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中学受験新演習　小 5上基本　算数　　指導のポイント

指導のねらい

①約数と公約数▼指導ページ　P5～ 12 ▼

例題１　約数とその求め方� 【基本Ａ１，２⑴】◎約数の意味を理解させ，落ちがないようにすべての約数を求められるように注意させる。◎約数は順に積で表していくと見つけやすくなる。

⑴　 20 の約数　　　　積の組

　 1 ，2 ，4 ，5 ，10 ，20 　←

※素数という用語は基本問題 1の中でも使われる。例題２　約数に関する問題� 【基本Ａ２⑵⑶，５，６】◎わる数はあまりより大きい数であることを再確認する。

例題３　公約数と最大公約数� 【基本Ａ３】◎公約数はそれぞれの約数を書き出し，その共通な約数として求められればよい。公約数が最大公約数の約数となることに気づかせたい。

1× 202 × 104 × 5

1 × 202 × 104 × 5

1

◎最大公約数の求め方として連除法を定着させたい。※最大公約数の見つけ方として差を利用する方法がある。（差の約数の中に最大公約数がある。）例　 1989 と 2006 の最大公約数を求めなさい。　 2006 － 1989 ＝ 17 　 1989 ÷ 17 ＝ 117　 2006 ÷ 17 ＝ 118 答　 17

例題４　最大公約数を使って解く問題� 【基本Ａ４，Ｂ１～３】◎文章題としては①数に関する問題，②何人かで分ける問題，③同じ大きさの正方形をつくる問題が代表的な問題となる。

　　　　　　割りきれる数に言い換える

↓（ミカン 80 個…4個不足）→（ミカン 84 個）80 ＋ 448 と 84 の最大公約数　→　 1212 の約数は｛1，2，3，4，6，12｝…

基本Ａ２◎約数をすべて求める場合，書き落としがないよう積の組を順に書き表すことをすすめたい。約数を求めるためのいわば『筆算』というべき位置づけをする。

⑴　 32 の約数をすべて求めよ��132��216��48 答　 1，2，4，8，16 ，32

⑵　 45 の約数のすべて��145��315��59 答　 1，3，5，9，15 ，45

⑶　 70をわると7あまる→70－7＝63をわるとわり切れる　　　　　　↓（7より大きい数）

��163��321��79 答　 9，21 ，63

基本Ａ３◎連除法の定着をはかる。公約数が最大公約数の約数となっていることに気づかせ利用させる。

⑴　 12 と 18 の公約数　　　↓　　 12 と 18 の最大公約数＝ 6 　←　　　↓（その約数）　　　 2× 3

6 の約数 ��16��23 答　 1，2，3，6

基本Ａ４◎最大公約数を利用する代表的問題の 1つである。⑴　子どもの最大人数は 24 と 32 の最大公約数

2）24 ，322 ）12 ，162 ） 6 ， 8　 3 ， 42 × 2 × 2 ＝ 8 答　 8人

チェックチェック

●連除法2）12 ，183 ） 6 ， 9　 2 ， 3

●連除法2）12 ，183 ） 6 ， 9　 2 ， 3

⑵　えんぴつ　 24 ÷ 8 ＝ 3 本　　消しゴム　 32 ÷ 8 ＝ 4 個

答　えんぴつ　 3本，　消しゴム　 4個基本Ｂ１⑴　正方形→たてと横の長さが等しい。→ 24 と 32 の最大公約数2）24 ，322 ）12 ，162 ） 6 ， 8　 3 ， 42 × 2 × 2 ＝ 8 答　 8 cm

⑵　たて　 24 ÷ 8 ＝ 3（まい）　　　横　 32 ÷ 8 ＝ 4（まい）　　 3× 4＝ 12（まい）

答　 12 まい基本Ｂ２◎ 3つの数の最大公約数を連除法で求めるとき，3つすべての数をわることができる数で行う。

　　 30 と 45 と 60 の公約数　　　↓　　 30 と 45 と 60 の最大公約数＝ 15　　　↓（その約数）　　　　　　 3× 5

15 の約数 ��115��35 答　 1，3，5，15

基本Ｂ３◎ぴったりわり切れる数として言いかえて考えられるよう「言いかえ」を強調する。　キャラメルが 4個たらない→ 50 ＋ 4 ＝ 54 個必要3）36 ，45 ，543 ）12 ，15 ，18　 4 ， 5 ， 6 子どもの人数 3× 3＝ 9（人）

　　チョコレート　 36 ÷ 9 ＝ 4（個）　　　　　　ガム　 45 ÷ 9 ＝ 5（個）答　子どもの人数（9人）　チョコレート（4個）　ガム（5個）

3）30 ，45 ，605 ）10 ，15 ，20　 2 ， 3 ， 4

3 ）30 ，45 ，605 ）10 ，15 ，20　 2 ， 3 ， 4

★約数・公約数・最大公約数の意味と求め方を知る。★約数・公約数・最大公約数を使って文章題を解く。

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指導のねらい

②倍数と公倍数▼指導ページ　P13 ～ 20 ▼

例題１　倍数とその求め方� 【基本Ａ１】◎倍数の意味を理解させ，倍数を使った 3つの応用パターンを通じ発展させる。◎ある整数を 1倍，2倍，3倍，…としていく数をその整数の倍数という。

《3つの応用パターン》①「○の倍数を小さい方から○つ書きなさい。」②「○～○までに，○の倍数はいくつありますか。」③「○に最も近い，○の倍数はいくつですか。」※○でわって○あまる数についても①～③までのパターンが考えられる。

例題２　倍数に関する問題� 【基本Ａ３，Ｂ１⑴⑶】◎もっとも小さい数は商が 0のときであることを理解させる。

例題３　公倍数と最小公倍数� 【基本Ａ２】◎公倍数，最小公倍数の意味とその求め方を定着させ

1★倍数，公倍数，最小公倍数の意味と求め方を知る。★倍数，公倍数，最小公倍数を使って文章題を解く。

る。最小公倍数の求め方では，次の①の求め方を基礎に②，③の方法に発展させることができる。

《最小公倍数の求め方》①書き出し法②連除法（すだれ算とも言われる）…第 1回①参照③差を利用した求め方

例題４　最小公倍数を使って解く問題� 【基本Ａ４，Ｂ１⑵，２，３】①長方形の紙をいくつか使って正方形をつくる問題②等間隔で発車するバスや電車の問題③整数の集まりに関する問題④「○でわると○あまる数」に関する問題　　以上の 4つの代表的な問題を解く中で，最小公倍数を利用することで問題を簡単に解くことができることを感じ取らせる。◎「5でわると 3あまる数」は「5でわると 2たりない数」といい換えられることは数値線を使って説明するとよい。

基本Ａ１　◎倍数の個数の求め方を定着させる。⑵　 100 ÷ 6 ＝ 16…4

6 の倍数の 16 番目＝ 16 × 6 ＝ 96　　　　　 17 番目＝ 17 × 6 ＝ 102100 に近いのは 102 答　 102

基本Ａ２　◎公倍数が最小公倍数を利用して求められることに気づかせることが重要である。

⑸　　　 16 と 20 の公倍数　　　　小さい方から 3番目　　 20 　 40 　 60 　 80 → 160 → 24016 　　　（順にわって確かめる）　　最小公倍数

答　 240　〔別解〕　連除法を用いる。

2× 2× 4× 5＝ 80　　　　　　　　最小公倍数小さい方から3番目　 80× 3＝ 240

基本Ａ４⑷　 6でわると 4あまる

10 でわると 2あまる

　次にあてはまる数は 6と 10 の最小公倍数ごとなので22 52 82　　　 30 　　　　　　 306 と 10 の最小公倍数

答　 22 ，52 ，82

●連除法

2 ） 8 10 4 5

2 ）16 20●連除法

2 ） 8 10 4 5

2 ）16 20

4 10 16

12

22 28

2 32

6 6 6

10 10 10 1042

6

22

4 10 16

12

22 28

2 32

6 6 6

10 10 10 1042

6

22

基本Ｂ１⑵　 3つの数の最小公倍数も連除法で求めることができる。

2× 2× 3× 4× 5＝ 240 最小公倍数　小さい方から 3番目　 240 × 3 ＝ 720 答　 720基本Ｂ２　◎できる正方形の 1辺が 12 の倍数でも 15 の倍数でもあることから，12 と 15 の最小公倍数を利用できることに気づかせる。⑴　できる正方形の 1辺→ 12 と 15 の最小公倍数

3× 4× 5＝ 60 答　 60cm　〔別解〕　大きな数の最小公倍数の求め方として，差を利用した（いわゆる差集め算の考え方）解き方がある。　 12 と 15 の最小公倍数　 15 － 12 ＝ 3 → 12 ÷ 3 ＝ 4 → 15 × 4 ＝ 60

15 15 15

12 12 121つ目の差3

2つ目の差6

15

12差が12になるのは12÷3＝4つ目

→

基本Ｂ３　◎Ｄに入る数が 8と 12 の公倍数であることに気づかせ，9と 12 の最小公倍数を利用して求める。

⑴　Ｄに入る数→ 8と 12 の公倍数最小公倍数は2× 2× 2× 3＝ 24200 ÷ 24 ＝ 8 …8

答　 8個

2 ） 6 8 10 3 4 5

2 ）12 16 202 ） 6 8 10 3 4 5

2 ）12 16 20

4 53 ）12 15 4 53 ）12 15

2 ） 4 6 2 3

2 ） 8 122 ） 4 6 2 3

2 ） 8 12

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指導のねらい

①通分と約分　分母がことなる分数のたし算・ひき算▼指導ページ　P21 ～ 28 ▼

例題１　大きさが等しい分数，約分�【基本Ａ１，５，Ｂ２】◎分数の性質を理解させることを通じ，大きさの等しい分数を作ることができ，約分することができるようにする。

　〈分数の性質〉　　分母と分子に同じ数をかけても，同じ数でわっても分数の大きさはかわらない。

× 2→＝→× 2

÷ 2→＝→÷ 2

2 4 2 13 6 4 2

例題２　分数の大小，通分� 【基本Ａ２】◎ 2つ以上の分数をその大きさをかえないで分母の等しい分数にそろえることを通分するという。

◎通分することで分数の大小関係を調べたり，分数と

2

分数の間にある分数を求めたりする（頻出）のにも利用できることに気づかせる。

例題３　分数と分数の間にある分数� 【基本Ａ３】2 ＜□＜ 3 通分→

8 ＜ □ ＜ 155 20 4 20 20 20分子を比べると□は 8より大きく 15 より小さい9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 約分できないのは 9 , 11 , 1320 20 20 20 20 20 20 20 20

例題４　分数のたし算とひき算� 【基本Ａ４，Ｂ１】◎通分することで分母の異なる分数のたし算，ひき算ができることを理解させる。◎分母の異なる分数のたし算，ひき算に習熟させる。答えの約分の必要を知らせる。

基本Ａ１◎既約分数（それ以上約分できない分数）という用語まで覚えさせる。約分が途中で終わらないよう注意させる。

⑶ ÷ 2→＝

÷ 3→＝÷ 6

30 15 5 30 10 5＝ 536 18 6 36 12 6 6

↑

　　　　　　　　既約分数⑺ 39 3 3 ⑻ 51 3 3

65 5 5 68 4 4

基本Ａ２⑴ ③ ② ①

1， 3， 7 通分→4， 6， 7←分子で比べる2 4 8 8 8 8

答 7 ， 3 ， 18 4 2基本Ａ３◎不等号を使った表し方に慣れさせるとよい。⑴ 1＜□＜ 1 通分→

5 ＜□＜ 88 40 5 40 40 40

分子を比べ 6 ， 740 40↑

　　　（約分できる）

答 740

基本Ａ４◎通分し分母が同じ分数に直し分子をたしたり，ひいたりする。通分するときは，分母の最小公倍数を使うよう注意させる。

⑵ 2 5 ＋ 3 2 ＝ 2 15 ＋ 3 4 ＝ 5 19 ＝ 6 16 9 18 18 18 18　　　��

最小公倍数は 18

答 6 118

⑽ 4 1 － 2 3 ＝ 4 5 － 2 21 ＝ 3 40 － 2 21 ＝ 1 197 5 35 35 35 35 35　　　��

最小公倍数は 35

答 1 1935

基本Ｂ１　◎ 3つの分数の分母にすべて同じ数で通分する。

⑶　 34 ＋ 212 － 1

13 ＝

912 ＋ 2

612 － 1

412

　　　　　　　　＝ 2 1512 － 1412 ＝ 1

1112

答　　　

⑸　 2 13 －（1 34 － 16 ）＝ 2 412 －（1 912 － 212 ）　　　　　　　　　＝ 2 412 － 1

712

　　　　　　　　　＝ 1 1612 － 1712 ＝

912 ＝

34

答　　　

練習Ｂ２

⑴　 58 は分母と分子の和が 13 なので　　 65 ÷ 13 ＝ 5　　より 5で約分すると

58 になる数

　　 5× 58 × 5 ＝2540

答　　　

⑶　 88113 の分母，分子の差は 113 － 88 ＝ 25　　よって約分する前の分数も分母と分子の差は 25

　　 34 は分母と分子の差が 4－ 3＝ 1より　　 25 ÷ 1 ＝ 25

　　 3× 254 × 25 ＝75100 ＝

88 －⑬113 －⑬

答　 13

1 111211112

3434

25402540

★分数の通分・約分の意味とその方法を理解する。★分母の異なる分数のたし算，ひき算をする。

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指導のねらい

②分数×整数・分数÷整数・分数と小数▼指導ページ　P29 ～ 36 ▼

例題１　分数×整数� 【基本Ａ１⑴⑵，２，Ｂ１⑴，３⑴】◎図を援用し，直感的にかける数は分子に，わる数は分母にかけると考えられるよう指導する。

⑴ 3 × 3（ 1が（3× 3）個）＝ 3× 3＝ 94 4 4 4

　　　　　かける数は分子にかける例題２　分数÷整数� 【基本Ａ１⑶⑷，３，Ｂ１⑵，２，３⑵】◎いろいろな説明のしかたがある。テキストの説明例をふまえながら，わり算をかけ算に直して処理できるようにしたい。（第 3回で分数どうしのかけ算・わり算が登場する。）

⑴ 3 ÷ 2（ →÷2

1 が 3 個）＝ 3 ＝ 35 5 × 2 5 × 2 10

　　　　　　わる数は分母にかける

2

例題３　分数と小数の関係� 【基本Ａ４】◎分数→小数は，分子÷分母。◎小数→分数は，分母を 10 ，100…に直す。例題４　分数と小数のたし算・ひき算� 【基本Ａ５，６】◎分数と小数が混ざったたし算やひき算は，式をたててからどちらかに統一して計算するようにする。0.75 を分数にする。

0.75 ＝ 75 ＝ 3100 4　　

100 にする　約分

1 1 － 0.75 ＝ 4 － 3 ＝ 16 － 19 ＝ 73 3 4 12 12 12

　�� 式をたてる式をたてる

基本Ａ２◎「かける数は分子に，わる数は分母にかける」と表現できるようにする。

⑴　 18 ℓずつ 7日間

1× 7＝ 7 答 7ℓ8 8 8

⑵　 1 112 kg が 1mで，これを 6m分。

1 1 × 6 ＝ 13 × 6 ＝ 13 × 61＝ 13 ＝ 6 112 12 12 2 2 2

答 6 1 kg2基本Ａ３

⑴　 56 mを 3人に等しく分ける

5÷ 3＝ 5 ＝ 5 答 5 m6 6 × 3 18 18

⑶　 4 27 mを 15 人に等しく分ける

4 2 ÷ 15 ＝ 30 ÷ 15 ＝ 302 ＝ 2 答 2 m7 7 7 × 151 7 7

基本Ａ６⑴　ひかる君＋弟の式をたてる

2 ＋ 0.6 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 10 ＋ 9 ＝ 19 ＝ 1 43 3 5 15 15 15 15

答 1 4 ℓ15⑵　（元の長さ）－（使った長さ）の式をたてる

2 2 － 0.5 ＝ 20 － 1 ＝ 40 － 9 ＝ 31 ＝ 1 139 9 2 18 18 18 18

答 1 13 m18

●ポイント●ＢＡ×Ｃ＝

Ｂ×ＣＡ

ＢＡ÷Ｃ＝

ＢＡ×Ｃ

●ポイント●ＢＡ×Ｃ＝

Ｂ×ＣＡ

ＢＡ÷Ｃ＝

ＢＡ×Ｃ

基本Ｂ１

⑴　 38 ℓが 12 本あるので

3 × 12 ＝ 3 × 123＝ 9 ＝ 4 12 答 4 12 ℓ8 8 2 2

⑵　全部で 92 ℓだから，5人で等しく分けると

9÷ 5＝ 9 ＝ 9 答 9 ℓ2 2 × 5 10 10

基本Ｂ２⑴　三角形の面積＝底辺×高さ÷ 2

8 112 × 8 ÷ 2 ＝9712 × 8 ÷ 2

　　　　　　＝ 97 × 82113 2 × 21 ＝

973 ＝ 32

13

答　　　　　⑵　底辺＝三角形の面積× 2÷高さ

11 19 × 2 ÷ 8 ＝1009 × 2 ÷ 8

　　　　　　＝ 125 00 × 219 × 82 11＝

259 ＝ 2

79

答　　　　　

基本Ｂ３⑴　 1日に 5 16 kg なので，7日間では

5 16 × 7 ＝316 × 7 ＝

2176 ＝ 36

16

答　　　　

⑵　 3ふくろと 1 512 kg で 3616 kg なので 3ふくろだけだと

　　 36 16 － 1512 ＝ 36

212 － 1

512 ＝ 35

1412 － 1

512

　　　　　　　　＝ 34 912 ＝ 3434

よって 1ふくろは

34 34 ÷ 3 ＝1394 × 3 ＝

13912 ＝ 11

712

答　　　　　

32 13 cm232 13 cm2

2 79 cm22 79 cm2

36 16 kg36 16 kg

11 712 kg11 712 kg

★分数を小数に，小数を分数にする。★分数と小数のたし算，ひき算をする。

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①分数×分数・分数÷分数▼指導ページ　P37 ～ 44 ▼

例題１　分数×分数，整数×分数� 【基本Ａ１】◎例題では計算からではなく文章題から導入している。逆に計算の方法を学習してから，文章題に入るというすすめ方をとってもよい。例1× 3＝ 1× 3＝ 32 5 2 × 5 10

35

12

●分数のかけ算分母どうし，分子どうしをかける。b×d＝ b× da c a × c

⑴　 1ℓが 13 kg で，25 ℓあるから，

1 kg × 2 ℓ＝ 1× 2＝ 2 答 2 ℓ3 5 3 × 5 15 15

3★倍分数と小数の関係を確認し，分数を小数に，小数を分数に直す。★分数と分数のかけ算，わり算をする。

例題２　分数÷分数，整数÷分数� 【基本Ａ２】例 1

⌒2÷ 3＝ 2÷ 3× 3× 75 7 5 7 7 31

＝ 2 × 75 3

●分数のわり算割る数の分母と分子を逆にしてかける。b÷d＝ b× ca c a d

⑴ 34 倍

3 ℓ→ 2 kg 34 倍4 3

1 ℓ→□kg2 ÷ 3 ＝ 2 × 4 ＝ 8 答 8 kg3 4 3 × 3 9 9

例題３　いろいろな分数の計算� 【基本３，４，練習１～３】◎ 3つ以上の乗除，四則混合計算の計算力をつける。例題４　分数と小数のかけ算・わり算� 【基本５】◎等しい小数と分数の関係を覚えさせるとよい。

⌒⌒

一方が 34 倍なら，もう一

方も 34 倍になる。

一方が 34 倍なら，もう一

方も 34 倍になる。

基本Ａ１⑴ 1

6 倍1 分 2 ℓ 1

6 倍1 分 5 ℓ 2 × 1 ＝ 16 □ 5 6 15

答 1 ℓ15⑵ 5

8 倍1 cm3 100 g 5

8 倍5 cm3 □ g8

100 × 5 ＝ 125 ＝ 62 128 2

答 62 12 g

基本Ａ２⑴ 5

6 倍5 m 7 kg 6

5 倍6m

12kg1 □

　　 712 ÷56 ＝

712 ×

56 ＝

710

答 7 kg10⑶ 5

7 倍5 dl 3 m2 7

5 倍71 dl □m2

3 ÷ 5 ＝ 3 × 7 ＝ 3 × 7＝ 21 ＝ 4 15 答 4 15 m27 5 5 5基本Ａ３⑴

2 13 倍1 dl 15 m2

2 13 倍2 1 dl □ m23

15 × 2 1 ＝ 15 × 7 ＝ 15 × 7 ＝ 353 3 3 答　 35m2⑶　面積を聞かれているので，図をかいて説明した方がわかりやすい。

169　 cm

3113　 cm

面積＝たて×横

9 1 × 3 3 ＝ 55 × 36 ＝ 306 11 6 × 11

答　 30cm2

基本Ｂ１◎いろいろな分数の計算の習熟をはかる。

⑴　帯分数は仮分数に，わり算はかけ算に直す。

　 33 13 ÷ 229 ÷ 2

12 ＝1003 ÷

209 ＝

52 ＝100 × 9 × 23 × 20 × 5 ＝ 6

答　 6基本Ｂ２

⑴　 1415 ×○□　

712 ×

○□とすると○は 15 と 12 の公倍数，

□は 14 と 7 の公約数でないといけない。　もっとも小さい分数⇒○は最小公倍数　　　　　　　　　　　□は最大公約数　○＝ 60 ⇐　　　　　　　□＝ 7 ⇐

　　 607 ＝ 847

答　　　基本Ｂ３

⑴　 4 38 ＝358 ，2

112 ＝

2512 より

　　A＝ 35 と 25 の最大公約数⇒ 5　　B＝ 8と 12 の最小公倍数⇒ 24

　　BA＝245 ＝ 4

45

答　　　

⑵　C÷ 358 ＝C× 835 ，C÷

2512 ＝

C× 1225

　　よってCは 35 と 25 の最小公倍数ならよい。　　　　　　　　　　 5× 7× 5＝ 175

答　 175

5 43 ）15 12 5 43 ）15 12

2 17 ）14 7 2 17 ）14 7

8 47847

4 45445

7 55 ）35 25 7 55 ）35 25

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②表と柱状グラフ▼指導ページ　P45 ～ 52 ▼

3

大小を読みとることができるが，ここでは表の読みとりと平均の考え方に主眼をおいている。◎表外の空白への書き込みにより処理力が高められることは指摘しておくとよい。

⑴ ⋮10 1 3 1 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 11 ＋ 5 ＋ 4 ＝ 30 人1 3 6 11 5 4 ←書き込む

例題３　柱状グラフと度数分布表� 【基本Ａ５，Ｂ２】◎一定の幅で区切り，あることがらの分布の状態を棒状のグラフで表したものを柱状グラフ，表で表したものを度数分布表という。◎以上，未満，～から何番目の表現に注意させる。

基本Ａ２◎ 2つの数量の和と差がわかれば 2つの数量を求めることができるという直感が必要とされる。

⑴　 4さつと 5さつの人数の和は　　 40 －（4＋ 6＋ 8＋ 13）＝ 40 － 31 ＝ 9（人）　　その差は 3人（4さつの人数→ 5さつの人数）　　 4さつの人数　（9＋ 3）÷ 2＝ 6人　　 5さつの人数　（9－ 3）÷ 2＝ 3人答　 4さつ　 6人　 5さつ　 3人⑵　全員の合計さつ数は　　 0× 4＋ 1× 6＋ 2× 8＋ 3× 13 ＋ 4 × 6 ＋ 5 × 3　　＝ 0＋ 6＋ 16 ＋ 39 ＋ 24 ＋ 15 ＝ 100　　よって平均は 100 ÷ 40 ＝ 2.5 答　 2.5 さつ基本Ａ４◎欄外のスペースをうまく利用させる。⑴ 50 1 1 2

2 6 14 15 9 42 ＋ 6 ＋ 14 ＋ 15 ＋ 9 ＋ 4 ＝ 50

答　 50 人⑵　国語が 30 点の人数は　 1＋ 3＋ 8＋ 5＋ 1＝ 18その算数の合計点は　　1×10＋3×20＋8×30＋5×40＋1×50＝560その算数の平均点は 560 ÷ 18 ＝ 31.11… 答　 31.1 点

⑶ 0 10 20 30両方が 20 点以下2＋ 5＋ 10 ＝ 17

答　 17 人

0 1 2 110 1 2 5 120 1 4 330 1 3 8

基本Ａ５◎柱状グラフの下欄に人数を書き入れる。⑴　 7＋□＋ 11 ＋ 9 ＋ 3 ＝ 40（人）なので　　□＝ 40 － 30 ＝ 10 答　 10 人⑵　 135cm未満の人は 7＋ 10 ＝ 17（人）　　 140cm未満の人は 7＋ 10 ＋ 11 ＝ 28（人）なので　　 18 番目から 28 番目まで　↖ 17 番目ではない答　 18 番目から 28 番目まで

基本Ｂ１◎（平均）×（人数）＝（合計）を利用する。⑴　算数と国語の合計点　 83 × 2 ＝ 166 点

算数国語 } 166点

1点

①

78

　算数は（166 － 1）÷（1＋ 78 ）＝ 88 答　 88 点⑵　〔別解〕　姉と妹の合計　 22.5 × 2 ＝ 45 個　　姉を 4とすると

姉妹 } 45個

1個⑦

④

　　①あたり　（45 － 1）÷（4＋ 7）＝ 44 ÷ 11 ＝ 4　　姉は　 4× 7＋ 1＝ 29 答　 29 個基本Ｂ２⑶　 30m以上 35m未満…3人　　 25m以上 30m未満…6人→ 9番目まで　　 20m以上 25m未満…11 人→ 26 番目まで　　よってあおいさんは 20m以上 25m未満答　 20m以上 25m未満

例題１　平均を求める� 【基本Ａ１～３，Ｂ１】◎ここでは平均算と和差算，分配算，割合との融合問題を扱う。

⑴　表から 2点と 3点の人数の和は35 －（3＋ 4＋ 6＋ 2）＝ 35 － 15 ＝ 20（人）差は 4人なので，和差算から 3点の人数は（20 ＋ 4）÷ 2＝ 12（人）（2点の人数＝ 20 － 12 ＝ 8 人）

⑵　平均点＝（点数の合計）÷人数　　　　　　↓0×3＋1×4＋2×8＋3×12＋4×6＋5×2＝90（点）90 ÷ 35 ＝ 25.7…　→　 2.6 点

例題２　相関図を読みとる� 【基本Ａ４】◎例題 2のような 2つのことがらをまとめた表を相関表という。数の分布により 2つのことがらの関係の

★平均の考え方を理解し平均の問題を解く。★相関表，柱状グラフ，度数分布表を読み，問題を解く。

授

業

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開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

①周期算の利用▼指導ページ　P53 ～ 60 ▼

例題１　記号の列の周期算� 【基本Ａ１，２，４，Ｂ２】◎周期（規則的な変化）を見つけ，その繰り返しの回数やあまりを考えることで問題が解けてしまうことの快感を味合わせたい。○○×○○××○○×○○××○○×……「あるきまり」とは　→　○

1

○2

×3

○4

○5

×6

×7

　　　　　　　　　　　 7個の繰り返し＝周期⑴　 60 番目は

60 ÷ 7 ＝ 8…4 　→　○1

○2

×3

○4

答　○※周期という用語を定着させること。

例題２　数字の列の周期算� 【基本Ａ３，５，Ｂ１】◎数の列の問題で同じ数が多く並ぶような場合，目移りして周期が求めにくいことがある。このようなとき，どこに目を付けるとがよいか考えさせるとよい。

4★繰り返される周期を見つけ，周期算を解く。★曜日に関する問題を周期を利用して解く。

　　　　　　　　　　　　　　　　周期 4　　　　　　　　　　　　　　　��1 3 1 1│1 3 1 1│1 3 1 1│1 3 …周期は {1311} の 4 個　　　　 3に目を付ける↗

例題３　曜日を調べる� 【基本Ａ６，Ｂ３】◎ 1週間が 7日であること，平年が 365 日，うるう年が 366 日，小の月は「2，4，6，9，11 月」であることを確実に覚えさせることが重要となる。◎「一年が約 365.2422 日であることから，4年に 1回のうるう年（さらに 400 年に 1回平年にもどす）が決められた」ことに余裕があれば触れておきたい。

基本Ａ１◎全部の黒石の数が　（1つの周期中の黒石の数）×（周期の回数）　をもとに求められることに注意させる。⑴　○●●●○○│○●●●○○│○●…��

　　　周期 6　　周期の回数　 60 ÷ 6 ＝ 10 回ちょうど

答　白⑵　周期の中に黒石は 3個全部で 3× 10 ＝ 30 個

答　 30 個基本Ａ３◎数の和が（1つの周期の数の和）×（周期の回数）をもとに求められることを利用させる。

⑶　 20 番目までの数字の和　　 1つの周期の数の和　　　 3＋ 6＋ 3＋ 6＋ 6＋ 9＝ 33　　 20 番目までに周期は 20 ÷ 6 ＝ 3 回…2

↓　｛363669｝｛363669｝｛3…9｝3，6　　　 ①　　　　　②　　　③20 番目までの和　 33 × 3 ＋（3＋ 6）＝ 108 答　 108

基本Ａ６◎月の日数を正確に覚えられるように指導する。

●ポイント●小の月の覚え方『西向くさむらい（士）小の月』24₆₉　 11

⑴　 10 月は 31 日　 11 月は 30 日まで10 月…31 － 9 － 22 日より10/10 ～ 12/31 まで　 22 ＋ 30 ＋ 31 ＝ 83 日周期は　 83 ÷ 7 ＝ 11…6あまり 6から　土

1

日2

月3

火4

水5

木6

答　木曜日⑵　 7月…31 － 6 － 25 日　 10 月…10 日より

25 ＋ 31 ＋ 30 ＋ 10 ＝ 96 日96 ÷ 7 ＝ 13…5あまり 5から　火

5

水4

木3

金2

土1

答　火曜日基本Ｂ１⑴　 8÷ 13 ＝ 0. │ 615384 │ 615384 │ 61…　　　　　　��

　　　　　　　　周期 6　　 100 ÷ 6 ＝ 16…4　　…│ 615384 │ 6153 答　 3基本Ｂ２⑵　 1つの周期にBは 2つ　　周期の回数　 100 ÷ 5 ＝ 20 回　　全体で　 2× 20 ＝ 40 答　 40 個基本Ｂ３　次の年の 6月 25 日まで　 365 ＋ 1 より　　 366 ÷ 7 ＝ 52…2　あまり 2より　水

1

木2

　次の年の 6月 25 日は木曜日

6 月（30 日）　 30 － 24 ＝ 6 日 7 月（31 日）　　　　　 31 日 8 月　　　　　　　　 25 日

��

計 62 日

62 ÷ 7 ＝ 8… 6 →木1

金2

土3

日4

月5

火6

答　火曜日

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指導のねらい

②植木算の利用▼指導ページ　P61 ～ 68 ▼

例題１　まっすぐに木を植える植木算�【基本Ａ１，Ｂ２】◎まっすぐに木を植える植木算には下のような 3つのパターンがある。1本の木と 1つの間かくを対応させる。図を書くことで関係がつかみやすくなる。① ② ③

①　両はしにも木を植えるとき，間の数＝木の数－1②　両はしをのぞき木を植えるとき，間の数＝木の数＋1③　片はしをのぞき木を植えるとき，間の数＝木の数

⑴10 10 1010m

間の数は 5－ 1＝ 4はしからはしまで 10 × 4 ＝ 40

答　 40m

4★植木算のいくつかのパターンを理解し，植木算を解く★テープののりしろを考えて，植木算や周期算を利用して解く

例題２　まるく木を植える植木算� 【基本Ａ２，Ｂ１】◎まるく木を植える場合と同様，直線で囲まれた平面の周りに木を植える場合にも同じ関係が成り立つ。まるく木を植えるとき　間の数＝木の数

例題３　テープをつなぐ� 【基本Ａ３，Ｂ３】◎植木算の考え方，周期算の考え方どちらも使いこなせるようにする。問題により使いやすさが異なる。

⑴　テープ 4本の長さ－のりしろの合計12 × 4 － 3 ×（4－ 1）＝ 39（cm）答　 39cm

⑵のりしろの合計は12 × 10 － 84 ＝ 36cmのりしろの数は10 － 1 ＝ 9（か所）1つののりしろの長さは 36 ÷ 9 ＝ 4（cm）答　 4cm

●ポイント●のりしろの数は（テープの本数）－ 1

●ポイント●のりしろの数は（テープの本数）－ 1

基本Ａ１◎木の数と間の数の関係を手の指の数と指の間の数におきかえて考えるとわかりやすい。

⑴　間の数は，木の数－ 1　 6×（12 － 1）＝ 6× 11 ＝ 66

答　 66 ｍ⑶　間の数は，くいの数－ 1　 110 ÷（11 － 1）＝ 110 ÷ 10 ＝ 11

答　 11 ｍ⑸　間の数は，生徒より 1か所多い　 90 ÷（9＋ 1）＝ 90 ÷ 10 ＝ 9

答　 9ｍ基本Ａ２◎まるく植える場合は指をまるくして考える。⑴　間の数＝木の数

10 × 21 ＝ 210 答　 210 ｍ⑶　間の数＝木の数

30 ÷ 5 ＝ 6 答　 6ｍ基本Ａ３◎文章題を苦手とする子は想像力に欠けている。欠けているというより，想像することに慣れていない。ねばり強く「実際のようすを思いえがく」よう繰り返しはたらきかけたい。実際のようすを思いえがき，図で表すことをくり返すことのたいせつさを説きたい。

⑴　のりしろの数は 10 － 1 ＝ 9（か所）のりしろのぶんだけテープは短くなっているから　 12 × 10 － 2 × 9 ＝ 102

答　 102cm⑶　短くなった長さは　 120 － 75 ＝ 45（cm）のりしろは 9か所あるのでのりしろは　 45 ÷ 9 ＝ 5（cm）

答　 5cm

基本Ｂ１◎四角てもまるくても間の数＝木の数⑴　まわりの長さは　（30 ＋ 40）× 2＝ 70 × 2 ＝ 140（ｍ）間の数は　 140 ÷ 5 ＝ 28木の数は間の数に等しいので 28 本

答　 28 本⑵　 5ｍ＝ 500cm間の数は　 500 ÷ 50 ＝ 10（こ）

くいの数は　 10 － 1 ＝ 9（本）全部で　 9× 28 ＝ 252

答　 252 本練習Ｂ２⑴　木の数＝間の数＋ 1　　間の数は　 180 ÷ 36 ＝ 5　　木の数は間の数より 1つ多いので 6本答　 6本⑵　ウメとウメの間にユリは 3本植えてあるので　　合計は　 3× 5＝ 15 答　 15 本練習Ｂ３◎横の長さだけで考えるとよい。周期の考え方を用いてもよい。

⑴　横の長さ　 17 × 9 ＋ 20 ＝ 173（cm）　　面積　　　 173 × 4 ＝ 692 答　 692cm2⑵　 1440 ÷ 4 ＝ 360…横の長さ　　（360 － 20）÷ 17 ＋ 1 ＝ 20 ＋ 1 ＝ 21 答　 21 まい

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指導のねらい

第 1 回～第 4回のまとめ▼指導ページ　P69 ～ 74 ▼

1　第 1回～第 4回の学習内容の確認第 1回　①約数と公約数　②倍数と公倍数第 2回　①通分と約分　分母がことなる分数のたし算・ひき算　②分数×整数・分数÷整数・分数と小数第 3回①分数×分数・分数÷分数②表と柱状グラフ第 4回①周期算の利用②植木算の利用

5★第 1回～第 4回の学習内容の定着。★月例テストの準備・対策。

2　学習回の内容と基本問題，練習問題との対応第 1回①基本問題Ａ１基本問題Ｂ１②基本問題Ａ２基本問題Ｂ２第 2回①基本問題Ａ３，４，６基本問題Ｂ３②基本問題Ａ５，７第 3回①基本問題Ｂ４②基本問題Ａ８基本問題Ｂ５第 4回①基本問題Ａ９基本問題Ｂ６②基本問題Ａ 10

基本Ａ７⑴

÷ 32 256 cm3 32 25 kg 32 25 倍□cm3 □kg

6 ÷ 32 2 ＝ 6 ÷ 162 ＝ 6 × 5 ＝ 55 5 162 27

答 5 cm327基本Ａ８⑴　 2点の人と 3点の人の和は　 50 －（3＋ 7＋ 8＋ 4）＝ 28（人）2点の人と3点の人の差は2より（2点の人＞3点の人）2点の人…（28 ＋ 2）÷ 2＝ 15（人）3点の人…（28 － 2）÷ 2＝ 13（人）

答　 2点　 15 人，3点　 13 人⑵　 50 人の合計点数は

0× 3＋ 1× 7＋ 2× 15 ＋ 3 × 13 ＋ 4 × 8＋ 5× 4＝ 0 ＋ 7 ＋ 30 ＋ 39 ＋ 32 ＋ 20 ＝ 128（点）平均は 128 ÷ 50 ＝ 2.56

答　 2.6 点基本Ａ９⑶　│ 1411421 │ 1411421 │…��

　　　　周期 7　　 50 番目までに周期は 50 ÷ 7 ＝ 7（週）… 1

…│ 1411421 │ 1　　��

　　　周期の和は 14 より14 × 7 ＋ 1 ＝ 99

答　 99基本 10⑵　周期の考え方を使うと

2m＝ 200cm（200 － 12）÷ 9＋ 1＝ 21.8…よって 22 本で 2mをこえる

答　 22 本以上

基本Ｂ２⑴　Ｄは 5の倍数でもあり，3の倍数でもある数⇒ 5と 3の公倍数5と 3の最小公倍数は 15 なので　 300 ÷ 15 ＝ 20

答　 20 個⑵　Ｂ…300 ÷ 5 ＝ 60（個）Ｃ…300 ÷ 3 ＝ 100（個）ＢとＣどちらにもある数が 20 個あるので　 300 －（60 ＋ 100 － 20）＝ 160

答　 160 個基本Ｂ５⑴ 5 1 2 3

3 6 13 □ 9 5算数が 3点だったのは　 50 －（3＋ 6＋ 13 ＋ 9 ＋ 5）＝ 14㋐＋㋑＝ 14 －（2＋ 3＋ 1）＝ 8㋐と㋑の差は 2より（㋐＞㋑）㋐…（8＋ 2）÷ 2＝ 5㋑…（8－ 2）÷ 2＝ 3

答　㋐　 5，㋑　 3⑵　 50 人の算数の合計点数は

3× 0＋ 6× 1＋ 13× 2＋ 14× 3＋ 9× 4＋ 5× 5＝ 0 ＋ 6＋ 26 ＋ 42 ＋ 36 ＋ 25 ＝ 135平均は 135 ÷ 50 ＝ 2.7

答　 2.7 点⑷　国語の平均点は 2.6 点なので算数と国語どちらも 3点以上の人7 ㋐ 1 3 ＋ 3 ＋ 1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ 2 ＋ 1 ＋

1＋ 3＝ 20

答　 20 人

2 ㋑ 3 2 11 3 4 1

1 2 3

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指導のねらい

①多角形の性質▼指導ページ　P75 ～ 82 ▼

例題１　多角形の対角線の数� 【基本Ａ１】◎多角形の対角線の公式を理解させ，利用できるようにする。●ポイント●（Ｎ角形の対角線の本数）　（Ｎ－ 3）×Ｎ÷ 2

（考え方）① 1つの頂点から（Ｎ－ 3）本　　　　②Ｎ個の頂点から（Ｎ－ 3）×Ｎ本　　　　③重なりがあるので 2でわる例題２　多角形の内角の和� 【基本Ａ，Ｂ１⑴⑵】例題３　正多角形の内角の和と外角� 【基本Ａ３，Ｂ１⑶～⑹】◎多角形の内角，内角の和の公式を理解させる。●ポイント●（Ｎ角形の内角の和）　 180 ×（Ｎ－ 2）

◎正多角形でその内角，外角を知り，1つの内角，外角の大きさを求められるように

×

××

○ ○

○○ …

×

××

○ ○

○○ …

× ×

○ ○

○○

三角形が（Ｎ－2）個できる

× ×

○ ○

○○

三角形が（Ｎ－2）個できる

6

する。問題では，正多角形に限定しているので，多角形の外角の和の公式を知らなくても解くことができる。●ポイント●（Ｎ角形の外角の和）　常に 360 度　（外角の和＝ 180 ×Ｎ－ 180 ×（Ｎ－ 2）＝ 360 度

例題４　いろいろな多角形の角� 【基本Ａ４，Ｂ２】◎ 4年で学習した三角形の外角定理や，角の移しかえを用いて，いろいろな多角形を多角形や三角形の集合に直すことで求められるようにする。角の移しかえの 2原則

a＋b→c

①外角定理 ②チョウチョウ型a＋b↓c＋d

a ab bc c

d

基本Ａ１◎多角形の対角線の本数と内角の和の公式を定着させる。⑶　八角形の対角線の本数（8－ 3）× 8÷ 2＝ 5× 8÷ 2＝ 20� 答　 20 本

基本Ａ２⑶　七角形の内角の和

180 ×（7－ 2）＝ 180 × 5 ＝ 900� 答　 900 度

基本Ａ３◎多角形の内角の和や外角の和の公式の定着と公式の応用につとめる。

⑵　正八角形の 1つの内角の大きさ　　（八角形の内角の和）÷ 8＝ 180 ×（8－ 2）÷ 8　　＝ 180 × 6 ÷ 8 ＝ 1080 ÷ 8 ＝ 135°　　 180 －（多角形の外角の和）÷ 8＝ 180 － 360 ÷ 8　　＝ 180 － 45 ＝ 135� 答　 135 度⑻　正十角形の 1つの外角の大きさ　　（多角形の外角の和）÷ 10 ＝ 360 ÷ 10 ＝ 36� 答　 36 度基本Ａ４◎角の移しかえの考え方を利用した解き方を定着させたい。A H

B

C

G

F

チョウチョウ型の角の移しかえD E

四角形＝ 360 度

答　 360 度

●ポイント●（Ｎ－ 3）×Ｎ÷ 2●ポイント●（Ｎ－ 3）×Ｎ÷ 2

●ポイント●180 ×（Ｎ－ 2）●ポイント●180 ×（Ｎ－ 2）

基本B１◎多角形の内角の和の公式を用いて，内角の和から多角形の形や 1つの内角の大きさを求められるようにする。

⑵　Ｎ角形の内角の和の公式 �180×（N－ 2）�を利用すると　　　 180 ×（□－ 2）＝ 1620　　　□－ 2＝ 1620 ÷ 180 ＝ 9　　　□＝ 9＋ 2＝ 11� 答　十一角形⑶　まず何角形かを求めると　　 180 ×（□－ 2）＝ 2520　　□－ 2＝ 2520 ÷ 180 ＝ 14　　□＝ 14 ＋ 2 ＝十六角形　　 1つの内角は 2520 ÷ 16 ＝ 157.5� 答　 157.5 度⑹　まず何角形かを求めると　　　 360 ÷ 15 ＝二十四角形　　 1つの内角の大きさは　　　 180 － 15 ＝ 165　　　 165 × 24 ＝ 3960� 答　 3960 度基本B２◎正六角形を対角線でわけると 6個の正三角形になることを直感できるようにしたい。

⑴　xは 60°答　 60 度

⑵　yは 3cm

答　 3cm

x

y

すべて正三角形

x

y

すべて正三角形

★多角形・内角・外角の意味を理解し，その大きさを求める。★多角形の内角の和，外角の和の公式を理解し，利用する。

授

業

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例

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問

題

の

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説

例


指導のねらい

②面積のいろいろな求め方▼指導ページ　P83 ～ 90 ▼

例題１　ひし形と正方形の面積◎面積の公式はすべて確認しておきたい。とくに台形やひし形は忘れやすいので注意が必要。

例題２　いろいろな多角形の面積� 【基本Ａ１，Ｂ１⑴】◎多角形を面積がわかる三角形や四角形にわけたりして，その面積を求める。面積がわかるかどうかは，まだ計算していなくても，面積公式にあてはまる長さがわかるかどうかで判断し，わけ方を決めてから計算することが重要となる。

⑴　三角形の面積は底辺と高さがわかれば求められる。　底辺と高さがわかるわけ方は，

15cm

20cm

24cm

7cm①

②

① 15 × 20 ÷ 2 ＝ 150② 24 × 7 ÷ 2 ＝ 84　 150 ＋ 84 ＝ 234

6★多角形をわけたり，ひいたり，まとめたりして求める。★面積公式と逆算を利用して，辺の長さを求める。

例題３　面積から辺の長さを求める� 【基本Ａ３～５，Ｂ２】◎台形の面積公式は学校でふれていない場合もあるので注意する。基本となる面積公式をチェックしておく。◎導入段階では，逆算についても，ていねいに説明しておくとよい。

例題４　高さの同じ三角形をまとめる�【基本Ａ２，Ｂ１⑵～⑷】◎等積変形の応用である。確認しておこう。

《等積変形》《ノコギリ山→三角山》← →

平行

←

←高さが等しい→面積が等しい

面積が等しい

↓

★適当な名前をつけることで印象が強まり定着しやすくなる。各自工夫したい。

基本Ａ２◎図を描き色わけしながら説明するとよい。⑵

5cm

5cm

14cm　　色をぬった部分をまとめると底辺が 10 ，高さが 14の三角形になる。　 10 × 14 ÷ 2 ＝ 70� 答　 70cm2基本Ａ３◎三角形の底辺と高さは 1つ（1組）だけと考えている生徒が少なくない。「○を底辺と見れば，高さは○」で見方によって底辺と高さは変化するものであると考えられるようにすること。

⑴ A

B CED20cm

12cm16cm

三角形ABCで　底辺 12 　 20　高さ 16 　AE　面積 96 → 9620 × AE÷ 2＝ 96AE＝ 96 × 2 ÷ 20 ＝ 9.6� 答　 9.6cm⑵　三角形ABDで BDを底辺とみると高さは 9.6cm　　BD× 9.6 ÷ 2 ＝ 24　　BD＝ 24 × 2 ÷ 9.6 ＝ 5� 答　 5cm

基本Ｂ１◎頻出問題である。三角形の底辺と高さの 3つのパターンを必要ならば確認しておくとよい。

《三角形の底辺と高さの 3つのパターン》① ② ③

高さ

底辺底辺

高さ

底辺

高さ

※底辺と高さは垂直

⑴5cm

14cm

11cm

7cm

3cm

2cm

①

②

①底辺 5cm　高さ 14cm　 5× 14 ÷ 2 ＝ 35cm2②底辺 11cm　高さ 7cm　 11 × 7 ÷ 2 ＝ 38.5cm2　 35 ＋ 38.5 ＝ 73.5

� 答　 73.5cm2⑷　◎�色をぬった部分ではなく，白い三角形の部分に注

目する。高さ（8cm）が同じなので，まとめると底辺が 25cmの三角形になる。視覚的にも処理できるように下の三角形を上にかえた図を描くとよい。

8cm

8cm

25cm

→

白い部分の面積は 25 × 8 ÷ 2 ＝ 100cm2　色をぬった部分の面積は　 25 × 16 － 100 ＝ 400 － 100 ＝ 300cm2� 答　 300cm2

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指導のねらい

①和差算と分配算の利用▼指導ページ　P91 ～ 98 ▼

例題１　和差算� 【基本Ａ１，Ｂ１】◎ 4年生での和差算の学習内容を指導者は必ずチェックしておくこと。未習者がいるような場合は，既習者に「和差算とはどんなものだったか説明できる人？」というような発問から，ポイントの整理・説明に入っていく導入法が考えられる。

〈ポイントの整理〉・2つの数の和差算と線分図の利用大小

小大

}}}

差和

（和－差）　→　小＝（和－差）÷2

（和＋差）　→　大＝（和＋差）÷2

（（（

→

・3つの以上の数の和差算…線分図の利用例題２　分配算⑴� 【基本Ａ２，Ｂ２】◎ 4年では割合が整数で表されるものを学習している。ここでは小数や分数で表される割合を中心に発展させる。

7

たくやお兄さん

11.5

3才

11.523才→} 20才}

たくやの（1＋ 1.5）＝ 2.5 倍が 20 才20 ÷ 2.5 ＝ 8（才）…たくや

例題３　分配算⑵� 【基本Ａ３】

ノート　えんぴつ

2.5

1.51 20円70円

90円

えんぴつの2.5 － 1 ＝ 1.5 倍が90 円にあたる

90 ÷ 1.5 ＝ 60（円）…えんぴつ60 ＋ 70 ＝ 130（円）…ノート

例題４　分配算⑶� 【基本Ａ４，Ｂ３】【別解】

お兄さんこうじ君

23個

4個⑤

②

③＝ 27 個①＝ 9個お兄さん…9× 5＝ 45（個）こうじ君…45－ 23＝ 22（個）

基本Ａ１◎線分図が正しく書けているかに注意する。⑵

父

母

けんじ

⎩―⎨―⎧

⎩―⎨―⎧

87 才→87－34－32

＝21 才34才

32才

けんじ…21 ÷ 3 ＝ 7 才父…7＋ 34 ＝ 41 才，母…7＋ 32 ＝ 39 才� 答　 41 才

基本Ａ２◎ 1本の線分図で処理することもできる。⑶ 58 個

4 個① ②

（58 － 4）÷（1＋ 2）＝ 54 ÷ 3 ＝ 18（個）18 × 2 ＋ 4 ＝ 40 または 58 － 18 ＝ 40� 答　 40 個

基本Ａ３⑴

妹まり 3600 円

3600 円①

2.8

1.8

妹…3600 ÷ 1.8 ＝ 2000（円）まり…2000 ÷ 3600 ＝ 5600（円）� 答　 5600 円

基本Ａ４

◎ 59 から母を 9とみて処理してもよい。

⑴

3kg17kg

母まき

1 あたり（17 ＋ 3）÷ 4＝ 5（kg）まき…5× 5＋ 3＝ 28（kg）母…5× 9＝ 45（kg）� 答　 45kg

基本Ｂ１⑴

まり

けんじ

ちかこ11 まい

12 まい125 まい

⎩―⎨―⎧

23 まい

ちかこはけんじより 11 ＋ 12 ＝ 23（まい）多い。� 答　 23 まい⑵

⎩―⎨―⎧

125－（23＋12）

＝90 まい

けんじ…90÷3＝30（まい）

　まり…30＋12＝42（まい）

ちかこ…30＋23＝53（まい）

� 答　ちかこ　 53まい，まり　 42まい，　けんじ　 30まい基本Ｂ２◎○倍の△倍は（○×△）倍はタイル図で説明できる。⑴

牛にゅう

せんべい

パン

⎩―⎨―⎧

170 円0.75（　）倍

①

310

25

34

　せんべいはパンの 25 ×34 ＝

310 ＝ 0.3（倍）

� 答　 0.3 倍

⑵　 170 円はパンの 1＋ 25 ＋310 ＝

1710（倍）

　　 170 ÷ 1710 ＝ 100（円）…パン

　　 100 × 25 ＝ 40（円）…牛乳

　　 170 －（100 ＋ 40）＝ 30（円）…せんべい� 答　パン　 100 円，牛にゅう　 40 円，せんべい　 30 円基本Ｂ３Ａを 2とする

400 個Ａ

Ｂ

Ｃ

2個

35 個33 個

⎩―⎨―⎧

400 ＋ 2 － 33 ＝ 369369 ÷ 9 ＝ 41…1 あたりの個数Ａ…41 × 2 － 2 ＝ 80Ｂ…80 ＋ 35 ＝ 115Ｃ…41 × 5 ＝ 205� 答　A　 80 個，Ｂ　 115 個，Ｃ　 205 個

★いくつかの数量の和や差から，線分図を利用し，それらの数量を求める。★いくつかの数量の和や差と割合から 1とみる数量を考え解く。

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

②等差数列▼指導ページ　P99 ～ 106 ▼

例題１　等差数列のしくみ◎差が一定で変化する数列を等差数列という。またその一定の差を公差という。等差数列� 4 7 1310 16

3 3 33公差

　

※公は「共通な」公約数 , 公倍数の公と同じ意味⑵ 1 3 75 9 11

2 2 22 2 2

13 …

例題２　等差数列のＮ番目の数�【基本Ａ１～４，Ｂ１⑴～⑶，２⑴～⑶】◎N番目の数は，はじめの数から公差が何回増えたかを考える。N番目まで（N－ 1）回公差が増える。

・N番目の数＝はじめの数＋公差×（N－ 1）・ある数は何番目の数か＝（N番目の数－はじめの数）÷公差＋ 1

●ポイント●等差数列＝差が一定の数列　　（公差）

●ポイント●等差数列＝差が一定の数列　　（公差）

7

1 5 139 17 21

4 4 44 4

… 植木算の考え方と同じ�↙

⑴　 10 番目の数は　 1＋ 4×（10 － 1）＝ 37⑵　 77 は 1 に 4 を何回たしたかを考える（77 － 1）÷ 4＝ 19（回）　 19 ＋ 1 ＝ 20 番目

例題３　等差数列の和� 【基本Ａ２～４，Ｂ１⑷，２⑷】◎階段上の図形で同じ図形を 2個組み合わせることで長方形になることと同様に，等差数列の和を求めることができる。　 �� 1� � 4� � 7� 10� 13＋）13� 10� � 7� � 4� � 1　 �14� 14� 14� 14� 14

1 ＋ 4 ＋ 7 ＋ 10 ＋ 13＝（1＋ 13）× 5÷ 2

・等差数列の和＝（初項＋末項）×数列の個数÷ 2

基本Ａ２◎公差や公差のあつまりを考えて求める。7 10 1613 19

3 3 33

22 25 …

33

⑴　 25 の次の数　 25 ＋ 3 ＝ 28答　 28

⑵　 15 番目までに公差は 14 個15 番目の数は　 7＋ 3× 14 ＝ 49

答　 49⑶　等差数列の和＝（初

はじめの数項＋末

終わりの数項）×（数列の個数）÷ 2

15 番目までの数の和は（7＋ 49）× 15 ÷ 2 ＝ 56 × 15 ÷ 2 ＝ 420

答　 420

基本Ａ４◎考え方を重視し，公式を導き出せるような力をつけたい。ア 10 2216 28 76… …

（6） 6 66 ← 必ず書こう

⑴　公差が 6の等差数列なので　ア＝ 10 － 6 ＝ 4

答　 4⑵　 10 番目の数　 4＋ 6×（10 － 1）＝ 58

答　 58⑶　（76 － 4）÷ 6＝ 12

12 ＋ 1 ＝ 13答　 13 番目

⑷　（4＋ 76）× 13 ÷ 2 ＝ 80 × 13 ÷ 2＝ 520

答　 520

基本Ｂ１◎ 9でわると 5あまる数→ 9ずつ増える→公差 9の等差数列5 14 3223 41

9 9 99

⑴　 5＋ 9×（12 － 1）＝ 104答　 104

⑵　 5＋ 9×（100 － 1）＝ 896答　 896

⑶　（338 － 5）÷ 9＝ 3737 ＋ 1 ＝ 38

答　 38 番目⑷　（5＋ 338）× 38 ÷ 2 ＝ 343 × 19 ＝ 6517

答　 6517基本Ｂ２

11 18 3225 39 （100）…

7 7 77（7＋4）↑

⑴　 100 を 7 でわると　 100 ÷ 7 ＝ 14…2 ←（検討づけ）11 ＋ 7 × 13 ＝ 11 ＋ 91 ＝ 102� ×11 ＋ 7 × 12 ＝ 11 ＋ 84 ＝ 95� ○

答　 95⑵　⑴より　 12 ＋ 1 ＝ 13（個）

答　 13 個⑶　 95 － 7 ×（5－ 1）＝ 95 － 28 ＝ 67または右から 5番目の数は左から 13－ 5＋ 1＝ 9番目11 ＋ 7 ×（9－ 1）＝ 11 ＋ 56 ＝ 67

答　 67⑷　（11 ＋ 95）× 13 ÷ 2 ＝ 106 × 13 ÷ 2 ＝ 689　　　　　　　　　　　　　↓　　　　　　　　　　　�（53 × 13）

答　 689

★等差数列のしくみを理解する。★当宇佐数列のＮ番目の数，Ｎ番目までの数の和を求める。

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

①表面積　体積▼指導ページ　P107 ～ 114 ▼

例題１　立方体や直方体の表面積� 【基本Ａ１，２】◎直方体の表面積の 2つの求め方を確認しておくとよい。（表面積＝展開図の面積）

・立方体の表面積…（1面（正方形）の面積）× 6・直方体の表面積①（たて×横＋横×高さ＋高さ×たて）× 2②底面積× 2＋側面積（1つの長方形とみる）　（＝底面のまわりの長さ×高さ）◎表面積では，前後左右上下の 6方向から見ることで求めやすくなることを気づかせる。★立方体，直方体の見取り図・展開図が正しく書けるかどうかは要チェック

例題２　立方体や直方体の体積� 【基本Ａ１，２，４，Ｂ２】◎体積の単位と求め方を確認する。

8★立方体や直方体の表面積や体積を公式を使って求める。★いろりろな立体の体積や表面積を工夫して求める。

��1cm3（立方センチメートル）…1辺が1cmの立方体の体積1m3（立方メートル）…1辺か 1mの立方体の体積

　　・立方体，直方体の体積��立方体…1辺× 1辺× 1辺直方体…たて×横×高さ

例題３　いろいろな立体の体積� 【基本Ａ３，Ｂ１】◎体積は立方体や直方体の組み合わせと見て，わけたり，ひいたり合わせたりして求める。◎向かい合う辺が平行であることに注意して見取り図を書くことができるように指導する。意外に書けない生徒が多いので注意する。●ポイント●体積…わけたり，ひいたり，合わせたり表面積…前後・左右・上下の 6方向から見る

基本Ａ１◎展開図の面積は，立体をつくる面の面積の和といいかえることができる。◎体積の導入段階では 1辺が 1cm（1m）の立方体が何個あるかという発想を大事にしたい。

⑴　表面積…1辺が 9cmの正方形 6つ分　（9× 9）× 6＝ 81 × 6 ＝ 486体積…1辺が 1cmの立方体が　 9× 9× 9＝ 729 個↓ 729cm3

答　表面積　 486cm2 　体積　 729cm3⑵ 表面積…

13 13109 9 10×2＋ ×2＋ ×2

　 9× 13 × 2 ＋ 9 × 10 × 2 ＋ 10 × 13 × 2　＝ 234 ＋ 180 ＋ 260 ＝ 674体積…1辺が 1cmの立方体が　 13 × 10 × 9 ＝ 1170 個→ 1170cm3

答　表面積　 674cm2 ，体積　 1170cm3基本Ａ３◎「わける，ひく，合わせる」の考え方を問題に応じて使い分けることができるようにする。どれか 1辺が 5cmである体積は求めやすいことも利用できる。

⑴　上下にわける7× 3× 4＋ 7× 9× 2＝ 84 ＋ 126 ＝ 210

答　 210cm3⑵

7cm

3cm3cm

3cm

8cm

5cm－

7 × 8 × 5 － 3 × 3 × 3＝ 280 － 27 ＝ 253� 答　 253cm3

⑷

3cm

3cm

15cm→ ×15

（3× 3× 15）× 15 ＝ 135 × 15 ＝ 2025答　 2025cm3

基本Ｂ１⑴　 3× 3× 3－ 1× 1× 1＋ 6× 6× 7－ 2× 2× 5＝ 27 －１＋ 252 － 20 ＝ 258

答　 258cm3⑵　 5× 10× 12－ 2× 2× 10＋ 6× 8× 9－ 2× 3× 14＝ 600 － 40 ＋ 432 － 84 ＝ 908

答　 908cm3基本Ｂ２◎同じ長さになっているところに印をつける。

50cm

35cm

8cm

⑴　（50－ 8× 2）÷2＝ 17� 答　 17cm⑵　 8× 17 ＝ 136� 答　 136cm2⑶　同じ形の面が 2つずつ 3組あるので，（8× 17 ＋ 8 × 19 ＋ 17 × 19）× 2＝（136 ＋ 152 ＋ 323）× 2＝ 611 × 2 ＝ 1222� 答　 1222cm2

⑷　 8× 17 × 19 ＝ 2584答　 2584cm3

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

②水の体積▼指導ページ　P115 ～ 122 ▼

8

⑴　単位が違う場合は，一方にそろえておく。9dl＝ 900cm3 　 1 分で 900cm3なので，2分後は 2× 900 ＝ 1800底面積＝ 18 × 20 ＝ 3601800 ÷ 360 ＝ 5� 答　 5m 20cm

15cm

18cm

⑵　容積＝ 360 × 15 ＝ 54001 分で 900cm3 水がたまるので，5400 ÷ 900 ＝ 6� 答　 6分後

例題３　直方体を組み合わせた容器に水を入れる� 【基本Ａ５】◎複数の直方体が組み合わさっている場合は，解きやすいように直方体を分けて考えて解く。そのとき，図をかいて分かりやすくする。

基本Ａ１

25cm

30cm20cm

⑴　容積＝底面積×高さなので，　　 25 × 30 × 20 ＝ 15000cm3　　 1ℓ＝ 1000cm3 なので，15ℓ� 答　 15ℓ⑵　 25 × 30 × 6 ＝ 4500cm3 ＝ 4.5ℓ

答　 4.5ℓ⑶　 7.5ℓ＝ 7500cm3 なので，

25 × 30 ×□＝ 7500□＝ 7500 ÷（25 × 30）＝ 10� 答　 10cm

基本Ａ３⑴　 1分で 3ℓ入るのだから　　 3分で 3× 3＝ 9ℓ入る　　 9ℓ＝ 9000cm3　　底面積は 30 × 30 ＝ 900 より　　深さは 9000 ÷ 900 ＝ 10� 答　 10cm

25cm

30cm

20cm

⑵　深さ＝ 20cmなので，容積は 30 × 30 × 20 ＝ 18000cm3 ＝ 18ℓ1 分に 3ℓ入るのだから，18 ÷ 3 ＝ 6

答　 6分後⑶　（容器に水がいっぱい＝この容器の体積）なので　 30 × 30 × 50 ＝ 45000cm3 ＝ 45ℓ⑵と同じ考え方で，45 ÷ 3 ＝ 15

答　 15 分後

基本Ａ５⑵　 2つに分けて考える。上と下に分けた場合　 5× 10× 30＋ 10× 20× 30＝ 1500＋ 6000＝ 7500左と右に分けた場合　 10× 15× 30＋ 10× 10× 30＝ 4500＋ 3000＝ 7500　 7500cm3 ＝ 7.5ℓ

答　 7.5ℓ⑶　底面積は 20 × 20 － 10 × 10 ＝ 300cm2 より　 7500 ÷ 300 ＝ 25� 答　 25cm

基本Ｂ２※組み立てたときの図をかいて解く。⑴　容積＝ 24 × 15 × 6　　＝ 2160cm3 ＝ 2.16ℓ� 答　 2.16ℓ

24cm15cm6cm

⑵　 24 × 15 × 4 ＝ 1440cm3　　これを底面が 12 × 12 ＝ 144cm2 の立方体の容器に移すので，1440 ÷ 144 ＝ 10

答　 10cm基本Ｂ３⑴　 2分で深さ 4.8cmなので，入った水の容積は

20 × 25 × 4.8 ＝ 2400cm3 ＝ 2.4ℓよって，1分あたりは 2.4 ÷ 2 ＝ 1.2ℓ

答　毎分 1.2ℓ⑵　いっぱいになったときの容積は

20 × 25 × 30 ＝ 15000cm31 分あたり 1200cm3 入るので15000 ÷ 1200 ＝ 12.5（分）1分は 60 秒なので0.5 分＝ 30 秒　　　× 60よって，12.5 分＝ 12 分 30 秒� 答　 12 分 30 秒後

例題１　容積と水の深さ� 【基本Ａ１，２，Ｂ１，２】◎容器に水をいっぱいに入れたとき，入った水の体積のことを容積という。◎体積と容積の単位には立方（cm3 ，m3）を使う。●体積・容積の公式・たて×横×高さ・底面積×高さ（水の深さ）

⑵　底面積×深さ＝体積600 × 5 × 3000 ，1ℓ＝ 1000cm3 なので，3000cm3 ＝ 3ℓ� 答　 3ℓ

例題２　一定の割合で水を入れる� 【基本Ａ３，４，Ｂ３】●ポイント●入った水の量に毎分入れる量×入れた時間

◎水の量，底面積，深さと順を追って解いていく。

●ポイント●体積と容積の単位1ml＝ 1cm31dl＝ 100cm31ℓ＝ 1000cm3

●ポイント●体積と容積の単位1ml＝ 1cm31dl＝ 100cm31ℓ＝ 1000cm3

★容積や体積，深さなどを求める。★一定の割合で水を入れたときの深さや時間，体積を求める。

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

①消去算　代入算▼指導ページ　P123 ～ 130 ▼

例題１　消去算⑴� 【基本Ａ１】◎絵図や代替記号を用いて説明するとよい。→一方の数量を（そろえることで）消去し，他方の差と全体の差から 2つの数量を求める方法を消去算という。りんご○　みかん△�○○� �△△△△＝ 560 円）○○　△△△　＝ 480 円　　　　　　�△＝ �80 円○○＋ 80 × 4 ＝ 560 から○＝（560 － 320）÷ 2＝ 120 円

例題２　消去算⑵� 【基本Ａ２，４，Ｂ１】赤○　青△○○　△　＝ 120g　○　△△＝ �90g↓（2倍して○を2個にそろえる）

○○　△△△△＝ 180 ｇ

�○○� �△△△△＝ 180g）○○　△　　　＝ 120g　　　�　△△△＝ �60g　　　　　　�△＝ �20g

9★消去算の考え方を理解し，問題を解く。★代入算の考え方を理解し，問題を解く。

※絵図や記号では数が大きくなったとき対応するのが難しいので，数値を使った表し方に発展させる。例 ��なし 6個，みかん 3個で 480 円なし 4個，みかん 5個で 600 円

→��6○　 3△＝ 4804 ○　 5△＝ 600

例題３　代入算� 【基本Ａ３，Ｂ２】◎一方の数量を他方の数量におきかえ（代入）ることで2つの数量を求める問題を代入算という。ノート 3さつ＋本 1さつ＝ 640 円　　　　　　　　�↓　　　　　ノート 5さつと同じ（おきかえて考える）ノート 3＋ 5＝ 8さつで 640 円ノート 1さつ　 640 ÷ 8 ＝ 80（円）本 1さつ　 80 × 5 ＝ 400（円）

基本Ａ１◎慣れてきたら数値で表す。

－�◯は 1＋◯じ 2＝ 690 円）　 1＋　 1＝ 520 円�　　　◯じ 1＝ 170 円

◯は 1＝ 520 － 170 ＝ 350 円

答　はさみ　 350 円，じょうぎ　 170 円基本Ａ２⑵ ��◯た 2＋◯じ 5＝ 250 円◯た 3＋◯じ 1＝ 180 円 ← 5倍して◯じ 5にそろえる

－�◯た 15 ＋◯じ 5＝ 900 円）　 2� ＋　 5＝ 250 円�◯た 13 　　　＝ 650 円

◯た 1＝ 650 ÷ 13 ＝ 50◯じ 1 ＝ 180 － 50 × 3 ＝ 30

答　たまねぎ　 50 円，じゃがいも　 30 円

基本Ａ３◎おきかえる（＝代入する）ことでわからないものが 1つだけになることを利用する。

⑴　ケーキ 1　牛にゅう 2　 560 円　↓牛にゅう 5　牛にゅう 7牛にゅう…560 ÷ 7 ＝ 80（円）ケーキ…80 × 5 ＝ 400（円）

答　ケーキ　 400 円，牛にゅう　 80 円

基本Ａ４⑴　◯消 1＋え 1　 190 円　

× 5◯消 5＋え 5　 950 円

答　 950 円⑵－�◯消 5＋え 5＝ 950 円）　 3＋え 5＝ 710 円�◯消 2 　　　＝ 240 円�◯消 1 　　　＝ 120 円

え 1＝ 190 － 120 ＝ 70

答　消しゴム　 120 円，えんぴつ　 70 円

◯は◯は ◯じ◯じ

◯た◯た ◯じ◯じ

◯消◯消

基本Ｂ１◎ 2つの式を両方とも整数倍して，数をそろえる。最小公倍数でそろえることを徹底させる。

⑴　黒 2＋白 3　 31g　× 3

黒 6＋白 9　 93g答　 93g

⑵　黒 3＋白 2　 34g　× 2

黒 6＋白 4　 68g答　 68g

⑶－�黒 6 ＋白 9＝ 93g）黒 6＋白 4＝ 68g�　　　白 5＝ 25g

白 1 ＝ 25 ÷ 5 ＝ 5黒 1 ＝（31 － 5 × 3）÷ 2　　＝ 8

答　黒　 8g，白　 5g

基本Ｂ２◎本 5さつはノート 10 さつより 450 円高いことになる。⑴　ノート 2さつ＋本 5さつ＝ 2010　　　　　　　　�↓（ノート 2さつ＋ 90 円）× 5　　　　　　　ノート 10 さつ＋ 450 円⇒ノート 12 さつ＋ 450 円＝ 2010 円　ノート＝（2010 － 450）÷ 12 ＝ 130　本＝ 130 × 2 ＋ 90 ＝ 350

答　ノート　 130 円，本　 350 円

⑵　 130 × 3 ＋ 350 × 4＝ 390 ＋ 1400＝ 1790

答　 1790 円

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

②つるかめ算▼指導ページ　P131 ～ 138 ▼

例題１　つるかめ算� 【基本Ａ１，２，Ｂ１】◎まずは代表的な問題そのものを覚えてしまうよう指示したい。解き方としては①表をつくって解く，②一方におきかえて解く，③トラック図を使って解く方法があるが，ここでは②の考え方を中心とする。

↙ 4本とみるつる 2本かめ 4本

��6ぴき足 16 本

1 ぴきの差4－ 2＝ 2本差 8本4 × 6 24 本

� つる　 8÷ 2＝ 4（羽），かめ　 6－ 4＝ 2ひき例題２　 1つ分の差が 2数の和になるつるかめ算� 【基本Ａ３，４，Ｂ２】◎ 1つ分の差から 2数の和になるつるかめ算では階段の問題や運んだ数とこわした数の問題が代表例である。

9★つるかめ算の考え方を理解し解く。★条件不足のつるかめ算を解く。

⑵ ○　 3段上がる×　 1段下がる

��10 問 18 段上

1問につき3＋ 1＝ 4段の差全体の差30 － 18 ＝ 12 段

（○で 3段上がるとみる）3 × 10 30 段上

まちがえた数　 12 ÷ 4 ＝ 3 問，正解…10 － 3 ＝ 7 問（検算　 3× 7＝ 21 段上へ，1× 3＝ 3段下へ，　　　 21 － 3 ＝ 18 段上へ）

例題３　つるかめ算を使った問題� 【基本Ａ５】◎条件不足のため考えられる数が複数あることが多く表を使った処理をするとよい。50円切手だけ買ったときの代金は20×50＝1000（円）80円切手だけを買ったときの代金は20×80＝1600（円）

（1600 － 1000）÷ 50 ＝ 12全部で 20 まいだから，20 － 12 ＝ 8

答　 50 円切手　 12 まい，80 円切手　 8まい

基本Ａ１⑴　あめ 6個→ガム（20 － 6）＝ 14 個　 8× 14 ＋ 13 × 6 ＝ 112 ＋ 78 ＝ 190

答　 190 円

↙あめとみる…1個につき 5円の差⑴ ガムあめ

��20 個 200 円

全体で 60 円の差あめ 20 個 260 円ガム　 60 ÷ 5 ＝ 12

答　 12 個基本Ａ２⑴

⑵

80 × 23 ＝ 1840答　 1840 円

1840 － 1690 ＝ 150答　 150 円

50 円80 円

30 円

1690 円

23 まい

㋐

⑶　 150 ÷ 30 ＝ 5（まい）答　 5まい

⑷　 23 － 5 ＝ 18（まい）答　 18 まい

基本Ａ３⑴　勝ち　 13 回× 5だん＝ 65 だん上　　負け　 5回× 3だん＝ 15 だん下　　　 65 － 15 ＝ 50 だん上

�答　 50 だん

⑵ 勝ち �4 だん上負け �3 だん下

��18 回 26 だん上全体の差＝ 42だん

1回の差＝ 5＋ 3＝ 8だん

　　　↘勝ちとみる5 × 18 90 だん上

負けは　 64 ÷ 8 ＝ 8（回）勝ちは　 18 － 8 ＝ 10（回）

答　 10 回

基本Ａ５⑴　 160 × 30 ＝ 4800みかんは 0円

答　 4800 円⑵　縮まるのだから 2つの合計　　　 60 ＋ 160 ＝ 220

答　 220 円⑶　 4800 円⇒ 620 円差…4180 円ちぢまる

4180 ÷ 220 ＝ 19…みかんの数答　 19 個

基本Ｂ１◎一方にそろえるときどちらにそろえても求められることは付け加えておく。

⑴ 3g5g��32 個 126g

全体の差＝ 126 － 96 ＝ 30g1 個あたりの差＝ 5－ 3＝ 2g　　�↘ 3g とみる

3g × 32 ＝ 96g

5g のおもり　 30 ÷ 2 ＝ 15（個）3g のおもり　 32 － 15 ＝ 17（個）� 答　 17 個

基本Ｂ２⑴　 70 × 100 ＝ 7000（円）

答　 7000 円⑵　 70 × 80 － 10 × 20 ＝ 5600 － 200 ＝ 5400（円）

答　 5400 円

⑶ 70 円10 円

��100 個 6440 円全体の差＝ 560 円

1 個あたりの差　＝ 70 ＋ 10 ＝ 80 円

　　�↘ 70 円とみる70 × 100 ＝ 7000 円

こわした数　 560 ÷ 80 ＝ 7（個）答　 7個

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

第 6 回～第 9回のまとめ▼指導ページ　P139 ～ 144 ▼

1　第 6回～第 9回の学習内容の確認第 6回　①多角形の資質　②面積のいろいろな求め方第 7回　①和差算と分配算の利用　②等差数列第 8回①表面積　体積②水の体積第 9回①消去算　代入算②つるかめ算

10★第 6回～第 9回の学習内容の定着。★月例テストの準備・対策。

2　学習回の内容と基本問題，練習問題との対応第 6回①基本問題Ａ１，２� 基本問題Ｂ１②基本問題Ａ３，４� 基本問題Ｂ２第 7回①基本問題Ａ５，６� 基本問題Ｂ３②基本問題Ａ７，８� 基本問題Ｂ４，８第 8回①基本問題Ａ９，10②基本問題Ａ 11� � 基本問題Ｂ５第 9回①基本問題Ａ 12� � 基本問題Ｂ６②基本問題Ａ 13� � 基本問題Ｂ７

基本Ａ３3cm

2cm3cm

3cm4cm

7cm

6cm4cm

①

②

③

④

長方形＝ 6× 10 ＝ 60①＝ 2× 3÷ 2＝ 3②＝ 4× 4÷ 2＝ 8③＝ 3× 7÷ 2＝ 10.5④＝ 3× 6÷ 2＝ 960 －（3＋ 8＋ 10.5 ＋ 9）＝ 60 － 30.5 ＝ 29.5

答　 29.5cm2基本Ａ８

8 15 2922 36 …7 7 7725 番目…8＋ 7×（25 － 1）＝ 8＋ 168 ＝ 176等差数列の和－（初項＋末項）×数列の個数÷ 2＝（8＋ 176）× 25 ÷ 2 ＝ 2300� 答　 2300

基本Ａ10

15cm15cm

10cm15cm

⇒

15cm 15cm

10 × 15 × 15 ＝ 2250� 答　 2250cm3基本Ａ12なし 3個＋かき 5個＝ 1210 円　�↓　　　　かき 6個　　かき 11 個

かき＝ 1210 ÷ 11 ＝ 110なし＝ 110 × 2 ＝ 220� 答　 220 円

基本Ｂ１◎正六角形の向かい合う辺が平行であることを利用する。※平行線の錯角・同位角について説明するとよい。

㋐

㋐

㋐

x

y

zz z…正八角形の 1つの内角

＝ 180 －（1つの外角）＝ 180 ＝（360 ÷ 8）＝ 180 － 45 ＝ 135（度）yを求めるために㋐を求める

㋐× 2＋ z × 2 ＝ 360（度）㋐－ z＝ 180（度）㋐＝ 180 － 135 ＝ 45（度）y＝ 135 － 45 × 2 ＝ 45（度）x＝（180 － 45）÷ 2＝ 67.5（度）

答　x　 67.5 度，y　 45 度，z　 135 度基本Ｂ３

ＡＢＣ

71cm→} } 71－10－7＝54　　73

10

Ａ＝ 54 ÷ 3 ＝ 18Ｂ＝ 18 ＋ 10 ＝ 28Ｃ＝ 18 ＋ 7 ＝ 25

答　Ａ　 18cm，Ｂ 28cm，Ｃ 25cm基本Ｂ７⑴　 80 × 50 ＝ 4000

答　 4000 円⑵　 50 円切手　　

50 まい　 490 円差80 円切手　　　　　　　　↑ 3510 円ちぢまる　 80 円　×　 50 まい＝ 4000 円1 まい変えることで 80 ＋ 50 ＝ 130 円ちぢまるので　 3510 ÷ 130 ＝ 27…50 円切手　 80 円切手…50 － 27 ＝ 23

答　 50 円切手　 27 まい，80 円切手　 23 まい

��

��

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

①割合▼指導ページ　P145 ～ 152 ▼

〈割合と割合の 3用法〉◎割合がもとにする量の何倍にあたるかを表す数であることを理解させ，割合の 3用法（割合の 3公式）を表現，利用できる様にする。

割合：もとにする量の何倍4 4

にあたるかを表す数割合の 3用法　①　割合＝割合にあたる量÷もとにする量　②　割合にあたる量＝もとにする量×割合　③　もとにする量＝割合にあたる量÷割合

※倍数に関する 3つの式と比べると公式が覚えやすくなる。

例題１　割合を求める� 【基本Ａ１，２】　※図を使って表す⑴

青いリボン赤いリボン

割合にあたる量もとにする量

6m

12m

11

例題２　割合にあたる量を求める� 【基本Ａ３，４，Ｂ１】⑴ 女子

全体 35人

女子＝割合全体＝もとにする量

35 × 3 ＝ 355× 3 ＝ 157 7 1

例題３　もとにする量を求める� 【基本Ａ５，Ｂ２】

60 ÷ 5 ＝ 612

0 × 7 ＝ 847 5 1　算数＝割合　国語＝もとにする量

例題４　割合を使った問題� 【基本Ａ６，Ｂ３】◎どの値がもとにする量なのかを読み取ることが大切。1つの値ごとにもとにする量がどの値なのかを確認しながら解く必要がある。

国語

算数 60点

国語

算数 60点

基本Ａ１⑴

赤いテープ白いテープ

20m

25m

割合＝割合にあたる量　　　÷もとにする量

白いテープ＝割合にあたる量赤いテープ＝もとにする量

20 ÷ 25 ＝ 204＝ 4255 5

答 45

基本Ａ３⑴

たくや君お母さん

45才割合にあたる量＝もとにする量×割合

お母さん＝もとにする量，たくや君＝割合

45 × 1 ＝ 459＝ 95 51 答　 9才

基本Ａ５⑴ 全体

6人

もとにする量＝割合にあたる量÷割合

欠席した人数＝割合にあたる量，全体＝割合

6÷ 2 ＝ 6× 15 ＝ 63× 15 ＝ 4515 2 21 答　 45 人

基本Ａ６

ＢＡ

①

Ｃ①

⎩―⎨―⎧

計

176cm

34

Ａの水の量＝Ｃの水の量＝ 1

Ｂの水の量＝ 34全体＝ 1＋ 34 ＋ 1 ＝ 2

34

Ａ＝ 176 ÷ 2 34 ＝ 64

よって，Ｂ＝ 64 × 34 ＝ 48

� 答　 48cm

基本Ｂ１◎割合では，その割合が何をもとにする量として，表させているかを明確にすることが重要。

⑴　昨日飲んだ量　全体（25dl）の 15

25 × 1 ＝ 255＝ 5 答　 5dl5 51

⑵　今日飲んだ量＝残り（25 － 5 ＝ 20dl）の 14

20 × 1 ＝ 205＝ 5 答　 5dl4 41

基本Ｂ２◎割合について，何を求めるのかとその公式をはっきり意識させながら指導する。

⑴　お母さん…もとにする量＝割合にあたる量÷割合

35 ÷ 5 ＝ 35 × 7 ＝ 357 × 7 ＝ 49 答　 49kg7 5 51⑵　お父さん＝もとにする量，お母さん＝割合にあたる量

49 ÷ 7 ＝ 49 × 9 ＝ 497× 9 ＝ 63 答　 63kg9 7 71

⑶　何分のいくつか→割合を求めるけんじ君＝割合にあたる量，お父さん＝もとにする量

35 ÷ 63 ＝ 355＝ 5 答 5

639 9 9基本Ｂ３　※図をかいて，順を追いながら解くようにする。

Ｂ

Ａ①

Ｃ ①

25

⎩―⎨―⎧

計

88dℓ

4dℓ

Ａ＝ 1

Ｂ＝ 25全体（88 － 4 ＝ 84dl）

＝ 1＋ 25 ＋ 1 ＝ 225

Ａ＝ 84 ÷ 2 25 ＝ 35dl

Ｂ＝ 35 × 25 ＝ 14dlＣ＝ 35 ＋ 4 ＝ 39dl� 答　Ａ　 35dl，Ｂ　 14dl，Ｃ　 39dl

★割合の意味，割合の 3用法を理解し，利用する。★割合についての様々な問題パターンに慣れる様にする。

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

②百分率と割合の利用▼指導ページ　P153 ～ 160 ▼

例題１　百分率の意味� 【基本Ａ１，Ｂ１，２】◎全体の量を 100 として考える表し方のこと。

　全体の　　（0.01）を 1％と表す。

⑴　 60 ÷ 240 ＝ 0.25　（下記の 3用法参照）　　　 0.01 ＝ 1％　　　 0.25 ＝ 25％

●ポイント●第 1用法…割合＝割合にあたる量÷もとにする量第 2用法…割合にあたる量＝もとにする量×割合第 3用法…もとにする量＝割合にあたる量÷割合

11001100

●ポイント●小数 1 0.1 0.01 0.001

分数 1 110

1100

11000

百分率 100％ 10％ 1％ 0.1％

●ポイント●小数 1 0.1 0.01 0.001

分数 1 110

1100

11000

百分率 100％ 10％ 1％ 0.1％

11★百分率について考える。★はんぱのある相当算を解く。

例題２　割合の合成� 【基本Ａ２，３】◎線分図を使うことで，関係がつかみやすくなる。

　

132ページ

1日目

2日目 1日目に読んだ量

2日目に読んだ量

14

15

15

15

15

15

14

14

14

例題３　はんぱのある相当算（還元算）� 【基本Ａ４，５，Ｂ３】◎線分図は 1本だけでなく，納得ゆくまで何本でも書く。

30個

6個310

35

25

56個710

30÷　＝50個35

56÷　＝80個710

基本Ａ１⑴　 5÷ 40 ＝ 0.125　　 0.125 × 100 ＝ 12.5� 答　 12.5％⑵　 3m＝ 300cm　 12％＝ 0.12（12 ÷ 100）　　 300 × 0.12 ＝ 36� 答　 36cm⑶　 75％＝ 0.75（75 ÷ 100）　　 1500 ÷ 0.75 ＝ 2000� 答　 2000 円

基本Ａ２お父さん

お母さん

さとる君（お父さん）－（さとる君）＝ 35（才）

⑴ 8× 1＝ 2 答 29 4 9 9

⑵　 1－ 29 ＝（お父さん）－（さとる君）の割合

　　 35 ÷（1－ 29 ）＝ 45（才）…お父さんの年令　　 45 － 35 ＝ 10� 答　 10 才⑶　 45 × 89 ＝ 40� 答　 40 才

基本Ａ４線分図を書いて解く。

Ａ

Ｂ

Ｃ

＋5個

21 個

⑴　Ａが取ったあとの残りの割合を 1とすると

　　Ｂの割合＝ 25 　Ｃの割合＝ 1－25

　　 21 ÷（1－ 25 ）＝ 35� 答　 35 個

⑵　みかん全部の割合を 1とすると

　Ａが取ったあとの残りは 47 より 5個少ない。

　⇒残りに 5個加えると割合は 47　　（35 ＋ 5）÷ 47 ＝ 70� 答　 70 個基本Ｂ２⑴　 12％引き＝ 88％（100 － 12）＝ 0.88（88 ÷ 100）

2500 × 0.88 ＝ 2200� 答　 2200 円⑵　 20％引き⇒ 650 円安くなった。　　つまり 20％＝ 650 円

20％＝ 0.2（20 ÷ 100）650 ÷ 0.2 ＝ 3250� 答　 3250 円

⑶　 3000 ×（1－ 0.37）＝ 1890　　これは原価より 120 円高い金額なので

1890 － 120 ＝ 1770� 答　 1770 円基本Ｂ３⑴　夜の飲む前＝朝の残り朝の残りの割合を 1とすると

夜の割合＝ 12夜の残りの割合＝ 1－ 12110 ÷（1－ 12 ）＝ 220� 答　 220ml

⑵　飲んだ量が 100ml少なくなるので，残りが 100ml多くなる。220 ＋ 100 ＝ 320� 答　 320ml

⑶　はじめの量の割合を 1とすると

⑵のときの朝の割合＝ 13朝の残りの割合＝ 1－ 13320 ÷（1－ 13 ）=480� 答　 480ml

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

①平均▼指導ページ　P161 ～ 168 ▼

例題１　平均と個数から 1つの数量を求める。� 【基本Ａ１，２，Ｂ１】◎平均やのべの考え方を定着させ，欠けた数量を求められるようにする。

⑴　平均＝（数量の合計）÷（個数）　（69 ＋ 65 ＋ 70 ＋ 78）÷ 4＝ 282 ÷ 4 ＝ 70.5（点）⑵　のべの量＝（平均）×（個数）なので，　 68.5 × 4 －（69 ＋ 65 ＋ 70）＝ 274 － 204 ＝ 70（点）

例題２　 2つ以上の平均から 1つの数量を求める� 【基本３，４，Ｂ２】◎いくつかの平均からそれらの合計を求め，それらを式で表し比較することで，平均をつくる数量の大きさを求める。

12

⑴　国＋算＋理＋社＝ 70.5 × 4 ＝ 282 点� …①国＋算　　＋社＝ 70 × 3 ＝ 210 点� …②国　　＋理　　＝ 72 × 2 ＝ 144 点� …③①－③より算＋社＝ 282 － 144 ＝ 138 点算数と社会の平均点は　 138 ÷ 2 ＝ 69（点）

例題３　つるかめ算を利用する平均の問題� 【基本Ａ５，６，Ｂ３】◎ 2つの未知数があってその和がわかる場合にはつるかめ算で解けないかという考え方が重要である。

⑶　 5点と 3点の人の点数の和3.1 × 30 －（4× 9＋ 2× 6＋ 1× 1＋ 0× 2）＝ 44 点5 点と 3点の人の人数 12 人，3点は（60 － 44）÷（5－ 3）＝ 8（人）5点は 12 － 8 ＝ 4（人）

＋12＋ 12

基本Ａ２◎平均・個数・合計の 3つの数量のうち 2つの数量から残りの 1つの数量をすばやく求められるようにする。

⑴　社会＝（4科目の合計）－（3科目の合計）　　　　＝ 77 × 4 － 76 × 3 ＝ 308 － 228 ＝ 80

答　 80 点⑵　 5回目は 75 × 5 － 72.5 × 4 ＝ 375 － 290 ＝ 85� 答　 85 点基本Ａ３◎平均点と個数から合計点を求め，式で表し比べる。⑴　国・算・理・社○　○　○　　　＝ 84 × 3 ＝ 252 点� …①　　○　○　○　＝ 86 × 3 ＝ 258 点� …②○　　　　　○　＝ 75 × 2 ＝ 150 点� …③①，②より国語と社会の差は258 － 252 ＝ 6 点� 答　 6点

⑵　国語と社会の和が 150 ，差が 6←和差算国…（150 － 6）÷ 2＝ 72 点� 答　 72 点

⑶　算＋理＝①－国＝ 252 － 72 ＝ 180180 ÷ 2 ＝ 90� 答　 90 点

基本Ａ５◎「表の 2つの空欄はつるかめ算」と考える。⑴　 40 －（3＋ 4＋ 4＋ 7＋ 5＋ 4＋ 4＋ 1）＝ 40 － 32 ＝ 8� 答　 8人⑵　和が 8，差が 2（和差算）より

4回かりた人　（8＋ 2）÷ 2＝ 5（人）7回かりた人　 8－ 5＝ 3（人）

　全部で 4＋8＋20＋35＋30＋21＋32＋36＋10＝196　平均は　 196 ÷ 40 ＝ 4.9� 答　 4.9 回

⑶　 5.125 × 40 ＝ 205 　 196 － 20 － 21 ＝ 1554 回と 7回の人が借りた回数　 205 － 155 ＝ 50 回4 回と 7回　 8人　計 50 回←つるかめ算8人全員が 7回とすると7× 8＝ 56 回㋐（56 － 50）÷（7－ 4）＝ 2（人）　㋑ 8－ 2＝ 6（人）

答　㋐　 2，㋑　 6基本Ｂ１⑴　 84 × 4 －（93 ＋ 71 ＋ 84）＝ 336 － 248 ＝ 88� 答　 88 点

⑵　（84 ＋ 1.6）× 5－ 84 × 4 ＝ 428 － 336 ＝ 92� 答　 92 点基本Ｂ２⑴　国　算　理○　○　○＝ 83 × 3 ＝ 249 点　…①○　○　　＝ 82.5 × 2 ＝ 165 点　…②　　○　○＝ 88.5 × 2 ＝ 177 点　…③理科は①－②より249 － 165 ＝ 84� 答　 84 点

⑵　国語は①－③より　　 249 － 177 ＝ 72よって（72 ＋ 84）÷ 2＝ 78

答　 78 点基本Ｂ３⑴　クラスの人数　 3× 12 ＝ 36� 答　 36 人

⑵　 2点の人数＝ 36 × 29 ＝ 8（人）…㋐㋑�＋�㋒�＝ 36 －（1＋ 1＋ 8＋ 3）＝ 23（人）㋑�と�㋒�の合計点は3× 36 －（1＋ 16 ＋ 15）＝ 108 － 32 ＝ 76（点）3点と 4点の人数 23 人，合計点 76 点←つるかめ算　 4× 23 ＝ 92㋑�　（92 － 76）÷（4－ 3）＝ 16㋒�　 23 － 16 ＝ 7

答　㋐　 �8 人，㋑　 �16 人，㋒　 �7 人

★平均の考え方を利用し，いろいろな問題を解く。★つるかめ算を利用して平均の問題を解く。

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

②平均の利用▼指導ページ　P169 ～ 176 ▼

例題１　平均の面積図� 【基本Ａ１】

平均×個数＝数量の合計�↓　　↓　　　�↓たて×�横�＝　�面積面積図を解く要領で考える。　 3 人5 人 8 人

40kg44kg男の子の体重

の合計

女の子の体重の合計

男の子の体重の合計＝ �40 　× � 5 ＝ 200　　　（面積）　　　　（たて）　（横）女の子の体重の合計＝ 44 　× �3 ＝ 132　　　（面積）　　　�（たて）　（横）合計は 132 ＋ 200 ＝ 332 　　平均は 32 ÷ 8 ＝ 41.5（kg）

●ポイント●

ａｂ

全体の　平均

あい

平均の面積図全体の平均＝（あ＋い）÷（ａ＋ｂ）

12

例題２　面積図を使って一部の個数を求める�【基本Ａ２，Ｂ１】●ポイント●

全体の　平均

ａｃ

ｂｄ

あい個数を求める面積図

　　あ＝いａ×ｂ＝ｃ×ｄ

例題３　面積図を使って一部の平均を求める�【基本Ａ３，Ｂ２】例題４　のべの応用� 【基本Ａ４，５，Ｂ３】⑴　　　　 5人→ 6日

13 倍　 1人→ 30 日　

13 倍

　　　 15 人→□日　　□＝ 6× 13 ＝ 2� 答　 2日

基本Ａ１⑴　図を書いて説明する。

4 人

40kg 36kg

6 人

男子女子

　　 �40 × 4 　�＋�　 36 × 6 　　＝ 376　男子の体重の合計　�女子の体重の合計

男子＋女子＝ 4＋ 6＝ 10（人）10 人の平均＝ 376 ÷ 10 ＝ 37.6� 答　 37.6kg

基本Ａ２⑶　平均が 140 円なのだから，120 円のりんごと比べると1個あたり，（140 － 120）＝ 20 円の差がある。120 円のりんごが 6つなので20 × 6 ＝ 120150 円のりんごと比べると150 － 140 ＝ 10120 ÷ 10 ＝ 12� 答　 12 個

基本Ａ３図を書いて説明する。⑴

9 人 7 人

16kg

51kg子ども大人

　 16 × 9 ÷（9＋ 7）＝ 9大人＋子どもの平均は 51 より　 51 ＋（16 － 9）＝ 58

答　 58kg

基本Ａ５⑴　 6人で 12 日かかるので，1人ですべてやるとすると，12 × 6 ＝ 72 日かかる。4人でこなすので，72 ÷ 4 ＝ 18

答　 18 日基本Ｂ１⑴

8 回 1 回

7.2 点

81.4 点

　 9回目の得点は 8回までの平均より 7.2 点低いのだから 7.2 × 8 ＝ 57.6 点，合計より低いことになる。　 9回目は　　 57.6 ÷ 9 ＝ 6.4 点　 9回までの平均点より低いので 9回目の得点は　　 81.4 － 6.4 ＝ 75� 答　 75 点

基本Ｂ２⑵

Ａ，Ｂ

237 点

Ｃ，Ｄ，Ｅ

79 点

3 点あ

6点

　Ｃ，Ｄ，Ｅの平均は 237 ÷ 3 ＝ 79ＡとＢの 2人の平均が 3点高いのだから　 3× 2＝ 6点高いことになるあ＝ 6点より　 6÷ 3＝ 2　 79 ＋ 2 ＝ 81� 答　 81 点

★数量の合計の式を面積の関係におきかえて，面積図が書けるようにする。★面積図を用いて，様々な問題が解けるようにする。

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

①円と多角形　円周　弧の長さ▼指導ページ　P177 ～ 184 ▼

例題１　円と角度� 【基本Ａ１～３，Ｂ１】　BO＝ CO＝半径　よって，△ABCは　∠Aを頂点とする二等辺三角形。⑴　BO＝AO＝半径　　△OABも∠Oを頂点とする二等辺三角形　　∠OBA＝∠OAB＝ 35°　　x＝ 180 － 35 × 2 ＝ 110°� 答　 110 度⑵　内角と外角の関係より，∠OAC＋∠OCA＝∠y…①　　∠OAC＝ 75 － 35 ＝ 40　　⑴と同様にOA＝OC＝半径，∠OAC＝∠OCA　　①より，40 ＋ 40 ＝ 80� 答　 80 度例題２　円周の長さを求める� 【基本Ａ４】

●ポイント●円周率＝円周÷直径＝ 3.14円周の長さ＝直径×円周率＝半径× 2×円周率（円周率は 3.14 か 3 とされる場合が多い。）

35°O

A

B C

D

xy

75°

35°O

A

B C

D

xy

75°

13★円周率を理解し，円周や弧の長さを求める。★おうぎ形やいろいろな図形の周りの長さを求める。

例題３　おうぎ形の中心角と弧の長さ� 【基本Ａ５，Ｂ２，３】おうぎ形…円を 2つの半径で切り取った形中心角…2つの半径がつくる角弧…おうぎ形の曲線部分●ポイント●弧の長さ＝円周の長さ×中心角360

例題４　いろいろな図形のまわりの長さ� 【基本Ａ６，Ｂ４】　円やおうぎ形を組み合わせた図形の周りの長さを考える場合，弧と直線，弧と弧の境目を明確にして，おうぎ形の中心角を確定することが大事。

中心角弧

おうぎ形

半径

半径中心

中心角弧

おうぎ形

半径

半径中心

基本Ａ１⑴OA＝OB＝半径よって，△OABは二等辺三角形∠OAB＝∠OBA＝ 31°ゆえに∠AOB＝ 180°－31°×2＝ 118° B

Ａ

ＣO31°

x y

69°

答　 118 度基本Ａ２⑴ OCに線を結ぶOA＝OC＝半径∠OAC＝∠OCA＝ 70°同様に，OB＝ OC∠OBC＝ OCB＝ 45°∠x＝∠OCA＋∠OCB＝ 70°＋ 45°＝ 115°

B

Ａ

Ｃ70°

45°

O x

答　 115 度基本Ａ４⑴　公式にあてはめる。

5× 2× 3.14 ＝ 31.4答　 31.4cm

⑵　□× 2× 3.14 ＝ 53.38　　□にあてはまる数字を考える。　　 53.38 ÷（2× 3.14）＝ 8.5

答　 8.5cm基本Ａ５

⑴　 6× 2× 3.14 × □360 ＝ 6.28　　□にあてはまる数字を考える。

12 × □360 ＝ 2 ，□30 ＝ 2 　□＝ 60� 答　 60

⑶　□× 2× 3.14 × 30360 ＝ 9.42

　　□× 16 ＝ 3 ，□＝ 18答　 18cm

基本Ａ６⑴ 長方形のまわりの長さと直径

8cmの円の円周 2つ分の長さとの和なので，

長方形のたて＝円の直径＝ 8cmより（16＋ 8）× 2＋ 8× 3.14 × 2＝ 98.24

答　 98.24cm基本Ｂ３

O6cm2cm

おうぎ形の中心角をまず求める。360 － 90 ＝ 270一番外側の弧の長さは

（6＋2）×2×3.14×270360＝37.68…①内側の弧の長さは

2× 2× 3.14 × 270360 ＝ 9.42…②

直線部分が 6× 2＝ 12…③①＋②＋③で 37.68 ＋ 9.42 ＋ 12＝ 59.1

答　 59.1cm基本Ｂ４

D

E

A

BC

120°

120°

F

3

96

120°

△ABCは正三角形なのでおうぎ形の中心角はすべて 120°

弧 BD＝ 3× 2× 3.14 × 120360弧 DE＝ 6× 2× 3.14 × 120360弧 EF＝ 9× 2× 3.14 × 120360よってまわりの長さは

（3＋ 6＋ 9）× 2× 3.14 × 120360 ＋ 9

＝ 18 × 2 × 3.14 × 13 ＋ 9

＝ 37.68 ＋ 9 ＝ 46.68答　 46.68cm

計算しない

��

計算しない

��

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

②円とおうぎ形の面積▼指導ページ　P185 ～ 192 ▼

13

　 3× 3× 3.14 － 2 × 2 × 3.14＝ 9 × 3.14 － 4 × 3.14�

（　　）でくくる＝（9－ 4）× 3.14＝ 5 × 3.14 ＝ 15.7（cm2）

例題３　おうぎ形を組み合わせた図形の面積� 【基本Ａ２，４，Ｂ１～４】◎交換法則や分配法則を利用した計算のくふうができるようにする。

　 4× 4× 3.14 × 14 ＋ 2 × 2 × 3.14 ×12 �交換法則の利用

＝ 4× 3.14 ＋ 2 × 3.14� � � 分配法則の利用＝（4＋ 2）× 3.14 　　　　　　　　　　�＝ 6 × 3.14 ＝ 18.84（cm2）

基本Ａ１⑵

6cm

2cm

全体の面積から白い部分を引く。直径が 2＋ 6＝ 8（cm）半径は 8÷ 2＝ 4（cm）全体の円の面積は4× 4× 3.14…①白い部分も同様に

2× 2× 3.14…②①－②がかげの部分（16 － 4）× 3.14 ＝ 37.68� 答　 37.68cm2

⑷

6cm 2cm

⑵と同様に考える。直径は 6＋ 2＝ 8半径が 8÷ 2＝ 4全体の円は4× 4× 3.14…①直径が 6cmの円は

3× 3× 3.14…②直径が 2cmの円は1× 1× 3.14…③①－（②＋③）がかげの部分｛16 －（9＋ 1）｝× 3.14 ＝ 18.84� 答　 18.84cm2

基本Ａ３⑴

6cm

正方形－円と考える正方形は 6× 6＝ 36…①円は 3× 3× 3.14 ＝ 28.26…②①－②＝ 36 － 28.26 ＝ 7.74

� 答　 7.74cm2

⑶

10cm

10cm円－小さい正方形と考える円は 5× 5× 3.14 ＝ 78.5…①小さい正方形はひし形と考える。対角線＝円の直径より

10 × 10 × 12 ＝ 50…②①－②＝ 78.5 － 50 ＝ 28.5� 答　 28.5cm2

基本Ａ４⑷

⇒

6cm

6cm

6cm

6cm

図のように移動して考える

6× 6× 12 ＝ 18

答　 18cm2基本Ｂ４

1m

3m

4m 270°

2m

図より，求めるはん囲は半径 5m，中心角 270°のおうぎ形と，半径 3m，中心角 90°のおうぎ形と，半径 1m，中心角 90°のおうぎ形の和

5×5×3.14× 270360＋3×3×3.14×90360＋1×1×3.14×

90360

＝（5×5× 34 ＋3×3× 14 ＋1×1× 14 ）×3.14＝66.725� 答　 66.725m2

例題１　円とおうぎ形の面積◎円の面積がたてが半径，横が半径×円周率の長方形の面積に等しいことから，半径×半径×円周率で表されることを理解させる。

⑴　円の面積＝半径×半径×円周率　　　 4× 4× 3.14　　＝ 16 × 3.14 ＝ 50.24（cm2）⑵　おうぎ形の面

　　＝円の面積×中心角360　　　 4× 4× 3.14 × 14　　＝ 4× 3.14 ＝ 12.56（cm2）

例題２　円を組み合わせた図形の面積� 【基本Ａ１，３】◎求める面積を式で表し，3.14 でくくった計算のくふうができるようにする。

●ポイント●半径

半径×円周率円の面積　半径×半径×円周率おうぎ形の面積

円の面積×中心角360

●ポイント●半径

半径×円周率円の面積　半径×半径×円周率おうぎ形の面積

円の面積×中心角360

★円の面積の公式を理解し，円やおうぎ形の面積を求める。★いろいろな形を組み合わせた図形の面積を求める。

授

業

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開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

①帯グラフ　円グラフ▼指導ページ　P193 ～ 200 ▼

例題１　帯グラフ� 【基本Ａ１，２】◎全体を長方形で表し，それをいくつかに区切って，その長さで割合を表したグラフ。

　　全体が 10 等分されているのだから，1マスが 10％を表す。⑴　サッカーは 4マスなので，4× 10 ＝ 40� 答　 40％⑵　バスケットボールは 3マスだから，3× 10 ＝ 30％になる。サッカーが 40％で 60 人なら，60 ÷ 40 ＝ 0.15で 1％あたりがでる。バスケットボールは 30％だから，30 × 0.15 ＝ 45� 答　 45 人●ポイント●割合の 3用法（復習）第 1用法…割合＝割合にあたる量÷もとにする量第 2用法…割合にあたる量＝元にする量×割第 3用法…もとにする量＝割合にあたる量÷割合

サッカー野球バスケットボール

その他

サッカー野球バスケットボール

その他

14★グラフのしくみを理解し，読みとる。★割合から，グラフの長さや角を求める。

例題２　円グラフ� 【基本Ａ３，４，Ｂ２】◎全体を円で表し，それをいくつかに区切って，その角度によって表されたグラフ。

⑴　うどんが 80 度で 8人だから，8÷ 80 ＝ 0.1カレーが 120 度なので120 × 0.1 ＝ 12� 答　 12 人

例題３　帯グラフと円グラフのかき方� 【基本Ａ５，６，Ｂ１】⑴　まず全体に対して求めた割合がどのくらいかを考える。徒歩の人は 81 人で，全体が 180 人だから，

　 81 ÷ 180 ＝ 920全体の長さが 20cmなので，

　 20 × 920 ＝ 9� 答　 9cm

その他

うどん80° 120°

90°

ハンバーグ

カレーライスその他

うどん80° 120°

90°

ハンバーグ

カレーライス

基本Ａ１⑴　全体のマスは 10 こあり，おもちゃの部分は 2つあるので，2÷ 10 ＝ 0.20.1 ＝ 10％なので0.2 ＝ 20％

答　 20％⑵　おかしのマス 1こで，80 円だから文ぼう具のマスは 4こなので，80 × 4 ＝ 320� 答　 320 円

⑶　おもちゃは全体の 20％なので全体が 1500 円より1500 × 0.2 ＝ 300� 答　 300 円

基本Ａ４⑴　農業の人のところは 90 度なので，90 ÷ 360 ＝ 0.25� 答　 25％

⑵　商業が 72 度で 36 人なので，

36 ÷ 72 ＝ 12会社員は 120 度なので，12 × 120 ＝ 60� 答　 60 人⑶　会社員は 120 度で 210 人だから，

120 ÷ 360 ＝ 13全体の 13 を占めることになる

なので，全体は 210 ÷ 13 ＝ 630� 答　 630 人基本Ｂ１◎グラフが書かれていない問題については，グラフを書いて説明すると分かりやすくなる。

⑴25％

15cm

25％＝ 0.2515 × 0.25 ＝ 3.75

答　 3.75cm

文ぼう具おもちゃその他おかし

文ぼう具おもちゃその他おかし

会社員

農業

商業

その他

120°72°

会社員

農業

商業

その他

120°72°

⑵54 人 90 人

15cm□cm

90 人で 15cmなので，

15 ÷ 90 ＝ 16

54 人の場合　 16 × 54 ＝ 9答　 9cm

⑶

37.5％

37.5％＝ 0.375360 × 0.375 ＝ 135

答　 135 度

⑷　 40kg で 66 度だから，66 ÷ 40 ＝ 1.65100kg だから，1.65 × 100 ＝ 165� 答　 165 度

基本Ｂ２⑴　森林は 132 度なので　 132 ÷ 360 ＝ 0.3666…� 答　 36.7％⑵　農地は 104 度，住宅地は 60度なので

　 104 ÷ 60 ＝ 1 4460 ＝ 11115

答　　　　⑶

住宅地15cm

116

　全体を 1とすると住宅地の割合は

　 60 ÷ 360 ＝ 16　よって 15 × 16 ＝ 2.5

答　 2.5cm

40kg66°

100kg

40kg66°

100kg

132°

104°

60°森林

その他

農地

住宅地 132°

104°

60°森林

その他

農地

住宅地

1 1115 倍1 1115 倍

授

業

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開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

②こさの問題▼指導ページ　P201 ～ 208 ▼

例題１　食塩水のこさ・食塩の重さ・食塩水の重さを求める� 【基本Ａ１，３，Ｂ２】◎食塩水にとけている食塩の重さの，食塩水全体の重さに対する割合（％）を食塩水の濃さ（濃度）という。

食塩水全体の重さ水の重さ

割合①

食塩の重さ

（ふつう％で表す）

例題２　こさのちがう食塩水を混ぜ合わせる�【基本Ａ４】18％＝ 0.18

　 100g 中に 18％は100 × 0.18 ＝ 18g 食塩があることになる。

　 150g 中に 8％は150 × 0.08 ＝ 12g 食塩があることになる。

食塩の合計は 18 ＋ 12 ＝ 30g150 ＋ 100 ＝ 250

14★濃さの表し方を理解し，食塩水についての問題を解く。★食塩水を混ぜ合わせたりする応用的問題を解く

250g 中に 30g 食塩があるのだから濃度は，30 ÷ 250 ＝ 0.12� 答　 12％

例題３　食塩水に水を加える・水を蒸発させる� 【基本Ａ２，５，６，Ｂ１，２】◎濃度や重さのわかったものどうしを混ぜたり，蒸発させたりする。食塩水＋食塩，食塩水＋水，食塩水－水，食塩水＋食塩水の 4つのパターンから濃度を求める。

　食塩水の濃度＝（とけている食塩の重さ）÷（食塩水の重さ）× 100（％）

例題４　変わらない量に注目して，食塩や水の重さを求める� 【基本Ａ５，６，Ｂ３】

基本Ａ１◎濃度は「食塩水全体の重さ」をもとにした割合であることに留意させる。

⑴　食塩水全体の重さ＝水＋食塩＝ 90＋ 10＝ 100（g）…イ濃度　 10 ÷ 100 ＝ 0.1 → 10％…ア

答　ア　 10 ，イ　 100基本Ａ２⑴　食塩の重さ　 50 × 0.06 ＝ 3（g）全体の重さ　 50 ＋ 10 ＝ 60（g）濃度　 3÷ 60 ＝ 0.05 → 5（％）� 答　 5％

基本Ａ４〔別解〕◎比を考えた次のような方法がある。（仮称「混合法則」）⑴ 3％

200g 100g

□％ 12％1 2

② ①：

3 ＋（12 － 3）× 13＝ 6（％）

答　 6％⑵ 5％

200g 150g

□％ 19％4

④ ③：

3 5 ＋（19 － 5）× 37＝ 11（％）

答　 11％基本Ａ５⑴ 0％

60g 240g

□％ 15％4 1

① ④：

15 × 45 ＝ 12（）

� 答　 12％⑵ 0％

□g 240g

8％ 15％8 7

⑦ ⑧：

240 × 78 ＝ 210（）

� 答　 210g

基本Ｂ１⑴

24％17.5％

－ →

360g g ｇ

360×0.175＝63g

63gは全体の24％なので63÷0.24＝262.5g

蒸発させた水は　 360 － 262.5 ＝ 97.5� 答　 97.5g

⑵　さとうを 100％のさとう水と考える。17.5％

360g □g

28％ 100％

：

10.5 72

72 10.5

360 × 72 × 10.5

＝ 52.5

答　 52.5％⑶　水を 0％のさとう水と考える。

0％

③ ②

□g 360g

7％ 17.5％

：

10.57

360 × 32 ＝ 540

答　 540g基本Ｂ３◎食塩水の量が変化しないことを利用する。⑴　 40g すてた後の食塩の量は　（200 － 40）× 0.05 ＝ 8（ℓ）◎食塩水は 200g のままなので　 8÷ 200 ＝ 0.04 → 4％� 答　 4％⑵　⑴より 4％の食塩水を 80g すてたので，食塩の量は　（200 － 80）× 0.04 ＝ 4.8（g）　 4.8 ÷ 200 ＝ 0.024 → 2.4％� 答　 2.4％⑶　 4％の食塩水 10g をすてたので，食塩の量は　（200 － 10）× 0.04 ＝ 7.6（g）　この後，食塩を 10g 加えたので　（7.6 ＋ 10）÷ 200 ＝ 0.088 → 8.8％� 答　 8.8％

授

業

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開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

第 11 回～第 14 回のまとめ▼指導ページ　P209 ～ 214 ▼

1　第 11 回～第 14 回の学習内容の確認第 11 回　①割合　②百分率と割合の利用第 12 回　①平均　②平均の利用第 13 回①円と多角形　円周　弧の長さ②円とおうぎ形の面積第 14 回①帯グラフ　円グラフ②こさの問題

15★第 11 回～第 14 回の学習内容の定着。★月例テストの準備・対策。

2　学習回の内容と基本問題，練習問題との対応第 11 回①基本問題Ａ１� � 基本問題Ｂ１②基本問題Ａ１，２第 12 回①基本問題Ａ３②基本問題Ａ４� � 基本問題Ｂ２第 13 回①基本問題Ａ５� � 基本問題Ｂ３②基本問題Ａ６� � 基本問題Ｂ４第 14 回①基本問題Ａ７� � 基本問題Ｂ５②基本問題Ａ８� � 基本問題Ｂ６

基本Ａ１

⑴　もとにする量＝クラス全体，男子の割合＝ 1－ 47 ＝37

42 × 37 ＝ 18� 答　 18 人⑵　もとにする量＝お父さん，割合にあたる量＝さとし君

12 ÷ 313 ＝ 52� 答　 52 才⑵　もとにする量＝クラス全体，割合にあたる量＝欠席者数

3÷ 40 ＝ 00.75 → 7.5％� 答　 7.5％基本Ａ４◎面積図を用いて解く。

138cm 139cm

□人 12 人

あい 143cm女子

男子

あ＝いであることを利用する。い＝（143 － 139）× 12 ＝ 48よって，48 ÷（139 － 138）＝ 48

答　 48 人基本Ａ５

B

Ａ

E

D F

Ｃ

3 つの円は半径が等しいので△ABC，△ABD，△BCE，△ACFは正三角形である。よって，∠ABD＝∠ABC＝∠CBE＝ 60°ゆえに弧DEは半円の弧同様に，弧BCF＝弧 BAF…中心角 120°の弧

6×2×3.14× 180360 ＋6×2×3.14×120360×2＋6×2×3.14×

60360×2

＝（6＋8＋4）×3.14＝56.52� 答　 56.52cm基本Ａ８⑴　食塩水のうち 15％が食塩→ 85％が水　 340 ÷ 0.85 ＝ 400…食塩水の量　 400 － 340 ＝ 60� 答　 60％⑵ 5％

100g 400g

□％ 15％4 1

① ④：

5 ＋（15 － 5）× 45＝ 13� 答　 13％

基本Ｂ２⑴　 16 人で 12 日かかるので，1人では

16 × 12 ＝ 192� 答　 192⑵　 192 ÷ 24 ＝ 8� 答　 8日⑶　 6人で 8日→ 6× 8＝ 48　 3 人で 7日→ 3× 7＝ 21残りの仕事量は 192 －（48 ＋ 21）＝ 123これを 3日で仕上げるので123 ÷ 3 ＝ 41� 答　 41 人

基本Ｂ３

yx

A E

CB

D

152°

△ABCは三角形△ABDと△ACEは二等辺三角形であることを利用する。

⑴　∠x＝｛180 －（152 － 60）｝÷ 2＝ 44� 答　 44 度⑵　∠y＝∠CAE＝ 180 －（44 ＋ 60）＝ 76� 答　 76 度基本Ｂ５

文ぼう具60％その他本

375円

あ 2cm20cm

おかし

⑴　 2÷ 20 ＝ 0.1 → 10％� 答　 10％⑵　 2500 円で 20cmなので，

　　 20 × 3752500 ＝ 3� 答　 3cm⑶　 2500 × 0.6 ＝ 1500� 答　 1500 円

⑷　 144 度は全体の 144360 ＝25

　　 1500 × 25 ＝ 600� 答　 600 円⑸　えんぴつの割合は4501500 ＝

310

360 × 310 ＝ 108� � 答　 108 度

144°

ノートその他

えんぴつい

消しゴム 144°

ノートその他

えんぴつい

消しゴム

授

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開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

①道順▼指導ページ　P215 ～ 222 ▼

例題１　同じ点を 2度通らずに行く道順� 【基本 A１，２，B２】◎落ちや重なりがないように，樹形図（ツリー）を書いて求める。

Ａ

Ｂ

ＣＤＡＣＢ

Ｄ

ＤＣ

Ｄ

ＤＢ

Ｄ答　 5通り

例題２　きまった点を通る道順� 【基本 A３，４，B１，２】

Ａ①

アエ

ＣＢ

Ａ②

ア

オ

ＣＢ

アを通ってＣへ行く道順は①と②の 2通り� 答　 2通り

●ポイント●m通りのことがらと n通りのことがらが引き続いて起こるとき，全体ではm× n通り

●ポイント●m通りのことがらと n通りのことがらが引き続いて起こるとき，全体ではm× n通り

16

例題３　ごばんの目の形をした道を通る道順� 【基本 A５，６】◎出発点に最も近い交差点から順に最短となる道順を記入していく。

⑴1 2 3 4

Ａ 1 1 1

3 7Ｂ

答　 7通り

⑵1 2 Ｃ 1

Ａ 1 1

1 2Ｂ

3

　　Ａ→Ｃ→Ｂ　　　 3　 2

　　 3× 2＝ 6答　 6通り

●ポイント●（a＋ b）通りa 通り

b通り

●ポイント●（a＋ b）通りa 通り

b通り

基本A１⑴

ＡC

BＥD

EＥＡＢ

Ｃ

Ｄ

Ｅ

答　 3通り⑵

Ａ

Ｂ…（3通り）

BＤ

ＥＥ

Ｃ

Ｃ DE

B

ＥＥ

ＥＥ答　 10 通り基本A３⑴　積の法則を使う

3× 4＝ 12�答　 12 通り

⑵　行き 12 通り，帰り 12 通り　　 12 × 12 ＝ 144

答　 144 通り⑶　行きに通った道は帰りに通れないので帰り…（3－ 1）×（4－ 1）＝ 2× 3＝ 612 × 6 ＝ 72

答　 72 通り※積の法則を用いられるのは，m通りのものそれぞれについて n通りが成り立つ場合である。

基本A５◎交差点ごとにその最短の道順を順にすべて書き入れていく。

⑴11

1 234

1 1

3

10106

4

302010

5

653515

5

1205520

1 1 答　 120 通り⑵

11A

B

23

1 1

36

4

1110

321

631

1

C

A→ C　 10 通りC→ B　 6通り10 × 6 ＝ 60

答　 60 通り

⑶　全部…120 通り，Cを通る…60 通りCを通らない…120 － 60 ＝ 60（通り）

答　 60 通り基本B１⑴ Ａ → Ｂ → Ｃ → Ｄ

3通り

2通り

4通り

3×2×4＝24

答　 24 通り⑵　（3－ 1）×（2－ 1）×（4－ 1）＝ 2× 1× 3＝ 6� 答　 6通り

⑶　少なくとも 1回は使う→全部から 1回も使わないときを引く。　　 24 － 6 ＝ 18� 答　 18 通り

基本Ｂ２⑴　図のようにＤ，Ｅをとると

Ｅ

Ｃ

A

Ｂ

Ｄ

2通り

Ａ　Ｃ　Ｂ　Ｄ　Ｂ　Ｅ　Ｂ　　　　　　Ｅ　Ｂ　Ｄ　Ｂ

2通り

この 2通りについてそれぞれ　 2× 2× 2× 1× 2× 1＝ 16（通り）全部で　 2× 16 ＝ 32� � 答　 32 通り

⑵ Ｂ　Ｃ　Ａ　Ｃ　Ｂ　Ｄ　Ｂ　Ｅ　Ｂ　　　　　　　　　　Ｅ　Ｂ　Ｄ　Ｂ　　Ｄ　Ｂ　Ｅ　Ｂ　Ｃ　Ａ　Ｃ　Ｂ　　　　　　Ｃ　Ａ　Ｃ　Ｂ　Ｅ　Ｂ　　Ｅ　Ｂ　Ｄ　Ｂ　Ｃ　Ａ　Ｃ　Ｂ　　　　　　Ｃ　Ａ　Ｃ　Ｂ　Ｄ　Ｂ

6通り

　　それぞれ 16 通り　 6× 16 ＝ 96� 答　 96 通り⑶ Ｃ　Ａ　Ｂ　Ｄ　Ｅ

　　　　　　Ｅ　Ｄ　　Ｂ　Ｄ　Ｅ　Ａ　　　　Ｅ　Ｄ　Ａ

4通り 4 × 16 ＝ 64答　 64 通り

★道順についての場合の数を求める。★最短距離でいく場合の数を求める

授

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例

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要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

②ならべ方の利用▼指導ページ　P223 ～ 230 ▼

例題１　積の法則を利用してならべ方を求める⑴� 【基本Ａ１～３，Ｂ２】◎ a通りのそれぞれについて b通り　→　a× b通り⑴

㋐㋑

㋐　 3色→ 3通り　そのそれぞれについて㋑　 3－ 1＝ 2通り　（㋐で使った色を除く）

ぬりわけ方　 3× 2＝ 6通り� 答　 6通り⑵　㋒　�㋓　�㋔

4�× �3�× �2 　＝ 24　　　（4－ 1）� �（4 － 2）� 答　 24 通り

例題２　積の法則を利用して順列を求める⑵� 【基本３，４，７，Ｂ１】◎異なるカードを使った並べ方を中心にいろいろな並べ方を考える。

16★積の法則を利用して場合の数を求める。★いろいろな並べ方を場合わけしたり，整理して求める。

⑴百の位　十の位　一の位×0　　　　0　　　 0　1　　　　1　　　 1　2　　　　2　　　 2　3　　　　3　　　 3

0を除く 0 　 1 　 2 　 33 ケタの数3通り× 3× 2＝ 18 通り

例題３　ならべるものに同じものがあるならべ方� 【基本Ａ５～７，Ｂ２】◎同じカードを含むいくつかのカードを並べる順列を考える。場合わけを考えて処理する。1　 2　 3　 3・3を 1個使う　{1 ，2 ，3}　 3 × 2 × 1 ＝ 6 通り・3を 2個使う　{1 ，3 ，3}　と　{2 ，3 ，3}⑴ 1　3　3

3　1　3　 3　1

3 通り× 2＝ 6通り全部で 6＋ 6＝ 12 通り

基本Ａ１⑴

㋐㋑㋒�㋐　�㋑　�㋒�3�× �2�× �1 ＝ 6 通り

答　 6通り

⑵　 3色のうち　　　　　㋐　�㋑　�㋒2 色でぬりわける　　 3�× �2�× �1 ＝ 6　　　　　　　　　　　　（㋐と同じ色）� 答　 6通り

基本Ａ３⑴　大の目，小の目の出方はそれぞれ 6通りなので

6× 6＝ 36� 答　 36 通り⑵　大…3以下　→　 3通り

3× 4＝ 12小…3以下　→　 4通り� 答　 12 通り⑶　積が奇数→大，小，両方とも奇数　 3× 3＝ 9� 答　 9通り基本Ａ５◎場合わけをして考える。⑴　｛�1 ，2 ，3 ，4 ，4�｝　 2けたの整数　　・4を 2つ使う…44（1 通り）　　・4を 2つ使わない｛�1 ，2 ，3 ，4�｝　　��4 × 3 ＝ 12（通り）　　全部で，1＋ 12 ＝ 13� 答　 13 通り⑵　一の位で場合わけする・一の位が 2のとき十の位は｛�1 ，3 ，4�｝→ 3通り・一の位が 4のとき十の位は｛�1 ，2，3，4�｝→ 4通り全部で，3＋ 4＝ 7� 答　 7通り

基本Ａ７⑴ ｛�0 ，1 ，2 ，3 ，4�｝（何度使ってもよい）

十の位一の位4 × 5 ＝　 20

（0 を除く）（0を含む）答　 20 通り⑵　一の位が 0のとき，2のとき，4のときを考える。　　千　百　十　一　　　 4× 5× 5× 3＝ 300　（0以外）　（0，2，4）� 答　 300 通り

基本Ｂ１⑴　 5人の順列　 5× 4× 3× 2× 1＝ 120 通り� 答　 120 通り⑵　残り 4人の順列　 4× 3× 2× 1＝ 24� 答　 24 通り⑶　Ｄが左はしにならない＝全部－Ｄが左はしになる。

120 － 24 ＝ 96答　 96 通り

⑷　ＡとＢを 1組と考えると　　 4つの順列　 4× 3× 2× 1＝ 24　　ＡとＢの並び方は 2通りなので全部で　　 24 × 2 ＝ 48

答　 48 通り⑸　⑶と同様の考え方

120 － 48 ＝ 72答　 72 通り

基本Ｂ２⑴　㋐　㋑　㋒　㋓　　 6× 5× 4× 3＝ 360

答　 360 通り⑵　㋐　 6色のうちのどれか� …6 通り㋑　㋐を除く残りの色� …5 通り㋒　㋐と同じ色� � …1 通り㋓　㋑と同じ色� � …1 通り6× 5× 1× 1＝ 30� 答　 30 通り

⑶　同じ色になるのは，㋐㋒，㋐㋓，㋑㋓の 3パターン。　　㋐㋒　¦　㋑　¦　㋓　のとき　 6× 5× 4＝ 120…1 パターンあたり，　 120 × 3 ＝ 360� 答　 360 通り

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指導のねらい

①選び方の利用▼指導ページ　P231 ～ 238 ▼

例題１　ことなるものから 2個を選ぶ組み合わせ� 【基本 A１，２，B１～３】◎組み合わせを樹形図で書く場合は，必ず順番を守って書くようにする。

・異なるＮ個のものから 2個選ぶ組み合わせ①　Ｎ個から 2個選んで並べるときの順列を考える②　 2個の並べ方は 2通りあるので 2でわる　⇒�Ｎ×（Ｎ－ 1）÷ 2 �

例題２　ことなるものから 3個を選ぶ組み合わせ� 【基本 A１，２，B３】・異なるＮ個のものから 3個選ぶ組み合わせ①　Ｎ個から 3個選んで並べるときの順列を考える②　 3個の並べ方は 3× 2× 1＝ 6通りあるので 6でわる　⇒�Ｎ×（Ｎ－ 1）×（Ｎ－ 2）÷ 6 �※残りの組み合わせから求める方法もチェックしておく。

17

例題３　同じものをふくむ場合の組み合わせ� 【基本 A３，４】◎同じものがいくつあるかに注意して樹形図を使う。1�，2�，2，3�，3�　←�書くとミスが少なくなる　 �2 2 　　　 2 31 　 3 　　 2� � 3 3　 � 3 3� 答　 5通り

例題４　複数の組み合わせ� 【基本 A５，B２】◎それぞれについて組み合わせを考え，積の法則を使う。

・男子の選び方　 5× 4÷ 2＝ 10 通り・女子の選び方　 8× 7× 6÷ 6＝ 56 通り全部で　 10 × 56 ＝ 560 通り� 答　 560 通り

基本A２◎計算で求める方法の定着をねらう。⑴　 6人から 2人選ぶ

6× 5÷ 2＝ 15� 答　 15 通り⑵　 6人から 3人選ぶ

6× 5× 4÷ 6＝ 20� 答　 20 通り⑶　 6人から 4人選ぶ→ろうかではない人を 2人選ぶ

6× 5÷ 2＝ 15� 答　 15 通り基本A３⑩　⑩　�　�　�

⑴　⑩　　

⑩　 20 円　　　� �　 100 円　　　�　 60 円� 答　 3通り

⑵　⑩　　

⑩ �　 70 円　� � �　 150 円　　　� �　 110 円� � 答　 3通り

⑶　枚数ごとに場合わけして考える　（枚数がちがって金額が等しくならないかチェックする）1枚　 10 円・50 円…2通り2枚　 20 円・60 円・100 円…3通り

11 通り3枚　 70 円・110 円・150 円…3通り4枚　 120 円・160 円…2通り5枚　 170 円…1通り� 答　 11 通り基本A４　※りんご，みかん，かきをそれぞれＡ，Ｂ，Ｃとする。⑴　まなさんがかきを 1つもらう→A2，B3 ，から 3つ。

ＢＢＢＡＢＡＢ

Ｂ　 3通り

　かきを 2つもらう→A2，B3 から 2つＢＢＡ

ＢＡ

3 通り � 3 ＋ 3 ＝ 6 答　 6通り

⑵　はつき君を考えればよい　　 2人にみかんを 1つずつ配ったあとを考える。　　A2，B1 ，C2 から，はつき君は 2つもらう。

ＢＣＣＣＡＢC

Ａ　 5通り答　 5通り

⑶

Ａ

ＡB

ＣＣ

Ｂ

Ｃ BＣＢ

BＣ

BＣＣ 8 通り

答　 8通り基本A５⑴　男女の区別がないので　　 15 × 14 ÷ 2 ＝ 105

答　 105 通り⑵　男子 1人の選び方…6通り女子 1人の選び方…9通り全部で　 6× 9＝ 54� 答　 54 通り

⑶　男子 2人…6× 5÷ 2＝ 15女子 2人…9× 8÷ 2＝ 36全部で　 15 × 36 ＝ 540� 答　 540 通り

⑷　男子 3人…6× 5× 4÷ 6＝ 20女子 3人…9× 8× 7÷ 6＝ 84全部で　 20 × 84 ＝ 1680� 答　 1680 通り

基本B２⑴　㋐～㋓の選び方を①～⑤の選び方と考え，積の法則を使えばよい。㋐～㋓から 2本…4× 3÷ 2＝ 6①～⑤から 2本…5× 4÷ 2＝ 10全部で，6× 10 ＝ 60� 答　 60 個

⑵　 7つのチームから 2チームを選ぶ7× 6÷ 2＝ 21� 答　 21 通り

★異なるものでの組み合わせを整理して求める。★同じものを含むものでの組み合わせを整理して求める。

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の

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指導のねらい

②複合図形の面積▼指導ページ　P239 ～ 246 ▼

例題１　図形を分割して面積を求める� 【基本 A１，B１】⑴ 10cm

12cm

6cm

4cm

A

B

DC

点線部分がヒントになる。△ACDは底辺が12 － 4 ＝ 8 ，高さが 6の三角形△ABDは底辺も 8，

高さが 10 の三角形よって，8× 6÷ 2＋ 8× 10 ÷ 2 ＝ 64� 答　 64cm2例題２　図形を移動して面積を求める� 【基本 A２，B１】◎この手の問題はどの図形と，どの図形の面積が等しいかを考える。

17

4cm

図のように線を自分で書き足すと，等しい部分が見えてくる。すると，4分円から直角二等辺三角形を引いた部分が求める面積になる。

4× 4× 3.14 × 14 － 4 × 4 ÷ 2 ＝ 12.56 － 8 ＝ 4.56　　　 4分円　　　　二等辺三角形� 答　 4.56cm2例題３　面積が等しい部分を利用して面積を求める� 【基本 A３～５，B２】⑴

12cm

A D EF

B C18cm

△BCFと△DEFの面積の差は 72ABCDの面積は12 × 18 ＝ 216

△ ABEは 216 － 72 ＝ 144� 答　 144cm2

基本A２⑶

18cm

P

O

Q

線を図のように書き足し，等しい面積の部分を見つける。半円の直径は 18cm半径は 18 ÷ 2 ＝ 9PQは半円の弧の 3等分の長さなのでおうぎ形OPQの中心角＝ 60°

　 9× 9× 3.14 × 60360 ＝ 42.39答　 42.39cm2

基本A５⑴

3cm

x

12cm

8cm

A D

F

E

B C

㋐

㋑

㋐と㋑が等しいということは，△EDC＝△ BCFとなる。

△EDC＝ x × 8 × 12

△ BCF＝ 3× 12 × 12 ＝ 18△ EDC＝△ BCFより

x× 8× 12 ＝ 18 ，x × 4 ＝ 18 ，x ＝ 4.5� 答　 4.5cm⑵　㋐－㋑＝ 10 ということになる。　△EDC－△ BCF＝ 10 になるから，　⑴の式を利用して　△EDC－ 18 ＝ 10 ，△ EDC＝ 28

△ EDC＝ x × 8 × 12 ＝ 28 ，x ＝ 7� 答　 7cm

基本B１⑴ 8cm 8cm

⇒

　真ん中は正方形なので，半円の直径 8cm，　半径は 8÷ 2＝ 4cm　よって，半円と底辺 8cm，高さ 12cmの三角形の和，　 4× 4× 3.14 ÷ 2＋ 8× 12÷ 2＝ 25.12 ＋ 48＝ 73.12

答　 73.12cm2⑶ 図のように移動させると，

半径 6m，中心角 60°のおうぎ形

6× 6× 3.14 × 60360 ＝ 18.84答　 18.84cm2

基本B２⑴ A

B

D

C F

E16cm

7cm

△FCE＋ 24 ＝△AEDだから，△DCF＋ 24 ＝△AFDとなる。（△DEFが共通だから）△DCF＝ 7× 16 ÷ 2 ＝ 56よって，△AFD＝ 56 ＋ 24 ＝ 80

答　 80cm2⑵　△AFD＝ 80 より　　AD× 16 ÷ 2 ＝ 80　　AD× 8＝ 80　　AD＝ 10

答　 10cm

★複合図形を分割したり，等しい部分を見つけ，面積が求められるようにする。

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重

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の

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説

例


指導のねらい

①角柱　円柱▼指導ページ　P247 ～ 254 ▼

例題１　角柱の側面積と表面積� 【基本Ａ１，２，Ｂ２】◎角柱の側面はいくつかの面から成り立っているが，角柱の高さを 1辺とする長方形にまとめて考えることができる。

⑴　底辺のまわりの長さに等しい。　 3＋4＋5＝12（cm）⑵　 1つの長方形にまとめて考える　 4×あ＝ 4× 12 ＝ 48（cm2）⑶　表面積は 2つの底面積と側面積の和（3× 4÷ 2）× 2＋ 48 ＝ 60（cm2）

例題２　円柱の側面積と表面積� 【基本Ａ３，Ｂ１，３】◎側面積と表面積の求め方は，角柱の場合と同じであるが，計算のくふうを考えたい。

●ポイント●・角柱の側面積　底面のまわりの長さ×高さ・角柱の表面積　底面積× 2＋側面積

●ポイント●・角柱の側面積　底面のまわりの長さ×高さ・角柱の表面積　底面積× 2＋側面積

18★角柱，円柱の表面積を求める。★角柱，円柱の体積を求める。

⑴　あの長さ＝底面の円周の長さ4× 3.14 ＝ 12.56（cm）

⑵　展開図で長方形となる。12.56 × 3 ＝ 37.68（cm2）

⑶　 2つの底面積＋側面積2× 2× 3.14 × 2 ＋ 12 × 3.14＝（8＋ 12）× 3.14 ＝ 20 × 3.14 ＝ 62.8（cm2）

例題３　角柱と円柱の体積� 【基本Ａ１～４，Ｂ１～３】◎いずれの体積も（底面積）×（高さ）で求めることができる。

⑴　 8× 6÷ 2× 12 ＝ 288（cm3）⑵　 2× 2× 3.14 × 5 ＝ 20 × 3.14＝ 62.8（cm3）

●ポイント●角柱・円柱の体積　底面積×高さ

●ポイント●角柱・円柱の体積　底面積×高さ

基本Ａ２◎面の厚みは考えないのでい＝（底面のまわりの長さ）が成り立つ。

⑴　い＝底面のまわりの長さ＝ 8＋ 18 ＋ 13 ＋ 13 ＝ 52（cm）

答　 52cm　⑵　側面積＝い×（角柱の高さ）　　　　　＝ 52 × 25 ＝ 1300� 答　 1300cm2⑶　表面積＝底面積× 2＋側面積　　　＝（8＋ 18）× 12 ÷ 2 × 2 ＋ 1300　　　＝ 156 × 2 ＋ 1300 ＝ 1612� 答　 1612cm2

⑷　 156 × 25 ＝ 3900� 答　 3900cm3基本Ａ３◎円柱の側面は曲面だが展開図では長方形として表され，側面積＝展開図の長方形の面積とみなして計算してよいとする。

⑴　う＝底面の円周の長さ　　＝ 4× 2× 3.14 ＝ 25.12（cm）� 答　 25.12cm⑵　う× 12 ＝ 25.12 × 12 ＝ 301.44� 答　 301.44cm2⑶　円柱の表面積＝底面積× 2＋側面積

4× 4× 3.14 × 2 ＋ 301.44 ＝ 32 × 3.14 ＋ 301.44＝ 100.48 ＋ 301.44 ＝ 401.42� 答　 401.92cm2

⑷　 4× 4× 3.14 × 12 ＋ 602.88� 答　 602.88cm3

いい

うう

基本Ｂ１⑴　あ＝底面の弧の長さ

＝ 12 × 2 × 3.14 × 60360＝ 4 × 3.14 ＝ 12.56� 答　 12.56cm　

⑵　底面積× 2＋表面積

　　＝ 12× 12× 3.14 × 60360× 2＋ 15×（12× 2＋ 12.56）　　＝ 75.36 × 2 ＋ 548.4 ＝ 699.12� 答　 699.12cm2⑶　体積＝底面積×高さ　　＝ 75.36 × 15 ＝ 1130.4� 答　 1130.4cm2

⑷　円柱の 16 →イ� 答　イ基本Ｂ２◎体積から辺の長さが求められる。xを用いて式をたて，逆算により xを求める。

⑴

x

い6

12

底面の横の長さを xcmとすると6× x × 12 ＝ 648x ＝ 648 ÷ 72 ＝ 9あ＝ 6× 2＋ 9× 2＝ 30� 答　 30cm

⑵　 30 × 12 ＋ 6 × 9 × 2 ＝ 360 ＋ 108 ＝ 468答　 468cm2

基本Ｂ３◎式が複雑になる場合は，側面積と底面積などにわけて求める。

⑴　底面積＝ 6× 6× 3.14 × 12 ＋ 5 × 12 ×12 ＝ 86.52

　　側面積＝ 15 ×（5＋ 13 ＋ 12 × 3.14 × 12 ）＝ 552.6

　　表面積＝ 86.52 × 2 ＋ 552.6 ＝ 725.64答　 725.64cm2

⑵　体積＝ 86.52 × 15 ＝ 1297.8� 答　 1297.8cm3

あ60°

1512 あ60°

1512

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の

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説

例


指導のねらい

②水量の変化とグラフ▼指導ページ　P255 ～ 262 ▼

18

例題３　仕切りのある水そうに水を入れる� 【基本Ａ５，Ｂ２】◎容器の底面積が変化するところでわけて考える。◎ 1ℓが 1000cm3 で，1辺が 10cmの立方体の容積であることを確認する。グラフを読み取れることを定着させる。⑴　図 2より仕切り板の高さは 15cm　　Ｂの部分に水を入れている間，高さは変わらないのだから，25 － 10 ＝ 15 分この間，入った水は 15 × 1200 ＝ 18000たて×横×高さ＝水の量なので40 ×□× 15 ＝ 18000□＝ 30

答　 30cm●ポイント●1ℓ＝ 1000cm3●ポイント●1ℓ＝ 1000cm3

基本Ａ１◎グラフの変化と水を入れる管の使い方を対応させる。⑴　 3分で 9cm→ 1分で 9÷ 3＝ 3（cm）　　　 25 × 12 × 3 ＝ 900（cm3）＝ 0.9（ℓ）� 答　毎分 0.9ℓ⑵　グラフから，3分，9cmで変化3分まで→Ａ管のみ，3分以降→Ａ管とＢ管3分以降では 6－ 3＝ 3分間に 24 － 9 ＝ 15（cm）1分で 15 ÷ 3 ＝ 5（cm）25 × 12 × 5 ＝ 1500（cm3）＝ 1.5（ℓ）Ｂ管 1分では 1.5 － 0.9 ＝ 0.6（ℓ）� 答　毎分 0.6ℓ基本Ａ４⑴　図 2から分かるように 15cm� 答　 15cm⑵　たて×横×高さ＝容積より

35 × 40 × 15 ＝ 21000（cm3）1000cm3 ＝ 1ℓより 21ℓ図 2より，水を入れていた時間は 6分なので21 ÷ 6 ＝ 3.5� 答　毎分 3.5ℓ

⑶　 1分に 3.5ℓずつ入れていくので図 2より，18 分間入れ続けると，3.5 × 18 ＝ 63� 答　 63ℓ⑷　かげをつけたところの体積は3500 ×（18 － 6）＝ 42000（cm3）たて＝ 40cm，横＝ 60cmより□＝42000÷ 24000＝ 17.5い＝ 17.5 ＋ 15 ＝ 32.5

答　 32.5

60

15

40

□

60

15

40

□

基本Ａ５⑴　Ａの容積＝ 0.5 × 8 ＝ 4（ℓ）＝ 4000（cm3）x ＝ 4000 ÷（10 × 20）＝ 20� 答　 20cm

⑵　Ｂの容積＝ 0.5 ×（12 － 8）＝ 2（ℓ）＝ 2000（cm3）y ＝ 2000 ÷（10 × 20）＝ 10

答　 10cm⑶　 20 × 30 × 15 ＝ 9000（cm3）＝ 9（ℓ）

答　 9ℓ⑷　 9000 ÷ 500 ＝ 18

答　 18基本Ｂ１

⑴　グラフから 15 分で 18cm→ 1分で 65 cm

1 分あたり 60 × 40 × 65 ＝ 2880（cm3）＝ 2.88（ℓ）� 答　毎分 2.88ℓ

⑵　 19 分間に入れた水の量から下段の水の量を引いたものが上段2880 ×（19 － 15）＝ 11520cm3あ＝ 11520 ÷（40 × 12）＝ 24� 答　 24cm

基本Ｂ２⑴　グラフより仕切りの高さ＝ 25cm　　 15 分で 80 × 30 × 25 ＝ 60000（cm3）入れたので　　 1分あたり 60000 ÷ 15 ＝ 4000（cm3）＝ 4（ℓ）� 答　毎分 4ℓ⑵　Ｂの容積＝ 4000 ×（15 － 12）＝ 12000cm3　x ＝ 12000 ÷（30 × 25）＝ 16� 答　 16cm

⑶　深さ 40cmのときの容積は　 80 × 40 × 30 ＝ 96000（cm3）＝ 96（ℓ）1分あたり 4ℓの割合で水を入れているので96 ÷ 4 ＝ 24� 答　 24

⑷　 30 分水を入れたときの容積は4000 × 30 ＝ 120000（cm3）い＝ 120000 ÷（80 × 30）＝ 50� 答　 50

11520cm3

あ

4012

11520cm3

あ

4012

例題１　直方体の水そうに水を入れる� 【基本Ａ１，２】◎深さの変化に注目し，1分あたりの深さの変化量や 1分あたりの水量の変化量を使って考える。◎グラフの傾きから水量や深さの変化量を読みとる。⑴　グラフからＡ管だけで深さは 1分に 2cm深くなる。

1分間で 25 × 40 × 2 ＝ 2000cm3 ＝ 2ℓ入る

例題２　底面積が変わる水そうに水を入れる� 【基本Ａ３，４，Ｂ１】◎グラフの変化と水そうの形とを対応させて考える。グラフの変化　→　段の高さあ＝ 8cm…⑴（4分，8cm）　　 4分で 20 × 50 × 8 ＝ 8000cm3 ＝ 8ℓ　　　　　　 1分で 8÷ 4＝ 2ℓ…⑵

★容積や体積，深さなどを求める。★一定の割合で水を入れたときの深さや時間や体積を求める。

授

業

展

開

例

重

要

問

題

の

解

説

例


指導のねらい

第 16 回～第 18 回のまとめ▼指導ページ　P263 ～ 268 ▼

1　第 16 回～第 18 回の学習内容の確認第 16 回　①道順　②ならべ方の利用第 17 回　①選び方の利用　②複合図形の面積第 18 回①角柱　円柱②水量の変化とグラフ

19★第 6回～第 18 回の学習内容の定着。★月例テストの準備・対策。

2　学習の内容と基本問題との対応第 16 回①基本問題Ａ１� � 基本問題Ｂ１②基本問題Ａ２，３� 基本問題Ｂ２第 17 回①基本問題Ａ４� � 基本問題Ｂ３②基本問題Ａ５，６� 基本問題Ｂ４，５第 18 回①�� 基本問題Ｂ６②基本問題Ａ７� � 基本問題Ｂ７

基本A１⑴

11 2

3

1Ａ 1

3

666

4

221610

5

533115

6

Ｂ1055221

1 1 1 答　 105 通り⑵

11A

B

23

1 1

36

21 3

1 1

4

1C

A→ C　 6通りC→ B　 4通り6× 4＝ 24

答　 24 通り基本A５⑴

10cm

12cm

15cm

20cm

中央の長方形＝ 12 × 10 ＝ 120まわりの 4つの三角形＝（15× 20－ 12× 10）÷2＝ 180÷ 2＝ 90120 ＋ 90 ＝ 210� 答　 210cm2

⑵　半径 6cmの 4分円から底辺 3cm，高さ 6cmの三角形を引く

　　 6× 6× 3.14 × 14 － 3 × 6 ×12 ＝ 28.26 － 9 ＝ 19.26

� 答　 19.26cm2基本Ａ７⑴　グラフよりあは 15cm� 答　 15cm⑵　下段の容積＝ 20 × 30 × 15 ＝ 9000（cm3）＝ 9（ℓ）これを 6分で入れたので 1分あたり 9÷ 6＝ 1.5（ℓ）� 答　毎分 1.5ℓ

⑶

20cm

□ 30cm10cm

い

上段の容積＝ 1500 ×（15 － 6）＝ 13500（cm3）□＝ 13500 ÷（30 × 10）＝ 45い＝ 45 － 20 ＝ 25� 答　 25cm

基本B２⑴　男子を△，女子を○とすると　　○△○△○△○　　という並び方しかない。　　男子の並び方＝ 3× 2× 1＝ 6　　女子の並び方＝ 4× 3× 2× 1＝ 24　　全部＝ 24 × 6 ＝ 144

答　 144 通り⑵ △ ○ ○ ○ ○ △

↑ ↑ ↑　両はしとなる男子の選び方…3通り　その 2人のならび方…2通り　残りの男子の位置＝矢印の位置…3通り　女子のならび方…24 通り　全部＝ 3× 2× 3× 24 ＝ 432� 答　 432 通り基本B３⑴　（1，1，5）のように 3つの数の和が 7となる組み合わせを考える。

1

1

3

2

5

3

4　 2－ 2－ 3

答　 4種類基本B６

⑴　 12 × 12 × 12 － 5 × 12 × 12 × 12 ＝ 1368　　　　　�立方体　　　　　　　　三角柱

答　 1368cm3⑵　立方体の表面積＝ 12 × 12 × 6 ＝ 864

減った面積＝ 12 × 12 ＋ 5 × 12 ＋ 5 × 12 × 12 × 2　　　　　＝ 144 ＋ 60 ＋ 60 ＝ 264増えた面積＝ 12 × 13 ＝ 156　　　　　　 864 － 264 ＋ 156 ＝ 756� 答　 756cm2

1 ①約数と公約数 - edu-network.jp ·...

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