面。

系统稳定 ROC包括 j 轴

有理函数H(s)是因果的 ROC在最右边极点的右边

系统函数 H(s) 的最右边极点位于j 轴的左边

例6-20 单位冲激响应为 )()( tueth t

有理系统函数H(s) 的ROC位于最右边极点的右侧，系统是因果的。

又，H(s) 的 ROC 包括 j (即Re{s}=0})时，系统是稳定的(s=-1在s平

面的左半平面）。所以，该系统是因果稳定的。

1}Re{,1

1)(

s

ssH

因果稳定？);()( 2 tueth t


由卷积性质，Y(s)的ROC至少包含X(s)、 H(s)的ROC相交部分。检查H(s)的

ROC的3种可能情况：-2左边；-2与-1之间；-1的右边。只有Re{s}>-1相符。

• 显然，因果性、稳定性这些系统性质都能直接与系统函数及特性联系起来。

?;)2)(1(

3

)(

)()(

ROC

ss

s

sX

sYsH

例6-21 如一LTIS的输入：其输出为

请由上述信息确定H(s)与其他性质。

)()( 3 tuetx t )(][)( 2 tueety tt

解：3}Re{,

3

1)(

s

ssX 1}Re{,

)2)(1(

1)(

s

sssY

)(3)(232

2

txdt

dxty

dt

dy

dt

yd描述系统的微分方程：

21 R

);()()}()({)(

RROC

sHsXthtxLsY

包含


又因H(s) 的2个极点均在s平面的左半平面，所以H(s)是稳定的。

因为该ROC在H(s)最右边极点的右边，且H(s)是是有理的，故H(s)是因果的。

例6-22 已知一个LTI系统的下列信息：(1)系统是因果的；(2)H(s)是有理

的，且仅有2个极点在s=-2和s=-4；(3)若x(t)=1,则y(t)＝0；(4)单位冲激响

应在t=0+时的值是4。根据以上信息确定系统函数。

2

( ) ( )( )

( 4)( 2) 6 8

p s p sH s

s s s s

解：

由条件(3)： 0 0

0( ) 1 ( ) (0) (0) 0 ( ) 0t t

sx t e y t H e H p s

P(s)有一个根s＝0

)()( ssqsp

单位冲激响应的Y(s)=H(s)

条件(4)：由初值定理2

2

( )(0) lim ( ) lim 4 ( ) 4

6 8s s

s q sh sH s q s

s s

（若q(s)的阶次＞0，极限发散）

4( ) , Re{ } 2

( 4)( 2)

sH s s

s s

综上所述：



解：(1)

例6-23 考虑一稳定而因果的系统，假定单位冲激响应为h(t),系统函数H(s)

是有理的，有一极点在s=-2, 原点无零点。其余零极点均未知。对以下说

法的是非进行判断。(1)F{h(t)e3t}收敛; (2) ; (3) t·h(t)是一个因

果而稳定系统的单位冲激响应; (4) 在它的Laplace变换中至少有一个

极点; (5) h(t) 是有限持续期的; (6)H(s)=H(-s) .

0)(

dtth

dt

tdh )(

但因果稳定系统的ROC在H(s)所有极点右边，而-3在-2的左边。

(2) 利用特征值函数概念： )0()()()(0

0 HsHdtethdtths

t

0)(

dtth

错。

错。

js

tjtjtt sHdtethdteethethF

30

)3(33 )()()(})({S

相应于h(t)的L变换在s=-3＋j 的值。若收敛 s=-3在ROC中

相当于H(0)=0, 而已知原点无零点。


续前：(3) t·h(t)是一个因果而稳定系统的单位冲激响应？

由s域微分性质， RROCsXtxL );()}({ RROCds

sdXttx

LT

;)(

)(

L{t·h(t)}与H(s)具有相同的ROC

已知H(s)稳定，H(s)的 ROC 包括 j系统稳定

t<0, t·h(t)=0 t·h(t) 代表的是因果系统的单位冲激响应

(4) 在它的 Laplace 变换中至少有一个极点？dt

tdh )(

因为 RROCsXtxL );()}({ RRROCssXdt

dxL 包含1);(}{

sH(s)没有消去H(s)中原有的s=-2的极点。所以该说法：对

对


是有理的，有一极点在s=-2, 原点无零点。其余零极点均未知。判断 :


续前：(5) h(t) 是有限持续期的。

因为若h(t) 是有限持续期的，则H(s)的收敛域是整个 s 平面，对有

理 L 变换来说，ROC内不应包含任何极点（时域特性与ROC的关

系），但已知H(s)在s=-2有一个极点。

(6) H(s)=H(-s)

因为若H(s)=H(-s)，则必须在s=2有一个极点，但对于一个因果稳定

的系统，所有极点都必须在 s 的左半平面，这与已知条件矛盾。

错

错


是有理的，有一极点在s=-2, 原点无零点。其余零极点均未知。判断 :

o

j

pi

Mi Ni

ii

j

zi

系统的复频域分析－－系统函数H(s)与系统的频率响应H(j)

由H(s)的零极点分布，可在s域上进行H(s)的几何求值

N

i

i

M

i

i

ps

zs

HsH

0

0

)(

)(

)(

由零点zi引向某点s的矢量

由极点pi引向某点s的矢量

s=j

)(

)]()[(

21

21

0

0

)

)(

)(

)(

2121

j

j

n

m

N

i

i

M

i

i

eH(jω

eMMM

NNNH

pj

zj

HjH

nm

频率响应：当沿虚轴移动时，各矢量模与幅角

随之改变，即可画出幅频特性与相频特性

幅频

特性相频特性

参见教材P235, 例6-19

系统的复频域分析－－全响应的求解

方法一：

由微分方程起始状态求零输入响应＋ =全响应

方法二：

直接用单边Laplace变换法（可自动计入起始状态）一次性的计算全

响应，且可区分零状态、零输入响应－－注意收敛域问题

)()()( sXsHsYzs

)()()()(

)()()()(

011

1

1

011

1

1

txbtxdt

dbtx

dt

dbtx

dt

db

tyatydt

daty

dt

daty

dt

da

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

n

)1,,1,0)(0()( Nky k

常系数线性微分方程描述的因果系统

？？？：为什么双边L变换只能求解零状态相应？

系统的复频域分析－－全响应的求解

0)0(,1)0();(5)(2

1)(

2

3)( 3

2

2

yytuetydt

tdy

dt

tyd t

3

5)(

2

1)]0()([

2

3)0()0()(2

ssYyssYysysYs

例6-24(P238例6-22) 设因果LTI系统的微分方程如下，求y(t), yzs(t)、yzi(t).

解：取单边Laplace变换

2

1

2

3

)0(2

3)0(')0(

3

5

)(2

ss

yysyssY

将起始条件代入得：

X(s)

2

1

2

32

3

2

1

2

33

5

2

1

2

3

)0(2

3)0()0(

2

1

2

33

5

)(2222

ss

s

ss

s

ss

yysy

ss

ssY

Yzs(s) Yzi(s)

2

1Re,

3

1

2

1

4

1

5

2

1

2

33

5

)(2

ss

ss

ss

ssYzs

2

1Re,

2

1

2

1

1

2

1

2

33

2

)(2

s

ss

ss

s

sYzi

)()()( sYsYsY zizs LT-1

)()()( tytyty zizs

tueeesYLty tt

t

zszs

32

1

1 45)()(

tueesYLtyt

t

zizi

2

1

1 2)()(

系统的全响应： tueeetytyty ttt

zizs

32

1

6)()(

系统的复频域分析H(s)、X(s)极点分布与自由相应、强迫相应特征对应

( ) ( ) ( )Y s H s X s1( ) [ ( )]y t L Y s

1

1

( )

( )

( )

m

j

j

n

i

i

s z

H s

s p

1

1

( )

( )

( )

u

t

t

v

k

k

s z

X s

s p

1 1

( )n v

i k

i ki k

K KY s

s p s p

自由响应强迫响应

𝑦 𝑡 =

𝑖=1

𝑛

𝐾𝑖𝑒𝑝𝑖𝑡 +

𝑘=1

𝑣

𝐾𝑘𝑒𝑝𝑘𝑡

主要内容

拉普拉斯变换：与FT关系，ROC，零极点表示，ROC与时域

常用信号的拉普拉斯变换：阶跃、指数、冲激、正弦。。。。

双边拉普拉斯变换的性质：与F变换性质相同，区别在ROC

周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换：变换式中出现

拉普拉斯反变换：分解成部分分式再进行反变换，注意ROC问题

单边拉普拉斯变换：因果信号，时域微分与积分性质。。。

LTI系统的复频域分析：系统函数，H(s)的零极点与稳定性、

因果性的关系，单边LT可求全响应

sTe

第六章信号与系统的复频域分析 - zhejiang university · 2017-04-14 · 2017/4/14 3...

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