Calculo de Areas

0.1. Area de regiones

Dada una funcion f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al area limitadaentre la grafica f(x), el eje X, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por∫ b

af(x)dx

∫es el sımbolo de la integral

a Limite inferior de la integracion

b Limite superior de la integracion

f(x) Funcion a integrar

dx Indica cual es la variable de la funcion que se integra

1

0.1.1. Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los lımites de integracion.

∫ b

af(x)dx = −

∫ b

af(x)dx

2. Si los lımites que integracion coinciden, la integral definida vale cero.

∫ b

af(x)dx = 0

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como unasuma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx +

∫ b

cf(x)dx

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales

∫ b

a[f(x) + g(x)dx =

∫ b

af(x)dx +

∫ b

ag(x)dx

5. La integral del producto de una constante por una funcion es igual a la constante por laintegral de la funcion.

∫ b

ak ∗ f(x)dx = k ∗

∫ b

af(x)dx

2

0.1.2. Area entre una funcion y el eje de abscisas

1. La funcion es positiva

Si la funcion es positiva en un intervalo [a, b] entonces la grafica de la funcion esta porencima del eje de abscisas. El area de la funcion viene dada por:

A =∫ b

af(x)dx

Para hallar el area seguiremos los siguientes pasos:

Se calculan los puntos de corte con con el eje X, haciendo f(x) = 0 y resolviendo laecuacion.

El area es igual a la integral definida de la funcion que tiene como lımites de integracionlos puntos de corte.

Ejemplo:Calcular el area limitada por la curva y = 9 - x2 y el eje X.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje X para representar la curva yconocer los lımites de integracion.

0 = 9− x2 x = 3 x = −3

Como la parabola es simetrica respecto al eje Y, el area sera igual al doble del area com-prendida entre x = 0 y x = 3.

A =∫ 3

−3(9− x2)dx = 2 ∗

∫ 3

0(9− x2)dx = 2[9x− x3

3] = 36u2

3

2. La funcion es negativa

Si la funcion es negativa en un intervalo [a, b] entonces la grafica de la funcion esta pordebajo del eje de abscisas. El area de la funcion viene dada por un viene dada por:

A = −∫ b

af(x)dx A =

∣∣∣∣∣∫ b

af(x)dx

∣∣∣∣∣Ejemplo:Calcular el area limitada por la curva y = x2 - 4x y el eje X.

0 = x2 − 4x x = 0 x = 4

A =∫ 4

0(x2 − 4x)dx = [

x3

3− 2x2]40 = −32

3

|A| = 323u2

3. La funcion toma valores positivos y negativos

En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para cal-cular el area de la funcion seguiremos los siguientes pasos:

Se calculan los puntos de corte con con el eje X, haciendo f(x) = 0 y resolviendo laecuacion.

Se ordenan de menor a mayor las raıces, que seran los lımites de integracion.

El area es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

4

Ejemplo:Hallar el area limitada por la recta y = 3x−6

2, el eje de abscisas y las ordenadas correspondi-

entes a x = 0 y x = 4.

A1 =∫ 2

0(3x− 6

2dx =

1

2[3

2x2 − 6x]20 =

1

2(6− 12) = −3

A2 =∫ 4

2(3x− 6

2dx =

1

2[3

2x2 − 6x]42 =

1

2[(24− 24)− (6− 12)] = 3

A = |A1|+ A2 = |−3|+ 3 = 6u2

5

0.2. Area entre curvas

Considerando dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a, b] donde f(x) > g(x)podemos calcular el area entre dos curvas en terminos de x con la siguiente expresion:

Ax =∫ b

af(x)− g(x)

Graficamente el area seria:

Ax =∫ b

a([farriba]− [fabajo])dx

Graficamente dos funciones f(y) y g(y) continuas en el intervalo [c, d] donde f(y) > g(y)podemos calcular el area entre dos curvas en terminos de y con la siguiente expresion:

Ay =∫ d

cf(y)− g(y)

Graficamente el area seria:

Ay =∫ d

c([fderecha]− [fizquierda])dy

considerando dos funciones f(y) y g(y) continuas en el intervalo [a, b] y que se interceptanentre si en el punto c podemos calcular su area total con la siguiente expresion:

AT =∫ c

ag(x)− f(x)dx +

∫ b

cf(x)− g(x)dx

6

Graficamente el area total seria:

AT = A1 + A2

Es importante notar que no importa en que cuadrante se encuentre el area acotada, siemprees la funcion de arriba menos la de abajo en terminos de x y siempre la funcion de laderecha menos la de la izquierda en terminos de y.

Ejemplo 1:calcular el area acotada por las siguientes curvas:

y − x− 2 = 0y = 1x = 2

Luego de graficar la region, expresamos el area en terminos de x y calculamos:

Ax =∫ 2

−1[(x + 2)− 1]dx =

x2

2+ x

∣∣∣∣∣2

−1

=9

2u2

En terminos de y el area seria:

Ay =∫ 4

1[2− (y − 2)]dy =

y2

2+ 4y

∣∣∣∣∣4

1

=9

2u2

7

Ejemplo 2:Calcular el area acotada por las siguientes curvas:

y = x2

y = −x2 + 5

En primer lugar graficamos las funciones y calculamos sus puntos de interseccion

x2 = −x2 + 52x2 = 5

x = ±√

5

2

Por lo tanto el area en terminos de x seria:

Ax =∫ √ 5

2

−√

52

(−x2 + 5)− (x2)dx =

(2x3

3+ 5x

)∣∣∣∣∣√

52

−√

52

= 10,54u2

Para calcular el area en terminos de y debemos expresar el area en dos integrales:

La primera area acotada en el intervalo [0, 52] siendo

√y la funcion de la derecha y −√y

la funcion de la izquierda.

La segunda area acotada en el intervalo [52, 5] siendo

√5− x la funcion de la derecha

y −√

5− y la funcion de izquierda.

Por lo tanto el area en terminos de y seria:

A1 =∫ 5

2

0[√

y − (−√y)]dy = 2∫ 5

2

0

√y =

4y32

3

∣∣∣∣∣∣52

0

= 5,27u2

A2 =∫ 5

52

[√

5− y − (−√

5− y)]dy = 2∫ 5

52

√5− ydy = −4(5− y)

32

3

∣∣∣∣∣∣5

52

= 5,27u2

Sumando ambas areas obtenemos:

AT = A1 + A2 = 10,54u2

Universidad de La Frontera Agosto - Diciembre 2010Autores: Nicolas Carrasco - Francisco Lopez - Francisco Llanquipichun

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