2.4 ECUACIN CARACTERSTICA Y VALORESPROPIOS

La ec. caracterstica de un sistema puede obtenerse a partir de

la ec. (8.3), que relaciona la entrada u(t) con la salida y(t),teniendo en esa ec.

(1.4)

esta toma la forma

(2.4)

)(1

A-sIA-sI

A)-(sI 1- adj=

( )[ ]AsI

DAsIBAsICGu -

-+-=

adjs)(

ECUACIN CARACTERSTICA (cont.)

Del denominador de la matriz FT Gu(s), se concluye que la

ec. caracterstica del sistema es

(3.4)

Las races de la ec. caracterstica son referidas como los

valores propios (autovalores) de la matriz A.

0)s( ==D A-sI

Ejemplo

Dadas las matrices del modelo de estado de un s. de control

Determinar los valores propios de la matriz A

Solucin

de donde: l1=-4.88; l2=-0.06+j0.64; l3=0.06-j0.64.

---

=

512

100

010

A ;

=

1

0

0

B

025

512

10

0123 =+++=

+

-

=- sss

s

s

s

s AI

VECTORES PROPIOS

Si A, tiene valores propios distintos, sus vectores propios sepueden deducir empleando la ec. matricial

(li I-A)pi (4.4)donde pi es distinto de cero, asimismo li con i = 1, 2, , n,

denota el i-simo valor propio de A.

Ejemplo

Dadas las matrices del modelo de estado de un s. de control

Solucin

La ecuacin caracterstica es:

Los valores propios: l1 = 1 y l2 = -1Los vectores propios seran:

12 -= ll A-I

=

21

11

p

p1p ;

=

22

12

p

p2p

--

=10

11A ;

=

1

1B ; E = 0

Ejemplo (cont.)

Sustituyendo l1 = 1 y p1 en (4.4) se obtiene:

De donde p21 = 0 y p11 es desconocido (arbitrario), en estecaso se le elige = 1.

En forma similar, para l2 = -1, la ec. (4.4) se convierte en

De donde

-2p12 + p22 = 0

=

0

0

20

10

21

11

p

p

=

-0

0

00

12

22

12

p

p

Ejemplo

As,

=

0

11p ;

=

2

12p

VECTORES PROPIOS GENERALIZADOS

Si A tiene valores propios de orden mltiple y no es simtrica Los vectores propios que corresponden a los q(

Ejemplo

Dada la matriz

Los valores propios son l1 = 2, l2 = l3 = 1Para l1 = 2, eligiendo p11 = 2; se tiene p21 = -1 y p31 = -2

-

-

=

423

201

560

A

-

-=

2

1

2

1p

Ejemplo (cont.)

Para l2 = 1, sustituyendo en la ec. (5.4)

Al hacer p12 = 1, se tiene p22 = -3/7 y p32 = -5/7

-

-=

7

57

31

2p

( )

=

---

--

-

=-l

0

0

0

p

p

p

323

211

561

AI

32

22

12

22 p

Ejemplo (cont.)

Para l3 = 1, sustituyendo

Con p13 = 1

( )

=-=

---

--

--

=-

75

73

1

323

211

561

233 ppAIl

-

-=

49

4649

221

3p