材料組織学...
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材料組織学混合のエントロピー
2009年7月13日
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自由エネルギー
G = H-TS
が低いほど安定
Hは小さいほど安定
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自由エネルギー
G = H-TSが低いほど安定
Sは大きいほど安定
なぜなら-TSと引き算になっている
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混合のエントロピー
ものが混ざればエントロピーは上昇する
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自由エネルギーG = H-TSが系の安定性(stability)をはかる指標
-Tを乗じているので、Sは大きいほどGは小さい
ごま塩の例→ 混合エントロピーが支配する例
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ごまと塩が分離した状態から出発する
ごま
塩
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容器を右まわりに20回回転してみよう
ごまと塩は混じりあう
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右まわりに20回回転させた後左まわりに20回逆に回転させてみよう
ごまと塩はどうなるだろうか?
逆の経路をたどったので、ごまと塩はもとの分離した状態に戻る?
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結果
ごまと塩はもっと混じりあう
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ごま塩の例
1 ごまと塩を分離した状態でビンに入れる2 このビンを右に20回、回転する。すると、ごまと塩は混じる。3 次に、このビンを左に20回、逆回転する。ごまと塩が分離したもとの状態には戻らない。さらに、混じった状態になる。
→ 不可逆性
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塩-塩 ごま-ごま 塩-ごま
ごまと塩がとなりどうしになっても、ポテンシャルエネルギーはほとんど変わらない
→ エンタルピーは変化しない
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結論 ごま塩の場合
混合してもエンタルピー(H)は変化しないので
混合のエントロピー(S)が自由エネルギー(G)を支配する
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よって
回転すればするほど
エントロピーの効果によって
ごまと塩は混じり合っていく
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自由エネルギー
G = H-TS
Hが小さいほどGは小さい
水と油の例
→ エンタルピーが支配する例
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1 水と油をビンに入れる→ 分離している
2 このビンを右に20回、回転する。すると、一瞬、水と油は混じるがすぐにもとの分離した状態に戻る。
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水
油
水と油を容器に入れると分離する
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3 次に、このビンを左に20回、逆回転する。すると水と油は一瞬混じるが再びもとの分離した状態に戻る。
なぜだろうか?
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水-水 油-油 水-油
水分子と油分子がとなりどうしになるとポテンシャルエネルギーは非常に大きくなる
→ エンタルピーが増大する
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水と油が混じりあった方がエントロピー的には安定であるつまり自由エネルギーを低下させる効果がある
ただし水と油が混じりあうとエントロピーの効果以上にエンタルピーが上昇しトータルでは自由エネルギーが下がらない
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G = H - TS
水と油が混じるとSは増大
水と油が混じるとHはもっと増大
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自由エネルギー
G = H-TS
HとSの大小関係でGが決定される
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水と油を混ぜるにはどうしたらよいか
水と油が混じるとエンタルピー(H)が大きくなるがエントロピー(S)も大きくなる
温度が高くなるとSの項が利いてくるよって、高温では水と油も混じる
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二元合金(binary alloy)
熱力学 (thermodynamics) と状態図 (phase diagram)
自由エネルギー(free energy)
G = H - TS
を基本にした考え方
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自由エネルギー(G)はいろいろな変数の関数である。
温度(T)、圧力(P)、体積(V)成分など
実際に自由エネルギーを利用する場合は変化する変数だけに着目する
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金属Aと金属Bの合金
ふたつの金属を混ぜたときにGがどう変化するか
金属を混合したときH(エンタルピー: enthalpy)S(エントロピー: entropy)がどう変化するか?
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混合のエントロピー(entropy of mixing)
S = k lnW
W:場合の数number of events
k: ボルツマン定数Boltzmann constant
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)lnln( BBAA xxxxRS +−=
混合のエントロピー:S
xA: A成分の組成比xB: B成分の組成比
xA + xB = 1
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演習1 1から5までの数を並べる場合の数を求めよ。
最初の数字の選び方は5通りつぎの数字の選び方は残りは4個であるから 4通りつぎの数字の選び方は3通り
結局5×4×3×2×1=120通り
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1×2×3×4×5=5!
階乗 (factorial)
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演習2 1から5までの数から3個を選んで並べる場合の数を求めよ。
最初の数字の選び方は5通りつぎの数字の選び方は4通り最後の数字の選び方は3通り
5×4×3=60通り
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演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる場合の数を求めよ。
まず6個の数字を並べる場合の数を考える。6!=720 通りしかし、この場合の数は1, 1, 1の3個を別の数字としてカウントしているその補正をする必要がある。
![Page 32: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/32.jpg)
演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる場合の数を求めよ。
6!=720 通り1, 1, 1の3個をダブルカウントしている数は3!通りよって求める場合の数は6!/3!=720/6=120 通りである。
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演習4 1,1,1,2,2,4の6個の数を並べる場合の数を求めよ。
6個の異なる数字を並べる場合の数は6! = 720 通り
ここで、1を3個、2を2個ダブルカウントしているから
6026
720!2!3
!6=
×= 通り
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演習5 1,1,1,2,2,2の6個の数を並べる場合の数を求めよ。
6個の異なる数字を並べる場合の数は6! = 720 通り
ここで、1を3個、2を3個ダブルカウントしているから
2066
720!3!3
!6=
×= 通り
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演習6 ○を4個、●を3個並べる場合の数を求めよ。
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○を4個、●を3個並べる場合の数
○○●●○●○
7個の異なる数字を並べる数を考える7! 通り○が4個 ●が3個重複してカウントしている
よって、求める答えは !3!4!7
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)123)(1234(1234567
!3!4!7
×××××××××××
=
35123567=
××××
= 通り
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演習7 ○をm個、●をn個並べる場合の数を求めよ。
○○●●○●○…….●○
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○をm個、●をn個並べる場合の数
○○●●○●○…….●○
(m + n)個の異なる数字を並べる数は
(m + n)! 通り
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(m + n)個の異なる数字を並べる数は(m + n)! 通りしかし、この場合○がm個 ●がn個分だけ重複してカウントしているよって、求める答えは
!!)!(
nmnm +
![Page 41: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/41.jpg)
○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○
●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●
m個 n個
○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○
![Page 42: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/42.jpg)
○○●○○○○○○●●○○
○○○○○○●○○○○○○
○○○○○○○○○●○○○
○○○●○○○○○○○○○
●●●●●●●●●●○●●
●●○○○○●●●●●●●
●●●●●●●○○●○○●
○○●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●
m個 n個
○○○○○○○○○○○○○
○○○○○●○○○○○○○
●●●●○○○○○●○○○
○○○○○○○○○○○○○
![Page 43: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/43.jpg)
2元合金において
A原子●をm個B原子○をn個
並べる場合の数
○○●●○●○●○○●●○○○○●●○●○
!!)!(
nmnm +
![Page 44: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/44.jpg)
2元合金において
A原子○をm個 B原子●をn個混合した時のエントロピー
!!)!(lnln
nmnmkWkS +
==
![Page 45: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/45.jpg)
スターリング近似(Stirling approximation)
NNNN −≅ ln!ln
![Page 46: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/46.jpg)
演習8 スターリング近似を用いて混合のエントロピーを計算せよ。
NNNN −≅ ln!ln
!!)!(lnln
nmnmkWkS +
==
![Page 47: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/47.jpg)
!!)!(lnln
nmnmkWkS +
==
}!ln!ln)!{ln( nmnmk −−+=
![Page 48: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/48.jpg)
nnmmnmnm
nmnm
lnln)ln()(
!ln!ln)!ln(
−−++=−−+
スターリング近似を使うと
![Page 49: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/49.jpg)
nknmkmnmnmkSlnln
)ln()(−−
++=
![Page 50: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/50.jpg)
{ })ln(ln)ln(ln nmnnnnmmmmkS +−++−−=
++
+−=
nmnn
nmmmkS lnln
![Page 51: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/51.jpg)
++
+−=
nmnn
nmmmkS lnln
演習9 つぎの式
)lnln( nnmm xxxxRS +−=
を変形して
という関係を導出せよ。ただし、xm, xnは組成比、Rは気体定数である。
![Page 52: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/52.jpg)
ここで1モルの合金を考える
m+n : アボガドロ数(6.02 x 1023)
++
+−=
nmnn
nmmmkS lnln
nmmxm +
=nm
nxn +=
![Page 53: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/53.jpg)
+++
+++−=
nmn
nmn
nmm
nmmnmkS lnln)(
++
+−=
nmnn
nmmmkS lnln
![Page 54: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/54.jpg)
+++
+++−=
32132132132143421
nnmm xxxxR
nmn
nmn
nmm
nmmnmkS lnln)(
)lnln( BBAA xxxxRS +−=
混合のエントロピー
R: 気体定数(gas constant)
![Page 55: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/55.jpg)
0 1
-S = x lnx + (1-x) ln(1-x)
![Page 56: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/56.jpg)
)lnln(3.8 BBAA xxxxS +−=
演習10 成分Aが1.0, 0.2, 0.5, 0.8, 0 の場合の1molあたりの混合のエントロピーを計算せよ。
)KJ/mol(0)0ln00.1ln0.1(3.8 ⋅=+−=S
)molJ/K(2.4)8.0ln8.02.0ln2.0(3.8 ⋅≅+−=S
)molJ/K(8.5)5.0ln5.05.0ln5.0(3.8 ⋅≅+−=S
)molJ/K(2.4)2.0ln2.08.0ln8.0(3.8 ⋅≅+−=S
)KJ/mol(0)0.1ln0.10ln0(3.8 ⋅=+−=S
![Page 57: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/57.jpg)
演習11 成分AとBが0.5ずつ混合した場合の1molあたりの混合のエントロピーの300Kにおける自由エネルギーへの寄与を計算せよ。
G = H –TS であるから、寄与は-TS
)molJ/K(8.5)5.0ln5.05.0ln5.0(3.8 ⋅≅+−=S
)J/K(1740)molJ/K(8.5)K(300 −=⋅×−=−TS
![Page 58: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/58.jpg)
G = H - TS
= H + T(-S)
自由エネルギーの求め方
![Page 59: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/59.jpg)
-TS
H
H-TS
![Page 60: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/60.jpg)
-TS
H G = H - TS
A B
元素Aと元素Bを混合したときのエンタルピーが減少する系では、合金ができる
状態図は非常に単純になる!
![Page 61: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/61.jpg)
0 1
H
-TS
混合エンタルピーが上に凸の系
HとSのバランスによって多種多様な状態が実現する!
![Page 62: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/62.jpg)
G
xA xB
![Page 63: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/63.jpg)
G
xA xB
液相
固相
高温
![Page 64: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/64.jpg)
G
xA xB
凝固がはじまる温度
![Page 65: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/65.jpg)
G
xA xB
固相となる温度
![Page 66: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/66.jpg)
スターリング近似(Stirling approximation)
NNNN −≅ ln!ln
![Page 67: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/67.jpg)
321)2)(1(! ⋅⋅⋅−−= NNNN
1ln2ln)1ln(ln!ln ++⋅⋅⋅+−+= NNN
cbaabc lnlnlnln ++=
![Page 68: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/68.jpg)
1ln2ln)1ln(ln!ln ++⋅⋅⋅+−+= NNN
N
lnN
01
1ln12ln11ln!ln ×+⋅⋅⋅+×+×= NN
![Page 69: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/69.jpg)
N
lnN
01
1ln12ln11ln!ln ×+⋅⋅⋅+×+×= NN
1
lnm
m
![Page 70: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/70.jpg)
dxxNN
∫≅ 1ln!ln
結局、階乗の値は
という積分で近似できる
![Page 71: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/71.jpg)
∫ −= xxxxdx lnln
自然対数の積分公式
![Page 72: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/72.jpg)
[ ]NNxxxdxxN 11
lnln!ln −=≅ ∫
1ln)11ln1(ln +−=−−−= NNNNNN
NNN −≅ ln
![Page 73: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/73.jpg)
)()( xgxf
)()()()())()(( xgxfxgxfxgxf ′+′=′
部分積分の復習
関数の積の微分
![Page 74: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/74.jpg)
)()()()())()(( xgxfxgxfxgxf ′+′=′
dxxgxfdxxgxfxgxf )()()()()()( ′+′= ∫∫
dxxgxfxgxfdxxgxf )()()()()()( ′−=′ ∫∫
部分積分の復習
両辺を積分すると
部分積分の公式
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xxxgxf ln)()( =
1ln1ln
)(lnln)()ln(
+=+=
′+′=′
xx
xx
xxxxxx
の場合を考える
![Page 76: 材料組織学 混合のエントロピーmoniko.s26.xrea.com/kougijouhou/2009/zairyousoshikigakuk...演習3 1,1,1,2,3,4の6個の数を並べる 場合の数を求めよ。まず6個の数字を並べる場合の数を](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022042100/5e7c172d93606460e76958b1/html5/thumbnails/76.jpg)
∫∫ ∫∫
+=
+=+=
xxdx
dxxdxdxxxx
ln
1ln)1(lnln
∫ −= xxxxdx lnln
自然対数の積分公式