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MATERIAL 02 PROBABILIDADE PROF. ADRIANO CARIB

ESPAO AMOSTRAL

Chama-se espao amostral a um conjunto formado por todos os resultados possveis de um experimento aleatrio.

EXEMPLO

a) Lanar uma moeda e observar a face de cima U = {cara, coroa}.

b) Lanar um dado e observar o nmero da face de cima U = {1 ; 2; 3; 4; 5 ; 6}.

EVENTO

Chama-se evento a todo subconjunto do espao amostral. Geralmente indicamos um evento por uma letra maiscula (A, B, C, ...). Dizemos que um evento A ocorre se, realizado o experimento, o resultado obtido pertence a A. Os eventos que possuem um nico elemento so chamados eventos elementares.

EXEMPLO

Quando um dado lanado, observam-se alguns eventos:

A: ocorrncia de nmero par. A = {2 ; 4; 6} B: ocorrncia de nmero maior que 4. B = {5 ; 6} C: ocorrncia do nmero 1. C = {1}

ESPAO AMOSTRAL EQUIPROVVEL

Dizemos que um espao amostral equiprovvel se todos os eventos elementares tiverem a mesma probabili-dade de ocorrer.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO NUM ESPAO AMOSTRAL EQUIPROVVEL

Seja U um espao amostral equiprovvel e seja A U um evento Temos que:

P (A) = )U(n)A(n

PROBABILIDADE DA UNIO DE DOIS EVENTOS

Se A e B so eventos de um mesmo espao amostral, A B o evento que ocorre se e somente se ocorre o evento A ou ocorre o evento B, ou seja, se pelo menos um dos dois eventos ocorre. A B o evento que ocorre se e somente se ocorrem ambos os eventos A e B. Para calcular a probabilidade de ocorrer o evento A B, podemos utilizar a frmula abaixo:

P(A B) = P(A) + P(B) P (A B)

Observao: Se A B = , os eventos A e B so chamados mutuamente excludentes e neste caso P(A B) = P(A) + P(B).

Nmero de elementos do evento A Nmero de elementos do espao amostral

Probabilidade de ocorrncia do evento A

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Exemplo: Qual a possibilidade de, retirando ao acaso uma carta de um baralho de 52 cartas, encontrarmos uma carta que seja de copas ou seja rei?

Soluo: No baralho, das 52 cartas, 13 so de copas e 4 so reis. Logo a probabilidade de retirarmos uma carta de copas P(copas) =

5213

e a de retirarmos um rei P(k) = 524

. Ora, ocorre que estes eventos no so mutuamente

excludentes, pois existe um rei de copas, ou seja existe interseco entre estes eventos e a probabilidade de ocorrer a interseco P(k copas) =

521

. Finalmente para calcularmos a probabilidade de ocorrer a unio destes dois

eventos, podemos fazer:

P(k copas) = P(k) + P(copas) P(k copas) P(k copas) =

5216

521

5213

524

=+

P(k copas) = 134

Portanto a probabilidade da carta retirada ser rei ou ser de copas 134

.

PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR

Dado um evento A, chamamos de evento complementar de A e indicamos por A , o evento que ocorre se e somente se o evento A no ocorre, ou seja, calcular a probabilidade de ocorrer o evento complementar de A ( A ) calcular a probabilidade de no ocorrer A. Isto pode ser feito com a frmula:

P( A ) = 1 P(A)

Exemplo: Qual a probabilidade de, jogando um dado, o resultado no ser 6:

Soluo: Ora a probabilidade do resultado ser 6 P(6) = 61

e a de no ser 6 )6(P = 1 P(6) = 1 65

61

= .

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Exemplo: Considere uma caixa com 10 bolas numeradas de 1 a 10, sendo que as bolas de 1 a 5 so brancas e as bolas de 6 a 10 so pretas. Vamos retirar ao acaso uma bola desta caixa e queremos saber qual a probabilidade do nmero

marcado nela ser par. Ora, a priori, ou seja, antes de retirar a bola, essa probabilidade P(PAR) = 21

105

= . Agora

imagine que a bola j foi retirada e voc viu que ela branca, mas no viu o nmero marcado nela. E agora? Qual a probabilidade dela ser par?

Bom, com a certeza de que a bola branca, a probabilidade de ser par muda. Passa a ser 52

, pois das cinco bolas

brancas, apenas duas so pares. A probabilidade calculada acima chamada probabilidade condicional e representada por P(PAR|BRANCA) que se l probabilidade de ser par na certeza de que branca.

De uma forma geral temos:

Dados dois eventos A e B, com P(A) 0, a probabilidade condicional de ocorrer B na certeza de que ocorreu A o nmero:

P(B|A))A(P

)BA(P =

Da frmula acima deriva uma outra frmula que tambm pode ser muito til que :

P(A B) = P(A) . P(B|A)

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Exemplo: Uma urna tem 10 bolas, sendo 3 brancas e 7 pretas. Qual a probabilidade de, sorteando-se 2 bolas desta urna, encontrarmos 2 bolas brancas?

Soluo: Admitindo que vamos sortear 1 bola de cada vez, para que as duas sejam brancas, devemos ter a 1a branca e em seguida a 2a tambm branca. A probabilidade de a 1a bola ser branca

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e a probabilidade de a 2a bola ser

branca dado que a 1a foi 92

. Logo a probabilidade de as duas bolas serem brancas :

P(1a branca 2a branca) = P(1a branca) . P(2a branca|1a branca) = 151

9092

.

103

=6

= .

Portanto a probabilidade de as duas bolas serem brancas 151

.

Exerccios sobre Probabilidade

01. Uma caixa tem sete bolas pretas numeradas de 1 a 7, sete bolas brancas numeradas de 8 a 14 e seis bolas vermelhas numeradas de 15 a 20. Qual a probabilidade de, sorteando-se... a)....uma bola desta caixa, encontrarmos uma bola branca?

b)....uma bola desta caixa, encontrarmos uma bola com um nmero primo?

c)....uma bola preta, encontrarmos uma bola par?

d)....uma bola par, encontrarmos uma bola preta?

e)....uma bola desta caixa, encontrarmos uma bola vermelha e par?

f).... uma bola desta caixa, encontrarmos uma bola branca ou mpar?

02. Um grupo de estudantes constitudo de 20 rapazes e 30 moas. Metade dos rapazes e um quinto das moas estudam medicina. Escolhendo-se ao acaso um estudante deste grupo, qual a probabilidade de encontrarmos um rapaz ou estudante de medicina?

a) 72% b) 52% c) 36% d) 26% e) 16%

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03. Um grupo de pessoas formado por seis homens e quatro mulheres. Qual a probabilidade de, sorteando-se... a) ... uma pessoa desse grupo, encontrarmos um homem?

b) ... duas pessoas desse grupo, encontrarmos dois homens?

c) ... duas pessoas desse grupo, encontrarmos um homem e uma mulher?

d) ... duas pessoas desse grupo, encontrarmos duas mulheres?

e) ... cinco pessoas desse grupo, encontrarmos trs homens e duas mulheres?

f) ... trs pessoas desse grupo, encontrarmos trs pessoas do mesmo sexo?

g) ... quatro pessoas desse grupo, encontrarmos pelo menos uma mulher?

04. Uma pessoa joga cinco moedas para o alto e depois que elas caem no cho, observa a face que fica voltada para cima em cada uma delas. Qual a probabilidade dela encontrar...

a) ... cinco caras?

b) ... trs caras e duas coroas?

c) ... uma cara e quatro coroas?

d) ... pelo menos uma coroa?

05. (BB2011) Para disputar a final de um torneio internacional de natao, classificaram-se 8 atletas: 3 norte-americanos, 1 australiano, 1 japons, 1 francs e 2 brasileiros. Considerando que todos os atletas classificados so timos e tm iguais condies de receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja entre os trs primeiros colocados igual a:

(A)5/14 (B) 3/7 (C) 4/7 (D)9/14 (E)5/7

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06. Em uma cidade de colonizao alem, a probabilidade de uma pessoa falar alemo de 60%. Selecionando-se ao acaso 4 pessoas desta cidade, a probabilidade de exatamente 3 delas no falarem alemo , em valores percentuais, igual a :

a) 6,4.

b) 12,26.

c) 15,36.

D) 3,84.

e) 24,5.

07. Uma pessoa esta diante de duas caixas com canetas. A primeira caixa contem 10 canetas, sendo 8 vermelhas e duas azuis. A segunda caixa contem 9 canetas sendo 3 vermelhas e 6 azuis. A pessoa vai retirar aleatoriamente uma caneta da primeira caixa e colocar na segunda. Em seguida ela vai retirar aleatoriamente uma caneta da segunda caixa. Qual a probabilidade da caneta retirada da segunda caixa ser azul ?

a) 14% b) 42% c) 48% d) 60% e) 62%

08. Um dado em forma de cubo tem 6 faces, sendo que uma esta pintada de branco, duas esto pintadas de azul e trs esto pintadas de vermelho. Se lanarmos no cho trs dados iguais a esse, a probabilidade de encontrarmos voltadas para cima duas faces vermelhas e uma branca :

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5 d) 1/6 e) 1/8

09. O encarregado do controle de qualidade de uma mquina verificou que, em mdia, para cada 8 peas perfeitas, a mquina produzia 3 com pequenos defeitos e 2 com defeitos graves. Num lote de 13 peas, cuja distribuio de defeitos a descrita, retiram-se 3 peas ao acaso. A probabilidade de que nenhuma delas seja perfeita :

a) 143

5

b) 14310

d) 14315

c) 28625

e) 143115

10. Zilda faz parte de um grupo composto de 6 moas e 4 rapazes. Ela pretende fotografar 5 pessoas do grupo, escolhidas aleatoriamente entre as 9 restantes. A probabilidade de que sejam escolhidos 2 rapazes e 3 moas :

a) 215

c) 2110

e) 76

b) 218

d) 75

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11. Suponha que para o nascimento de uma criana os dois sexos tenham a mesma probabilidade de ocorrer. Se um casal tem 3 filhos, a probabilidade de no serem todos do mesmo sexo

a) 31

b) 83

d) 43

c) 32

e) 87

12. Um dado em forma de cubo tem 6 faces, sendo que duas esto pintadas de azul e 4 esto pintadas de vermelho. Se lanarmos no cho quatro dados iguais a esse, a probabilidade de encontrarmos voltadas

para cima duas faces azuis e duas faces vermelhas a frao irredutvel .ba

Determine b a.

a) 11 b) 13 c) 17 d) 19 e) 23

13. Em uma urna h 9 bolas numeradas de 1 a 9. Se trs bolas so sorteadas simultaneamente dessa urna, a probabilidade de que a soma dos nmeros marcados nas trs bolas seja mpar :

a) 218

b) 73

c) 2110

d) 2111

e) 74

14. Em um curso preparatrio para concursos existem 3 turmas (A; B e C) com as seguintes quantidades de alunos:

HOMENS MULHERES TURMA A 20 30 TURMA B 30 20 TURMA C 10 40

Com base nas informaes, considere as seguintes afirmativas:

I) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, ele ser homem 0,4. II) A probabilidade de, sorteando-se um aluno da turma B, ele ser homem 0,6. III) A probabilidade de, sorteando-se um aluno deste curso, ele ser mulher ou ser da turma B 0,8 Podemos afirmar que:

a) apenas as afirmativas I e II so corretas. b) apenas as afirmativas I e III so corretas. c) apenas as afirmativas II e III so corretas. d) apenas uma afirmativa correta. e) todas as afirmativas so corretas.

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15. Uma caixa tem 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Qual a probabilidade de, sorteando-se 3 bolas desta caixa, encontrarmos 2 bolas brancas e 1 bola preta?

a) 425

b) 215

c) 145

d) 75

e) NRA

16. Cinco livros diferentes, sendo trs de Estatstica e dois de Matemtica Financeira, so colocados aleatoriamente numa estante, um ao lado do outro. A probabilidade de que os livros de mesmo assunto fiquem todos juntos, :

a) 10% b) 15% c) 20% d) 24% e) 40%

17. Maria ganhou de Joo nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e trs delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua pequena caixa de jias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com Joo, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jias. Ela v, ento, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informaes, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de Joo igual a:

a) 1/3 b) 1/5 c) 9/20 d) 4/5 e) 3/5

18. Carlos diariamente almoa um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa feita por um dos trs cozinheiros que l trabalham: 40% das vezes a sopa feita por Joo, 40% das vezes por Jos, e 20% das vezes por Maria. Joo salga demais a sopa 10% das vezes, Jos o faz em 5% das vezes e Maria em 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experiment-la, verifica que esta salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por Jos igual a:

a) 0,15 b) 0,25 c) 0,30 d) 0,20 e) 0,40

19. Andr e Bruno fazem parte de um grupo de 10 pessoas dentre as quais 4 sero sorteadas para fazer uma viagem. Qual a probabilidade de Andr e Bruno serem sorteados?

a) 2/15 b) 4/15 c) 1/30 d) 1/90 e) 1/45

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20. Um jogador de basquete acerta 80% dos lances livres que faz. Este jogador far dois lances livres consecutivos. Qual a probabilidade dele acertar apenas um deles ?

a) 16% b) 20% c) 25% d) 32% e) 40%

21. Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais prximo da probabilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor? a) 11,53% b) 4,24% c) 4,50% d) 5,15% e) 3,96%

22. Na populao brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variao gentica de 1%. Ao se examinar ao acaso trs pesssoas desta populao, qual o valor mais prximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variao gentica?

a) 0,98% b) 1% c) 2,94% d) 1,30% e) 3,96%

23. Numa caixa existem 6 bolas brancas numeradas de 1 a 6; 7 bolas amarelas numeradas de 1 a 7;

8 bolas pretas numeradas de 1 a 8 e 9 bolas vermelhas numeradas de 1 a 9. Qual a probabilidade

de, sorteando 1 bola desta caixa, encontrarmos uma bola amarela ou par?

a) 2/3 b) 3/5 c) 7/10 d) 11/15 e) 19/30

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24. Escolhendo-se ao acaso dois nmeros distintos, de 1 a 20, qual a probabilidade de que o produto dos nmeros escolhidos seja mpar?

a) 389

b) 21

c) 209

d) 41

e) 258

25. Uma urna contm 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Qual a probabilidade de, sorteando-se 3 bolas desta urna, encontrarmos 1 bola branca e 2 pretas?

a) 21

b) 31

c) 41

d) 51

e) 61

26. Qual a probabilidade de, jogando dois dados, a soma dos resultados ser 10?

a) 31

b) 61

c) 101

d) 111

e) 121

27. Sete lugares, dispostos lado a lado, de uma fila de um teatro vo ser sorteados entre 7 pessoas, sendo 3 homens e 4 mulheres. Qual a probabilidade de as mulheres sentarem juntas?

a) 3/7 b) 1/35 c) 4/35 d) 3/28 e) 5/28

28. Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando- se, ao acaso, trs desses profissionais para constiturem um grupo de trabalho, a probabilidade de os trs profissionais sorteados serem do mesmo sexo igual a:

a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24

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Questes CESPE.

Questes 29 a 31:

Um baralho comum contm 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus , espadas , copas e ouros . Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informaes, julgue os itens subseqentes.

29. A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto igual a 3/13 .

30. Sabendo que h 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela no ser um s de ouros igual a 1/52 .

31 A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus igual a 11/26.

32. Um dado comum contm 4 faces brancas e 2 faces pretas. Sendo assim a probabilidade de, jogando-se este dado 3 vezes, encontrarmos 1 face branca e 2 pretas igual a aproximadamente 22%.

33. A probabilidade de, jogando dois dados, a soma dos resultados ser oito igual a 1/12 .

Questes 34 e 35.

Um juiz deve analisar 12 processos de reclamaes trabalhistas, sendo 4 de mdicos, 5 de professores e 3 de bancrios. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir.

34. A probabilidade de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancrios inferior a 0,005.

35. As chances de que, nesse grupo, pelo menos um dos processos seja de professor superior a 80%.

Gabarito

1a)7/20 b)4/5 c)3/7 d)3/10 e)3/20 f)7/10 2.b 3a)3/5 b)1/3 c)8/15 d)2/15 e)10/21 f)8/105 g)13/14 4a)1/32 b)10/32 c)5/32 d)31/32 5.d 6.c 7.e 8.e 9.a 10.c 11.d 12.d 13.c 14.e 15.c 16.c 17.a 18.d 19.a 20.d 21.e 22.c 23.b 24.a 25.a 26.e 27.c 28.d 29.C 30.E 31.C 32.C 33.E 34.C 35.E