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Capítulo 5 Modulação CW ExponencialCapítulo 5 – Modulação CW Exponencial
Na modulação linear, o espectro modulado consiste no espectro da mensagem transladado pela frequência da portadora cuja largura de banda de transmissão nunca excede o dobro da banda defrequência da portadora, cuja largura de banda de transmissão nunca excede o dobro da banda de mensagem.
Será estudado no Capítulo 10 que, em caso de modulação linear, a relação sina/ruído (SNR) no destino não é melhor que na transmissão em banda base podendo ser melhorada apenas pelo aumentodestino não é melhor que na transmissão em banda base, podendo ser melhorada apenas pelo aumento da potência transmitida.
Por sua vez, a modulação exponencial (ou angular) é um processo não-linear, e assim, a largura de banda de transmissão é maior que o dobro da banda de mensagembanda de transmissão é maior que o dobro da banda de mensagem.
Porém, nesse tipo de modulação, podem ser obtidas relações sinal/ruído elevadas, sem a necessidade de aumentar a potência de transmissão.
Constituem vantagens da modulação exponencial:
As perdas de potência durante a transmissão não são tão preocupantes como em AM; Nem os problemas com tensão de ruptura dielétrica devido aos picos na forma de onda; Nem os problemas com tensão de ruptura dielétrica devido aos picos na forma de onda;A distorção não-linear de amplitude não afeta a mensagem recebida.
Como a modulação exponencial é um processo não-linear, o espectro do sinal modulado não se relaciona de forma simples (por uma translação) com o espectro da mensagem.
Questão:Questão:
x(t) cos x(t)2tt cos t cos 2t
0
t cos t cos 2t
t0
0 t
t0
cos x(t)
0 t0 t
Nota histórica:Nota histórica:
Após o advento da radiodifusão AM, iniciou-se uma procura por técnicas que reduzissem o ruído na recepção.
C ê i d íd é i l à l d b d d i l i id ã f i di i idComo a potência de ruído é proporcional à largura de banda do sinal transmitido, a atenção foi dirigida à busca de um processo de modulação que reduzisse a largura de banda.
A ideia de modulação em frequência, onde a frequência portadora pudesse ser variada em proporção ( ) i icom a mensagem x(t) parecia promissora.
Assim, na modulação FM (PM), a amplitude de sinal de mensagem produziria uma variação proporcional na frequência (fase).
modulação de fase, PMç ,
AM: FM:AM: FM:
excursão = 30 kHz
A frequência da portadora, agora escrita como f(t), poderia ser variada com o tempo, tal que,f(t) = fc+k x(t), onde k é uma constante arbitrária.
Assim, se o pico de amplitude de x(t) fosse fpico, então, os valores máximo e mínimo da frequência portadora seriam fc+k fpico e fck fpico , respectivamente (k medido em Hz V/V).
Portanto as amplitudes espectrais poderiam permanecer dentro desta banda com uma larguraPortanto, as amplitudes espectrais poderiam permanecer dentro desta banda, com uma largura2f = 2k fpico , centrada em fc.
A largura de banda seria controlada pela constante arbitrária k, cujo valor poderia ser selecionada à t dvontade.
Usando-se um k arbitrariamente pequeno, poderia se fazer a largura de banda de informação arbitrariamente pequena.
E estaria resolvido o problema!
Assim, por exemplo, se em vez de modular a amplitude da portadora, se modulasse a sua frequência,Assim, por exemplo, se em vez de modular a amplitude da portadora, se modulasse a sua frequência, fazendo-a oscilar dentro de uma banda de 50 Hz (por exemplo), então, a largura de banda de transmissão (BT) seria de apenas 100 Hz, independentemente da largura de banda da mensagem (W).
Infelizmente, resultados práticos mostraram que largura de banda de FM obtida experimentalmenteInfelizmente, resultados práticos mostraram que largura de banda de FM obtida experimentalmente sempre resultava maior (ou, na melhor das hipóteses, igual) que a largura de banda de AM (BT = 2W) .
O raciocínio descrito anteriormente apresenta uma séria falha ao confundir os conceitos de frequência instantânea, f(t), e frequência espectral, f (uma variável independente).s e , f(t), e equê c espec , f (u a va áve depe de e).
__________________________________________________________________________________________________________
Por exemplo, em FM deseja-se variar a frequência portadora em proporção com o sinal de modulaçãox(t) significando que tal frequência estará variando continuamente a cada instantex(t), significando que tal frequência estará variando continuamente a cada instante.
Em princípio, isto não faz muito sentido uma vez que, para se definir uma frequência, deve-se ter um sinal senoidal pelo menos ao longo de um ciclo (ou meio-ciclo, ou quarto de ciclo, ...) com a mesma frequênciafrequência.
Por definição, um sinal senoidal tem uma frequência constante e, portanto, a variação de frequência no tempo parece estar em contradição com a definição convencional de “frequência de sinal periódico senoidal”.periódico senoidal .
Portanto, deve-se estender o conceito de uma senóide para o de uma função generalizada, cuja frequência possa variar no tempo.
l id ó i #Estas questões começam a ser esclarecidas nas próximas seções. #
5.1 Modulação de Fase e Frequência5.1 Modulação de Fase e Frequência
Nesta seção são definidos os conceitos de fase e frequência instantâneas, necessários para se estabelecer os sinais PM e FM.
Desde que a natureza não-linear da modulação exponencial impede a análise espectral em termos gerais, deve-se trabalhar com espectros resultantes de casos particulares, como a modulação em banda estreita, ou então, com modulação de tom.
Sinais PM e FM
Considere-se um sinal CW, com envoltória constante mas com fase variável no tempo, tal que:
Define-se o ângulo instantâneo total como:
Dessa maneira, xc(t) pode ser expresso pela relação geral:
a qual define a modulação exponencial (ou angular), dentre os quais PM e FM são casos particulares.
A fase c(t) deve conter a informação da mensagem x(t).
i id l ã i ( ) ( )Fica evidente a relação não-linear entre x(t) e xc(t) .
A modulação exponencial pode ser descrita na forma portadora-quadratura como:
ttAttA
ttAtx
cccc
ccc
sin)(sincos)(cos
)](cos[)(
a partir da qual pode-se obter a descrição de envoltória e fase.
A envoltória é dada por:
i AtAtAtvtvtA )(sin)(cos)()()( 222222
revelando que a envoltória do sinal modulado exponencialmente não varia no tempo.
Obviamente a fase instantânea deve ser o próprio (t) uma vez que:
cccqi AtAtAtvtvtA )(sin)(cos)()()(
Obviamente, a fase instantânea deve ser o próprio (t), uma vez que:
)()](arctg[tg)(cos
)(sinarctg
)(
)(arctg)( tt
t
t
tv
tvt
i
q
Forma geral de um sinal PM (ou FM):
+Ac
0
AAc
Modulação PM
Um caso específico de dependência entre c(t) e x(t) corresponde à modulação de fase (PM), definida como:
Modulação PM
tal que
t t ( did di )para constante (medida em graus ou radianos).
Esta relação estabelece que a fase instantânea varia diretamente com o sinal de modulação x(t) .
A constante representa o deslocamento de fase máximo produzido por x(t) [pois x(t) 1].
O limite superior, 1800 , limita (t) à faixa 1800 e previne ambiguidade de fase.
(No tempo, não existe distinção física entre os ângulos + 2700 e 900 , por exemplo.)
O limite sobre em PM é análogo à restrição 1 em AM, e, costuma ser chamado de índice de g ç , , modulação de fase (ou desvio de fase).
Diagrama de fasor girante para modulação exponencial (PM ou FM):Diagrama de fasor girante para modulação exponencial (PM ou FM):
Observe se que não foi feito igual a zero:Observe-se que c não foi feito igual a zero:fasor girante
O ângulo total c(t) consiste de um termo rotativo constante, ct, mais (t), que corresponde aos desvios em relação à linha tracejada.
Frequência instantânea do sinal modulado
A frequência instantânea corresponde à taxa de rotação instantânea do fasor [velocidade de variação de c(t) no tempo], medida em ciclos por segundo (cps) ou Hertz (Hz):
Embora f(t) seja medido em Hz, não deve ser confundido com a frequência espectral f (a variável independente do domínio da frequência).
A frequência instantânea f(t) é uma propriedade que depende do tempo e da forma de onda que seráA frequência instantânea f(t) é uma propriedade que depende do tempo e da forma de onda que serámodulada exponencialmente [e portanto, da mensagem x(t)].
Discussão: conceito de fase instantânea*
O ângulo generalizado de um senóide convencional, Accos(ct+0), é (t)=ct+0, uma linha reta com inclinação c e intercepto 0, como indicado na figura abaixo:
O gráfico de c(t), para um caso arbitrário,O gráfico de c(t), para um caso arbitrário,ocorre ser tangencial ao ângulo (ct+0) em algum instante t.
O i l é l dO ponto crucial é que, ao longo de um pequeno intervalo t0, o sinalxc(t)=Accosc(t) e a senóide Accos(ct+0) são idênticos:dê t cos:
xc(t) = Accos(ct+0) para t1 < t < t2 .
Ao longo deste pequeno intervalo t, a f ê i d ( ) éfrequência de c(t) é c.
Por (ct+0) ser tangencial a c(t), a frequência de xc(t) é a inclinação de seu â l (t) l d t i t lângulo c(t) ao longo deste pequeno intervalo.
Pode-se generalizar este conceito para cada instante e dizer que a frequência instantânea (t)=2f(t), em qualquer instante t, é a inclinação de c(t) em t.( ) f( ) q q c( )__________________________________________________________________________________________
* B. P. Lathi e Z. Ding, Sistemas de Comunicações Analógicos e Digitias, Quarta edição, LTC, RJ, 2012.
Assim para x (t)=A cos (t)Assim, para xc(t)=Accosc(t),
e
)()(
)(2)( tdt
tdtft c
c
dtt
c )()(
Pode-se agora visualizar a possibilidade de transmitir a informação de x(t) variando o ângulo c(t) de uma portadora.
c )()(
Por exemplo, no caso PM:
e assim
)()(),()()( 00 txttxtttt ccc
)](cos[)(cos)( txtAtAtx ccccc (como definido anteriormente)
para 0 = 0, sem perda de generalidade.
Em PM, a frequência (angular) instantânea é
tdxtd c )()()(
a qual varia linearmente com a derivada do sinal de modulação.dtdt
t cc )()(
)(
Alternativamente, a frequência (Hz) instantânea é
)(2
1)(
2
1)(
2)(
2
1)(
2
1)( tf
dt
tdf
dt
tdxft
dt
tdtf cccc
c
22222 dtdtdt (como anteriormente)
Modulação FMModulação FM
No caso de modulação em frequência (FM), a frequência instantânea do sinal modulado é:
para f constante (medido em Hz), tal que f(t) varia em proporção ao sinal de modulação x(t).
Ou, alternativamente, )(2)(2)( txftft c
A constante de proporcionalidade f é chamada de desvio de frequência, e representa o deslocamento máximo de f(t) em relação à frequência portadora fc.
O limite superior, f < fc , simplesmente assegura que f(t) > 0.
Normalmente, deseja-se que f << fc a fim de garantir a natureza passa-banda de xc(t) . (ver adiante)
Tem-se também,
dxftdxfdtt
cc
tt
c )(2)](2[)()(
onde o termo constante em c(t) foi considerado nulo, sem perda de generalidade.
O sinal modulado em FM é:
t
])(2cos[)( t
ccc dxftAtx
_________________________________________________Comparando se (5 1 4) com (5 1 5) observa se que o sinal FM satisfazComparando-se (5.1-4) com (5.1-5), observa-se que o sinal FM satisfaz
e a integração gera a seguinte modulação de fase:
)(2)( txft
g g g
Se t0 é tomado de forma que (t0) = 0, pode-se desconsiderar o limite inferior de integração e usar a expressão mais informal:
Assume-se que a mensagem não tem componente DC, tal que as integrais acima não divirjam quando t.________________________________________________Fisicamente, um termo DC em x(t) produzirá um desvio de frequência constante com relação à portadora, igual a .)(txf
Na prática, qualquer componente DC em x(t) deve ser bloqueada pelos circuitos do modulador.
Conceito generalizado de modulação exponencial (ou angular)Conceito generalizado de modulação exponencial (ou angular)
Na tabela 5.1-1 compara-se os sinais PM e FM:
Observa-se que sinais PM e FM não são apenas similares, mas também inseparáveis:
Sinal PM: .)](cos[)( txtAtx ccc
Sinal FM:
onde foi definido que . dxtgt
)()(
)](2cos[])(2cos[)( tgftAdxftAtx cc
t
ccc
No final das contas, ambas as expressões para xc(t) são idênticas.
Portanto, visualizando-se uma portadora modulada em ângulo, não existe maneira de discernir entre
FM e PM.
)](cos[)( txtAtx ccc Sinal PM:
dxtgt
)()(
)](2cos[])(2cos[)( tgftAdxftAtx cc
t
ccc Sinal FM:
_______________________________________________No caso de modulação de tom, fica bem evidente que torna-se praticamente impossível detectar a diferença entre os sinais PM e FM:
dxtg )()(
tAtx mm sin)(
No caso de modulação de tom, torna-se praticamente impossível detectar a diferença entre os sinaisNo caso de modulação de tom, torna se praticamente impossível detectar a diferença entre os sinais PM e FM:
sinusoidal modulating signal
Quem é FM e que é PM?????
Conclui-se também que, com o uso de circuitos integradores ou diferenciadores, um modulador PM pode produzir FM, e vice-versa:
])(cos[)( t
ccc dxtAtx ])([)( ccc
(t)
a partir de modulador de fase
)](2[
])(2cos[)(
fA
dxftAtxt
ccc
p
)](2cos[ txftA cc
(t)=2f(t)
a partir de modulador de frequência
Os métodos FM e PM são simultâneos, no sentido de que qualquer variação na fase da portadora (ct) resulta em variação na frequência, e vice-versa. (ambas são devido a x(t) variável)
a partir de modulador de frequência
________________________________________________Os casos acima revelam que em PM e FM o ângulo de uma portadora varia em proporção à alguma ‘medida/ métrica’ (derivada, integral, etc.) de x(t).
Informa-se que pode haver várias outras maneiras de se gerar uma ‘métrica’ de x(t) possibilitandoInforma se que pode haver várias outras maneiras de se gerar uma métrica de x(t), possibilitando criar um grande número de esquemas de modulação angular, além de FM e PM.
Restringindo-se à escolha de um operador linear, então, uma ‘métrica’ de x(t) pode ser obtida como saída de um SLIT apropriado, com x(t) como entrada.
A saída do sistema H(s) é uma ‘métrica’ de x(t) , sendo que esta é uma operação reversível, passando
convolução : x(t) * h(t)
(t) através da função 1/ H(s).
Então, a portadora com modulação generalizada em ângulo pode ser expressa como:
])()(cos[)](cos[)( dthtAttAtt
sendo h(t) a TFI de H(s) (ou seja, a resposta impulsiva).
])()(cos[)](cos[)( dthxtAttAtx ccccc
a) Se tem-se um sinal PM )()( tth
)](cos[])()(cos[)( txtAdtxtAtx cc
t
ccc
b) Se tem-se um sinal FM )(2)( tufth
])(2cos[])(2)(cos[)( dxftAdtufxtAtxt
cc
t
ccc
Portanto, PM e FM são apenas duas possibilidades dentre um grande número de outras alternativas.
Exemplo: Considere-se o sinal x(t) mostrado na Figura (a). Dados fc= 100 MHz, = 10 rad e f = 105 Hz, esboçar os sinais de FM e PM.
Solução: A frequência instantânea para FM é dada por:
Assim, seus valores máximos e mínimos são:
)(1010)()( 58 txtxfftf c
MHz9,99)1(1010)]([1010)( 58min
58
min txtf
MHz1,100)1(1010)]([1010)( 58max
58
max txtf
Como x(t) aumenta e diminui linearmente com o tempo, a frequência instantânea aumenta linearmente de 99,9 a100,1 MHz em um meio ciclo, e cai linearmente de 100,1a 99,1 MHz no meio ciclo seguinte.
O sinal modulado está mostrado na Figura (b).
__________________________________Por outro lado, a frequência instantânea para PM é dada por:
tdxtdxtdxf
txtdtdtf cc )(
510)(10
10)(1)]([1)(1
)( 88
dtdtdtf
dtdttf c 510
210
222)(
(continua...)
dt
tdx
dt
tdx
dt
tdxf
dt
txtd
dt
tdtf c
cc )(510
)(
2
1010
)(
2
1)]([
2
1)(
2
1)( 88
________________________________________________________________________________________________
O sinal x(t) é dado por:
dtdtdtdtdt c 2222
s1001102
)(44 tt
Sua derivada é igual a:
s102103102)(
444 tttx
cujo gráfico está desenhado na Figura (c)
s10210102
s100102)(
444
44
t
ttx
cujo gráfico está desenhado na Figura (c).
As frequências instantâneas, mínima e máxima, são:
MHz9,99000.20510)(510)( 8
min
8
min txtf
MHz110000020510)(510)( 88 txtf
C d /dt il t l d 20 000 +20 000 f ê i t d il t 99 9
MHz1,100000.20510)(510)(minmin
txtf
Como dx/dt oscila entre os valores de 20.000 e +20.000, a frequência portadora oscila entre 99,9 e 100,1 MHz a cada meio ciclo, e cujo gráfico está desenhado na Figura (d). #
Exemplo: Considere-se o sinal x(t) mostrado na Figura (a). Dados fc= 100 MHz, = /2 rad e f = 105 Hz, esboçar os sinais de FM e PM.
Solução:
A frequência instantânea para FM é dada por: )(1010)()( 58 txtxfftf A frequência instantânea para FM é dada por: )(1010)()( txtxfftf c
Como x(t) oscila entre 1 e +1, a forma de onda FM oscila entre 99,9 e 100,1 MHz, como mostrado na Figura (b).
Este tipo de modulação digital é chamada de modulaçao por chaveamento de frequência (FSK – frequency shift keying)(FSK frequency shift keying).
Por outro lado, a frequência instantânea para PM é dada por:dt
tdx )(
4
1108
dt
tdxftf c
)(
2
1)(
o qual depende de derivadas da Figura (a).(continua...)
dt
tdxtf
)(
4
110)( 8 = /2 rad fc = 108 Hz
________________________________________________________________________________________________
Devido as descontinuidades em x(t) , sua derivada deve conter singularidades.
A derivada de x(t) é mostrada na Figura (c).
A frequência do sinal PM permanece a mesma, fc, exceto nas descontinuidades com impulsos.
Não fica claro como a frequência instantânea pode sofrer uma alteração de tamanho infinito e voltar ao valor original num tempo zero.
Este método (chamado indireto) falha em pontos de descontinuidades.
Usando-se a abordagem direta tem-se:
1)(quandosin
1)(quandosin)](
2cos[)](cos[)(
txtA
txtAtxtAtxtAtx cc
ccccc
obtendo-se a Figura (d). # 1)(quandosin2 txtA cc
Exemplo: Modulação FM por pulso retangular
Estudou-se no Exemplo 2.2-1, que o espectro do pulso retangular de largura /2 e amplitude A, ou seja,, é dado por . Pedem-se:)sinc()( fAfX )/()( tAtx
x(t)a) O sinal modulado em FM, para
uma portadora na frequência fc= 2/,tal que Af = fc .
x(t)
b) A largura de transmissão BT.
X(f)
Solução:
A largura de banda da mensagem é:
espectro da mensagem
2
1 cfW
arg X(f)
O sinal de FM é calculado a seguir.
(continua...)
Dados: f = 2/ e Af = f calcula se:
x(t)
])(2cos[)( t
ccc dxftAtx
Dados: fc= 2/ e Af = fc , calcula-se:
a) Para < t < /2, ocorre x(t) = 0, e assim, tAdftAtx cc
t
ccc cos]02cos[)(
b) Para /2 < t < +/2, ocorre x(t) = A, e assim,
c) Para t > +/2 ocorre x(t) = 0 e assim
tAtftAtAftAdAftAtx ccccccc
t
ccc
2cos]2cos[]2cos[]2cos[)(
2/
2/
tAdftAtx
t
cos]02cos[)(
2/
c) Para t > +/2, ocorre x(t) 0, e assim,
Este sinal de FM está desenhado abaixo:
tAdftAtx ccccc
cos]02cos[)(2/
(t)xc(t)
c
Este corresponde ao sinal estudado no Exemplo 2.5-1, e então, sua TF já é conhecida.(continua...)
Segundo o Exemplo 2.5-1, a TF do sinal modulado em FM é:
xc(t)
)]2(sinc)2([sinc2
)](sinc)([sinc2
)]()([2
)( ccccccc ffffA
ffffA
ffffA
fX
Xc(f) c(f)
2
1 cfW
2fc
2
Conclui-se, portanto, que a largura de banda de transmissão, BT , é de aproximadamente 2 fc = 4W, independentemente da amplitude da mensagem, A.
Ou seja, a largura de banda de transmissão é quatro vezes maior que a largura de banda do sinal demensagem, contrariando o senso comum discutido na ‘Nota histórica’. #
Potência transmitidaPotência transmitida
Ao contrário do acontece na modulação linear, os sinais PM e FM têm amplitudes constantes.
Portanto, independente da mensagem x(t), a potência transmitida será:
_________________________________________________Prova:
dttAdttxSTT
)(cos1
lim)(1
lim 222
para
dttAT
dttxT
S cc
oT
c
oT
T )(coslim)(lim
Ou seja, #2
)(2cos1
lim222
)(2cos11lim
2222 c
c
T
oT
cccT
o
cT
T
Adtt
T
AAdt
t
TAS
(=0 para valores elevados de fc)_________________________________________
Lembre-se que, em modulação linear: sbccxc
T PPASA
S 222
222
e portanto, para aumentar Psb (associada ao sinal de mensagem) deve-se aumentar .
Por outro lado, no caso de modulação angular, , independentemente de x(t).
)(2 txS x
2/2cT AS
Adianta-se que a demodulação (ou detecção) de FM (no receptor) consiste em se extrair a frequência instantânea f(t) = fc+f x(t), a qual contém a mensagem x(t).
Portanto, o nível do sinal de mensagem no demodulador é melhorado se for aumentado o desvio de frequência f , o qual, por sua vez, acarreta uma maior largura de banda de transmissão (ver a Seção 5.2).
Qualitativamente, se a potência transmitida ST permanecer constante, a potência de ruído também permanece constante.
Pode-se aumentar a relação sinal-ruído (SNR) aumentando-se f , o qual aumenta o nível do sinal recebido no receptor, sem alterar ST.
Para todos os efeitos isto é equivalente a reduzir o ruído!Para todos os efeitos, isto é equivalente a reduzir o ruído!
Contudo, se f aumenta, também aumenta a largura de banda, e assim, na modulação exponencial existe um compromisso entre a largura de banda () e a relação sinal-ruído ().
Conforme já foi anunciado, ironicamente, a modulação FM foi originalmente concebida como uma forma de reduzir a largura de banda, mas falhou, devido à séria falha de se confundir os conceitos de frequência instantânea, f(t), e frequência espectral, f.
Esta limitação, contudo, é compensada por várias outras vantagens (estudadas adiante).
Conforme verificado, os cruzamentos dos zeros de xc(t) na modulação linear são sempre periódicos.
Contudo, os cruzamentos dos zeros de um sinal de modulação exponencial não são periódicos, no entanto, eles obedecem às equações para a fase mostradas na tabela 5.1-1.
Isto permite concluir que a mensagem reside exclusivamente nosexclusivamente nos cruzamentos de zeros dos sinais FM e PM, desde que a frequência portadora seja grande o suficiente.
Na Fig 5 1-2 estão ilustradosNa Fig. 5.1-2 estão ilustrados exemplos de sinais AM, FM e PM para alguns sinais de mensagem:
Conclui-se que devido à não linearidade do processo de modulação exponencial o sinal moduladoConclui se que, devido à não linearidade do processo de modulação exponencial, o sinal modulado não se assemelha em nada com a forma de onda da mensagem.
PM e FM Faixa Estreita
Usando a descrição de portadora-quadratura para a equação (5.1-1), qual seja
ou então
obtêm-se:
ou então,
onde foram aplicadas as séries de Taylor para e .)(cos t )(sin t
A seguir, impõe-se a condição:
tal que
(faixa estreita)
e assim, o sinal modulado será:
O espectro de Xc(f) do sinal modulado é dado por:
ttAtAtx ccccc sin)(cos)(
Xc(f)
no qual:
Xc(f)c(f)
________________________________Se x(t) tem largura de banda W << fc , então, xc(t) será um sinal passa-banda com largura de banda de (t) também igual a W.
Com isso,o espectro de magnitudes do sinal modulado será como o esboçado na figura abaixo:
Xc(f) )(2 c
c ffA
fcW fc fc +W f
2)(
2 cc ff
A
Portanto, a largura de banda de Xc(f) é igual a 2W, desde que (t)<<1.
Para valores maiores de (t), os termos (t), (t), ..., não podem ser ignorados na série de Taylor
(faixa estreita)
( ), ( ), ( ), , p g yem (5.1-10), e assim, aumentará a largura de banda de Xc(f) .
As equações (5.2-12) descrevem o caso especial de modulação fase ou frequência em banda estreita, NBPM ou NBFM (NarrowBand PM ou NarrowBand FM), os quais se assemelham a um espectro de ( ), q psinal AM.
Exemplo 5.1-1: Espectro NBFM
x(t) X(f)1
Considere-se o caso de x(t) = sinc 2Wt, tal que X(f) = (1/2W) (f /2W).
1/2W1
t
xOs espectros NBPM e NBFM são dados por (5.1-12a-b), ou seja:
Xc(f)
a) No caso NBPM, (5.1-12b) informa que: )()( fXf
e assim,
W
ff
WA
jffAffXA
jffAfX c
cccccccc 22
1
2)(
2
1)(
2)(
2
1)(
imaginário
para f > 0 .(continua...)
x(t) X(f)1 1/2W1
t
xXc(f)
________________________________________b) No caso NBFM (5 1 12b) informa que: Wf )2/(1 b) No caso NBFM, (5.1-12b) informa que:
f
Wf
Wjf
f
fXjff
)2/(
2
1)()(
W 0 +W f
22/1 Wf
Wf
W
)2/(
2
1
Desta forma, o espectro do sinal modulado será:
f22/1 W
real
c
cccc
c
ccccc ff
Wff
Wf
AffA
ff
Wff
WjfA
jffAfX
]2/)[(
2
1
2)(
2
1]2/)[(
2
1
2)(
2
1)(
real
(continua...)
ff
Aj
ffAfX c1)(
1)( NBPM f
Wf
W
)2/(
2
1
W
ff
WA
jffAfX c
cccc 222)(
2)(
ccccc ff
Wff
Wf
AffAfX
]2/)[(
2
1
2)(
2
1)(
NBPM:
NBFM: W 0 +W f
22/1 W
22/1 W
fW2
cffW222_____________________________________________
Os espectros de amplitude de ambos estão desenhados a seguir:
22/1 W
Xc(f)estão desenhados a seguir:
NBPM
X (f) i l
NBFM
Xc(f) sinal
(continua...)
X (f)
NBPM
Xc(f)Os dois espectros têm impulsos na frequência portadora e largura de banda 2W.
Ambas as bandas laterais NBPM têm um deslocamento de fase de 900.
Xc(f)
NBFM Contudo, a banda lateral inferior em NBFM está 1800 fora de fase.
Exceto pelo deslocamento de fase de 900, o espectro NBPM se parece exatamente com um espectro de AM para o mesmo sinal modulador. #
Modulação de TomModulação de Tom
O estudo de FM e PM para modulação de tom pode ser realizado conjuntamente, tomando-se como mensagem:
Nesta situação, as equações (5.1-2) e (5.1-6) geram:
PM A i)()((5.1-2)
PM:
FM:
tAtxt mm sin)()(
tf
fAdAfdxft m
m
mmm
tt sin)cos(2)(2)(
(5.1-6)
ou seja:
para ambos os casos, sendo
O parâmetro serve como índice de modulação para PM e FM com modulação tonal.
E â é i l d i d f á i é i l à li d d AEste parâmetro é igual ao desvio de fase máximo e é proporcional à amplitude do tom, Am , em ambos os casos.
Contudo, para FM é inversamente proporcional à frequência do tom, fm .
a) Modulação de tom com banda estreita
No caso <<1 rad, a equação (5.1-9), ou seja
_________________________________________________
com e
simplifica-se para:p p
Em f = fc
fazer c = 0
(continua...)
x (t)xc(t)
PM ou FM
____________________________________________________Observa-se como a reversão de fase da linha de banda lateral inferior produz uma componente perpendicular ou de quadratura em relação ao fasor da portadora.
E t l ã d d t é d l ã d f f ê i d d l ã dEsta relação de quadratura é quem gera modulação de fase ou frequência, em vez de modulação de amplitude.
AM
(continua...)
b) Modulação de tom com banda larga
Expandindo a equação (5.1-1), ou seja,
se obtém,
_________________________________________Mesmo que xc(t) não seja necessariamente periódica, os termos cos(sinmt) e sin(sinmt) o são,e podem ser expandidos como uma série de Fourier trigonométrica com frequência fundamental fm :
sendo n positivo e
a função de Bessel de primeira espécie, ordem n (não obrigatoriamente inteiro) e ângulo .
(Esta integral não tem solução analítica.)(continua...)
Prova: Dado }{)sincos()( sin tjtjcmccc
mc eeeAttAtx Prova: Dado
e, sendo a exponencial complexa 2-periódica, ela pode ser expandida em série de Fourier:
}{)()( cmccc
tjntj mm f )(sin
onde
tjnm
n
tj mm enfce )(sin
dteeT
nfc tjntj
Tmmm
m
sin1)(
para fm = 1/Tm , m = 2fm tal que mTm = 2.
P t t t
Tmm
dtdf jnjtnfjtj mm sin2sin 11)(Portanto, tem-se
deetdee
Tnfc jnj
mtnfjtj
Tmm
mmm
mm sin
2
2sin
2)(
denfc nj
m)sin(
2
1)(
ou então:
Da Física-Matemática, sabe-se que
2
0,2
1)( )sin(
deJ njn )()( nm Jnfc
a função de Bessel de primeira espécie, ordem n (não obrigatoriamente inteiro) e ângulo .
P t t
2)(
n
)(sin
tjntj
nm
Portanto, 0,)(sin
tjnn
n
tj mm eJe(continua...)
tjnn
tj mm eJe )(sin
0,2
1)( )sin(
deJ nj
nn 2
_________________________Esta integral não tem solução analítica.
Função de Bessel de primeira espécie e ordem n:Função de Bessel de primeira espécie e ordem n:
Portanto: )()()(...32
12
23
3sin
tjtjtj
tjtjtjtj mmmm eJeJeJe
...)()()()( 33
2210 tjtjtj mmm eJeJeJJ
(continua...)
tjntj mm eJe )(sin
01
)( )sin( deJ nj
nn
eJe )(
0,2
)(
deJ n
)()()()(
)()()(...32
12
23
3sin
tjtjtj
tjtjtjtj
mmm
mmmm
eJeJeJJ
eJeJeJe
_________________________Usando a propriedade das funções de Bessel: para n inteiro, vem
...)()()()( 3210 eJeJeJJ
)()1()( nn
n JJ
tJJtJJ
eJeJeJJ
eJeJeJet
mm
tjtjtj
tjtjtjtjm
mmm
mmmm
2cos)]()([3cos)]()([...
...})()()()(
)()()(Re{...}Re{)sincos(
2233
33
2210
12
23
3sin
tnJJ
JtJJ
mnn
m
mm
cos)(2)(
...)(cos)]()([
)]()([)]()([
par0
011
2233
De forma análoga, mostra-se que
n par
Jtj i)(2}I {)ii ( sin
como queríamos demonstrar. #
tnJet mnn
tjm
m sin)(2}Im{)sinsin(ímpar
sin
(continua...)
x (t) (15)xc(t) (15)
_______________________________Prosseguindo substitui se (16) em (15)Prosseguindo, substitui-se (16) em (15),
tnJtntJtJAtx mcnn
mcnn
ccc sinsin)(2coscos)(2cos)()(ímparpar
0
Alternativamente, substituindo-se na expressão de xc(t), qual seja:tjnn
n
tj mm eJe )(sin
}{)sincos()( sin tjtjcmccc
mc eeeAttAtx }{)()( cmccc
tjnn
tj mm eJe )(sin
}{)( sin tjtjcc
mc eeeAtx
)()(Re)(Re)( tntjnc
tjnn
tjcc
mcmc eJAeJeAtx
n ________________________________Resulta:
-- nn
ma forma mais compacta e q e permite obter o diagrama de linhas espectrais do sinal mod ladouma forma mais compacta e que permite obter o diagrama de linhas espectrais do sinal modulado.
Um exemplo de espectro de linhas (unilateral) está desenhado na figura abaixo:
)()1()( nn
n JJ
______________________________________________________ O espectro de FM consiste de uma linha na portadora, mais um número infinito de linhas de bandas
l t i f ê i (f f )laterais nas frequências (fc nfm).
Todas as linhas são igualmente espaçadas pela frequência de modulação (fm).
As linhas de ordem ímpar da banda lateral inferior (em relação à portadora não modulada) são p ( ç p )invertidas em fase.
Num espectro de linhas de frequências positivas (unilateral), qualquer frequência aparente negativa [(fc +nfm)<0] deve ser rebatida de volta para valores positivos fc +nfm.[(fc fm) ] p p fc fm
As componentes do espectro acima, na região de frequência negativas, são desprezíveis uma vez que fm << fc .
O comportamento relativo das amplitudes de cada componente segue o comportamento das funções O comportamento relativo das amplitudes de cada componente segue o comportamento das funções de Bessel para um dado valor de , ou seja, de Jm(). (ver adiante)
Propriedades:Propriedades:
1. A amplitude da linha portadora J0() varia com o índice de modulação e, portanto, depende do sinal de modulação.Assim, ao contrário da modulação linear, a componente de frequência portadora de um sinal FMAssim, ao contrário da modulação linear, a componente de frequência portadora de um sinal FM contém parte da informação da mensagem.Todavia, pode haver espectros nos quais a portadora tem amplitude nula, desde que ocorre J0() =0 para = 2.4, 5.5, etc.
2. O número de linhas de bandas laterais com amplitudes relativas significativas depende de .Com << 1, apenas J0() e J1() são significativas, tal que o espectro consiste de uma portadora e duas linhas de banda lateral, como ocorreu na Fig. 5.1-4a.
Figura 5 1 4a
Contudo, se >>1, existirão muitas linhas de bandas laterais, gerando um espectro nada parecido com a modulação linear.
Figura 5.1-4a
ç
3. Grandes valores de implica em grande largura de banda para acomodar a extensa estrutura de bandas laterais, concordando com a interpretação física de um grande desvio de frequência.
Algumas dessas propriedades podem ser observadas na Fig. 5.1-6b, que fornece Jn() em função de n/ (para n real, não inteiro) e parametrizado em .
Figura. 5.1-6b
Estas curvas representam a envoltória das linhas de bandas laterais, se o eixo horizontal for n
multiplicado por f m : , para uma dada frequência de tom fm.mm nffn
Exemplos:Exemplos:
J0()J1()
dora
1 2 n/f 2f f f
J2()port
ad
fm 2fm f=nfm
mm fnfnn
n 1,11
,1
n/
J0()
J2()
J4()
1 2 n/2fm 4fm f=nfm
mm fnfnn
n 2,12
,2
J0()
2
(continua...)
Exemplos:Exemplos:
1 2 n/
J5()
5f 10f f=nfJ0()
mm fnfnn
n 5,15
,5
5fm 10fm f nfm
n/
1 2 /
J10()
1 2 n/10fm 20fm f=nfm
mm fnfnn
n 10,110
,10
J0()
Em particular, observa-se que todos os Jn() decrescem monotonicamente para n/ > 1 e que J () <<1 se n/ >>1monotonicamente para n/ > 1, e, que Jn() <<1 se n/ >>1.
rápido decaimento para n/ > 1
Na tabela 5 1 2 listam se alguns valores de J () sendo que os valores em branco correspondem àNa tabela 5.1-2 listam-se alguns valores de Jn(), sendo que os valores em branco correspondem à condição n/ >>1.
n/=2/0.1=20
Valores de n/ elevadose de Jn () reduzidos
Os espectros de linhas, desenhadas a partir da tabela 5.1-2, são mostrados na Fig. 5.1-7, omitindo-se as inversões de sinais.
A figura em (a) é desenhada para valores crescentes de , com fm mantido fixo, e se aplica a FM e PM.m
FM:
PM:
aumenta,fixo mmmmmm
m AfAffAff
fA
aumentaAAA PM:
Em ambos os casos 2fm aumenta.
aumentammm AAA
m
As linhas tracejadas auxiliam a visualizar a concentração de linhas de bandas laterais significativas dentro da faixalaterais significativas dentro da faixafc fm à medida que aumenta.
número de linhas significativas
A figura em (b) se aplica apenas a FM e ilustra o efeito de se aumentar pelo decréscimo de fm, comm
o produto Amf fixo.
constante22,fixo fAfffA
f
fAmmmm
m
m
As linhas tracejadas auxiliam a visualizar a concentração de linhas de bandasa concentração de linhas de bandas laterais significativas dentro da faixafc fm à medida que aumenta.
número de linhas significativas
Interpretação fasorial de xc(t)
A fim de interpretar fasorialmente a expressão (5.1-8a), qual seja,
retorna-se a aproximação de banda estreita (n=1) da Fig. 5.1-4,
A envoltória e a fase, construídas a partir da portadora e o primeiro par de bandas laterais, são*:
])cos()[cos()(cos)()( 10 ttJAtJAtx mcmccccc
primeiro par de bandas laterais, são :Figura 5.1-4
______________________________*Obs: usar a série de Taylor .1...,2/11 xxx
(continua...)
no limite A(t) = Ac
_______________________________Assim, a variação de fase é aproximadamente o desejado, porém, existe uma variação de amplitude adicional com o dobro da frequência do tom.
Para cancelar este último, deve-se incluir um par de linhas de banda lateral de segunda ordem, que rotaciona 2fm em relação à portadora, e cuja resultante seja colinear com a portadora.
])()[ ()()()( ttJAtJAt
Contudo, enquanto um par de segunda ordem virtualmente elimina
])2cos()2[cos()(
])cos()[cos()(cos)()(
2
10
ttJA
ttJAtJAtx
mcmcc
mcmccccc
Contudo, enquanto um par de segunda ordem virtualmente elimina a modulação de amplitude, ele também distorce (t).
A distorção de fase é então corrigida acrescentando um par de terceira ordem que, por sua vez, introduz modulação deterceira ordem que, por sua vez, introduz modulação de amplitude novamente.
E assim, por diante. ímpares, quadratura corrige fasepares, em fase corrige amplitudepares, em fase corrige amplitude
Distorção de amplitude e fase geradas devido a um número limitado de par de linhas laterais:
envoltória constante
envoltória não constante
distorção de fase
envoltória não constante
distorção de fase
Quando todas as linhas são incluídas, os pares de ordem superior têm uma resultante em quadratura t d i d l ã d f ê i /f d j d d l ã dcom a portadora que proporciona a modulação de frequência/fase desejada, mas sem modulação de
amplitude indesejável.
A resultante dos pares de ordem par, sendo colinear com a portadora, corrigem as variações de lit d
])3cos()3[cos()(])2cos()2[cos()(
])cos()[cos()(cos)()(
32
10
ttJAttJA
ttJAtJAtx
mcmccmcmcc
mcmccccc
amplitude.
])4cos()4[cos()(4 ttJA mcmcc
34
n=2
n=3n=4
A(t)
Ac
n=1(t)
ímpares, quadratura corrige fasepares, em fase corrige amplitude
(diagrama obtido num dado instante t)
(continua...)
A ponta da resultante varia um arco circular, refletindo que a amplitude permanece constante, Ac.
Exemplo 5.1-2: Modulação de Tom com NBFMExemplo 5.1 2: Modulação de Tom com NBFM
O sinal NBFM xc(t) =100cos[25000t + 0.05 sin2200t] = 100cos[(t)] é transmitido.
A frequência instantânea é obtida derivando-se (t).
Comparando-se com f(t)=fc +f x(t), conclui-se que fc = 5000 Hz, f = 10, x(t)=cos2200t.
Existem duas formas de se determinar :
a) Para NBFM com modulação de tom, sabe-se que (t) = sinmt.Desde que xc(t) = Ac cos[ct+(t)] = 100cos[25000t+0.05 sin2200t], então, (t) = 0.05sin2200t,q c( ) c [ c ( )] [ ], , ( ) ,e assim, = 0,05.
b) Calcula-se .
A partir de f(t) = fc +f Am cosmt = 5000+10cos2200t, encontra-se Am f = 10 e fm = 200, tal que
.05,0200
10
(continua...)
A pequena distorção na aproximação NBFM se mostra na potência transmitida: a partir do espectroA pequena distorção na aproximação NBFM se mostra na potência transmitida: a partir do espectrode linhas obtém-se
050100 A
5,22
05,0100
2
05,0,100
c
c
A
A
255006)52(1
)100(1
)52(1 222S
Figura 5.1-4a
ao contrário do valor obtido quando há raias laterais suficientes de forma a não ocorrer distorção de amplitude:
25,5006)5,2(2
)100(2
)5,2(2
222 TS
de amplitude:
#5000)100(
2
1
2
1 22 cT AS
Modulação Periódica e MultitomModulação Periódica e Multitom
A técnica de série de Fourier também pode ser aplicada ao caso de FM com modulação multitom.
Por exemplo, considere-se , onde f1 e f2 não são harmonicamente tAtAtx 2211 coscos)( relacionadas (f1 não é um múltiplo inteiro de f2 ).
O sinal modulante em FM será:
tA
tA
ftAdxftAtxt
21 sinsin2cos[])(2cos[)(
ou
ttftAdxftAtx ccccc 22
11
sinsin2cos[])(2cos[)(
tttAtx ccc 2211 sinsincos[)(
1 fA 2 fA sendo e .
Alternativamente, xc(t) pode ser escrito como:
1
11 f
f2
22 f
f
tjtjtjcc eeeAtx c 2211 sinsinRe)(
Sabe-se que:
e assim,
0,)(sin
tjnn
n
tj mm eJe
tmnjmnc
tjmm
m
tjnn
n
tjcc
c
c
eJJA
eJeJeAtx
)(21
2-
1-
21
21
)()(Re
)()(Re)(
mn
mnc 21
--
)()(
(continua...)
tmnj ceJJAtx )( 21)()(Re)(
mn
mncc
ceJJAtx 21--
21)()(Re)( ________________________________Portanto,
Esta técnica pode ser extendida para incluir três ou mais tons, embora com mais esforço algébrico.
Para interpretar (5 1-19) no domínio da frequência divide-se as linhas espectrais em quatroPara interpretar (5.1 19) no domínio da frequência, divide se as linhas espectrais em quatro categorias:
(1) Linhas portadoras em fc (para n=m=0), com amplitude:
(2) Linhas de bandas laterais em fc nf1 devido somente ao tom f1 (para m=0), com amplitude:
)()( 2010 JJAc
)()( 201 JJA
(3) Linhas de bandas laterais em fc mf2 devido somente ao tom f2 (para n=0), com amplitude:
)()( 201 JJA nc
)()( 210 mc JJA
(4) Linhas de bandas laterais em fc nf1 mf2 , que aparecem como modulação na frequência de batimento nas frequências soma e diferença dos tons (f1 e f2) e suas harmônicas, e com amplitudes:
)()( 21 mnc JJA )()( 21 mnc
Exemplo: FM com dois tons
No caso de dois tons, cujas frequências são tais que f1 << f2 e 1 > 2 (existem mais linhas significativas separadas por f1 do que linhas separadas por f2 ) tem-se o espectro típico:significativas separadas por f1 do que linhas separadas por f2 ) tem se o espectro típico:
U di ã i d lh d é d iUma discussão mais detalhada é apresentada a seguir.
(continua...)
Exemplo: FM com dois tons (continuação)Exemplo: FM com dois tons (continuação)
Para f1 << f2 e 1 > 2 (existem mais linhas significativas separadas por f1 do que linhas separadas por f2 ):
)()( 2010 JJAc
f2
f1f1
Espectro de FM com 2 tons, em f1 e f2 , para f1 < f2. )()( 201 JJA nc
)()( 210 mc JJA
f1
)()( 21 mnc JJA
ffc2f2 fcf2 fcf1 fc+f1 fc+f2 fc+2f2
fc
Cada linha de banda lateral em fc mf2 ( ) se comporta com uma portadora de FM com modulação tonal na frequência f1 .
A largura de banda global depende das componentes significativas do sinal em f2 e que estão na sua g g p p g f2 qmaior frequência. (continua...)
Categoria de linhas (4):“Linhas de bandas laterais em f nf mf que aparecem como modulação na frequência de batimento nas frequênLinhas de bandas laterais em fc nf1 mf2 , que aparecem como modulação na frequência de batimento nas frequên-cias soma e diferença dos tons (f1 e f2) e suas harmônicas, e com amplitudes: .”______________________________________________________O comportamento das linhas (4) diferem das de AM, onde cada nova frequência adicionada ao sinal
d l d dá i à ó i b d l i
)()( 21 mnc JJA
modulado dá origem apenas às suas próprias bandas laterais.
Ou seja, em AM, as bandas laterais obedecem ao princípio de superposição.
Assim, se x1(t) e x2(t) dão origem às bandas X1(f) e X2(f), então, as bandas criadas pelo sinal compostoAssim, se x1(t) e x2(t) dão origem às bandas X1(f) e X2(f), então, as bandas criadas pelo sinal compostox1(t) + x2(t) serão oriundas de X1(f) + X2(f): f2
f1Espectro de AM com 2 tons, em f1 e f2 , para f1 < f2. spec o de co o s, e f1 e f2 , p f1 f2.
X2(f)X1(f)
f
Não há produtos de intermodulação ou bandas laterais devido a produto cruzado; ou seja, não há
fc2f2 fcf2 fcf1 fc+f1 fc+f2 fc+2f2
fc
f
p ç p ; j ,termos nas frequências fc nf1 mf2 . (continua...)
Exemplo: FM com três tons
Para f1 << f2 << f3 e 1 > 3 > 3 , tem-se o espectro abaixo:
W /2
W1/2
W2/2
W3/2
X1(f-fc) X3(f-fc)Espectro de FM com 3 tons f1 << f2 << f3 e 1 > 3 > 3.
X2(f-fc)
fc fc+f2 fc+f3 f
Aparentemente, quem define a largura de banda global do espectro de FM multitons é o tom de maior frequência. #
Sinais de FM com tons harmonicamente relacionados
Quando as frequências dos tons estão relacionadas linearmente (i.e. f1 = f0 , f2 = 2f0 , etc.), tem-se:
tmftmfAtfAtfAtx m 000201 2sin02cos0...22cos2cos)(
uma série de Fourier e, portanto, um sinal periódico.
(Comparar com .)
m 1
tnfbtnfactv nn 000 2sin2cos)(
Com isso, (t) (= x(t) para PM, e, = para FM) também será periódico, bem como, .
n 1
dxft
)(2 )](exp[ tj
tfjtj 2)(
Este, por sua vez, pode ser expandido em série de Fouriercomo:
sendo
tnfjn
n
tj ece 02)(
dteeT
c tnfjtj
Tn0
0
2)(
0
1
Portanto, o sinal modulado será:
n
tjnn
tjc
ttjcccc eceAeAttAtx cc 0Re}Re{)](cos[)( )]([
sendo que Accn corresponde as magnitudes das linhas espectrais em f = fc +nf0 .
Exemplo 5.1-3: FM com modulação por trem de pulsos (tons harmonicamente relacionados)Exemplo 5.1 3: FM com modulação por trem de pulsos (tons harmonicamente relacionados)
Seja x(t) uma função moduladora com forma de onda em trem de pulsos com amplitudes unitárias, período T0, duração de pulso e ciclo de trabalho d =/T0 .
D j b áfi d ( ) f( ) d d i l d FMDeseja-se obter os gráficos de (t) , f(t) e do espectro do sinal de FM.
As constantes de integração são escolhidas tais que (t) 0.___________________________________________________________________________________________________
A frequência instantânea para x(t) é: )()( txfftf c
x(t)
equê c a s a â ea pa a x(t) é: )()( fff c
0 T0 T0 t
A origem do tempo é escolhida tal que (t) tem valor de pico =2f em t=0:
Para < t <0, x(t) = 1, e
)()(2)( 00
tdxftt
t
)()(2)(12)( fdft
)()(2)(12)( 00 ttftdft
(continua...)
)()(2)(12)( ttftdftt
x(t)
Deseja-se =2f em t=0.
)()(2)(12)( 00 ttftdft
Então, (t0) deve ser igual a zero em t = , para ocorrer =2f para t = 0:
0 T0 T0 t
(t)ocorrer =2fpara t = 0:
, para < t <0.
=2f
)(2)( tft
Para 0< t < T0, ocorre x(t) =0, e assim, não seria possível calcular a integral de (t) de tal forma f ã iódi
0 T0 T0 t
a manter esta função periódica.
(Não tem como (t) retornar a zero em T0após a integração, a fim de se tornar periódica.)
Neste caso, é razoável tentar obter (t) a partir de f(t).
(continua...)
x(t)O valor médio de x(t) é:O valor médio de x(t) é:
dT
tT
dtT
tx TT
T
T
000
0
0
0
0
11
1)(
0 T0 T0 t
Após remover a componente DC [x(t) x’ (t) ], a frequência instantânea do sinal de FM resultante áserá:
])([)(')(' dtxfftxfftf cc
x’=x(t)d
A
1d
fc fdA0 td
0 t’)('
'1'1)(' txf
ddftf
Por conveniência, emprega-se o sistema de coordenadas auxiliar t’.
)(22
)( txfdtdt
ftf c
Kdft
)('2''
(continua...)Kdxf )('2'
0
a) Para o intervalo < t < 0, tem-se uma área A positiva:
1d
x’=x(t)d ’(t) =2f(1-d)
A
A0 td
0 T0 T0 t d
0 t’
KtdfKdfKddfKdxft ttt ')1(2)1(2)1(2)('2)(' '
0
'
0
'
0
Sabe-se que: t’ = t+
Em t = , ’(t) =0
Ktdft ))(1(2)('
00))(1(2)(' KKdft
e então
b) Para o intervalo 0< t < T tem se uma área A negativa sendo possível fazer (t) retornar a zero
)1)(1()(')1)(1(2))(1(2)('
tdt
tdftdft
b) Para o intervalo 0< t < T0, tem-se uma área A negativa, sendo possível fazer (t) retornar a zero.Emprega-se o sistema de coordenadas normal para t.
')2('2)(2)(' 00KtdfKfKddft tt
0
(continua...)
0/,')2()( TdKtdft Para 0< t < T0,___________________________________________________
Para t = T0 , .
E tã
)(2'0')(2' 00 TdfKKTdf
0
][)()(2' dtTd
Tddt
Tdfdtf Então:
0000 ],[)()(2'
TdtTTTdfdtf
]1)[('0
0
T
tT
d )1)(1(')1)((1
0000
0
T
td
T
tdTT
T0 000
Porém, deseja-se que (t) tem valor de pico =2f em t=0.
Obteve-se: para < t < 0, , e, para 0< t < T0,)1)(1()(' tdt
)1)(1('
T
td
então, pode-se normalizar ’(t) dividindo-se por (1d) obtendo-se:
0 T
(continua...)
fc fd
________________________________________________O cálculo de cn é uma tarefa não trivial, envolvendo integrais exponenciais e relações trigonométricas.
O resultado final pode ser escrito como (aconselha-se o leitor a tentar demonstrá-lo) :
dteT
c dttntj
T
n])([
0
0
0
1
resultando em:
onde , o qual exerce um papel similar ao índice de modulação para o caso de 00 / ffTf
(continua...)modulação de tom simples.
Para o caso particular onde d=1/4, =4 e Ac =1, tem-se o seguintes espectro de linhas:
cn
_____________________________________________}Re{)( )(
n
tnjncc
ocecAtx
Espectro do sinal de FM:fcfd
(continua...)
Nota-se a ausência de simetria do espectro em torno da portadora fc .1 3
Os picos estão em e , revelados pelas frequências instantâneas
fc fd e fc+(1d) f , para d=1/4.
fff c 4
1 fff c 4
3
O fato de que o espectro contém outras frequências também ressalta a diferença entre frequência espectral e frequência q p qinstantânea.
As mesmas observações se aplicam para o espectro contínuo de FM, com x(t) na forma p , ( )de um pulso único de modulação, e que foiestudado no Exemplo 2.5-1:
Sinal temporal modulado em FM
Espectro contínuo de FM para f > 0