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CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE UNA ECUACIÓNNO-LINEAL EN UNA VARIABLE

INTRODUCCIÓN

El objetivo de este capítulo es estudiar algunos métodos numéricos para hallar raíces realesde una ecuación no-lineal en una variable (sólo se estudiarán raíces complejas paraecuaciones polinómicas). En la siguiente definición formalizamos el concepto de raíz de unaecuación.

Definición 2.1 Sea f: ,D R D R→ ⊆ , una función dada. Un número α ∈ D se dice unaraíz (en D) de la ecuación ( )f x = 0 , o un cero (en D) de la función f si ( )f α = 0 . ∇∇∇∇

Como veremos, los métodos numéricos que estudiaremos para encontrar una raíz α de unaecuación ( )f x = 0 , generarán una sucesión { }x nn n, , , ,... = 012 (Métodos iterativos) tal quelim xn n

→∞= α . Cualquiera de tales métodos numéricos permitirá calcular los términos de la

sucesión { }xn n ; así que no se espera, en general, calcular lim xn n

→∞. Por lo tanto, deberemos

disponer de algún criterio para escoger un término de la sucesión { }x nn n, , , ,... = 012 comoaproximación de la raíz buscada α .

CRITERIOS DE APROXIMACIÓN

Supongamos que la función f es continua en alguna vecindad de α que contiene a lasucesión { }x nn n, , , ,... = 012 , y que la sucesión { }xn n es tal que lim x

n n→∞

= α . Entonces

( ) ( )lim f x fn n

→∞= =α 0 y así, dado cualquier número positivo ε, existe { }0,1,2,...N =N∈ tal que

para todo n N≥ se tiene que ( ) f xn < ε . Teniendo en cuenta lo anterior, dado un númeroε > 0 adecuadamente pequeño, al cual llamaremos Tolerancia y que notaremos Tol,podríamos escoger como aproximación de la raíz αααα al término xN de la sucesiónmencionada, donde N es el menor entero no-negativo que satisface

i) ( ) f xn < ε

Por otro lado, como lim xn n

→∞= α significa que dado ε > 0 , existe { }N0 012∈ =N , , ,... tal que si

n N≥ 0 , entonces x n − <α ε , y esto implica que

x x

x x

N N N N

N N

x x0 0 0 0

0 0

1 1

1 2

+ +

+

− = − + −

≤ − + − < + =

α α

α α ε ε ε

entonces también podríamos tomar como aproximación de la raíz αααα al término xN de lasucesión mencionada, donde N es el menor entero no-negativo tal que

34 MÉTODOS NUMÉRICOS__________________________________________________________________________________

ii) x x n n 1− <− ε

También podríamos tomar como aproximación de la raíz αααα al término xN donde N es elmenor entero no-negativo tal que

iii) x x

x n n 1

n

−<− ε , si 0xn ≠

Pues bien, para una tolerancia ε > 0 previamente escogida, cualquiera de los tres criteriosmencionados, se adoptará como criterio para obtener una aproximación de una raíz α .

Ahora, en cuanto a los criterios de aproximación anteriores, es fácil ver que el hecho de que( ) f xN < ε o x xN N− <−1 ε no necesariamente indica que xN esté muy cerca de α, como

puede apreciarse en la FIGURA 2.1 y en el ejemplo 2.1 siguientes.

FIGURA 2.1

Ejemplo 2.1 Consideremos la ecuación ( )f x = 0 donde ( ) ( )f x x= −1 10 . Es claro que α = 1 es

una raíz de esta ecuación, y que la sucesión { }xn n, n 1,2,...= donde xnn = +1 1 converge a

dicha raíz.

Si tomamos como tolerancia ε = −10 3 , al aplicar el criterio de aproximación i), se tiene que

( ) f nxn n

nn < ⇔ + −

= < ⇔ > ⇔ ≥−ε 1 1 1 1 10 10 210

103 10 3

Si tomamos como aproximación de α al término x2 1 12

32

= + = de la sucesión mencionada,

observamos que 21

231 x- 2 =−=α , y 1

2 no es menor que ε = −10 3 ; realmente 2x−α

es una distancia muy grande entre α y x2 . Vea la FIGURA 2.2.

Si usamos el segundo criterio con la misma tolerancia, debemos encontrar n tal que

x x 1 1n

1 1n 1

1n

1n 1

10n n 13− < ⇔ + − +

−

= −−

<−−ε

Capítulo 2. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE UNA ECUACIÓN NO-LINEAL EN UNA VARIABLE 35__________________________________________________________________________________

Resolviendo esta última desigualdad se obtiene que si n ≥ 33 , entoncesx xn n− < =−

−1

310ε , así que la aproximación de α obtenida, usando este criterio, sería

x 1 133

1030...33 = + = . , y la distancia α − =x 13333 no es menor que ε = −10 3 .

Observe que para que α ε− < = −x 10n3 , debe tomarse x x 1 1

1001100099..n 1001= = + = . . .

( α ε− < ⇔ − +

< ⇔ < ⇔ >− −xn n

nn 1 1 1 10 1 10 103 3 3 ) ♦

FIGURA 2.2

Se sigue de lo anterior que cualquiera de los criterios i), ii), iii) puede no darnos una ideaclara de la distancia real α − xn .

Por otra parte, para garantizar que una sucesión, generada por un determinado métodonumérico, converge a la raíz buscada, la función f en cuestión deberá satisfacer ciertascondiciones; resulta que muchas veces aplicaremos el método sin chequear talescondiciones lo que nos conducirá, posiblemente, a una sucesión divergente, caso en el cual,un entero N para el cual se cumpla i), ii) o iii), puede no existir. Puede ocurrir también que,aún tratándose de una sucesión que converge a la raíz buscada, el entero N al que noshemos referido sea muy grande, por ser "muy lenta" la convergencia de la sucesión. Por loanterior, al aplicar cualquiera de los criterios, se hace necesario establecer siempre una cotapara N, es decir, imponer un máximo al número de iteraciones.

También, con frecuencia, tendremos que combinar dos o más de los criterios mencionados,o considerar algún otro criterio, al momento de obtener una aproximación de una raíz .

Por lo general al aplicar un método numérico necesitaremos de una aproximación inicial de laraíz buscada o bien de un intervalo que contenga a dicha raíz. Esta información puedeobtenerse dibujando la gráfica de la función f, si la ecuación en cuestión es ( )f x = 0 ; lasabscisas de los puntos de corte de dicha gráfica con el eje x son raíces reales de la


ecuación. Además, la gráfica de f nos permitirá tener alguna idea útil del comportamientocualitativo de f en la vecindad de la raíz α (por ejemplo crecimiento y concavidad). Ahorabien, es posible que a través de un proceso puramente gráfico podamos obtener unaaproximación para una raíz, que aunque limitada, sea útil para ciertos fines.

Ejemplo 2.2 Supongamos que estamos interesados en encontrar todas las raíces de laecuación

3 02x ex− =

Una forma de iniciar la búsqueda de las raíces es determinando intervalos que contengan adichas raíces. Para esto, graficamos ( )f x x ex= −3 2 (ver la FIGURA 2.3 siguiente).

FIGURA 2.3

De acuerdo con la gráfica anterior se ve que la ecuación en consideración tiene por lo menostres raíces reales [ ] [ ] [ ]α α α1 2 310 01 3 4∈ − ∈ ∈, , , , y . (Verifique analíticamente que laecuación 3 02x ex− = tiene únicamente tres raíces reales).

Ahora bien, puesto que 3 0 32 2x e x ex x− = ⇔ = , otra forma de proceder es graficando lasfunciones ( )f x x1

23= y ( )f x ex2 = , en un mismo plano coordenado (ver la FIGURA 2.4). En

este caso las raíces buscadas son las abscisas de los puntos de intersección de las dosgráficas.

Una forma de aproximar cada una de las raíces α α α1 2 3, y , es dividiendo el intervalodonde cada una de éllas se encuentra, y hacer esto sucesivamente hasta lograr unsubintervalo de longitud suficientemente pequeña y que contenga a dicha raíz. Por ejemplo,si empezamos con los intervalos dados y hacemos una tabla de valores para la función( )f x x ex= −3 2 con tamaño de paso h = 0 1. , obtenemos que [ ]α1 0 5 0 4∈ − −. ., , [ ]α 2 0 910∈ . .,

y [ ]α 3 3 7 3 8∈ . ., . La TABLA 2.1 corresponde a la tabla de valores para la función


( )f x x ex= −3 2 en el intervalo [ ]01, con tamaño de paso h = 0 1. . Observe que como la

función f es continua en [ ]0 910. ., y ( ) ( )f f0 9 10 0. . < , entonces [ ]α 2 0 910∈ . ., .

FIGURA 2.4

x ( )f x x ex= −3 2

0 −10.0 1. −107. ...0 2. −110. ...0 3. −107. ...0 4. −101. ...0 5. −0 89. ...0 6. −0 74. ...0 7. −0 54. ...0 8. −0 30. ...0 9. −0 02. ...10. 0 28. ...

TABLA 2.1�

Instrucción en DERIVE:

VECTOR( ( )[ ]x f x, , , , , x a b h ): aproXima una tabla de valores de la función ( )f x en el

intervalo [ ]a b, , con tamaño de paso h. Para el ejemplo, aproXime la expresión

VECTOR( ( )[ ]x x x x, exp , , , ,3 0 1 0 12 − . ). ◊◊◊◊

En situaciones como la del ejemplo anterior, donde se sabe de la existencia de una única raízα para una ecuación ( )f x = 0 en un determinado intervalo cerrado [ ]a b, , se puede usar


alguno de los siguientes métodos numéricos llamados cerrados para encontrar unaaproximación de dicha raíz.

2.1 MÉTODOS CERRADOS

Los métodos numéricos que en cada paso dan un intervalo cerrado donde se encuentra laraíz buscada, son llamados métodos cerrados. Aquí estudiaremos dos de tales métodos: elmétodo de Bisección y el método de Posición Falsa.

2.1.1 Método de Bisección : Supongamos que f es una función continua en un intervalo[ ]a b, y ( ) ( )f a f b < 0 . Entonces, por teorema del valor intermedio para funciones continuas,

existe al menos un ( )α ∈ a b, tal que ( )f α = 0 . Asumiremos en lo que sigue que la raíz eneste intervalo es única (aunque el método también se puede aplicar cuando hay más de unaraíz en ( )a b, ).

El método de Bisección aplicado a la función f para aproximar la raíz [ ]b,a∈α , consiste endividir sucesivamente el intervalo [ ]a b, por la mitad, hasta que la longitud del subintervaloque contiene a la raíz α sea menor que alguna tolerancia especificada ε .

Para empezar tomamos aa1 = , bb1 = y 1x es el punto medio de [ ]11 b,a , o sea

( )x a b a b a1 1 1 1

1 112 2

= + = +− : primera aproximación de la raíz α.

FIGURA 2.5

α − ≤−

= −x b a b a1

1 1

2 2

Si ( )f x1 0= o b a1 1

2−

< ε , entonces α = x1 y el proceso termina.


Si ( ) ( )f a f x1 1 0< , entonces ( )α ∈ a x1 1, y tomamos a a2 1= , b x2 1= ; en caso contrariotomamos a x2 1= , b b2 1= .

Ahora aplicamos nuevamente el proceso anterior al intervalo [ ]a b2 2, , así:

( )x a b a b a2 2 2 2

2 212 2

= + = +− : segunda aproximación de la raíz α

( ) α − ≤−

= −

=−

= −x b a b a b a b a2

2 21 1

1 12 22

12

12 2 2

En general, después de (n −1)-pasos, la raíz ( )α ∈ a bn n, y tomamos

( ) 2

ababa

21x nn

nnnn−

+=+= : n-ésima aproximación de la raíz α

( )0 12 2

≤ − ≤ − = − α x b a b an n n n

Como lim b an n→∞

− =2

0 , entonces lim xn n

→∞= α , es decir, la sucesión { }xn n converge a la raíz α;

lo que significa que el método de Bisección siempre converge.

Dado ε > 0 , si ε≤−n2ab , entonces ε≤α− x n . En particualr, si ( )ε = × − +5 10 1k para un

cierto entero no-negativo k, y N es el menor entero positivo para el cual ε≤−n2ab , entonces

( )1kN 105x +−×≤−α , así que xN = ∗α aproximará a la raíz α con una precisión de por lo

menos k cifras decimales exactas.

Algoritmo 2.1 (Bisección) Para encontrar una aproximación α ∗ de una raíz ( )α ∈ a b, de

una ecuación ( )f x = 0 donde f es una función continua en [ ]a b, y ( ) ( )f a f b < 0 :

Entrada: ( )f x ; los extremos a, b del intervalo; una tolerancia Tol, y un número máximo deiteraciones N .

Salida: Una raíz aproximada α ∗ o un mensaje.


Paso 1: Tomar n = 1.

Paso 2: Mientras que n N≤ seguir los pasos 3-6:

Paso 3: Tomar c a b a b a= + = + −2 2

o c (calcular xn )

Paso 4: Si ( )f c = 0 o b a Tol− <2

, entonces salida: "Una raíz aproximada de la

ecuación dada es α ∗ = c ". Terminar.

Paso 5: Tomar n n= +1.

Paso 6: Si ( ) ( )f a f c < 0 , entonces tomar b c= , de lo contrario tomar a c= .

Paso 7: Salida: "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia".Terminar.

Para el ejemplo 2.2 anterior, usemos el método de Bisección en el intervalo [ ]0 910. ., paraaproximar la raíz α 2 , con una precisión de por lo menos tres cifras decimales exactas.

Debemos encontrar n tal que α 245 10− ≤ × −xn ; pero como

α 2 210 0 9

20 12

− ≤ − = − =x b an n n n

. . ., basta encontrar n tal que

0 12

5 10 4.n ≤ × − . La solución de

esta última desigualdad es n ≥ 8 , así que x8 aproximará a α 2 con por lo menos tres cifrasdecimales exactas.

La TABLA 2.2 siguiente, muestra los cálculos para obtener x8 .

n an bn xn

signo de( )f an ( )f xn

1 .9 1.0 .95 −1 .121...2 .9 .95 .925 −1 4 50 10 2. ...× −

3 .9 .925 .9125 −1 7 42 10 3. ...× −

4 .9 .9125 .90625 −1 − × −111 10 2. ...5 .90625 .9125 .909375 −1 − × −188 10 3. ...6 .909375 .9125 .9109375 −1 2 76 10 3. ...× −

7 .909375 .9109375 .91015625 −1 4 42 10 4. ...× −

8 .909375 .91015625 .909765625 −1 − × −7 19 10 4. ...TABLA 2.2



BISECCION( ( )f x x a b N, , , , ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de Bisección

aplicado a la función ( )f x en el intervalo [ ]a b, . Para el ejemplo aproXime la expresión

BISECCION( ( )3 0 9 10 82x x x− exp , , , ,. . ). ◊◊◊◊

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.2, x8 2909765625= ≈. α , y( ) 4

8 10...197xf −×−= . . Observe que el menor valor de ( )f xn , n = 12 3 8, , ,..., es

( ) f 91015625 .... = × −4 42 10 4. y ocurrió en la iteración n = 7 . Será que x7 es mejoraproximación de α 2 que x8 ?

Si usamos el método de Bisección para buscar aproximaciones de [ ]α1 5∈ − −. , 4. y

[ ]α 3 3∈ . .7, 3 8 , con la misma precisión de α 2 , obtenemos:

α1 8458984375≈ − =. x , ( )f x857 485 10= × −. ...

α 3 83 733203125≈ =. x , ( )f x832 408 10= − × −. ... ♦

Algunas de las desventajas del método de Bisección con respecto a otros métodos son:

No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproximaciones calculadasxn , sólo tiene en cuenta el signo de ( )nxf , lo que hace que una aproximación intermedia,mejor que la respuesta final, pase desapercibida.

Aunque el método de Bisección siempre converge, su convergencia es muy lenta,comparada con la convergencia de otros métodos que estudiaremos, por lo que se sugiereescoger el intervalo inicial [ ]a b, tan pequeño como sea posible o usar el método deBisección para obtener un buen punto de arranque para la aplicación de otro método.

Una de las mayores ventajas que tiene el método de Bisección es que el error de

truncamiento, α − xn , se acota fácilmente (recuerde que α − ≤ −x b an n2

).

Ejercicio 2.1 Use el método de Bisección para estimar la menor raíz positiva de la ecuaciónx tanx− = 0 , con una precisión de por lo menos 3 cifras decimales exactas, empezando conun intervalo [ ]a b, que contenga a dicha raíz y b a− = 0 1. . ♦

2.1.2 Método de Posición Falsa (o Regula Falsi): Consideremos una función f continuaen un intervalo [ ]a b, y tal que ( ) ( )f a f b < 0 . El método de Posición Falsa, para encontrar una

aproximación de una raíz ( )b,a∈α de ( )f x = 0 , es similar al método de Bisección en el

sentido de que se generan subintervalos [ ]a bn n, que encierran a la raíz α, pero esta vez xn

no es el punto medio de [ ]a bn n, , sino el punto de intersección de la recta que pasa por los

puntos ( )( ) ( )( )a f a b f bn n n n, , , con el eje x (ver la FIGURA 2.6 siguiente).


Al reemplazar la curva por una recta se obtiene una "posición falsa" de la raíz, de aquí elnombre del método. También se le conoce como método de Interpolación Lineal Inversa.

FIGURA 2.6

Empezamos tomando a a1 = , b b1 = y encontramos la primera aproximación de la raíz, x1 ,como la intersección con el eje x , de la recta secante a la curva que pasa por los puntos

( )( ) ( )( )a f a b f b1 1 1 1, , , :

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )x a

b a f af b f a

a f b b f af b f a1 1

1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1= −

−−

=−−

Si ( )f x1 0= , entonces α = x1 y el proceso termina.

Si ( ) ( )f a f x1 1 0< entonces ( )α ∈ a x1 1, y tomamos a a x2 1 2 1= = , b , de lo contrario tomamosa x b2 1 2 1= = , b .

Aplicamos nuevamente el proceso anterior al intervalo [ ]a b2 2, , es decir, hacemos

( ) ( )( ) ( )x a

b a f af b f a2 2

2 2 2

2 2= −

−−

Después de la ( n −1)-ésima iteración, tenemos ( )α ∈ a bn n, y tomamos

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) x n n

n n n

n n

n n n n

n na

b a f af b f a

a f b b f af b f a

= −−

−=

−−

Observe que en el denominador de la expresión anterior nunca se resta, pues ( ) ( )f a f bn n < 0 .

Este método tiene la desventaja, con respecto al método de Bisección, que la longitud delsubintervalo que contiene a la raíz en general no tiende a cero, porque la mayoría de lasgráficas de las funciones son cóncavas (hacia arriba o hacia abajo) en la vecindad de la raíz,lo que hace que uno de los extremos de los subintervalos se aproxime a la raíz, mientras elotro permanece fijo (ver la FIGURA 2.6 anterior).


Por lo anterior, la longitud del subintervalo [ ]a bn n, no puede tomarse como un criterio deaproximación a la raíz; se requiere una tolerancia en el valor de la función en la aproximaciónxn , es decir, ( ) f xn < ε o x n nx− <−1 ε para alguna tolerancia ε > 0 previamenteescogida. El procedimiento termina cuando se alcance esta tolerancia o un número máximode iteraciones previamente establecido.

Se puede demostrar, ver Ralston,1965, página 324, que este método converge siempre que fsea continua.

Ejercicio 2.2 Escriba un algoritmo para el método de Regula Falsi. ♦

Ejemplo 2.3 Con respecto a las raíces [ ]α1 5 4∈ − −. , . , [ ]α 2 10∈ .9, . , [ ]α 3 3 3 8∈ .7, . de la

ecuación 3 02x ex− = , si usamos el método de Regula Falsi con criterio de aproximación

( ) f xn < = × −ε 5 10 5

se obtienen los siguientes resultados

α1 3458960329≈ − =. x y ( )f x366= − × −.56... 10

α 2 3910006353≈ =. x y ( )f x363 10= − × −.62...

α 3 43 73307860≈ =. x y ( )f x468 24 10= × −. ...


REGULA( ( )f x x a b N, , , , ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de Regula falsi

aplicado a la función ( )f x en el intervalo [ ]a b, . ◊◊◊◊

Compare los resultados anteriores con los obtenidos por el método de Bisección. ♦

Ejercicio 2.3 Aplique el método de Regula Falsi para estimar la menor raíz positiva α de laecuación x tanx− = 0 , usando como criterio de aproximación ( ) f xn < × −5 10 5 . Concuántas cifras decimales exactas aproxima el valor obtenido xn a α ? ♦

2.2 MÉTODOS ABIERTOS

A diferencia de los métodos cerrados que requieren de un intervalo que encierre la raízbuscada, los métodos abiertos que se verán requieren de un solo valor o dos valores iniciales(de arranque) que no necesariamente encierran dicha raíz; ésto hace que algunas veces lassucesiones generadas por estos métodos sean divergentes o se alejen de la raíz de interés(vayan probablemente a otra raíz), pero tienen la ventaja que cuando convergen lo hacen"más rápidamente" que las sucesiones generadas por los métodos cerrados.

2.2.1 Método de Punto Fijo: Dada una ecuación ( ) 0xf = , podemos transformarla, dealguna manera, en otra equivalente (al menos localmente) del tipo ( )xgx = para alguna


función g. En este caso se tiene que: α es raíz de ( ) ( ) ( )α=α⇔=α⇔= g0f0xf α⇔ esraíz de ( )xgx = .Definición 2.2 Un número α tal que ( )α α= g se dice un punto fijo de la función g. ∇∇∇∇

Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?

El siguiente teorema da respuesta parcial (condiciones suficientes) a las preguntasformuladas antes.

Teorema 2.1 (de punto fijo) Si g es una función continua en [ ]a b, y ( ) [ ]g x a b∈ , para todo

[ ]x a b∈ , , entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [ ]a b, . Si además, ( )′g x existe para

todo ( )x a b∈ , y ( ) ( ) para todo x , K constante′ ≤ < ∈g x K a b1 , , entonces g tiene un único

punto fijo [ ]α ∈ a b, y la sucesión { }xn n definida mediante la fórmula de iteración

( ) x n n ng x= =−1 12 3, , , ,...

converge a α ( α=∞→

nnxlim ) cualquiera sea [ ]x a b0 ∈ , , y se tienen las siguientes cotas para

el error de truncamiento, α − xn :

i) { } 0ncada paraxb ,ax Max Kx ,00n n ≥−−≤−α ,

ii) ,0n cada para , xxK1

Kx 01

n n ≥−

−≤−α

iii) 1ncada para , xx K1

Kx 1nn n ≥−−

≤−α − .

Ilustración:

FIGURA 2.7

Demostración: Existencia: Si ( )g a a= o ( )g b b= , entonces a o b es un punto fijo de g.


Supongamos ( )a g a< y ( )b g b> y sea ( ) ( )h x g x x= − . Entonces h es continua en [ ]a b, ,

( ) ( ) ( ) ( )h a g a a b g b b= − > = − <0 0, h , por tanto (teorema del valor intermedio) existe por lo

menos un ( )α ∈ a b, tal que ( )h α = 0 , ésto es, ( )α α= g .

Unicidad: Supongamos que ( ) ′ ≤ <g x K 1 para toda ( )x a b∈ , y alguna constante K, y sean

α y β puntos fijos distintos de g en [ ]a b, . Entonces

( ) ( ) ( )( ) ( ) g α β α β ξ α β ξ α β α β α β− = − = ′ − = ′ − ≤ − < −g g g K

para algún ( )ξ α β∈ , , lo cual es un absurdo, así que α β= y entonces el punto fijo en [ ]a b, ,que existe según la primera parte, es único.

Convergencia de la sucesión { }xn n con ( ) x , nn ng x= =−1 12 3, , ... y cotas para α − xn :

Sea [ ]x a b0 ∈ , cualquiera. Entonces

( ) ( ) ( ) E g nn n n n nx g x g x KE= − = − = ′ − ≤ =− − −α α γ α1 1 1 12, , ,... (2.1)

para algún γ entre α y xn−1 .

Procediendo inductivamente sobre n, se tiene que

, con E 0 12

2 0 0 0≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = −− −E KE K E K E xn n nn.... α (2.2)

y como Kn → 0 cuando n → +∞ , pues 0 1≤ <K , entonces E xn n= − → α 0 cuandon → +∞ , es decir, lim x

n n→∞

= α .

De la relación (2.2), se tiene que

i) { }E x K x K x a b xn nn n= − ≤ − ≤ − − Max α α 0 0 0, , ya que [ ]α ∈ a b, .

De otro lado

α α α α− = − + − ≤ − + − ≤ − + −x x x x x x x K x x x0 1 1 0 1 1 0 0 1 0

así que( )1 0 1 0− − ≤ −K x x x α

y como 0 1≤ <K , entonces

x α − ≤−

−xK

x0 1 01

1 (2.3)

Nuevamente, de (2.2) α α− ≤ −x K xn

n0

y entonces multiplicando ambos miembros de (2.3) por Kn , obtenemos


x α α− ≤ − ≤−

−x K x KK

xnn

n

0 1 01así que

ii) x nα − ≤−

− =x KK

xn

n

1121 0 , , ,...

La demostración de la parte iii) se deja como ejercicio. ∇∇∇∇

El método de Punto Fijo para encontrar una raíz α de la ecuación ( )x g x= , consiste en

generar la sucesión { }xn n mediante la fórmula de iteración

( )x g x , n 1,2,...n n 1= =−

con x0 dado.La función g se dice una función de iteración de punto fijo.

Nota: Observe, a partir de la cota de error dada en el teorema 2.1, ii), que para 0 1≤ <K ,entre más pequeña sea K, es decir, entre más pequeña sea ( ) ( ) g x , x a,b′ ∈ , "más rápida"

será la convergencia de la sucesión { }xn n a α . La convergencia puede ser muy lenta si Kestá cerca de 1.

Algoritmo 2.2 (Punto Fijo) Para encontrar una aproximación α ∗ de un punto fijo α de unafunción g, dada una aproximación inicial x0 :

Entrada: g(x); una aproximación inicial x0 ; una tolerancia Tol, y un número máximo deiteraciones N .

Salida: Un punto fijo aproximado α ∗ o un mensaje.



Paso 3: Tomar ( )c g x= 0 (calcular xn ).

Paso 4: Si c c c − < − <x Tol o x Tol0 0 , entonces salida: "Un punto fijo

aproximado de la función dada es α ∗ = c ". Terminar.


Paso 6: Tomar x c0 = (redefinir x0 ).


Paso 7 : Salida "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia".Terminar.

Las siguientes gráficas muestran algunas formas de convergencia o divergencia de lasucesión{ } ( ) , donde nx x g xn n n n= =−1 12, , ,...

FIGURA 2.8.a FIGURA 2.8.b Convergencia. (La sucesión no es Convergencia. (La sucesión monótona) es monótona)

FIGURA 2.8.c FIGURA 2.8.dDivergencia. No satisface las hipó- Convergencia (dependiendo deltesis del teorema de Punto Fijo. punto inicial ). No satisface las

hipótesis del teorema de Punto Fijo.

Hay situaciones en las que no se satisfacen las hipótesis del teorema de Punto Fijo y sinembargo hay convergencia, es decir, el teorema es de condiciones suficientes no necesarias.

Ejemplo 2.4 Para la ecuación 3 02x ex− = sabemos que tiene tres raíces reales

[ ]α1 5 4∈ − −. , . , [ ]α 2 10∈ .9, . y [ ]α 3 3 3 8∈ .7, . . Estimemos α 2 usando el método de iteraciónde Punto Fijo.


Empezamos transformando el problema ( ) 0xf = en otro equivalente del tipo ( )xgx = paraalguna función g:

Como

≤−=

≥=⇔

±=⇔=⇔=−

0x si ,3

ex

0x si ,3

ex

3ex

3ex0ex3

2x

2x

21

xx2x2

entonces ( )g x ex

121

3= es una función de iteración.

Como

, x3 03

02x e x ex

xx

− = ⇔ = ≠

entonces ( )g x e3x

, x 02

x= ≠ , también es una función de iteración.

Como

( ) 3x e 0 e 3x x ln 3x , x 02 x x 2 2− = ⇔ = ⇔ = ≠

entonces ( ) ( )g x ln 3x , x 032= ≠ , es otra función de iteración.

Como

0ex6 ,ex6

exex3x 0ex6 ,ex6ex3xx0ex3 x

x

xx2x

x

x2x2 ≠−

−+−=⇔≠−

−−−=⇔=−

entonces ( )g x x xe ex e

x ex x

xx

4

236

6 0= − +−

− ≠, , es una función de iteración (la función de

iteración del método de Newton-Raphson) .

Como 3 0 32 2x e x x x ex x− = ⇔ = + −

entonces ( )g x x x ex5

23= + − , es también una función de iteración.

Si escogemos la función de iteración ( )g x ex

121

3= y el intervalo [ ].9,10. , vemos que:

g1 es continua en [ ].9,10. ; ( )′ = >g x ex

121

2 30 para todo [ ]x ∈ .9,10. , así que g1 es

creciente en [ ].9,10. , y como


( ) [ ]g e1 9 13

. . . ..

= = ∈92 905... 9,10 , ( ) [ ] g ... 9,10

102

1 10 13

951. . . ..

= = ∈e

entonces ( ) [ ]g x1 910∈ . ., para todo [ ]x ∈ . .910, . Luego g1 tiene por lo menos un punto fijo en

el intervalo [ ].9,10. .

Ahora,

( ) [ ]0.19,x todo para 0e34

1xg 2x

1 .∈>=′′

así que ′g1 es creciente en el intervalo [ ].9,10. (la gráfica de g1 es cóncava hacia arriba

para [ ]x ∈ . .910, ), y como

( ) 9 452...45′ = =g e11

2 3. .. , ( ) ...′ = =g e1

510 12 3

475. ..

entonces( ) ( )019,x todo para 1K48 xg 1 ... ∈<=≤′

Luego g1 tiene un único punto fijo α 2 en el intervalo [ ].9,10. , y cualquiera sea [ ]x0 10∈ .9, .

la sucesión { }xn n con

x , n =n n

xng x e= =−

−

1 1

121

312 3( ) , , ,...

converge a α 2 , es decir, lim xn n→∞

= α2 , y se tienen además las cotas para el error de

truncamiento, α 2 − xn , dadas en el teorema 2.1.

Cuántas iteraciones n serán necesarias para que xn aproxime al punto fijo [ ]α 2 10∈ . .9,con por lo menos tres cifras decimales exactas ?

Como sabemos que { } Max bα 2 0 0− ≤ − −x K x a xnn , , basta resolver para n la

desigualdad{ } K Max bn x a x0 0

45 10− − ≤ × −,

Tomando K =.48 y x0 =.95 ( observe que x0 =.95 es el punto medio del intervalo [ ].9,10. yes el valor que minimiza la expresión { }Max x a x0 0− −, b ), obtenemos

{ } { } Max b 95 9 95 05x a x Max 0 0 10− − = − − =, ,. . . . .

y entonces debemos resolver la desigualdad


{ } ( ) ( ) K Max b 05 4n nx a x0 0 48 5 10− − = ≤ × −, . .

La solución de esta desigualdad es

( )( ) n ≥ =

−ln

ln...

10

486 27

2

..

Luego para n ≥ 7 , se tiene que xn aproximará a α 2 con una precisión de por lo menos trescifras decimales exactas.

La gráfica de ( )g x ex

121

3= se muestra en la FIGURA 2.9, y los valores calculados usando el

método de Punto Fijo con la función de iteración ( )g x ex

121

3= , iniciando con x0 = 95. y

terminando en x7 2≈ α , se muestran en la TABLA 2.3.

FIGURA 2.9

N xn

0 .951 .92838742 .91840903 .91383834 .91175225 .91080176 .91036907 .9101720

TABLA 2.3



PUNTO_FIJO( ( )g x x x N, , ,0 ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de Punto

Fijo aplicado a la función ( )g x con aproximación inicial x0 . Para el ejemplo aproXime la

expresión PUNTO_FIJO(13 2

0 95 7exp , , ,x x

. ). ◊◊◊◊

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.3, α 2 79101720≈ = . x . ♦

Observe, en la FIGURA 2.9, que no existe intervalo [ ]a b, que contenga a α 3 (que es puntofijo de g1 ) donde se satisfagan todas las hipótesis del teorema de Punto Fijo para la función

g1 . Para esta función de iteración g1 el método de Punto Fijo no converge a α 3 .

Si tomamos la función de iteración ( )g x ex

x

2 30= ≠, x , cuya gráfica se muestra en la FIGURA

2.10 siguiente, tenemos:

FIGURA 2.10

g2 es continua en [ ].9,10. ; ( ) ( ) [ ]′ = − =−

≤ ∈g x xe ex

e xx

x x x

2 2 23 3

91

30 910 si x ,. . , así que g2 es

decreciente en [ ].9,10. , y como

( ) [ ] g 9 ... ,2 91 910. . .= ∈ . , ( ) [ ] g ... ,2 10 90 910. . .= ∈ .

entonces ( ) [ ]g x2 910∈ . ., para todo [ ]x ∈ . .910, , así que g2 tiene por lo menos un punto fijo en

el intervalo [ ].9,10. .


Ahora,

( )( )( ) ( )

′′ =− + − −

g xe x e x e x x

x

x x x

2

2

4

1 3 1 6

9

( )= − + =

− +x e xe ex

e x x

x

x x x x2

3

2

32 23

2 2

3y como

( ) R∈>++−=+− x todo para 011x2x2x2x 22

entonces ( )′′ > ⇔ >g x x2 0 0 .

Por tanto ′g2 es creciente en [ ].9,10. , y como

( ) ...′ = −g2 9 10. . , ( ) ′ =g2 10 0.entonces

( ) ( )019x todo para 1K11 xg 2 .,.. ∈<=≤′

En consecuencia g2 tiene un único punto fijo [ ]α 2 910∈ . , . , y la sucesión { }xn n con

( ) ...321n x3

exgx 1n

1nx

1n2n ,,,, ===−

−

−

converge a α 2 cualquiera sea [ ]x0 910∈ . , . , y se tienen además cotas para el error de

truncamiento α 2 − xn .

Los valores obtenidos usando la función de iteración g2 con punto inicial x0 95= . y criterio

de aproximación x n nx− < ×−−

155 10 , se muestran en la TABLA 2.4 siguiente.

n xn x xn n− −1

0 .951 .9072665 4 27335 10 2. × −

2 .9102584 2 9919 10 3. × −

3 .9099850 2 734 10 4. × −

4 .9100096 2 46 10 5. × −

TABLA 2.4

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.4, α 2 49100096≈ =. x . Como ejercicio,analice con cuántas cifras decimales exactas aproxima x4 a α 2 ? ♦

Será que la función ( )g x ex

x

2 3= nos sirve para determinar [ ]α 3 3 7 3 8∈ . , . ?


Veamos:

g2 es continua en [ ]83,73 .. , g2 es creciente en [ ]3 7 3 8. ., y como ( ) [ ]87,33...6373g2 .... ∉= ,

( ) [ ]83,7383g2 ... ∉ , entonces no se satisface la condición ( ) [ ]g x2 3 7 3 8∈ . ., para todo

[ ]x ∈ 3 7 3 8. ., .

Existirá algún intervalo [ ]a b, que contenga a la raíz α 3 donde se satisfagan todas lashipótesis del teorema de Punto Fijo para la función g2 ?

Observe, a partir de la gráfica de g2 , que no existe intervalo [ ]a b, con [ ]α 3 ∈ a b, tal que

( ) ′ ≤ <g x K2 1 para todo [ ]x a b∈ , .

Como ′g2 es creciente en [ ]3 7 3 8. , . , ( ) ( )′ = ′ =g g2 23 7 2 65 3 8 2 88. . . ...., ..., entonces( ) 1xg2 >′ para todo [ ]x ∈ 3 7 3 8. ., . Luego no existe intervalo [ ]a b, que contenga a la raíz

α 3 donde se satisfagan las hipótesis del teorema de Punto Fijo para la función g2 .

Por otro lado, como ′g2 es decreciente en [ ]− −. .5 4, , ( )′ − = −g2 5 121. . ... y ( )′ − = −g2 4 195. . ... ,entonces g2 tampoco satisface las hipótesis del teorema de Punto Fijo en algún intervaloque contenga a α1 . ♦

Ejercicio 2.4 Use el método de iteración de Punto Fijo, con alguna de las funciones deiteración dadas anteriormente, para encontrar estimaciones de las raíces α1 y α 3 de la

ecuación 3 02x ex− = , usando como criterio de aproximación

x n nx− < ×−−

155 10 ♦

Ejemplo 2.5 Usemos el método iterativo de Punto Fijo para encontrar la menor raíz positivade la ecuación x tanx− = 0 .

Como x tanx x tanx− = ⇔ =0 , empezamos graficando, en un mismo plano coordenado, lasfunciones ( ) ( )f x x y f x tanx1 2= = (ver la FIGURA 2.11).

De acuerdo con la FIGURA 2.11, la menor raíz positiva α π π∈

2

32

, , y a partir de una tabla

de valores para ( ) tanxxxf −= , por ejemplo en el intervalo [ ]74,4 . con tamaño de paso1h .= , puede verse que [ ]α ∈ 4 4 4 5. ., (cuando utilice una calculadora, use el modo radianes

para los cálculos).

Una primera función de iteración de Punto Fijo (que salta a la vista) es ( ) tanxxg = (ya que

x tanx x tanx− = ⇔ =0 ), pero es claro que para esta función g no existe intervalo [ ]a b, que


contenga la raíz α donde se satisfagan todas las hipótesis del teorema de Punto Fijo, pues( )′ >>g α 1 (observe la FIGURA 2.11).

FIGURA 2.11

Si aplicamos el método de Punto Fijo con la función de iteración ( ) tanxxg = y punto inicialx0 4 4= . , se obtienen en las cinco primeras iteraciones los resultados que se muestran en laTABLA 2.5 siguiente.

n xn

0 4 4.1 0963243.2 2105299824 −×− .3 2105330834 −×− .4 2105361914 −×− .5 − × −4 539305 10 2.

TABLA 2.5

Observando la TABLA 2.5 se concluye que no hay convergencia a la raíz buscada.

Si empezamos con x0 4= .5 , se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 2.6,donde se ve claramente que tampoco hay convergencia a la raíz buscada.

Cuál otra función de iteración podríamos construir?

Observando la gráfica de la función tangente (vea la FIGURA 2.11), y teniendo en cuenta larelación entre la gráfica de esta función y la de su inversa, se ve claramente que una función


de iteración de punto fijo, apropiada para determinar α, es la que se obtiene por la vía de lafunción inversa. Para obtener tal función de iteración g(x) procedemos como sigue:

n xn

0 4 5.1 4 637332.2 13 29819.3 8982038.4 2555201.5 0660283.

TABLA 2.6

Puesto que ( )π−= xtantanx , entonces

( )

( )

xtanx y 2

3x2

xxtan y 2

x2

xtanx y 2

x2

xtanx y 2

3x2

tanxx y 2

3x2

1

1

−

−

+π=π<<π⇔

π−=π<π−<π−⇔

π−=π<π−<π−⇔

π−=π<<π⇔=π<<π

Así que podemos tomar como función de iteración ( )g x tan x= + −π 1 . La gráfica de

y tan x= + −π 1 se muestra en la FIGURA 2.12 siguiente.

FIGURA 2.12

Veamos que ( )g x tan x= + −π 1 satisface todas las hipótesis del teorema de Punto Fijo en el

intervalo [ ]4 4 4 5. ., :


g es continua en [ ]4 4 4 5. ., ; ( )′ =+

>g xx

11

02 para todo x ∈ R , así que g es creciente en

[ ]4 4 4 5. ., , y como ( )g 4 4 4 48. .= ... y ( )g 4 5 4 49. .= ... , entonces [ ]( ) [ ]g 4 4 4 5 4 4 4 5. . . ., ,⊆ .

Ahora, ′g es decreciente en [ ]4 4 4 5. ., (a medida que x aumenta ( )′g x disminuye), y como

( )′ =g 4 4 049. . ... y ( )′ =g 4 5 047. . ... , entonces ( ) ′ ≤ = <g x K.05 1 para todo ( )x ∈ 4 4 4 5. ., .

Por lo tanto g tiene un único punto fijo [ ]α ∈ 4 4 4 5. ., , y la sucesión { }xn n con

x tan xn n= + =−−π 11 1, n ,2,...

converge a α cualquiera sea [ ]x0 4 4 4 5∈ . ., , y se tienen además, las cotas para el error de

truncamiento α − xn , dadas en el teorema 2.1.

La convergencia debe ser "rápida" pues K es pequeña.

Como ejercicio, encuentre cuántas iteraciones n serán necesarias para que xn aproxime

a α con por lo menos 4 cifras decimales exactas, tomando [ ] [ ]a b, ,= 4 4 4 5. . , x0 4 45= . yK = .05 ?

La TABLA 2.7 siguiente, muestra los cálculos de las iteraciones para ( )g x tan x= + −π 1 con

punto inicial x0 4 45= . y criterio de aproximación x n nx− < ×−−

155 10 .

n xn x xn n− −1

0 4 45.1 4 491341. .0413412 4 493311. 197 10 3. × −

3 4 493404. 9 3 10 5. × −

4 4 493409. 5 0 10 6. × −

TABLA 2.7

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.7, α ≈ =4 493409 4. x . ♦

2.2.2 Método de Newton-Raphson: Como veremos más adelante, el método de Newton-Raphson se aplicará para hallar raíces simples de una ecuación ( )f x = 0 . Antes de ver elmétodo de Newton-Raphson, veamos la siguiente definición sobre la multiplicidad de una raízde una ecuación.

Definición 2.3 Dada una ecuación ( )f x = 0 . Un número α se dice una raíz de multiplicidadm (m un entero positivo) de la ecuación ( )f x = 0 , si ( )f α = 0 , y


( ) ( ) ( ) ( ) para x , f con h x

≠ = − ≠→

α αα

x x h x lim xm 0

Si m = 1, la raíz se dice simple. ∇∇∇∇

El siguiente teorema relaciona la multiplicidad de una raíz de una ecuación ( )f x = 0 con lasderivadas de la función f .

Teorema 2.2 Supongamos que la función f tiene su dos primeras derivadas continuas en unintervalo [ ]a b, que contiene a un número α . Entonces α es una raíz simple de la ecuación

( )f x = 0 si y sólo si ( )f α = 0 y ( )′ ≠f α 0 .

Demostración: Supongamos que α es una raíz simple de la ecuación ( )f x = 0 . Entonces de

acuerdo con la definición 2.3, ( )f α = 0 , y

para x ≠ α , ( ) ( ) ( ) ( )f x x h x= − ≠→

αα

con lim h xx

0 .

Derivando a ambos lados de la expresión anterior con respecto a x, obtenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ′ = + − ′f x h x x h xαComo

( ) ( ) lim f x lim h xx x→ →

′ = ≠α α

0

y ′f es continua en α (por hipótesis), entonces ( ) ( )lim f x fx→

′ = ′ ≠α

α 0 .

Recíprocamente, supongamos que ( )f α = 0 y ( )′ ≠f α 0 . Haciendo un desarrollo en serie deTaylor para f alrededor de α, obtenemos

( ) ( )!

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f x f f x fx

x f fx

= + ′ − + ′′−

= − ′ + ′′−

α α α ξα

α α ξα

02

2

2

!

!

para algún ξ entre x y α .

Llamando

( ) ( ) ( ) ( ) h x f f

x= ′ + ′′

−α ξ

α2!

tenemos que, para x ≠ α , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x h x lim h x f= − = ′ ≠→

α αα

con x

0 . ∇∇∇∇

En general, se tiene el siguiente teorema cuya demostración es completamente análoga a ladel teorema 2.2 anterior.


Teorema 2.3 Supongamos que la función f tiene sus primeras m +1 derivadas continuas enun intervalo [ ]a b, que contiene a un número α. Entonces α es una raíz de multiplicidad m de

la ecuación ( )f x = 0 si y sólo si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01= = ′ = ′′ = = ≠−f f f f m mα α α α α... y f . ∇∇∇∇

Volviendo al método de Newton-Raphson, la hipótesis general para aplicar este métodopara hallar una raíz ( )b,a∈α de una ecuación ( ) 0xf = , es que la función f tenga susprimeras dos derivadas continuas en el intervalo [ ]a b, y ( )′ ≠f x 0 para todo [ ]b,ax ∈ .

De acuerdo con la hipótesis general y el teorema 2.2, como ( )′ ≠f α 0 , entonces la raíz α essimple, es decir, de multiplicidad 1.

Las siguientes gráficas muestran diversas posibilidades de multiplicidad para una raíz α deuna ecuación ( )f x = 0 :

FIGURA 2.13.a FIGURA 2.13.b FIGURA 2.13.c (Raíz simple) (Raíz múltiple, par) (Raíz múltiple, impar)

Hay varias formas de presentar el método de Newton-Raphson, dos de ellas son:

Presentación gráfica: Supongamos que f satisface la hipótesis general en un intervalo [ ]b,ay escojamos [ ]x a b0 ∈ , "cercano" a la raíz α .

La primera aproximación x1 , en el método de Newton-Raphson, es el punto en el cual la

recta L, tangente a la gráfica de f en el punto ( )( )x f x0 0, , corta al eje x (ver la FIGURA 2.14).

De acuerdo con ésto, se tiene que

( ) ( ) ′ =

−−

f xf xx x0

0

0 1

0

y entonces( )( ) x1 0

0

0= −

′x

f xf x

En general, para cada ( )( )n x

f xf xn n

n

n≥ = −

′−−

−1 1

1

1, x : abscisa del punto de intersección de la

recta tangente a la gráfica de f en el punto ( )( )x f xn n− −1 1, , con el eje x.


FIGURA 2.14

Presentación usando polinomios de Taylor: Supongamos que f satisface la hipótesisgeneral en un intervalo [ ]b,a , y sea [ ]b,a∈α ∗ con α α− ∗ "pequeño".

Consideremos el polinomio de Taylor de primer grado para la función f alrededor de α ∗ :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x f f x f

x= + ′ − + ′′

−∗ ∗ ∗

∗∗α α α ξ

αξ α

2

2! con entre x y

En particular para x = α , tenemos

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0

2

2

= = + ′ − + ′′−

∗ ∗ ∗∗

∗f f f fα α α α α ξα α

ξ α α!

, entre y

Suponiendo que el término ( ) ( )′′

− ∗

f ξα α

2

2! es despreciable (recuerde que ′′f es acotada),

obtenemos

( ) ( )( ) 0 ≈ + ′ −∗ ∗ ∗f fα α α α

y despejando α , llegamos a

( )( ) α αα

α≈ −

′∗

∗

∗

f

f

y ( )( )αα

α∗

∗

∗−

′

f

f es, por lo general, una mejor aproximación de α que α ∗ .

El método de Newton-Raphson para encontrar una raíz α de una ecuación ( )f x = 0 ,

consiste en generar la sucesión { }xn n definida mediante la fórmula de iteración


( )( ) x nn n

n

nx

f xf x

= −′

=−−

−1

1

112, , ,...

y escogiendo x0 "cercano" a α .

De acuerdo con la fórmula anterior, se ve claramente que el método de Newton-Raphsones un caso especial del método de iteración de Punto Fijo, cuando se toma como funciónde iteración la función

( ) ( )( )g x x

f xf x

= −′

La escogencia del punto inicial x0 es muy importante para la convergencia del método de

Newton-Raphson. Como ejemplo, consideremos la función ( )f x xx

= −−

4 72

, que tiene un cero

en α = =74

175. . Como

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

, ′ =− − −

−= −

−′′ =

−f x

x x

x xf x

x

4 2 4 7

212

222 2 3

entonces f es continuamente diferenciable dos veces en todo intervalo que no contenga ax = 2 .

La sucesión generada por el método de Newton-Raphson para la función dada es

( )

x , xn n

n

n

n

nx

xx

x

= −

−−

−

−

≠−

−

−

−

−1

1

1

12

1

4 72

12

2

La gráfica de ( )f x xx

= −−

4 72

es como se muestra en la FIGURA 2.15.

Se puede ver que si en la fórmula para xn (en el método de Newton-Raphson) usamosx0 15= . , obtenemos x1 2 0= . y el método no puede continuarse.

Si ( )x0 15 2∈ . , el método converge. Qué pasa si ( )x0 015∈ , . ?

En las TABLAS 2.8 y 2.9, se muestran los resultados obtenidos al aplicar el método de

Newton-Raphson a la función ( )f x xx

= −−

4 72

tomando como puntos iniciales x0 165= . y

x0 185= . , respectivamente, y usando como criterio de aproximación ( ) f xn < × −5 10 5 o

x n nx− < ×−−

155 10 .


FIGURA 2.15

n xn ( )f xn x n nx− −1

0 165. 114. ...1 179. −.761... .142 17564. −.105... 3 36 10 1. × −

3 1750163. − × −2 60 10 3. ... 6 237 10 3. × −

4 175. 0 163 10 4. × −

TABLA 2.8Instrucción en DERIVE:

NEWTON( ( )f x x x N, , ,0 ): aproXima las primeras N iteraciones en le método de Newton-

Raphson aplicado a la función ( )f x , tomando como aproximación inicial x0 . Para el ejemplo,

aproXime la expresión NEWTON( 4,651,x,2x7x4 .

−− ). ◊◊◊◊


0 185. −2 66. ...1 179. −.761... 6 0 10 2. × −

2 17564. −.105... 3 36 10 1. × −

3 1750163. − × −2 60 10 3. ... 6 237 10 3. × −

4 175. 0 163 10 4. × −

TABLA 2.9

Para la misma función f si usamos el método de Newton-Raphson con x0 10= . se obtienen,hasta la quinta iteración, los resultados que se muestran en la TABLA 2.10 siguiente. ♦



0 10. 3 0.1 4 0. 4 5. 3 0.2 22 0. 4 05. 18 0.3 1642 0. 4 000609. 1620 0.4 1076168 107. × 4 000000. 10760038 107. ×5 4 632550 1014. × 4 000000. 4 6325498 1014. ...×

TABLA 2.10

El siguiente teorema da condiciones suficientes no necesarias para la convergencia delmétodo de Newton-Raphson, aunque no da, de manera explícita, un intervalo donde sepueda escoger el punto inicial x0 .

Teorema 2.4 Sea f una función continuamente diferenciable dos veces en un intervalo [ ]a b,que contiene un número α . Si ( ) ( )f fα α= ′ ≠0 0 y ( α es raíz simple de la ecuación

( )f x = 0 ), entonces existe δ > 0 tal que la sucesión { }xn n con

( )( ) x , n ,2,...n n

n

nx

f xf x

= −′

=−−

−1

1

11

converge a α para cualquier [ ]x0 ∈ − +α δ α δ, .

Demostración: Haciendo

( ) ( )( ) g x x

f xf x

= −′

se demostrará que existe un δ > 0 tal que la función g satisface las hipótesis del teorema 2.1(de Punto Fijo) en el intervalo [ ]α δ α δ− +, .

En efecto:

Como ( )′ ≠f α 0 y ′f es continua en [ ]a b, , existe δ1 0> tal que ( )′ ≠f x 0 para todo

[ ] [ ]x a b∈ − + ⊆α δ α δ1 1, , . Entonces g es continua en [ ]α δ α δ− +1 1, .

Ahora,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]

[ ]

para x

′ = −′ ′ − ′′

′=

′ − ′ + ′′

′

=′′

′∈ − +

g xf x f x f x f x

f x

f x f x f x f x

f x

f x f x

f x

1 2

2 2

2

2 1 1α δ α δ,


y como f es continuamente diferenciable dos veces en [ ]a b, , entonces ′g es continua en

[ ]α δ α δ− +1 1, ; por otro lado ( )f α = 0 y ( )′ ≠f α 0 , así que

( ) ( ) ( )( )[ ]

′ =′′

′=g

f f

fα

α α

α2 0

Ahora, como ′g es continua en [ ]α δ α δ− +1 1, y ( )′ =g α 0 , entonces existe δ con 0 1< <δ δ

tal que ( ) ′ ≤ <g x K 1 para toda [ ]x ∈ − +α δ α δ, (este δ depende del K escogido).

Fijados K y δ, falta demostrar que [ ]( ) [ ]g α δ α δ α δ α δ− + ⊆ − +, , .

Si [ ]x ∈ − +α δ α δ, , el teorema del valor medio aplicado a g implica que existe un ξ entre x y αtal que

( ) ( ) ( ) ( ) g g x x x x x g g K− = − = ′ − ≤ − < − ≤α α ξ α α α δ

(recuerde que ( ) ( )( )g

ff

α ααα

α= −′

= ).

Así que ( ) g x − ≤α δ , lo que significa que ( ) [ ]g x ∈ − +α δ α δ, para todo [ ]x ∈ − +α δ α δ, .

Luego [ ] [ ]g: α δ α δ α δ α δ− + → − +, , satisface todas las hipótesis del teorema 2.1, y en

consecuencia la sucesión { }xn n definida por

( ) x nn ng x= =−1 12, , ,...

converge a α cualquiera sea [ ]x0 ∈ − +α δ α δ, . ∇∇∇∇

Nota: Los criterios de aproximación que generalmente se utilizan en el método deNewton-Raphson son: dado ε > 0 , se toma como aproximación de la raíz α de la ecuación

( ) 0xf = , al término xN de la sucesión generada mediante la fórmula de iteración de Newton,

donde N es el menor entero no-negativo tal que ( )f xn < ε o x xn n− <−1 ε .

Obsérve que si el método de Newton-Raphson converge, como

( )( ) x n n

n

nx

f xf x

− =′−

−

−1

1

1

entonces entre más grande sea ( ) ′f x en la vecindad de la raíz α, "más rápida" será laconvergencia.


Algoritmo 2.3 (Newton-Raphson) Para encontrar una aproximación α ∗ de una raíz α deuna ecuación ( )f x = 0 conocida una aproximación inicial x0 :

Entrada: ( ) ( )f x f x, ′ , una aproximación inicial x0 , una tolerancia Tol, y un número máximode iteraciones N .




Paso 3: Tomar ( )e f x= 0 y ( )d f x= ′ 0 .

Paso 4: Si d = 0 entonces salida: "No se puede continuar el método". Terminar.

Paso 5: Tomar c x ed

= −0 (calcula xn ).

Paso 6: Si ( ) f c c Tol o x ed

Tol< − = <0 , entonces salida: "Una raíz

aproximada es α ∗ = c ". Terminar.


Paso 8: Tomar x c0 = (redefine x0 ).

Paso 9: Salida "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia".Terminar.

Ejemplo 2.6 Con respecto a las raíces α1, α 2 y α 3 de la ecuación 3 02x ex− = , vemos que

la función ( )f x x ex= −3 2 satisface la hipótesis general del método de Newton-Raphson en

los intervalos [ ]− −. .5, 4 , [ ]. .910, y [ ]3 7 3 8. ., . Si aplicamos el método de Newton-Raphson, conaproximaciones iniciales apropiadas y criterio de aproximación

( ) f xn < × −5 10 5 o x n nx− < ×−−

155 10

se obtienen los resultados que se muestran en las TABLAS 2.11, 2.12 y 2.13 siguientes.

n xn ( )f xn x xn n− −1

0 −.5 .143...1 −.4602195 4 26 10 3. ...× − 3 97805 10 2. × −

2 −.4589635 4 18 10 6. ...× − 1256 10 3. × −

TABLA 2.11


Para este ejemplo aproXime la expresión NEWTON( ( )3 0 5 22x x x− −exp , , ,. ).

De acuerdo con la TABLA 2.11 se tiene que α1 24589635≈ − =. x .


0 10. 2 81 10 1. ...× −

1 .9141552 4 26 10 3. ...× − 8 58448 10 2. × −

2 .9100176 4 18 10 6. ...× − 4 1376 10 3. × −

TABLA 2.12

De acuerdo con la TABLA 2.12 se tiene que α 2 29100176≈ =. x .


0 83. ...381.−1 7369353. 210...517 −×− . 21030656 −×.2 7330923. 410...512 −×− . 3108433 −×.3 7330783. 510...961 −×. 51041 −×.

TABLA 2.13

Los resultados de la TABLA 2.13 indican que 33 x7330783 =≈α . . ♦

Ejercicio 2.5 Use el método de Newton-Raphson para encontrar la menor raíz positiva de laecuación x tanx− = 0 , usando como criterio de aproximación el mismo dado en ejemplo 2.6anterior. ♦

2.2.3 El método de Newton-Raphson combinado con el algoritmo de Horner paraencontrar raíces reales de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales: Dada unaecuación polinómica con coeficientes reales

( ) p con a y ax a a x a x a x a a ann

n n= + + + + = ∈ ≠0 1 22

0 1 20 0... , , , ,..., R

Si α es una raíz real simple de la ecuación ( )p x = 0 , el método de Newton-Raphson para

aproximar la raíz α , consiste en generar la sucesión { }xn n mediante la fórmula de iteración

( )( )x x

p xp xn n

n

n= −

′=−

−

−1

1

112, , ,... n

con x0 escogido cercano a α .

Como se ve en la fórmula anterior el cálculo de cada iteración requiere la evaluación delpolinomio p y su derivada ′p en un número. Existe un algoritmo, llamado algoritmo deHorner, muy fácil de implementar en el computador, el cual permite calcular de maneraeficiente, el valor del polinomio y el de su derivada en un número.


El algoritmo de Horner se basa en escribir el polinomio ( )xp en la forma encajada oanidada siguiente:

( ) ( )( )( )( ) p x a x a x a x a x a xan n= + + + + + +−0 1 2 3 1... ...

queremos evaluar ( ) ( )zp y zp ′ para algún número real z, basta tener en cuenta que:

Si hacemos b , y b para k

n n

k k k

aa zb n n

== + = − −+1 1 2 10, ,..., ,

entonces ( )zpb0 = .

Los números auxiliares b bn n, ,..., b −1 1 son los coeficientes del polinomio cociente ( )xq queresulta de la división de ( )xp por x z y b− 0 es el residuo, es decir,

( ) ( ) ( ) 0bxqzxxp +−=

siendo ( ) xbxbxbbxq 1nn

2n1n21

−−− ++++= ... .

En efecto:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

x z q x b x z b b x b x b x b

b zb b zb x b zb x b zb x b x

a a x a x a x a x p x

nn

nn

n nn

nn

nn

nn

− + = − + + + + +

= − + − + − + + − +

= + + + + + =

−− −

−−

−−

0 1 2 12 1

0

0 1 1 2 2 32

11

0 1 22

11

...

...

...

Como ( ) ( ) ( ) 0bxqzxxp +−= , entonces para x z= , se obtiene

( ) ( ) ( ) 00 bbzqzzzp =+−=

Ahora bien, como( ) ( ) ( ) 0bxqzxxp +−=

entonces derivando a ambos lados de esta última ecuación con respecto a x, obtenemos

( ) ( ) ( ) ( )xqzxxqxp ′−+=′

y entonces( ) ( ) ( ) ( ) ( )zqzqzzzqzp =′−+=′


y como ( )xq es un polinomio del cual conocemos sus coeficientes (los númerosb bn n, ,..., b −1 1), podemos aplicar el algoritmo de Horner al polinomio ( )xq para hallar ( )zq yde esta manera obtener ( )zp′ .

Algoritmo 2.4 (Horner) Para evaluar un polinomio con coeficientes reales

( ) nn

2210 xaxaxaaxp ++++= ...

y su derivada en un número real z:

Entrada: El grado n del polinomio, los coeficientes a a an0 1, ,..., del polinomio ( )xp , el númeroreal z.

Salida: ( ) ( )zpc y zpb0 ′== .

Paso 1: Tomar b an n= (calcula el coeficiente bn de ( )xq )c an=

Paso 2: Para 1,...,2n,1nj −−= , tomar

b a zbj j j= + +1 (calcula los coeficientes ( )xq de b,...,b,b 12n1n −− )c b zcj= + (almacena en c a ( ) ( )zpzq ′= )

Paso 3: Tomar b a zb0 0 1= + (almacena en ( )zp a b0 )

Paso 4: Salida: " ( ) ( ) czp y bzp 0 =′= ". Terminar.

Observe, en el algoritmo anterior, que como b b bn n, ,...,−1 1 son los coeficientes del polinomioreducido ( )xq , si aplicamos el algoritmo de Horner a este polinomio ( )xq , es decir, hacemos

c bn n= , y para 1,...,2n,1nj −−= hacemos c b zcj j j= + +1

obtenemos que ( ) ( ) zpzqzcbc 211 ′==+= . Por tanto, al terminar la aplicación delalgoritmo de Horner, en c queda almacenado ( )zq , es decir, ( ) ( ) zpzqc ′== .

Es importante observar que el algoritmo de Horner sólo usa n multiplicaciones y n sumaspara calcular ( )zp , lo que hace muy eficiente dicho cálculo. Intente calcular ( )zp de cualquierotra forma y compare el número de operaciones.

Para implementar el algoritmo de Horner manualmente usamos el esquema de divisiónsintética:


Ejemplo 2.7 Consideremos la ecuación x x3 1 0− − = . Como ( )p x x x= − −3 1 es continua

en el intervalo [ ]12, , ( ) ( ) 0>52p y 011p =<−= , entonces la ecuación ( ) 0xp = tiene por lo

menos una raíz en el intervalo [ ]12, . Por otro lado, como ( ) 01x3xp 2 >−=′ para todo

[ ]x ∈ 12, , entonces la ecuación ( ) 0xp = tiene una única raíz simple [ ]α1 12∈ , . Es claro,entonces, que se puede aplicar el método de Newton-Raphson para calcular esta raíz α1. Sihacemos los cálculos usando el método de Newton-Raphson combinado con el algoritmode Horner, tomando como aproximación inicial 02x0 .= , y criterio de aproximación

x xn n− < ×−−

135 10 o ( )p xn < × −5 10 3 , obtenemos:

( )( )

( )( ) x1 0

0

02 0

2 02 0

= −′

= −′

xp xp x

pp

...

Debemos calcular ( ) ( )02p y 02p .. ′ . Si usamos el algoritmo de Horner y aritmética conredondeo a cinco (5) dígitos para los cáculos, se obtienen los resultados que aparecen en elsiguiente esquema de división sintética

Entonces

x1 2 0 5 0110

15455= − =. ..

. y x x1 034545 5 10− = > × −.

Para calcular ( ) ( )54551pxp 1 .= y verificar si se satisface la condición ( )p x135 10< × − ,

usaremos el algoritmo de Horner. Vea el siguiente esquema de división sintética:


Observe que ( )p x1311461 5 10= > × −. , así que debemos calcular x2 . De acuerdo con los

resultados que aparecen en el esquema anterior

( )( )x x

p xp x2 1

1

115455 11461

6 165713596= −

′= − =. .

.. y x x2 1

31859 5 10− = > × −.

Si seguimos calculando como se indicó en los dos casos anteriores, obtenemos

( )p x231536 5 10= > × −. , ( )′ =p x2 4 5455. , x3 13258= . , x x3 2

30338 5 10− = > × −. ,

( )p x330046 005 5 10= < = × −. . .

Luego α1 313258≈ =. x . Puesto que la ecuación dada, x x3 1 0− − = , tiene tres raíces, cómopodríamos intentar aproximar las otras dos raíces α α2 3 y de esta ecuación? (Se puedeverificar fácilmente que las raíces α α2 3 y son complejas no-reales).

Recordemos que( ) ( ) ( ) ( )32581pxq32581xxp .. +−=

donde ( )xq es el polinomio cociente en la división de ( )p x x x= − −3 1 por x −13258. , y quelos coeficientes del polinomio ( )xq se pueden obtener usando el algoritmo de Horner. Pues

bien, el siguiente esquema muestra cuáles son los coeficientes del polinomio ( )xq :

De acuerdo con el anterior esquema de división sintética, el polinomio ( )xq es

( )q x x x= + +2 13258 7577. .

Total que( ) ( )( )p x x x x= − + + +13258 13258 7577 0 00462. . . .

(recuerde que estamos haciendo redondeo a cinco dígitos)


Si despreciamos el residuo en la división anterior, es decir, despreciamos ( )p 13258 0046. .= ,entonces

( ) ( )( )p x x x x≈ − + +13258 13258 75772. . .

y entonces podríamos usar el polinomio reducido ( )q x x x= + +2 13258 7577. . (cociente en la

división del polinomio 1xx3 −− por el polinomio x −13258. ) para aproximar las otras dosraíces de la ecuación original ( )p x x x= − − =3 1 0 . Si resolvemos la ecuación ( ) 0xq = ,obtenemos α 2 3 6629 56415, ≈ − ±. . i . ♦


QUOTIENT( ( )p x x, − ∗α ): Simplifica o aproXima el polinomio cociente ( )xq que resulta de la

división del polinomio ( )xp por x − ∗α . Para el ejemplo, aproXime la expresión

QUOTIENT( x x x3 1 13258− − −, . ). ◊◊◊◊

El proceso ilustrado en el ejemplo anterior para aproximar las raíces α α2 3 y , se conocecomo Deflación.

En general, la Deflación aplicada al problema de hallar raíces reales de ecuacionespolinómicas, consiste en lo siguiente:

Supongamos que en la N-ésima iteración en la aplicación del método de Newton-Raphsonobtuvimos un cero aproximado xN del polinomio ( )xp , entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xqxxxpxqxxbxqxxxp NNN0N −≈+−=+−=

ya que ( ) 0xp N ≈ (porque p(x) es continua y si xN ≈ α , con α un cero de ( )xp , entonces( ) ( ) 0pxp N =α≈ ).

Lo anterior significa que ( )x xN− es un "factor aproximado" de ( )xp .

Tomando ( )α1 1∗

−= x xN n y q como el polinomio reducido ( )xq , de grado n −1, se tiene que

( ) ( ) ( ) p x x q xn≈ − ∗−α1 1

y podemos encontrar una aproximación α 2∗ de un segundo cero de ( )xp , aplicando el

método de Newton-Raphson al polinomio ( )q xn−1 , con lo cual

( ) ( )( ) ( ) p x x x q xn≈ − −∗ ∗−α α1 2 2

siendo ( )q xn−2 un polinomio de grado n − 2 .


Si ( )xp es un polinomio de grado n con n ceros reales, este procedimiento aplicadoreiteradamente permitirá, eventualmente, obtener n − 2 ceros aproximados de ( )xp y unfactor cuadrático aproximado ( )xq2 , es decir,

( ) ( )( ) ( ) ( )xqx xxxp 22n21∗

−∗∗ α−α−α−≈ ...

Al polinomio cuadrático ( )xq2 le podremos calcular sus ceros usando la fórmula cuadrática.

El procedimiento descrito antes para obtener ∗−

∗∗ ααα 2n21 ,...,, se conoce como Deflación.

La posible deficiencia en la precisión de las raíces obtenidas por Deflación se debe a quecuando obtenemos los ceros aproximados de ( )xp , estamos usando el método de Newton-Raphson aplicado al polinomio reducido ( )xqk . Para mejorar la precisión en el método de

Deflación, cualquier cero aproximado α k∗ que se encuentre para un polinomio reducido debe

someterse a un refinamiento aplicando el método de Newton-Raphson al polinomio original( )xp , tomando a α k

∗ como aproximación inicial.

Un algoritmo para el método de Newton-Raphson combinado con Horner es el siguiente.

Algoritmo 2.5 (Newton-Raphson combinado con Horner) Para encontrar un ceroaproximado α ∗ del polinomio

( ) nn

2210 xa...xaxaaxp ++++=

Entrada: El grado n y los coeficientes a a an0 1, ,..., del polinomio ( )xp ; una aproximacióninicial x0 ; una tolerancia Tol, y un número máximo de iteraciones N.

Salida: Un cero aproximado α ∗ del polinomio ( )xp o un mensaje.

Paso 1: Tomar i = 1.

Paso 2: Mientras que i N≤ seguir los pasos 3-10:

Paso 3: Tomar b an n= y c an=

Paso 4: Para 1,...,2n,1nj −−= , tomar

b a x bj j j= + +0 1

c b x cj= + 0 (calcula ( )′p x0 )

Paso 5: Tomar b a x b0 0 0 1= + (calcula ( )p x0 ).

Paso 6: Si c = 0 , entonces salida: "No se puede continuar el método porque seanuló ( )′p x0 ". Terminar.


Paso 7: Tome x x bc1 00= − (calcula xi en el método de Newton-Raphson).

Paso 8: Si b 0 < Tol o x 1 00− = <x bc

Tol , entonces salida: "Una raíz

aproximada de ( )p x = 0 es α ∗ = x1 ". Terminar.

Paso 9: Tomar i i= +1.

Paso 10: Tomar x x0 1= .

Paso 11: Salida "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia".Terminar.

Ejemplo 2.8 Encontrar todas las raíces reales de la ecuación polinómicax x x x4 3 22 4 4 4 0− − + + = , usando el método de Newton-Raphson y Deflación.

Empezamos graficando el polinomio ( )p x x x x x= − − + +4 3 22 4 4 4 para ubicar las raícesreales (ver la FIGURA 2.16 siguiente).

FIGURA 2.16

De acuerdo con la gráfica del polinomio ( )p x x x x x= − − + +4 3 22 4 4 4 , se ve que todas lasraíces α α α α1 2 3 4, , y de la ecuación polinómica dada son reales, con

[ ] [ ] [ ] [ ]α α α α1 2 3 42 1 10 12 2 3∈ − − ∈ − ∈ ∈, , , ,, , , .


Se ve claramente que ( )p x satisface la hipótesis general del método de Newton-Raphson enintervalos apropiados para cada una de las raíces 4321 y αααα ,, .

Usando el método de Newton-Raphson para encontrar α1, con criterio de aproximación

( ) p xn < × −5 10 5 o x n nx− < ×−−

155 10 , se obtiene α 4 42 732076≈ =. x usando x0 3 0= . ,

y el correspondiente polinomio reducido de grado 3, es

( )q x x x x33 27320760 1999912 1463912= + − −. . .

Usando Deflación, encontramos una aproximación de la raíz α 3 , lo que daα 3 51414157≈ =. x tomando como aproximación inicial x0 10= . . El polinomio reducidocorrespondiente de grado 2, es

( ) 0351971x1462332xxq 22 .. ++=

Finalmente, encontramos aproximaciones de la raíces α 2 y α1 , resolviendo la ecuacióncuadrática ( ) 0xq2 = , con lo que se obtiene α α2 17319684 1414264≈ − ≈ −. . y . ♦

Ejemplo 2.9 Encontrar todas las raíces reales de la ecuaciónx x x x4 3 25 9 85 136 0+ − − − = , usando el método de Newton-Raphson y Deflación.

La gráfica del polinomio ( )p x x x x x= + − − −4 3 25 9 85 136 es como se muestra en la FIGURA2.17.

De acuerdo con la FIGURA 2.17, la ecuación dada sólo tiene dos raíces reales simples[ ] [ ]α α1 25 0 0 5∈ − ∈, , y (verifíquelo analíticamente).

Usando el método de Newton-Raphson para encontrar α1 con criterio de aproximación

( )p xn < × −5 10 5 o x xn n− < ×−−

155 10 , obtenemos α1 54 123123≈ − =. x usando como

punto inicial x0 5 0= − . , y el polinomio reducido correspondiente de grado 3, es

( ) 9848632x6154712x8768767xxq 233 ... −−+=

Usando Deflación, encontramos la aproximación α 2 44 123122≈ =. x , tomando como puntoinicial x0 5 0= . , y el polinomio reducido correspondiente de grado 2, es

( ) 0001348x9999994xxq 22 .. ++=


FIGURA 2.17

Finalmente, las raíces de la ecuación cuadrática ( ) 0xq2 = son los números complejosconjugados α α3 42 5 1322927 2 5 1322927≈ − + ≈ − −. . . .i y i . ♦

El siguiente ejemplo muestra que el método de Newton-Raphson puede converger y hacerlolentamente cuando se aplica en la búsqueda de una raíz múltiple de una ecuación ( )f x = 0(cosa similar ocurre cuando hay raíces reales cercanas entre sí).

Ejemplo 2.10 Consideremos la ecuación 0tanxx =− .

Es claro que α = 0 es raíz de esta ecuación. Cuál es la multiplicidad de esta raíz?

La gráfica de ( ) tanxxxf −= alrededor de α = 0 es como se muestra en la FIGURA 2.18siguiente.


FIGURA 2.18

De acuerdo con esta gráfica la raíz α = 0 es una raíz múltiple con multiplicidad impar.

Como( ) ( )( ) ( )( ) ( )

,

,

,

′ = − ′ =

′′ = − ′′ =

′′′ = − − ′′′ = − ≠

f x x f

f x xtanx f

f x xtan x x f

1 0 0

2 0 0

4 2 0 2 0

2

2

2 2 4

sec

sec

sec sec

entonces α = 0 es raíz de multiplicidad m = 3 , según el teorema 2.3.

Observe que aunque la raíz α = 0 es múltiple, ( )′ ≠f x 0 para x cerca de 0, x ≠ 0 , así quepodemos aplicar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz α = 0 . Si hacemosésto con criterio de aproximación ( )f xn < × −5 10 5 o x xn n− < ×−

−1

55 10 , obtenemos losresultados que aparecen en la TABLA 2.14 siguiente.


0 .3 − × −9 33 10 3. ...1 2 024312 10 1. × − − × −2 81 10 3. ... 9 75688 10 2. × −

2 1356958 10 1. × − − × −8 39 10 4. ... 6 67354 10 2. × −

3 9 068650 10 2. × − − × −2 49 10 4. ... 4 50093 10 2. × −

4 6 052418 10 2. × − − × −7 40 10 5. ... 3 016232 10 2. × −

5 4 036921 10 2. × − − × −219 10 5. ... 2 015497 10 2. × −

TABLA 2.14

Observando los resultados de la TABLA 2.14, vemos que aunque ( )f x5 es pequeño, x5 noes una buena aproximación de α = 0 , además se ve la lentitud de la convergencia delmétodo de Newton-Raphson. ♦


Ejercicio 2.6 Use el método de Newton-Raphson para encontrar las dos raíces de laecuación x x2 2 0001 10001 0− + =. . , usando como puntos iniciales x0 5= . , x0 15= . y criterio

de aproximación ( )f x x xn n n< × − < ×−−

−5 10 5 1051

5 o . Cuáles son las raíces exactasde esta ecuación ? ♦

En situaciones como la del ejemplo anterior (raíz múltiple), se recomienda utilizar el métodode Newton-Raphson modificado.

2.2.4 Método de Newton-Raphson modificado: El método de Newton-Raphson modificadose basa en el siguiente resultado: Si α es una raíz de multiplicidad m > 1 de una ecuación

( ) 0xf = y ( ) 0xf ≠′ para toda x en alguna vecindad de α, x ≠ α , entonces α es una raízsimple de la ecuación ( ) 0xM = , donde la función M está definida como sigue:

( )( )( )M x

f xf x= ′

≠

=

, x

0 , x

α

α

La función M resulta continua en la raíz α .

En efecto: Como por definición de la función M, ( )M α = 0 , entonces α es raíz de la ecuación( ) 0xM = . Veamos que α es una raíz simple.

Como α es una raíz de multiplicidad m > 1 de la ecuación ( )f x = 0 , entonces ( )f α = 0 y

para x ≠ α , ( ) ( ) ( ) ( )f x x h x lim h xm

x= − ≠

→α

α con 0

Por ser ( ) ( ) ( )xhxxf mα−= , entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xhxxhxmxf m1m ′α−+α−=′ − , así que

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( ) para x , M≠ =

′=

−

− + − ′= −

+ − ′−αα

α αα

αx

f xf x

x h x

x mh x x h xx

h xmh x x h x

m

m 1

con ( )

( ) ( ) ( )( )( )lim

h xmh x x h x

lim h x

m lim h x mxx

x→

→

→+ − ′

= = ≠α

α

αα

1 0 , ya que ( )lim h xx→

≠α

0 . Luego α es una raíz

simple de la ecuación ( ) 0xM = .

Observe que ( ) ( )lim M x Mx→

= =α

α0 , lo que significa que la función M es continua en α . ∇∇∇∇

El método de Newton-Raphson modificado para aproximar una raíz múltiple α de unaecuación ( ) 0xf = , consiste en aplicar el método de Newton-Raphson a la nueva función M,así que la función de iteración g del método de Newton-Raphson modificado está definidacomo


( ) ( )( )

( )( )

( )[ ] ( ) ( )( )[ ]

g x xM xM x

x

f xf x

f x f x f x

f x

= −′

= −′

′ − ′′

′

2

2

es decir,

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )

g x xf x f x

f x f x f x= −

′

′ − ′′2

lo que requiere que f ′′ sea continua en alguna vecindad de α .

Si aplicamos el método de Newton-Raphson modificado a la función ( ) tanxxxf −= para

aproximar la raíz α = 0 , con criterio de aproximación ( ) M xn < × −5 10 5 o

x xn n− < ×−−

155 10 , se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 2.15

siguiente.

n xn ( )M xn x xn n− −1

0 .3 9 75 10 2. ...× −

1 − × −1595052 10 2. − × −5 31 10 3. ... .315950522 2164831 10 6. × − 7 21 10 7. ...× − 1595268 10 2. × −

TABLA 2.15


NEWTON_MOD( ( )f x x x N, , ,0 ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de

Newton-Raphson modificado aplicado a la función ( )f x , tomando como aproximación inicial

x0 . Para el ejemplo, aproXime la expresión NEWTON_MOD( x tanx x− , , ,0 3 2. ). ◊◊◊◊

Observando la TABLA 2.15 vemos que el valor de x2 , obtenido por el método de Newton-Raphson modificado, es mucho más cercano a 0 que el valor de x5 obtenido por el métodode Newton-Raphson aplicado a la función ( )f x x tanx= − .

En el ejemplo anterior ( )M x x tanxx

= −−1 2sec

y la gráfica de M en la vecindad de α = 0 se muestra

en la FIGURA 2.19 . ♦


FIGURA 2.19

2.2.5 Método de la Secante: El método de Newton-Raphson para aproximar una raíz simple α de una ecuación ( )f x = 0 , consiste en generar la sucesión { }xn n a partir de la fórmula deiteración

( )( ) x nn n

n

nx

f xf x

= −′

=−−

−1

1

112, , ,...

y escogiendo x0 cercano a la raíz α .

Como

( ) ( ) ( ) ′ =

−−−

→

−

−−

f x limf x f x

x xn x x

n

nn1

1

11

entonces si queremos evitar el uso de la derivada en la fórmula de iteración del método de

Newton-Raphson, una forma es tomar x xn= −2 , y aproximar ( )′ −f xn 1 por ( ) ( )f x f x

x xn n

n n

− −

− −

−−

1 2

1 2,

que no es otra cosa que la pendiente de la recta secante L a la gráfica de f por los puntos( )( ) ( )( )2n2n1n1n xfx xfx −−−− ,,, (ver la FIGURA 2.20).

Remplazando, en la fórmula de iteración del método de Newton-Raphson, ( )′ −f xn 1 por su

aproximación ( ) ( )f x f x

x xn n

n n

− −

− −

−−

1 2

1 2, obtenemos

( )( )( ) ( ) x nn nn n n

n nx

f x x xf x f x

= −−

−=−

− − −

− −1

1 1 2

1 22 3, , ,...

que constituye la fórmula de iteración para el método de la Secante.


Nótese que para iterar con el método de la Secante se requiere conocer dos aproximacionesiniciales x0 1 y x .

FIGURA 2.20

Observe la relación entre el método de la Secante y el método de Regula Falsi: Ambosmétodos usan dos puntos iniciales o de arranque para encontrar una nueva aproximación ala raíz buscada, pero hay una gran diferencia entre la escogencia de esos dos puntos:mientras que en el método de Regula Falsi los dos puntos deben encerrar a la raíz buscada yel método siempre converge, en el método de la Secante los dos puntos iniciales nonecesariamente encierran a la raíz buscada lo que puede provocar divergencia del método.El método de la Secante converge bajo las mismas hipótesis de convergencia del método deNewton-Raphson.

Algoritmo 2.6 (Secante) Para encontrar una aproximación α ∗ de una raíz α de unaecuación ( ) 0xf = conocidas dos aproximaciones iniciales x0 1 y x :

Entrada: ( )f x ; dos aproximaciones iniciales x0 1 y x ; una tolerancia Tol, y un númeromáximo de iteraciones N.


Paso 1: Tomar n = 2 , ( ) ( )1100 xfy y xfy == .


Paso 3: Si y y1 0 0− = , entonces salida: "No se puede aplicar el método,porque el denominador en la fórmula de la Secante se anuló". Terminar.

Paso 4: Tomar ( )

x xy x x

y y2 11 1 0

1 0= −

−−

.


Paso 5: Si x 2 1− <x Tol , entonces salida: "Una aproximación de una raíz de la

ecuación dada es α ∗ = x2 ". Terminar.


Paso 7: Tomar 10 xx =

10 yy =

21 xx =( )11 xfy =

Paso 8: Salida: "Se alcanzó el número máximo de iteraciones N pero no la tolerancia".Terminar.

Ejemplo: 2.11 Si aplicamos el método de la Secante para encontrar la menor raíz positiva dela ecuación x tanx− = 0 , con criterio de aproximación x xn n− < ×−

−1

55 10 , obtenemos losresultados que se muestran en la TABLA 2.16 siguiente.

n xn xn+1 ( )f xn+1 x xn n+ −1

0 4 4. 4 5. −.137... .11 4 5. 4 490469. 5 85 10 2. ...× − 9 531 10 3. × −

2 4 490469. 4 494723. − × −2 66 10 2. ... 4 254 10 3. × −

3 4 494723. 4 492822. 118 10 2. ...× − 1901 10 3. × −

4 4 492822. 4 493671. − × −5 28 10 3. ... 8 490 10 4. × −

5 4 493671. 4 493292. 2 37 10 3. ...× − 3 790 10 4. × −

6 4 493292. 4 493461. − × −104 10 3. ... 1690 10 4. × −

7 4 493461. 4 493386. 4 73 10 4. ...× − 7 500 10 5. × −

8 4 493386. 4 493419. − × −192 10 4. ... 3 300 10 5. × −

TABLA 2.16


SECANTE( ( )f x x x x N, , , ,0 1 ): aproXima las primeras N iteraciones en el método de la

Secante aplicado a la función ( )f x tomando aproximaciones iniciales x0 y x1 . Para el

ejemplo , aproXime la expresión SECANTE( 8,54,44,x,tanxx ..− ). ◊◊◊◊

De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.16, la menor raíz positiva de la ecuaciónx tanx− = 0 es α ≈ =4 493419 8. x . ♦

2.3 RAPIDEZ DE CONVERGENCIA


Los métodos numéricos estudiados aquí para hallar una raíz α de una ecuación ( )f x = 0

consistieron en generar una sucesión { }xn n tal que lim xn n

→∞= α .

La eficiencia de un método numérico depende, en parte, de la "rapidez" con la cual lasucesión { }xn n converge a α, donde "rapidez" significa el número mínimo de iteraciones N

necesarias para tener xN a una distancia dada de la raíz α, es decir, tal que xn − <α ε

para algún ε > 0 dado. Una forma de medir la "rapidez" de la convergencia de un métodoiterativo de los que estudiamos, es en los siguientes términos.

Notación: Si ∈ = −n nx α , entonces ∈ n puede ser positivo, negativo o cero y

E xn n n= ∈ = − α denota el valor absoluto del error de truncamiento en la iteración n.

En la siguiente definición se introduce el concepto de orden de convergencia de unasucesión, usando el límite. Hay otras formas de definir orden de convergencia de unasucesión.

Definición 2.4 Supongamos que lim xn n

→∞= ∈α R , es decir, lim

n n→∞

∈ = 0 o equivalentemente

lim En n→∞

= 0. Si existen constantes positivas λ y L tales que

x

x lim E

Elim L

nn

n n

n

n→∞

+→∞

+=−

−=1 1

λ λ

α

α

entonces se dice que la sucesión { }xn n converge a α con orden de convergencia λ y error

asintótico L . ∇∇∇∇

Veamos que la definición 2.4 es una buena definición en el sentido que si λ y L existen,entonces son únicos.

Supongamos que existen λ λ1 2 1 2, , L y L constantes positivas, tales que

y lim EE

L lim EE

Ln

n

n nn

n→∞+

→∞+= =1

11

21 2λ λ

y veamos que λ λ1 2 1 2= = y L L .

Basta probar que λ λ1 2= , pues si esto ocurre, entonces L L1 2= (por la unicidad del límite,cuando existe).

Supongamos, por reducción al absurdo, que existen λ1 y λ 2 con λ λ1 2 0> > y tales que

, donde L , Llim EE

L lim EE

Ln

n

n nn

n→∞+

→∞+= = >1

11

2 1 21 2

0λ λ


Como λ λ1 2 0> > , entonces λ λ1 2 0− > , y

11 2 1

21

1EEE

EEn

n

n

n

nλ λ λ

λ

−+

+=

así que

limE

lim EE

EEn n n

n

n

n

n→∞ − →∞+

+=

11 2 1

21

1λ λ λ

λ

Pero

0Elim que ya,E

1lim 21

21nn

nn

=∞= λ−λ

∞→λ−λ∞→

y

lim EE

EE

lim EE

lim EE

LL

LLn

n

n

n

n nn

n nn

n→∞+

+ →∞+

→∞ += = = ∈1

1

1

11

2

1

21

2

1

2 1λ

λ

λ

λR

lo cual es una contradicción. Luego λ λ1 2= . ∇∇∇∇

De la definición 2.4 se tiene que, para n suficientemente grande

En nLE+ ≈1λ

y así, fijado L, entre mayor sea λ , más rápidamente converge la sucesión { }xn n a α, es

decir, entre mayor sea el orden de convergencia de una sucesión { }xn n , menor será elnúmero de iteraciones necesarias para tener a xn a una distancia dada del límite de esasucesión.

Casos especiales:

i) Si λ = 1 en la definición 2.4, es decir, el orden de convergencia es uno, se dice que laconvergencia es lineal.

Si la convergencia es lineal, entonces para n suficientemente grande

En nLE+ ≈1

lo que significa que el error en un paso es aproximadamente proporcional al error en el pasoanterior (en este caso debe tenerse 0 1< ≤L , casi siempre L < 1).

ii) Si λ = 2 en la definición 2.4, la convergencia se dice cuadrática.

Si la convergencia es cuadrática, entonces para n suficientemente grande

En nLE+ ≈12


es decir, el error en un paso es aproximadamente proporcional al cuadrado del error en elpaso anterior. En este caso es claro que el error En decrece más rápidamente que en elcaso lineal, y así la convergencia será más "rápida".

Ejemplo 2.12 Consideremos las sucesiones { }xn n con xnn = 1

3 , y { }"xn n con "xn n= 1102

.

Como lim xn n

→∞= 0 y lim x

n n→∞

=" 0 , entonces α = 0 , en la definición 2.4, para ambas

sucesiones.

Encontremos el orden de convergencia de la sucesión { }xn n .

Como

EE

n

nn

n

n

+ = +

=+

13

3

311

1 1λ λ

λ(n )

entonces

lim nn

limn n

Ln n→∞ →∞ − −+

=+

= ∈ =λ

λ λ λ1

1 11 R, lo si L > 0, si y só

Luego el orden de convergencia de la sucesión { }xn n con xnn = 1

3 es uno, es decir, { }xn n

converge linealmente a cero. Observe que si λ = 1, entonces L = 1.

Procediendo de manera similar al caso anterior, se puede ver que el orden de convergencia

de la sucesión { }"xn n con "xn n= 1102

es dos, es decir, la sucesión { }"xn n converge

cuadráticamente a cero, con error asintótico L = 1.

Encontremos ahora, los valores mínimos de N1 y N2 tales que

E x y N N N NE x1 1 2 2

10 103 3= − < = = − < =− −α ε α ε" "

En

n n Nn = < ⇔ > ⇔ > =−1 10 10 10 1133 3 3

1, así que .

"E n Nnn

n

n= < ⇔ > ⇔ > ⇔ ≥ =−1

1010 10 10 2 3 2 2

23 2 3

2, así que .

Lo anterior nos dice que para la sucesión { }xn n con xnn = 1

3 , que converge linealmente a

α = 0 , son necesarias 11 iteraciones para que x n − < −α 10 3 , mientras que para la

sucesión { }"xn n con "xn n= 1102

, que converge cuadráticamente a α = 0 , son necesarias sólo

2 iteraciones para que "xn − < −α 10 3 . ♦


Con base en la definición 2.4, estudiaremos el orden de convergencia de los métodosabiertos que ya vimos.2.3.1 Orden de convergencia del método de iteración de Punto Fijo: Sea α un punto fijode una función g, es decir ( )α α= g :

i) Si ′g es continua en alguna vecindad de α, ( )′ ≠g α 0 , y la sucesión { }xn n definida por

( ) x , n ,2,...n ng x= =−1 1

converge a α, entonces la convergencia es lineal.

En efecto:( ) ( ) ( )( ) ( ) ∈ = − = − = ′ − = ′ ∈+ +n n n n n n nx g x g g x g1 1 α α ξ α ξ

con ξn entre xn y α .

Ahora, como ′g es continua en α, entonces ( ) ( )lim g gn n

→∞′ = ′ξ α , ya que ξ αn → cuando

n → ∞ , y entonces

( ) ( ) lim lim g gn

n

n n n→∞

+→∞

∈∈

= ′ = ′ ≠1 0ξ α

así que

( ) lim EE

g Ln

n

n→∞+ = ′ = >1 0α

lo que significa que la convergencia es lineal. ∇∇∇∇

ii) Si ′′g es continua en alguna vecindad de α, ( )′ =g α 0 , ( )′′ ≠g α 0 (el punto ( )( )α α,g no es

de inflexión de la gráfica de g), y la sucesión { }xn n definida por

( ) x nn ng x= =−1 12, , ,...

converge a α, entonces la convergencia es cuadrática, es decir, { }xn n converge a α

con orden de convergencia dos.

En efecto:

Como ′′g es continua en un intervalo abierto que contiene a α, entonces para x en eseintervalo, se tiene

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) g con entre x y x g g xg

x= + ′ − +′′

−α α αξ

α ξ α2

2


Como ( ) ( )g gα α α= ′ = y 0 , entonces

( ) ( ) ( ) g con entre x y xg

x= +′′

−αξ

α ξ α2

2

En particular, cuando x xn= , n ∈ N, se tiene

( ) ( ) ( ) x con entre x y n nn

n n ng xg

x+ = = +′′

−12

2α

ξα ξ α

Por tanto( ) ( ) ( )

∈ = − =′′

− =′′

∈+ +n nn

nn

nxg

xg

1 12 2

2 2α

ξα

ξ

y como ′′g es continua en el intervalo que contiene a xn y α, entonces( ) ( )lim g g

n n→∞

′′ = ′′ξ α , lo que implica que

( ) ( )lim lim

g gn

n

n n

n

→∞+

→∞

∈∈

=′′

=′′1

2 2 2ξ α

y entonces( )

lim EE

limg

Ln

n

n n

n

n→∞

+→∞

+=∈

∈=

′′= >1

21

2 20

α

lo cual significa que la convergencia es cuadrática. ∇∇∇∇

Si queremos tener esquemas iterativos

( ) x nn ng x= =−1 12, , ,...

con orden de convergencia mayor, tenemos que poner condiciones sobre g.

Un teorema que generaliza las ideas anteriores y cuya prueba es similar a la de los casos i) yii) vistos antes, es el siguiente:

Teorema 2.4 Sea α una raíz de una ecuación ( )xgx = . Si g tiene las primeras k-derivadas

continuas en alguna vecindad de α, ( ) ( )g i α = 0 para i k= −12 1, ,..., , ( ) ( )g k α ≠ 0 , y la sucesión

{ }xn n definida por

( ) x nn ng x= =−1 12, , ,...

converge a α, entonces la convergencia es de orden k, es decir, { }xn n converge a α conorden de convergencia k. ∇∇∇∇

Observación: Por lo general, la cantidad de cálculos involucrados en la fórmula de unmétodo iterativo aumenta a medida que el orden de convergencia crece, por lo tanto, laganancia en el orden de convergencia no debe medirse por el número de iteraciones


necesarias para que el error de truncamiento alcance cierta tolerancia, sino por el númerototal de operaciones o tiempo del computador.Sin embargo, los métodos de convergencia cuadrática parecen estar en un punto deequilibrio si tenemos en cuenta la dificultad de los métodos, el número de operacionesrequeridas y los resultados obtenidos; es por éso, que uno de los métodos mas usados es elde Newton-Raphson que, como veremos enseguida, es de convergencia cuadrática.

2.3.2 Orden de convergencia del método de Newton-Raphson: Sea α una raíz de unaecuación ( ) 0xf = . Si la función f tiene sus dos primeras derivadas continuas en alguna

vecindad de α, ( ) 0xf ≠′ para todo x en esa vecindad, ( )′′ ≠f α 0 (el punto ( )( )α α,f no es de

inflexión de la gráfica de f ), y la sucesión { }xn n definida por

( )( ) x nn n

n

nx

f xf x+ = −′

=1 01, , ,...

converge a α, entonces la convergencia es cuadrática.

En efecto:

Como la función f tiene segunda derivada continua en algún intervalo que contiene a α,entonces para todo x en ese intervalo, se tiene

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x f f xf

x= + ′ − +′′

−α α αξ

α ξ α2

2 con entre x y

Pero ( )f α = 0 , así que

( ) ( )( ) ( ) ( ) f con entre x y x f xf

x= ′ − +′′

−α αξ

α ξ α2

2

De la misma manera( ) ( ) ( )( ) con entre x y ′ = ′ + ′′ −f x f f xα ξ α ξ α" "

En particular, cuando x xn= , n ∈ N , se tiene

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

f con entre y

con entre y

x f xf

x x

f x f f x x

n nn

n n n

n n n n n

= ′ − +′′

−

′ = ′ + ′′ −

α αξ

α ξ α

α ξ α ξ α

22

" "

Sustituyendo ( )′f xn en la fórmula de iteración del método de Newton-Raphson, obtenemos

( )( ) ( )( )

x con entre x y n nn

n nn nx

f x

f f x+ = −

′ + ′′ −1

α ξ αξ α

""


Restando α a ambos miembros de la ecuación anterior, se obtiene

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )∈ = ∈ −

′ + ′′ ∈=

′ ∈ + ′′ ∈ −

′ + ′′ ∈+n n

n

n n

n n n n

n n

f x

f f

f f f x

f f1

2

α ξ

α ξ

α ξ"

"

"

y sustituyendo ( )f xn , en la última ecuación anterior, obtenemos

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∈ =′ ∈ + ′′ ∈ − ′ ∈ −

′′∈

′ + ′′ ∈+n

n n n nn

n

n n

f f ff

f f1

2 2

2 α ξ α

ξ

α ξ

"

"

( ) ( )

( ) ( )=

∈ ′′ − ′′

′ + ′′ ∈

n n n

n n

f f

f f

2 2

2

"

"

ξ ξ

α ξ

Luego

( ) ( )( ) ( )

∈∈

=′′ − ′′

′ + ′′ ∈

+n

n

n n

n n

f f

f f1

2

2

2

"

"

ξ ξ

α ξ

Como { }xn n converge a α , entonces { } { }ξ ξn n nn

y " también convergen a α, y { }∈ n n

converge a 0, y como ′′f es continua en α , entonces

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )[ ]

( )( )lim lim

f f

f f

f ff

ffn

n

n n

n n

n n→∞

+→∞

∈∈

=′′ − ′′

′ + ′′ ∈

=′′ − ′′

′=

′′′

12

2

2

22 2

"

"

ξ ξ

α ξ

α α

α

αα

Por tanto( )( )

L >lim

ffn

n

n→∞

+∈

∈=

′′′

=12 2

0αα

(recuerde que ( ) ( )′ ≠ ′′ ≠f fα α0 0 y ), así que la convergencia es cuadrática. ∇∇∇∇

Observe, en el trabajo anterior, que si ( )f α = 0 , ( )′ =f α 0 y ( )′′ ≠f α 0 , es decir, α es raíz de

multiplicidad dos de la ecuación ( )f x = 0 , entonces el método de Newton-Raphson puede

aún converger, pero la convergencia es lineal con error asintótico L = 12

. En general, se

tiene que: Si ( ) ( ) ( )0 1= = = −f f mα α... y ( ) ( )f m α ≠ 0 , es decir, α es una raíz de multiplicidad


m ≥ 2 de una ecuación ( )f x = 0 , y el método de Newton-Raphson converge, entonces la

convergencia es lineal con error asitótico L mm

= −1 .

Se puede demostrar, véase Ralston,1965, páginas 326 y 327, que el método de la Secante,

cuando converge, tiene orden de convergencia λ = + ≈1 52

162. , y que el método de Regula

Falsi es de convergencia lineal siempre que la gráfica de la función f sea cóncava haciaabajo o hacia arriba en la vecindad de la raíz α. El método de Bisección se considera deconvergencia lineal.

TALLER 2.

1. El método de Bisección se puede aplicar en un intervalo [ ]b,a siempre que ( ) ( )f a f b < 0 . Si

( )f x tiene más de un cero en ( )a b, , se podrá saber de antemano cuál cero es el que seencuentra al aplicar el algoritmo 2.1? Ilustre su respuesta con ejemplos.

2. Las siguientes funciones cumplen la condición ( ) ( )f a f b < 0 donde a = =0 1 y b . Si se

aplica el método de Bisección en el intervalo [ ]a b, a cada una de esas funciones, quépunto se encuentra en cada caso? Es este punto un cero de f ?

a) ( ) ( )f x x= − −3 1 1 b) ( ) ( )f x x= cos 10 c) ( )f x =>

− ≤

x x

1 01 0,,

3. Pruebe que la función ( )f x e x xx= − − −12

2 tiene un único cero, precisamente en x = 0 .

Sugerencia: Puede usar el residuo en una expansión en serie de Taylor de ex alrededorde 0 .

Evalúe en una calculadora o un computador la función ( )f x para valores de x cercanos a

cero. Nota cambios de signo en los valores ( )f x para números x, a un mismo lado decero? De haber cambios de signo, qué hará el método de Bisección en uno de losintervalos en los que hay uno de esos cambios? Comente sobre la posibilidad deencontrar, por un método numérico, un "falso cero".

4. Verifique que se puede aplicar el método de Bisección para aproximar el único cero de lafunción ( )f x x x= − −3 1 en el intervalo [ ]12, . Cuántas iteraciones serán necesarias para

que al aplicar el método de Bisección en el intervalo [ ]12, se logre una aproximación de la


raíz, con una precisión de por lo menos 3 cifras decimales exactas? Calcule talaproximación.

5. Encuentre una aproximación de 253 con una precisión de por lo menos tres cifrasdecimales exactas, usando el método de Bisección.

6. Se quiere encontrar la menor raíz positiva de cada una de las siguientes ecuaciones,usando el método de iteración de Punto Fijo. En cada caso, encuentre una función deiteración de punto fijo y un intervalo en el que se satisfagan todas las hipótesis delTeorema 2.1, y calcule una aproximación de la raíz buscada con una precisión de por lomenos tres cifras decimales exactas.

a) e xx− − =cos 0 b) x x2 10 0+ =cos c) x x− =cos 0

7. Estudie la función ( )g x x= +1 2 como una posible función de iteración de Punto Fijo. Por

qué no es convergente la iteración ( )x g xn n= =−1 12, , ,... n ?

8. a) Verifique que cada una de las siguientes funciones ( )g xi , , , , i = 12 3 4 es una función de

iteración de Punto Fijo para la ecuación x x x4 22 3 0+ − − = , es decir,( ) ( )α α α= ⇒ = =g fi 0 12 3 4, , , , i , siendo ( )f x x x x= + − −4 22 3 .

i) ( ) ( )g x x x12

143 2= + − ii) ( )g x x x

2

4123

2= + −

iii) ( )g x xx3 2

123

2= +

+

iv) ( )g x x x

x x4

4 2

33 2 34 4 1

= + ++ −

b) Efectúe 4 iteraciones, si es posible, con cada una de las funciones de iteracióndefinidas en a), tomando ( )x g xn i n0 110 12 3 4= = =−. y x i, , , , .

c) Cuál función cree usted que da la mejor aproximación? Explique.

9. Demuestre que la ecuación ( )2 0sen πx x+ = tiene una única raíz α ∈

12

32

, . Use el

método de iteración de Punto Fijo para encontrar una aproximación de α con unaprecisión de por lo menos tres cifras decimales exactas.


10. Resuelva la ecuación x x3 1 0− − = para la raíz en el intervalo [ ]12, , usando el métodoiterativo de Punto Fijo. Obtenga una aproximación de la raíz buscada con una precisiónde por lo menos tres cifras decimales exactas.

11. Use el método iterativo de Punto Fijo para encontrar una aproximación de 253 con unaprecisión de por lo menos tres cifras decimales exactas.

12. Use el método iterativo de Punto Fijo para demostrar que la sucesión { }xn n definida por

x nn nn

xx

= +

=−

−

12

2 1211

, , ,...

converge a 2 , para x0 0> escogido adecuadamente.

En general, si R > 0 , entonces la sucesión { }xn n definida por

x x Rxn n

n= +

=−

−

12

1211

, , ,... n

converge a R , para x0 0> escogido adecuadamente. Esta sucesión se usa confrecuencia en subrutinas para calcular raíces cuadradas.

13. La ecuación e xx − =4 02 tiene una única raíz entre a = =0 1 y b . Demuestre que la

sucesión de Punto Fijo, generada por la función de iteración ( )g x ex

= 12

2 , converge a

esta raíz si el punto inicial se escoge en el intervalo [ ]01, .

14. Pruebe que la función ( )g x x tan x= + − −2 1 tiene la propiedad ( ) ′ <g x 1 para toda x.Pruebe que g no tiene un Punto Fijo. Explique por qué esto no contradice el teorema 2.1de Punto Fijo.

15. Cuál es el valor de la siguiente expresión?

x = + + +2 2 2 ...

Note que esta expresión puede ser interpretada como significando x lim xn n=

→∞, donde

x0 2= , x x1 02 2 2= + = + , y así sucesivamente. Use el método de Punto Fijocon una función de iteración g apropiada.


16. Utilice el método de Newton-Raphson para hallar ceros de las siguientes funciones en elintervalo indicado.

a) ( ) [ ]f x e ex x= − −2 2 01 en , b) ( ) [ ]f x x ex= −4 0 5sen , en .

Calcule las iteraciones xn hasta que x n nx− < ×−−

155 10 .

17. Utilice el método iterativo de Punto Fijo para aproximar el dominio de la función

( ) ( )[ ]f x x ex= − −2 1 112 .

18. Use el método de Newton-Raphson para aproximar el valor de la abscisa del punto ( )y,x

sobre la gráfica de y x= 2 más cercano a ( )10, . Calcule las iteraciones xn hasta que

x n nx− < ×−−

155 10 .

19. Resuelva la ecuación xexcos4 = con una precisión de 5 10 5× − , es decir, calcule lasiteraciones xn hasta que x n nx− < ×−

−1

55 10 , usando:

a) El método de Newton-Raphson con 01x0 .= .

b) El método de la Secante con x0 14 2= =π π y x .

20. Use el método de Newton-Raphson para resolver la ecuación

con xsen x x−

= =2

02

2

0π

Itere hasta obtener una precisión de 5 10 5× − para la raíz aproximada, con

( )f x x x= −

sen2

2

. Parecen los resultados fuera de lo común para el método de

Newton-Raphson? Resuelva también la ecuación con x0 05 10= =π π y x .

21. Use el método de Newton-Raphson modificado para encontrar una aproximación de laraíz de la ecuación

( ) f x x xe ex x= + + =2 22 0


empezando con x0 0= y efectuando 10 iteraciones. Cuál es la multiplicidad de la raízbuscada?

22. Demuestre que la sucesión { }xn n definida por

x nn kn= =1 12, , ,...

con k cualquier entero positivo, converge linealmente a α = 0 . Para cada par de enteros

k y m, determine un número N para el cual 1 10

Nkm< − .

23. Suponga que α es una raíz de multiplicidad m de ( )f x = 0 , donde ′′′f es continua en unintervalo abierto que contiene a α. Demuestre que la iteración funcional usando

( ) ( )( ) g x x

mf xf x

= −′

da convergencia cuadrática.

24. Estudie el orden de convergencia de los métodos abiertos aplicados en la solución decada uno de los ejercicios anteriores.

25. Use el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz α = 1 de la ecuación( )f x x x x= − + − =3 22 2 1 0 , tomando x0 00 10= = y x . Termine las iteraciones xn

cuando ( ) f x o n 25x xn n n< × − < × ≥−−

−5 10 5 1051

5, . Imprima todos los valores

xn , ( )f xn , ∈ = − ∈n n nx 1 2 y , y verifique que ∈ ≈ ∈+n n12 .

26. Aproxime todas las raíces de la ecuación x x x x4 3 22 8 38 6 3 4 2 0+ − − − =. . . . , usando elmétodo de Newton-Raphson y Deflación.

27. Aproxime todas las raíces de la ecuación

x8 7 6 5 4 3 239 37 446 180 1928 256 1920 0− − + + − − − + =x x x x x x x

usando el método de Newton-Raphson y Deflación.

Sugerencia: Las raíces son: −2 con multiplicidad 3, 4 con multiplicidad 2, 1, 3 y −5 .

28. Use el método de Newton-Raphson y Deflación para encontrar, con una precisión de5 10 5× − , todos los ceros, todos los puntos críticos y todos los puntos de inflexión de las


siguientes funciones. Use la información obtenida para hacer la grafica de cada una delas funciónes f dadas.

a) ( )f x x x= − +3 29 12 b) ( )f x x x x x= − − + −4 3 22 5 12 5

capÍtulo 2. soluciÓn numÉrica de una …ahora, en cuanto a los criterios de aproximación...

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