Esquema-resumen  Capítulo 5.‐ Representación de la información 1.‐ Generalidades 2.‐ Tipo de datos 3.‐ Gráficos para datos cualitativos o discretos   Diagrama de barras   Diagrama de sectores   Pictograma 4.‐ Gráficos para datos continuos   Diagrama diferencial o histograma   Estimar la densidad de la distribución de una variable   Gráfico de tallos y hojas   Gráfico de caja 

Gráfica de comparación de cuantiles 5.‐ Superposición y salvado de gráficas   Superposición de gráficas   Salvado de gráficas 

   

Capítulo 5.‐ Representación de la información  OObbjjeettiivvooss

Valorar la importancia de los gráficos en el análisis de datos 

Comprender los pro y contra de las representación gráfica de la información 

Utilizar en contexto de investigación los gráficos para datos discretos 

Saber elegir el gráfico discreto más adecuado conforme las características de los datos 

Interpretar los resultados de gráficos para datos discretos 

Utilizar en contexto de investigación los gráficos para datos continuos 

Saber elegir el gráfico continuo más adecuado conforme las características de los datos 

Interpretar los resultados de gráficos para datos continuos 

Manejar de forma adecuada la superposición de gráficos 

Conocer el proceso de salvar los gráficos realizados en diferentes formatos 

1. Generalidades La  representación  gráfica  es  una  forma  de  expresión  de  la  información  recogida  de  una investigación. Un viejo refrán dice: “una imagen vale más que mil palabras”, muchas veces una simple mirada a un gráfico nos permite  sintetizar  la  información aportada por  los datos. No obstante,  según  indica  (Correa  y  González,  2002,  pág.  8)  si  un  gráfico  debe  aclararse  con números, entonces se debe utilizar una tabla.  En un gráfico hay una serie de elementos importantes: 

Título 

Subtítulo si procede 

Región de datos y símbolos representativos 

Ejes horizontal y vertical con sus escalas respectivas 

Leyenda si procede 

Señales y marcas   Todos  estos  elementos  los  iremos  observando  en  los  distintos  tipos  de  gráficos  que  se presentarán a continuación.   En todo gráfico se debe:  

Evitar elementos y datos que no aporten información 

Destacar la parte sustantiva de información que se desea transmitir 

No apelmazar la zona donde se muestran los datos 

Poner en los ejes las marcas necesarias y ninguna más 

El identificar del gráfico (figura 1.1, por ejemplo, y el texto de identificación),  no debe ser una información contenida en el título y contenido del gráfico 

No deben faltar los datos imprescindibles para transmitir la información requerida 

Finalmente se debe cuidar la calidad de impresión para hacer legible los datos  

2. Tipos de datos Según sabemos  los datos, en general, se pueden clasificar en cualitativos y cuantitativos. Los cualitativos  expresan  una  cualidad  o  característica  y  por  tanto  no  se  pueden  expresar  con números,  aunque  a  veces  en  la  codificación,  para  tratamiento  estadístico  de  los  datos,  se 

asigne un numeral. A su vez se clasifican en: ordinales si siguen un orden (por ejemplo, días de la semana, estaciones en una línea de metro, etc.) y nominales, si no siguen ningún orden (por ejemplo, castaño, rubio, negro, etc.). 

Los cuantitativos se refieren a cantidades o valores numéricos y se expresan con números. A su vez se dividen en: discretos, si toman valores enteros (0,1,2,3….), por ejemplo, alumnos de una  clase, habitantes de un pueblo, etc.,  y  continuos  si puede  tomar  cualquier  valor de un intervalo, por ejemplo altura de una persona, peso de la misma, etc.  A continuación veremos los principales gráficos para los distintos tipos de datos. 

3. Gráficos para datos cualitativos o  discretos 

3.1. Diagrama de barras 

Es un gráfico donde en el eje horizontal o vertical se representan las cualidades o categorías de los datos, de tal forma que mediante rectángulos de la misma amplitud y altura proporcional a la  frecuencia de aparición de  la categoría,  se van  representado  los diferentes valores de  los datos. Es una representación gráfica típica de los llamados factores en R.  

La orientación del gráfico puede ser: 

1. Vertical,  las  categorías  de  la  variable  se  sitúa  en  el  eje  horizontal  y  las  barras  de frecuencia se desarrollan verticalmente. 

2. Horizontal,  las  categorías  de  la  variable  se  sitúa  en  el  eje  vertical  y  las  barras  de frecuencia se desarrollan horizontalmente. Este procedimiento se suele utilizar si  los nombres de las categorías son largos o en el caso de existir muchas categorías. 

Es interesante ordenar las categorías de forma alfabética o por el valor de la frecuencia de las mismas.  Los  usos  principales  de  este  tipo  de  gráfico  son  para  comparar  la  frecuencia  o porcentaje  de  las  diferentes  categorías,  o  para  ver  la  evolución  de  una  variable  en  un determinado período de tiempo. 

Veamos un ejemplo. 

Ejemplo 5.1 Se  quiere  representar  mediante  un  diagrama  de  barras  la  variable  grupo  (del  fichero ejemplo1.txt).  Como  siempre  se  utilizará  R‐Commander,  para  lo  cual  se  pulsa  las  pestañas: GráficasGráfica de barras. Si por las circunstancias que fuera la pestaña de Gráfica de barras no estuviera activa (debe estar en negrita) se pulsará la siguiente secuencia de pestañas: Datos ‐>Conjunto de datos activo‐> Actualizar conjunto de datos activo. Una vez más se recuerda que las  variables  que  queremos  representar mediante  un  diagrama  de  barras  en  R  deben  ser factores y se entra en el cuadro de diálogo siguiente:  

 Fig 5.1.‐ Gráfico de barras. Cuadro de diálogo 

Dando como resultado:  

  

Fig 5.2.‐ Gráfico de barras simple  Y su código R es:  barplot(table(ejemplo1$grupo), xlab="grupos", ylab="frecuencia", main="Table frecuencia var. grupo")

 Nótese que en el eje de abscisas se representan las categorías de la variable grupo y en el eje de ordenadas se representa la frecuencia de cada categoría de la variable grupo. En este caso se observa como cada una de las dos categorías tienen la misma frecuencia.  Hay varios  tipos de gráfico de barras: a) gráfico de barras simple que contiene una serie de datos, como por ejemplo la fig. 5.2; b) gráfico de barras agrupado con varias series de datos y cada una se representa por un tipo de barra de un mismo color o trama; c) gráfico de barras apilado con varias series de datos. Cada barra se divide en segmentos de diferentes colores o trama y cada uno de ellos representa una serie.  En el código anterior de R si se quiere que la representación gráfica de las barras sea horizontal en  lugar  de  vertical  se  modificará  el  código  con  la  introducción  de  horiz=TRUE  según  se muestra a continuación:  barplot(table(ejemplo1$grupo),xlab="grupos",ylab="frecuencia", horiz=TRUE, main="Table frecuencia var. grupo")

experimental control

Table frecuencia var. grupo

grupos

fre

cue

nci

a

01

02

03

04

05

0

 Ejemplo 5.2 Se quiere  representar mediante un diagrama de barras  las variables grupo y v5  (del  fichero ejemplo1.txt),  ambas  deben  estar  en  formato  factor,  es  decir,  como  variables  categóricas. Estamos  ante  un  diagrama  de  barras  agrupadas.  En  esta  ocasión  se  tendrá  que  utilizar directamente el código:  frec<-table(ejemplo1$grupo,ejemplo1$v5) barplot(frec, xlab="grupos y núm. entrev.", ylab="frecuencia", main="Table frecuencia en función del grupo y del núm. entrevistas",col=c("darkblue","red"), beside=TRUE) legend ("topleft", rownames(frec),fill=c("darkblue","red"))

 Cuya  interpretación  es  la  siguiente:  a)  el  primer  comando  “table”  calcula  la  tabla  de frecuencias  de  la  variable  grupo  que  procede  del  fichero  ejemplo1  y  de  la  variable  v5  que procede del mismo fichero; b) el comando “barplot” hace propiamente el diagrama de barras y toma  los datos de frec (tabla de frecuencias del comando anterior), pone  la etiqueta (xlab) al eje de las abscisas y a las ordenadas (ylab), pone el título (main), el color (col) e indica que las barras son agrupadas (beside); c) el último comando es  la  leyenda del gráfico (legend):  indica que la leyenda se pondrá arriba y a la izquierda (topleft), con el nombre de las filas de la tabla (frec) y con los colores de relleno (fill) coincidentes con los dados a las barras.  El resultado se presenta en la fig. 5.3  

 Fig 5.3.‐ Gráfico de barras agrupadas 

 El mismo ejemplo 5.2 se puede representar con diagrama de barras apiladas. El código R será muy parecido, sólo será necesario quitar del comando “barplot” la opción beside=TRUE.  frec<-table(ejemplo1$grupo,ejemplo1$v5) barplot(frec, xlab="grupos y núm. entrev.", ylab="frecuencia", main="Table frecuencia en función del grupo y del núm. entrevistas",col=c("darkblue","red")) legend ("topleft", rownames(frec),fill=c("darkblue","red"))

 Cuyo resultado se muestra en la fig. 5.4  

 Fig 5.4.‐ Gráfico de barras apiladas 

 

3.2. Diagrama de sectores  

El  diagrama  de  sectores  consiste  en  un  círculo,  donde  cada modalidad  ocupará  un  sector circular con ángulo proporcional a  la frecuencia absoluta de dicha modalidad. Para dibujarlo, nos planteamos con cada modalidad una  simple  regla de  tres, esta es,  si n  individuos van a repartirse 360º, ni individuos de la modalidad ci ocuparán xi grados.  A la vista de un diagrama de sectores y conociendo n, es fácil escribir la tabla que presenta.   La  información que  se  suele dar de  cada  sector de  la gráfica es el porcentaje de  individuos pertenecientes al mismo.  Esta  gráfica  suele  ser  útil  cuando  la  variable  discreta  tiene  pocas  categorías,  y  resulta incomprensible cuando son muchas las mismas.  Ejemplo 5.3 Se  quiere  representar  mediante  un  diagrama  de  sectores  la  variable  v8  que  pregunta  al encuestado si ha encontrado trabajo temporal. En R‐Commander se seleccionará: Gráficas  Gráfica de sectores, y se entra en un cuadro de diálogo parecido al diagrama de barras:  

  

Fig 5.5.‐ Gráfico de sectores. Cuadro de diálogo 

 Se  selecciona  el  nombre  de  la  etiqueta  del  eje  x,  que  pondremos:  ¿Ha  encontrado  trabajo temporal?, y la etiqueta del eje y, que será: ¿porcentaje?. Finalmente se pondrá el nombre del gráfico: Respuesta sobre si ha encontrado trabajo temporal.  El código de R generado será el siguiente:  pie(table(ejemplo1$v8), labels=levels(ejemplo1$v8), xlab="¿ha encontrado trabajo temporal?", ylab="porcentaje", main="Respuesta sobre si ha encontrado trabajo temporal", col=rainbow_hcl(length(levels(ejemplo1$v8))))

 Cuya salida gráfica será la siguiente:  

 Fig 5.6.‐ Gráfico de sectores simple 

 Si se quiere añadir el porcentaje de cada categoría ya no se podrá hacer con R‐Commander y será necesario modificar el código anterior:  frec<-table(ejemplo1$v8) pct <- round(frec/sum(frec)*100) lbls<-rownames(frec) #etiquetas lbls <- paste(lbls, pct) # adición porcentaje a las etiquetas lbls <- paste(lbls,"%",sep="") # adición de % a las etiquetas pie(frec,labels = lbls, col=rainbow(length(lbls)), main="Respuesta sobre si ha encontrado trabajo temporal")

  El primer comando con “table” se calcula la tabla de frecuencias  El segundo calcula el porcentaje redondeando la división a cifras enteras. El resultado 

se almacena en pct  Las tres líneas siguientes de código vienen con un comentario después de #  Finalmente el comando “pie” representa el diagrama de sectores 

 El resultado se muestra en la figura siguiente:  

 Fig 5.7.‐ Gráfico de sectores con etiquetas de porcentaje 

 También  se  puede  representar  el  diagrama  de  sectores  con  gráficos  3D,  para  lo  cual  será necesario cargar la librería de R (plotrix). El código será muy parecido al anterior:  library(plotrix) frec<-table(ejemplo1$v8) pct <- round(frec/sum(frec)*100) lbls<-rownames(frec) #etiquetas lbls <- paste(lbls, pct) # adición porcentaje a las etiquetas lbls <- paste(lbls,"%",sep="") # adición de % a las etiquetas pie3D(frec,labels = lbls, explode=0.1,col=rainbow(length(lbls)), main="Respuesta sobre si ha encontrado trabajo temporal")

 Nótese que el comando “pie3D” tiene un subcomando que determina  la separación entre  los sectores (explode). Aquí se ha puesto “explode=0.1” para hacer una pequeña separación.  El resultado se muestra a continuación:  

 Fig 5.8.‐ Gráfico de sectores en 3D con etiquetas de porcentaje 

  

3.3. Pictogramas 

La idea es la misma que la del diagrama de barras pero dibujándole a cada categoría una figura representativa de la modalidad.  

Mediante R‐Commander no hay ninguna  función que permita  realizar este  tipo de  gráficos, pero  en  la  Red  (http://www.r‐bloggers.com/easy‐pictograms‐using‐r/)  existe  una  función (pictogram) que permite realizar este gráfico.  Nótese que debe copiarse el código de  la función pictogram en el fichero junto con el código que se pondrá a continuación.  Ejemplo 5.4 Utilizando  la  función  “pictogram”  representar  gráficamente  la  variable  edad  del  fichero ejemplo1.  Para  ejecutar  el  código  que  se muestra  a  continuación  será  necesario  cargar  las librerías: reshape y png. Veamos el código que realiza dicha representación:  library(png) man<-readPNG("man.png") frec<-table(ejemplo1$edad) pictogram(icon=man, n=frec, grouplabels=rownames(frec))

  Primero se carga la librería png, para a continuación subir el fichero “man.png” que es 

un símbolo de un hombre y que debe estar en el subdirectorio de trabajo.  Luego  se  calcula  la  tabla  de  frecuencia  de  la  variable  edad  y  finalmente mediante 

pictogram se representa el pictograma.  El resultado es el siguiente:  

 Fig 5.9.‐ Pictograma 

 Como se puede ver en el gráfico hay 3 personas de 33 años, 3 de 32 años,…. etc.  

4. Gráficos para datos continuos 

4.1. Diagrama diferencial o histograma  

El  histograma  es  una  representación  gráfica  de  las  frecuencias  relativas  de  una  variable cuantitativa continua.   Sobre unos ejes de coordenadas, dibujaremos en el eje de abscisas las clases de la variable (los intervalos o las marcas de clase que son la mitad del intervalo). Sobre cada clase levantaremos un rectángulo de superficie proporcional a  la frecuencia relativa de  la clase. Dada  la clase (li‐1 

li], un rectángulo de altura hi, tendría superficie si=hi. ai, donde ai es la amplitud de esta clase. Si queremos que esta  superficie  sea proporcional a  la  frecuencia  relativa  fi,  tendría que  ser cierta  la  igualdad hi.ai=c.fi  . Y por  tanto  la altura que debemos ponerle al  rectángulo vendrá dada por hi=c. fi/ai  La constante de proporcionalidad c, puede ser cualquier número, pero el mismo para todas las clases. No habrá separación entre las barras.  Decidir  el  número  de  clases  o  barras  del  histograma  depende  del  investigador,  una  regla 

utilizada es la de Sturges: elegir el número entero más próximo a   21 log ( )n   . 

 Ejemplo 5.5 Se quiere  dibujar  el histograma de  la  variable  v1 del  fichero  ejemplo1.  Se  selecciona  en R‐Commander: Gráficas ‐> Histograma y se entra en el siguiente cuadro de diálogo:  

  

Fig 5.10.‐ Histograma. Cuadro de diálogo (a)  Donde  en  la  pestaña  “Datos”  se  selecciona  la  variable  v1  sobre  la  que  se  realizará  el histograma.  

 Fig 5.11.‐ Histograma. Cuadro de diálogo (b) 

 En la pestaña “Opciones” se selecciona el tipo de escala, el número de clases en que se desea dividir el  rango de  variación de  la  variable  continua,  las etiquetas de  los ejes  y el  título del gráfico.  El código R será:  Hist(ejemplo1$v1, scale="frequency", breaks="Sturges", col="darkgray", xlab="núm sesiones presenciales", ylab="frecuencia", main="Distribución núm.sesiones presenciales")

 Y el resultado, el siguiente gráfico:  

 Fig 5.12.‐ Histograma 

 Nótese que se ha dejado la división en intervalos en automático(al arbitrio del programa), pero lo aconsejable es que el investigador seleccione un número de clase que deseé, quizás después de hacer la representación, es decir, en una segunda pasada.  En  algunas  ocasiones  se  suele  añadir  al  histograma  la  curva  normal,  para  observa  si  la distribución de  la  variable  se  aproxima    a  la distribución normal. Este proceso no  se puede realizar con R‐Commander y se hará con el siguiente código:  x<-ejemplo1$v1 h<-hist(x, breaks=10, col="red", xlab="núm sesiones presenciales", main="Histograma con curva normal") xfit<-seq(min(x),max(x),length=40) # 40 datos entre mínimo y máximo de #x yfit<-dnorm(xfit,mean=mean(x),sd=sd(x)) # se almacena en yfit los #valores de una curva normal de media (mean) la media de x y #desviación típica (sd) la desviación típica de x yfit <- yfit*diff(h$mids[1:2])*length(x)# producto de la normal (yfit) #por la mitad del intervalo (5) y por el número de casos #(length(x)=100) lines(xfit, yfit, col="blue", lwd=2) # representación gráfica mediante #una línea de color azul y grueso de línea 2

 Recuérdese que el símbolo # representa un comentario y no se ejecuta en R.  El gráfico de salida será:  

  Fig 5.13.‐ Histograma con curva normal 

 

4.2. Estimar la densidad de la distribución de una variable 

Recordemos que una función de densidad de una variable es: 

a) Una función  ( ) 0f x  para todo valor de la variable x 

b) El área total encerrada bajo la curva vale 1 c) La probabilidad que x tome valores en el intervalo [a,b] es el área bajo la curva en ese 

intervalo. La gráfica f(x) se conoce como curva de densidad de la variable x   Uno  de  los  problemas más  importantes  de  la  estadística  es  la  estimación  de  la  función  de densidad de una variable a partir de la información proporcionada por una muestra.   La estimación no paramétrica de las funciones de densidad, mediante el núcleo o kernel es un procedimiento para obtener la función de densidad estimada de la distribución poblacional.  

1

1ˆ ( )n

i

i

x Xf x K

nh h

  donde n=tamaño muestral; h=ancho de la ventana; K es el kernel 

o núcleo; Xi el valor de la variable en la muestra  El procedimiento de construcción de  la función de densidad estimada es recursivo: para cada punto se dibuja una distribución normal (si K es el kernel normal) de media el valor del punto (Xi) y cuya distribución es 1/n, de tal forma que la suma de todas las distribuciones sea 1.  Ejemplo 5.6 Se quiere dibujar la estimación de curva de densidad de la variable v1 del fichero ejemplo1. Se selecciona  en R‐Commander: Gráficas  ‐>  Estimación  de  densidad  y  se  entra  en  el  siguiente cuadro de diálogo:  

 Fig 5.14.‐ Estimación de densidad. Cuadro de diálogo (a) 

 En la pestaña “datos” se selecciona la variable v1. Como vemos también se puede realizar por grupos, por ejemplo en nuestro caso se puede utilizar cualquiera de las variables factores.  

 Fig 5.15.‐ Estimación de densidad. Cuadro de diálogo (b) 

 En la pestaña “Opciones” se selecciona:  

a) la función de núcleo, donde se ha indicado gausiano (curva normal) b) el ancho de banda (h) y su multiplicador que se han puesto a 1 c) las etiquetas de los ejes 

 El resultado de todo este proceso es el gráfico: 

 Fig 5.16.‐ Estimación de densidad 

 Cuyo código R es:  densityPlot( ~ v1, data=ejemplo1, bw="SJ", adjust=1, kernel="gaussian", xlab="núm. de sesiones presenciales", ylab="densidad")

 Como se ha comentado también se puede comparar  la estimación de  la densidad en función de una variable factor.  

Ejemplo 5.7 Se quiere dibujar la estimación de curva de densidad de la variable v1 del fichero ejemplo1 en función de  la variable v8 (respuesta sobre ha encontrado trabajo temporal). Se selecciona en R‐Commander: Gráficas ‐> Estimación de densidad y en el cuadro de diálogo fig. 5.14 “gráfica por grupos” se selecciona la variable v8. El código R será el siguiente:  densityPlot(v1~v8,data=ejemplo1, bw="SJ", adjust=1, kernel="gaussian", xlab="núm. de sesiones presenciales", ylab="densidad")

 Cuyo resultado es el siguiente:  

 Fig 5.17.‐ Estimación de densidad por grupos 

 También  se  puede  tener  un  gráfico  de  estimación  de  densidad  con  la  zona  de  densidad coloreada. Su código R será:  d <- density(ejemplo1$v1) plot(d,main="Kernel Densidad var.núm. sesiones presenciales",ylab="densidad") polygon(d, col="red", border="blue") #dibuja un polígono cerrado

 Con la representación gráfica siguiente:  

 Fig 5.18.‐ Estimación de densidad. Área coloreada 

 

4.3. Gráfico de tallos y hojas 

Un procedimiento semi‐gráfico de presentar la información para variables cuantitativas, que es especialmente útil cuando el número  total de datos es pequeño  (para algunos autores debe ser menor que 50), es el diagrama de tallo y hojas de Tukey.  Dibujar  el  diagrama  de  tallos  y  hojas.  Para  ello  primero  dibujamos  los  tallos  y  después separadas por una  línea  vertical dibujamos  las hojas.  Los  tallos  son  todos  los dígitos de  las decenas, centenas, etc.. Las hojas son  las unidades de todos  los datos y se representan en  la línea correspondiente al tallo al que corresponde cada dato.  Veamos el siguiente ejemplo.  Ejemplo 5.8 Supongamos los siguientes datos recogidos: 45  57  59  58  61  56  63  57  69 59  59  57  63  72  59  62  60  41 59  63  59  65  57  61  58  59  63  Su gráfico de tallo y hojas es el siguiente:  1 | 2: represents 1.2 leaf unit: 0.1 n: 27 LO: 41 45 3 56 | 0 7 57 | 0000 9 58 | 00 (7) 59 | 0000000 11 60 | 0 10 61 | 00 8 62 | 0 7 63 | 0000 64 | 3 65 | 0 66 | 67 | 68 | 2 69 | 0 HI: 72

 Aquí  los dos valores más bajos son 41 y 45  luego aparece 56 que  tiene un dato, después 57 cuya  frecuencia es 4. Si miramos  totalmente a  la  izquierda aparece  la  frecuencia acumulada que es 7 (41, 45, 56, 57, 57, 57, 57) y así se van representando todos los datos. Nótese que el valor encerrado entre paréntesis es la frecuencia del valor de la mediana, es decir, el valor de la variable que en este caso tiene 13 datos por encima y 13 datos por debajo.  Como  podemos  observar  esta  representación  gráfica  nos  da  una  idea  de  la  simetría  de  la distribución (en el ejemplo es sesgada a  la derecha, porque  la cola de valores superiores a  la mediana es mayor que la de  inferiores). También permite ver los valores outliers y los gaps o huecos.  Cuando  el  primer  dígito  de  la  clasificación  varía  poco,  la mayoría  de  los  datos  tienden  a agruparse alrededor de un  tallo y el diagrama  resultante  tiene poco detalle. En este caso es conveniente subdividir cada tallo en dos o más partes introduciendo algún signo arbitrario. 

 Una de las ventajas del gráfico de tallos y hojas es que hace los papeles de tabla de frecuencias agrupadas e histograma al mismo tiempo.  Otra ventaja de estos gráficos es que  los valores de  la variable son conservados, cosa que no ocurre con la distribución de frecuencias agrupadas. Esta ventaja permite realizar cálculos con los valores de la variable sobre el mismo gráfico.   Veamos con otro ejemplo los pasos necesarios para realizar el gráfico con R‐Commander:  Ejemplo 5.9 Se  quiere  dibujar  el  diagrama  de  tallos  y  hojas  de  la  variable  v1.  Se  selecciona  en  R‐Commander: Gráficas ‐> Gráfica de tallo y hojas. Se entra en el siguiente cuadro de diálogo: 

 Fig 5.19.‐ Gráfica de tallos y hojas. Cuadro de diálogo (a) 

 En la pestaña de “Datos” se selecciona la variable v1   

  

 Fig 5.20.‐ Gráfica de tallos y hojas. Cuadro de diálogo (b)  

En la pestaña de “Opciones” se deja las dadas por defecto por R.  El código R generado por la selección es el siguiente:  library(aplpack, pos=4) #esta librería está presente al funcionar con #R-Commander stem.leaf(ejemplo1$v1, na.rm=TRUE)

 La representación semi‐gráfica es la siguiente: 

 1 | 2: represents 12 leaf unit: 1 n: 100 1 0* | 1 5 t | 2223 16 f | 44444455555 19 s | 667 24 0. | 88889 25 1* | 1 29 t | 2333 33 f | 4444 44 s | 66666777777 48 1. | 8889 (8) 2* | 00011111 44 t | 233333 38 f | 445 35 s | 6677777 28 2. | 88999 23 3* | 00111111 15 t | 2222333 8 f | 4444555 1 s | 6

 Como se puede ver el gráfico es casi simétrico, cuestión que ya casi sabíamos por la fig. 5.16.  

4.4. Gráfico de caja (Box Plot) 

Datos atípicos Los  datos  que  obtenemos  al  realizar  una  investigación  pueden  ser  clasificados  en  dos categorías excluyentes: a) Datos correctos b) Datos erróneos  Los  datos  erróneos  son  debidos  a  múltiples  factores  (errores  de  trascripción,  distintos instrumentos utilizados en  la  recogida de datos, etc). Hay otros datos atípicos denominados outliers y extremos, que  tenemos que  tener en cuenta a  la hora de hacer cualquier estudio pues existen estimadores (funciones de los estadísticos) que son sensibles frente a estos datos y la información que nos proporcionan, si existen datos de este tipo, es errónea.  Solamente  los expertos podrán discernir entre datos atípicos y datos erróneos. En el texto se considerará ambos como atípicos.  Diagrama de caja El diagrama de  caja  es una  representación  semigráfica de una distribución,  construida para mostrar sus características principales y señalar  los posibles datos atípicos, es decir, aquellas observaciones que parecen ser distintas de las demás.  Un diagrama de caja se construye como sigue:  Ordenar  los  datos  de  la muestra  y  obtener  el  valor mínimo,  el máximo,  y  los  tres 

cuartiles Q1,Q2,Q3.  Dibujar  un  rectángulo  cuyos  extremos  son  Q1  y  Q3  e  indicando  la  posición  de  la 

mediana (Q2) mediante una línea o un asterisco.  Si denominamos  IQR=Q3‐ Q1 podemos calcular  los  límites admisibles, superior e  inferior, que van a servir para identificar los valores atípicos. Estos límites se calculan con: LI=Q2‐1,5(IQR)    FI= Q2‐3(IQR) 

LS=Q2+1,5(IQR)   FS= Q2+3(IQR)    Considerar  como  valores  atípicos  outlier  los  situados  entre  LI  y  FI  o  entre  LS  y  FS  y  como atípicos extremos aquellos fuera del intervalo (FI,FS)   Dibujar una  línea que vaya desde cada extremo del rectángulo central hasta el valor 

más alejado no atípico, es decir, que está dentro del intervalo (LI,LS).  Identificar  todos  los  datos  que  están  fuera  del  intervalo  (LI,LS), marcándolos  como 

atípicos (outlier o extremos).    La razón de utilizar la mediana como medida de centralización, y el rango intercuartílico como medida de dispersión, es que estas medidas, al depender del orden de  los datos y no de su magnitud, son poco influenciables por unos pocos datos atípicos.   Por  ejemplo,  si  cometemos  un  error  al  transcribir  un  dato,  la media  y  la  desviación  típica pueden cambiar mucho, mientras que  la mediana y  los cuartiles cambiarán poco o nada. En consecuencia, si existe una pequeña fracción de datos en la muestra heterogénea con el resto (por errores de medida,  cambio de  las  condiciones de medición, distinta población, etc)  los cuartiles variarán poco, y pueden servirnos para identificar los valores extremos.  Los diagramas de caja son especialmente útiles para comparar  la distribución de una variable en distintas poblaciones.  Si  la distribución  se  aproxima  a  la normal  los  valores  contenidos  en  el  rango  intercuartílico (IQR) son el 50% del total. También podemos utilizar para detectar observaciones erróneas la siguiente regla relacionada con  la z (variable tipificada): si  la z para una medición x es  igual o menor que ‐2 o bien igual o mayor que 2, debe ser considerada como un valor inusual y tendrá que  verificarse  por  si  se  tratara  de  una  observación  errónea  (outlier  o  extremo).  Así,  por ejemplo, consideremos los siguientes datos: 3, 2, 0, 15, 2, 3, 4, 0, 1, 3. Si observamos, a priori parece inusual 15. Si tipificamos este valor tendremos el correspondiente z=(15‐3,3)/4,32=2,71 luego podemos decir que este valor se puede considerar como atípico.  Ejemplo 5.10 Se quiere dibujar el gráfico de caja de la variable v1. Se selecciona en R‐Commander: Gráficas ‐> Diagrama de caja. Se entra en el siguiente cuadro de diálogo:  

  

Fig 5.21.‐ Diagrama de caja. Cuadro de diálogo (a)  En  la  pestaña  “Datos”  se  selecciona  la  variable  v1.  Como  se  puede  ver  en  este  cuadro  de diálogo también se puede realizar gráfica por grupos al elegir alguna variable factor.  

 Fig 5.22.‐ Diagrama de caja. Cuadro de diálogo (b) 

 En  la pestaña “Opciones” se puede  identificar  los casos atípicos, escribir  las etiquetas de  los ejes x e y e indicar el nombre del título del gráfico.  El código generado será el siguiente:  Boxplot( ~ v1, data=ejemplo1, id.method="y", main="núm.sesiones presenciales")

 Que al ejecutarse dará el siguiente resultado: 

 Fig 5.23.‐ Diagrama de caja 

Como se puede observar en la gráfica la distribución de la variable es simétrica, porque la línea más obscura que  indica el valor de  la mediana, aproximadamente 20, deja arriba y abajo dos rectángulos similares. No  tiene ningún valor atípico, porque si estuvieran vendrían  indicados por  la presencia de un punto fuera del bigote superior o  inferior (aproximadamente mayores de 36 o inferiores a 1).  Comparación de distribuciones El diagrama de caja permite hacer comparaciones de distribuciones en función de variable de clasificación o factores.  Ejemplo 5.10 Se  quiere  comparar  la  distribución  de  la  variable  v1  (número  de  sesiones  presenciales)  en función de la variable v8 (si ha encontrado trabajo temporal). Se selecciona en R‐Commander: Gráficas ‐> Diagrama de caja. En el cuadro de diálogo de  la fig. 5.21 en  la pestaña de “Datos” en  el  botón  de  “Gráfica  por  grupos”    se  selecciona  la  variable  v8.  El  código  R  generado mediante este proceso será el siguiente:    

Boxplot(v1~v8, data=ejemplo1, id.method="y", xlab="¿ha encontrado trabajo temporal?", main="núm.sesiones presenciales")

 Cuyo resultado es:  

 Fig 5.24.‐ Diagrama de caja 

 Por  la gráfica se observa que aquellas personas que han realizado más sesiones presenciales han encontrado en mayor medida (valor de la mediana) trabajo temporal. También se observa que  la dispersión del grupo que no han encontrado  trabajo  temporal es mayor que el grupo que si lo han encontrado, respecto a la variable v1. 

4.5. Gráfica de comparación de cuantiles 

La gráfica de comparación de cuantiles  junto con  la de estimación de  la función de densidad, son  dos  grupos  de  gráficas  utilizadas  para  observar  la  distribución  de  una  variable. Fundamentalmente este último se utiliza para detectar de  forma gráfica si  la distribución de una variable se ajusta a la distribución normal.  De forma general se supone un conjunto de xi (i=1,2,…..,n) observaciones.  Sea  F(x)  la  función  de  distribución  de  una  distribución  teórica,  sin  pérdida  de  generalidad suponemos que se trata de  la distribución normal. El gráfico qqplot se construye mediante el siguiente proceso: 

1. Se ordenan las observaciones de menor a mayor en la forma 

(1) (2) ( )........ nx x x   

2. Se calculan los valores 

0.5i

ip

n

  i=1,2,…..,n 

Si denominamos por  ( )xQ p  al  cuantil de orden p  (0 < p < 1) de  las observaciones, 

entonces: 

( ) ( )i x ix Q p  i=1,2,…..,n 

3. Se  determinan  los  cuantiles  de  orden  pi    I=1,2,…..,n  de  la  distribución  teórica representada por la función de distribución F, es decir: 

1( ) ( )t i iQ p F p  i=1,2,…..,n 

4. Finalmente  representar  gráficamente  el  conjunto  de  puntos  ( ( ), ( ))t i x iQ p Q p  

i=1,2,…,n; o de forma equivale, los puntos 1

( )( ( ), )i iF p x i=1,2,….,n 

 Veamos con un ejemplo como se realiza este proceso. Supongamos los datos del ejemplo 5.8.  Ejemplo 5.11 45  57  59  58  61  56  63  57  69 59  59  57  63  72  59  62  60  41 59  63  59  65  57  61  58  59  63  Si denominamos al conjunto de datos por xv, el proceso se realizará mediante el siguiente programa:  xv<-c(45,57,59,58,61,56,63,57,69,59,59,57,63,72,59,62,60,41, 59,63,59,65,57,61,58,59,63) # almacena los datos en xv x<-sort(xv) # para ordenar los datos xv p<-0 for (i in 1:27) # para calcular p(i) { p[i]<-(i-0.5)/(27) } f<-qnorm(p, mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE) # se calcula f menos 1, es decir, el valor z normal plot(f,x) # para dibujar los puntos  El resultado será el siguiente gráfico:  

 Fig 5.25.‐ Gráfica q‐qplot 

 Este mismo  resultado que hemos  realizado por pasos para ver el proceso  se puede  realizar mediante R‐Commander. Se selecciona Gráficas‐>Gráfica de comparación de cuantiles (QQ) y se entra en el siguiente cuadro de diálogo:  

  

Fig 5.26.‐ Gráfica de comparación de cuantiles. Cuadro de diálogo (a)  Como  viene  siendo habitual en  la pestaña  “Datos”  se  seleccionará  la  variable que  se desea estudiar su ajuste a la distribución normal. En este la imagen muestra las variables del fichero ejemplo1  por motivos  didácticos,  no  obstante  en  el  código  generado  se  sustituirá  por  la variable xv.  

 Fig 5.27.‐ Gráfica de comparación de cuantiles. Cuadro de diálogo (b) 

 En  la pestaña “Opciones”  se puede  seleccionar  la distribución  teórica, donde por defecto  se indica  la  normal,  las  etiquetas  de  los  ejes,  el  título  del  gráfico  y  la  identificación  de  las observaciones donde como resultado sólo se indicará el orden de los datos, no sus valores.  El código generado será el siguiente:  qqPlot(xv, dist="norm", id.method="y", id.n=2, labels=rownames(xv))

 El resultado será el siguiente gráfico:  

 Fig 5.28.‐ Gráfica de comparación de cuantiles (QQ) 

Como se observa  los puntos  indicados en hueco son  los mismos que  los de  la fig. 5.25, pero además se pone un intervalo de confianza para los mismos y se indica aquellos que están fuera del ajuste, en este ejemplo se corresponde con  los valores 41 y 45 de  la variable, pero aquí sólo se  indica el orden de  los mismos. Si  la variable xv se ajusta a  la distribución normal, sus puntos tendrán que estar sobre  la recta (bisectriz del primer cuadrante), es suma dentro del intervalo de confianza. Aquí se ve que si se quitan los dos primeros valores y los dos últimos el ajuste es óptimo.  

5. Superposición y salvado de gráficas 

5.1. Superposición de gráficas 

En ocasiones, por  cuestiones de presentación de  la  información, nos  interesa  tener  en una misma ventana más de un gráfico. En este caso el comando par con la opción mfrow resuelve el problema. Así, por ejemplo:  par(mfrow=c(1,1))       #  presenta  solo  gráfico  por  ventana:  es  la  opción  por  defecto par(mfrow=c(2,1))       #  dos  filas  y  una  columna:  presenta  dos  gráficos  uno  debajo  del  otro par(mfrow=c(2,3))      #  dos filas por tres columnas, es decir cinco gráficos  Ejemplo 5.12 Queremos representar en la misma ventana gráfica el diagrama de caja de las variables v1 a v4 de forma separada cada variable.  Al ser cuatro variables supongamos que queremos presentar la información en forma matricial de 2 filas y 2 columnas.  El código de R que se utilizará será el siguiente:  par(mfrow=c(2,2)) Boxplot( ~ v1, data=ejemplo1, id.method="y", main="núm.sesiones presenciales") Boxplot( ~ v2, data=ejemplo1, id.method="y", main="núm.actividades realizas con éxito") Boxplot( ~ v3, data=ejemplo1, id.method="y", main="núm.de recursos de empleo utilizados") Boxplot( ~ v4, data=ejemplo1, id.method="y", main="tiempo dedicado a la busqueda de empleo") dev.off()

 El  primer  comando  indicará  que  se  superponen  cuatro  gráficas  en  la misma  ventana,  y  los comandos posteriores, en orden correlativo,  irán  insertando dichas gráficas. Finalmente será necesario poner dev.off() para eliminar la ventana gráfica actual, es decir, para volver al estado de un solo gráfico por pantalla.  El  resultado, en  la  fig. 5.29, nos permite comparar  las distribuciones de  las cuatro variables, además de resumir la información en una sola pantalla gráfica. 

 Fig 5.29.‐ Superposición de varias gráficas en la misma ventana 

 

5.2. Salvado de gráficas 

Aunque como el  lector habrá observado cuando ejecuta alguna representación gráfica con R‐Commander aparece una pantalla con  la denominación R Graphics y en dicha pantalla puede salvar el gráfico en un fichero con varios formatos: jpg, png, bmp, pdf,tiff… .A veces se desea directamente  salvar  el  gráfico  en  un  fichero,  en  estas  ocasiones  la  conjunción  de  dos comandos de R permiten realizar la labor.  Ejemplo 5.13 Supóngase, por ejemplo, que se quiere salvar en formato png, en el fichero “salvado.png” el resultado de la fig. 5.28. Se realizará el siguiente código:  png(file="C:/Mis libros/métodos de inv. en educación social/salvado.png") qqPlot(xv, dist="norm", id.method="y", id.n=2, labels=rownames(xv)) dev.off()

 El  primer  comando  indica  que  se  salvará  en  formato  png  el  fichero  salvado.png,  en  el subdirectorio indicado, el gráfico o los gráficos cuyas instrucciones vienen a continuación. El segundo comando propiamente es la representación qqPlot que se desea realizar. El tercer comando cierra la llegada de información al fichero.     

Bibliografía:

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project.org/doc/contrib/grafi3.pdf  Eguzkitza, J.M.;Bayo, I (2007). Prácticas de estadística con R. Bilbao: Arte Kopi.  García Pérez, A (2008). Estadística aplicada con R. Madrid: UNED.   Gil  Pascual,  J.A.  2ª  Ed.  (2006).  Estadística  e  Informática  (SPSS)  para  el  tratamiento 

descriptivo e inferencial de datos. Madrid:UNED.  Nicolás, M.J. (2006). Estadística aplicada con R. Murcia: Nausícaä  Stefan Th. Gries (2009). Quantitative Corpus Linguistics with R. A Practical Introduction. 

London:Routledge.  Ugarte, M.D.; Militino, A.F. 2ª Ed. (2002). Estadística Aplicada con S‐PLUS. Pamplona: 

Universidad Pública de Navarra.