capítulo 7 | testes de hipótese com uma...
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1
.
Capítulo 7 | Testes de hipótese
com uma amostra
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Seção 7.1
Introdução aos testes de hipótese
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Teste de hipótese
• Um processo que usa amostras estatísticas para testar uma
afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional.
• Por exemplo: Um fabricante de automóveis anuncia que seu
novo carro híbrido tem média de milhagem de 50 milhas por
galão. Para testar essa afirmação, uma amostra deve ser tirada.
Se a média amostral difere da média anunciada, você pode
afimar que o anúncio está incorreto.
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Hipótese estatística
• Uma afirmação sobre um parâmetro populacional.
• Precisa de um par de hipóteses:
• um que represente a afirmação;
• outro que seja seu complemento.
• Quando uma dessas hipóteses for falsa, a outra
deve ser verdadeira.
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Estabelecendo uma hipótese
Hipótese nula
• é uma hipótese estatística
que contém uma afirmação
de igualdade, tal como ≤, =
ou ≥.
• Denotada como H0 e é lida
como “Hzero” ou “hipótese
nula.”
Hipótese alternativa
• Uma afirmação de
desigualdade, tal como >, ,
or <.
• Deve ser verdadeira se H0
for falsa.
• Denotada como Ha e é lida
como “Ha.”
Afirmações
complementares
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• Para escrever as hipóteses nula e alternativa, traduza a
afirmação feita sobre o parâmetro populacional de
uma afirmação verbal para uma afirmação
matemática.
• Então, escreva seu complemento.
H0: μ ≤ k
Ha: μ > k
H0: μ ≥ k
Ha: μ < k
H0: μ = k
Ha: μ ≠ k
Sem considerarmos qual dos três pares de hipóteses
você poderá usar, sempre assuma que μ = k e examine a
distribuição amostral com base em sua suposição.
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Exemplo: estabelecendo as
hipóteses nula e alternativa
Escreva a afirmação como uma sentença matemática. Afirme as
hipóteses nula e alternativa e identifique qual representa a
afirmação.
Uma universidade pública que a proporção de seus estudantes que
se graduaram em 4 anos é de 82%
Condição de igualdade
Complemento de H0
H0:
Ha:
(afirmação) p = 0,82
p ≠ 0,82
Solução:
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μ ≥ 2,5 galões por minuto
Escreva a afirmação como uma sentença matemática.
Afirme as hipóteses nula e alternativa e identifique qual
representa a afirmação.
Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio de
fluxo de água de certo tipo de torneira é menor que 2,5
galões por minuto.
Condição de desigualdade
Complemento de Ha H0:
Ha:
(Afirmação)
μ < 2,5 galões por minuto
Solução:
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μ ≤ 20 onças
Escreva a afirmação como uma sentença matemática.
Afirme as hipóteses nula e alternativa e identifique qual
representa a afirmação.
Uma indústria de cereais anuncia que o peso médio dos
conteúdos de suas caixas de 20 onças de cereal é mais do
que 20 onças.
Condição de
desigualdade
Complemento de Ha H0:
Ha: (Afirmação) μ > 20 onças
Solução:
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Tipos de erros
• Não importa qual das hipóteses represente a afirmação,
você começa o teste de hipótese assumindo que a
condição de igualdade na hipótese nula é verdadeira.
• Ao final do teste, você toma uma dessas duas decisões:
• Rejeitar a hipótese nula ou:
Falha ao rejeitar a hipótese nula.
Pelo fato de sua decisão ser baseada em uma amostra
em vez de ser baseada na população inteira, há sempre
a possibilidade de você tomar a decisão errada.
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• Um erro tipo I ocorre se a hipótese nula for rejeitada
quando é verdadeira.
• Um erro tipo II ocorre se a hipótese nula não for
rejeitada quando é falsa.
A verdade de H0
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa
Não rejeite H0 Decisão correta Erro tipo II
Rejeite H0 Erro tipo I Decisão correta
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Exemplo: identificando erros tipo I e II
• O limite USDA para contaminação por salmonela por
frango é de 20%. Um inspetor de carnes reporta que o
frango produzido por uma empresa excede o limite USDA.
Você realiza um teste de hipóteses para determinar se a
afirmação do inspetor de carne é verdadeira. Quando irá
ocorrer um erro tipo I ou tipo II? Qual é mais sério? (Fonte:
United States Department of Agriculture.)
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Deixe p representar a proporção de frangos contaminados.
Solução: identificando erros tipo I e II
H0:
Ha:
p ≤ 0,2
p > 0,2
Hipóteses:
(afirmação)
0.16 0.18 0.20 0.22 0.24
p
H0: p ≤ 0.20 H0: p > 0.20
O frango está
dentro dos limites
USDA.
O frango excede os
limites USDA.
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Um erro tipo I está rejeitando H0 quando ele for verdadeiro.
A proporção verdadeira de frangos contaminados é
menor ou igual a 0,2, mas você decide rejeitar H0.
Um erro tipo II está falhando em rejeitar H0 quando ele
for falso.
A proporção verdadeira de frangos contaminados é maior
que 0,2, mas você não rejeita H0.
H0:
Ha:
p ≤ 0,2
p > 0,2
Hipóteses:
(Afirmação)
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H0:
Ha:
p ≤ 0.2
p > 0.2
Hipóteses:
(Afirmação)
• Com um erro tipo I, você pode criar um pânico sobre
saúde e causar danos às vendas de produtores de
frangos que na verdade estão dentro dos limites da
USDA.
• Com um erro tipo II, você pode estar permitindo que
frangos que excedam o limite de contaminação sejam
vendidos ao consumidor.
• Um erro tipo II pode resultar em doenças ou mesmo em
mortes.
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Nível de significância
• Sua probabilidade máxima permissível para cometer um
erro tipo I.
Ele é denotado por , a letra grega minúscula alpha.
• Configurando-se o nível de significância em um valor
pequeno, você está dizendo que quer que a probabilidade
de rejeitar uma hipótese nula verdadeira seja pequena.
• Os três níveis de significância comumente usados são:
= 0,10 = 0,05 = 0,01
• P(tipo de erro II) = β (beta)
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Testes estatísticos
• Depois de afirmar as hipóteses nula e alternativa e especificar
o nível de significãncia, uma amostra aleatória é tomada da
população e testes estatísticos são calculados.
• A estatística que é comparada com o parãmetro na hipótese
nula é chamada de estatística do teste.
σ2
x
χ2 (Seção 7.5) s2
z (Seção 7.4) p t (Seção 7.3 n < 30)
z (Seção 7.2 n 30) μ
Estatística de teste
padronizada
Estatística
de teste
Parâmetro
populacional
p̂
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Valores P
Valor P (ou valor de probabilidade)
• A probabilidade, se a hipótese nula for verdadeira, de
obter uma estatística amostral com valores tão
extremos ou mais extremos do que aquela
determninada a partir dos dados da amostra.
• Depende da natureza do teste.
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Natureza do teste
• Três tipos de teste de hipóteses:
Teste unicaudal à esquerda.
Teste unicaudal à direita.
Teste bicaudal.
• O tipo de teste depende da região da distribuição da
amostra que favorece uma rejeição da H0.
• Essa região é indicada pela hipótese alternativa.
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Teste unicaudal à esquerda
• A hipótese alternativa Ha contém o símbolo menor que (<).
z
0 1 2 3 -3 -2 -1
Estatística do
teste
H0: μ k
Ha: μ < k P é a área à
esquerda da
estatística do
teste.
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• A hipótese alternativa Ha contém um símbolo de maior
que (>).
z 0 1 2 3 -3 -2 -1
Teste unicaudal à direita
H0: μ ≤ k
Ha: μ > k
Estatística do
teste
P é a área à
direita da
estatística do
teste.
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Teste bicaudal
• A hipótese alternativa Ha contém o símbolo de não
igualdade (≠). Cada cauda tem uma área de ½P.
z
0 1 2 3 -3 -2 -1
Teste estatístico Teste estatístico
H0: μ = k
Ha: μ k
P é duas vezes a área
à esquerda do valor
negativo da
estatística do teste.
P é duas vezes a área à
direita do valor positivo
da estatística do teste.
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Exemplo: identificando a natureza de um
teste
Para cada afirmação, estabeleça em palavras e símbolos
H0 e Ha. Então, determine se o teste de hipótese é
unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal. Descreva
uma distribuição de amostragem normal e sombreie a
área para o valor P.
• Uma universidade pública que a proporção de seus
estudantes que se graduaram em 4 anos é de 82%.
(continua)
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H0:
Ha:
p = 0,82 p ≠ 0,82
Teste bicaudal
z 0 -z z
½ área do
valor P
½ área do
valor P
Solução:
(continuação slide 25)
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Exemplo: identificando a natureza de um
teste
• Para cada afirmação, determine se o teste de hipótese é
unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal. Descreva
uma distribuição de amostragem normal e sombreie a
área para o valor P.
(continua)
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2. Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio de
fluxo de água de certo tipo de torneira é menor que 2,5
galões por minuto (gpm).
H0:
Ha:
Teste unicaudal
à esquerda
z 0 -z
Área do
valor P μ ≥ 2,5 gpm
μ < 2,5 gpm
Solução:
(continuação slide 27)
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Exemplo: estabelecendo as hipóteses
nula e alternativa
Para cada afirmação, determine se o teste de hipótese é
unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal. Descreva
uma distribuição de amostragem normal e sombreie a
área para o valor P.
(continua)
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3. Uma indústria de cereais anuncia que o peso médio
dos conteúdos de suas caixas de 20 onças de cereal é
mais do que 20 onças.
H0:
Ha:
Teste unicaudal à
direita
z 0 z
Área do
valor P μ ≤ 20 oz
μ > 20 oz
Solução:
(continuação slide 29)
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Tomando uma decisão
Regra de decisão baseada em um valor P
• Compare o valor P com .
Se P , então rejeite H0.
Se P > , então falhe em rejeitar H0.
Afirmação
Decisão Afirmação é H0 Afirmação é Ha
Rejeite H0
Falhe em
rejeitar H0
Há evidência suficiente para
rejeitar a afirmação.
Não há evidência suficiente
para rejeitar a afirmação.
Há evidência suficiente para
apoiar a afirmação.
Não há evidência suficiente
para apoiar a afirmação.
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Exemplo: interpretando uma decisão
Você realiza um teste de hipótese para cada uma das
afirmações. Como você deve interpretar sua decisão de
rejeitar H0 ? E se você falhar em rejeitar H0?
• H0 (Afirmação): Uma universidade alega que a
proporção de seus estudantes que se graduaram em 4
anos é de 82%.
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Solução: interpretando uma decisão
• A afirmação é representada por H0.
• Se você rejeitar H0, deve concluir: “há evidência o
bastante para indicar que a afirmação da universidade
é falsa.”
• Se você falhar em rejeitar H0, deve concluir que “há
evidência o bastante para indicar que a afirmação da
universidade (de um índice de 82% na gradução de 4
anos) é falsa.”
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Exemplo: interpretando uma decisão
Você realiza um teste de hipótese para cada uma das afirmações.
Como você deve interpretar sua decisão se rejeitar H0? E se você
falhar em rejeitar H0?
Ha (Afirmação): a Consumer Reports afirma que a média das
distâncias de frenagem (em superfície seca) para um Honda Civic
é menos que 136 pés.
• Solução:
• A afirmação é representada por Ha.
• H0 é “a média de distância de frenagem… é maior ou igual a
136 pés.”
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• Se você rejeitar H0, então você deve concluir que “há
evidência suficiente para apoiar a afirmação da
Consumer Report de que a distância de frenagem para
um Honda Civic é menos que 136 pés”.
• Se você falha em rejeitar H0, então você deve
concluir que “não há evidência suficiente para apoiar
a afirmação da Consumer Report de que a distância
de frenagem para um Honda Civic é menos que 136
pés”.
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Instruções para o teste de hipótese
1. Formule a afirmação matematicamente e verbalmente.
Identifique as hipóteses nula e alternativa.
H0: ? Ha: ?
2. Especifique o nível de siginificância.
α = ?
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z 0
3. Determine a distribuição
amostral e desenhe seu
gráfico.
4. Calcule o teste estatístico e
seu valor padronizado.
Adicione-o ao seu desenho.
z 0
Teste estatístico
Esta distribuição
amostral é baseada na
premissa de que H0 é
verdade.
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5. Encontre o valor P.
6. Use a seguinte regra de decisão.
7. Escreva uma sentença para interpretar a decisão no
contexto da afirmação original.
O valor P é menor ou
igual ao nível de
significância?
Falha ao rejeitar H0.
Sim
Rejeita H0.
Não
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Resumo da seção 7.1
• Estabelecemos uma hipótese nula e uma hipótese alternativa.
• Identificamos os erros tipo I e tipo II e interpretamos o nível
de significância.
• Determinamos o uso do teste estatístico uni ou bicaudal e
encontramos um valor P.
• Tomamos e interpretamos decisões baseadas em resultados de
um teste estatístico.
• Escrevemos uma afirmação para um teste de hipóteses.
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Seção 7.2
Testes de hipótese para a média
(amostras grandes)
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Objetivos da seção 7.2
• Encontrar valores P e usá-los para testar uma média μ
• Usar valores P para um teste-z
• Encontrar valores críticos e regiões de rejeição em
uma distribuição normal
• Usar as regiões de rejeição para um teste-z
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Usando valores P para tomada de
decisões
Regra de decisão baseada em um valor P
• Para usar um valor P para tomar uma decisão em um
teste de hipóteses, compare o valor P com .
1. Se P , então rejeite H0.
2. Se P > , então falhe em rejeitar H0.
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Exemplo: interpretando um valor P
O valor P para o teste de hipótese é P = 0,0237. Qual sua
decisão se o nível de significância é:
1.0,05?
2. 0,01?
Solução:
Porque 0,0237 < 0,05, você deve rejeitar a hipótese nula.
Solução:
Porque 0,0237 > 0,01, você deve falhar em rejeitar a hipótese nula.
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Encontrando o valor P
Depois de determinar a estatística do teste padronizada do
teste de hipótese e a área correspondente da estatística do
teste, realize um dos passos a seguir para encontrar o valor
P.
a. Para o teste unicaudal à esquerda, P = (área na cauda
esquerda).
b. Para o teste unicaudal à direita, P = (área na cauda
direita).
c. Para o teste bicaudal, P = (área na cauda da estatística
do teste).
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Exemplo: encontrando o valor P
Encontre o valor P para o teste de hipótese unicaudal à esquerda
com estatística de teste z = –2,23. Decida se rejeita H0 se o nível
de significância for α = 0,01.
z 0 -2,23
P = 0,0129
Solução:
Para um teste unicaudal à esquerda, P = (Área na cauda à esquerda)
Porque 0,0129 > 0,01, você deve falhar em rejeitar H0.
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z 0 2,14
Encontre o valor P para o teste bicaudal com estatística
do teste de z = 2,14. Decida se rejeita H0 se o nível de
significância for α = 0,05.
Solução:
Para um teste bicaudal, P = 2 (área na cauda da
estatística do teste).
Porque 0,0324 < 0,05, você deve rejeitar H0.
0,9838
1 – 0,9838
= 0,0162 P = 2(0,0162)
= 0,0324
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Teste z para uma média μ
• Pode ser usado quando a população é normal e ó é
conhecido, ou para qualquer população quando o
tamanho da amostra n for pelo menos 30.
• A estatística do teste é a média amostral
• A estatística do teste padronizado é z.
• Quando n 30, o desvio padrão da amostra s pode ser
substituído por .
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Usando valores P para um teste z para
média µ
1. Declare a afirmação matematicamente
e verbalmente. Identifique as hipóteses
nula e alternativa.
2. Especifique o nível de significância.
3. Determine o teste estatístico
padronizado.
4. Encontre a área que corresponda à z.
Declare H0 e Ha.
Identifique .
Use a tabela 4 no
apêndice B.
xz
n
Em palavras Em Símbolos
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Rejeite H0 se o valor
P é menor que ou
igual à . Do
contrário, falhe em
rejeitar H0.
5. Encontre o valor-P.
a. Para um teste unicaudal à esquerda, P = (Área
na cauda esquerda).
b. Para um teste unicaudal à direita, P = (Área na
cauda direita).
c. Para um teste bicaudal, P = 2(Área na cauda
do teste estatístico).
6. Faça a decisão de rejeitar ou falhar em
rejeitar a hipótese nula.
7. Interprete a decisão no contexto
da afirmação original.
Em palavras Em símbolos
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Exemplo: usando valores P para testes
de hipóteses
Em um anúncio, uma pizzaria afirma que a média de
seu tempo de entrega é menor que 30 minutos. Uma
seleção aleatória de 36 tempos de entrega tem média
amostral de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5
minutos. Há evidência suficiente para apoiar a
afirmação em α = 0,01? Use um valor P.
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Solução: usando valores P para testes de
hipóteses
• H0:
• Ha:
• =
• Teste estatístico:
μ ≥ 30 min
μ < 30 min
0,01
28.5 30
3.5 36
2.57
xz
n
• Decisão:
No nível de significância 1% você tem evidência
o suficiente para concluir que o tempo médio da
entrega é menos de 30 minutos.
z 0 -2,57
0,0051
• Valor-P
0,0051 < 0.01
Rejeite H0
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Exemplo: usando valores P
para testes de hipóteses
Você acha que a informação do
investimento médio de franquia mostrada
no gráfico é incorreta, então você seleciona
aleatoriamente 30 franquias e determina o
investimento necessário para cada. A média
amostral de investimento é $ 135.000 com
desvio padrão de $30.000. Há evidência
suficiente para apoiar sua afirmação em á
= 0,05. Use um valor P.
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0,1310 > 0,05
Falha em rejeitar H0
Solução: usando valores P para testes de
hipóteses
• H0:
• Ha:
• =
• Teste estatístico:
μ = $143.260
μ ≠ $143.260
0,05
135,000 143,260
30,000 30
1.51
xz
n
• Decisão:
No nível de siginificância 5%, não há evidência
suficiente para concluir que a média do
investimento em franquias é diferente de
$143.260.
• Valor P P = 2(0,0655)
= 0,1310
z 0 -1,51
0,0655
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Regiões de rejeição e valores críticos
Região de rejeição (ou região crítica)
• A amplitude de valores para a qual a hipótese nula
não é provável.
• Se uma estatística de teste está nessa região, a
hipótese nula é rejeitada.
• Um valor crítico z0 separa a região de rejeição da
região de não rejeição.
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Encontrando valores críticos em uma distribuição normal
1. Especifique o nível de significância .
2. Decida se o teste é unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal.
3. Encontre o(s) valor(es) crítico(s) z0. Se o teste de hipótese for:
a. caudal à esquerda, encontre o z-escore que corresponda à
área de ;
b. caudal à direita, encontre o z-escore que corresponda à área
de 1 –;
c. bicaudal, encontre o z-escore que corresponda a ½ e a 1 –
½.
4. Faça a distribuição normal padrão. Desenhe uma linha vertical
em cada valor crítico e preencha a(s) região(ões) de rejeição.
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Exemplo: encontrando valores críticos
Encontre o valor crítico e a região de rejeição de um teste bicaudal com = 0,05.
z 0 z0 z0
½α = 0,025 ½α = 0,025
1 – α = 0,95
As regiões de rejeição estão à esquerda de -z0 = -1,96 e à direita de z0 = 1,96.
z0 = 1.96 -z0 = -1.96
Solução:
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Regra da decisão baseada numa
região de rejeição
Para usar a região de rejeição para conduzir um teste de hipótese, calcule a
estatística do teste padronizado z. Se a estatística do teste padronizado:
1. estiver na região de rejeição, então rejeite H0.
2. não estiver na região de rejeição, então falhe em rejeitar H0.
z 0 z0
Falha em rejeitar Ho.
rejeição H0.
Teste unicaudal à
esquerda
z < z0 z
0 z0
RejeiçãoHo.
Falha em rejeitar Ho.
z > z0
Teste unicaudal à direita
z 0 z0
Teste bicaudal z0 z < -z0 z > z0
Rejeição H0
Falha em rejeitar H0
Rejeiçã H0
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Usando regiões de rejeição
para um teste z para uma média μ
1. Declare a afirmação matemática e
verbalmente. Identifique as hipóteses nula
e alternativa.
2. Especifique o nível de significância.
3. Faça a distribuição de amostragem.
4. Determine o(s) valor(es) crítico(s).
5. Determine a(s) região(ões) de rejeição.
Declare H0 e Ha.
Identifique .
Use a Tabela 4 no
apêndice B.
Em palavras Em símbolos
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6. Encontre o teste estatístico
padronizado.
7. Tome a decisão de rejeitar ou falhar
em rejeitar a hipótese nula.
8. Interprete a decisão no contexto da
afirmação original.
Se z está na região de
rejeição, rejeite H0. Se
não, falhe em rejeitar
H0.
Em palavras Em símbolos
or if 30
use
xz n
n
s
.
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Exemplo: testes com regiões de rejeição
Funcionários de uma grande firma de contabilidade afirmam que
a média dos salários dos contadores é menor que a de seu
concorrente, que é $ 45.000. Uma amostra aleatória de 30 dos
contadores da firma tem média de salário de $ 43.500 com desvio
padrão de $ 5.200. Com α = 0,05, teste a afirmação dos
funcionários.
.
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Solução: testes com regiões de rejeição
• H0:
• Ha:
• =
• Região de rejeição:
μ ≥ $45.000
μ < $45.000
0,05
43,500 45,000
5200 30
1.58
xz
n
• Decisão:
No nível de siginificância 5%, não há
evidência suficiente para confirmar a
afirmação dos funcionários de que a
média dos salários é menor que
$45.000.
• Teste estatístico:
Falha em rejeitar H0
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Exemplo: testes com regiões de rejeição
O departamento de agricultura dos Estados Unidos reporta que o
custo médio para se criar um filho até a idade de 2 anos na zona
rural é de $ 10.460. Você acredita que esse valor está incorreto,
então você seleciona uma amostra aleatória de 900 crianças (com
idade de 2 anos) e descobre que a média dos custos é $ 10.345
com desvio padrão de $ 1.540. Com α = 0,05, há evidência
suficiente para concluir que a média do custo é diferente de $
10.460? (Adaptado de U.S. Department of Agriculture Center for
Nutrition Policy and Promotion)
.
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Solução: testes com regiões de rejeição
• H0:
• Ha:
• =
• Região de rejeição:
μ = $10.460
μ ≠ $10.460
0,05
10,345 10,460
1540 900
2.24
xz
n
• Decisão:
Com nível de siginificância 5%, você
tem evidência suficiente para
concluir que o custo médio de criar
uma criança até os 2 anos numa área
rural é significativamente diferente
de $10.460.
• Teste estatístico:
z 0 -1.96
0,025
1.96
0,025
-1,96 1,96
-2,24
Rejeitar H0
.