capítulo 1. introducción -...

Estudio de la morfología del cuerpo verterbral en una L4 humana

con modelos de remodelación ósea interna y externa.

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Capítulo 1. Introducción

La sociedad evoluciona y la ciencia evoluciona con ella, adaptándose a los nuevos

desafíos que sus contemporáneos le marcan. El hombre de hoy en día no se limita a ver

las matemáticas como números y la historia como letras, sino que buscamos, cada vez

más, la interdisciplinaridad en todo lo que hacemos. La medicina y la ingeniería han

sido siempre ramas de la ciencia con métodos y fines muy alejados entre sí, que ahora

se encuentran con el objetivo común de proporcionarnos un bienestar razonable los años

de vida que la medicina nos ha “regalado” con sus avances.

Así nace el término Bioingeniería y que el "Committes of the Engineer's Joint

Council" de los Estados Unidos propone definir así:

“La Bioingeniería es la aplicación de los conocimientos recabados de una fértil cruza

entre la ciencia ingenieril y la médica, tal que a través de ambas pueden ser

plenamente utilizados para el beneficio del hombre"

El profesor e investigador de la Universidad de Zaragoza, D. Manuel Doblaré [20],

pronunció en su discurso de toma de posesión de su plaza como académico de la Real

Academia de Ingeniería (RAI) en 2005, unas palabras sobre esta “nueva ciencia” que

hablan por sí solas de la belleza de este campo, en el que aún queda mucho por

descubrir.

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Sevilla.

Proyecto Fin de Carrera. Abril 2009.

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“Durante este tiempo he tenido la oportunidad de observar la belleza y complejidad

del comportamiento de los tejidos biológicos, también de constatar que prácticamente

todo lo que previamente había estudiado tenía aplicación en este nuevo ámbito y, sobre

todo, el reto que supone aprender una nueva terminología, sumergirse en nuevos

conceptos, trasladar muchas de las bases científicas del modelado de sólidos a estos

otros problemas y, finalmente, lo enriquecedor del intercambio de ideas y enfoques con

colegas de muy distintas extracciones.”

Este trabajo se centra en las vértebras humanas y para comprender la importancia

que tienen estas pequeñas piezas en el funcionamiento correcto del cuerpo humano,

sigue una breve exposición evolutiva del hombre.

El hombre es un animal “vertical” desde hace un millón de años, ya que nuestros

antepasados neandertalenses y presapienses, poseían ya este modo de estación (Figura

1.1).

La posición erecta constituye un logro de la humanidad a lo largo de millones de

años de evolución, para entender esta posición erecta humana debemos conocer su

estructura clave, que es la columna vertebral. Aunque debemos tener en cuenta que el

ser humano está más adaptado a la locomoción erecta que a la estación erecta.

Fig 1.1. Evolución del hombre



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En posición bípeda, la principal modificación que se produce en el raquis humano es

la aparición de la curvatura lumbar, hecho éste filogenéticamente muy moderno, por

cuanto que los cuadrúpedos y nuestros antecesores en la escala animal no poseen dicha

curvatura. Esta lordosis lumbar existente provoca el desplazamiento de las fuerzas de

compresión entre las vértebras hacia atrás, entre la parte posterior de los platillos

vertebrales, las carillas articulares y las apófisis espinosas, resultando por ello, que el

espacio intervertebral quede sometido a fuertes presiones por cuyo motivo las vértebras

lumbares en los seres humanos, pasa de una función de movimiento a una función de

“sostén”.

La columna vertebral corresponde al eje del cuerpo, y debe conciliar dos

imperativos mecánicos aparentemente contradictorios: la rigidez y la flexibilidad. Para

lograr esto, se conforma en múltiples piezas (vértebras) superpuestas, unidas unas a

otras por complejos sistemas ligamentarios y musculares.

Hoy en día, una de las enfermedades más comunes en España son las relacionadas

con la columna vertebral y a lo largo de la vida llegan a afectar al 80 % de la población.

La patología ósea más frecuente es la osteoporosis (Fig 1.2), caracterizada por

disminución de la masa ósea y de su resistencia mecánica que ocasiona susceptibilidad

para las fracturas, y afecta, según la Fundación Internacional de la Osteoporosis (IOF),

al 35 % de las mujeres españolas mayores de 50 años, porcentaje que se eleva a un 52 %

en el caso de las mayores de 70 años. Analizar la morfología y propiedades de la

columna vertebral, puede aportar luz a un tema que actualmente afecta tanto a nivel

mundial.

Fig 1.2. a) vétrebra lumbar de un individuo joven. b) vértebra lumbar con osteoporosis.



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Form follows function (la forma sigue a la función) es un principio arquitectónico

del siglo veinte que defiende que la forma de un edificio u objeto tiene que estar basado

principalmente en la función que va a desempeñar. El origen de la frase se remonta al

escultor americano Horacio Greenough, pero fue el arquitecto americano Louis Sullivan

quien la adoptó e hizo famosa. Realmente Sullivan decía “form ever follows function'”,

pero se suele recordar la frase más sencilla y menos enfática. Este credo, se ha

desarrollado tanto en la arquitectura como en otros campos de aplicación, como pueden

ser el diseño de productos prácticos y funcionales o la industria automovilística, que

diseña vehículos aerodinámicos para que cumplan mejor su función. En este sentido la

anatomía humana en su conjunto y las partes de las que se componen, en particular, se

estructuran acorde con la función asociada a su uso. Estos cambios no son evolutivos,

es decir, no podemos considerarlos debidos a cambios genéticos a través de

generaciones, sino son debidos a una adaptación que puede ocurrir en días. En este

trabajo no nos adentraremos en el estudio filogénico del ser humano, sino en cómo las

actividades desempeñadas diariamente afectan al desarrollo ontogénico.

1.1. Biomecánica: Antecedentes históricos

Dentro del gran abanico de aplicaciones que componen la Ingeniería Biomédica, se

conoce como Biomecánica la disciplina que trata del análisis y predicción de la

mecánica de los seres vivos. Ayuda, por tanto, a entender el funcionamiento motor de

los organismos, a caracterizar el comportamiento de tejidos y órganos vivos desde el

punto de vista estructural, a predecir los cambios microestructurales que sufren éstos

por distintas alteraciones y a proponer métodos de intervención artificial.

Este fuerte impulso de los últimos años es compatible con el interés que el

movimiento y comportamiento resistente de los seres vivos ha suscitado prácticamente

de siempre.

Los textos más antiguos que contienen conceptos de Biomecánica son

probablemente el clásico griego “De las partes de los animales” de Aristóteles (384-322

a.C.) (Fig 1.3) y el libro Chino “Nei Jing” (o Internal Classic) que se transmitió junto a

las enseñanzas de Confucio. Aristóteles, por ejemplo, presentó una descripción de la

anatomía y de la función de los órganos internos. Su análisis del movimiento de la

uretra para transportar la orina desde el riñón hasta la vejiga es realmente encomiable.

Sin embargo, cometió el error de considerar el corazón como un órgano respiratorio,



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probablemente debido a que nunca llegó a ver sangre en su interior ya que realizaba las

autopsias en cuerpos fallecidos en guerras varios días tras la muerte. Aristóteles también

escribió el libro “Del movimiento de los animales”, donde aparecen secciones de

animales y del ser humano describiendo el proceso de andar. “Nei Jing” trata de la

circulación en el hombre y establece que las venas son el lugar donde se retiene la

sangre, proviniendo toda ella del corazón y circulando siempre sin parar.

Fig 1.3. Aristóteles (384-322 a.C.)

Otros científicos más modernos han contribuido también a aspectos particulares

relacionados con la Biomecánica. Leonardo da Vinci (1452-1519) se puede considerar

como el primer científico biomecánico. Sus observaciones del movimiento humano

cumplían sorprendentemente la tercera ley de Newton. Además, trató temas como el

grado de locomoción, el efecto de correr en contra del viento, la proyección del centro

de gravedad sobre la base de apoyo, el proceso de caminar y otros. Observamos en la

figura 1.4 algunos bocetos anatómicos dibujados por Leonardo da Vinci.

Figura 1.4. Bocetos anatómicos de Leonardo da Vinci.



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Galileo Galilei (1564-1642), quién estudió Medicina antes de llegar a ser un famoso

físico, descubrió la constancia del periodo del péndulo y lo utilizó para medir el pulso

sanguíneo. Inventó el termoscopio y fue también el primero en diseñar un microscopio

en el sentido moderno en 1609. Fue también Galileo quién estableció que “Las leyes de

la Naturaleza están escritas en el lenguaje de las Matemáticas”, planteando las bases

de la Mecánica Racional tal como hoy se entiende.

Miguel Servet (1551-1553), el gran investigador aragonés que no suficientemente

reconocido, planteó el principio de la circulación pulmonar. Fue, sin embargo, William

Harvey (1578-1658), quién siguiendo los trabajos de Servet, descubrió en 1615, y

publicó su demostración en 1628, la circulación sanguínea mayor basándose tan sólo en

razonamientos lógicos, es decir, sin la utilización de microscopio y sin la posibilidad de

ver los capilares sanguíneos. La parte esencial de la demostración de Harvey fue

consecuencia de la aplicación del principio de medida de Galileo, estableciendo que el

funcionamiento del corazón implicaba la circulación sanguínea. Otro compañero de

Galileo, Santorio (1561-1636), profesor de Medicina en Padua, utilizó el mismo método

de medida de Galileo para comparar el peso del cuerpo humano en diferentes instantes

de tiempo y en diversas posiciones. Los descubrimientos de Galileo, Santorio y Harvey

imprimieron un importante empuje al intento de explicar proceso procesos vitales en

términos mecánicos.

Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679), eminente matemático y astrónomo, amigo

de Galileo y Malpighi, se encargó de clarificar el movimiento de los músculos y la

dinámica del cuerpo. Estudió el vuelo de los pájaros y el movimiento de los peces bajo

el agua, así como el funcionamiento del corazón y de los intestinos en su obra póstuma

“De motu animalium” (Fig 1.5).

Fig 1.5. Portada del libro “De motu animalium”de Borelli.



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Robert Boyle (1627-1691) estudió el pulmón y argumentó la función del aire en el

agua con respecto a la respiración de los peces. Leonhard Euler (1707-1783) escribió un

primer trabajo referente a la propagación de ondas del pulso a través de las arterías

(1775). Thomas Young (1773-1829) estudió la formación de la voz humana a través de

las vibraciones, relacionando éstas con la elasticidad de los materiales. Jean Poiseuille

(1797-1869) determinó la relación flujo-presión en el interior de un tubo. Su más

importante aportación fue la de establecer la condición de “no-deslizamiento” como la

condición de contorno más apropiada entre un fluido viscoso y una pared sólida. Su

relación empírica, conocida como ley de Poiseuille, se utiliza con bastante asiduidad en

cardiología. Hermann von Helmholtz (1821-1894), conocido también como “el padre de

la Bioingeniería”, hizo amplias contribuciones en los campos de la Óptica, Acústica,

Termodinámica, Electrodinámica, Fisiología y Medicina En concreto aplicó parte de sus

descubrimientos al estudio de la visión, la transferencia de sonidos y el tono de voz.

Etienne Jules Marey (1830-1904) destacó por sus importantes investigaciones en el

campo de la cinemática del aparato locomotor. Fue el primer científico que construyó

aparatos de medida para el estudio del movimiento humano, desarrolló una primera

plataforma de fuerza donde se podían visualizar las fuerzas entre el pie y el suelo y fue

el primero en utilizar la fotografía en el estudio del movimiento humano.

Desde entonces, muchos otros científicos han contribuido al avance de la

Biomecánica que se ha ido configurando y especializando en múltiples campos de

aplicación, siendo prácticamente imposible citar a todos ellos.

1.2. Conceptos generales de la remodelación ósea

La naturaleza es sabia; afirmación sobradamente conocida por todos y de especial

relevancia cuando hablamos de estructuras óseas. El hueso alcanza la máxima rigidez

con el mínimo peso posible, es decir, es una estructura óptima desde el punto de vista

resistente. Es más, es óptima siempre. Esto significa que si cambian las señales que

recibe, es esperable que cambie la estructura ósea adaptándose a la nueva situación. El

modelo de elementos finitos empleado en este estudio se comporta como un material

vivo y permite estimar los cambios microestructurales.

Los huesos, aunque aparentemente son estructuras bastante estáticas y definidas,

observados a una escala microscópica son estructuras muy dinámicas en constante



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cambio, que se adaptan a los cambios fisiológicos y funcionales a los que se les somete,

incluso en personas adultas.

Aunque precedido por varias investigaciones de la arquitectura del hueso esponjoso,

cabe destacar que los dibujos de la estructura interna de la parte proximal del fémur

realizados por el anatomista suizo Von Meyer [98] marcaron el inicio de las

investigaciones en la línea de la influencia mecánica en el comportamiento óseo. Estos

dibujos fueron estudiados por Culmann, quien observó que las trayectorias de las

tensiones principales eran significativamente similares a las propuestas por Von Meyer

(Figura 1.6).

Figura 1.6. A la izquierda se presenta el análisis gráfico estático realizado por

Culmann de las trayectorias tensionales en una columna curvada. A la derecha se

presenta el dibujo de Wolff del alineamiento trabecular en la extremidad proximal del

fémur (Wolff, 1892)

Tras décadas de investigación, en 1892, Julius Wolff [108] (Figura 1.7) nos

transmitió su mensaje, experimentalmente respaldado y excelentemente descrito, a

través de las 150 páginas de su trabajo más conocido titulado Das Gesetzt der

Transformation der Knochen.



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Figura 1.7. Julius Wolff

“Todos los cambios que sufren los huesos en su forma y función o bien sólo en su

función, van seguidos de ciertos cambios concretos en su arquitectura interna e

igualmente en su conformación externa, de acuerdo a leyes matemáticas”.

La gran novedad que incluía esta afirmación es la intención de representar esta

relación matemáticamente. En su tiempo esta teoría fue duramente criticada y quedó un

poco relegada al olvido hasta la década de los sesenta del siglo XX, cuando se retomó y

a partir de la cual surgieron una serie de modelos matemáticos de remodelación ósea

que relacionan la densidad y las propiedades elásticas con la historia de carga del hueso.

Frost [28] denominó a la actuación coordinada de osteoclastos y osteoblastos para

retirar el hueso antiguo y formar hueso nuevo “remodelling”, que se ha traducido como

remodelación ósea interna (ROI) y a la capacidad del hueso para esculpir su forma

“modelling”, traducida como remodelación ósea externa (ROE). Estos cambios se dan

principalmente en la infancia y en circunstancias de tipo traumático.

Esta idea de materia viva es muy antigua, aunque no cobra relevancia hasta que en

1892 se enunciara la Ley de Wolff, que sostiene que la arquitectura ósea está

íntimamente relacionada con las direcciones principales de tensión. Julius Wolff, nunca

llegó a formular un modelo matemático, pero sí sentó las bases para que otros lo

hicieran. No obstante, no todas las afirmaciones que él tan impetuosamente sostenía son

veraces y le costaron y siguen costando duras críticas. Por ejemplo, la manera en que,

según él, se forma el nuevo hueso era diciendo que las células lo producen en el interior

de la matriz ósea y el hueso formado empuja al existente hacia el exterior. También



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pensaba que el hueso cortical y el trabecular tenían la misma estructura y que

únicamente era más denso. Además, al contrario de lo que se pueda pensar, él nunca

aceptó el concepto de remodelación ósea interna; aunque Transformation se tradujera

como remodeling, lo que él verdaderamente quería expresar era modeling.

A pesar de que los científicos del s. XIX, habían sentado las bases para continuar

esa línea de investigación, no se retomó hasta mucho después. Pauwels [71] y Kummer

[52] establecieron algunas relaciones matemáticas de la adaptación de la mecánica del

hueso basadas en la idea de que el nivel de tensiones es la responsable de la reabsorción

y formación ósea, pero no llegaron a establecer ninguna ley constitutiva continua del

hueso. Hubo que esperar hasta 1976 para que Stephen Cowin [15] formulara el primer

modelo matemático continuo de remodelación ósea. Es un modelo termomecánico

continuo que contempla un intercambio de materia entre la fase sólida del material

poroelástico, matriz ósea, y la fase fluida, médula ósea, producido por unas reacciones

químicas de las que las células óseas son responsables. Según el autor, estas reacciones,

que tienen tiempos característicos del orden de meses, están controladas por el nivel de

deformaciones. Carter [10], en 1987, retoma la idea de Pauwels de que exista un

estímulo que está en equilibrio cuando se encuentra dentro de un cierto rango y que

induce a la remodelación del hueso cuando se encuentra fuera de él. Proponen una

definición del estímulo que tiene en cuenta la historia de carga a la que se somete un

tejido óseo durante un cierto período de tiempo. El siguiente en aparecer en escena es el

modelo isótropo de Huiskes [39], que vuelve a darle importancia a la deformación por

medio de la energía de deformación, en lugar de a la tensión como en modelos

anteriores. Sin embargo, este modelo conserva la idea de Carter de que existe un rango

de valores en los cuales el hueso no tiene respuesta de remodelación. A continuación

nos vamos a la Universidad de Stanford (Figura 1.8), prestigiosa universidad

estadounidense 55 km al sur de San Francisco, donde se desarrolló bajo la dirección del

Dr. Dennis Carter el modelo isótropo de Stanford y que merece capítulo aparte por ser

el modelo utilizado en este trabajo. Finalmente comentar que un modelo isótropo limita

mucho el análisis de problemas más avanzados ya que la remodelación ósea no consiste

únicamente en cambios de la densidad aparente del tejido, sino que existe también

reorientación de las trabéculas del hueso esponjoso y de las fibras del hueso compacto.

Existen modelos más avanzados de remodelación ósea que contemplan la anisotropía de

la estructura ósea.



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Figura 1.8. Universidad de Stanford

Como ya se ha dicho previamente, la remodelación ósea externa produce cambios

en la forma y/o tamaño de los huesos, sobre todo en el crecimiento y en caso de

accidentes traumáticos. De todos modos, aunque la velocidad de la ROE decrece con la

edad, se siguen dando fenómenos de reducción del diámetro de la metáfisis para crear la

diáfisis en caso de crecimiento longitudinal de un hueso; o el aumento del diámetro de

la diáfisis que sucede durante el crecimiento de los huesos largos mediante formación

en el periostio y reabsorción en el endostio; o modificación de la curvatura de la

diáfisis; o remodelación externa durante el crecimiento de huesos planos. Todos estos

procesos asociados a la ROE, son procesos continuos y prolongados.

La remodelación ósea externa también requiere la actuación de osteoclastos y

osteoblastos, pero al contrario que la remodelación ósea interna, éstos actúan de forma

independiente.

Algunos autores de los anteriormente mencionados ya hablaron de la remodelación

ósea externa en sus trabajos. R. Dana Carpenter y Dennis R. Carter [9] han desarrollado

un nuevo modelo de morfogénesis y adaptación funcional ósea mejorado que incluye la

influencia de la tracción y compresión del periostio en la formación y reabsorción del

hueso. Modelos previos asumían que la velocidades de deposición y reabsorción del

periostio y endostio óseo estaban gobernadas sólo por el estímulo mecánico, o carga

intracortical diaria, causado por cargas cíclicas. El nuevo modelo incorpora hallazgos

experimentales que evidencian que presiones en la superficie del periostio puede

impedir la formación del hueso o inducir su reabsorción, mientras que tracciones

perpendiculares a la superficie del hueso pueden impedir la reabsorción o inducir la

formación ósea. Se propone que estos efectos puedan producir superficies óseas planas

o cóncavas en regiones de presión del periostio y crestas óseas en regiones de tracción

del periostio. El modelo propuesto por Carpenter y Carter se implementó con

simulaciones por ordenador para ilustrar el papel de los músculos adyacentes en la



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formación de la geometría triangular de secciones transversales en la tibia de rata. Los

resultados sugieren que las tensiones intracorticales determinan el tamaño del hueso,

mientras que las presiones en el periostio, en combinación con las tensiones

intracorticales y otros factores mecanobiológicos pueden fijar la forma local de la

secciones transversales óseas.

En este trabajo se han implementado una combinación de modelos de remodelación

ósea interna y externa para analizar la influencia, tanto morfológica como estructural, de

la actividad diaria en el cuerpo vertebral teniendo en cuenta el carácter vivo del tejido

óseo.

1.3. Propiedades mecánicas del hueso

El hueso es un órgano firme, duro y resistente que forma parte del endoesqueleto de

los vertebrados. Los huesos poseen formas muy variadas y cumplen varias funciones.

Con una estructura interna compleja pero muy funcional que determina su morfología,

los huesos son plásticos y livianos aunque muy resistentes y duros.

La mayoría de los huesos están compuesto principalmente por una capa externa de

tejido óseo muy compacto y en el interior un material poroso, denominado trabecular o

esponjoso. Los huesos también poseen vasos, nervios, y algunos contienen tejido

hematopoyético y adiposo (médula ósea).

Desde un punto de vista ingenieril, las dos características que más llaman la

atención de este curioso material son su anisotropía y heterogeneidad. La orientación de

las trabéculas del hueso esponjoso y de las fibras del hueso cortical y la compleja

distribución de los poros componen un difícil escenario para un modelo microscópico

detallado. Sin embargo, una gran mayoría de los trabajos publicados hasta la fecha

consideran el hueso como un material isótropo y homogéneo, diferenciando zonas de

diferentes propiedades dentro del hueso y son pocos los trabajos que contemplan la

anisotropía del material.

Pero sin duda, la característica más sorprendente es que se trata de un material vivo

con propiedades mecánicas muy peculiares y en continua adaptación. Sin embargo,

vulgarmente se tiene una visión del hueso como una estructura inerte, puesto que lo que

generalmente queda a la vista son las piezas óseas de los esqueletos, secas y libres de

materia orgánica.



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1.4. Objetivos y descripción del proyecto

El fin último de este proyecto es la obtención de la morfología y de las propiedades

mecánicas del cuerpo vertebral, implementando modelos de remodelación ósea. Los

modelos utilizados en este trabajo son el modelo isótropo de Stanford para

remodelación ósea interna y el modelo recientemente propuesto por Carpenter y Carter

para remodelación ósea externa [9].

Los resultados obtenidos en este trabajo se emplean para la comprobación de la

bondad de estos modelos en huesos cortos como la columna vertebral, ya que

actualmente están validados únicamente para huesos largos. Se comentarán los puntos

débiles del modelo y se sugerirán las modificaciones oportunas para que se ajusten

mejor al comportamiento real del cuerpo vertebral. Este estudio ayuda a comprender el

comportamiento de la columna vertebral y puede servir de apoyo para futuras labores de

investigación de patologías del raquis.

En el segundo capítulo de este trabajo se describe la anatomía del raquis de una

forma resumida y práctica, remarcando la información relevante para este estudio y

dejando en un segundo plano los detalles que corresponderían a un anatomista describir.

El capítulo 3 se adentra en la biología ósea describiendo la composicón y los tipos

de tejidos que existen. Se sigue con una explicación de la estructura del hueso y del

proceso de remodelación ósea a nivel celular, distinguiendose entre la adaptación de la

arquitectura interna del hueso y el cambio en su morfología. Se explican y se dan datos

numéricos de las propiedades mecánicas del hueso en general y en concreto del cuerpo

vertebral.

En el siguiente capítulo se explica el modelo de elementos finitos que se ha utilizado

para hacer los cálculos numéricos, dando al principio una visión general del proyecto y

explicando los pasos que se necesitan para obtener los resultados deseados. También se

describen las cargas a las que ha sido sometido el modelo, teniendo en cuenta la

actividades diarias que el ser humano puede practicar.

El capítulo 5 se dedica al desarrollo matemático del modelo isótropo de Stanford de

remodelación ósea interna y se detalla el modelo de remodelación ósea externa de

Carpenter y Carter. Estos dos modelos han sido considerados en un capítulo aparte

porque son los modelos implementados en este trabajo.



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Los resultados, tanto intermedios como finales de este trabajo se muestran en el

capítulo 6 y se estudia la influencia que tienen algunos parámetros en los resultados de

las simulaciones. Se realiza una discusión de los resultados.

Finalmente se concluye con el capítulo 7 haciendo un resumen del trabajo realizado

y se extraen las conclusiones generales necesarias. Por último, se dejan abiertas algunas

líneas de investigación que serían interesantes estudiar en un futuro.

capítulo 1. introducción -...

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