Capítulo 10

Flujo de fluidos incompresibles a

través de sistemas complejos.

Flujo de fluidos a través de sistemas complejos.

La mayoría de los sistemas por los que se desplazan los fluidos incompresibles,

verbigracia el agua, son complejos , es decir, consisten en uno o más tramos de tuberías

de diferentes diámetros o en tuberías que forman ramales, redes y otros complejos

sistemas de distribución como las del agua de alcantarillas o las redes de distribución de

agua potable.

SISTEMAS DE TUBERÍAS EN SERIE.

Las tuberías en serie son aquel conjunto de tuberías que forman parte de una misma conducción y que tienen diferente diámetro.

Para obtener una solución al problema se deben considerar lo siguiente:

Continuidad: M1=M2=M3

Velocidad media: 𝑢2 = 𝑢1𝐴1

𝐴2

Balance de energía:

∆𝑃

𝜌+

∆𝑢2

2+ ∆𝑧𝑔 = −

∑𝐹1

𝑀−

∑𝐹2

𝑀−

∑𝐹3

𝑀

Lo que puede reducirse a:

∆𝑧𝑔 = −∑𝐹1

𝑀−

∑𝐹2

𝑀−

∑𝐹3

𝑀 en donde

∑𝐹

𝑀= 𝑓𝐷

𝑢2(𝐿+𝐿𝑒)

2 𝐷

fD factor de fricción de Darcy, L es la longitud de la tubería, Le la longitud equivalente de

los accesorios, D el diámetro de la tubería y u la velocidad promedio en la tubería que se está analizando.

Ejemplo 1.

Dos tanques están conectados por una tubería que tiene 6" de diámetro en los primeros 6m. y 10" en los 15. Restantes. La embocadura es con bordes agudos y el cambio de sección es brusco. La diferencia de nivel entre las superficies libres de ambos estanques es de 6m. La tubería es de fierro fundido Cd.40. La temperatura del agua es de 20°C. Calcular el gasto.

1.- Traducción.

2.- Planteamiento.

2.1.- Balance masa.

M6=M10

𝑢6 × 𝜌 × 𝐴6 = 𝑢10 × 𝜌 × 𝐴10

𝑢6 = 𝑢10 ×𝐴10

𝐴6= 𝑢10 × (

𝐷10

𝐷6)2

2.2.- Balance de energía.

∆𝑍𝑔 +∆𝑢2

2+

∆𝑃

𝜌= −

∑𝐹

𝑀−

𝜏

𝑀

En nuestro caso haciendo el balance entre A y B a régimen permanente.

∆𝑃

𝜌= 0 ;

∆𝑢2

2= 0 ;

𝜏

𝑀= 0

Entonces:

∆𝑍𝑔 = −𝑓𝐷6

𝑢62𝐿6

2𝐷6− 𝑓𝐷10

𝑢102 𝐿10

2𝐷10

3.- Cálculos.

3.1.- Datos

D10=25.451 cm; D6=15.405 cm; viscosidad del agua = 1.005 cps, ρ=998 kg /m3

Rugosidades relativas 𝑒

𝐷6= 0.0008 ;

𝑒

𝐷10= 0.0007

3.2.- Velocidades

𝑢6 = 𝑢10 (25.451

15.405)2

= 𝑢10 × 2.729

3.3.-Longitudes equivalentes.

L6= 6 m de tubo +entrada (2.5) =8.5 m

L10=15 m de tubo + una salida (7.5)+ expansión (1.93) =24.43 m

3.4.- Bernoulli

−6(9.81) = −𝑓𝐷6 ×(𝑢10 × 2.729)2 × 8.5

2 × 0.15405− 𝑓𝐷10 ×

𝑢102 × 24.43

2 × 0.25451

−58.86 = −𝑓𝐷6𝑢102 × 205 − 𝑓𝐷10𝑢10

2 × 47.99

Suponiendo inicialmente que los factores de fricción sean iguales a 0.02 entonces:

−56.86 = −4.1𝑢102 − 0.9598𝑢10

2

Por lo tanto 𝑢10 = 3.4 𝑚𝑠 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑢6 = 9.3 𝑚 /𝑠

3.4.- Comprobación

Los Reynolds a esas velocidades son:

𝑅𝑒6 =0.15405×9.3×998

1.005×10−3 =1.4× 106

𝑅𝑒10 =0.25451 × 3.4 × 998

1.005 × 10−3= 8.59 × 105

Con estos Reynolds y los factores de rugosidad se calculan los nuevos fD

𝑓𝐷6 = 0.018 ; 𝑓𝐷10 = 0.019

Entonces el Bernoulli queda:

−58.86 = −0.018 × 𝑢102 × 205 − 0.019 × 𝑢10

2 × 47.99

De donde 𝑢10 = 3.576𝑚

𝑠 , 𝑢6 = 9.759 𝑚 /𝑠

Con estos valores los nuevos Reynolds darían:

𝑅𝑒6 = 1.46 × 106 , 𝑅𝑒10 = 9 × 105

Lo que da fD iguales a los anteriores con lo que queda terminado el tanteo.

3.5.- Caudales.

𝑀6 = 𝑀10 = 𝑢10 × 𝜌 × 𝐴10 = 3.576 × 998 × 0.785 × (0.25451)2 = 181.47𝑘𝑔

𝑠

El caudal sería 𝑐𝑎 = 3.576 × 0.785 × (0.25451)2 = 0.181.8𝑚3

𝑠= 181.8

𝐿

𝑠

4.- Resultado. El caudal sería de 11.8 litros por segundo.

Conducciones en paralelo

En este tipo de sistema, la corriente principal de un fluido se bifurca para

producir dos o más conducciones que corren en paralelo y que posteriormente

confluyen en un punto.

Sistema de 3 tuberías en paralelo entre A y B

El balance de materia para estos sistemas es:

MA = MB = M1 + M2 + M3

El balance de energía daría en el caso de que ΔZ fuera igual a cero:

∑𝐹1

𝑀=

∑𝐹2

𝑀=

∑𝐹3

𝑀

Lo que indica que: ∆𝑃1=∆𝑃2 = ∆𝑃3

La resolución de estos sistemas se lleva a cabo mediante tanteos.

Si se conoce el caudal, la caída de presión ΔP se puede obtener mediante la ecuación de

Darcy:

∆𝑃

𝜌=

∑𝐹

𝑀= 𝑓𝐷

𝑢2(𝐿 + 𝐿𝑒)

2𝑔𝑐𝐷

Si se conoce el ΔP pero se desconoce el caudal, la caída de presión se puede obtener

mediante la aplicación de las ecuaciones de Karman.

𝑅𝑒√𝑓𝐷 =𝐷 𝜌

𝜇√2𝑔𝑐 (

𝐷

𝐿)∑𝐹

𝑀

1

√𝑓𝐷=

𝑢

√2𝑔𝑐∑𝐹

𝑀

𝐷

𝐿

El caudal total que se quiere transportar se divide entre las tuberías existentes y que la pérdida de carga en cada una de ellas es la misma.

Ejemplo 2.

Para un sistema de dos tuberías en paralelo se dispone de los siguientes datos:

L1=1500 m , D1= 12 “ , L2= 900 m, D2 = 16 “.

El gasto total es de 456 litros/segundo. Calcular el gasto en cada una de las tuberías si estas son de fierro fundido Cd. 40 y si el líquido que pasa por el sistema es agua a 20 ° C.

1.-Traducción.

2.- Cálculos.

2.1.- Datos

D1= 0.2889 m; D2=0.381; viscosidad =1.005 cps; densidad = 998kg /m3

Factores de rugosidad E/D1=0.008; E/D2= 0.0005

2.2.- Masa que viaja por el sistema.

𝑀𝐴 = 𝑀𝐵

𝑀𝐴 = 456𝐿

𝑠×

𝑚3

1000𝐿×

998𝑘𝑔

𝑚3= 455

𝑘𝑔

𝑠

2.3.- Primer tanteo.

Sea la masa que pasa por la línea 1 igual a 100 Kg /s.

Entonces:

𝑀1 = 𝑢1 × 998𝑘𝑔

𝑚3× 0.785 × (0.2889)2 = 100

𝑘𝑔

𝑠

𝑢1 = 1.5293𝑚

𝑠

El Reynolds en esa línea sería entonces:

𝑅𝑒1 =0.2889×1.5293×998

1.005×10−3 =1.38× 105

El factor Darcy sería entonces de 0.02

Y la sumatoria de fricciones sería:

∑𝐹

𝑀1 = 0.02

(1.5293)2×1500

2×9.81×0.2889=12.31

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑘𝑔=

∆𝑃

𝜌1

Pero para las conducciones en paralelo:

∆𝑃

𝜌1 =

∆𝑃

𝜌2=

∑𝐹

𝑀2 = 12.31

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑘𝑔

Entonces, para la línea 2.

𝑅𝑒√𝑓𝐷 =0.381 × 998

1.005 × 10−3√

2 × 9.81 × 0.381 × 12.31

900= 1.2 × 105

De la gráfica de Karman.

1

√𝑓𝐷= 7.7

Por lo tanto: 𝑢2=7.7√2×9.81×0.381×12.31

900= 2.46

𝑚

𝑠

Y la masa que pasa por la línea dos será:

𝑀2=2.46 × 998 × 0.785 × (0.381)2 = 279𝑘𝑔

𝑠

La masa total sería entonces de 𝑀𝑇 = 𝑀𝐴 = 100 + 279 = 379𝑘𝑔

𝑠≠ 455

3.3.- Segundo tanteo:

𝑀1 =455

379× 100 = 120

𝐾𝑔

𝑠

𝑢1 =120

998 × 0.785 × (0.2889)2= 1.83

𝑚

𝑠

𝑅𝑒1 =0.2889 × 1.83 × 998

1.005 × 10−3= 5.25 × 105

El nuevo factor de Darcy será: fD =0.019

∑𝐹

𝑀1 = 0.019

(1.83)2 × 1500

2 × 9.81 × 0.2889= 16.83

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑘𝑔

Pero: ∆𝑃

𝜌1 =

∆𝑃

𝜌2=

∑𝐹

𝑀2 = 16.83

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑘𝑔

Entonces, para la línea 2.

𝑅𝑒√𝑓𝐷 =0.381 × 998

1.005 × 10−3√

2 × 9.81 × 0.381 × 16.83

900= 1.414 × 105

De la gráfica de Karman.

1

√𝑓𝐷= 7.7

Por lo tanto: 𝑢2=7.7√2×9.81×0.381×16.83

900= 2.878

𝑚

𝑠

Y la masa que pasa por la línea dos será:

𝑀2=2.878 × 998 × 0.785 × (0.381)2 = 327.3𝑘𝑔

𝑠

Por lo tanto la masa total será: MA= 120 +327.3= 447.3 kg /s ≠445

Con un tercer tanteo se obtiene que M1=122 y M2=334 Kg/s

4.- Resultado. Los gastos másicos son de 122 kg /s para la línea uno y de 334 kg /s para

la línea dos.

SISTEMAS DE TUBERÍAS RAMIFICADAS.

Otro sistema de tuberías que es muy común de encontrar es el problema de depósitos múltiples.

Aplicando balance de energía entre los estanques, se tiene que

Balance de masa:

MA+ MB=Mc

Para fluidos incompresibles (líquidos).

CaA+CaB=CaC

El balance de energía o Bernoulli quedaría:

Entre a y d

(𝑍𝑑 − 𝑍𝑎)𝑔 +𝑃𝑑−𝑃𝑎

𝜌+

(𝑢𝑑2 − 𝑢𝑎

2)

2= −

∑𝐹𝑎𝑑

𝑀

Entre b y d

(𝑍𝑑 − 𝑍𝑏)𝑔 +𝑃𝑑−𝑃𝑏

𝜌+

(𝑢𝑑2 − 𝑢𝑏

2)

2= −

∑𝐹𝑏𝑑

𝑀

Entre d y c

(𝑍𝑐 − 𝑍𝑑)𝑔 +𝑃𝑐−𝑃𝑑

𝜌+

(𝑢𝑐2 − 𝑢𝑑

2)

2= −

∑𝐹𝑐𝑑

𝑀

Si despreciamos los cambios en la energía cinética y sabiendo que la Presión en a es igual a la presión en b y en c o sea la presión atmosférica tendremos:

(𝑍𝑑 − 𝑍𝑎)𝑔 +𝑃𝑑−𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓

𝜌= −

∑𝐹𝑎𝑑

𝑀

(𝑍𝑑 − 𝑍𝑏)𝑔 +𝑃𝑑−𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓

𝜌= −

∑𝐹𝑏𝑑

𝑀

(𝑍𝑑 − 𝑍𝑐)𝑔 +𝑃𝑑−𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓

𝜌=

∑𝐹𝑐𝑑

𝑀

Si se designa a:

(𝑍𝑑)𝑔 +𝑃𝑑−𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓

𝜌= 𝐻𝑑

Entonces:

𝐻𝑑 − 𝑍𝑎𝑔 = −∑𝐹𝑎𝑑

𝑀

𝐻𝑑 − 𝑍𝑏𝑔 = −∑𝐹𝑏𝑑

𝑀

Si Zc se toma como cero 𝐻𝑑 =∑𝐹𝑐𝑑

𝑀

Las ecuaciones se pueden resolver mediante tanteos suponiendo un cierto gasto en una de las líneas para comenzar el proceso o suponiendo un Hd y determinando las caídas de presión en cada línea. Para que el resultado sea el correcto se debe cumplir que:

CaA+CaB=CaC

Ejemplo 3.

En el sistema mostrado, la tubería es de acero comercial Cd. 40. Las válvulas son de globo y están abiertas. La presión en B es de 2 kg /cm2 manométricos. El líquido que se maneja es tolueno a 25° C. El medidor de flujo es de orificio y tiene su toma posterior en la vena contracta. La diferencia de niveles en el medidor de orificio es de 10 cm de Hg y el orificio es de 1 pulgada. La presión en C es de 1.5 kg /cm2 manométricos. La longitud de la T a C es de 180 m, el diámetro de esa línea es de 1 pulgada. La longitud de la T a B es de 250 m y la tubería es de 1.5 pulgadas. La longitud de A a la T es de 150 m, el diámetro de esa línea es de 2 pulgadas. La presión atmosférica es de 586 mm de Hg (Ciudad de México, altitud 2500 m sobre el nivel del mar). ¿Cuál es el gasto másico que circula por cada línea? ¿Cuál es la potencia de la bomba si su eficiencia es del 50%?

1.- Cálculos.

1.1.- Medidor de flujo.

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜

Caída de presión en el medidor:𝑢𝑜 = 𝐶𝑜√2×𝑔𝑐×∆𝑃

𝜌(1−𝛽4)

∆𝑃 = ∆𝑍(𝑃𝑒𝐻𝑔 − 𝑃𝑒𝑡𝑜)

∆𝑃𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒=∆𝑃𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑟 × (1 − 𝛽2)

∆𝑃 = ∆𝑍(𝑃𝑒𝐻𝑔 − 𝑃𝑒𝑡𝑜)=0.1m (13600-860)=1274 kg /m2

Si hay flujo turbulento entonces Co = 0.61

𝛽 =1

1.5= 0.666

𝛽4 = 0.1975

𝑢𝑜 = 0.61√2 × 9.81 × 1274

860(1 − 0.1975)= 3.32

𝑚

𝑠

𝑅𝑒𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 =0.0254 × 3.32 × 860

0.65 × 10−3= 111572

Por lo tanto la suposición de turbulencia es válida.

∆𝑃𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1274(1 − 0.6662) = 565𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑚2

∆𝑃

𝜌𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 = 0.65

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑘𝑔

1.2.-Bernoulli en la línea de T a B

Velocidad en la línea

𝑈𝑇−𝐵 = 3.32 (1

1.5)2

= 1.475𝑚

𝑠

Caudal en la línea T-B

𝐶𝑎𝑇−𝐵 = 1.475 × 0.785 × (0.0381)2 = 1.68 × 10−3𝑚3

𝑠

Benoulli de T a B

𝑃𝐵−𝑃𝑇

𝜌+(𝑍𝐵 − 𝑍𝑇)

𝑔

𝑔𝑐=-

∑𝐹

𝑀𝐵 − 𝑇

𝑃𝐵 = 2𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑐𝑚2+

586

760× 1.033 = 2.796

𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑐𝑚2= 27960

𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑚2

(𝑍𝐵 − 𝑍𝑇)𝑔

𝑔𝑐= 1

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑘𝑔

∑𝐹

𝑀𝐵 − 𝑇 = 𝑓𝐷

(𝑢)2(𝐿+𝐿𝑒)

2𝑔𝑐𝐷+∑𝐹

𝑀𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜

𝑅𝑒 =𝐷𝑢𝜌

𝜇=

0.0381×1.475×869

0.65×10−3 = 7.43 × 104 fD = 0.02

𝐿 + 𝐿𝑒 = 250 + 𝑣𝑔𝑙𝑜𝑏𝑜 + 2 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 = 270 𝑚

∑𝐹

𝑀=0.02

(1.475)2(270)

2×9.81×0.0381= 15.71

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

𝑘𝑔

Por lo tanto el Bernoulli queda:

𝐿 + 𝐿𝑒 = 250 + 𝑣𝑔𝑙𝑜𝑏𝑜 + 2 𝑐𝑜𝑑𝑜𝑠 = 270 𝑚

27960 − 𝑃𝑇

860+ 1 = 15.71 − 0.65⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑃𝑇 = 42889.6𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑚2

1.3.- Línea T-C

𝑃𝐶−𝑃𝑇

𝜌+(𝑍𝐶 − 𝑍𝑇)

𝑔

𝑔𝑐=-

∑𝐹

𝑀𝐶 − 𝑇

𝑃𝐶 = 1.5𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑐𝑚2+

586

760× 1.033 = 2.296

𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑐𝑚2= 22960

𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑚2

22960 − 42889.6

860+ 10 =

∑𝐹

𝑀𝐶 − 𝑇

∑𝐹

𝑀𝐶 − 𝑇 = 13.17

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑘𝑔

L+Le= 180+globo+2 codos = 200 m; D=1 pulgada = 0.0254m

𝑅𝑒√𝑓𝐷=𝐷𝜌

𝜇√

2 𝑔𝑐×𝐷×∑𝐹

𝐿×𝑀=

0.0254×860

0.65×10−3 √2×9.81×0.0354×13.17

200=6087

E/d=0.0019 de la gráfica de Karman

1

√𝑓𝐷= 6.5

1

√𝑓𝐷= 6.5=

𝑢

√2×9.81×13.17×0.0254

200

Por lo tanto uC= 1.177 m/s

El caudal en la línea sería:

𝐶𝑎𝐶=1.177× 0.785 × (0.0254)2 = 5.963 × 10−4 𝑚3

𝑠

1.4.- Línea A-T

Caudal en la línea A-T =

𝐶𝑎𝐴−𝑇 = 5.963 × 10−4 + 1.68 × 10−3 = 2.277 × 10−3𝑚3

𝑠

D = 2 pulgadas = 0.0525 m.

Velocidad en la línea

2.277 × 10−3𝑚3

𝑠= 𝑢𝐴 × 0.785 × (0.0525) 2

𝑢𝐴 = 1.0523𝑚

𝑠

Bernoulli de A a T

(𝑍𝑇 − 𝑍𝐴)𝑔

𝑔𝑐+

𝑃𝑇 − 𝑃𝐴

𝜌= −

∑𝐹

𝑀𝐴 − 𝑇 −

𝜏

𝑀

(0 − 3) +42889.6 − 7900

860= −

∑𝐹

𝑀𝐴 − 𝑇 −

𝜏

𝑀

𝑅𝑒 =0.0525 × 1.0523 × 860

0.65 × 10−3= 7.3 × 104

El factor de rugosidad es e/D = 0.0009 y el factor darcy es fD= 0.024

L+Le = 150 + 17.4x2 (Válvulas de globo)+2.8 (codos)+3.5 (te)+2(entrada a tubería)= 193.1

Por lo tanto las pérdidas de fricción en esa línea serían:

∑𝐹

𝑀𝐴 − 𝑇 = 0.024

(1.0523)2(193.1)

2 × 9.81 × 0.0525= 8.314

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑘𝑔

Entonces:

−3 + 40.68 = −8.314 −𝜏

𝑀

−𝜏

𝑀= 45.994

𝑘𝑔𝑚⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

𝑘𝑔

Masa =1.0523X 0.785 X (0.025)2X860 =1.958 kg /s

Potencia hidráulica 𝒫=1.958 X 45.994 = 90 kgm / kg

Si la eficiencia es del cincuenta por ciento entonces:

𝒫 = 180 kgm /kg = 2.5 H.P.

4.- Resultado. La potencia es de 2.5 caballos.

Ejemplo 4.

Se tienen los tanques A y B que contienen agua a 15 ° C y que están situados sobre el tanque C. De los tanques A y B parten tuberías de acero comercial siendo la tubería de A de 30 cm y de una longitud de 800 metros con todo y accesorios. La tubería que parte de B a D es 25 cm y tiene una longitud total de 200 m. Determine el caudal que llega al tanque C si la tubería de Da C es de 50 cm y tiene una longitud de 500 m.

1.- Planteamiento.

1.1.- Balance de materia.

Para un fluido incompresible:

𝐶𝑎𝐴 + 𝐶𝑎𝐵 = 𝐶𝑎𝐶

1.2.- Balances de energía

Si se prescindo de los cambios de la energía cinética es decir si

∆𝑢2

2𝑔𝑐= 0

𝑃𝐷−𝑃𝐴

𝜌+ (𝑍𝐷 − 𝑍𝐴)

𝑔

𝑔𝑐=-

∑𝐹

𝑀A

𝑃𝐷−𝑃𝐵

𝜌+(𝑍𝐷 − 𝑍𝐵)

𝑔

𝑔𝑐= −

∑𝐹

𝑀𝐵

𝑃𝐷−𝑃𝐶

𝜌*(𝑍𝐷 − 𝑍𝐶)

𝑔

𝑔𝑐=

∑𝐹

𝑀𝐶

Pero como PA = PB = PC = P atmosférica

Entonces sí:

ℎ𝐷 =𝑃𝐷 − 𝑃𝑎𝑡𝑚𝑜

𝜌+ 𝑍𝐷

𝑔

𝑔𝑐

𝑍𝐴-ℎ𝐷 =∑𝐹

𝑀A ; 𝑍𝐵 − ℎ𝐷 =

∑𝐹

𝑀𝐵 ; ℎ𝐷 − 𝑍𝐶=

∑𝐹

𝑀𝐶

Pero si hacemos que ZC = = entonces: ∑𝐹

𝑀𝐶 = ℎ𝐷

2.- Cálculos.

2.1.- Primer tanteo.

Este tipo de problemas se debe resolver por tanteos. Para ello se deben hacer ciertas

suposiciones. Suponiendo que comenzamos con que hD = 2 kgm /kg

Entonces: ∑𝐹

𝑀𝐴 = 23 ;

∑𝐹

𝑀𝐵 = 8 ;

∑𝐹

𝑀𝐶 = 2

Resolviendo para el tramo A D

e/D =0.00014

𝑅𝑒√𝑓𝐷 =0.3 × 1000

1 × 10−3√

2 × 9.81 × 0.3 × 23

800= 1.234 × 105

De la gráfica de Karman:

1

√𝑓𝐷= 7 =

𝑢

√2 × 9.81 × 0.3 × 23800

𝑢𝐴 = 2.87𝑚

𝑠

𝐶𝑎𝐴 = 2.87 × 0.785 × (0.3)2 = 0.202𝑚3

𝑠

Resolviendo el tramo BD

𝑅𝑒√𝑓𝐷 =0.25×1000

1×10−3 √2×9.81×0.25×8

200= 1.1 × 105 e/D = 0.00014

1

√𝑓𝐷= 8.3 =

𝑢

√2 × 9.81 × 0.25 × 8200

UB= 3.676. m/s; CaB= 0.184 m3/s

Resolviendo el tramo CD

𝑅𝑒√𝑓𝐷 =0.5 × 1000

1 × 10−3√

2 × 9.81 × 0.25 × 2

500= 9.9 × 104

e/D = 0.00009

1

√𝑓𝐷= 9 =

𝑢

√2 × 9.81 × 0.5 × 2500

UD = 1.782 m /s; CaD=0.3497 m3 / s

Balance de materia.

CaA+CaB=0.202+0.184=0.386≠0.3497 =CaD

2.2.- Segundo tanteo.

Nuevo hD

ℎ𝐷 = 2 (0.386

0.3497) = 2.2

Por lo tanto:

∑𝐹

𝑀𝐴 = 22.8 ;

∑𝐹

𝑀𝐵 = 7.188 ;

∑ 𝐹

𝑀𝐶 = 2.2

Tramo A D 𝑅𝑒√𝑓𝐷=1.228

1

√𝑓𝐷= 7

𝑢𝐴 = 2.87 𝑀/𝑠

𝐶𝑎𝐴 = 0.202 𝑚3

𝑠

Tramo BD

𝑢𝐵 = 3.63 𝑀/𝑠

𝐶𝑎𝐵 = 0.181 𝑚3

𝑠

Tramo DC

𝑢𝐶 = 1.869.63 𝑀/𝑠

𝐶𝑎𝐶 = 0.3669 𝑚3

𝑠

Balance de materia:

CaA+CaB=0.202+0.181=0.383≠0.3669

1.4.- Tercer tanteo

ℎ𝐷 = 2.2 (0.3836

0.3669) = 2.3

∑𝐹

𝑀𝐴 = 22.7 ;

∑𝐹

𝑀𝐵 = 7.7 ;

∑𝐹

𝑀𝐶 = 2.3

Tramo AD

U = 2.86, Ca = 0.2013;

Tramo BD u = 3.606, Ca = 0.1789

Tramo CD u= 1.911; Ca= 0.3753

Balance CaA+CaB=0.2013+0.1789 =0.3802≠0.3753

Se requerirían entonces otros tanteos más.

4.- Resultados. Aproximadamente pasarían 200 litros por segundo por la línea A, 179

litros por segundo por la línea B.

Redes.

Las redes son un conjunto de tuberías unidas entre sí y que tienen por objeto transportar un fluido desde uno o más orígenes hasta uno o más destinos. Existen diversos tipos de redes:

Redes abiertas.

Este tipo de sistema es muy económico, se ahorra en cantidad de tubería para poder llegar a todos los puntos de demanda, pero a la vez tienen una gran desventaja: es poco seguro, ya que si la red se corta , se produce un problema de abastecimiento en el tramo posterior.

Este tipo de red se utiliza frecuentemente para abastecer lugares lejos de la(s) fuente(s).

Redes cerradas.

Este tipo de red, si bien es menos económica que la red abierta, presenta una ventaja muy importante, su seguridad, se puede aislar un sector, o circuito interno, sin dejar sin agua el resto del sistema.

Redes mixtas.

Es un sistema que conecta o reúne, sistemas abiertos y cerrados.

En general, para el abastecimiento de agua se utilizan mallas cerradas. Un diseño eficaz de una red de agua debe considerar múltiples factores, como caudal a transportar, presiones adecuadas y diámetros mínimos. A continuación se enumeran las consideraciones de diseño más importantes:

Demanda de agua = f (cantidad de población, tipo de industrias)

Dotación para el consumo doméstico: entre 200 y 300 l/hab/día.

Rango óptimo de alturas de presión en zonas residenciales: 28 - 35 mca.

Límites de presión en hogares: mínima: 20mca.

Máxima: 60 mca.

Rango óptimo de velocidades: 0.6 m/s - 1.2 m/s.

Altura de presión mínima en grifos de bomberos: 20 mca.

Altura de presión mínima en unión domiciliaria: 4 mca.

Tuberías comerciales de 75 mm de diámetro o más: 75 - 100 - 125 - 150 - 200 - 250 - 300 - 350.

Resolución de redes por el método de Hardy - Cross

Las condiciones hidráulicas básicas en la aplicación del método de Cross son:

1) Por continuidad de gastos, la suma algebraica de los flujos de las tuberías que se reúnen en un nodo es cero.

∑𝐶𝑎 = 0

2) Por continuidad de energía, la suma algebraica de todas las pérdidas de energía en cualquier circuito cerrado o malla dentro del sistema, es cero.

∑(∑𝐹

𝑀) = 0

Suponiendo conocidas las características de la red (D, L, material), los caudales entrantes al sistema y los caudales salientes de él, entonces lo que se requiere conocer son los caudales que circulan por cada una de las tuberías de la malla.

Procedimiento:

Dada una malla cerrada, como la que se muestra en la figura:

1) Dividir la red cerrada en un número tal de circuitos cerrados que asegure que cada tubería está incluida, al menos, en un circuito. Se hace una distribución de los flujo dándoles sentido positivo si se mueven en dirección a las agujas del reloj y negativo si se mueven en sentido contrario.

2) Conocidos los caudales que entran y salen, atribuir caudales hipotéticos Ca a las diversas tuberías del sistema, de tal manera que se cumpla la ecuación del balance de masa.

3) Calcular el valor de pérdida de carga en cada tubería de acuerdo a la expresión

∑𝐹

𝑀= 𝑓𝐷

𝑢2(𝐿+𝐿𝑒)

2𝑔𝑐𝐷

4) Determinar la suma algebraica de las pérdidas de carga en cada circuito y verificar si se cumple.

∑(∑𝐹

𝑀) = 0

Por lo general, en las primeras iteraciones esto no se cumple.

5) Determinar el valor:

∆𝐶𝑎 =−∑(

∑𝐹𝑀

)

1.85∑(

∑𝐹𝑀𝐶𝑎

)

Para cada circuito cerrado.

6) Determinar el caudal de corrección, (∆𝐶𝑎, que se debe aplicar a cada flujo supuesto en los circuitos. Por lo que se tiene que el nuevo caudal será:

𝐶𝑎 (𝐼 + 1) = 𝐶𝑎 (𝐼) + ∆𝐶𝑎

Para un circuito:

7) Corregir los gastos connotar que para una tubería que forma parte de 2 mallas, se corrige por los dos circuitos.

8) Repetir el proceso hasta obtener una convergencia adecuada.

Con frecuencia en los circuitos complejos el fluido que se transporta es el agua por ello los ingenieros civiles han desarrollado fórmula específicas para el flujo de ese líquido.

Entre las fórmulas empíricas están las de Hazen Williams:

∑𝐹

𝑀= 10.643 𝐶−1.852 𝐶𝑎1.852

𝐷1.87 * L

𝐶𝑎 = 0.2788 𝐶 𝐷2.63 (

∑𝐹𝑀𝐿

)

0.54

En donde C es el coeficiente De Hazen –Williams, Ca es el caudal en m3/s, L es la

longitud (de tubería +accesorios), y ∑𝐹

𝑀 son las pérdidas por fricción en

𝑘𝑔⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑘𝑔𝑚. Las fórmulas

anteriores son recomendables para tuberías de 2 o más pulgadas.

Para el cálculo de alcantarillas y drenajes es muy empleada la ecuación de Manning

∑𝐹

𝑀= 10.32 𝑛2

𝐶𝑎2

𝐷5.33∗ 𝐿

𝐶𝑎 =0.312

𝑛 𝐷8/3 (

∑𝐹𝑀𝐿

)

0.5

En donde n es el coeficiente de Manning.

Para pequeños diámetros hasta 50 mm y tubos de acero galvanizado que transportan agua fría se puede usar la correlación de Fair-Whipple y Hsiao.

∑𝐹

𝑀= 0.002021

𝐶𝑎1.88

𝐷4.88∗ 𝐿

𝐶𝑎 = 55.934 𝐷2.71 (

∑𝐹𝑀𝐿

)

0.57

Una correlación que puede emplearse para tubos de cobre o latón que transportan agua caliente es:

𝐶𝑎 = 63.281 𝐷2.71 (

∑𝐹𝑀𝐿

)

0.57

Ejemplo 5.

¿Cuál será el caudal que pasa por cada una de las líneas de distribución de agua en la

malla siguiente si las tuberías son de acero comercial y nuevas?

1.- Procedimiento.

1.1.- Se emplearán las ecuaciones de Hazen y Williams por tratarse de agua y el método de Hardy-Cross.

∑𝐹

𝑀= 10.643 𝐶−1.852 𝐶𝑎1.852

𝐷1.87 * L

𝐶𝑎 = 0.2788 𝐶 𝐷2.63 (

∑𝐹𝑀𝐿

)

0.54

2.- Cálculos.

1.1.- Datos

Del apéndice C= 130.

1.2.- Distribución de los sentidos.

Suponiendo que el sentido en que van las corrientes sea el que indican las fechas.

1.3.- Flujos.

Ya que el sistema conduce un fluido incompresible e isotérmico entonces:

Nudo A

Suponiendo que el flujo de AB sea de 200L/s, entonces el flujo de AE será de 300 L/s

Nudo B

200+100 = CBC= 300 L/s

Nudo C

300+CCD=300

Por lo tanto CCD=0

Nudo D

CED=CCD+200

CED=200

1.4.- Ecuaciones para obtener las pérdidas por fricción

∑𝐹

𝑀= 10.643𝐶−1852

𝐶𝑎1.852

𝐷 4.87× 𝐿

Pero si C= 130 entonces:

∑𝐹

𝑀= 1.2943 × 10−3

𝐶𝑎1.852

𝐷4.87× 𝐿

Línea Diámetro en m L en m Caudales en m3/s Ecuación para

obtener las

pérdidas por

fricción

AB 0.5 1000 0.2 37.84Ca1.852

BC 0.4 1100 0.3 123.4Ca1.852

CD 0.5 600 0 22.7Ca1.852

ED 0.3 950 0.2 432.6 Ca1.852

AE 0.25 800 0.3 885.23 Ca1.852

1.5.- Primer tanteo.

Línea Caudal en m3/s ƩF/M ƩF/M/Ca

AB 0.2 1.92 9.6

BC 0.3 13.27 44.23

CD 0 0 0

ED -0.2 -21.95 109.75

AE -0.3 -95.21 317.36

Sumatorias -101.97 480.9

Por lo tanto la corrección es:

∆𝐶𝑎 =−(∑

∑𝐹𝑀 )

1.852∑(

∑𝐹𝑀𝐶𝑎

)

=−(−101.97)

1.852(480.9)= 0.114

1.6.- Segundo tanteo.

Línea Caudal ƩF/M ƩF/M/Ca

AB 0.2+0.114=0.314 4.42 14.07

BC 0.3+0.114=0.414 24.09 58.18

CD 0.114 0.406 3.56

ED -0.2+0.114=-0.086 -4.6 53.48

AE -0.3+0.114=-0.186 -39.28 245.5

Sumatorias -14.96 374.79

Nueva corrección.

𝐶𝑎 =−(∑

∑𝐹𝑀 )

1.852∑(

∑𝐹𝑀𝐶𝑎 )

=−(−14.96)

1.852(374.79)= 0.02155

1.7.- Tercer tanteo

Línea Caudal ƩF/M ƩF/M/Ca

AB 0.314

+0.02155=0.33555

5.0 14.92

BC 0.414+0.02155=0.43555 26.47 60.78

CD 0.114+0.02155=0.13555 0.56 4..13

ED -0.086+0.02155=-

0.06445

-2.69 41.83

AE -0.186+0.02155=-

0.164455

-31.27 190.16

Sumatorias -1.93 311.82

Nueva corrección.

𝐶𝑎 =−(∑

∑𝐹𝑀 )

1.852∑(

∑𝐹𝑀𝐶𝑎

)

=−(−1.93)

1.852(311.82)= 0.0034

1.7.- Cuarto tanteo

Línea Caudal ƩF/M ƩF/M/Ca

AB 0.33555+0.0034=0.33895 5.102 15.05

BC 0.43555+0.0034=0.43895 26.85 61.86

CD 0.13555+0.0034=0.13895 0.587 4.22

ED -0.06445+0.0034=-0.06105 -2.438 39.94

AE -

0.164455+0.0034=0.161055

-30.08 186.80

Sumatorias 0.021 307.87

Nueva corrección

𝐶𝑎 =−(∑

∑𝐹𝑀

)

1.852∑(

∑𝐹𝑀𝐶𝑎 )

=−(0.21)

1.852(307.87)= −3.68 × 10−4

Esta corrección es despreciable con lo que se aceptan los caudales del cuarto tanteo.

Ejemplo 6.

¿Cuál será el caudal que pasa por cada una de las líneas de distribución de agua de la

malla siguiente, si la tubería es de acero comercial y nueva?

1.-Planteamiento.

1.1.- Se emplearán las ecuaciones de Hazen y Williams por tratarse de agua y el método de Hardy-Cross.

∑𝐹

𝑀= 10.643 𝐶−1.852 𝐶𝑎1.852

𝐷1.87 * L

𝐶𝑎 = 0.2788 𝐶 𝐷2.63 (

∑𝐹𝑀𝐿

)

0.54

2.- Cálculos.

2.1.-Distribución inicial de los sentidos.

2.2.- Caudales supuestos.

Nudo A

CA=CAB+CAE ; 500=CAB+CAE si CAB= 200 entonces CAE=300

Nudo B

CAB+CB=CBC+CBD; 200+500=CBC+CBD ; si CBC=400 entonces CBD=300

Nudo C

CBC=CC+CCD ; 400=250+CCD ; CCD=150

Nudo D

CBD+CED+CCD=CD ; 300+CED+150=500 ; CED=50

Nudo E

CAE=CE+CED ; 300=250+50

2.3.- Ecuaciones para predecir la pérdida por fricción.

Utilizando las ecuaciones de Hazen y Williams se tiene que:

C=130

Línea Caudal supuesto

en m3/s

Longitud de la

línea en m

Diámetro de la

línea en m

Ecuación para

obtener las pérdidas

por fricción

AB 0.2 900 0.5 ƩF/M=34.06Ca1.852

BC 0.4 1100 0.4 ƩF/M=123.42Ca1.852

CD 0.15 600 0.45 ƩF/M=37.93Ca1.852

BD 0.3 500 0.35 ƩF/M=107.49Ca1.852

ED -0.05 1000 0.3 ƩF/M=455.47Ca1.852

AE -0.3 800 0.25 ƩF/M=885.43Ca1.852

2.4.- Primer tanteo

Circuito I

Línea Caudal en m3/s ƩF/M en kgm/kg ƩF/M/Ca

AB 0.2 1.728 8.64

BD 0.3 11.56 38.53

ED -0.05 -1.77 35.4

AE -0.3 -95.23 317.43

Sumatorias -83.712 400

Corrección.

𝐶𝑎 =−(∑

∑𝐹𝑀 )

1.852∑(

∑𝐹𝑀𝐶𝑎

)

=−(−83.712)

1.852(400)= 0.113

Circuito II

Línea Caudal ƩF/M en kgm/kg ƩF/M/Ca

BC 0.4 22.61 56.525

CD 0.15 1.13 7.533

BD -0.3 -11.56 38.53

Sumatorias 12.18 102.59

𝐶𝑎 =−(∑

∑𝐹𝑀 )

1.852∑(

∑𝐹𝑀𝐶𝑎 )

=−(12.18)

1.852(102.594)= −0.069

2.5.-Segundo tanteo.

Circuito I

Línea Caudal en m3/s ƩF/M en kgm/kg ƩF/M/Ca

AB 0.2+0.113=0.313 3.96 12.66

BD 0.3+0.113-(-

0.064)=0.477

27.28 57.2

ED -0.05+0.113=0.063 2.72 43.2

AE -0.3+0.113=-0.187 -39.68 212.2

Sumatorias -5.72 325.26

𝐶𝑎 =−(∑

∑𝐹𝑀

)

1.852∑(

∑𝐹𝑀𝐶𝑎 )

=−(−5.72)

1.852(325.26= 0.00949

Circuito II

Línea Caudal ƩF/M en kgm/kg ƩF/M/Ca

BC 0.4-0.064=0.336 16.37 48.78

CD 0.15-0.064=0.086 0.4033 4.68

BD -0.3-0.064-(0.113)=-

0.477

-27.28 57.2

Sumatorias -10.5 110.6

𝐶𝑎 =−(∑

∑𝐹𝑀 )

1.852∑(

∑𝐹𝑀𝐶𝑎 )

=−(−10.5)

1.852(110.6= 0.051

2.7.-Tercer tanteo

Circuito I

Línea Caudal en m3/s ƩF/M en kgm/kg ƩF/M/Ca

AB 0.313+0.00949=0.32249 4.18 12.98

BD 0.477+0.00949-

0.051=0.43549

23.05 52.93

ED 0.063+0.00949=0.07249 3.529 438.68

AE -0.187+0.00949=-0.17751 -36.03 202.99

Sumatorias -5.27 317.58

∆𝐶𝑎 =−(∑

∑𝐹𝑀 )

1.852∑(

∑𝐹𝑀𝐶𝑎

)

=−(−5.271)

1.852(317.58)= 0.00896

Circuito II

Línea Caudal ƩF/M en kgm/kg ƩF/M/Ca

BC 0.336+0.051=0.387 21.27 54.96

CD 0.086+0.051=0.137 0.955 6.97

BD -0.477+0.051-

0.00949=-0.43549

-23.05 52.93

Sumatorias -0.825 114.86

∆𝐶𝑎 =−(∑

∑𝐹𝑀 )

1.852∑(

∑𝐹𝑀𝐶𝑎

)

=−(−0.825)

1.852(114.86)= 0.00388

Por lo tanto los flujos serán los calculados en el tercer tanteo.

Ejercicios propuestos para autoevaluación.

1.- Por una tubería de cobre se transporta agua a 80°C. Si la velocidad en la línea, que es

de ¾ de pulgada, es de 3 m/s. ¿Cuál será la caída de presión si la tubería tiene una

longitud equivalente de 300 m?

R.-La caída de presión es de 0.012 kg/cm2.

2.-Determine el caudal de agua en m3/día a 20 ° C que pueden transportarse a través de

2000 m de tubería de hierro de 2 pulgadas con una diferencia de presión de 5 kg /cm2.

R.-El caudal es de 194 m3/día.

3.- Resuelva el sistema siguiente, si el caudal que llega a A es de 456 L /s.

R.- El caudal es de 127 L/s en la línea 1 y de 329 L/s en la línea 2.

3.- Una instalación petrolera descarga petróleo en dos depósitos (A y B) situados a 25 m y

10 m de altura respectivamente sobre un tercer tanque ©. De los depósitos A y B parten

tuberías de acero de 30 cm de diámetro que confluyen en un punto D, conectándose allí a

una tubería de 50 cm de diámetro que va al depósito C. La longitud de las tuberías que

parten de A y B a D es de 800 m y la tubería de D a C es de 200 m. La viscosidad del

petróleo es de 7 X 10-4 kg/ms y la densidad de 870 kg /m3. Determine el caudal que llega

a C.

R.- El caudal que llega a C es de 412 L /s.

4.- ¿Cuál será la potencia que debe tener la bomba en el sistema siguiente?

R.- Se requiere una bomba de 1.5 C.V.

5.- El agua fluye a través del sistema de tuberías mostrado. En el punto A la altura es de

60 m, en el punto F la altura es de 30 m. La presión en A es de 2.9 atm. Determine los

caudales a través de la red y la presión en F. Utilizar C= 100.

R.- La presión en F es de 4.66 atm. Los caudales son:

6.- Por la siguiente red circula agua, siendo las tuberías de fundición. Obtenga los

caudales que pasan por cada uno de los ramales.

R.- Los caudales son los que se muestran en la siguiente figura: