2.- calculo proposicional
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CÁLCULOPROPOSICIONAL
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VARIABLE PROPOSICIONAL
Es aquella que puede representar a una proposición simple o compuesta pero su valor de verdad es desconocido, mientras no se especifiquen los valores de verdad de las proposiciones involucradas.
Las variables proposicional se las representa con las ultimas letras minúsculas del alfabeto español, ejemplo: p, q, r, etc.
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FORMA PROPOSICIONAL
Son estructuras constituidas por variables proposicionales y relacionadas con los operadores lógicos.
Se las representa con las letras mayúsculas del alfabeto español A,B, C….D.
Ejemplo:
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FORMA PROPOSICIONAL
Observaciones Las formas proposicionales no tienen valor de verdad conocido y, por lo tanto, no serán consideradas proposiciones.
Si cada variable proposicional es reemplazada por una proposición simple o compuesta, la forma proposicional se convierte en una proposición.
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FORMA PROPOSICIONAL
EjemploDada la siguiente forma proposicional.
Construya la Tabla de verdad de una forma proposicional.
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FORMA PROPOSICIONALDebido a la presencia de las 3 variables proposicionales p, q y r, existirán 23 proposiciones posibles en la tabla de verdad de A.
Cuando las variables proposicionales p, q y r toman los valores de verdad 1, 0 y 1, respectivamente, se puede apreciar que la proposición resultante es verdadera.
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qpqp )( p
q
V V F V V F F V F F V F V V F V V F F V F F F V F F F V
Ejemplo: Construir la tabla de vedad para las siguientes formas proporcionales
Solución:
qpqpB (:
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qrprqpC )()(:
qrprqp )()( p q r
V V V F F V V V V V
V V F F F V V V V V V F V F F V V V F F V F F F F F V V F F
F V V V V V V V V V
F V F V V V F F F V
F F V V V V F V F F
F F F V F F V F F F
Solución:
Ejemplo: Construir la tabla de vedad para las siguientes formas proporcionales
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TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS:
Dada la estructura lógica de una forma proposicional: Es Tautología, si los valores de su tabla de verdad
todos son verdaderos
Es Contradicción, si los valores de su tabla de verdad, todos son falsos.
Es Contingencia, si los valores de su tabla de verdad hay valores verdaderos y falsos
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Ejercicio: Determinar si la siguiente forma proposicional es tautológico, consistente o contradictorio.
p p)]~ q(~ q) (p [~ p
q
V V F V V F F F V V V F F V V V F F V V F V F V V F F V V F F F V F V V V V V F
pp)]~q(~q)(p[~
Cálculo Proposicional Determina el valor de verdad de las siguientes
expresiones, si se sabes que:
(V) p: María es doctora. (F) q: María es casada. (V) r: María vive con sus padres. (F) s: María viajará a España.
(q r) s (p r) (p q) (F F) F (V V) (V F) V F V F F V
EJERCICIOS1. Si se sabe únicamente que P es verdadero,
¿Qué puede afirmarse del valor de verdad de cada una las proposiciones siguientes?
P Λ Q R → P S → ~ P R Ѵ P P → Q R → (S → P) R Λ P P → P Ѵ S P Ѵ S → (Q Λ ~
P) S Ѵ ~ P ~ P → Q Λ R Q Λ ~ P → R Λ Q2.- Determinar cuáles de las siguientes
proposiciones son tautologías: P Λ Q → P Λ R (P → Q ) → ( ~ Q →P ) P → P Λ Q (P ↔ Q) Λ (P Λ ~ Q) P Λ ~ (Q Ѵ P) P Λ ~ ((P Ѵ Q) Ѵ R) (P → (Q Ѵ ~ P)) → ~ Q P Ѵ (~ P Ѵ R)
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IMPLICACIÓN LÓGICASean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B, denotado por AB , si y sólo si AB es una tautología.
Las formas proposicionales pueden ser conectadas con operadores lógicos para formar nuevas formas proposicionales. Dadas A y B, los símbolos:
RECORDEMOS:
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EJEMPLO DE IMPLICACIÓN LÓGICADada las siguientes formas proposicionales, demostrar que A implica a B
A: p q B: p q
Solución: Unimos con la condicional (p q) (p q) y construimos la tabla:
El resultado es tautología, se ha demostrado que A implica a B.
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EQUIVALENCIA LÓGICASe dice que dos proposiciones son equivalentes, si tienen iguales valores de verdad.Se lo representa por “ ” pero no es un operador lógico.
,:: qpBqpA
Solución: se construye la tabla de verdad y luego se verifica los resultados
qp p q ~p ∨ q
V V V V V F F F F V V V F F V VResp: si son equivalentes
Ejjercicio: Demostrar que las siguientes formas proposicionales son equivalentes
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Principales leyes lógicas o Tautologías:
qqpbpqpa
ciónSimplificadeLeyqqppPonensModusDelLey
ppexcluidoTerciodelLey
ppióncontradiccdeLeyppypp
identidaddetieneseestasEntre
))
:.5)(
:.4
:.3)(~
:.2
:.1:
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Principales Leyes Lógicas
pqpqpb
pqqpaAbsurdodelLey
qqqpDisyuntivoismoSidelLey
rprqqphipotèticoismoSidelLey
qqqpTollensModusdeLey
)()())()
:.9)(
:log.8)()()(
log.7)(
:..6
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Equivalencias Notables
)()())()())()()
:.4)))
:.3))
:.2)(
:)(:.1
rqprqpcrqprqpbrqprqpa
AsociativaLeypqqpc
pqqpbpqqpaaConmutativLey
pppbpppa
iaIdempotencdeLeypp
negaciónDobleinvolucióndeLey
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Equivalencias notables:
FppcppbVqpa
oComplementdeLeyesqpqpbqpqpa
MorganDdeLeyrpqprqpdrpqprqpc
rpqprqpbrpqprqpa
vasDistributiLeyes
))()
):.7
)())()
:´.6)()()())()()()
)()()())()()()
:.5
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Principales leyes lógicas
qpqppdqpqppcpqppbpqppa
AbsorsióndeLeyFFpdpFpcpVpbVVpa
IdentidaddeLeyesqpqpqpbpqqpqpa
nalBicondiciodelLeypqqpcqpqpb
qpqpaonaldelCondiciLeyes
)())())())()
:.11))))
:.10)()()())()()()
:.9)()
)())
:.8
21
Principales leyes lógicas
iónContradiccCíaTautoTCCpdpCpcTTpbpTpa
NeutrosElementosrppppprppppb
rqprqpanExportaciódeLeypqqpbpqqpa
iónTransposicdeLey
nnn
;log))
)):.14
)()....()....())()()
:.13)()())()():.12
321321
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CUANTIFICADORES
Función Proposicional:Es todo enunciado abierto, que tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido la variable “x” por una constante específica. Se les denota asi:P(x) ; q(x) ; etc.Ejemplo: Sea : p(x): x+5=12 ; donde si reemplazamos x por 3 , la expresión es falsa; si reemplazamos x por 7, la expresión es verdadera. Esto escribimos asi:P(3): 3+5=12 es falsaP(7): 7+5=12 es verdadera.
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TIPOS DE CUANTIFICADORES
1.- Cuantificador Universal:Es toda función proposicional presedida por el Prefijo “Para Todo”, que está denotado por: Así por ejemplo:Se lee: “Para todo x perteneciente a los reales, x2es mayor o igual a cero”2.- Cuantificador Existencial Es toda función proposicional presedida por el prefijo “Existe algún x”, que está denotado por :
0: 2 xRx
082::
"lg"::2
xRxEjemplo
xúnaExisteleesex
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Negación de los Cuantificadores:
Dada una función proposicional , tal como : P(x), entonces si esta función proposicional está cuantificada y se niega,entonces, se cumple la siguiente igualdad:
)(:)(: xpAxxpAx Dada una función proposicional, tal como : P(x), entonces, si esta función proposicional está cuantificada en forma existencial y se niega, entonces, se cumple la igualdad:
)(:)(: xpAxxpAx
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Circuitos lógicos
Llamados también redes lógicas. Son como su nombre indica, redes que representan posiciones lógicas. Estas redes se presentan como redes en serie o como redes en paralelo
:qpCONJUNCIÓNlaconseasociaserieenConexiónUna
/p /q
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.:qp
DISYUNCIÓNlaconasociaseparaleloenConexiónUna
P/
q/
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Circuitos lógicos
Describir simbólicamente el circuito
pr
~q
q ~r
1. r y ~q están conectados en paralelo : r v ~q2. P y (r y ~q) están conectados en serie: q)~(rp 3. q y ~r están conectados en serie: r~ q
q)~(rp y r~ q Están conectados en paralelo,Luego se simboliza: r)~(qq)~(rp
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Circuitos lógicos
Determinar el circuito equivalente al circuito:~p
Solución
El circuito se simboliza por:
p~qp~pqp~
~pq
p
q
~p
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Circuitos lógicos
Solución p~qp~pqp~
Simplificamos utilizando las leyes lógicas y las equivalencias notables. qp~p~qpp~ Asociativa
qp~qT Ley del tercio excluido , Idempotencia. qp~T
qp~ Elemento neutro para la conjunción
El circuito equivalente es: ~p
q