Capítulo 4

Elasticidad

1

Ley de Hooke

Cuando estiramos o comprimimos un muelle, la fuerza recuperadora esdirectamente proporcional al cambio de longitudx respecto de la posi-ción de equilibrio:

F = −k xsiendok una constante de proporcionalidad, denominada constante elás-tica del muelle. El signo menos en la ecuación anterior se debe a que lafuerza recuperadora es opuesta a la deformación.

La energía potencial elástica correspondiente a la anterior fuerza es iguala:

Ep(x) = 12 k x

2

Módulo de Young

Cuando dos fuerzas iguales, pero de sentido contrario, comprimen a uncuerpo, se dice que éste está sometido a un esfuerzo decompresión. Silas fuerzas estiran el cuerpo, el esfuerzo es detracción.

Un esfuerzo cambia la longitud de una barra una distancia∆L dadapor:

∆L

L=

1

E

F

A

dondeL es la longitud de la barra yA su sección.E es el módulo deYoung, que nos da el grado de rigidez del material.

El cociente∆L/L ≡ ε se conoce comodeformación. La fuerza porunidad de área se denominaesfuerzoy se denota porσ ≡ F/A.

El límite elásticoes el esfuerzo máximo para el que la deformación esreversible. El regimen lineal es aquel en el que se verifica la ecuaciónanterior. Existe unesfuerzo de roturapara el que el sólido no resistetanta deformación y se rompe.

El módulo de YoungE posee unidades de N/m2.

Flexión

La flexión se produce cuando aplicamos dos momentos iguales, pero desentidos opuestos. Cada uno de esos momentos es un par de fuerzasiguales, pero opuestas, y su módulo, denominado momento flexor, es elmódulo de la fuerza por la distancia.

El momento flexor es igual a:

M =E

RI

en dondeR es el radio de curvatura que adquiere la barra eI elmomento de inercia respecto de la superficie neutra:

I =∫ xmax

0x2l(x) dx

La deformación a una distanciax del centro, para un radio de curvaturaR, esε = x/R.

El momento de inercia de una barra rectangular esab3/12, siendoa ellado apoyado yb el otro. El de un cilindro macizo valeπr4/4, y el de unohuecoπ(r4

1 − r42)/4, siendor1 el radio exterior yr2 el interior.

Una columna es capaz de aguantar su propio peso hasta una altura dadapor:

lmax = c r2/3

en donder es el radio de la sección yc una constante de proporcionalidadque depende del módulo de Young y de la densidad del material.

Coeficiente de Poisson

La deformación de cualquiera de las dos dimensiones laterales en un es-fuerzo de compresión o de tracción viene dada por:

εy = εz =α

Eσx

en dondeεy = ∆y/y, εz = ∆z/z y hemos utilizado el subíndicex en elesfuerzo para significar la dirección en la que se produce.

El parámetroα se denomina coeficiente de Poisson.

Deformaciones volumétricas

La presión ejerce una misma fuerza por unidad de área en todas las di-recciones y siempre perpendicular a la superficie.

El cambio de volumen debido a una presión viene dado por:

∆V

V=

1

Bp

B es el módulo volumétrico de compresión.

Encontramos que:

B =E

3(1− 2α)

B se mide en unidades de N/m2.

Deslizamiento

En un esfuerzo decizalladura las fuerzas se aplican en dirección tangen-cial a la caras sobre las que actúan. El sólido reacciona inclinándose y ladeformación correspondiente se denomina de deslizamiento.

La deformación viene dada por:

∆L

L=

1

G

F

A

La constanteG, conocida como módulo de cizalladura, depende úni-camente del tipo de material.

El módulo de cizalladura se puede obtener a partir del módulo de Youngy del coeficiente de Poisson:

G =E

2(1 + α)

Problema 4.1

Un muelle se estira 2 cm cuando se le cuelga una masade 4 kg. Después se le hace oscilar a dicha masa con unaamplitud de 3 cm. Determina:(a) la constante elástica del muelle,(b) la energía de la partícula oscilando,(c) la velocidad de la partícula cuando pasa por la posi-

ción de equilibrio.

Problema 4.2

La energía de una partícula unida a una superficie es iguala U0(r − r0)

2, siendo r la distancia de la partícula a la su-perficie y r0 la distancia de equilibrio. ¿Qué fuerza experi-menta la partícula en función de su distancia a la pared?

Problema 4.3

Una barra de cobre de 2 cm2 de sección y 1 m de longitudse somete a una fuerza de tracción de 100 N. ¿Cuánto seestira?

Problema 4.4

Un bloque cúbico de mármol se somete a una fuerza decompresión de 5000 N. Si se acorta 0.1 mm, ¿cuál es ladimensión de su arista?

Problema 4.5

Una fibra elástica de 0.1 mm de radio se estira un 3 % desu longitud cuando se le aplica una fuerza de tracción de10−3 N. Calcula su módulo de Young.

Problema 4.6

¿Qué energía es necesaria para estirar una barra de acerode 1 m de longitud y 1 cm de radio una distancia de 5 mm?

Problema 4.7

Una barra de un determinado material se acorta 1 cm bajola acción de una fuerza. ¿Cuánto disminuirá otra barra delmismo material, pero sección doble y longitud triple que laanterior, sometida a una fuerza mitad que la primera?

Problema 4.8

¿Cuál es la fuerza máxima de tracción que puede soportarun fémur humano de 10 cm2 de sección? ¿Depende éstade la longitud del hueso?

Problema 4.9

¿Que sección habrá de poseer un cable de acero parapoder levantar pesos de hasta 3000 kg?

Problema 4.10

Si el limite elástico y lineal de un hueso de 25 cm de lon-gitud es de 7 · 107 N/m2 y su módulo de Young es de 107

N/m2, ¿cuál es la distancia máxima que puede extirarse deforma reversible?

Problema 4.11

Tenemos una viga rectangular de 10 y 20 cm de lados y 6m de longitud, apoyada en sus dos extremos sobre su ladomás ancho. El módulo de Young del material que forma laviga es de 1010 N/m2. En el centro de la viga se coloca unapersona de 80 kg. Calcula:(a) el momento de inercia de la viga respecto de su su-

perficie neutra,(b) el momento flexor que ejerce la persona,(c) el radio de curvatura que adquiere la viga.

Problema 4.12

Un pájaro de 50 g produce un radio de curvatura de 2 men la rama en la que se apoya, en su extremo. Dicha ramaes de 20 cm de longitud y de 2 mm de radio. ¿Cuál es elmódulo de Young de la madera de la barra?

Problema 4.13

Una barra de 4 m de longitud posee un momento de inerciarespecto de su superficie neutra de 10−4 m4 y está sujetapor un extremo. En el otro extremo ejercemos una fuerzade 200 N, perpendicular a la barra, y conseguimos que semueva 10 cm. Determina:(a) el momento flexor aplicado,(b) el radio de curvatura adoptado por la barra,(c) el módulo de Young del material de la barra.

Problema 4.14

Tenemos dos cilindros del mismo material y con igual lon-gitud y masa, pero uno es macizo y el otro hueco. El radiointerno del cilindro hueco es igual al radio del macizo y vale0.05 m. £Cuál es la relación entre sus radios de curvaturacuando están sujetos al mismo momento flexor?

Problema 4.15

Las hojas de una palmera de 8 m de altura forman unaesfera de 1.6 m de radio. El tronco de la palmera es de25 cm de radio, su módulo de Young vale 7 · 109 N/m2 ysu esfuerzo máximo de rotura es de 7 · 107 N/m2. Determi-na:(a) radio de curvatura máximo que puede adquirir el tron-

co antes de romperse,(b) momento flexor máximo que puede resistir,(c) velocidad máxima del viento que puede aguantar, su-

poniendo que el viento choca con las hojas y rebotaelásticamente, con prácticamente la misma velocidadque llevaba.

Problema 4.16

Un sólido posee un módulo de Young de 7 · 1010 N/m2 y uncoeficiente de Poisson de 0.25. ¿Cuáles son su módulode cizalladura y su módulo volumétrico de compresión?

Problema 4.17

Un material posee un módulo de Young de 8 · 1010 N/m2

y un módulo volumétrico de compresión de 5 · 1010 N/m2.Tenemos un cubo de dicho material de 0.3 m de arista.Calcula:(a) el coeficiente de Poisson del material,(b) su módulo de cizalladura,(c) cuánto se achata cuando se le somete a una fuerza

de compresión de 105 N,(d) cúanto aumenta su sección en el supuesto anterior.

Problema 4.18

Sometemos un bloque cúbico de hierro de 10 cm de aristaa una presión de 600000 N/m2. ¿Cuanto disminuye suvolumen?

Problema 4.19

Un fluido disminuye un 1 % su volumen cuando lo some-temos a una presión de 108 N/m2. ¿Cuál es su módulovolumétrico de compresión?

4.1 Un muelle se estira 2 cm cuando se le cuelga una masa de 4 kg. Despuésse le hace oscilar a dicha masa con una amplitud de 3 cm. Determina:

(a) la constante elástica del muelle,

(b) la energía de la partícula oscilando,

(c) la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio.

(a) La ley de Hooke nos da la constante elástica del muelle:

k =F

x=

4 · 9.80.02

= 1960 N/m.

(b) La energía de un movimiento armónico simple es:

E = 12 kA

2 = 12 1960 · 0.032 = 0.882 J.

(c) Cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio toda su ener-gía es cinética, lo que nos permite determinar su velocidad:

E = 12 mv

2 =⇒ v =

√√√√2e

m=

√√√√2 · 0.0882

4= 0.66 m/s.

4.2 La energía de una partícula unida a una superficie es igual a U0(r − r0)2,siendo r la distancia de la partícula a la superficie y r0 la distancia de equilibrio.¿Qué fuerza experimenta la partícula en función de su distancia a la pared?

Una fuerza unidimensional es, en función de su energía potencial, iguala:

F = −dUdr

= −d(U0(r − r0)

2)

dr= −2U0(r − r0).

4.3 Una barra de cobre de 2 cm2 de sección y 1 m de longitud se somete a unafuerza de tracción de 100 N. ¿Cuánto se estira?

En el cuadro módulos de Young vemos que el del cobre es120·109 N/m2.Por tanto, la barra del problema se estira una longitud:

∆L =L

E

F

A=

1 · 100

120 · 109 · 2 · 10−4 = 4.2 · 10−6 m.

4.4 Un bloque cúbico de mármol se somete a una fuerza de compresión de5000 N. Si se acorta 0.1 mm, ¿cuál es la dimensión de su arista?

El módulo de Young del mármol es60 · 109 N/m2. Si llamamosl a lalongitud de la arista, tenemos:

∆l

l=

1

E

F

l2.

Despejando, llegamos a:

l =F

E∆l=

5000

60 · 109 · 0.0001= 0.0083 m.

4.5 Una fibra elástica de 0.1 mm de radio se estira un 3 % de su longitudcuando se le aplica una fuerza de tracción de 10−3 N. Calcula su módulo deYoung.

El módulo de Young de la fibra será:

E =LF

∆LA=

L · 10−3

0.03Lπ10−8 = 1.06 · 106 N/m2.

4.6 ¿Qué energía es necesaria para estirar una barra de acero de 1 m delongitud y 1 cm de radio una distancia de 5 mm?

La energía potencial elástica es:

Ep = 12 kx

2 = 12EA

L(∆L)2 =

200 · 109π10−4(5 · 10−3

)2

2 · 1= 785 J.

Hemos tenido en cuenta que la constantek es igual a la fuerza divididapor el desplazamiento.

4.7 Una barra de un determinado material se acorta 1 cm bajo la acción de unafuerza. ¿Cuánto disminuirá otra barra del mismo material, pero sección dobley longitud triple que la anterior, sometida a una fuerza mitad que la primera?

Llamemos sin primas a las variables relativas al primer caso y con primasa las relativas al segundo. La disminución en el segundo caso es:

∆L′ =L′F ′

E ′A′=

3LF/2

E 2A=

3LF

4EA=

3

40.01 = 0.0075 m.

Hemos tenido en cuenta que el módulo de Young es el mismo, pues sólodepende del tipo de material.

4.8 ¿Cuál es la fuerza máxima de tracción que puede soportar un fémur hu-mano de 10 cm2 de sección? ¿Depende ésta de la longitud del hueso?

El esfuerzo de rotura por tracción del fémur humano es17 ·107 N/m2. Lafuerza de tracción máxima en nuestro caso es:

σm =Fm

A=⇒ Fm = 0.001 · 17 · 107 = 1.7 · 105 N.

Este valor no depende de la longitud del hueso.

4.9 ¿Que sección habrá de poseer un cable de acero para poder levantar pe-sos de hasta 3000 kg?

El esfuerzo máximo de tracción del acero es de50 ·107 N/m2 y, por tanto,necesitamos una sección igual a

A =Fm

Am=

3000 · 9.850 · 107 = 5.88 · 10−5 m2.

4.10 Si el límite elástico y lineal de un hueso de 25 cm de longitud es de 7 · 107

N/m2 y su módulo de Young es de 107 N/m2, ¿cuál es la distancia máxima quepuede extirarse de forma reversible?

La distancia máxima que se puede estirar nuestro hueso viene dada por:

∆L

L=

1

Eσe.

PasandoL al otro término, obtenemos:

∆L =lσe

E=

0.25 · 7 · 107

1010 = 1.75 · 10−3 m.

4.11 Tenemos una viga rectangular de 10 y 20 cm de lados y 6 m de longitud,apoyada en sus dos extremos sobre su lado más ancho. El módulo de Youngdel material que forma la viga es de 1010 N/m2. En el centro de la viga se colocauna persona de 80 kg. Calcula:

(a) el momento de inercia de la viga respecto de su superficie neutra,

(b) el momento flexor que ejerce la persona,

(c) el radio de curvatura que adquiere la viga.

(a) El momento de inercia de una viga rectangular vale:

I =ab3

12=

0.2 · 0.13

12= 1.67 · 10−5 m4

siendoa el lado sobre el que apoya, que en el caso del problema esel más ancho.

(b) El peso de la persona lo podemos suponer descompuesto en dosmitades. Una de ellas produce un momento de fuerza con la fuerzaque ejerce uno de los apoyos en un extremo de la barra. La otra mi-tad produce con la del apoyo del otro extremo un momento opuestoal anterior. Así, el momento flexor que ejerce la persona es la mitadde su peso por la mitad de la longitud de la barra:

M =P

2

l

2=

80 · 9.82

6

2= 1176 N m.

(c) El radio de curvatura que adquiere la barra viene dado por:

M =E

RI =⇒ R =

EI

M=

10101.67 · 10−5

1176= 142 m.

4.12 Un pájaro de 50 g produce un radio de curvatura de 2 m en la rama en laque se apoya, en su extremo. Dicha rama es de 20 cm de longitud y de 2 mmde radio. ¿Cuál es el módulo de Young de la madera de la barra?

El momento flexor del pájaro es su peso por la longitud de la rama:

M = Pl = mgl = 0.05 · 9.8 · 0.2 = 0.098 N m.

El módulo de Young será:

E =M

RI=

4M

Rπr4 =4 · 0.098

2π0.0024 = 3.9 · 109 N/m2.

4.13 Una barra de 4 m de longitud posee un momento de inercia respecto desu superficie neutra de 10−4 m4 y está sujeta por un extremo. En el otro extremoejercemos una fuerza de 200 N, perpendicular a la barra, y conseguimos quese mueva 10 cm. Determina:

(a) el momento flexor aplicado,

(b) el radio de curvatura adoptado por la barra,

(c) el módulo de Young del material de la barra.

(a) El momento flexor aplicado será la fuerzapor la longitud:

M = Fl = 200 · 4 = 800 N m.

(b) El desplazamiento está relacionado con elradio de curvatura:

R−R cos θ = x y Rθ = l.

Suponemos que el ánguloθ es pequeño deforma quecos θ ≈ 1− 1

2 θ2. Por tanto:

R−R+12l2

R= x =⇒ R =

l2

2x=

42

2 · 0.1= 80 m.

(c) El módulo de Young es:

E =M

RI=

800

80 · 10−4 = 105 N/m2.

4.14 Tenemos dos cilindros del mismo material y con igual longitud y masa,pero uno es macizo y el otro hueco. El radio interno del cilindro hueco es igualal radio del macizo y vale 0.05 m. ¿Cuál es la relación entre sus radios decurvatura cuando están sujetos al mismo momento flexor?

El momento de inercia de un cilindro hueco valeπ(r41− r4

2)/4. Por tanto,la relación entre los radios de curvatura de los cilindros del problema es:

Rh

Rm=Mm

Mh=

πr42/4

π(r41 − r4

2)/4=

r42

r41 − r4

2.

Hemos de determinarr1 a partir del dato de que ambos cilindros poseenla misma longitud y la misma masa; las áreas de sus bases habrán de seriguales:

πr22 = π(r2

1 − r22) =⇒ r2

1 = 2r22.

Sustituyendo en la primera ecuación tenemos:

Rh

Rm=

r42

r41 − r4

2=

1

3.

4.15 Las hojas de una palmera de 8 m de altura forman una esfera de 1.6 m deradio. El tronco de la palmera es de 25 cm de radio, su módulo de Young vale7 · 109 N/m2 y su esfuerzo máximo de rotura es de 7 · 107 N/m2. Determina:

(a) radio de curvatura máximo que puede adquirir el tronco antes de romper-se,

(b) momento flexor máximo que puede resistir,

(c) velocidad máxima del viento que puede aguantar, suponiendo que el vien-to choca con las hojas y rebota elásticamente, con prácticamente la mismavelocidad que llevaba.

(a) La deformación en la parte más externa (o interna) de la palmera essu radio dividido por el radio de curvatura:ε = r/R. El radio decurvatura máximo viene dado por:

r

R=σm

E=⇒ R =

Er

σm=

7 · 109 0.25

7 · 107 = 25 m.

(b) El momento flexor máximo que resiste la palmera es:

Mm =E

RI =

E

Rπr4

4=

7 · 109π0.254

25 · 4= 8.6 · 105 N m.

(c) Este momento flexor será igual a la altura de la palmera por la fuer-za que el viento ejerce sobre las hojas. Dicha fuerza es igual a lamasa de aire que incide sobre las hojas por unidad de tiempo multi-plicada por el cambio de velocidad, igual al doble de la velocidad:

M = lF = l∆p

∆t= l

m∆v

∆t= l

ρSx 2v

∆t= 2lρSv2

= 2 · 8 · 1.3π1.62v2 = 8.6 · 105.

De aquí despejamosv:

v =

√√√√8.6 · 105

167= 72 m/s.

4.16 Un sólido posee un módulo de Young de 7 · 1010 N/m2 y un coeficiente dePoisson de 0.25. ¿Cuáles son su módulo de cizalladura y su módulo volumétri-co de compresión?

El módulo volumétrico de compresión es:

B =E

3(1− 2α)=

7 · 1010

3(1− 2 · 0.25)= 4.67 · 1010 N/m2.

El módulo de cizalladura vale:

G =E

3(1 + α)=

7 · 1010

3(1 + 0.25)= 2.8 · 1010 N/m2.

4.17 Un material posee un módulo de Young de 8 · 1010 N/m2 y un módulovolumétrico de compresión de 5 ·1010 N/m2. Tenemos un cubo de dicho materialde 0.3 m de arista. Calcula:

(a) el coeficiente de Poisson del material,

(b) su módulo de cizalladura,

(c) cuánto se achata cuando se le somete a una fuerza de compresión de 105

N,

(d) cúanto aumenta su sección en el supuesto anterior.

(a) Despejamos el coeficiente de Poisson de la fórmula del módulo vo-lumétrico de compresión:

α = 12

(1− E

3B

)= 1

2

1− 8 · 1010

3 · 5 · 1010

= 0.23.

(b) El módulo de cizalladura es igual a:

G =E

3(1 + α)=

8 · 1010

3(1 + 0.23)= 3.25 · 1010 N/m2.

(c) El achatamiento ante la compresión depende del módulo de Young:

∆l =lF

EA=

0.3 · 105

8 · 1010 0.32 = 4.2 · 10−6 m.

(d) Cada una de las dimensiones laterales aumenta una cantidadα∆l.Por tanto, el aumento de sección es:

∆A = (l + α∆l)2 − l2 ≈ 2αl∆l

= 2 · 0.23 · 0.3 · 4.2 · 10−6 = 5.8 · 10−7 m2.

4.18 Sometemos un bloque cúbico de hierro de 10 cm de arista a una presiónde 600000 N/m2. ¿Cuanto disminuye su volumen?

Como el módulo volumétrico de compresión del hierro es80 · 109 N/m2,el cambio de volumen es:

∆V =V

Bp =

0.13 600000

80 · 109 = 7.5 · 10−9 m3.

4.19 Un fluido disminuye un 1 % su volumen cuando lo sometemos a una pre-sión de 108 N/m2. ¿Cuál es su módulo volumétrico de compresión?

El módulo volumétrico de compresión del fluido en cuestión viene dadopor:

B =V

∆Vp =

108

0.01= 1010 N/m2.