capítulo 2 calculo
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2
Sistema de coordenadas cartesiano Ecuaciones de la recta Funciones y sus gráficas El Álgebra de funciones
Funciones y sus gráficas
2.1Sistema de coordenadas cartesiano
El sistema de coordenadas cartesiano
– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
x
y
El sistema de coordenadas cartesiano
– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
x
y
Origen
El sistema de coordenadas cartesiano
– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
x
y
Dirección PositivaDirección Negativa
El sistema de coordenadas cartesiano
– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
x
y
Dir
ecci
ón P
ositi
vaD
irec
ción
Neg
ativ
a
El sistema de coordenadas cartesiano
– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4
4
3
2
1
– 1
– 2
– 3
– 4
x
y
1° cuadrante(+, +)
2° cuadrante(–, +)
4° cuadrante(+, –)
3° cuadrante(–, –)
Ejemplo
Sección 2.1
# 10
# 18
2.2Ecuaciones de la recta
Pendiente de una recta no vertical
Si (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos distintos en una recta no vertical L, entonces la pendiente m de L está dada por
(x1, y1)
(x2, y2)
y
x
2 1
2 1
y y ym
x x x
L
y2 – y1 = y
x2 – x1 = x
Ecuaciones de la recta
Sea L una recta no vertical con pendiente m. Sea (x1, y1) un punto fijo en L y (x, y) un punto variable en
L distinto de (x1, y1). Usando la fórmula pendiente, obtenemos
Multiplicando ambos lados por x – x1, tenemos
1
1
y ym
x x
1 1( )y y m x x
Forma punto – pendiente
1 1( )y y m x x
Una ecuación de la recta con pendiente m y que pasa a través del punto (x1, y1) está dado por
Ejemplo
Sección 2.2# 18
Rectas paralelas
Dos rectas distintas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales o sus pendientes no están definidas.
Rectas perpendiculares
Si L1 y L2 son rectas distintas no verticales con pendientes m1 y m2, respectivamente, entonces L1 es
perpendicular a L2 (escrita L1 ┴ L2) si y sólo si
12
1m
m
Ejemplo
Sección 2.2# 33
Forma pendiente – ordenada al origen
La ecuación de la recta con pendiente m e intercepto con el eje – y (ordenada al origen) en el punto (0, b) está dado por
y = mx + b
Ejemplo
Sección 2.2
# 46
Forma general de la ecuación de la recta
La ecuación
Ax + By + C = 0
donde A, B y C son constantes, y A y B no son cero, se llama forma general de la ecuación de la recta en las variables x y y.
2.3Funciones y sus gráficas
Funciones Una función f es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto
A sólo un elemento de un conjunto B.
El conjunto A se llama dominio de la función. Si x es un elemento en el dominio de la función f, entonces el elemento
en B que f asocia con x se excribe f(x) (f de x) y se llama el valor de f en x.
El conjunto B que comprende todos los valores asumidos por y = f(x) cuando x toma todos los posibles valores en su dominio se llama rango de la función f.
Ejemplo
Sección 2.3
# 14
Determinando el dominio de la función
Sea la función y = f(x). La variable x se llama variable independiente. La variable y, cuyo valor depende de x, se llama variable
dependiente. Para determinar el dominio de la función, necesitamos
encontrar qué restricciones, si los hay, se tienen que imponer a la variable independiente x.
En muchas aplicaciones prácticas, el dominio de la función es determinada por la naturaleza del problema.
Ejemplo
Sección 2.3
# 31
Gráfica de una función de una variable
Si f es una función con dominio A, entonces a cada número real x en A hay precisamente un número real f(x).
Por tanto, una función f con dominio A puede ser definido como el conjunto de todos los pares ordenados (x, f(x)) donde x A.
La gráfica de una función f es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano – xy tal que x está en el dominio de f y y = f(x).
2.4Álgebra de funciones
( )
( )
f f xx
g g x
Suma, diferencia, producto y cociente de funciones
Sea f y g funciones con dominios A y B, respectivamente. La suma f + g, la diferencia f – g, el producto f.g son
funciones con dominio A ∩ B y las reglas dadas por
(f + g)(x) = f(x) + g(x) Suma(f – g)(x) = f(x) – g(x) Diferencia
(fg)(x) = f(x)g(x) Producto
El cociente f/g de f y g tiene dominio A ∩ B excepto todos los números x tal que g(x) = 0 y la regla dada por
Cociente
La composición de dos funciones
Sea f y g funciones. La composición de g y f es la función ggf definida por
(ggf )(x) = g(f(x))
El dominio de ggf es el conjunto de todos las x en el dominio de f de modo que f(x) quede en el dominio de g.
Ejemplo
Sección 2.4
# 33
# 42