1-1

Capítol 1

Introducció. Lleis físiques

1.1. Magnituds físiques, quantitats, unitats i mesures

1.2. Lleis físiques. Sistemes d’unitats

1.3. Equacions de dimensions. Homogeneïtat

1.4. Qüestions i problemes

La Mars Climate es va estavellar a Mart perquè la NASA no va traduir quilòmetres a milles.

Setembre, 1999. (El País, 2 d’octubre de 1999)

El Jet Propulsion Lab. de Pasadena, encarregat de programar els sistemes denavegació de la sonda, usa el sistema mètric decimal (metres, quilòmetres...) pera realitzar càlculs, mentre que el Lockheed Martin Astronautics de Denver, queva dissenyar i va construir la Mars Climate Observer, utilitza el sistema anglés(polzades, peus, lliures).LMA fa els càlculs d’acceleració i altres mesures en el sistema anglosaxó i remetla nau a la NASA i les xifres, sense unitats de mesura. El JPL pren, per defecte,les unitats del sistema mètric i envia les dades de navegació a la nau.Els errors acumulats fan que la trajectòria amb què arriba a Mart siga de col·lisió,en lloc de quedar en òrbita.

Objectius• Identificar conceptes generals de la física, com són: magnitud

física, quantitat, mesura, unitats, lleis físiques, etc.

• Conéixer el sistema internacional d’unitats

• Trobar les dimensions de distintes magnituds físiques

1-2

• Saber comprovar l’homogeneïtat de les lleis físiques

1.1 Magnituds físiques, quantitats, unitats i mesuresLa física és una ciència que té per objectiu l’estudi dels components de

la matèria i les seues interaccions. En termes d’aquests components iinteraccions, el científic intenta explicar les propietats generals de la matèria,com també la resta de fenòmens naturals que observem. Utilitzant el mètodecientífic s’intenta donar forma matemàtica a les regles que les expliquen, iaquestes expressions matemàtiques constitueixen les lleis físiques.L’observació dels fenòmens permet conéixer quines són les propietats que elscaracteritzen. Aquestes característiques poden ser quantificables o no. Perexemple, longitud, massa, força, diferència de potencial, treball, potència, etc.són quantificables per comparació a l’estat d’un altre cos. En canvi, la bellesa,la bondat o el benestar que produeixen, no.

Magnituds físiques són propietats dels fenòmens o sistemes, que sónobservables i quantificables, és a dir, que es poden mesurar.

Quan parlem de magnitud parlem de la propietat en general. Perexemple, la velocitat, la longitud, la temperatura. En canvi, parlem de quantitatquan parlem de l’estat d’una magnitud en un fenomen físic determinat. Perexemple, la velocitat que té la llum, la longitud d’una circumferència, latemperatura d’un dipòsit d’aigua.Les unitats són quantitats patró de les magnituds físiques que es prenen coma referència per a mesurar. Per exemple, es denomina 1 metre per segon (m/s)la velocitat que té un cos que recorre 1 metre de longitud en un temps d’1segon.

Mesurar és comparar una quantitat amb la quantitat corresponent ala unitat de la mateixa magnitud.

Com la mesura depén de la unitat, en expressar el valor d’una quantitathem de donar el valor de la mesura, i la unitat utilitzada:

Quantitat = mesura · unitat

MAGNITUD QUANTITAT UNITAT MESURAConcepte Aplicació a un cas

particular Cas patró Comparació entrequantitat i unitat

Velocitat Velocitat de la llum 1 m/s 300.000.000

Volum Volum de l’aula 1 m3 500

Temps Durada de la classe 1 s 6600

Temperatura Temperatura del gel 1 K 273 K

1-3

Magnituds escalars i vectorialsHi ha determinades magnituds que necessàriament porten associada

una direcció i que, sovint, és tan important com el seu mòdul. Per exemple,imaginem que desplacem un objecte d’un lloc a un altre: pot ser tan importantindicar la distància recorreguda com la direcció i el sentit en què es desplaça;quan exercim una força sobre un objecte és determinant conéixer la direcció enquè s’exerceix la força.

Les magnituds que tenen associada tant direcció com mòdul esdenominen magnituds vectorials. Una magnitud vectorial té mòdul,direcció i sentit.

Alguns exemples de magnituds vectorials són: força, velocitat, camp elèctric,camp magnètic…

Per contra, hi ha d’altres magnituds físiques que no tenen associada capdirecció.

Les magnituds físiques que tenen associada quantitat, però no direcció, esdenominen magnituds escalars. Una magnitud escalar té únicamentmòdul, però no direcció.

D’exemples de magnituds escalars, n’hi ha molts: temperatura, massa, temps,càrrega elèctrica, resistència elèctrica, densitat, resistivitat…

1.2 Lleis físiques. Sistemes d’unitatsUna llei física és una relació matemàtica entre les quantitats de les

magnituds que intervenen en un fenomen físic.Per exemple: F = m⋅a ; E = m⋅v2/2 ; V = R⋅I

En general, l’expressió d’una llei física és de la forma:

Y α Aα Bβ ... Nν

on Y, A, B,... N són quantitatsSi en la relació de proporcionalitat s’introdueixen les mesures de les

diferents quantitats, la llei física s’escriurà com una igualtat:...cba CBAKX ⋅=

La constant de proporcionalitat K depén de les unitats que utilitzem per amesurar cada quantitat.

Exemples:• Llei de gravitació universal: la força d’atracció F entre dues massespuntuals M i m és directament proporcional al valor de les seues masses iinversament proporcional al quadrat de la distància d entre aquestes.

2dmMGF ⋅=

la constant de gravitació universal G depén de les unitats de les masses,de la distància i de la força.

1-4

• Llei de Hooke: la deformació d’un cos elàstic és directament proporcionala la força aplicada.

F = kx

• Llei d’Ohm: la intensitat de corrent I que circula per un conductor i ladiferència de potencial V entre els seus extrems són proporcionals.

V = R·I

La constant de proporcionalitat R es denomina resistència elèctrica delconductor.

• En les ones electromagnètiques en el buit la longitud d’ona λ i lafreqüència f són inversament proporcionals.

λ= 1cf

La constant de proporcionalitat c és la velocitat de la llum.

Dels exemples anteriors podem també observar que hi ha constants deproporcionalitat amb diferents característiques:

Es denominen constants universals aquelles que tenen sempreel mateix valor, siga quina siga la situació en què s’aplique la lleicorresponent.

Per exemple, la constant de gravitació universal G té el valor 6,6726 10 –11 Nm2/kg2 en aplicar la llei de gravitació universal a l’atracció entre la Terra i laLluna i en aplicar-la a l’atracció entre partícules (expressada en ambdós casosamb les mateixes unitats).

Es denominen constants característiques aquelles constants en lesquals el valor depén de cada situació en què apliquem la llei corresponent.Per exemple, la resistència d’un conductor R depén de la seua geometria i lescaracterístiques materials i, per tant, la constant de proporcionalitat de la lleid’Ohm té un valor diferent en cada cas.

Sistemes d’unitats. Magnituds i unitats fonamentals. Sistemainternacional de mesura

Per a poder unificar les constants de proporcionalitat que s’utilitzen enles lleis, i expressar les quantitats de les magnituds físiques amb criterisuniformes, s’adopten acords per a formar el que es denominen sistemesd’unitats. El propòsit dels sistemes d’unitats és posar d’acord la gent per poderutilitzar les mateixes unitats per analitzar el mateix fenomen físic (recordem lanau que es va estavellar contra Mart el 1999 perquè els diferents grups detreball implicats en el projecte no van utilitzar el mateix sistema d’unitats).

Un sistema d’unitats està format per un conjunt de magnitudsfísiques independents entre elles, magnituds fonamentals,

1-5

acompanyades de les unitats escollides com els seus patrons,unitats fonamentals.

De conjunts de magnitud independents, podem formar-ne molts. Per exemple:• Massa, longitud, temps, intensitat de corrent.• Força, velocitat, temps, càrrega elèctrica.• Camp elèctric, acceleració, temps, intensitat de corrent.I les unitats de les magnituds físiques es poden escollir arbitràriament, per laqual cosa cal arribar a un acord per a unificar els criteris. Actualment, hi ha unsistema d’unitats oficialment adoptat en la major part dels països: el SistemaInternacional (SI). Al llarg de tot el curs utilitzarem únicament aquest sistemade unitats.La taula següent mostra les magnituds i unitats que formen el SI:

SISTEMA INTERNACIONAL DE MESURA (SI)MAGNITUD

FONAMENTAL SÍMBOL UNITATFONAMENTAL

Longitud L metre (m)Massa M quilogram (kg)Temps T segon (s)Intensitat de corrent I ampere (A)Temperatura K kelvin (K)Intensitat lluminosa candela (cd)Quantitat de substància n mol

D’aquestes magnituds fonamentals, en d’aquest curs es treballaràprincipalment amb les quatre primeres.

Les magnituds físiques que no estan incloses en les fonamentals esdenominen magnituds derivades, i les expressions s’obtindran a partir de leslleis físiques, mitjançant les seues equacions de definició. Per exemple, lavelocitat és una magnitud derivada que expressem en funció de l’espai i eltemps, magnituds fonamentals, utilitzant l’equació de definició:

dtdrv =

Les magnituds derivades tenen les seues unitats derivades en el SI, queobtenim com a expressió de les unitats fonamentals a partir de les equacionsde definició i de l’anàlisi dimensional que explicarem en el punt següent. Perexemple, l’energia, magnitud derivada en el SI, té per unitat en el sistemainternacional el joule, que, en funció de les unitats fonamentals, podemexpressar com kg·m2·s-2.

1-6

Magnitudfísica

Magnitudsfonamentals

Magnitudsderivades

Unitatsderivades

Unitatsfonamentals

Sistema d’unitats:Sistema Internacional

Leis

físi

ques

Prefixos per a les potències de 10Amb freqüència, quan s’expressa el resultat d’una mesura o d’un càlcul,

aquest resultat té un valor molt més gran, o molt més petit, que la unitatfonamental. Per exemple, la freqüència de funcionament d’unmicroprocessador pot ser de 1 000 000 000 Hz, la distància de la Terra a laLluna és de 384 400 000 m, la intensitat que recorre un circuit pot ser de 0,001A, podem trobar un condensador amb una capacitat de vora 0,000001 F, etc.En aquests casos s’utilitzen múltiples o submúltiples de la unitat fonamental perexpressar el resultat. La taula següent mostra els múltiples i submúltiplesutilitzats en el Sistema Internacional. En color negre es mostren els mésutilitzats, i en color gris, els menys utilitzats.

Múltiple Prefix Abreviatura Múltiple Prefix Abreviatura1018 exa E 10-18 atto a1015 peta P 10-15 femto f1012 tera T 10-12 pico p109 giga G 10-9 nano n106 mega M 10-6 micro µ103 kilo k 10-3 mil·li m102 hecto h 10-2 centi c101 deca da 10-1 deci d

Utilitzant els múltiples i submúltiples de la taula, les quantitats indicadesanteriorment s’escriurien de la manera següent:

1 000 000 000 Hz = 1 GHz384 400 000 m = 384,4 Mm

0,001 A = 1 mA0,000001 F = 1 µF

1-7

Unitats fonamentals del SI

Al llarg del present curs, principalment apareixen les quatre primeres magnituds del SI(longitud, massa, temps i intensitat de corrent), amb les corresponents unitats fonamentals(m, kg, s i A).La definició d’aquestes quatre unitats fonamentals ha evolucionat al llarg de la història(http://physics.nist.gov/cuu/Units). Actualment la definició d’aquestes unitats fonamentalsés:

El quilogram, es defineix com la massa d’un cilindre de 3,9centímetres de diàmetre i 3,9 centímetres d’alçària, fabricat ambuna aliatge de platí–iridi que es conserva en l’InternationalBureau of Weights and Measures (Oficina Internacional de Pesosi Mesures), a Sèvres, França.

Un metre és la distància recorreguda per la llum en el buit en uninterval de temps de 1/299.792.458 segons.

Un segon és el temps que necessita un àtom de cesi-133 per arealitzar 9.192.631.770 vibracions, corresponents a la transicióentre dos nivells hiperfins del seu estat fonamental.

Figura 1.1. Patró de freqüència primari (rellotge atòmic) alNational Bureau of Standards.

Figura 1.2. Quilogrampatró que es conserva a

l’Oficina Internacionalde Pesos i Mesures a

Sèvres, França.

Si per dos conductors paral·lels molt llargs situats a una distància entre ells d’1 m circulencorrents iguals, es defineix el corrent en cadascun com igual a un ampere si la força perunitat de longitud sobre cada conductor és 2·10-7 newtons per metre.

La pèrdua de pes del quilogram incita a buscar un nou patró

Otto Pohl (NYT)Diari EL PAÍS 4 de juny de 2003

En aquests temps de preocupació pel pes, fins i tot el quilogram està perdent pes i això pot crearconfusió en un gran nombre d’activitats científiques. El quilogram patró és un cilindre d’iridi i platí,fos a Anglaterra el 1889. Ningú no sap perquè perd massa, almenys per comparació amb altres pesosde referència, però aquest canvi ha provocat la recerca internacional d’una definició més estable.

1-8

“No ajuda gens tenir un patró que canvia”, diu Peter Becker,científic del Laboratori Federal d’Estàndards d’Alemanya, una institucióamb 1.500 científics que es dediquen per complet a millorar la forma demesurar coses de forma precisa. Fins i tot el canvi aparent de 50micrograms en el quilogram –menys que un gra de sal– és suficient pera distorsionar curosos càlculs científics. Becker dirigeix un equipinternacional d’investigadors que busquen redefinir el quilogram enfunció del nombre d’àtoms d’un element químic. Altres científics ambbase a Washington posen a punt una altra definició del quilogramutilitzant un complex mecanisme denominat equilibri de watts. Larecomanació final serà feta pel Comité Internacional de Pesos iMesures, cos creat per un tractat internacional que data de 1875,juntament amb l’Oficina Internacional de Pesos i Mesures, que guardael patró internacional del quilogram en una caixa forta en un castell alsafores de París.

Una vegada l’any el quilogram s’extrau amb grans mesures deseguretat per pesar-lo, i es compara amb altres patrons existents “Enpart és una cerimònia i en part una obligació”, explica Richard Davis,director de la secció dedicada a la massa en el laboratori internacional.“S’hauria de modificar el tractat si no es fera.”

Quilogram patró.

Definició del segle XIXEl quilogram és l’únic dels set patrons de mesurament que encara es basa en la definició del

segle XIX. Al llarg dels anys, els científics han redefinit unitats com el metre (que es basava en lacircumferència terrestre) i el segon (concebut com una fracció del dia). El metre és ara la distància querecorre la llum en el buit durant un 299.792.458-é de segon i el segon el temps que necessita un àtomde cesi per a vibrar 9.192.631.770 vegades. Cadascun d’aquests pot ser mesurat amb gran precisió ipot ser reproduït, la qual cosa és encara més important, en qualsevol lloc.

El quilogram es va concebre com la massa d’un litre d’aigua però va resultar molt difícil demesurar, així que es va encarregar a un joier anglés que fabricara un cilindre d’iridi i platí per definir-lo Una de les raons per les quals el quilogram s’ha retardat en l’actualització és que fer-lo més precísno presenta un benefici immediat pràctic. Tanmateix, el canvi del patró influeix en altres mesures. Perexemple, el volt es defineix en termes de quilogram, de forma que un quilogram estable permetrà queel volt es relacione millor amb els patrons de mesura.

En total es van crear 80 còpies de referència del quilogram, que es van distribuir als païsosfirmants del tractat del sistema mètric decimal. Algunes de les còpies les tenien països que handesaparegut, com Sèrbia. Els japonesos van haver de lliurar la seua després de la Segona GuerraMundial. Alemanya s’ha fet amb diverses còpies, incloent-hi una enviada a Baviera el 1889 i lapertanyent a Alemanya de l’Est. Per a actualitzar el quilogram, Alemanya treballa amb científicsd’altres països per a produir un cristall de silici completament esfèric, d’un quilogram de pes. La ideaés que si es coneixen exactament els àtoms que formen el cristall, la distància que els separa i lesdimensions de la bola, es pot calcular el nombre d’àtoms de la bola i aquest nombre esdevindrà ladefinició del quilogram.

Per separar els tres isòtops del silici, Becker i el seu equip recorren a les fàbriques d’armamentnuclear de l’antiga Unió Soviètica, en les quals hi ha màquines centrifugadores, utilitzades abans perproduir urani altament enriquit, que poden produir silici de la puresa requerida.

“Necessitem tants nous”, diu Becker. “Amb els russos, en tenim uns quatre”, o silici 28 pur en un99,99 %.

L’altre equip competidor refina una tècnica per a calcular el quilogram mitjançant el voltatge. Laidea és mesurar la força electromagnètica que es necessita per a equilibrar un quilogram de referència,la definició del qual seria una mesura d’aquesta potència o d’alguna cosa derivada, com la massa del’electró.

S’ha aconseguit produir ja un cristall de prova i Arnold Nicolaus, un altre científic de laboratorialemany d’estàndards, és el responsable de mesurar si és perfectament esfèric. Ha mesurat el cristallen 500.000 punts per a conéixer-ne la forma. Segurament es tracta de l’objecte més redó dels fets amà. “Si la Terra fóra així de redona, l’Everest tindria quatre metres de alçària”, diu Nicolaus. Unacaracterística curiosa d’aquesta esfera és que no hi ha forma de saber si està parada o gira, exceptequan li cau un bri de pols.

1-9

1.3 Equacions de dimensions. HomogeneïtatLes expressions matemàtiques que constitueixen les lleis físiques són

homogènies, és a dir, les unitats en què s’expressen els dos membres de laigualtat han de ser les mateixes. Hi ha una forma ràpida de comprovar si unarelació és homogènia, i és obtenir l’equació de dimensions dels dos membresde la igualtat i comprovar-ne la identitat.

L’equació de dimensions és una equació simbòlica que s’obtésubstituint en les lleis o equacions de definició de les magnituds cadamagnitud fonamental pel seu símbol.

D’aquesta manera, si tenim una equació de definició de la magnitud X comaquesta ...cba CBAKX ⋅= en la qual A és una massa, B una longitud, C untemps…, l’equació de dimensions serà de la forma [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ...cba TLMKX ⋅=Per exemple:• velocitat: equació de definició:

dtdrv =

Substituint la distància i el temps pel seu símbol en l’equació de dimensions:1][ −⋅= TLv

• força: llei 2

2

dtdmm raF ==

Substituint la massa, la distància i el temps pel seu símbol en l’equació dedimensions:

2][ −⋅⋅= TLMF

Aplicacions de l’equació de dimensionsLa primera aplicació de les equacions de dimensions és obtenir les

unitats de les magnituds derivades. En substituir en l’equació de dimensionsel símbol de cada magnitud fonamental per la unitat fonamental corresponent,obtenim la unitat derivada de la magnitud. Per exemple:

• velocitat: Substituint el símbol de la distància i el temps en l’equació dedimensions 1][ −⋅= TLv per les seues unitats m/s.

• força: Substituint el símbol de la massa, la distància i el temps enl’equació de dimensions 2][ −⋅⋅= TLMF per les seues unitats Kg·m·s-2 , quees denomina newton (N).

Una altra utilitat de les equacions de dimensions és comprovarl’homogeneïtat de les lleis físiques. Amb aquest fi n’hi ha prou amb obtenirl’equació de dimensions dels membres de la igualtat.

Per exemple, comprovar l’homogeneïtat de la llei que dóna el període d’un

pèndol: glP π= 2 , on P és el període (duració d’una oscil·lació), l la

longitud del pèndul i g l’acceleració de la gravetat:

1-10

[ ][ ]

TTLL

gl

TP

=

=

=π=

−2·

12

per tant, els dos membres de la igualtat tenen dimensions de temps, la lleiés homogènia

[ ]

π=

glP 2

En el cas anterior hem comprovat l’homogeneïtat d’una llei en la qual laconstant de proporcionalitat 2π és adimensional. Aquesta situació no ésgeneral, i l’anàlisi dimensional permet obtenir les dimensions i unitats de lesconstants de proporcionalitat de les lleis físiques. Per exemple, la llei de

gravitació universal és: 2dmMGF ⋅= .

Plantegem-ne l’homogeneïtat:

[ ]

⋅= 2d

mMGF

Ja hem determinat l’equació de dimensions de la força: 2][ −⋅⋅= TLMF , iles masses i la distància són magnituds fonamentals. Podem obtenir l’equacióde dimensions de la constant de gravitació universal aïllant [G] de l’equació:

[ ] [ ]

[ ] 231

222

2

··

··

−−

−−

=

=

⋅==

TLMG

LMGd

mMGTLMF

Ara obtenim les unitats en el SI de G substituint les unitats fonamentals:kg-1·m3·s-2.

“La física té un llenguatge natural que són lesmatemàtiques i aquest llenguatge té una gramàtica naturalque és l’anàlisi dimensional”.“Els poetes poden ocasionalment violar les regles de lagramàtica d’una llengua, però ningú —ni un estudiant, nitan sols un premi Nobel de física— pot violar la gramàtica—l’anàlisi dimensional— de la física”.

Dr. Julio Palacios, físic. (1891-1970)

1.4 Qüestions i problemes

1. Prenent com a magnituds fonamentals M, L i T, escriviu les equacions dedimensions de les magnituds següents:

1-11

a) Forçab) Massac) Densitat volumètrica de massad) Treballe) PotènciaSol: a) MLT -2; b) M; c) ML -3; d) ML2 T -2; e) ML2T -3

2. Comproveu que els 3 termes que apareixen en l’equació de Bernouilli tenen lamateixa equació de dimensions.

constant=21 ρρ hg+v+p 2

on: p = pressió; ρ = densitat; v = velocitat; h = alçària; g = acceleració de lagravetat.

3. Determineu les dimensions de la constant que apareix en la llei de Hooke: F =K x.Sol: [K] = MT -2

4. Determineu les dimensions de la constant de Planck, h, sabent que l’expressióque relaciona la longitud d’ona λ d’una radiació corpuscular amb la massa i lavelocitat del corpuscle és:

mvh=λ

Sol: [h] = ML2T -1

5. Determineu les dimensions de la constant de gravitació universal.Sol: [G] = M -1L3 T -2

6. Si diem que en un cas determinat el mòdul de la força de fricció FR, ésproporcional a la velocitat al quadrat segons l’expressió FR = K v2, quinesdimensions tindrà la constant K?Sol: [K] = ML-1

+ Vegeu les qüestions de J. A. Gómez Tejedor i J. J. Olmos Sanchis,Cuestiones y problemas de electromagnetismo y semiconductores, València,SPUPV 99.4157 o 99.3517, capítol 1.

GLOSSARI

Magnituds físiques són propietats dels fenòmens o sistemesque siguen observables i quantificables.

Quantitat és l’estat d’una magnitud en un fenomen físicdeterminat.

Unitats són quantitats patró de les magnituds físiques que es

1-12

prenen com a referència per a mesurar.

Mesurar és comparar una quantitat referida a un fenomendeterminat amb la quantitat corresponent a la unitat de lamateixa magnitud.

Magnituds vectorials queden totalment definides mitjançant ladirecció, el sentit i el mòdul d’un vector.

Magnituds escalars queden totalment definides mitjançant unescalar.

Llei física és una relació matemàtica entre les quantitats de lesmagnituds que intervenen en un fenomen físic.

Constants universals són aquelles que tenen sempre el mateixvalor, siga quina siga la situació en què s’aplique la lleicorresponent.

Constants característiques són aquelles constants en les qualsel valor depén de cada situació en què apliquem la lleicorresponent.

Un sistema d’unitats està format per un conjunt de magnitudsfísiques independents, magnituds fonamentals, acompanyadesde les unitats escollides com els seus patrons, unitatsfonamentals.

El Sistema Internacional és el sistema d’unitats oficial formatper les magnituds i les unitats fonamentals següents: longitud(metre, m), massa (quilogram, kg), temps (segon, s), intensitatde corrent (ampere, A), temperatura (kelvin, K), intensitatlluminosa (candela ,cd) i quantitat de substància (mol).

Magnituds derivades són les magnituds físiques que no estanincloses en les fonamentals, i les seues expressions en funció deles magnituds fonamentals es denominen equacions dedefinició.

L’equació de dimensions és una equació simbòlica que s’obtésubstituint en les equacions de definició les magnitudsfonamentals pel seu símbol.